数学模型

数学模型（精选十篇）

数学模型 篇1

大的物体当r→0时，万有引力F是无穷大?学习电容时，不少学生问：是不是C与Q成正比，与U成反比?等等类似的问题。

出现这些问题的原因首先当然是还没有物理规律从而建立正确的物理模型，还有一方面的原因是学生受已建立的数学模型的干扰，也就是说很多学生不能正确地区分数学模型和物理模型。先入为主的数学模型及其有关的教学思想、数学方法必然对其的物理模型的建立及应用产生影响。物理教学实践表明，特别是形似名同的模型，不仅产生消极的干扰物理模型建立，而且干扰运用物理模型解决有关问题。我就物理模型与数学模型的联系与区别谈一下自己的见解。

一、物理模型与数学模型的关系

在物理课程的学习中物理中的全部定律及其公式是对物理模型的刻划。离开了物理模型，对物理的学习就寸步难行。而物理模型与数学模型有密切的关系，数学模型有几何点的模型，物理就有质点;点电荷与之对应，数学上有线、面、体，物理上就有光线、磁力线、电力线。面电荷、刚体等数学上有无穷大，无穷小，无限可分;物理上也有有无穷大，无穷小，无限可分。物理关于模型的研究为数学提供了现实模型，数学模型的抽象又为解决物理问题提供了途径。

二、物理模型与数学模型的本质区别

物理模型与数学模型的本质区别源于物理与数学这两门有严格科学体系的学问的不同的本质特征。高度的抽象性是数学的基本特征。数学的抽象程度大大超过物理的一般科学抽象，数学抽象仅仅保留量的关系和空间形式。而舍弃其它一切，数学完全放弃了对具体现象的研究而去研究一般性质，在抽象的共性中考察这些系统本身，而不管它们对具体现象的物质界限。物理的研究对象是客观世界的物质及其的运动规律，通过实践具体地研究物体、物质、物理现象、物理教程的本质属性，研究物理现象之间的客观的内在联系，物理学中的物理模型正是顺应这种需要，从真实物体抽象出来的，并经受过实践的严格检验。如果说数学家证明自己的诊断只需推理和计算，那么物理学家为了证明自己的诊断常常求助于实验。

数学模型的高度抽象的共性与物理模型的一般抽象的特殊性，数学模型高度的思辨性与物理模型彻底的实践性，数学模型应用广泛的适应性与物理模型应用具体的局限性。这些正是两者之间的最基本的本质区别。因此，运用数学思想、方法来研究、解决物理问题，不能不受到物理条件的限制，不能不受到物理概念、物理规律的制约。

如，以数学上的几何点与物理上的点电荷这两个模型就是本质上不同的两个模型。

首先，几何点仅仅是一种空间形式，点电荷是携带电荷的空间形式。孤立的点电荷在真空中产生强度的电场。正是在这个意义上有人把点电荷称为带有电荷的几何点。

其次，没有大小的几何点是绝对的，而点电荷模型成立与否是相对的。任何带电体都有一定大小和形状。如果在研究有关问题时，带电体的大小形状可忽略不计，那么带电体就可以看作点电荷。其本身不一定很小，很小的带电体也不一定能看作点电荷。例如两个巨大的带电恒星，由于其间距离远远大于它们的直径，在研究两者之间的相互电作用时，在一定意义上，可以看作点电荷。而两个直系为1毫米的带电小球在其间距离为5毫米时，也不一定能看作点电荷。那种认为随着r→0，点电荷的电场强度将越来越来大并趋于无穷的观点混淆了数学模型与物理模型的本质区别，是错误的。当r→0时，带电体不能再看作点电荷，而需要建立新的模型，运用新的计算方法来解决有关问题。

又如物理学中还有一类模型与数学模型有相同的名称，如无限大、无限小、无限可分等。这类模型，名称相同，本质也不相同。为了强调两者之间的区别，物理学中又有物理无限大、物理无限小、物理无限可分等叫法。这类数理模型有以下区别：

(1) 数学上描述的是抽象的数形，而物理上描述的是具体的物理量。

(2) 数学上描述的是无限、无界的变化过程，而物理上描述的往往是有限、有界的情况。如把一米尺日截其半，以致无穷，这就是无限可分的数学思想。从宏观上看，尺的长度是连续的、均匀可分的。从微观上看，物体是由分子构成的，是不连续的，不能均匀可分的。因此在分子尺度范围内谈论日截其半毫无意义，谈不上无穷可分。再如匀速直线运动指的是在一条直线上运动的物体，在任意相等的时间间隔里作位移都相等的运动。任意相等，从数学意义上看时间间隔可理解为十分之一秒、百分之一秒，等等，无限可分下去。但在实际测量中，时间间隔小于测量仪器的精度就失去了实际意义。

(3) 数学上是绝对的，物理上是相对的。相对地球上生物是无限大的地球，在银河系却是无限小的几何点。再如宏观上无限小的物体却是微观上的无限大。因此物理上有一种宏观上无限小微观无限大的模型。

用数学模型思想方法解决初中数学 篇2

三星初中

丁慧

随着新课改的进步落实，素质教育全方位、深层次推进，数学学科要求学生具有较高的数学素质、数学意识和较强的数学应用能力。而数学实际应用问题具有这种考查功能。它不仅具有题材贴近生活，题型功能丰富，涉及知识面广等特点，而且其应用性、创造性及开放性的特征明显。新课标把探索培养学生应用数学知识和数学思想方法解决实际问题的能力已落实到各种版本的数学实验教材中去了。今天社会对数学教学提出更高要求，不仅要求培养出一批数学家，更要求培养出一大批善于应用数学知识和数学思想方法解决实际问题的各类人才。初中阶段是探索和培养各类数学人才的黄金时段，而把实际问题转化为数学问题又是绝大多数初中学生的难题，如果在教学中我们有意识地运用数学模型思想帮助学生克服和解决这一难题，那么学生就会摆脱实际应用问题的思想束缚，释放出学习和解决实际应用问题的强大动力，激活创造新思维的火花。

把实际问题转化为一个数学问题，通常称为数学模型。数学模型不同于一般的模型，它是用数学语言模拟现实的一种模型，也就是把一个实际问题中某些事物的主要特征，主要关系抽象成数学语言，近似地反映客观事物的内在联系与变化过程。建立数学模型的过程称为数学建模。它主要有以下三个步骤：①实际问题→数学模型；②数学模型→数学的解；③数学的解→实际问题的解。对初中学生来说，最关键最困惑的是第一步。

一、初中学生解决实际应用问题的难点

1.1、缺乏解决实际问题的信心

与纯数学问题相比，数学实际问题的文字叙述更加语言化，更加贴近现实生活，题目也比较长，数量也比较多，数量关系显得分散隐蔽。因此，面对一大堆非形式化的材料，许多学生常感到很茫然，不知如何下手，产生惧怕数学应用题的心理。具体表现在：在信息的吸收过程中，受应用题中提供信息的次序，过多的干扰语句的影响，许多学生读不懂题意只好放弃；在信息加工过程中，受学生自身阅读分析能力以及数学基础知识掌握程度的影响，许多学生缺乏把握应用题的整体数学结构，并对全立体结构的信息作分层面的线性剖析的能力。即使能读懂题意，也无法解题；在信息提炼过程中，受学生数学语言转换能力的影响，许多学生无法把实际问题与对应的数学模型联系起来，缺乏把实际问题转换成数学问题的转译能力。

数学建模问题是用数学知识和数学分法解决实际生活中各种各样的问题，是一种创造性的劳动，涉及到各种心理活动，心理学研究表明，良好的心理品质是创造性劳动的动力因素和基本条件，它主要包括以下要素：自觉的创新意识；强烈的好奇心和求知欲；积极稳定的情感；顽强的毅力和独立的个性；强烈而明确的价值观；有效的组织知识。许多学生由于不具备以上良好的心理品质因而对解决实际问题缺乏应有的信心。

1.2、对实际问题中一些名词术语感到生疏

由于数学应用题中往往有许多其他知识领域的名词术语，而学生从小到大一直生长在学校，与外界接触较少，对这些名词术语感到很陌生，不知其意，从而就无法读懂题，更无法正确理解题意，比如实际生活中的利率、利润、打折、保险金、保险费、纳税率、折旧率、移动电话的收费标准等概念，这些概念的基本意思都没搞懂。如果涉及到这些概念的实际问题就谈不上如何去理解了，更谈不上解决问题。例如“五•一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票．经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前a分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y（人）与检票时间x（分钟）的关系如图所示．（1）求a的值．

（2）求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数．（3）若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？

本问题就涉及到学生不太熟悉的名词术语：等，若让学生自己到车站体验一下了解这些名词的意思完全弄明白后，教师再分析讲解，学生就易搞懂了。

1.3对数据处理缺乏适当的方法

许多实际问题中涉及到的数据多且杂乱，学生面对如此多而杂乱的数据感到无从下手，不知应把哪个数据作为思维起点，从而找不到解决问题的突破口。例如：某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元。

⑴求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少？⑵若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠（即原价的90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由。本问题涉及到的量有：每天需用面粉6吨，每吨面粉价格1800，购买面粉运费每次900元，保管每吨面粉每天3元，所求的问题⑴多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？⑵是否考虑9折优惠，条件是每次购进面粉不少于210吨？在这诸多量中，到底从哪个量入手建立怎样的数学模型来解决问题？许多学生是一片茫然。

1.4缺乏将实际问题数学化的经验

数学模式的呈现形式是多种多样的，有的以函数显示、有的以方程显示、有的以图形显示、有的以不等式显示、有的以概率显示，当然，还有其他各种形式的模型，具体到一个实际问题来讲，判断这个实际问题与哪类数学知识相关，用什么样的数学方法解决问题，是学生深感困难的一个环节。

例如：某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，1997年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元，以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的2/3，根据测算，该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题，达到8000万元可以达到小康水平。

⑴若以1997年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是哪一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？⑵试估算2005年底该乡能否达到小康水平？为什么？

根据调查结果，学生阅读了以上题目，问其想到了什么数学知识，许多学生答不出来。我认为答不出的主要原因就是学生存在把主要语言换成数学语言的转换障碍。数学语言主要指数学文字语言，图形语言和符号语言，是数学区别于其他学科的显著特征，数学语言简练、抽象、严谨。甚至有些晦涩。如“函数，形式简练但十分抽象，许多学生由于过不了数学语言关，符号化意识弱，无法把普通语言转化成数学语言，从而无法将实际问题建立起数学模型。

二、用数学建模解决实际问题的要点及方法

2.1根据经验，解决一个实际问题重点要过好三关：事理关，读懂题意，知道讲的是什么问题；文理关：需要将“问题情景“的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达关系；数理关：在构建数学模型的过程中，要求学生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题转化。总之，实际应用问题的难点是：“问题情景的数学化”。因此必须强化训练学生的“阅读理解语言的能力”“分析问题的能力”和“数学抽象化能力”这样才能剥去“实际应用问题”的神秘面纱，还学生数学之真面目。

2.2数学建模遵循如下程式（或流程）

①审题：审题是建模的起步，审题分为读懂和加深理解两个层次，把“问题情景译为数学语言，找出问题的主要关系。②建模：把实际问题主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题；③解模：把数学问题化为常规问题，选择合适的数学方法求解。④检验：对求解的结果进行验证或评估，对错误加以调节，或将结果应用于现实，作出解释或预测。其程式如下：

三、克服数学建模困难的对策

针对学生解决实际应用问题的困难以及解实际应用问题的思路和方法，我认为在平时的应用题教学中应重视对学生进行数学应用意识的培养。如数学语言，数学阅读理解等要有计划，有针对性地训练和培养，具体地讲，应抓好以下几个方面的教学。

3.1着力培养学生的自信心

一个人的自信心是他能有效地进行学习的基础，更是他将来能适应经济时代必备的心理素质。基于这样一个事实，许多国家都把对学生自信心的培养作为数学教育的一个基本目标。因此，在平时教学中，应加强实际问题的教学，使学生从自身的生活背景中发现数学，创造数学，运用数学，并在此过程中获得足够的自信。例如：我曾经安排学生个人或小组到银行去调查储蓄存款利息计算方法：让学生学会选择储蓄存款的最佳期限：假设向银行存款1000元，试计算5年后可得的利息金额，存款方式为⑴5年定期，整存整取；⑵1年定期，每年到期后本息转存；⑶先存2年定期，到期后本息转存3年定期；⑷半年定期，每次到期后本息转存，以上存款方式哪种所得利息最多？试用数学原理说明所得结论，这次活动学生兴趣很高，在没有任何强制要求下，学生们个个都去银行调查并根据调查数据计算出了存款得息最多的方案。用数学原理解释说明也十分中肯。从这个例子看出，教师在教学中如果注意联系身边的事物，让学生体验数学，并尝到成功的乐趣，对激发学生的数学兴趣，培养学生的数学应用意识以及解决实际问题的自信心是非常重要的。

3.2培养学生阅读理解能力，使学生逐步学会数学地阅读材料了解材料

通过数学阅读，能促进学生语言水平的发展以及认知水平的发展，有助于学生探究能力和自学能力的培养；通过数学阅读，有助于学生更好地掌握数学。前苏联著名数学教育家斯托利亚尔指出“数学教学也就是数学语言的教学“，因此，从语言学习的角度讲，数学教学也必须重视数学阅读，作为数学教师，不仅要重视培养学生的阅读能力，还要注重教给学生科学有效的阅读方法，让学生认识到数学阅读的重要性使学生体验到数学阅读的乐趣及对学习的益处。从而在兴趣和利益的驱动下自觉主动地进行数学阅读。具体地讲，强化阅读能力的培养，教学时要注意以下几个方面：（1）让学生学会说题。所谓说题，就是让学生通过阅读题目后，进行分析思考，说出题目提供的信息条件，现象过程，解题思路及应采用的规律方法等等。教学中可让学生通览全题说题目的要素，也可让学生剖析字句，说题目的条件；还可让学生形成解题思路后说解题步骤；（2）组织适当的课堂探究交流，课堂探究交流常常需要教师给出一个中心议题或所要解决的问题，学生在独立思考的基础上，以小组或班级的形式围绕议题发表见解、互相讨论；实践证明，课堂探究交流为师生之间，同学之间的多向交流提供了一个很好的平台；探究交流对学生独立活动的自由度增大，可以运用数学语言进行提问、反驳、论证、收集材料，统计数据等多种活动并与别人的思想进行比较，以达到更深层次的理解和掌握。因此，课堂探究交流不仅适合培养学生的交流能力，还有助于激发学生的学习兴趣，增进对知识的理解；（3）创设写数学的机会，让学生“写数学”，就是要学生把他们学习的数学心得体会，反思和研究结果，用文字的形式表达出来，并进行交流。例如：可让学生写知识小结、解题反思、调查报告和小论文等，这样做不仅可以提高学生的数学写作，阅读能力和理解能力，而且可以进一步提高学生的数学的学习水平与探索研究能力。

3.3构建知识网络，强化从整体的角度选择思维起点的能力，数学实际问题最突出的特点就是数据多，变量符号（字母）多，数量关系隐蔽而且数据具有“生活实际”的本来面目，并非“纯数学化”的数据。学生对数据的感悟能力较差，对已知所求之间的数量关系比较模糊，如果从局部入手，则头绪纷繁，不易突破，但若能从客观上进行整体分析，抓住问题的框架结构与本质关系，常能出奇制胜，找到解决问题的方法。具体的讲可以运用结构数据表格的整合信息，理顺数量间的关系，从而建立相应的数学结构，凸显数学“建模”。

3.4加强数学语言能力的培养对学生数学语言能力的培养包括两个方面的内容：一是掌握数学语言，包括：①接受——看（听）得懂，能识别、理解解释弄清数学问题的语言表达，并能转化为具体的数学思想，能用自己的语言复述、表达；②表达——写（讲）得出，能将自己解决数学问题的观点、思想、方法、过程用恰当的语言标准流畅地表达出来，并且在表达中名词述语规范、准确、合乎逻辑。二是帮助学生掌握好非数学语言与数学语言之间，各种数字语言的互译、转化工作。加强对学生数学语言能力的培养，主要做好一下两方面的工作，首先，要加强语义、句法的教学。斯托利亚尔指出：“这两方面都很重要，如果只限于语义一中，那么数学将不会使用形式的数学工具，进而不会用它们解决问题。如果只限于句法一种，那么学生将不理解数学语言表达的意义，不能把非数学的问题转化为数学问题，他们的知识将是形式主义的、无益的。”在教学中可以利用以下方法加强学生对语义、句法的理解：（1）借助于语文知识中句子的扩写或缩写来帮助理解。如“对顶三角相等”扩写成：“如果两角是对顶角，那么这两个角相等”，再如：“连接两点的线段的长度叫这两点间的距离”，可先诱导学生找出句子的主、谓、宾语，再读缩句，即句子的主干，这样学生就加深了对“距离”的理解，“距离”是“长度”，是“正的数量”而不是“形”——线段（2）借助于“打比方”帮助理解。如数学中的“直线”可比喻为孙悟空的“金箍棒”，既不失科学性，又能使学生印象深刻，理解透彻。（3）运用比较法帮助理解，如学习“二次根式”的加减运算时，与已学过的“整式”的加减运算作比较，得知相同点就是“合并”不同点就是“同类二次根式”与“同类项”（4）多角度理解，如相反数时，从定义角度理解：分别求-

3、-

5、0的相反数，相反数是10的数是什么？从数轴的角度理解：数轴上什么样的两数互为相反数？从绝对值角度理解：符号、绝对值怎样的两数互为相反数？从运算角度理解：相加得0的两数互为相反数吗？通过这样的多角度直观，强化理解。其次，要加强数学语言的互译的训练。数学概念、定理、公式、法则等往往是通过一种语言表述的。而学生要真正理解和运用它们，则必须要能灵活运用三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）进行表述。例如，平面几何中的定理都是用文字语言表述的，但是证明时的论证需借助符号语言来表达，其间图形语言作为文字语言和符号语言的必要补充，为数学思维提供直观模型。因此，在平面几何的教学中必须注重对三种语言的转化训练，对书上的每一定理都要求能够作出对应图形，并能用符号语言写出对应的几何译式。

3.5优化教学设计，教学策略。

传统教学中，教学过程基本上由教师控制，教学设计只关注对传授——接受过程的优化，而很少关注改变学生学习方式，学生接受的只是一些数学结论，对数学问题是怎样提出的，概念是如何在具体情景中形成的，结论怎样探索和猜测到的，证明的思路和计算的想法是怎样得到的，结论的作用和意义是什么？很少关注。因而无法实现学生的数学学习由被动接受“结果”向主动积极构建“过程”的转化。一碰上实际问题，就茫然不知所措。为改变这一高耗低效的课堂，教学设计应注重创造问题情景，开发教学媒体，提供学习资源，优化学习环境。在指导学生学习策略上：一是变学生“仓库式”学习为“蜂蜜式”学习，二是变学生由知识学习为体验学习、发现学习。因此教学设计不仅要关注“基础知识”传授，更要关注如何向学生提供真实情境，模拟情境向学生展现“春天的原野”，让学生体验尝试，发现探究。让学生博采广撷，自我“酿蜜”；优化教学设计离不开研究学生的数学学习心理，摸清学生的学情，否则，教师无法有针对性地提供给学生解决数学实际问题的思想和方法。

3.6开发教材潜能，创造性地用好教材

教材是教与学的依据，也是教学问题的题源。教材中的例题、习题是经过反复筛选精编而成，看似寻常，实则内涵丰富。有不寻常的价值和应用功能，教师要充分发挥、挖掘教材中例、习题的作用，在教与学中创造性地设置教学情景，并适时地“深挖洞”或“广积粮”形成以问题为中心展开教学，使学生真正理解掌握知识的产生、形成和发展过程。对例题，习题的教学中采取一题多解（多角度、多方位、多层次）的形式，容易的题精讲，旧题新讲，小题大讲（深入挖掘、一题多变、一题多解、一题多用）如果老师教学时在处理上述问题原形时，不引导学生进行横向扩展纵向延伸，学生在面对实际问题时是很难解决的。因此，教师要创造性地使用好教材中的例题、习题，在布置练习时要减少一些“死”的书面作业，增加一些“活”的实践性、开放性、探究性作业。对教材中的概念、公式、法则、定理不仅要求熟记，而且要弄清背景和来源，以及与其他知识的联系，注重教材中概念、公式、法则、定理的提出、知识的形成。发展过程、解题思路的探索过程，解题规律和方法的概括过程，为学生创建了解决实际问题的基石和搭建了登高望远的平台。

数学模型与数学分析 篇3

一、他人的经验及方法

把一定数量的物品平均分给一定数量的人，每人少分，则物品有余（盈）；每人多分，则物品不足（亏）。已知所盈和所亏的数量及两次每人所分的数量，求人数的应用题叫盈亏问题。

盈亏问题的基本解法是：份数=（盈+亏）÷两次分配数的差；

物品总数=每份个数×份数±盈亏数。

解答盈亏问题的关键是要求出总差额和两次分配的数量差，然后利用基本公式求出分配人数，进而求出物品的数量。

趣味数学之《木长几何》——《孙子算经》里有这样一道题：今有木，不知长短。引绳度之，余绳四尺五，屈绳量之，不足一尺。木长几何？（屈绳的意思是把绳子对折，度是量的意思，四尺五是4.5尺）

分析：用绳量木，绳子多出4.5尺，把绳对折再量，绳子又短1尺，可推出单股绳子比对折起来长5.5尺，多出的5.5尺正好是绳子的一半（如图）。

解答：绳子的长度：（4.5+1）×2=11（尺）

木料的长度：11-4.5=6.5（尺）

答：（略）

分析中，“用绳量木，绳子多出4.5尺，把绳对折再量，绳子又短1尺，可推出单股绳子比对折起来长5.5尺。”这里用到了一点点“盈亏问题”。为什么这样说呢？遇到类似问题还能用这种方法解答吗？请关注下面的内容。

二、建立数学模型

他人的方法及经验看似简单易行，可事实并非如此。学生机械地套用公式，并不完全理解解题思路，题目稍加变化，他们又束手无策了。

笔者引导学生先分析并找出“盈亏问题”的特点——它就是两种有余数的除法，再根据有余数除法各部分间的关系，建立“盈亏问题”总的数学模型：

“盈亏问题”总的数学模型中两次被平均分的总数——被除数是一定（不变）的；平均分的标准不同，我们归纳为两种，即除数1和除数2；分得的结果中的份数——商也是一定（不变）的，分得的结果中的余数——盈亏数则不同，我们把它们分别定义为余数1和余数2。当被除数和商不变时，除数变大，余数则会变小，反之。

两次分得的余数之间的差，我们把它定义为“总差”，两次平均分的标准之间的差，我们把它定义为“小差”。正因为有分得的结果之一“商”那么多个“小差”才汇成最后结果之二“余数”间的“总差”，即“小差×商=总差”。于是，关键问题“商”就得到解决：商=总差÷小差。

如“幼儿园买来一些玩具，如果每班分7个玩具，则多出2个玩具；如果每班分10个玩具，则差13个玩具，幼儿园有几个班？这批玩具有多少个？”的数学模型：

三、进行数学分析

根据建好的数学模型，我们进行“盈亏问题”的数学分析：

从上面的模型中可以看出：

第二种分法的总个数比第一种分法的总个数多（2+13）个为“总差”，第二种分法比第一种分法每班多分（10-7）个为“小差”，每班多分的“小差”乘班数就等于最后的“总差”。由此可以求出幼儿园共几班这个关键问题。

这个幼儿园有（2+13）÷（10-7）=5（班）

求出了模型中的商，再根据有余数的除法中“被除数=商×除数+余数”就可求出这批玩具共有多少个了。

这批玩具有7×5+2=37（个）或10×5-13=37（个）

答：（略）

四、适时推广应用

我们通过建立数学模型和进行数学分析，掌握了“盈亏问题”的解题方法，适当增加难度，加以推广应用。

1.用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多5米，如果绳子三折时，差1米。求绳子长度和井深。（提示：绳子两折即把绳子平均分成两份，三折即三股。）

很明显，该题不能用“他人的经验及方法”之《木长几何》的方法来进行解答。而《木长几何》题目却能用“盈亏问题”的模型来进行分析和解答。

2.小宏从家到校上学，出发时他看看表，发现如果每分钟步行80米，他将迟到5分钟；如果先步行10分钟后，再改成骑车每分钟行200米，他就可以提前1分钟到校。问小宏从家出发时离上学时间有几分钟？

观察分析，这两题都属“盈亏问题”，只是题中的“盈亏（余数）”不是现成的，需要首先求出。

第1题的数学模型及数学分析：

井深：（5×2+1×3）÷（3-2）=13（米）

绳长：2×13+5×2=36（米）或（13+5）×2=36（米）

答：（略）

《木长几何》数学模型及数学分析：

木长：（4.5×1+1×2）÷（2-1）=6.5（尺）

绳长：6.5+4.5=11（尺）或（6.5-1）×2=11（尺）

答：（略）

通过比较《木长几何》的两种方法，我们发现，他人的经验及方法具有局限性，只能用于特例；而我们的“盈亏问题”模型具有通用性，只要是“盈亏问题”都能用它来解答。

第2题的数学模型及数学分析——

“余数1”：80×5=400（米）

求“余数2”步骤多一些。

①10分钟的步行改成骑车要提前：10-80×10÷200=6（分）

②假如他骑车一直骑到上学时间到时会多行：200×（6+1）=1400（米）

“余数2”也可：（200-80）×10+200×1=1400（米）

小宏从家出发时离上学有：（400+1400）÷（200-80）=15（分）

答：（略）

我相信，只要坚持让学生按数学模型来读题、抄题，数学分析就更加容易和明了，他们就会更好地解决各种数学难题。

参考文献：

何升根.也谈“一类盈亏问题的解法”[J].小学教学参考：教学版，2006（35）：45.

通用数学解题模型 篇4

一、通用数学解题模型

解决数学问题的思路有两个方向, 第一个方向是通过阅读题目获取已知条件, 结合所学知识从已知条件推理出一些新的条件, 再整合这些条件直至到达待解决问题;第二个方向是从待解决的问题出发, 逐步思考要解决待解决问题需要什么条件, 解决这些所需要的条件又需要什么条件, 直至到达由阅读所获得的已知条件.如果经过以上两个方向仍不能打通思路, 可以考虑把两个方向结合起来.当思路打通时, 剩下的问题就是把已知条件和未知条件联系起来写一写的具体过程.为了能更好地使学生掌握通用的数学解题方法, 本人构建了通用的解题模型图 (见图1) .

二、解决数学问题的三部曲

(1) 阅读题目, 获取题目中的已知条件, 结合已学知识思考, 由这些条件能进一步得到哪些条件, 做到尽量地全面, 如由某个四边形是正方形能得到它的四个角是直角, 四条边相等, 对角线相等且互相垂直平分等等.然后整合这些条件, 逐步到达待解决的问题, 直到问题得以解决.

(2) 如果上述步骤没有把问题解决, 那么可以尝试从待解决问题出发, 看要想解决该问题, 下一步或下下一步需要解决什么问题, 直到和已知条件联系起来, 问题便得以解决.如要想证明某两个角相等, 需要证明这两个角都和某个角相等, 或者需要证明某两条线平行, 或者需要证明它们所在的两个三角形全等, 或者需要证明它们所在的两个三角形相似等等.然后再思考要证明刚才这些问题又需要证明什么, 以此类推, 逐步到达已知条件.当待解决问题和已知条件联系起来时, 问题就得以解决.

(3) 如果经过上述两步还没有把问题解决, 那么再次搜寻题目中的条件或由题目中的条件能得到的条件, 看哪些条件还没发现, 或者哪些可以重复利用, 或者没有利用好, 找到并进一步利用好这些条件, 问题就能得以解决.记住:出题者不会把一些无用的条件随便写在题目中, 做题者也不一定一下子就把握了整个题目的全局.

以上三步可能某一步用不到就把问题解决, 也可能某一步需要重复进行才能把问题解决.每次做题都从以上三步进行, 通用数学解题能力就会习得.

三、解题模型的应用举例

例1老王到商场附近的ATM支取现金.插入磁卡后, 屏幕上出现“请输入您的密码”, 老王在键盘上按往常各密码的位置熟练地按下了六个键, 屏幕提示“密码错误, 请重新输入”.老王默背了一遍密码, 没错呀!老王掏出老花镜戴上, 才发现键盘上的数字是另一种排序 (如下图) 致使末两位密码出错, 老王重新输入后方提出现款.如果老王的密码是自左向右递增, 密码中奇数占一半.请问老王的密码是__________.

解题思路模型图:

解析:按往常各密码的位置熟练地按下了六个键, 说明密码是六位;结合键盘上的数字是另一种排序致使末两位密码出错, 可知前四位密码在新旧键盘上位置没变, 结合密码键盘新旧图可知, 前四位密码是0、4、5和6这四个数字, 再结合密码是自左向右递增这个条件, 可知前四位密码为0456.这四个数字中只有一个奇数, 而密码中有3个奇数且是自左向右递增可知, 末两位密码为7和9.整合前面两个结果, 可知老王的密码为:045679.

总结:通过阅读题目, 获取很多已知条件, 比较这些条件找到突破口.整合这些条件, 甚至重复利用一些条件或重新整合已有条件, 最终就能解决问题.从出题者的角度讲, 正是这多个条件的限制, 才保证我们的答案是唯一的.

例2已知关于x的方程 (a+2) x2-2ax+a=0有两个不相等的实数根x1和x2, 并且抛物线y=x2- (2a+1) x+2a-5与x轴的两个交点分别位于点 (2, 0) 的两旁.

(1) 求实数a的取值范围.

(2) 当时, 求a的值.

解题思路模型图:

解: (1) ∵关于x的方程 (a+2) x2-2ax+a=0有两个不相等的实数根, ∴△= (-2a) 2-4a (a+2) >0且a+2≠0.解之得a<0且a≠-2;又∵抛物线y=x2- (2a+1) x+2a-5与x轴的两个交点分别位于点 (2, 0) 的两旁, 且开口向上, ∴当a=2时, y<0, 即4-2 (2a+1) +2a-5<0, 解得.综上, a的取值范围是.

(2) ∵x1、x2是关于x的方程 (a+2) x2-2ax+a=0的两个不相等的实数根, ∴.

解得a1=-4, a2=-1;经检验, a1=-4, a2=-1都是方程的根.

又∵ (舍去) , ∴a=-1.

总结:题目中的条件实质上就是对问题的限定, 充分利用和转化每一个条件, 就能得到题目的最终答案.另外, 运用一元二次方程根的判别式时, 要注意二次项系数不为零, 运用一元二次方程根与系数的关系时, 要注意根存在的前提, 即要保证△≥0.

总之, 注重过程与方法是基础教育课程改革的亮点, 让学生掌握解题方法是克服题海战术和减轻学生负担的法宝.数学解题能力的实质是问题解决能力, 因此进行数学解题方法的训练其实是对问题解决能力的操练.教师应把数学解题方法及其理念融入日常教学中去.

数学模型 篇5

关键词：微分方程、模型。

本问题主要是分析驾驶员在喝过一定量的酒后，血液中酒精含量上升，影响司机驾车，所以司机饮酒后需经过一段时间后才能安全驾车，国家标准新规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升，小于80毫克/百毫升为饮酒驾车，血液中酒精含量大于或等于80毫克/百毫升为醉酒驾车，司机大李在中午12点喝下一瓶啤酒，6小时后检查符合新标准，晚饭地其又喝了一瓶啤酒，他到凌晨2点驾车，被检查时定为饮酒驾车，为什么喝相同量的酒，两次结果不一样？讨论问题： 1.对大李碰到的情况做出解释；

2.在喝了3瓶啤酒或者半斤低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准，在以下情况下回答：

1）酒是在很短时间内喝的；

2）酒是在较长一段时间（比如2小时）内喝的。3.怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高。

4.根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？

5.根据你做的模型并结合新的国家标准写一篇短文，给想喝一点酒的司机如何驾车提出忠告。

参考数据

1.人的体液占人的体重的65%至70%，其中血液只占体重的7%左右；而药物（包括酒精）在血液中的含量与在体液中的含量大体是一样的。

2.体重约70kg的某人在短时间内喝下2瓶啤酒后，隔一定时间测量他的血液中酒精含量（毫克／百毫升），得到数据如下：

时间(小时)0.25 0.5 0.75 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 酒精含量 时间(小时)30 68 75 82 82 77 68 68 58 51 50 41 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

酒精含量 38 35 28 25 18 15 12 10 7

二、模型假设

1、酒精从胃转移到体液的速率与胃中的酒精浓度成正比。

2、酒精从体液转移到体外的速率与体液中的酒精浓度成正比。

3、酒精从胃转移到体液的过程中没有损失，且不考虑误差。

三、符号说明

k :酒精从体外进入胃的速率； f(t):酒精从胃转移到体液的速率； f(t):酒精从体液转移到体外的速率； X(t):胃里的酒精含量； Y(t)：体液中酒精含量；

V :体液的容积；

K :酒精从胃转移到体液的速率系数；

K :酒精从体液转移到体外的速率系数； C(t):体液中的酒精浓度。

：短时间喝酒情况下进入胃中的初始酒精量。T：较长时间喝酒所用的时间或达到浓度最大值所需时间。

四、模型的分析与建立

（一）、模型分析：

假设酒精先以速率 进入胃中，然后以速率 从胃进入体液，再以速率f(t)从体液中排到体外。

（二）模型建立：找到C(t)与t的关系

用x(t)与y(t)分别表示酒精在胃、体液中的酒精量，c(t)表示酒精在体液中的浓度。根据前面的假设可知：

1.对胃建立方程：

dx(t)=k0dt-f1(t)dt

可得：

利用一阶线性常微分方程求解，可以得到；

又因为，联合式可得：

2又对中心室可建立方程组如下；

同理：

因为，将其代入上式可得到：

利用微分求解：

又酒精浓度为酒精量与体液容积之比，即：

（其中

，，）。

（三）模型的讨论：

情况一

1当酒是在较短时间内喝时 此时有。由上可得：，因此有：

（其中）设K1>K2,因此可认为：

利用数表一：（喝下两瓶啤酒 取0.25小时以后）通过Matlab进行曲线拟合可得：

>> t=[ 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16];y1=[82 77 68 68 58 51 50 41 38 35 28 25 18 15 12 10 7 7 4];y2=log(y1);polyfit(t,y2,1);

ans =

-0.1940

4.7753

，根据查阅资料可知：一瓶啤酒的酒精量一般为640ml，密度为810mg/ml酒精浓度不超过4.5%，所以两瓶啤酒的酒精总量

由于体重为70kg,体重的65%左右，体液密度为1.05mg/ml 毫克/百毫升。由 可求得：。

可得短时间内喝下两瓶啤酒时关系式如下；

用Matlab软件画出图形为：

情况二

1当酒是在较长时间内喝时

我们可将其进行分段讨论。当t 时，同样可以得到：T为喝酒总用时，取2小时。此时，x（0）=0，y（0）=0

因为：

可知

由上式可以求得：

A =277.50259 B3=28.0386772 所以可得 :

2当t 时，则此时血液中的浓度与时间关系式如下：

其中

综上所述，可得，当 时

五、问题的解答

问一：

假设大李第一次喝酒是在短时间内喝的，根据所建立模型，符合情况一

（一瓶啤酒）当 时，可以求得，小于200mg/百毫升，所以第一次检查时不是饮酒驾驶。

紧接着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨2点才驾车回家，又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车。第一次喝完6小时后残余18.2778mg/百毫升，又过8小时残余3.92mg/百毫升，因此晚六点喝酒不是短时间喝完，因此可知，18.2778+3.92=22.1978＞20。因此为饮酒驾车。

问二

（1）当酒是在较短时间内喝时，符合情况一

所以：三瓶啤酒时

当 时，可求得。

所以当驾驶员在较短时间内喝下三瓶啤酒时，必须经过11.261小时后开车才不会被认为是饮酒驾车。

（2）当酒是在较长时间内喝时，符合情况二

当 时，可以求出 小时，所以当驾驶员在较长时间（T为二小时）喝下三瓶啤酒后，必须经过13.407小时后开车才不被认为是饮酒驾车。问三：

（1）短时间内喝酒时，符合情况一

当 的导数等于0时，可解得：

所以当t=1.23时，取得最大值。（2）、当酒是在较长时间内喝时，符合情况二 在第二小时时含量最高。问四: 假设天天喝酒,每次喝酒为短时间喝完。C（t）= ＜20，可知n＜2 即每天喝小于两瓶符合。

给司机朋友的忠告

司机朋友，适量饮酒有益健康，过多地饮酒对身体的不利影响很大，特别是肝，容易患酒精肝，对心脏也不好。所以建议你喝酒时不要空腹，适量吃些小菜，下酒菜吸收酒精，这样有助于保护你的胃。在你感觉身体不舒服时,不能喝酒。每次喝酒最好一瓶，对车辆的驾驶人员,出车前不能饮酒。司机喝完酒后最好6小时后出车。有些司机朋友可能会问，为什么喝完酒后不能驾车﹖科学家曾做过实验，一个人喝完酒后的反应速度大大降低，这样就加大了交通隐患，这样既不利于您自身的安全，而且也对周围的交通和社会造成了威胁。

掌握好饮酒时间,这不仅对您身体和健康有利，也是对他人生命的负责。希望广大的司机朋友们看了这篇文章后能有所启示，适量的饮酒。

参考文献

[1]李南南

吴清 曹辉林

MATLAB简明教程

北京：清华大学出版社，2006 [2] 朱道元主编

数学建模案例精选

北京：科学出版社，2003 [3] 赫孝良等[选编]

数学建模竞赛赛题简析与论文点评

体会数学模型思想 篇6

一、接触数学模型——“鸡兔同笼”问题

“鸡兔同笼”问题（如图1）是一个经典名题，在许多教材中都出现过，对于我们七年级的学生而言，解答这一问题，可以让我们从已有的经验出发，利用二元一次方程组列式简单、易于理解的特点，经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释和应用的过程，体会数学模型思想，提高举一反i的应用能力.

我国古代数学著作《孙子算经》中介绍过“鸡兔同笼”问题：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何，意思是：有若干只鸡和兔在同一个笼子里，从上面数有35个头，从下面数有94只脚，笼子中的鸡和兔各有多少只？

据说在日本也有类似的问题，如“龟鹤同游”问题：龟鹤同游，共有40个头，112只脚，龟和鹤各有多少只？类似的问题还有很多，如“人狗同行”问题等.

观察图2，再经过比较不难发现，这类问题有着相似的特征，即鸡、鹤、人都有2只脚，兔、龟、狗都有4只脚，这就给我们这样的启示：应当存在一种通用的解题方法，对于上述三个问题及与之类似的问题都是适用的.

基于以上分析，请大家看看我们在不同阶段是如何解决“鸡兔同笼”问题的，这一方面能让我们了解什么是数学模型，另一方面也能让我们体会到用哪种数学模型解决问题更简单，更容易理解.

1.算术解法.

分析模型：脚的总数÷2—头的总数=兔只数，头的总数一兔只数=鸡只数.

建立模型：列出算式，得94÷2-35=_____ ，35-____= ___.

解答模型：鸡有23只，兔有12只.

验证模型：23只鸡和12只兔恰好有35个头，每只鸡有2只脚，每只兔有4只脚，23只鸡和12只兔恰好有94只脚，故结果正确.

2.利用一元一次方程求解的方法，

分析模型：鸡的脚数+兔的脚数=脚的总数，鸡的脚数=2x鸡的头数，兔的脚数=4x兔的头数=4x（头的总数一鸡的头数）.

建立模型：列一元一次方程（将文字语言抽象为数学符号）.

设鸡有x只，则兔有（35-x）只.

从而可得2x+4（35-x）=94.

解答模型：解一元一次方程，得x=23.

故35-x=12.

所以鸡有23只，兔有12只，

验证模型：同算术解法.

3.利用二元一次方程组求解的方法.

分析模型：鸡的头数+兔的头数=头的总数，鸡的脚数+兔的脚数=脚的总数.

建立模型：列二元一次方程组（将文字语言抽象为数学符号）.

二、剖析数学模型思想——本质与作用

根据以上解题过程可以发现，其实无论用哪种方法求解“鸡兔同笼”问题，都体现了数学模型思想，都经历了分析模型、建立模型、解答模型、验证模型这四个步骤.所谓数学模型，就是利用数学语言将实际问题中的主要关系、主要特征近似或概括地表示出来，从而得到的一种数学结构.数学模型思想体现在从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，最后求出结果并讨论结果的意义.

从前面“鸡兔同笼”问题的解答中我们会发现，对于同一个问题，解决问题的数学模型可以有多种，而我们一般会选择最简单的一种，在前面的几种解题方法中，算术解法看起来简单，但理解起来不是很容易；一元一次方程解起来比较简单，但为了弄清未知数之间的关系，列式的时候需要费点脑筋：而二元一次方程组则比较直观，列式也简单，特别是对于一些数量关系比较复杂的问题，借助二元一次方程组模型可以很快弄清题中的数量关系，解答起来既简单又准确.

三、体会数学模型思想——“驴骡伏货：问题

为了进一步认识数学模型并学会运用数学模型思想，我们再来探讨一个“驴骡驮货”问题，这是《希腊文选》中的一个问题.

驴子和骡子驮着货物并排走在路上，驴子不停地埋怨自己驮的货物太重.骡子对它说：“你发什么牢骚？我驮的货物比你驮的货物更重.倘若你给我1袋货物，我所驮货物的袋数将是你所驮货物的袋数的2倍：而如果我给你1袋货物，咱俩驮的货物才刚好一样多.”驴子和骡子各驮几袋货物？

鉴于“鸡兔同笼”问题已经为我们打下了基础，下面我们就直接运用数学模型思想解决这个问题.

分析模型：由骡子的话可以知道，骡子所驮货物的袋数+1=2x（驴子所驮货物的袋数一1），骡子所驮货物的袋数-1=驴子所驮货物的袋数+1.

所以驴子驮5袋货物，骡子驮7袋货物，

验证模型：若驴子给骡子1袋货物，则驴子所驮货物为4袋，骡子所驮货物为8袋，骡子所驮货物的袋数是驴子所驮货物的袋数的2倍；若骡子给驴子1袋货物，则驴子和骡子所驮货物均为6袋，刚好一样多.故结果正确，

对于这个问题，如果列一元一次方程求解，则不易弄清数量关系，而用二元一次方程组求解就很简单，也很容易理解.

通过以上分析，大家应该对数学模型、数学模型思想有了初步的了解.并且发现方程是刻画现实生活中数量关系的重要模型.如果我们在头脑中形成了数学模型思想，那么解题就会变得更加容易.

今后我们在学习数学知识时要注意培养数学模型思想，要能够举一反三，触类旁通.只有这样，我们在解题时才能做到游刃有余.

影响学生数学成绩的数学模型分析 篇7

关键词：学生成绩,高等数学,数学模型分析

0 引言

随着高校教育改革的深入与发展, 如何提高学生的成绩已成为学院的核心工作。

蒋敦杰教授说:“要善于从学生身上找影响成绩的因素, 同时, 要善于从老师和学校教育上找到激发学生学习因素的条件。”说明了学生学习没有动力, 失去学习兴趣和勇气, 及教师欠缺教学指导能力, 及外界的环境 (包括家庭生活, 家庭的经济, 家庭的教育) 等都会影响学生的成绩。

作为一名高职院校的教师要教好一门课程, 要知道哪些因素是学生学好这门课程的重要因素。教师在选择学生时, 要知道具备什么样条件的学生比较容易学好某专业。介于此问题我通过对我校高职学生数学成绩为因变量来建立数学模型分析。

1 调查的数据及建立数学模型

考试成绩是一种了解学生对知识的掌握程度与衡量学习能力的有效手段, 一方面它能帮助和促进学生全面系统地了解、巩固所学的知识, 另一方面可以通过它来检验、评估学生对所学知识和技能的理解及掌握程度、实际应用能力, 进而是学生能全面发展。我们希望通过对我校机电专业的学生问卷调查, 来了解影响学生成绩的因素。问卷调查的内容如下:

问卷调查学生所修高等数学的课程成绩, 满分成绩为100分。这是学生学好高等数学因素方程的因变量。

问卷询问了学生的数学基础。以学生的入学的数学成绩为准, 试图了解学好高等数学的课程与学生的数学基础是否有一定关系。85分-100分为优, 70分-85分为良, 60分到70分为中, 60分以下为差4个等级。

问卷还调查学生学习本课程的收获大小, 按100分制打分。及学生学习高等数学课的用功程度, 从低到高分4级。用功有助于提高课程学习成绩。学生对高等数学课的感兴趣程度, 而这两个变量又是相关的:对课程兴趣高有助于学生更用功地学习, 而学习成绩的提高又有助于学习积极性的进一步的提高。问卷还询问, 学生的个人兴趣广泛程度, 从低到高分4级。

问卷询问学生是从农村、小城市还是大中城市来, 由此希望了解, 学生的农村背景或城市背景会不会对学习和理解数学思想有不同的影响。父母最高受教育程度, 可能会对其子女的大学学习产生某种影响, 分成六个等级 (无学历, 小学, 初中, 高中, 大学, 更高学历) 。问卷还对家庭收入进行调查, 对学生的家庭经济状况, 分好、较好、一般、差, 分4级。

根据以上分析, 构造了包含上述相关变量的学生学好高等数学的因素方程。调查的因变量与随机变量之间成多元线性关系。为节省篇幅, 具体方程随回归结果一起报告。建立数学模型如下:

其中:y——学生成绩是因变量

X1——对数学课程的喜欢程度

X2——对数学课程的学习收获 (100分制)

X3——对学好高等数学数学基础的成绩如何 (100分制)

X4——学习数学课程所用的时间

X5——个人兴趣爱好的广泛程度

X6——认为学习数学是否有用

X7——学生来源 (学生从农村、小城市还是大中城市来的)

X8——父母受教育程度

X9——家庭收入

2 计量研究的数学模型结果

讨论学好高等数学课程的因素方程, 也就是要研究有哪些因素显著影响一个学生学好高等数学。

采用OLS, 最小二乘法得到方程 (1) 报告了回归结果 (括弧中为t统计值) :

从方程1可以看出, 首先喜欢数学的学生与高等数学的成绩有着显著的线性关系, 学生喜欢数学的程度每增加一个档次, 成绩就明显增加3.529分。数学基础好的与高数成绩有显著影响, 数学基础成绩每提高1分, 可增加高等数学的成绩为0.359分。可以这么认为, 高中数学好的与大学期间学习高等数学有着密不可分的关系。在学习高等数学时学生用功与否也是影响成绩的一个非常显著的因素。在高等数学课程的学习中不仅仅只在课堂上学习, 课后的用功程度很重要, 如果每天增加1个小时得时间学习高等数学课程, 该学生的高等数学成绩就增加了10.967分, 从方程1中可以看出成绩提高是非常显著的。个人兴趣爱好的广泛成度对高等数学课程也有着显著的影响, 从方程1可以看出, 兴趣爱好广泛的学生, 兴趣每多一点, 成绩就提高了4.663分。方程1中有些变量对数学成绩的影响也不显著。具体的原因通过检验方程分析如下表:

根据上表对模型的检验分析, 本模型具有多重共线性, 本模型采用修正 (逐步回归法) Frisch法来修正模型。修正后的模型如下:

通过方程2的模型可以看出X1, x3, X4, X5的t统计量|ti|>t0.05/2 (55-4-1) =2.01都能否定H0, 该模型与人的经验理论和回归值都具有显著性, 所以, 对数学课的喜欢程度, 学好高等数学的基础知识的多少, 学习数学课程所用的时间的多少及个人兴趣爱好的广泛程度是主要影响高校学生高等数学课程的成绩因素。

通过上面的分析看出, 方程2的模型的回归系数的符号、大小都与现实中的理论和人们经验的期望值相符合。

3 模型结论

在高等职业学校学好高等数学课, 要与学生对数学课的喜欢程度, 学生对数学课的兴趣程度, 有密切的关系。当学生喜欢数学课时, 就会主动学习数学知识, 还会将所学的数学知识用于实际问题中, 从而也就提高了数学成绩。在学习高等数学时学生用功与否。也直接影响高等数学成绩。个人兴趣爱好的广泛程度也是学好高等数学的一个因素, 从模型上看出, 大学开展各种兴趣活动及数学建模课程是有意义的, 并不会耽误学生的学习成绩。学生参加兴趣活动可以刺激大脑的发育, 增加逻辑思维能力的训练, 既可以提高数学成绩, 又可以锻炼能力, 做到理论与实际相联系。即提高学生的数学成绩又符合国家对高职人才培养的目标。

参考文献

[1]张晓峒.计量经济学基础 (第3版) .天津:南开大学出版社, 2007.9.

[2]张晓峒.计量经济学软件EViews使用指南 (第2版) .南开大学出版社, 2004.12.

[3]樊明.学生课程成绩及学生对教师教学评价的影响因素.中国劳动关系学学院学报, 2007.12.21 (6) .

浅析金融数学模型 篇8

金融理论【1】的核心问题就是在不确定的环境下—即金融资产的价值和风险问题。由于时间、不确定因素及其相互作用使金融行为呈现出极端的复杂性。处理这种复杂性需要引入数学工具。如不确定性需要引入概率、统计和随机过程理论;如在时间和空间上分配资源需要引入最优化模型。从科学的观点出发, 运用数学模型来表达金融市场的整体, 运用数学模型最优化技术来计算, 选择合适的方案;通过计算机模拟寻找满意的结果, 使金融市场经济在数学工具的运用下达到合理的、稳定的状态。

2. 数学在金融领域的主要发展及应用

金融数学开创性论文是1900年法国数学家Bachelier的学位论文【2】《投机理论》。他用Brown运动来研究股市。下面我们主要介绍一下金融数学模型:

2.1 资产估价模型

资产估价模型定义即资产的目前价值等于未来现金流量贴现值之和。设C (t) 表示为投资的现金流量, t表示未来某时刻, R (t) 表示资产贴现率, n表示期数, PV表示总现值, 则

表达式成为计算证券投资价值的资本化方法的基础。美国投资理论家威廉在1938年提出了贴现现金流模型, 该模型是用资产的股票的实际价值等于它的所有未来股息的贴现值之和来表达的:

其中, P (t) 表示t时刻的股票价格, 表示时刻获得的未来股息, i表示贴现利率。在贴现现金流模型的基础上, 根据现实生活中的实际情况又产生了许多有价值的模型, 例如根据股息的变化建立的模型是股息零增长模型, 根据贴现现金流变化建立的可变贴现率价值模等等。

2.2 证券组合模型

证券组合模型【3】主要研究在几种未来不确定的竞争因素中怎样合理分配资源。在投资收益既定的条件下, 怎样使风险最小化;或在投资风险条件既定的情况下, 怎样使收益最大化。不确定性的数学模型在现代证券投资组合理论就体现出来了。如

2.3 期权定价模型

期权定价模型基于对冲证券组合的思想。投资者可建立期权与其标的股票的组合来保证确定报酬。在均衡时, 此确定报酬必须得到无风险利率。则可得如下形式的B-S期权定价模型;

2.4 金融预测中的回归分析

金融市场是一个复杂的适应系统, 未来充满了不确定性, 金融预测研究金融市场的未来发展状况显得尤其重要。利用数学模型可以帮助我们理性地预测未来的经济、金融的发展状况, 让我们更加接近市场的真实, 回归分析是经常运用的一种。回归分析是研究不确定性变量之间的依赖关系, 利用数学模型建立回归方程, 然后根据最小二乘法的经验公式求得回归方程;运用回归方程进行预测;推算出预测数。

结束语

到目前为止, 许多金融市场的本质和规律还不为人们理解和掌握, 这是因为人们还不能建立足够的数学模型来描述这些本质和规律。如通过建立数学模型或定性定量分析方法所得到的结论是半科学半理论, 运用数学模型计算与实际会产生偏差, 虽然模型对历史数据拟合较好, 但由于偏差的存在对未来预测不太准确。随着金融市场的不断发展, 新的金融工具的不断出现, 金融数学模型必然会得到广泛的重视和应用。

摘要：主要介绍了数学模型在金融领域中的发展及应用, 阐述资本资产定价模型的应用价值, 证券组合投资模型和金融衍生工具定价模型对金融市场影响, 并分析了数学摸型对金融市场的预测作用。

关键词：资产定价,证券组合,期权定价

参考文献

[1]张明军.浅谈数学在金融领域的发展及应用.甘肃科技, 2009 (2) .

[2]屠新曙, 王键.金融数学模型发展的思考.湘潭大学社会科学学报, 2011 (12) .

[3]高洁.金融数学的发展及其在证券投资组合中的应用.江南大学学报, 2003 (10) .

水位换算数学模型研究 篇9

水下地形测绘作为测绘科学技术的重要组成部分是海道测量、河流、湖泊测量的主要内容[1]。在水下地形图的测绘中, 水下地形点的高程等于水位减去水深, 由于水位是动态变化的, 所以计算每个测点的高程应该用测量该点水深时的水位。但是, 在实际作业中, 在测点上测量水深的时刻一般不会恰恰等于测量该点水位的时刻, 水位换算即是将某点测量的工作水位换算成所需要的同时水位。因此, 水位换算是水域测量中经常进行的一项工作[2]。

1 数学模型

如图1所示, HA、HB和HM分别为某一日期于上游水位站A, 下游水位站B和中间任一水位点M测得的工作水位, HA’、HB’和HM’分别为另一日期上游水位站A, 下游水位站B和中间水位点M的同时水位[3]。

1.1 各点之间的落差之差与各点之间的工作水位差成正比

如图2所示, A点的落差ΔHA=HA-HA', B点的落差ΔHB=HB-HB', M点的落差ΔHM=HM-HM', 过A1点做辅助线A1B', 使A1B'∥AB, 过A1点做辅助线A1B″, 使A1B″∥A2B2, 则由相似三角形对应边成比例原理可推导出即

在式 (1) 中可求算出ΔHM, 则M点的同时水位等于M点的工作水位减去落差, 即HM2=HM1-ΔHM[4]。

1.2 各点之间的工作水位差与各点之间的同时水位差成正比

如图3所示, 过A1点做辅助线A1B', 使A1B'∥AB, 过A2点做辅助线A2B″, 使A2B″∥AB, 则由相似三角形对应边成比例原理可推导出即

在式 (2) 中, 由上下游的工作水位和同时水位, 以及M点的工作水位, 即可求算出M点的同时水位。

1.3 各点之间的工作水差与各点之间的距离成正比

如图4所示, L1和L2分别为上下游水位站距M点的距离, 过A2点做辅助线A2B″, 使A2B″∥AB,

则由相似三角形对应边成比例原理可推导出即

2 案例求证

某河道的河道测量中的某一水位点M在2010年6月29日8时30分的工作水位HM=48.121 m, 要求换算到2010年6月10日12时的同时水位。经查询该水位点M的上游水位站清水河在2010年6月10日12时的水位为48.938m, 清水河水位站在2010年6月29日8时30分的水位为49.232 m。该水位点M的下游水位站红水河在2010年6月10日12时的水位为46.681 m, 红水河水位站在2010年6月29日8时30分的水位为47.043 m[5]。

由式 (1) 得:

由式 (2) 得:

由式 (3) 得:

从地形图上获取L1=4.06 km, L2=3.94 km。

3 结语

水位计算是水域测量中经常用到的一个问题, 不同的数学模型解算的思路不同, 其计算的工作量也有很大差异。本文建立的数学模型1和数学模型2是比较高效的模型, 并且还容易实现计算机的程序化[6]。

摘要：水位换算是水域测量中经常进行的一项工作, 本文通过严密的数学推导, 建立了各点之间的落差之差与各点之间的落差成正比、各点之间的工作水位差与各点之间的同时水位差成正比、各点之间的工作水差与各点之间的距离成正比的数学模型, 并通过实际案例, 分析了这些数学模型的特点和优劣。

关键词：水下测量,落差,工作水位,同时水位

参考文献

[1]刘树东, 田俊峰.水下地形测量技术发展述评[J].水运工程, 2008, (1) :23～27.

[2]周庆冲.西江河道测量若干技术问题的研用[J].海洋测绘, 2008, 28 (5) :53～55.

[3]霍瑞敬, 孙芳等.黄河下游河道观测[M].郑州:黄河水利出版社.2009:47.

[4]李青岳, 陈永奇.工程测量学[M].北京:测绘出版社, 1998:81～82.

[5]周建郑.工程测量学[M].郑州:黄河水利出版社, 2006:85.

城市交通数学模型 篇10

一、城市交通的数学描述

当代的城市交通主要涉及到交通需求、交通管理和交通供给三个方面的内容。交通需求和供给是主要的且基础性的方面, 下面主要就这两方面来提出有效的数学模型。交通供给和需求彼此之间相互依存, 同时受到城市环境的承载力的相关限制。现在我们将交通供给和需求设为影响交通的两个状态变量, 则城市交通系统可以看作二维的定常非线性的系统, 其关系方程为:

上式的等式右边的两项是代表城市交通供给与需求的增长模式, 具体的各个因式所代表的意义是:x1指的是城市道路的里程数, 代表着交通的供给能力;x2代表的是城市的车辆, 反映了交通的需求能力;x’1指的是城市道路的里程数的变化率, x’2指的是城市车辆的变化率, r1指的是道路的增长率, r2指的是道路的车辆增量率, k12指的是车辆对道路的利用系数和影响系数, k21指的是道路对车辆出行的影响系数, k1指的是城市的环境一定时, 现有的道路里程与最大能建设的道路长度的比值, 即城市的交通承载量率, k2指的是城市对车辆的最高承载能力。根据模型的实际意义, 上述各参数都是大于零的。

二、城市的交通系统平衡点的稳定性探讨

对于上面的式子, 我们将x’1和x’2均令为零, 然后可以得出四个平衡点。分别是: (0, 0) 、 (k1, 0) 、 (0, k2) 、。且利用上式子的Jacobian矩阵进行稳定性分析可以得出:

1、 (0, 0) 平衡点的稳定性分析

当x1f=0, x2f=0时, 经分析计算得出该店的平衡运动不稳定

2、 (k1, 0) 平衡点的稳定性分析

当x1f=k1, x2f=0时, 此时又分为两种情况:a.1-k21k1>0时, 系统处于该平衡点的运动不稳定, 其平衡类型为鞍点, 反之, 1-k21k1, <0时, 系统在该平衡点具有稳定性。

3、 (0, k2) 平衡点稳定性分析

此时的x1f=0, x2f=k2, 此时也分为两种情况:a.1-k12k2>0时, 系统处于该平衡点的运动不稳定, 其平衡类型为鞍点, 反之, 1-k12k2, <0时, 系统在该平衡点具有稳定性。

经过严格的推演和计算以及作图, 得出

5、上述平衡点的实际意义

第一种情况为城市的交通需求和交通供给均为零, 显然这在实际生活中是不存在的, 因而该平衡点在实际的城市交通系统中也是不存在的;第二种情况表示一个城市具有很强的交通供给能力, 但是交通需求为零, 这同样不符合生活的实际, 所以该平衡点的所代表的现象在实际生活中同样不存在;第三种情况, 同第二种情况类似, 只不过无交通供给而已;第四种情况, 其中的稳定平衡点代表的是一个城市的交通供给和需求处于一个动态的平衡之中, 在这种状态下, 无论是交通需求抑或交通供给那一方发生变化, 系统均能够自动趋于平衡, 这也是在实际的生活中我们所希望看到的。而不稳定的平衡点代表的是交通的需求和供给处于一种不协调的运动状态之中, 系统无法自动的调节交通供给与需求之间的平衡, 即供给大于需求时, 会发生道路闲置的状况, 如果交通的需求大于供给, 那么会出现交通拥挤的现象, 而根据我国的国情, 后者发生的几率大, 因此如何解决交通拥挤的难题是一个长期的实践与理论相互作用的过程。

三、关于交通供给与交通需求的一些讨论

如果参数r1, r2, k1, k2, k12, k21的值保持不变的情况下, 的值相应也就相应的确定。当参数r1, r2, k1, k2, k12, k21的值发生变化时, 的值也会发生相应改变。这就从理论上表明:一个城市由于r1, r2, k1, k2, k12, k21数值的变化, 会导致它的交通动力系统的交通需求与交通供给保持动态平衡时的平衡点的数值是不相同的。对于这些变化的平衡点的数值, 在进行城市交通管理时所需要采取的方式应该具体问题具体分析, 是不会相同的。我过建国早期通过增强交通供给能力来解决城市交通拥挤的发展模式对于那时候的城市交通的发展是有效, 而有效的主要原因还是由于这一时期城市的交通供给能力相对较弱, 通过加强交通基础设施建设、构建道路网络体系来提升提交通道路网的交通容量, 这样做可有效使城市交通拥挤的问题得到缓解。但当一个城市的路网已经形成并基本定型之后, 继续的通过加强交通基础设施建设来缓解城市交通拥挤的问题。经过实践证明这样做是难以从根本上解决问题的。对于一个城市而言, 在一定的交通基础设施的条件下, 与这些基础的交通设施相适应的交通需求和交通供给的基本平衡是保持良好交通状况的基础, 即使在交通供给能力较强的条件下过大的交通需求也同样会产生交通拥挤与堵塞, 如上述第一组数据所示的情况所述。当一个城市的规模、人口数量一定后, 交通需求与交通供给之间始终存在着保持动态平衡的机遇, 实际中能否出现动态平衡既决定于交通供给, 也同样决定于交通的需求。城市交通需求的大小在很大程度上决定着城市车辆的多少。对于一个城市而言, 在过境车辆保持一定的条件下, 城市交通需求的产生主要来自于城市居民的出行数量及经济发展的水平, 而一个城市总的出行数量又决定于城市交通状况、城市功能, 城市经济发展水平等因素, 而且随城市经济发展具有生长性。当一个城市的交通需求与交通供给在最大允许容量条件下基本达到动态平衡时, 对于因城市经济发展新产生的交通需求建议采用经济手段进行调控, 此条件下若继续通过扩展道路增大交通供给, 反而会更进一步刺激新的大量交通需求, 导致新的交通拥挤与堵塞。具体对于道路、车辆而言, 每个城市对道路的承载能力、对车辆的承载能力都存在着一个限值, 在城市规模不变的条件下, 如果随着人口增多一味增大对道路、对车辆的承载能力, 势必将以牺牲城市的交通安全、环境保护为代价。所以在调节交通需求和交通供给时, 我们需要明白采用合理且科学的方法来进行二者的调试, 使得二者之间可以达到最理想的动态平衡的状态, 从而既方便人们出行, 又不以牺牲环境等为代价, 这就需要我们能够在实践中仔细揣摩和钻研, 同时思考如何能够将上面描述的第四种平衡稳态完美的应用于实际的交通管理中, 实现理论与实践的完美结合。

四、总结

在不考虑管理技术水平等的因素在影响城市交通所发挥的作用时, 上面阐释的动力系统比较全面而完整的地概述了城市交通的需求与交通供给之间存在的内在联系及其相关作用的演变趋向, 所计算归纳得出结论对于现代的一些城市交通中存在的交通拥挤问题的妥善处理与调试具有一定指导意义。但是如果想要使得上述的模型能够很好地为实际生活服务, 除了要考虑技术管理因素的作用外, 在此模型中各个参数实际意义所囊括的内容及其数值大小的确定, 还有待进一步的细化研究, 并且需要这些函数都尽量的具体化, 能够用实际的交通中运用到的数据进行表示。这就需要真正的理论联系实际, 在理论的假设条件下, 假定其他与所要研究对象无关的因素均恒定, 但是在实际的过程中, 基本上找不出这些恒定不变的量, 这就要求在用理论联系实际时, 要可以很好的处理主要因素和次要因素, 既要突出重点演技对象, 又要紧密地联系其他可能对结果产生影响的额外因素, 所以城市的交通系统在数学模型的构建和实施过程中, 都需要完成一个庞大的工作量, 需要科研认识和实践工作者的双重配合, 只有这样, 或许才有可能完成数学模型的建立和推进其实施的进度。此外, 在一些已经修建或准备修建轻轨交通的大城市, 轻轨交通对于主要由机动车辆和道路构成的城市交通系统的作用与影响也需要深入研究。

参考文献

[1]王志锋、王志蓉:《大象无形》, 《汽车运输》, 2000, 26 (6) 。

[2]韩曾晋:《现代控制理论和应用》, 北京出版社, 1987。

[3]郑维敏:《正反馈》, 清华大学出版社, 1998.4953。

[4]韩忠华、刘春光、戴敬:《城市交通短时交通信息自适应遗传预测方法》, 《沈阳建筑大学学报》, 2009 (7) 。

[5]沈文超、许建闽、游峰:《智能交通仿真系统的设计与实现》, 《交通信息与安全》, 2009 (1) 。

[6]曹敏晖:《城市交通存在的问题及对策分析》, 《重庆交通大学学报》, 2009 (4) 。

[7]林震、杨浩:《城市交通结构的优化模型分析》, 《土木工程学报》, 2005 (5) 。