全等三角形基础证明题

全等三角形基础证明题（共10篇）

篇1：全等三角形基础证明题

全等三角形——基础证明

1.把下列命题改写成“如果„„”“那么„„”的形式，指出它的题设和结论,并写出他们的逆命题.（1）同位角相等，两直线平行；

解：如果_______________________，那么_____________________;

题设为:________________________,结论为:________________________;

逆命题为:____________________________________________

（2）两直线平行，同旁内角互补；（3）对顶角相等；(4）全等三角形的对应边相等；（5）平行四边形对应角相等；

2.三角形全等的判定方法有:_________,___________,_____________,___________,________;

3.全等三角形用符号______来表示;其对应边_______对应角_________;

4.如图,在△ABC中,ABAC,AD平分BAC,求证:

B

D

△ABD△ABD

(第4题图)(第5题图)(第6题图)

5.如图,已知ABCD,ACBCBD,判断图中的两个三角形是否全等,并说明理由;

6.如图, △ABC是等腰三角形,AD,BE分别是BAC, △ABD和△BAE全等吗?请说明你的理由.7.如图 在ABCD中，求证ABDCDB

B

B

(第7题图)(第8题图)

8.如图,DEAB,DFAC,AEAF,你能找到一对全等的三角形吗?并证明你的结论.9.已知AB与CD相交于O，AD,COBO。求证：AODO

10.如图,在ABC中,BDCD,BEAB,DFAC,E,F为垂足,DEDF,求证:BECF

11.如图,在直线l上找出一个点P,使得点P到AOB的两边

B

第12题图)(第13题图)

12.如图,已知AECE,BDAC,求证:ABCDADBC

13.如图, 在△ABC中,ABC,ACB的平分线交于D,EF经过D,且EF∥BC,求证:EFBECF

14.如图,E是AOB平分线上一点,ECAO,EDBO,垂足分别为C,D,求证:EDCECD

ABD

E

(第14题图)(第15题图)

15.如图,AB∥DE,AC∥DF,BC∥EF。求证:ABCDEF

16.如图,AEDB,BCEF,BC∥EF。求证:ABCDEF

17．已知.ABDF,ACDE,BECF,求证18.如图,ACBD,BCAD。求证:ABCA

第19题图)

19.如图12,BD。求证:ABCADC

20.如图AB,CE ∥DA,CE交AB于E。求证:C

D

(第20题图)(第21题图)

21.如图,在△ABC中,ABAC,D是BC的中点,DEAB,DFAC,E,F是垂足,求证:DEDF

22.如图,BDACEA,AEAD。求证:ABAC

B

(第23题图)(第24题图)23.如图,CD,CEDE。求证:BADABC

篇2：全等三角形基础证明题

关于圆点对称的),将直角坐标系关于Y轴翻折,得A1,B1,然后分别

连接A,A1和B,B1后,证AA1O和BB1O两三角行全等!

2有一个正方形,分别连接它的对角,求其中的全等三角形?

3一个等腰三角形,做这个三角形的高线后,求其中的全等三角形?

4在直角坐标系中,有一个直角三角形,将此三角形向左平移6格,求平移后的三角形和原料的三角形是否全等?

5有两个直三角形,其一个三角形三边的长为3,4,5,另一个三角形的直角边长为3和4.求证两三角形全等.(注:SAS)

6一个等边三角形的边长为5cm,另一个等边三角形边长也是5cm,求两个等边三角形全等.(注:SAS或SSS)

7.已知平行四边形ABCD，连接点AC，求三角形ABC和三

角形CDA全等.8等腰梯形ABCD对角相连求全等的三角形?

9在一个圆上，在圆内做两个三角形，圆心是公共的两个三角形的端点，且这两个角度数都为30度，求两三角形全等.(由

于圆半径相等，且两边夹角相等，所以SAS)

10.已知：三角形中AB=AC，求证：(1)∠B=∠C

11三角形ABC和三角形FDE,AB=FD,AC=FE,BC=DE,求全等(SSS)

12三角形ABC和三角形FDE,∠C=∠E,AC=FE,∠A=∠F,求全等

(ASA)

三角形ADF是直角三角形

所以角EAD=90度-角BDA

三角形ADB是直角三角形

所以角BAD=90度-角BDA

所以角EAD=角BAD

CE平行AB

所以同旁内角互补

所以角BAD+角ACE=180度

角BAD=90度

所以角ACE=90度

所以角BAD=角ACE

所以三角形BAD和三角形ACE中

角EAD=角BAD

角BAD=角ACE

AB=AC

由ASA

三角形BAD≌三角形ACE

所以AD=CE

因为D是AC中点，且AB=AC

所以AB=2AD

所以AB=2CE

只要证明直角三角形BAD全等ACE就可以了

AE垂直BD，所以角EAC=角DBA(为什么?因为角EAC+角BAE=90度，而角BAE+角DBA=90度，所以角EAC=角DBA)

然后因为CE平行AB，所以角ACE=90度

看三角形BAD和ACE

角EAC=角DBA

角BAD=角ACE=90

又因为AB=AC

所以两个直角三角形全等

所以AD=CE

又因为BD是中线，所以AC=2AD

所以AB=2CE

∵∠DEC=∠AEB(对顶角相等)

∠A=∠D

AE=ED

∴△ABE全等于△DEC(ASA)

∴EB=EC

∵∠DEC=50°

∴∠BEC=180°—∠EDC=180°—50°=130°

∵BE=EC

∴△BEC是等腰三角形

篇3：教你证明三角形全等

一般地, 应根据题设并结合图形, 先确定两个三角形已知相等的边或角, 然后按照判定公理或定理, 寻找还缺少的条件。其基本思路是:

1.有两边对应相等, 找夹角对应相等或第三边对应相等, 前者利用SAS判定, 后者利用SSS判定。

2.有两角对应相等, 找夹边对应相等或任一等角的对边对应相等, 前者利用ASA判定, 后者利用AAS判定。

3.有一边和该边的对角对应相等, 找另一角对应相等, 利用AAS判定。

4.有一边和该边的邻角对应相等, 找夹等角的另一边对应相等或另一角对应相等, 前者利用SAS判定, 后者利用AAS或ASA判定。

例1如图1所示, 已知AB=AC, AD=AE, ∠1=∠2.求证:∠B=∠C.

分析:要证明∠B=∠C, 只要证明∠B、∠C分别所在的■ABD和■ACE全等。在这两个三角形中, 有两边对应相等 (AB=AC, AD=AE) , 只要再证明∠BAD=∠CAE或BD=CE即可显然由题设容易证明

证明:由∠1=∠2, 得:∠1+∠BAC=∠2+∠CAB.

在△ABD和△ACE中,

例2如图2所示, 已知∠A=∠B, AE=BF, ∠C=∠D.求证:AC=BD.

分析:要证明AC=BD, 只要证明AC、BD所在的△ACF和△BDE全等。在这两个三角形中, 有两角对应相等 (∠A=∠B, ∠C=∠D) , 只需再证明CF=DE或AF=BE就可。显然, 由题设证明AF=BE更方便。

证明:由AE=BF, 得AE+EF=BF+FE, 即AF=BE.

在■ACF和■BDE中,

例3如图3所示, 已知△ABC中, D、E分别是AB、AC的中点, CF∥AB交DE的延长线于点F.求证:AB=2CF.

分析:要证明AB=2CF, 注意到D是AB的中点 (AB=2AD) , 那么只需证明CF=AD, 即需证明△CFE和△ADE全等。在这两个三角形中, 有一边和该边的邻角对应相等 (CE=AE, ∠CEF=∠AED) , 只需再证明EF=ED或∠1=∠A或∠F=∠2即可显然由题设证明或更方便。

证明:由CF∥AB, 得∠1=∠A.

在△CFE和△ADE中,

∵D是AB的中点, 即AB=2AD,

例4如图4所示, 已知△ABC中, ∠ACB=90°, ∠CBA=45°, E为AC上的一点, 延长BC到点D, 使CD=CE, 求证:BE⊥AD.

分析:要证明BE⊥AD, 需延长BE交AD于F, 证明∠AFE=90°, 即证明∠1+∠2=90°.又∵∠3+∠4=90°, ∠2=∠3, 那么需证明∠1=∠4, 即应考虑∠1、∠4所在的△ACD和△BCE全等。在这两个三角形中, 有一边和该边的邻角对应相等 (CD=CE, ∠ACD=∠BCE=90°) , 只要再证明∠CA=CB或∠D=∠3即可。显然, 证明CA=CB更方便。

证明:延长BE交AD于点F, 由∠ACB=90°, ∠CBA=45°, 得∠CAB=∠CBA=45°, 从而有:CA=CB.

在△ACD和△BCE中,

∴∠1+∠2=90°, 从而有:∠AFE=90°.

篇4：试析证明三角形全等的技巧

【关键词】三角形全等 证明 两大关键 三类图形 两种方法

一般来说，证明三角形全等就是证明三角形的角和线段相等，这也是初中平面几何的基础理论。所以说，以多角度学习证明三角形全等的方法就是学好初中平面几何的关键，对后续更复杂的几何知识学习也很有帮助。

一、证明三角形全等的两大关键

三角形全等的基本理念就是找准角与角、边与边之间的对应关系，所以本文针对三角形全等证明归纳两大关键要点：

第一，全等三角形的公共边一定要是对应边，而其公共角即对顶角也必须全是对应角。

第二，在全等三角形中，相等的边边关系所对应的角也必须为对应角；反之，相等的角其所对应的边也一定是对应边，如此才能成立三角形全等这一结论[1]。

二、证明三角形全等的三类图形

在初中平面几何教学中，通常认为的全等三角形图形形态应该包括三种：

（一）平移型全等三角形

图1 平移型全等三角形

如图1中所示的即为平移型全等三角形，两个三角形在平移后依然是保持全等关系不变的，以下举例来说。

例1：如图2，在两个三角形△DEF与△ABC中，如果边EF∥BC，且有 ∠EDF=∠BAC，已知边DE=AB=8，AC=12，BC=10，那么边EF的长度为多少？

图2 平移三角形DEF和ABC

因为△DEF与△ABC符合ASA判定定理，∠EDF=∠BAC且AB=DE=8，那么BC=10，所以就有EF=BC=10.

（二）对称型全等三角形

图3 对称型全等三角形

例2：如图4，已知∠DBA=∠CAB，边DB=CA，DA与CB的相交点为O，而E为AB边的中点，试证明OE与AB的位置关系.

图4 对称三角形CAB和DBA

首先，根据ASA判定定理可以得知，因为∠DAB=∠DBA，所以△DBA与△CAB应该为全等三角形，E为AB边的中点，所以OB=OA，∠OBA=∠OAB，所以边OE与边AB应该呈垂直关系，即OE⊥AB.

（三）旋转型全等三角形

图5 旋转型全等三角形

例3：如图6，在平行四边形ABCD中，E、F两点位于对角边AC之上，如果AF=CE，求问DF与BE边的关系.

图6 旋转三角形ADF与CBE

该题求解的是DF与BE两边的关系，从经验来看，两边应该属于平行关系，若想证明DF∥BE，就必须先证明△ADF与△CBE为全等三角形。因为AD∥BF，且AD=BC，∠DAC=∠BCA，AF=CE，所以根据SAS判定定理，可以证明△ADF与△CBE为全等三角形。在证明两三角形全等后，就可以得出结论，边DF=BE，且两边也是平行关系，DF∥BE.

以上三种图形就是在对称、平移和旋转状态下的三种全等三角形，对它们的判定还是要基于四大判定定理，并通过变换图形的角度、位置、垂直平行关系来证明它们可能存在的全等关系。对于初中生来说，它的难点就在于要用角度变换的思维来看待对三角形全等的证明，并学会灵活运用三角形全等的四个判定定理进行证明[2]。

三、证明三角形全等的两种方法

在初中平面几何学习中，对三角形全等的证明存在顺推和逆推两种方法，本文将做出一一解析。

（一）顺推分析法

所谓顺推分析自然是从已知条件出发，利用上述提到的四种判定定理或其他平面几何知识进行推导，再联系结合题目中的已知条件来发展推理过程，最后得出结论。

例4：如图7，线段AB中点为C，其中DC边平分∠ACE，有∠1=∠2，EC边平分∠BCD，有∠2=∠3，且EC=DC，证明△DAC与△EBC为全等三角形.

图7

该题目中所给出的已知条件十分充分，因为C点为线段AB的中点，所以CA=CB。因为DC、EC边平分∠ACE与∠BCD，所以∠1=∠2=∠3。又因为DC=EC，根据SAS判定定理，至此可以说明△DAC≌△EBC.

（二）逆推分析法

逆推分析法是从结论入手的解题方法，它所分析的是到达结论的可行性路径，并且根据结合所给出的已知条件和结论来寻找到正确的证明方法。在三角形全等的求解过程中，逆推分析法是十分常见的。

例5：如图8，已知BA=CA，DA=EA，请求证BD=CE.

∵DA=EA，BA=CA

∴∠C=∠B，∠1=∠2

根据SAS，∵∠B+∠3=∠1，∠C+∠4=∠2

∴∠3=∠4

DA=EA，BA=CA，∴可得△BAD≌△CAE，∴BD=CE.

以上为顺推分析和逆推分析的例题求证，如果能够娴熟掌握上述两种方法技巧，学生还可以结合顺推与逆推，用两种技巧共同解决习题，求证三角形的全等关系[3]。

四、总结

除上述解题方法外，利用公共边、公共角、对顶角等方法也能证明三角形的全等关系。因此可以说，初中平面几何中三角形全等的求解方法是丰富多样的，教师在教学过程中应该在扎实掌握四大判定定理、边角关系的基础理论的基础上，充分打开学生的思路，开阔学生的视野，从不同角度、不同层面来启迪和开发学生的解题能力。而三角形全等证明问题作为初中平面几何的基础知识，也应该被学生所熟悉运用，这对他们未来面对和解决更复杂的几何题型很有帮助。

【参考文献】

[1]娄菊红.浅谈证明三角形全等的一些技巧[J].中学生数理化（八年级数学人教版），2012（07）：6-7.

[2]钱燕群.三角形全等的证明及应用举例[J].读写算（教育教学研究），2011（08）：118-119.

篇5：全等三角形证明题09

① 求证：OA＝OB＝OC．

② 设点M在AC上移动，点N在AB上移动，连结OM、ON、MN，当AM＝BN时，试判断△MON的形状并予以证明．

M A B O C A B O C N ⑵ 已知如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，D为AB的中点．一直角三角板的直角顶点绕D旋转，其两条直角边分别交射线AC于G，交射线CB于H．试找出图中除AC＝BC，AD＝CD＝BD以外所有相等的线段并予以证明．

⑶ 已知如图，△ABC中，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E．

① 在BD上截取BF＝AC，在CE的延长线上截取CG＝AB，连结AG、AF、GF，试判断△AFG的形状并予以证明．

B F C D E G A C G H B D A ② 分别在BD、CE的反向延长线上截取BF＝AC，CG＝AB，连结AG、AF、GF，①中的结论还成立吗？若成立，请予证明；若不成立，请说明理由．

G B F

C E

D A

全等三角形证明题09 ⑷ 探求规律．

① 如图，等边三角形ABC中，BM、CN相交于O，∠BON＝60°，求证：BM＝CN．

② 如图，正方形ABCD中，BM、CN相交于O，∠BON＝90°，求证：BM＝CN．

③ 如图，正五边形ABCDE中，BM、CN相交于O，∠BON＝108°，求证：BM＝CN．

④ 如图，正六边形ABCDEF中，BM、CN相交于O，∠BON＝108°，求证：BM＝CN．

⑤ 正n边形ABCDEFGH……中，BM、CN相交于O，当∠BON等于多少度时，BM＝CN．请写出你的猜测（不需证明）．

⑥ 如图，五边形ABCDE中，BM、CN相交于O，∠BON＝108°，BM＝CN仍成立吗？若成立，请予证明；若不成立，请说明理由．

篇6：全等三角形的证明题综合整理

1.已知：如图 , AB=CD , AE=DF , 且AEBC于E , DFBC于F． 求证：∠B=∠C

2.已知：如图 , E, B, F, C四点在同一直线上, ∠A=∠D=90° , BE=FC, AB=DF． 求证：∠E=∠C

3.已知：如图 , DN=EM , 且DN⊥AB于D , EM⊥AC于E , BM=CN． 求证：∠B=∠C.4.如图 , ABBC于B , ADDC于D , 且CB=CD , AC , BD相交于O． 求证：∠ABD=∠ADB

5.已知：如图 , CE⊥AB于E , BF⊥CD于F , 且BF=CE． 求证：BE=CF．

6.求证：一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等．

7.已知：如图 , AE , FC都垂直于BD , 垂足为E、F , AD=BC , BE=DF． 求证：OA=OC.8.已知：如图 , AB=CD , D、B到AC的距离DE=BF． 求证：AB∥CD．

9.已知：如图 , OC=OD , ADOB于D , BCOA于C.求证：EA=EB．

10.如图 , 已知：∠ACB和∠ADB都是直角 , BC=BD , E是AB上任一点 , 求证：CE=DE．

11.已知：如图，∠A=∠D=90°，AC，BD交于O，AC=BD.求证：OB=OC．

12.已知：如图 , 四边形ABCD中 , AB∥CD , AD∥BC． 求证：△ABD≌△CDB

13.如图,已知:AD∥BC,AD=BC．求证:AB∥CD．

14.如图,已知:AC=DF,AC∥FD,AE=DB,求证:△ABC≌△DEF

15.已知:如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB∥DE,且AB=DE,BE=CF.求证:AC∥DF．

16.已知:如图,AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．

17.如图 , △ABC中 , AD是从顶点A引出的一射线交BC于D , BE⊥AD于E , CF⊥AD于F , 且BE=CF , 求证：BD=DC

18.如图, AB, CD, EF交于O点, 且AC=BD, AC∥DB.求证：O是EF的中点．

19.已知：如图 , AB⊥BC于B , EF⊥AC于G , DF⊥BC于D , BC=DF． 求证：AC=EF．

20.已知：如图 , AD为CE的垂直平分线 , EF∥BC.求证：△EDN≌△CDN≌△EMN．

21.已知：如图AB=CD,AD=BC 求证：AD∥BC

22.已知：如图 , △ABC和△ADC有公共边AC , E是AC上一点 , AB=AD , BE=DE． 求证：∠ABC=∠ADC

23.已知：如图 , 点A、C、B、D在同一条直线上 , AC=BD , AM=CN , BM=DN 求证：AM∥CN , BM∥DN 24.已知：如图 , AB=AE , AC=AD , BC=DE , C , D在BE边上． 求证：∠CAE=∠DAB．

25.已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD=BC．求证:∠B=∠D．

26.已知:如图,点E、F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C．求证:AF=DE．

27.已知：如图 , E、D、B、F在同一条直线上 , AD∥CB , ∠BAD=∠BCD , DE=BF． 求证：AE∥CF

28.已知：如图 , AB=AC , AD=AE , 求证：△OBD≌△OCE

29.已知：如图 , AE=BF , AD∥BC , AD=BC.AB、CD交于O点． 求证：OE=OF．

30.已知：如图AC⊥CD于C , BD⊥CD于D , M是AB的中点 ,连结CM并延长交BD于点F．

求证：AC=BF．

31.已知：如图 , AB=DC , BD=AC , AC , BD交于O． 求证：△AOB≌△DOC． 32.如图 , 已知：AB=AC , BD=CD , E为AD上一点 , 求证：∠BED=∠CED

33.已知：如图 , AD=AE , BD=CE , AF⊥BC , 且F是BC的中点． 求证：∠D=∠E

34.已知：如图 , AB=CD , AD=BC ,O为BD中点 , 过O作直线分别与DA、BC的延长线交于E、F．求证：OE=OF

35.已知：如图 , ∠1=∠2 , AB⊥BC , AD⊥DC , 垂足分别为B、D ． 求证：AB=AD．

36.如果两个三角形的两角和夹边上的高对应相等 , 那么这两个三角形全等．

37.如图在△ABC和△DBC中 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4 ,P是BC上任意一点．求证：PA=PD.38.已知：如图 , E是AD上的一点 , AB=AC , AE=BD , CE=BD+DE． 求证：∠B=∠CAE．

39.已知：如图 , AB=CD , BC=DA , E、F是AC上两点 , 且AE=CF． 求证：BF=DE

40.已知:如图,∠1=∠2,BD=CD,求证:AD是∠BAC的平分线．

41.已知:如图,∠1=∠2,BE=CF,AC=DE,E、C在直线BF上．求证:∠A=∠D

42.已知:如图,点A、B、C、D在同一条直线上,AC=DB,AE=DF,EA⊥AD,FD⊥AD,垂足分别是A、D.求证:BE∥CF

43.如图:已知AE=CE,BE=DE,∠1=∠2 求证:AB=CD

44.已知 ：如图 , A、E、F、B在一条直线上 , AC=BD , AE=BF , CF=DE． 求证：AD=BC．

45.已知 ：如图 , 四边形 ABCD中 , AD∥BC , F是AB的中点 , DF交CB延长线 于E , CE=CD．

求证：∠ADE=∠EDC． 46.如图,有一池塘,要测池塘两端A、B的距离,可先在平地上取一个可以直接到达A和B的点C,连结AC并延长到D,使CD=CA.连结BC并延长到E,使EC=CB,连结DE,量出DE的长,就是A、B的距离.写出你的证明．

47.已知:如图,AM=BM,∠CMB=∠DMA,MC=MD．求证:AC=BD

48.已知:如图,AB=AC,AE平分∠BAC.求证:∠DBE=∠DCE．

49.已知：如图 , E、F是DA、BC延长线上的点 , AD=BC ,AB=CD ,∠E=∠F．求证：EB∥DF．

50.如果两个三角形有两条边和其中一边上的中线对应相等 , 那么这两个三角形全等．

51.已知：如图 , OA=OE , OB=OF , 直线FA与BE交于C , AB和EF交于O , 求证：∠1=∠2．

52.已知:如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE.求证:BD=CE

53.已知:如图,△ABC中,点E、F分别在AB、AC边上,点D是BC边中点,且EF∥BC,DE=DF． 求证:∠B=∠C 54.已知:如图,AC、BD相交于O点,O是AC、BD的公共中点.求证:AB∥CD,AD∥BC．

55.已知：如图 , BC是△ABC和△DCB 的公共边 , AB=DC , AC=DB , AE、DF分别垂直BC于E , F． 求证：AE=DF．

56.已知 ：如图 , AB=AC , EB=EC , AE的延长线交BC于D． 求证：BD=CD．

57.如图:已知,AD=AB,AC=AE,∠DAB=∠CAE,求证:BE=CD

58.如图,△ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB于E,AD=AC,AF平分∠CAE交CE于F． 求证:FD∥CB

59.已知:如图,D、E分别是△ABC的边AB,AC的中点,点F在DE的延长线上,且EF=DE． 求证:(1)BD=FC(2)AB∥CF

60.已知:如图,AC=AB,AE=AD,∠1=∠2.求证:∠3=∠4

61.求证:全等三角形对应中线相等． 62.如图,已知:△ABC中,BE,CF分别为AC边和AB边上的高,在BE上截取BP=AC,延长CF,并截取CQ=AB.求证:AP=AQ．

63.已知：如图∠1=∠2 , ∠3=∠4.求证：AD=BC AC=BD．

64.已知：四边形ABCD中 , AC、BD交于O点 , AO=OC , BAAC，DCAC垂足分别为A , C．求证：AD=BC

65.求证：三角形一边的两个端点 , 到这边上的中线的距离相等．

66.已知：如图 , AB=AD , DC=CB．求证：∠B=∠D

67.已知:如图,AB=DC,OC=OB,AB、CD交于点O．求证:AC=DB．

68.已知：如图 , AB∥CD , ∠1=∠2 , O是AD的中点 , EF、AD交于O． 求证：O也是EF的中点．

69.已知：如图 , FB=CE , AB∥ED , AC∥FD.F、C在直线BE上． 求证：AB=DE , AC=DF．

70.已知：如图 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4 , DE=CE．E是BC上的一点． 求证：AE=BE

71.已知：如图AC∥BD , AE和BE分别平分∠CAB和∠DBA , CD过点E． 求证AB＝AC＋BD

72.已知：如图 , ∠1=∠2 , ∠3=∠4． 求证：∠ADC=∠BCD

73.已知：如图：AB=CD , BE=CF , AF=DE． 求证：△ABE≌△DCF

74.已知：如图 , AB=AC , AD=AE , BD=CE． 求证：∠BAC=∠DAE．

75.如图 , 已知：DC=AB , DF=BE , CF=AE , 求证：AO=CO EO=FO．

篇7：全等三角形基础证明题

2.如图，在ΔABC中，D是边BC上一点，AD平分∠BAC，在AB上截取AE=AC，连结DE，已知DE=2cm，BD=3cm，求线段BC的长。A

3.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

B

C

B D

∴AC=BE=

2∵在△ABE中

AB-BE＜AE＜AB+BE

∵AB=

4即4-2＜2AD＜4+2

1＜AD＜

3∴AD=2

解：延长AD到E,使AD=DE ∵D是BC中点 ∴BD=DC在△ACD和△BDE中 AD=DE ∠BDE=∠ADC BD=DC ∴△ACD≌△BDE

4.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

∴ ∠ABE=∠AEB。∴ AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中

AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF

∴ 三角形ABF和三角形AEF全等。∴ ∠BAF=∠EAF(∠1=∠2)。

1.证明：连接BF和EF

∵ BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF

∴ 三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)∴ BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE

在三角形BEF中,BF=EF ∴ ∠EBF=∠BEF。∵ ∠ABC=∠AED。

5.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

∠CGD＝∠EFD 又，EF∥AB ∴，∠EFD＝∠1 ∠1=∠2 ∴∠CGD＝∠2

∴△AGC为等腰三角形，AC＝CG

证明：过C作CG∥EF交AD的延长线于点G

CG∥EF，可得，∠EFD＝CGD DE＝DC

∠FDE＝∠GDC（对顶角）∴△EFD≌△CGD EF＝CG

又 EF＝CG ∴EF＝AC

6.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

证明：延长AB取点E，使AE＝AC，连接DE

∵AD平分∠BAC ∴∠EAD＝∠CAD ∵AE＝AC，AD＝AD

∴△AED≌△ACD（SAS）∴∠E＝∠C ∵AC＝AB+BD

∴AE＝AB+BD ∵AE＝AB+BE ∴BD＝BE ∴∠BDE＝∠E

∵∠ABC＝∠E+∠BDE ∴∠ABC＝2∠E ∴∠ABC＝2∠C

7.如图所示,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AE是BC边上的中线,过C作CF⊥AE, 垂足为F,过B作BD⊥BC交CF的延长线于D.求证:(1)AE=CD;(2)若AC=12cm,求BD的长.A

D

BCE

8.如图(1), 已知△ABC中, ∠BAC=90, AB=AC, AE是过A的一条直线, 且B、C在A、E的异侧, BD⊥AE于D, CE⊥AE于E 试说明: BD=DE+CE

9已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：AC-AB=2BE

证明：

在AC上取一点D，使得角DBC=角C ∵∠ABC=3∠C

∴∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C； ∵∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;∴AB=AD

∴AC – AB =AC-AD=CD=BD

在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线，∴AE垂直BD ∵BE⊥AE

∴点E一定在直线BD上，在等腰三角形ABD中，AB=AD，AE垂直BD

∴点E也是BD的中点 ∴BD=2BE ∵BD=CD=AC-AB ∴

AC-AB=2BE

22．（6分）如图①，E、F分别为线段

AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

（1）连接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），∴DE=BF．

∴四边形BEDF是平行四边形． ∴MB=MD，ME=MF；（2）连接BE，DF．

∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∴∠DEC=∠BFA=90°，DE∥BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，∵AF=CE，AB=CD，∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），∴DE=BF．

篇8：全等三角形基础证明题

1.习题难度模型

鲍建生在对中英两国的课程难度进行比较时,提出了“数学习题课程综合难度模型”。该模型含有五个难度的因素,分别为知识含量、运算水平、背景水平、探究水平和推理水平五个因素,其中因素又分为不同的层次。吴立宝、王建波、曹一鸣认为:习题难度=0.38 **知识水平+0.36 **知识点个数+0.26背景。

2.点数法

点数法主要应用于几何题,把推理的每一个条件或结果算作一点,一个条件推出多个结论或多个条件推出一个结论时,每个条件再加一点。对于图形复杂的情况再增加点数,如:必须做辅助线加两点,由图可知得出条件加一点。使用最终结论处点数和作为证明难度的指标。

3.难度分析

全等三角形的证明是初中几何的重要组成部分,是轴对称图形、四边形的重要基础。对人民教育出版社2013版八年级上第12章第二节全等三角形中例题(L)、练习(按顺序分为练习1到4)和习题(X)的题号(TH)、探究水平(S)、背景(B)、运算(Y)、推理(T)、知识点数量(Z)进行分析,得出每道题的点数(D)和难度(N)。部分题目分析如下:

全等三角形的证明部分的习题各维度中的各个水平比重明显不均,作业分层可能存在问题,在一个维度上水平明显聚集的习题,难度计算可能存在较大误差。

使用SPSS对点数和探究水平、背景、推理、知识点做回归分析,发现探究水平、背景的系数均为负数,也就是探究水平、背景越高习题的点数越低,这明显违背常识,推理与知识点数量系数为正。使用SPSS对点数和难度进行相关分析,发现存在相关性,但相关度为0.384,属于低相关。对点数和其他各项做相关分析,点数与推理水平相关系数为0.645,与知识点个数相关系数为0.773,与探究水平相关系数为0.526,与背景相关系数为0.26,另外知识点与推理水平相关系数为0.748。点数法的计数方法主要受推理水平和知识点数量影响,全等三角形部分的背景对点数影响不足,而探究水平与推理水平的分析方法接近。吴立宝等人的习题难度模型考虑题目的探究水平、知识点数量、背景,鲍建生将证明分为3个层次并不适用于几何证明题。习题3仅比例3,练习1.1多1步,难度却是2.62和1.36,例4的点数是练习1.1的两倍,比练习1.1多了知识点“三角形内角和为180°”,推理步骤“三角形内两对角相等则第三个角也相等”。点数法中应该减少同理可得的点数,习题难度模型在几何部分也要增加推理的层次。

4.习题难度控制

三角形部分的习题,从习题难度模型考虑,难度主要是通过知识点数量、背景的有无来控制,探究水平可能控制不够精细,从点数法考虑,难度主要由推理的长度、知识点数量控制。几何部分复杂的背景较少,在学习勾股定理之后的四边形部分时,计算维度就会明显影响习题的难度,探究水平要在高难度的综合题出现时才会有较大的区分度。全等三角形部分,难度主要由知识点数量、推理长度、背景的有无来控制。

如例3与例4都是考察ASA,例4比例3增加了知识点“三角形内角和”和推理步骤“三角形内两对角相等则第三个角也相等”;习题11比例3增加了知识点“两直线平行内错角相等”及相应的证明步骤;练习3.2比例3增加了情境。

5.小结与建议

对教材全等三角形证明部分的习题整理发现,习题难度模型并不适用于全等证明这样的维度偏向明显的章节,可以结合点数法来考虑几何部分的习题难度,增加同一难度的习题数量或调整习题难度。

该研究不足在于:选择全等三角形证明一节的教材习题,范围较小,由于条件限制,没有对学生进行测试以获取实践的正确率,来确定点数法和难度模型的效果。后续可以对点数法进行优化,修改现有难度模型以适应不同知识模块。

摘要：通过控制习题难度,可以向不同学生提供不同水平的习题,符合因材施教与循序渐进的原则。使用习题难度模型和点数法对全等三角形的证明一节的习题进行分析,发现习题难度模型适用性不强,可以与点数法结合来控制习题难度。

篇9：全等三角形创新题赏析

一、条件探索型

即给出了问题的结论,但没有给出或没有全部给出应具备的条件,要求通过探索,对条件进行补充完善,或者得出多个能使结论成立的条件。

例1如图1,∠BAC=∠ABD,请你添加一个条件: ,使OC=OD(只添一个即可)。

解析结合图形可知,要使OC=OD,只要得到△AOD≌△BOC或△ABD≌△BAC即可。现已有∠BAC=∠ABD(可推得OA=OB),AB为公共边,故若添加∠ABC=∠BAD,由“ASA”可知△ABD≌△BAC,进而有AC=BD,AC-OA=BD-OB,即有OC=OD;若直接添加AC=BD,显然有OC=OD;

若添加∠C=∠D,结合隐含条件∠AOD=∠BOC(对顶角相等),则可由“AAS”可知△AOD≌△BOC,进而得OC=OD;若添加∠OAD=∠OBC,结合对顶角∠AOD=∠BOC,则可由“ASA”知△AOD≌△BOC,进而得OC=OD。

点评本题是一道条件开放性问题,解题的关键是抓住已知条件∠BAC=∠ABD,AB=BA(公共边),∠AOD=∠BOC(对顶角相等),明确所选用的判定方法中,还需要什么条件。

二、结论开放型

即给出了问题的条件,但没有给出明确的结论或结论不确定,要求从条件出发,通过对各种可能的情况进行探究。

例2如图2,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,BE=CF。

(1)图中有几对全等的三角形?请一一列出;

(2)选择一对你认为全等的三角形进行证明。

解析 根据已知条件,认真观察图形,找出其中形状和大小一样的三角形,然后想办法证明其全等。

(1)3对。分别是:△ABD≌△ACD;△ADE≌△ADF;△BDE≌△CDF。

(2)证明△BDE≌△CDF。

证明 ∵DE⊥AB,DF⊥AC,∴∠BED=∠CFD=90°。

又∵D是BC的中点,∴BD=CD。

在Rt△BDE和Rt△CDF中,

BD=CD,BE=CF,

∴△BDE≌△CDF。

点评 解答此题首先应准确找出全等三角形,然后再寻找满足全等的条件。敏锐的观察力是识图能力的一个重要方面,丰富的想象力是证明问题的起点。

三、组合型

例3如图3,给出五个等量关系:①AD=BC;②AC=BD;③CE=DE;④∠D=∠C;⑤∠DAB=∠CBA。请你以其中两个为条件,另三个中的一个为结论,写出一个正确论断(只需写出一种情况),并说明理由。

解析本题提供了五个等量关系,从中选择两个作为条件,另一个作为结论,写一个正确论断,这可以借助全等三角形的知识解决。因为选两个等量关系,所以还需要从图形中寻找隐含的相等关系才能说明三角形全等。如选①AD=BC、②AC=BD,再加上公共边AB=BA,可得到△ABD≌△BAC,所以有④∠D=∠C;如选③CE=DE、④∠D=∠C,再加上对顶角∠DEA= ∠CEB,可得到△DEA≌△CEB,所以有①AD=BC。还可得到其他一些情况,请你试一试。

如图3,已知AD=BC,AC=BD,求证:∠D=∠C。

证明:在△ABD和△BAC中,AD=BC,AC=BD,AB=BA, ∴ △ABD≌△BAC。

∴ ∠D=∠C。

四、实际应用型

例4 如图4,某同学把一块三角形的玻璃打碎成三块,现要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事的办法是 ()。

A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去

解析这里所说的最省事的办法当然是指在破碎的三块玻璃中,能只带其中一块或两块去配就行。通过对三块玻璃①、②、③的观察,根据三角形全等的判定定理“ASA”,可知③中含有原三角形玻璃的两个角和夹边,这样就可确定三角形的形状。因此,只需带③去配就行,即应选C。

点评本题是一道实际生活问题,要灵活运用所学三角形的基本知识,并注意与生产实践相结合。运用数学知识解决一些实际问题,也是近年来中考命题的一个方向。

五、方案设计型

例5如图5,是一个正方形的门窗,在装修房屋时,为了把它设计成美观大方的图案,设计师要求在正方形中设计若干个全等的三角形,使其面积之和等于正方形的面积,请你按要求在正方形中画出你的设计图形。

解析此问题答案不唯一,设计方案多种多样,给解答者留有充分的思考余地和创新空间,下面根据全等三角形性质给出几种设计图形供参考(如图5-1、图5-2、图5-3所示)。有兴趣的同学,还可以另外设计一些其他图形。

■

篇10：全等三角形基础证明题

B D

2.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD

12AB

3.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠

24.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：EF=AC

5.已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

B

6.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：

AE=AD+BE

7.已知：AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD

B

D

8.已知：D是AB中点，∠ACB=90°，求证：CD

AB B

9.已知：BC=DE，∠B=∠E，∠C=∠D，F是CD中点，求证：∠1=∠2

10.已知：∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证：

EF=AC

已知：AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：∠B=2∠C

B

已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：

AE=AD+BE

如图，四边形ABCD中，AB∥DC，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，且点E在AD上。求证：BC=AB+DC。

已知：AB//ED，∠EAB=∠BDE，AF=CD，EF=BC，求证：∠F=∠C

14.已知：AB=CD，∠A=∠D，求证：∠B=∠C

15.P是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证：PC-PB

A

D

16.已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：

AC-AB=2BE

17.已知，E是AB中点，AF=BD，BD=5，AC=7，求DC

11.12.12.13.18．（5分）如图，在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：AD⊥BC．19．（5分）如图，OM平分∠POQ，MA⊥OP,MB⊥OQ，A、B为垂足，AB交OM于点N．

求证：∠OAB=∠OBA20．（5分）如图，已知AD∥BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连

线交AP于D．求证：AD+BC=AB．

P

E D

A

B21．（6分）如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD，求证：∠C=2∠BA

C

DB22．（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．（1）求证：MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

23．（7分）已知：如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，（1）求证：△AED≌△EBC．

（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：

A

E

D

BC

24．（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长

线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F． 求证：BD=2CE． F

A E

B

C25、（10分）如图：DF=CE，AD=BC，∠D=∠C。求证：△AED≌△BFC。DEFC

AB26、（10分）如图：AE、BC交于点M，F点在AM上，BE∥CF，BE=CF求证：AM是△ABC的中线。

A。

F

B

MC E27、（10分）如图：在△ABC中，BA=BC，D是AC的中点。求证：BD⊥AC。A

D28、（10分）AB=AC，DB=DC，F是ADBC AD

BC29、（12分）如图：AB=CD，AE=DF，CE=FB。求证： AF B F

E

CD

30.公园里有一条“Z”字形道路

ABCD，如图所示，其中AB∥CD，在AB，CD，BC三段路旁各有一只小石凳E，F，M，且BE＝CF，M在BC的中点，试说明三只石凳E，F，M恰好在一条直线上.31．已知：点A、F、E、C在同一条直线上，AF＝CE，BE∥DF，BE＝DF．求证：△ABE≌△CDF．

32.已知：如图所示，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，求证： AE＝AF。

33．如图，在四边形ABCD中，E是AC上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，求证: ∠5=∠6．

A C

34．已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：△ABC≌△DEF．

35．已知：如图，AB=AC，BDAC，CEAB，垂足

分别为D、E，BD、CE相交于点F，求证：BE=CD．

B E

A 36.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F。

求证：DE=DF．

37.已知：如图, ACBC于C , DEAC于E , ADAB于

= 5 ,求AD 的长？

38．如图：AB=AC，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分别为

E、F，A

C39.如图，给出五个等量关系：①ADBC ②ACBD

③CE

DE ④DC ⑤DABCBA．请你以其中两个为条件，另三个中的一个为结论，推出一个正确的结论（只需写出一种情况），并加以证明． 已知：求证：

证明：

B

40．在△ABC中，ACB90，ACBC，直线MN经过点C，且ADMN于D，BEMN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时，求证： ①ADC≌CEB；②DEADBE；

(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，说明理由.41．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE=AB，AF=AC。求证：（1）EC=BF；（2）EC⊥

BF

F

C

42．如图：BE⊥AC，CF⊥AB，BM=AC，CN=AB。求证：（1）AM=AN；（2）AM⊥AN。

43．如图,已知∠A=∠D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BC∥EF

44．如图,已知AC∥BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过点E，则AB与AC+BD相等吗？请说明理由

45、（10分）如图,已知: AD是BC上的中线 ,且DF=DE．求证:BE∥CF．

46、(10分)已知：如图，AB＝CD，DE⊥AC，BF⊥AC，E，F是垂足，DEBF． 求证：AB∥CD．

D C

A B47、(10分)如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AB=CD

A

DBC48、(10分)如图，已知AC⊥AB，DB⊥AB，AC＝BE，AE＝BD，试猜想线段CE与DE的大小与位置关系，并证明你的结论.E49、(10分)如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE，求证：AE＝DE.50．如图9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC边上的中线，过C作AD的垂线，交AB于点E，交AD于点F，求证：∠

ADC＝∠BDE

E