三角形内角和定理的证明剖析

三角形内角和定理的证明剖析（共12篇）

篇1：三角形内角和定理的证明剖析

三角形内角和定理的证明说课稿

一、背景分析 1.学习任务分析

《三角形内角和定理的证明》是北师大版八年级下册第六章的第五节。本节课的主要内容是“三角形内角和定理”的证明及其简单应用。

三角形内角和定理是从“数量关系”来揭示三角形内角之间的关系的，这个定理是任意三角形的一个重要性质，它是学习以后知识的基础，在解决四边形和多边形的内角和时都将转化为三角形的内角和来解决。它是对图形进一步认识以及规范证明过程的重要内容之一，也是《证明

（二）》《证明

（三）》中用以研究角的关系的重要方法之一，因此，本节课起着承上启下的作用。而通过添加辅助线，把未知转化为已知，用代数方法解决几何问题，为以后的学习打下良好的基础。三角形内角和定理在理论和实践中有广泛的应用。

2.学生情况分析

三角形内角和定理的内容，学生已经很熟悉，但以前是通过实验得出的，学生可能会认为这是已经学过的知识，因此在学习过程中要向学生说明证明的必要性，在前几节的学习中，学生基本上已经掌握了简单证明的基本方法和步骤，本节课再一次来熟悉证明的过程。而本节课要证明这个结论需要添加适当的辅助线，因而本节课也要渗透这样的思想:添辅助线是解决数学问题（尤其是几何问题）的重要手段之一。

二、教学目标分析

对于三角形的内角和定理，我们以前已通过量、折、拼的方法进行了合情推 理并得出了结论，本节课就一起对其进行数学证明。另外，通过前面几节课的学习，学生基本上也掌握了证明的基本步骤和书写格式，学生可以自己书写证明过程。因此，我依据《数学课程标准》，以教材的特点和学生的认知水平为出发点，确定以下三个方面为本节课的教学目标。

（1）知识技能目标：掌握“三角形内角和定理”的证明及其简单应用，初步学会利用辅助线来证明命题。

（2）过程与方法目标：经历探索“三角形内角和定理”的证明过程，学会与人合作，通过一题多解、一题多变等，初步体会思维的多向性。

（3）情感与态度目标：通过新颖、有趣的问题，来激发学生的求知欲，使学生乐于学数学，遇到困难不避让，在数学活动中获得成功的体验，增强自信心，在合作学习中增强集体责任感。

三、课堂结构分析

（一）问题引入→

（二）探究新知→

（三）定理应用→

（四）深化拓展→

（五）小结巩固

本节课首先回顾探索三角形内角和定理的过程，然后让学生动手实践，并对照实践，探求证明方法。方法多种，因此采用小组讨论全班交流的方式，激励学生展开积极的思维活动。通过几个练习再一次巩固了三角形内角和定理，在此基础上，深化拓展，使学生思维达到高潮，使其更进一步得到拓展。最后小结巩固，评价激励。

四、教学媒体设计

由于本节课是由动手操作转化为几何证明，由直观感受转化为逻辑思维，由感性认识到理性认识，因此，本节课所要借助的媒体是三角形卡纸，由剪纸的过 2 程联想到证明方法。

五、教学过程分析

（一）问题引入

三角形的内角和是多少呢？你如何验证这个结论呢？

由于三角形的内角和学生都知道，因此直接开门见山，将一个简单的问题抛给学生，让学生从熟知的问题开始这堂课的学习，能很快的激起学生学习的欲望，尤其是学有困难的学生。并且，从学过的知识引入符合学生的认知规律。

（二）探索新知

1.动手实验

请同学们将事先准备好的三角形卡纸的三个角剪下拼图，使三者顶点重合。你会发现什么？

通过动手操作验证结论，同时也培养学生自主动手解决问题的能力。2.探索交流

下面让学生对照刚才的动手实践，探求证明方法。此环节应留给学生充分的思考、讨论、发现、体验的时间，让学生在交流中互取所长，合作探索，找到证明的切入点，体验成功。对学有困难的学生要多加关注和指导，不放弃任何一个学生，借此增进教师与学有困难学生之间的关系，为继续学习奠定基础。合作探究后，汇报证明方法，注意规范证明格式。

（1）由实验可知：三角形的内角之和正好为1800．但实验得到的结论，并不一定正确、可靠，这样就需要通过数学证明．那么怎样证明呢？

（学生会立即思考，若有困难，可以用下面的问题引导学生。）（2）看到1800你会想到什么? 3 这个问题的提出可以引导学生想到平角，继而利用平角来证明三角形的内角和是1800，也可能有学生会想到两平行线间的同旁内角，当然也可以。

（3）回顾刚才的实验操作，卡纸可以撕下来，可黑板上的三个角不能撕，那么如何把这三个角“搬”在一起呢？

学生通过刚才的动手操作，再加上上面的三个问题基本上已经给学生指明了方向，因此，学生自然而然会想到证明的基本思路是把分散的三个角“搬”到一起，构成一个平角。另有学生可能会想到拼成两平行线间的同旁内角。而作平行线则是“搬”角的基本途径。通过本环节，让学生体会转化的数学思想方法，把新知识转化为旧知识。

（4）分组讨论证明方法

在学生独立思考后，小组内讨论交流。

通过上面的环节，有些学生可能已经有思路了，再通过和同学的交流讨论，互取所长，可能会探究出不同的方法来，将会更完善。另外，刚才没有思路的同学也可以通过本环节向他人借鉴，理出思路来。教师这时候也可以深入到有困难的小组，引导他们解决问题。同时还可以促进师生之间的关系。

（5）全班交流

在小组讨论结束后，全班交流，大家共享。可能的证明方法如下 ：

AEPAQAD12D

BC

BC

BC

图1

图 2

图 3

①如图1，延长BC到D，以点C为顶点，以CA为一边，在△ABC的外部 作∠1=∠A。

②如图1，延长BC到D，过C作CE∥AB。③如图2，过点A作PQ∥BC。

④如图3，过C作CD∥AB，由同旁内角互补可以证明。

学生方法很多，在学生通过观察分析、归纳总结，最后全班交流，使思维达到高潮，由感性认识上升到理性认识。在交流方法的同时，让学生说明理由，培养学生合乎情理的思考和有条理的表达能力。而当问题的条件不够时，添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立已知与未知间的桥梁，把问题转化为已经会解的情况，这是解决问题的常用策略之一。

（6）书写证明过程

根据以上几种方法，选择其中一种,师生合作，写出示范性证明过程。其余由学生自主选择其中一种，完成证明过程，培养学生严谨的逻辑思维能力和推理能力。

首先，师生一起画出图形，其次，分析命题的题设和结论写出“已知”、“求证”，把文字语言转化为几何语言，由于有本章前几节作为基础，因此学生有能力做到。最后，作出辅助线，写出规范的证明过程。

3.反思：（1）证明三角形内角和定理的基本思路是什么？

（2）三角形内角和定理的证明是借助于什么获得？平行线是以后几何中常作的辅助线。

（3）添辅助线的技巧：通过平行线把三角形三个内角转化为平角或两平行线间的同旁内角，即把未知的转化为已知的去解决。

引导学生进行总结和概括，培养学生的归纳概括能力。

（三）定理应用

1、例1 求证：四边形的内角和等于3600。

三角形内角和定理在这之前也会经常用到，但都是以计算的形式出现。而本题将四边形的内角和问题转化为三角形内角和问题，是三角形内角和定理的直接应用。同时，由三角形的内角和求四边形的内角和，也符合学生的认知规律，满足了学生的求知欲。另外，本命题的证明也需要添加辅助线，让学生体会到学以致用。

2.练习

（1）直角三角形的两锐角之和是多少度？等边三角形的一个内角是多少度？请证明你的结论。

（2）如图，已知，在△ABC中，DE∥BC，∠A=60°,∠C=70°,求证：∠ADE=500

两个练习由学生自主完成，上面三个问题都是三角形内角和定理的简单应用，使全体学生特别是学有困难的学生都能够达到基本的学习目标，获得成功感。同时，激发学困生的兴趣。

(四)深化拓展

议一议：证明三角形内角和定理时，是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P？（如图（4）），如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢？（如图（5）），“凑”到三角形外一点呢？（如图（6）），你还能想出其他证法吗？

图（4）

图（5）

图（6）

本问题再一次强化学生“抓住根本”的意识，抓住把三个角“搬”到一起，以便利用平角定义这一基本思想。可以把三个角集中到三角形某一顶点;可以把他们集中到某一边上;集中到三角形的内部一点；还可以把它们集中到三角形外部一点。培养学生善于抓住不变的根本，又要善于灵活地在变化中认识、处理和解决问题的能力，同时，拓展了学生的思维。

（五）小结巩固 1.小结

（1）谈内容，谈思想，谈方法

（2）你还有什么收获？你还有哪些疑惑？你还想知道什么？

先让学生谈本节课所学内容，基本思想，各种方法，帮助学生形成总结归纳的好习惯。然后请学生谈谈还有哪些收获，通过学生的反思，感受到自己的成长与进步。请学生谈自己疑惑的地方，能够帮助教师全面的了解学生的学习状况，改进教学，为因材施教提供了重要的依据。最后，请学生们说说还想知道什么，激起学生的求知欲，并为下节课埋下伏笔。

2.读一读

你能想到什么

3.课后作业：（A类必做，B类选做）A类：P241数学理解1、2题

B类：（1）证明：五边形的内角和等于5400；

（2）证明：n边形的内角和等于(n2)1800。

六、教学方法分析

新课程明确倡导动手实践、自主探究、合作交流的学习方式。这就要求教师的角色，应当从过去知识的传授者转变为学生自主性、探究性、合作性学习活动的设计者和组织者。在本节课的教学方法上采用实验法和启发、诱导法。正所谓“授人以鱼，不如授人以渔”，学生在已有经验的基础上，要在自己的思考过程中得到进步，加深对知识的理解，就必须在教师的引导下，通过同学间的互相探讨、启发，把课堂上所学的内容完全转化为他们自己的知识。在教学过程中，先让学生动手实践，然后对比撕纸的方法，引导学生独立探索证明的方法，之后分组合作、自主地去探究和发现方法。对定理的证明这一环节，通过一题多解，一题多变，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。

七、教学评价分析 1.关于教材的处理：

（1）通过“撕纸”这一实验活动，激发学生兴趣，吸引学生积极参与活动。对于三角形内角和是1800有了直观的感受，为下面的证明做了铺垫。

（2）通过分组讨论，全班交流两个活动，让所有同学都参与进来，各抒己见，互取所长。

（3）通过“深化拓展”这一环节，将问题深化，拓展了学生思维。2.关于课堂评价

教学中，我遵循的基本教学原则是激励学生展开积极的思维活动。因此，本节课我选择的评价方式是教师评价、自我评价、学生评价多元化评价，对不同的学生有不同的评价标准，尊重个体差异。在活动过程中既关注学生是否积极参与，同时也关注学生的合作交流的意识和能力；既关注学生的思维能力和发展水平，也关注学生发现问题和解决问题的能力。

篇2：三角形内角和定理的证明剖析

§6.5 三角形内角和定理的证明 ●教学目标(一教学知识点

三角形的内角和定理的证明.(二能力训练要求

掌握三角形内角和定理,并初步学会利用辅助线证题,同时培养学生观察、猜想和论证能力.(三情感与价值观要求

通过新颖、有趣的实际问题,来激发学生的求知欲.●教学重点

三角形内角和定理的证明.●教学难点

三角形内角和定理的证明方法.●教学方法 实验、讨论法.●教具准备 三角形纸片数张.投影片三张

第一张:问题 第二张:实验

第三张:小明的想法●教学过程 Ⅰ.巧设现实情境,引入新课

用橡皮筋构成△ABC,其中顶点B、C为定点,A为动点(如图6-37,放松橡皮筋后,点A自动收缩于BC上,请同学们考察点A变化时所形成的一系列的三角形:△A1BC、△A2BC、△A3BC……其内角会产生怎样的变化呢?

得出结论:当点A离BC越来越近时,∠A越来越接近180°,而其他两角越来越接近于0°。三角形各内角的大小在变化过程中是相互影响的。三角形的最大内角不会大于或等于180°。

当点A远离BC时,∠A越来越趋近于0°,而AB与AC逐渐趋向平行,这时,∠B、∠

但观察与实验得到的结论,并不一定正确、可靠,这样就需要通过数学证明.那么怎样证明呢?请同学们再来看实验.图6-39 这里有两个全等的三角形,我把它们重叠固定在黑板上,然后把三角形ABC的上层∠B 剥下来,沿BC的方向平移到∠ECD处固定,再剥下上层的∠A,把它倒置于∠C与∠ECD 之间的空隙∠ACE的上方.这时,∠A与∠ACE能重合吗?

图6-40 已知,如图6-40,△AB C.求证:∠A+∠B+∠C=180°

证明:作BC的延长线CD,过点C作射线CE∥AB.则 ∠ACE=∠A(两直线平行,内错角相等 ∠ECD=∠B(两直线平行,同位角相等 ∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(1平角=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换 即:∠A+∠B+∠C=180°.在证明过程中,我们仅仅添画了一条射线CE,使处于原三角形中不同位置的三个角,巧妙地拼凑到一起来了.为了证明的需要,在原来的图形上添画的线叫做辅助线.在平面几何里,辅助线通常画成虚线.我们通过推理的过程,得证了命题:三角形的内角和等于180°是真命题,这时称它为定理.即:三角形的内角和定理.小明也在证明三角形的内角和定理,他是这样想的.大家来议一议,他的想法可行吗?

∵PQ∥BC(已作

∴∠PAB=∠B(两直线平行,内错角相等 ∠QAC=∠C(两直线平行,内错角相等 ∵∠PAB+∠BAC+∠QAC=180°(1平角=180° ∴∠B+∠BAC+∠C=180°(等量代换

图6-42 也可以这样作辅助线.即:作CA的延长线AD,过点A作∠DAE=∠C(如图6-42.也可以在三角形的一边上任取一点,然后过这一点分别作另外两边的平行线,这样也可证出定理.即:如图6-43,在BC上任取一点D,过点D分别作DE∥AB交AC于E,DF∥AC 交AB于F.∴四边形AFDE是平行四边形(平行四边形的定义 ∠BDF=∠C(两直线平行,同位角相等 ∠EDC=∠B(两直线平行,同位角相等 ∴∠EDF=∠A(平行四边形的对角相等 ∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180°(1平角=180° ∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换 Ⅲ.课堂练习

(一课本P196随堂练习1、2.图6-44

1.直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个内角是多少度?请证明你的结论.答案:90°60°

如图6-44,在△ABC中,∠C=90° ∵∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A+∠B=90°.图6-45 如图6-45,△ABC是等边三角形,则:∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180° ∴∠A=∠B=∠C=60°

2.如图6-46,已知,在△ABC中,DE∥BC,∠A=60°,∠C=70°,求证:∠ADE=50°.证明:∵DE∥BC(已知

∴∠AED=∠C(两直线平行,同位角相等 ∵∠C=70°(已知 ∴∠AED=70°(等量代换

∵∠A+∠AED+∠ADE=180°(三角形的内角和定理 ∴∠ADE=180°-∠A-∠AED(等式的性质 ∵∠A=60°(已知

∴∠ADE=180°-60°-70°=50°(等量代换(二读一读P197.(三看课本P195~196,然后小结.Ⅳ.课时小结

这堂课,我们证明了一个很有用的三角形内角和定理.证明的基本思想是:运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起,拼成一个平角.辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁,今后我们还要学习它.Ⅴ.课后作业

(一课本P198习题6.6 1、2(二1.预习内容P199~200 2.预习提纲

(1三角形内角和定理的推论是什么?(2三角形内角和定理的推论的应用.Ⅵ.活动与探究

1.证明三角形内角和定理时,是否可以把三角形的三个角“凑”到BC边上的一点P?(如图6-47(1,如果把这三个角“凑”到三角形内一点呢?(如图6-47(2“凑”到三角形外一点呢?(如图6-47(3,你还能想出其他证法吗?

(1(2(3 图6-47 [过程]让学生在证明这个题的过程中,进一步了解三角形内角和定理的证明思路,并

且了解一题的多种证法，从而拓宽学生的思路.［结果］证明三角形内角和定理时，既可以把三角形的三个角“凑”到 BC 边上的一点 P，也可以把三个角“凑”到三角形内一点；还可以把这三个角“凑”到三角形外一点.●板书设计 §6.5 三角形内角和定理的证明 一、三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于 180° 图 6－48 已知，如图 6－48，△ABC.求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：作 BC 的延长线 CD，过点 C 作射线 CE∥BA，则：∠A=∠ACE（）∠ECD=∠B（）

∵∠ECD+∠ACE+∠ACB=180°（）∴∠A+∠B+∠ACB=180°（）

二、议一议

三、课堂练习

四、课时小结

篇3：浅析三角形内角和定理的证明思路

思路一:用平角等于180°求证三角形内角和等于180°.

说明:此思路证明结论需要作适当的辅助线, 目的是把三角形三个内角迁移一个平角的位置上得出结论.下面列举三种常见辅助线供大家参考.

证法1:如图1, 延长BC到D, 过C作CE//AB

因为CE//AB,

所以∠1=∠A, ∠2=∠B.

又∠ACB+∠1+∠2=180°,

所以∠ACB +∠A+∠B=180°.

即:△ABC内角和等于180°.

证法2:如图2, 过A作DE//BC,

因为DE//BC,

所以∠1=∠B, ∠2=∠C.

又∠1+∠BAC+∠2=180°.

所以∠B +∠BAC+∠C=180°.

即:△ABC内角和等于180°.

证法3:如图3, 在BC上任取一点D, 过D分别作DE//AC交AB于E, DF//AB交AC于F.

因为DE//AC,

所以∠1=∠C, ∠2=∠3,

又∠DF//AB,

所以∠4 =∠B, ∠3=∠A,

所以∠2=∠A.

又∠1+∠2+∠4=180°,

所以∠C+∠A+∠B=180°.

即:△ABC内角和等于180°.

思路二:用平行线同旁内角互补求证三角形内角和等于180°

说明:此思路证明结论也需要作适当辅助线, 目的是把三角形三个内角迁移到平行线同旁内角的位置上得出结论.下面举两种辅助线供大家参考.

证法1:如图4, 过A作AD//BC,

因为AD//BC,

所以∠1=∠C,

∠1+∠2+∠B=180°.

所以∠C +∠2+∠B=180°

即:△ABC内角和等于180°.

证法2:如图5, 过点A、B、C分别作AD//BE//CF.

因为AD//BE//CF

所以∠1=∠5, ∠2=∠6,

∠5+∠3+∠4+∠6=180°.

所以∠1 +∠3+∠4+∠2=180°.

即:△ABC内角和等于180°.

篇4：三角形内角和定理的证明剖析

这里以人教版一年级下册“找规律”为例，见下图：

这里的一个“应”字，就是不妥当的。它意味着找的规律只有一种（两个一组间隔出现），第一排的第10面旗只能是黄色，即“红、黄、红、黄、红、黄、红、黄、红，黄”。

小学数学界一向认为，此题的答案非“黄”不可，必须让学生无条件地接受“两两间隔”这一规律。这妥当吗？

事实上，我们可以找到许多其他的规律，使得第10面旗是“红”。

例1:（9个一组，周期重复）于是第9、第10；第18、第19，连续两面都是红旗，即:

红、黄、红、黄、红、黄、红、黄，红；红、黄、红、黄、红、黄、红、黄，红；红、黄、红、黄、红、黄、红、黄，红；红，……

例2:（10个一组，最后两面都是红旗）第9、10、11连续地出现三面红旗，即:

红、黄、红、黄、红、黄、红、黄，红，红；红、黄、红、黄、红、黄、红、黄、红、红；红、黄、红、黄、红、黄、红、黄，红，红；红……

你能说这不是规律吗？

实际上，找规律问题是一个开放性问题。任何一个有限序列，都可以生成无限的多种的规律。认为只有一个规律，推断出“必须是什么”和“应该是什么”，把开放题封闭成一个唯一答案的题目，在数学上是不对的。

有人说，小学生只能找最简单的一种，多种规律是以后的事情。这可以理解。但问题在于，小学数学的大量课件、教师用书都没有指出这是一个开放性问题。有些文章在讨论，重复几次才算“规律”，更是误导。

怎么办？只要改一个字：把“后面一个应是什么”改成“后面一个会是什么”就可以了。“应”和“会”一字之差，意义完全不同。苏步青先生在指导中小学教材编写时，提出“混而不错”的原则。用在找规律的时候是，如果问“会是什么”，其答案可以有许多种，其意义比“应是什么”宽泛许多。至于将来在几年级将它当做一个开放性问题来处理，可以讨论，但是必须有这样一步才好。

让我们回到“三角形内角和为180度”的问题上。马建平和戎松魁两位老师的争论点，在于矩形可否定义为“四个角都是直角的四边形”。马老师认为可以，于是就认为由此可以证明三角形内角和定理，而无需平行公理。戎老师认为不可以，必须用平行四边形定义矩形，由此说明三角形内角和定理不能绕开平行公理。

笔者认为，两位老师都有对的部分，也有不对的部分。马老师觉得矩形可以定义为“有四个直角的四边形”，这是对的。但是，以为由此定义出发，可以避开平行公理来证明三角形内角和为180度，则是错的。戎老师坚持三角形内角和定理，必须使用平行公理，这是对的。但是，说矩形不能定义为“有四个直角的四边形”，则是不对的。

实际上，将矩形定义为“四个角都是直角的四边形”，完全可以。属和种差式的逻辑定义方法，并没有规定所从属的“属”必须是其外延最相近的。打个比方，要定义“杭州人”，可以说成“居住在杭州的中国人”，没有错。也就是说，并非一定要把“杭州人”定义为“居住在杭州的浙江人”，因为二者是等价的。对于矩形的“四直角”定义，一旦服从平行公理，就和“有一个角是直角的平行四边形”定义等价（如果没有平行公理，那么两者是不等价的）。

然而，如同马建平老师和许多其他文章所说的那样，可以从“四个角都是直角的四边形”出发，绕开平行公理就能够直接推出“三角形内角和为180度”，则是不可能的。理由如下。

依照四个角都是直角的矩形定义，自然得出矩形的内角和是360度，这毫无问题。矩形的对角线把矩形分为两个一样的直角三角形，只要运用平移旋转的刚体运动也可以做到。小学生也知道一点平移、旋转、对称的知识，可以直观地接受，严密地逻辑证明需要引用合同公理得出两个三角形三边相等则全等的结论，逻辑上引用就是了。于是，得到了如下的结论：“矩形对角线分成的两个直角三角形，每一个的内角和都是180度。”逻辑的正确性到此为止。问题在于，“任意的直角三角形，是不是都能成为某一个矩形用对角线分成的直角三角形？”这需要证明，不能想当然。马老师及许许多多作者都振振有词地把两者混为一谈，犯了逻辑上的错误。

换句话说，马老师等作者的所谓证明，必须从任意的“直角三角形”出发，作出一个矩形，使其成为该矩形的一半。但是没有平行公理，这是作不出来的。那个貌似正确的三角形内角和证明，这一关过不去，整个证明的逻辑链条就断裂了。

马建平老师可能会说，从已知的直角三角形出发，作一个和自身一样的直角三角形，两者拼起来就是一个矩形。这是一厢情愿。这样拼起来的四边形只有两个直角；无法证明它有四个直角，除非引进平行公理。

这就是说，想从“矩形有四个直角”作为矩形的定义出发，避开平行公理来证明三角形内角和为180度的企图，是决然不可能实现的。

马建平和戎松魁两位老师，还就此事提到“我的课堂我做主”的高度来议论。但是，由上可见，这种所谓“拔高了的教学目标”和“到初中才能学习的”内容，其实是一个错误的论证。

篇5：三角形内角和定理的证明 教案

八（11）班

郭朋朋

一、教材：沪科版义务教育课程标准实验教科书数学八年级上册第13章第2节

二、学习目标：

1、知识与技能目标：学生由对三角内角和定理感性认识上升到理性推理证明，掌握三角形内角和定理的证明及简单应用。

2、过程与方法目标：学生亲历探索撕纸过程对比，体会思维实验和符号化的理性运用，在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合情推理能力，逐步养成逻辑推理能力，并形成一定的逻辑思维能力。

3、情感态度与价值观目标：经历三角形内角和定理不同种方法的推理证明过程，培养学生创造性，弘扬个性发展，体验解决问题的成就感，体会数学证明的严谨性和推理意义，培养学习数学的兴趣，感悟逻辑推理的数学价值。

三、教材分析

1、内容分析

三角形内角和定理是“空间与图形”中的一个很重要的定理。(1)它为以后学习多边形内角和定理奠定基础。(2)实际生活、生产中有广泛的应用。(3)是求角度的有力工具（有时非它不可）。

三角形内角和定理的证明过程为学生建立数学思想方法和逻辑推理能力提供一个发展提高平台，其论证过程总体体现为化归思想。学过之后，这种思想方法可以类比运用到其它问题的探索与解决过程之中，其说理过程将成为“普通语言向符号语言转化”的可能，这一可能将随时间的推移与知识的积攒成为现实。

在证明过程中，学生从中学到的不仅仅是知识、方法及数学逻辑，他们克服困难的勇气及对问题的好奇心和互相评价，学习方式的选择等等方面都将大有收获，说明了本节教材内容对学生非智力因素的影响还是非常大的。

2、学情分析：

（1）学生已经在小学的时候接触过三角形内角和定理，并且进行了猜想与验证及口头说理过程。这为证明三角形内角和定理提供了认知基础。

（2）从学生的学习动机与需要上看，他们有探究新事物的欲望和好奇心，这为探究三角形内角和定理的证明策略及方法提供了情感保障。

（3）学生在学习三角形内角和定理的证明过程中，其认知顺序可能是建构型的。平行线是其原有知识储备的主要图式，他们利用原有图式完全可以同化三角形内角和定理。

3、障碍预测：

辅助线的作法是学生在几何证明过程中第一次接触，并且辅助线的添法没有统一的规律，要根据需要而定，另外本节课开始将训练学生把几何命题翻译为几何符号语言，这对学生来说都有一定接受难度。

四、教学重点、难点

重点：以三角形内角和定理的证明为载体，学习几何证明思想，以及辅助线的有关知识，体会数形结合思想。

难点：辅助线添加的必要性和具体方法：（1）为什么要添加；（2）在哪里添加；（3）如何添加；（4）哪种添加方法最简单。

五、教学过程

（一）知识回顾，积累经验

1、平行线的判定：

2、平行线的性质：

3、证明一个文字命题的一般步骤：

（二）情景再现，导入新课

问题2：前面我们学习的三角形三个内角的和等于180，是如何说明的？ 【设计意图】通过回忆结论的得出，进行分析、对比，感受证明的必要性。

教师引导学生将命题进行图形语言、符号语言的转化，为定理的证明做准备。

问题3：我们已经学习的与“180”有关的知识有哪些？

【设计意图】从这里入手为探究实验的操作指明方向，同时从“数”的方面引导学生探索定理的证明思路，逐步渗透“化归”的数学思想。

探究活动

把准备好的三角形拿出来，并将它的内角剪下，试着拼拼看，三个内角的和是否为

180？有几种拼法？拼完后与小组成员交流，比一比看哪组的拼法最多。

【设计意图】探究实验一方面可以激发学生的兴趣，另一方面为证明180从“形”的方面提供思路。从拼合的图形中学生不但能直观的看出辅助线与边的关系，还能寻找出严密的逻辑证明方法，从而为证明的引出打下伏笔。同时，学生在合作交流的过程中开阔了思维，锻炼了动手能力、严密的推理能力以及语言表达能力，增强了合作意识。

师生活动：

让学生每人提前准备几个硬纸剪的三角形，并把角剪下来，拼在一起，让他们自己得出结论。

学生可以展示不同的拼法：

A1A1MB23CB2312（1）

ACD

A1N213MB23（2）

（三）活用化归，证明定理

CB23C

根据前面给出的基本和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流.结论：

三角形三个内角的和等于180°。

师： 这是一个文字命题，证明时需要先干什么呢？

生：需要先画图形，根据命题的条件和结论写出已知、求证。

已知: ∠A、∠B、∠C 是△ABC的三内角.求证:∠A+∠B+∠C=180°

分析:延长BC到D,过点C作射线CE∥AB,这样,就相当于把∠A移到了∠ACE的位置,把∠B移到了∠ECD的位置.证明：延长BC到D，过点C作直线CE∥AB ∴∠B＝∠ECD（两直线平行，同位角相等）

∠ACE=∠A（两直线平行，内错角相等）∵∠ACE+∠ECD+∠ACB＝180°

∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°（等量代换）

【设计意图】培养学生运用基本事实和定理证明问题，有学会运用旧知解决新知，从以前的活动中思考获取解决的方法，有合作学习的能力，有探究新知的能力。

（四）开启智慧，分组探究

师：你还有其他方法来证明三角形内角和定理吗？

1、教师组织学生分组讨论：有了上面的知识作为铺垫，我们可以开展探究活动了，看哪组最先找到解决办法，找到的方法最多。

2、在学生开展探究的过程中，教师参与其中，对个别感到困难的小组可以进行适当的提示和引导。

3、教师指导学生添加辅助线，给出完整的“三角形内角和定理”的证明。

4、分组探究，成果展示

教师指导学生进行全班交流：（1）借助实物投影仪，将学生找到的添加辅助线的方法进行汇总展示。（2）在展示过程中，注意关注学生的表达以及寻找到的添加辅助线的方法，若有不全的，教师进行必要的提示。（3）引导学生将辅助线添加在三角形的顶部，边上及三角形内、外部均可。然后，进一步引导学生比较哪种最好。

【设计意图】1让学生在证明的过程中，进一步了解三角形内角和定理的证明思路，并且了解一题的多种证法，从而拓宽学生的思路．

（五）实践应用，培养能力

1，在直角三角形ABC中，已知∠A+∠B=90°,求证∠C=90°

推论：直角三角形两锐角互余

2、已知:如图在△ABC中，DE∥BC,∠A=60°, ∠C=70°.求证： ∠ADE=50°

（六）知识回顾，拓展延伸，3、如图，直线AB∥CD,在AB、CD外有一点P，连结

PB、PD，交CD于E点。则∠ B、∠ D、∠ P 之间是否存在一定的大小关系？

A B C

E

D

P

（七）畅谈收获，反思升华

篇6：三角形的内角和定理教案

旧市学校 李姿慧

教学目标

1.知识与技能 ：

⑴掌握三角形内角和定理的证明。

⑵初步体会添加辅助线证题，培养学生观察、猜想和论证的能力 2.过程与方法 ：

经历探索三角形内角和定理的过程，初步体会思维的多样性，给学生渗透化归的数学思想。

3.情感态度与价值观：

通过师生的共同活动，培养学生的逻辑思维能力，进而激发学生的求知欲和学习的 积极主动性。使学生主动探索，敢于实验，勇于发现，合作交流。

教学重点

三角形内角和定理的证明及其简单的应用。

教学难点

在三角形内角和定理的证明过程中如何添加辅助线。

教学用具

多媒体、三角板、学生每人准备一个纸片三角板。

教学过程

一、引入新课

分享小故事：《内角三兄弟之争》

在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结.可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了„„”“为什么？” 老二很纳闷.同学们，你们知道其中的道理吗？从而引出本节课的课题《三角形的内角和定理》

二、合作探究

1、［师］现在，我们来看两个电脑的动画演示，验证这个结论是不是正确的。

动画演示一 ［师］先将△ABC中的∠A通过平移和旋转到如上图所示的位置，再将图中的∠B通过平移到上图所示的位置。

拖动点A，改变△ABC的形状，三角形的三个内角和总等于180°

2.动画演示二

［师］先将三角形纸片(图(1))一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行(图(2))，然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相重合(图(3)(4)。)［师］由电脑的动画演示可知：∠A、∠B、∠C拼成的角总是一个平角，由此得到三角形的三个内角之和等于180°。[让学生直观感受,调动其研究兴趣]

我们通过观察与实验的方法猜想得到的结论不一定正确可靠，要判定一个数学结论正确与否，需要进行有根有据的推理、证明。这就是我们这节课所要研究的内容。

3、定理证明

［师］接下来我们来证明这个命题：三角形的三个内角之和等于180°。这是一个文字命题，证明时需要先做什么呢?

［生］需要先画出图形、根据命题的条件和结论，结合图形写出已知、求证。[有本章前面几节作为基础，学生有能力画图，写已知，求证。] ［师］很好!怎样证明呢?[ 联想前面撕角拼角的方法，学生能想到。让学生体会转化的数学思想方法，把新知识化为旧知识。] ［生］添加辅助线，延长BC到点D，过点C作CE∥AB，∠A=∠ACE，∠B=∠ECD，进而将三个内角拼成平角。[通过以上分析、研究，让学生讲解依据：根据平行线的性质，利用同位角,内错角把三角形三内角转化为一个平角。使学生亲身参与数学研究的过程，并在过程中体会数学研究的乐趣。] [实验法] 已知：△ABC 求证：∠A+∠B+∠C=180° 证明：延长BC到点D，过点C作CE∥AB

∵CE∥AB

∴∠A=∠ACE(两直线平行，内错角相等)

∠B=∠ECD(两直线平行，同位角相等)

∵∠ACE+∠ECD+∠BCA=180°

∴∠A+∠B+∠BCA=180°(等量代换)

[教师引导，要把三角形三个内角转化为上述两种角，就要在原图形上添加一些线，这些线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线常画成虚线，添辅助线是解决问题的重要思想方法。]

4、探究讨论：

五个学生为一组，探索三角形内角和定理的其它证法分析、证明方法。

［师］现在，各组派一名代表说明证明的思路。[学生自己得出的猜想和证明会更让他们乐于接受，而方法也在此过程中渗透给了学生。]

证法1.［生1］过点A作直线PQ∥BC，使三个角凑到“A”处。[通过分析、研究，让不同做法的学生讲解依据。]根据平行线的性质，利用内错角，把三角形三内角转化为一个平角。

证明：过点A作直线PQ∥BC

∵PQ∥BC

∴∠B=∠PAB(两直线平行，内错角相等)

∠C=∠QAC(两直线平行，内错角相等)

∵∠PAB+∠QAC+∠BAC=180°

∴∠B+∠C+∠BAC=180°(等量代换)证法2：［生5］过点A作AD∥BC，有∠C=∠2，将三个内角拼成一对同旁内角。

证明：过点A作射线AQ∥BC

∴∠C=∠QAC(两直线平行，内错角相等)

∠QAC+∠BAC+∠B=180°(两直线平行，同旁内角互补)

∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)3 ［师］同学们讨论得真棒。我们由180°联想到一平角等于180°，一对邻补角之和等于180°，两直线平行，同旁内角互补。由此，大家提供了这么多的的证明方法，说明你们能学以致用。接下来，我们做练习以巩固三角形内角和定理。[根据以上几种辅助线的作法，选择一种,师生合作，写出示范性证明过程。其余由学生自主完成证明过程。目的是培养学生的思维能力和推理能力。进一步搞清作辅助线的思路和合乎逻辑的分析方法，充分让学生表述自己的观点，这个过程对培养学生的能力极为重要，依据不充分时，学生可争论，师生共同小结。]

三、例题讲解

【例】在△ABC中，∠A=55°，∠B=25°，求∠C的度数。

变式一：∠A=40°，∠B比∠C大30°，求∠B、∠C的度数。

变式二：∠A的度数是∠B的度数的3倍，∠C比∠B大15°, 求∠A、∠B、∠C的度数。

[学生自主探索，教师巡视、诊断，让学生上台板演，学生辨析，教师小结。] [使学生灵活应用三角形内角和定理。用代数方法解决几何问题（方程思想）是重要的方法。]

四、随堂练习

1.（苏州·中考）△ABC的内角和为（）

A．180° B．360° C．540° D．720°

2.在直角三角形ABC中,一个锐角为40°,则另一个锐角是_______°.3.（济宁·中考）若一个三角形三个内角度数的比为2︰3︰4，那么这个三角形是（）

A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形

五、师生共同小结

本节课你们收获了什么？

六、课外作业

1.教材课后练习1、2、2.学法大视野第三课时 教学反思

三角形的有关知识是“空间与图形”中最为核心、最为重要的内容，它不仅是最基本的直线型平面图形，而且几乎是研究所有其它图形的工具和基础.而三角形内角和定理又是三角形中最为基础的知识，也是学生最为熟悉且能与小学、中学知识相关联的知识，看似简单，但如果处理不好，会导致学生有厌烦心理。

本节课的教学实现以下特点：

（1）通过折纸与剪纸等操作让学生获得直接经验，然后从学生的直接经验出发，逐步转到符号化处理，最后达到推理论证的要求。（2）充分展示学生的个性，体现“学生是学习的主人”这一主题。

篇7：三角形内角和定理的证明剖析

第1课时 三角形内角和定理

第一环节：情境引入

活动内容：（1）用折纸的方法验证三角形内角和定理．

实验1：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图6－38（1））然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图（2）、（3）），最后得图（4）所示的结果

（1）（2）（3）（4）

试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，还有其它折法吗？（2）实验2：将纸片三角形三顶角剪下，随意将它们拼凑在一起。

试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，如果只剪下一个角呢？ 活动目的：

对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。将自己的操作转化为符号语言对于学生来说还存在一定困难，因此需要一个台阶，使学生逐步过渡到严格的证明． 教学效果：

说理过程是学生所熟悉的，因此，学生能比较熟练地说出用撕纸的方法可以验证三角形内角和定理的原因。

第二环节：探索新知 活动内容：

① 用严谨的证明来论证三角形内角和定理． ② 看哪个同学想的方法最多？

A D A

E

E B B C

C

D

方法一：过A点作DE∥BC ∵DE∥BC ∴∠DAB=∠B，∠EAC=∠C（两直线平行，内错角相等）∵∠DAB+∠BAC+∠EAC=180° ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代换)方法二：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥BA．

∵CE∥BA ∴∠B=∠ECD（两直线平行，同位角相等）∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)活动目的：

用平行线的判定定理及性质定理来推导出新的定理，让学生再次体会几何证明的严密性和数学的严谨，培养学生的逻辑推理能力。教学效果：

添辅助线不是盲目的，而是为了证明某一结论，需要引用某个定义、公理、定理，但原图形不具备直接使用它们的条件，这时就需要添辅助线创造条件，以达到证明的目的．

第三环节：反馈练习活动内容：

（1）△ABC中可以有3个锐角吗？ 3个直角呢？ 2个直角呢？若有1个直角另外两角有什么特点？

（2）△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，∠B=？（3）∠A=50°，∠B=∠C，则△ABC中∠B=？

（4）三角形的三个内角中，只能有____个直角或____个钝角．（5）任何一个三角形中，至少有____个锐角；至多有____个锐角．（6）三角形中三角之比为1∶2∶3，则三个角各为多少度？

（7）已知：△ABC中，∠C=∠B=2∠A。

(a)求∠B的度数；

(b)若BD是AC边上的高，求∠DBC的度数？

活动目的：

通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对三角形内角和定理的概念是否清楚，能否灵活运用三角形内角和定理，以便教师能及时地进行查缺补漏． 教学效果：

学生对于三角形内角和定理的掌握是非常熟练，因此，学生能较好地解决与三角形内角和定理相关的问题。

第四环节：课堂小结 活动内容：

① 证明三角形内角和定理有哪几种方法？ ② 辅助线的作法技巧.③ 三角形内角和定理的简单应用.活动目的：

复习巩固本课知识，提高学生的掌握程度． 教学效果：

学生对于三角形内角和定理的几种不同的证明方法的理解比较深刻，并能熟练运用三角形内角和定理进行相关证明.课后练习：随堂练习；习题7.5第1，2，3题 教学反思

三角形的有关知识是“空间与图形”中最为核心、最为重要的内容，它不仅是最基本的直线型平面图形，而且几乎是研究所有其它图形的工具和基础.而三角形内角和定理又是三角形中最为基础的知识，也是学生最为熟悉且能与小学、中学知识相关联的知识，看似简单，但如果处理不好，会导致学生有厌烦心理，为此，本节课的设计力图实现以下特点：（1）通过折纸与剪纸等操作让学生获得直接经验，然后从学生的直接经验出发，逐步转到符号化处理，最后达到推理论证的要求。

（2）充分展示学生的个性，体现“学生是学习的主人”这一主题。

篇8：三角形内角和定理的证明剖析

关键词：几何画板应用,折叠法,三角形内角和定理,验证过程

随着科技的进步，课堂教学也与现代科技紧密结合，利用多媒体教学，可以使教学变得更加方便。首先，可以突破以往教学的难点，易于展示抽象的内容，例如立体图形等都可以用多媒体展示给学生，使学生易于理解;也可以为教师节约时间，将要在课堂中或课下花费时间重复制作的教具用多媒体制作展示，例如，在验证三角形内角和定理时，制作教具三角形，让学生折叠三个角使之成为平角。这样的教具虽然简单，但是每次都重复制作也浪费时间和资源。在此，我将展示如何应用几何画板展示用折叠法验证三角形内角和定理的过程，分两种情况进行展示，即直角三角形的展示和锐角三角形、钝角三角形的展示。

一、直角三角形的展示

第一步：作点A，选取线段工具，移动鼠标到A点，单击左键，并按住Shift键作线段AC，再将鼠标移动到C点，单击左键并按住Shift键作线段CB，连接线段AB，则完成三角形ABC的制作。选取线段工具，在线段AB上取一点E，按住Shift键作BC的平行线EF交AC于F点，同理过E点作AC的平行线EG交BC于G点。

第二步：选中线段AC、BC、AB，按Ctrl+H键，隐藏线段AC、BC、AB，选择线段工具，连接线段AE、BE、AF、FC、BG、GC。

第三步：选中点E、A、C，点击菜单栏上构造菜单，构造过三点弧EAC。

第四步：选中弧EAC，点击构造菜单，构造弧上点A，连接线段AE、AD。

第五步：选中构造点A点再选中C点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为折叠A，再选中构造点A点，选中原A点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为恢复A。隐藏三角形上的点A，线段AE、AF及弧EAC。则可完成折叠角A的过程。

第六步：过点E、B、C作过三点弧EBC，点击构造菜单，构造弧上点B，连接线段BE、BG。选中构造点B点再选中C点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为折叠B，再选中构造点B点，选中原B点，点击编辑菜单，择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为恢复B。隐藏三角形上的点B，线段BE、BG及弧EBC。则可完成折叠角B的过程。

最终直角三角形的折叠如下：

观察图像可得结论：将角A和角B折叠后所得的角ECF为九十度，即角A加角B为九十度，而角C为直角,因此角A加上角B加上角C为一百八十度。可得此三角形内角和为一百八十度。

二、锐角三角形或钝角三角形的展示

第一步：选择作点工具，作点A、B、C，选择线段工具，连接线段AB、AC、BC，过A点作BC的垂线交BC于D点，隐藏垂线，连接线段AD，选取线段工具在线段AB上取一点E选中线段BC作BC的平行线交AC于F点，隐藏平行线，连接线段EF，同理过E点作AD的平行线EG交BC于G点，过F点作AD的平行线FH交BC于H点。

第二步：隐藏线段AB、AC、BC，连接线段AE、AF、BE、BG、GH、CF、CH、DE、DF。

第三步：作线段AD上的点，记为A，连接AE、AF，选中构造点A，选中点D，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为折叠A，再选中构造点A点，选中原A点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为复原A。隐藏三角形上的点A，线段AE、AF及垂线段AD。则可完成折叠角A的过程。

第四步：过点E、B、D作过三点弧EBD。

第五步：选中弧EBD，点击构造菜单，构造弧上点B，连接线段BE、BG。选中构造点B点再选中D点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为折叠B，再选中构造点B点，选中原B点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为复原B。隐藏三角形上的点B，线段BE、BG及弧EBD。则可完成折叠角B的过程。

第六步：选中点F、C、D，作过三点弧FCD，选中弧FCD，点击构造菜单，构造弧上点C，连接线段CF、CH。选中构造点C点再选中D点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为折叠C，再选中构造点C点，选中原C点，点击编辑菜单，选择操作类按钮，选择移动按钮，将按钮标签改为复原C。隐藏三角形上的点C，线段CF、CH及弧FCD。则可完成折叠角C的过程。

最终锐角或钝角三角形折叠如下：

观察图像可得结论：角A、角B、角C折叠后形成一个平角，即角A的度数加上角B的度数加上角C的度数为一百八十度，即三角形内角和为一百八十度。

篇9：三角形内角和定理的应用

一、求三角形中角的度数

例1已知△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=2∶3∶4，求各内角的度数.

分析：这个比例式是以后学习中经常遇到的.我们知道，三角形的内角和是180°，如果将角的比例式转化为每一个角的度数，问题就可解决.设参数是个好方法.

解：设∠A、∠B、∠C的度数分别为2x、3x、4x.

根据三角形内角和定理，得2x+3x+4x=180°.

解得x=20°.

∴∠A=2×20°=40°，∠B=3×20°=60°，∠C=4×20°=80°.

二、求特殊图形中某些角的度数之和

例2如图1，求五角星的五个顶角的度数之和.

分析：观察图1可发现，∠2=∠B+∠D，∠1=∠E+∠C，这样将五个角的度数集中到一个三角形中.

解： 由三角形内角和定理的推论，得

∠B+∠D=∠2，∠C+∠E=∠1.

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E

=∠A+∠2+∠1

=180°.

三、确定角与角之间的关系

例3如图2，AD、BE、CF为△ABC的三条角平分线，它们交于O点，则∠DOC与∠ABE的关系是（）.

A. 相等 B. 互余C. 互补D. 无法判断

分析：观察图2，∠1+∠2+∠ABE是△ABC内角和的一半，即90°.又∠DOC是△OAC的一个外角，所以∠DOC=∠1+∠2，那么∠DOC+∠ABE=90°.

解： ∵∠DOC=∠1+∠2

=∠BAC+∠BCA

=（180°－∠ABC）

= 90°-∠ABC

=90°-∠ABE，

∴∠DOC+∠ABE=90°， 即两角互余.故应选B.

篇10：八年级数学三角形内角和定理

主备：崔友丽 王维玉 审核：崔兴泉

课本内容：p126—p127

课前准备：

刻度尺、三角板 学习目标：

（1）知识与技能 ：

掌握“三角形内角和定理”的证明过程，并能根据这个定理解决实际问题。（2）过程与方法 ：

通过学生猜想动手实验，互相交流，师生合作等活动探索三角形内角和为180度，发展学生的推理能力和语言表达能力。对比过去撕纸等探索过程，体会思维实验和符号化的理性作用。逐渐由实验过渡到论证。

通过一题多解、一题多变等，初步体会思维的多向性，引导学生的个性化发展。（3）情感态度与价值观：

通过猜想、推理等数学活动，感受数学活动充满着探索以及数学结论的确定性，提高学生的学习数学的兴趣。使学生主动探索，敢于实验，勇于发现，合作交流。

一．自主预习课本p126—p127内容，独立完成课后练习1、2后，与小组同学交流（课前完成）

二． 回顾课本p126—p127思考下列问题：

1、三角形的内角和是多少度？你是怎样知道的？

2、那么如何证明此命题是真命题呢？你能用学过的知识说一说这一结论的证明思路吗？你能用比较简洁的语言写出这一证明过程吗？与同伴进行交流。

3、回忆证明一个命题的步骤 ①画图

②分析命题的题设和结论，写出已知求证，把文字语言转化为几何语言。③分析、探究证明方法。

4、要证三角形三个内角和是180°，观察图形，三个角间没什么关系，能不能象前面那样，把这三个角拼在一起呢？拼成什么样的角呢？

①平角，②两平行线间的同旁内角。

5、要把三角形三个内角转化为上述两种角，就要在原图形上添加一些线，这些线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线常画成虚线，添辅助线是解决问题的重要思想方法。如何把三个角转化为平角或两平行线间的同旁内角呢？

① 如图1，延长BC得到一平角∠BCD，然后以CA为一边，在△ABC的外部画∠1=∠A。

② 如图1，延长BC，过C作CE∥AB③ 如图2，过A作DE∥AB

④ 如图3，在BC边上任取一点P，作PR∥AB，PQ∥AC。

三、巩固练习

四、学习小结：（回顾一下这一节所学的，看看你学会了吗？）

五、达标检测： 1.、2、六、布置作业

三角形内角和定理导学案（第二课时）

课本内容：P127-P65例

1、例2 课前准备：三角板 学习目标

1、三角形的外角的概念和三角形的内角和定理的两个推论。

2、.经历探索三角形内角和定理的推论的过程，进一步培养学生的推理能力，理解掌握三角形内角和定理的推论及其应用。

3、通过探索三角形内角和定理的推论的活动，来培养学生的论证能力，拓宽他们的解题思路，从而使他们灵活应用所学知识。学习重点：三角形内角和定理的推论。

学习难点：三角形的外角、三角形内角和定理的推论的应用。

一：自主预习课本P127-P65例

1、例2，完成课后练习题后，与小组同学交流（课前完成）

二、回顾课本思考下列问题：

1、复习旧知

上节课我们证明了三角形内角和定理，大家来回忆一下：它的证明思路是什么？

2、尝试发现、探索新知 那什么叫三角形的外角呢？

三角形的一边与（）组成的角，叫做三角形的外角。

3、动手操作，合作探究，发现新知：

教师活动：∠1是△ABC的一个外角，∠1与图中的其他角有什么关系呢？能证明你的结论吗？

引导学生通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理： 三角形的外角的性质

三角形的一个外角等于（）。三角形的一个外角大于任何一个（）。

在这里，我们通过三角形内角和定理直接推导出两个新定理，像这样，由一个公理或定理直接推导出的定理叫做这个公理或定理的推论（corollary）。

因此这两个结论称为三角形内角和定理的推论.它可以当做定理直接使用。注意：应用三角形内角和定理的推论时，一定要理解其意思.即：“和它不相邻”的意义。

4、练习

B

已知：如图，求∠C的度数。

C 75A

E5、例题分析，拓展思维

D例1：已知，如图，在△ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C，求证： AAD∥BC

CB2、证明：三角形的三个外角和360。

三、巩固练习：

四边形的四个外角和是（），并说明理由。

1、已知：如图，五角星形的顶角分别是，，C

求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180

DB

EA

议一议：

有的 同学想连结CD，把五个角“凑”到内，他的想法可行吗？ 小组讨论，尝试证明

2、如图：已知，在⊿ABC中，1是它的一个外角，E为边 AC上的一点，延长BC到点D，连接DE,证明： 1﹥ 2

点拨：看到要证两个角的不等关系，会让我们想到三角形内角和定理的推论2，但此题中的∠1和∠2却不是一个三角形的内角和外角，所以我们应找到一个间接量来牵线搭桥，那么可以找谁呢？

A1BD⌒⌒2EC

四、学习小结：（回顾一下这一节所学的，看看你学会了吗？）

五、达标检测

1、课本P94 随堂练习1

2、三角形的三个外角中最多有_______个锐角。

3、如图：求 A＋ B＋ C＋ D＋ E＋ F？

4、△ ABC中，BE为∠ABC的平分线，CE为∠ACD的平分线，两线交BA于E点。你能找出∠E与∠A有什么关系吗？

六、布置作业

篇11：三角形内角和定理导学案

成功其实很简单，就是当你坚持不住的时候，再坚持一下！

-----教师寄语

学前预习案

1、复习知识点：平角、平行线的性质、平行线的判定

2、用硬纸剪一个三角形

3、预习第五章情景导航 教学过程

一、学习目标

（一）学习知识点：三角形的内角和定理的证明.（二）能力训练要求：掌握三角形内角和定理，并初步学会利用辅助线证题，同时培养学生观察、猜想和论证能力.（三）情感与价值观要求：通过新颖、有趣的实际问题，来激发学生的求知欲.二、自读文本，自学感知

1.结合课本情景导航，通过动手操作，探究三角形内角和。思考后小组展示。2.结合探究过程思考如何证明。并将证明过程整理出来，思考后小组展示。

三、答疑解难，精讲点拨

1、写出证明过程

2.你还能用哪些添加辅助线的方法，证明三角形内角和定理呢？

3.由下图及三角形内角和定理，你还发现了什么？写出你的发现并证明

四、质疑问难

合作探究

1、如图,AB//CD,∠ABD与∠BDC的平分线相交于点O,求∠O的度数.2.已知:如图,在△ABC中,AD平分外角∠EAC,∠B= ∠C.求证:AD∥BC.五、课堂小结

三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800

推论1:三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.推论2:三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角

在几何证明中，辅助线起非常重要的作用，添加不同的辅助线解法也不同。

六、当堂检测

1、已知:如图,在△ABC中, ∠1是它的一个外角, E为边AC上一点,延长BC到D,连结DE.求证: ∠1>∠2.2、已知：如图，在△ABC中，DE//BC，∠A = 60°，∠C=70°。求证：∠ADE = 50°

3、△ABC中，已知∠A:∠B:∠C=3:2:1，则∠A=___ ° ∠B=___ ° ∠C=___

拓展延伸

1、AD、AF分别是△ABC的高和角平分线，已知∠B = 36°，∠C = 76°，求∠DAF

篇12：初中三角形内角和定理教学设计

教学目标：

知识目标：

(1)理解和验证“三角形的内角和等于180度”。 (2)运用三角形内角和结论解决问题。 能力目标：

(1)通过学生猜、测、拼、折、观察等活动，培养学生探索、发现能力、观察能力和动手操作能力。

(2)会用平行线的性质和平角定义证明三角形的内角和等于180度。 (3)初步培养学生的说理能力。 情感目标：

(1)让学生在探索活动中产生对数学的好奇心，发展学生的空间观念; (2)体验探索的乐趣和成功的快乐，增强学好数学的信心。

教学重点：探究发现和验证“三角形的内角和180度”这一规律的过程，并归纳总结出规律。

教学难点：对不同探究方法的指导和学生对规律的灵活应用。 课前准备：学生准备不同类型的三角形各一个，三角尺、量角器。

教学过程

一、情境导入

如图，假如你正站在金字塔下，现有用于测量角的量角器，但为了保护文化遗产，在不允许人攀爬的情况下，你能想办法得出某一个侧面的三角形中三个角的度数吗?(以小组为单位议一议)

预设学生回答：可以测出侧面三角形底边的两个角后，求出塔尖处的侧面角。进而引出三角形内角、内角和的概念。

二、探索过程

活动一：探索三角形的内角和定理

(1)以小组为单位测量一下一幅三角板的每个内角的度数，并求出两个三角板的内角和。

教师引导语：任意一个三角形的三个内角和都相同吗?它是多少度呢?能否用你准备好的三角形验证一下?

(2)测量已准备好的三角形三内角的度数，得出任意一个三角形的内角和是180度。

设计意图：使学生通过最基本的测量的方法，经历从特殊到一般的探索过程，从“数”的方面引导学生探索定理，逐步渗透“化归”的数学思想。让学生直观的发现三角形三个内角和是180度。 活动二：实验验证三角形内角和是180度

教师引导语：除了测量，你利用手中的三角形，还有别的方法验证三角形内角和是180度吗?

预设学生1：用剪拼的方法验证三角形内角和定理. (1)学生将三角形的三个内角剪下，分小组做拼角实验。

(2)各小组派代表展示拼图，并说出理由。

归纳：可以搬一个角用“两直线平行，同旁内角互补”来说理，也可以搬两个角、三个角用“平角定义”说明。引导学生合理添加辅助线(学生讨论，教师点评)，为书写证明过程做好铺垫。

预设学生2：用折纸的方法验证三角形内角和定理.(若没有，教师适时引导：是否可以通过折纸的方法验证呢?) 预设学生展示：先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行(图(1))然后把另外两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合(图(2)、(3))，最后得图(4)所示的结果。

(1)

(2)

(3)

(4)

试用自己的语言说明这一结论的证明思路。想一想，还有其它折法吗? 设计意图：让学生动手操作，使学生从“形”的方面直觉感知三角形角的变化与内角和的关系，让学生产生需要，主动去发现，主动去探索，主动去解决问题，主动去证明，充分调动学生。学生在合作交流的过程中开阔了思维，锻炼了动手能力、严密的推理能力以及语言表达能力，增强了合作意识。同时，让他们通过观察思考操作验证归纳的过程， 为证明从“形”的方面提供思路。从拼合的图形中学生不但能直观的看出辅助线与边的关系，还能寻找出严密的逻辑证明方法，从而为证明的引出打下伏笔。 活动三：证明三角形内角和定理

教师引导语：通过实验你对三角形的内角和是180度，还有怀疑吗?但这些还不够，数学中的真命题都需进行严谨的说理证明后，从能称之为定理。实际上前面的剪拼和折纸实验已经为我们的证明提供了思路，你发现了吗?接下来同学们分小组来证明：三角形的内角和等于180°这个真命题。 活动内容：

(1)小组合作用严谨的证明来论证三角形内角和是180度; (2)每小组派代表展示，比一比哪组同学想的方法多? (证明前，教师引导学生把命题证明题的已知、求证写出来)

已知：如图，△ABC。求证：∠A+∠B+∠C=180°

预设学生展示1：

证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB.则 ∠ACE=∠A(两直线平行，内错角相等) ∠ECD=∠B(两直线平行，同位角相等) ∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180° ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代换)

即：∠A+∠B+∠C=180°。 预设学生展示2：

证明：作BC的延长线CD，作∠ECD=∠B.则：EC∥AB(同位角相等，两直线平行) ∴∠A=∠ACE(两直线平行，内错角相等) ∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°

∴∠ACB+∠A+∠B=180°(等量代换) 预设学生展示3：

证明：作BC的延长线CD，过点C作射线CE∥AB.则 ∠ACE=∠A(两直线平行，内错角相等)

∴∠B+∠BCE=180°(两直线平行，同旁内角互补) 即∠B+∠ACB+∠ACE=180°

∴∠ACB+∠A+∠B=180°(等量代换)

预设学生展示4：也可以在三角形的一边上任取一点，然后过这一点分别作另外两边的平行线

如图，在BC上任取一点D，过点D分别作DE∥AB交AC于E，DF∥AC交AB于F ∴四边形AFDE是平行四边形(平行四边形的定义) ∠BDF=∠C(两直线平行，同位角相等) ∠EDC=∠B(两直线平行，同位角相等) ∴∠EDF=∠A(平行四边形的对角相等) ∵∠BDF+∠EDF+∠EDC=180° ∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换)

师总结：非常好，大家用不同的方法通过推理的过程，得证了命题：三角形的内角和等于180°是真命题，这时称它为定理。即：三角形的内角和定理。 设计意图：教师指导学生从不同角度思考，展示证法的多样性。通过定理的证明使学生感受几何证明的思想，体会辅助线添加方法的多样性以及在几何问题解决中的桥梁作用，渗透“最优化”思想。

三、学以致用

学生独立完成，并找代表展示

(1)在△ABC中，∠B=58°，∠C=60°，则∠A的度数等于多少? (2)在△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=? 一个三角形中，能不能有两个角是直角或钝角?

(3)在△ABC中，∠B=∠C=1/2∠A，则∠A的度数是多少?

(4)在△ABC中，DE//BC，∠A=50°，∠C=70°，求证：∠ADE=60°

设计意图：设计四道阶梯式题型，目的面向全体学生，抓住“双基”让每一位学生都有成就感，(3)(4)题是提高题，让学生在不同层次上发展，以此提高学生分析问题，解决问题的能力，并突破重点.

四、课堂小结