三角形的内角和是多少度

三角形的内角和是多少度（共6篇）

篇1：三角形的内角和是多少度

三角形的角，除了在平面上内角和等于180°的定理外，还有以下几个特征

1、在平面上，三角形的外角和等于360°。

2、在平面上，三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。

3、一个三角形的`三个内角中最少有两个锐角。

4、在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

5、在一个直角三角形中，若一个角等于30度，则30度角所对的直角边是斜边的一半。

篇2：三角形的内角和是多少度

在整个教学设计上盛老师充分体现“以学生发展为本”教育理念，将教学思路拟定为“谈话激趣设疑导入—— 猜想——验证{自主探究}——巩固内化——拓展延伸”，努力构建探索型的课堂教学模式。具体体现在以下几点：

善用激趣设疑导入。刚开始上课，盛老师用选王大会设悬念，三种类型的角在激烈的争执，到的谁的内角和大呢？这样，在很短的时间内最大限度的激发学生探究数学的愿望和兴趣，而且也很自然地揭示了课题。

巧用猜想：学生有了探索的愿望和兴趣，可是不能没有目标的去探索，那样只会事倍功半，甚至没有结果，这时教师提到到底三角形的内角和是不是180度呢，使后边的探索和验证活动有了明确的目标。

善用验证{自主探索}：学生形成统一的猜想{即三角形的内角和等于180度}后，教师就把课堂大量的时间和空间留给学生，让他们开展有针对性的数学探究活动{即验证三角形的内角和是否是180度？}，在活动中，把放和引有机的结合，鼓励学生积极开动脑筋，从不同的途径探索解决问题的方法。不但让每个学生自主参与验证活动，而且使学生在经历观察、操作、分析、推理和想象活动过程中解决问题，发展空间观念和论证推理能力。具体过程为：量一量——拼一拼——看一看。

善于引导巩固内化：盛老师还非常注意将数学的思考融入不同层次的练习之中，很好的发挥练习的作用，这些练习设计目的明确，针对性强，使学生不但巩固了知识，更重要的是数学思维得到不断的发展。

篇3：三角形的内角和是多少度

曾老师设计的教案中,第一部分是让学生运用猜想、图形剪拼、测量、归纳等方法发现这样一个结论:“三角形的内角和是180°”,第二部分教学内容就是运用演绎方法证明结论(教学过程如下)。

“(二)运用演绎方法证明结论

师:三角形的内角和确实是180°,如何用我们学过的数学知识来证明这个结论呢?

生:对于直角三角形,可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形(图略)。长方形四个角是直角,其内角和为90°×4=360°,这样每个直角三角形的内角和为180°。对于锐角和钝角三角形,我还没想出来。

生:对于非直角三角形,可以在内部作一条高,将其分成两个直角三角形(图略)。这样两个直角三角形的内角和为360°,减去高与底边所成的两个直角的度数,就得到所求的非直角三角形的内角和为180°。……

师:嗯,非常好!这样,我们就成功地证明了‘三角形的内角和为180°’这个非常重要的数学结论。”

事实上,这个被教师称为“成功的证明”并不是用演绎推理方法进行的“证明”,其“证明”过程中存在着两个值得商榷的问题。

一、“长方形的内角和是360°”是怎么得到的

证明过程中用到了“长方形的内角和是360°”这个结论,这个结论是怎么得到的?

一般地,“四边形的内角和是360°”是通过将四边形用对角线分成两个三角形,再由“三角形内角和是180°”推导出来的。因为长方形是四边形,所以内角和是360°(当然也可直接将长方形分成两个三角形进行推导)。人教版教材在“三角形内角和”的教学中还安排了这样一个练习:“根据三角形内角和是180°,你能求出下面的四边形和正六边形的内角和吗?”由此可知,小学中求多边形内角和确实以“三角形内角和是1800”为依据。这样一来,证明过程就会有“循环证明”之嫌。好在长方形是特殊的四边形,教师可以不用“三角形内角和是180°”为依据,而是可以根据它的定义“有一个角是直角的平行四边形是矩形(长方形)”及平行线的某些性质(例如同旁内角互补)推导出长方形四个角都是直角,从而得到了“长方形内角和是360°”的结论,但是“平行线的性质”是初中数学的教学内容,并不是四年级小学生所掌握的知识,论证过程中不好应用。曾老师也许考虑到了这一点,因此提出了另一种说法,认为长方形四个角都是直角是“默认为正确的而不加以证明,相当于平面几何中的公理”。为了证明需要,就把“长方形四个角都是直角”当作“公理”而不加以证明,并且把它当作演绎推理的依据,这样处理不是很妥当。其实,即使把“长方形四个角都是直角”当作“公理”,仅用小学数学中的一些知识,要用演绎法来证明“三角形的内角和是180°”也是做不到的。

二、两个完全一样的直角三角形为什么可以拼成一个长方形

学生在开始“证明”时就提出:“可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形。”这正是“证明结论”的关键。然而,正是这句话出了问题。试想在还不知道直角三角形的内角和是180°时,怎么能知道这样两个直角三角形一定能拼成一个长方形呢?

为了方便,笔者借助图形来说明问题。

假设△ABC和△CDA是两个完全一样的直角三角形,其中∠B=∠D=90°,∠2=∠4,∠1=∠3,BC=DA,AB=CD,A C=CA,把这两个三角形如图所示拼起来,如果能拼成一个长方形,那么必须满足条件:∠1+∠2=90°,∠3+∠4=90°。由于∠2=∠4,∠1=∠3,所以就有∠1+∠4=90°,∠2+∠3=90°。由此可知,当你说“可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形”时,已经应用了直角三角形的内角和是180°”这个结论。这样一来,证明过程就形成了这样一个怪圈:先默认直角三角形的内角和是180°,否则它的两个锐角就不能拼成一个直角)→它的两个锐角可以拼成一个直角→两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形→长方形内角和是360°→每个直角三角形的内角和是180°。显然,用这样的方法来证明“三角形的内角和是180°”是错误的。这种“证明”方法的实质是用直角三角形的两个锐角拼一拼,而且没有任何理由就认定了这两个锐角拼成了一个直角,这根本不是在用“演绎方法”证明“直角三角形的内角和是180°”。再以此结论为依据来证明“非直角三角形的内角和也是180°”就失去了意义。像这种错误的“证明”也并不鲜见,例如在《中小学数学》2009年第12期中刊登的《“三角形内角和”一课的教学现象分析与思考》一文中也是用这种方法证明的,在公开发表的这些文章影响下,估计这样的错误证法还会在课堂教学中出现,对此教师应该予以足够重视。

要证明“三角形的内角和是180°”是需要以平行线的性质为基础的,在初中数学教材中,应用平行线的性质很容易用演绎推理的方法证明这个结论(证明略)。华东师大的张奠宙教授曾在《小学教学》(数学版)2011年第3期中指出:“要证明三角形内角和的定理,平行公理无论如何是绕不过去的。”显然,学生在未掌握平行线性质的情况下,要用演绎推理的方法来证明“三角形内角和是180°”是不可能的,而事实上也是没有必要的。《数学课程标准(实验稿)》第24页对这一内容提出的教学目标是了解“三角形内角和是180°”,与四年级下册数学教材(人教版)配套的《教师教学用书》第135页上对这一内容提出的教学目标是知道“三角形的内角和是180°”。有些教师在实际教学中总是喜欢拔高教学目标,例如对于“三角形内角和”这一教学内容,不仅要学生“知道三角形内角和是180°”,而且还要求他们用演绎推理的方法来证明,这样做有时真的会“弄巧成拙”。

篇4：三角形的内角和是多少度

曾老师设计的教案中，第一部分是让学生运用猜想、图形剪拼、测量、归纳等方法发现这样一个结论：“三角形的内角和是180°”，第二部分教学内容就是运用演绎方法证明结论（教学过程如下）。

“（二）运用演绎方法证明结论

师：三角形的内角和确实是180°，如何用我们学过的数学知识来证明这个结论呢？

生：对于直角三角形，可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形（图略）。长方形四个角是直角，其内角和为90°×4=360°，这样每个直角三角形的内角和为180°。对于锐角和钝角三角形，我还没想出来。

生：对于非直角三角形，可以在内部作一条高，将其分成两个直角三角形（图略）。这样两个直角三角形的内角和为360°，减去高与底边所成的两个直角的度数，就得到所求的非直角三角形的内角和为180°。……

师：嗯，非常好！这样，我们就成功地证明了‘三角形的内角和为180°’这个非常重要的数学结论。”

事实上，这个被教师称为“成功的证明”并不是用演绎推理方法进行的“证明”，其“证明”过程中存在着两个值得商榷的问题。

一、 “长方形的内角和是360°”是怎么得到的

证明过程中用到了“长方形的内角和是360°”这个结论，这个结论是怎么得到的？

一般地，“四边形的内角和是360°”是通过将四边形用对角线分成两个三角形，再由“三角形内角和是180°”推导出来的。因为长方形是四边形，所以内角和是360°（当然也可直接将长方形分成两个三角形进行推导）。人教版教材在“三角形内角和”的教学中还安排了这样一个练习：“根据三角形内角和是180°，你能求出下面的四边形和正六边形的内角和吗？”由此可知，小学中求多边形内角和确实以“三角形内角和是180°”为依据。这样一来，证明过程就会有“循环证明”之嫌。好在长方形是特殊的四边形，教师可以不用“三角形内角和是180°”为依据，而是可以根据它的定义“有一个角是直角的平行四边形是矩形（长方形）”及平行线的某些性质（例如同旁内角互补）推导出长方形四个角都是直角，从而得到了“长方形内角和是360°”的结论，但是“平行线的性质”是初中数学的教学内容，并不是四年级小学生所掌握的知识，论证过程中不好应用。曾老师也许考虑到了这一点，因此提出了另一种说法，认为长方形四个角都是直角是“默认为正确的而不加以证明，相当于平面几何中的公理”。为了证明需要，就把“长方形四个角都是直角”当作“公理”而不加以证明，并且把它当作演绎推理的依据，这样处理不是很妥当。其实，即使把“长方形四个角都是直角”当作“公理”，仅用小学数学中的一些知识，要用演绎法来证明“三角形的内角和是180°”也是做不到的。

二、 两个完全一样的直角三角形为什么可以拼成一个长方形

学生在开始“证明”时就提出：“可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形。”这正是“证明结论”的关键。然而，正是这句话出了问题。试想在还不知道直角三角形的内角和是180°时，怎么能知道这样两个直角三角形一定能拼成一个长方形呢？

为了方便，笔者借助图形来说明问题。

假设△ＡＢＣ和△ＣＤＡ是两个完全一样的直角三角形，其中∠Ｂ=∠D=90°，∠２＝∠４，∠１＝∠３，ＢＣ＝ＤＡ，ＡＢ＝ＣＤ，ＡＣ＝ＣＡ，把这两个三角形如图所示拼起来，如果能拼成一个长方形，那么必须满足条件：∠１＋∠２＝90°，∠３＋∠４＝90°。由于∠２＝∠４，∠１＝∠３，所以就有∠１＋∠４＝90°，∠２＋∠３＝90°。由此可知，当你说“可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形”时，已经应用了直角三角形的内角和是180°”这个结论。这样一来，证明过程就形成了这样一个怪圈：先默认直角三角形的内角和是180°，否则它的两个锐角就不能拼成一个直角）→它的两个锐角可以拼成一个直角→两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形→长方形内角和是360°→每个直角三角形的内角和是180°。显然，用这样的方法来证明“三角形的内角和是180°”是错误的。这种“证明”方法的实质是用直角三角形的两个锐角拼一拼，而且没有任何理由就认定了这两个锐角拼成了一个直角，这根本不是在用“演绎方法”证明“直角三角形的内角和是180°”。再以此结论为依据来证明“非直角三角形的内角和也是180°”就失去了意义。像这种错误的“证明”也并不鲜见，例如在《中小学数学》2009年第12期中刊登的《“三角形内角和”一课的教学现象分析与思考》一文中也是用这种方法证明的，在公开发表的这些文章影响下，估计这样的错误证法还会在课堂教学中出现，对此教师应该予以足够重视。

要证明“三角形的内角和是180°”是需要以平行线的性质为基础的，在初中数学教材中，应用平行线的性质很容易用演绎推理的方法证明这个结论（证明略）。华东师大的张奠宙教授曾在《小学教学》（数学版）2011年第3期中指出：“要证明三角形内角和的定理，平行公理无论如何是绕不过去的。”显然，学生在未掌握平行线性质的情况下，要用演绎推理的方法来证明“三角形内角和是180°”是不可能的，而事实上也是没有必要的。《数学课程标准（实验稿）》第24页对这一内容提出的教学目标是了解“三角形内角和是180°”，与四年级下册数学教材（人教版）配套的《教师教学用书》第135页上对这一内容提出的教学目标是知道“三角形的内角和是180°”。有些教师在实际教学中总是喜欢拔高教学目标，例如对于“三角形内角和”这一教学内容，不仅要学生“知道三角形内角和是180°”，而且还要求他们用演绎推理的方法来证明，这样做有时真的会“弄巧成拙”。

文中不妥之处敬请各位老师批评指正。

（浙江省杭州师范大学初等教育学院 310036）

篇5：三角形的内角和是多少度

关键词：多种方法；三角形；内角和；转化；思路

中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2011）11-031-02

在初一的数学中，我们学习了三角形的内角和定理，知道了三角形的内角和为180°。对于这个定理，我们可以利用多种方法进行证明，以下是我从几个不同的方面总结的几种证明方法，现拿来分享，以拓宽学生的思维：

三角形内角和定理三角形三个内角的和等干180°

已知：如图1，∠A、∠B、∠C分别为三角形ABC的三个内角，

求证：∠A+∠B+∠C=180°

分析：当我们碰到新问题感觉无法下手时，通常我们可以将新问题通过各种方法转化为已经学过的问题进行证明，这样的方法在初中的几何学中经常会用到，它可以为我们解决新问题带来很大的帮助。证明三角形的内角和，就可以运用这种方法。我们先想想在那些地方碰到过关于180°的角的问题，这会给我们的证明拓宽一定的思路。

思路1：在小学里我们在说明这个问题时是用一张三角形的纸片。将三角形的三个角剪下来，然后拼在一起，从而得到一个平角。说明三角形的内角和为180°。

思路2：然而，不是所有的三角形都可以剪的下来。今天，要证明三角形的三个内角之和等于180°，虽然不能用以前的老方法，但思路和以前有些相似，我们学过一个平角是180°，那么，是否能够设法将三角形的三个内角拼成一个平角，从而，进行说明呢？为此，用辅助线构造出一个平角，再用平行线“移动”内角，将其集中起来。

思路3：我们知道，当两条平行线被第三条直线所截时的同旁内角互补，也就是它们的和为180°，那么，能否将三角形的三个内角集中到平行线的一组同旁内角上来呢?因此，我们想办法将三角形的三个内角放在两条平行线的两同旁内角的位置上。

利用第一种思路用一张三角形的纸片，将三角形的三个角剪下来，然后拼在一起，从而组成一个平角。但组成的角是不是就是一个标准的平角呢再加上手工时的误差，所以很难清楚的进行说明，跟何况不是所有的三角形都可以剪的下来。因此，在这里，我主要是根据后面的两种思路，总结出下面的几种证明方法。

利用第二种思路得到下列几种证明方法：

证法一：如图2，延长边BC到D，并过顶点C作CE∥BA；

∵CE∥BA（作图）

∴∠1=∠A(两直线平行，内错角相等)，

∠2=∠B(两直线平行，同位角相等).

又∵∠1+∠2+∠ACB＝180°(平角的定义)，

∴∠A+∠B+∠ACB＝180°.

证法二： 如图3，过顶点C作DE∥AB；

∵DE∥AB（作图）

∴∠1＝∠A，∠2＝∠B(两直线平行，内错角相等)．

又∵∠1+∠ACB+∠2＝180°(平角的定义)，

∴∠A+∠ACB+∠B＝180°

证法三：如图4，在BC边上任取一点D，作DE∥BA，DF∥CA，分别交AC于E，交AB于F；

则∠2＝∠B，∠3＝∠C(两直线平行，同位角相等)，

∠1＝∠4(两直线平行，内错角相等)，

∠4＝∠A(两直线平行，同位角相等)，

∴∠1＝∠A(等量代换).

又∵∠1+∠2+∠3＝180°(平角的定义)，

∴∠A+∠B+∠C＝180°.

证法四：如图5， 作BC的延长线CD，在△ABC的外部以CA为一边，CE为另一边画∠1＝∠A；（也可以直接作CE∥BA）

于是CE∥BA(内错角相等，两直线平行).

∴∠B＝∠2(两直线平行，同位角相等).

又∵∠1+∠2+∠ACB＝180°(平角的定义)，

∴∠A+∠B+∠ACB=180°.

证法五：如图6，在△ABC的内部任取一点D，连结AD、BD，并延长分别交边BC、AC于点E、F，再连结CD；

则∠7=∠1+∠2，∠8＝∠3+∠4，∠9=∠5+∠6(三角形的任何一个外角等于和它不相邻的两个内角的和).

又∵∠7+∠8+∠9=180° (平角的定义)，

∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°.

即∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°．

根据第三种思路，也可以设计出几种证法，证法如下：

证法六：如图7，过顶点C作CD∥BA；

则∠1＝∠A(两直线平行，内错 角相等)．

∵CD∥BA.

∴∠1+∠ACB+∠B＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．

∴∠A+∠ACB+∠B＝180°.

证法七：如图8 ，任意作线段AD交BC于D，分别过点B、C作BE∥DA，CF∥DA；

则∠1＝∠3，∠2＝∠4(两直线平行，内错角相等).

∵BE∥DA，CF∥DA，

∴BE∥CF.

∴∠3+∠ABC+∠ACB+∠4＝180°(两直线平行，同旁内角互补)．

∴∠1+∠ABC+∠ACB+∠2＝180°.

∴∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°.

篇6：三角形的内角和是多少度

一、 “长方形内角和360°”是由定义得到的

戎老师提出了“长方形的内角和是360°是怎么得到的”这一问题。

文中，戎老师把长方形定义为“有一个角是直角的平行四边形是矩形（长方形）”，而据此定义要证明长方形的内角和是360°要用到“平行线的性质”。但是“平行线的性质”又是初中内容，故而小学生“论证过程中不好应用”。

诚如戎老师所述，小学生想要证明长方形内角和是360°似乎已是“山穷水尽”。然而，问题又恰恰出在长方形的定义上。《辞海》有权威解答：

【长方形】见矩形

【矩形】四个角为直角的四边形

此定义简洁明了易懂。根据此定义很容易回答戎老师的问题。“长方形内角和是360°”是由定义得到的，是不证自明的。另外，由张奠宙教授主编的《小学教学研究》第２７５页也有相同的解释，请读者自查。

二、 一个长方形可分成两个完全一样的直角三角形

戎老师提出了另一个问题：“两个完全一样的直角三角形为什么可以拼成一个长方形？”

正如戎老师论述的：“可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形时，已经应用了直角三角形的内角和是180°这个结论了。”

对此，笔者认为可以对原命题做如下的改进，改为：“一个长方形可分成两个完全一样的直角三角形。”

“直角三角形内角和是180°”这一命题的证明思路如下：一个长方形可以分成两个完全一样的三角形 → 一个长方形的内角和是360°→ 一个直角三角形的和是180°。接下来的问题结症是如何证明“一个长方形可分成两个完全一样的直角三角形”。

如图，对角线AC把长方形ABCD分成两个直角三角形。AD=BC，DC=AB，而AC是公共边，根据全等三角形，三边相等则两个三角形全等。即三角形ABC和三角形ADC全等。所以一个长方形是可以分成两个完全一样的三角形的。当然，这里借助初中全等三角形的证明，小学生或许能理解这样的解释，但不会求证。但是，换个角度，根据小学生已学的三角形具有稳定性，即三角形的三条边长度固定，三角形的形状和大小就固定不变了。从这个角度思考，三角形ABC和三角形ADC因三边长度固定，其大小形状也就完全一样了。接下来，按前面提到的思路，即证得“直角三角形内角和为180°”，这里不再赘述。

三、 教学目标的设定因人而异，“我的课堂我做主”

文中戎老师提到“有些教师在实际教学中总是喜欢拔高教学目标，这样做有时真的会弄巧成拙”。

确实在实际教学中有这样的现象，但是，教师也不可固步自封，不敢越雷池一步。正如戎老师说“有时会……”那么请问“有时”又会怎样？是不是可以理解成有时也会“锦上添花”？如照此推理，拔高要求本身无过错，关键是在什么情况下可以拔高与怎样拔高（当然也包括降低）了。

笔者可能是咬文嚼字了，但令笔者感到奇怪的是：大家都认为教育不是工厂生产，不要一个模子，但涉及具体教学时，教学目标又是如此规矩和统一，几无分层要求。一方面，说要根据学生的具体学情来制定教学目标，另一方面，执教者（尤其是公开课）连学生的基本情况都不清楚，就粉墨登场，“一招鲜，吃遍天”；一方面，听闻美国的基础教育比我国的简单很多，另一方面，又听闻新加坡基础教育很好，据说这与他们的教材难度要高于我国很有关系。众说纷纭，莫衷一是。

事实上，苏霍姆林斯基在他的著作《给教师的建议》第70条“要敢于鼓励学生‘超大纲’”提到：“必须让那些天赋高、有才能的学生在他们有能力的那些学科上和创造性活动的领域里超越教学大纲的界限。”“如果教师引导最有才能的学生超出教学大纲的范围，那么集体的智力生活就会变得丰富多样，从而影响到最差的学生也不甘落后。”

笔者认为，教师既不可盲目迷信专家之说，也不可随意而为。但有一点，自己的课堂一定要有自己的教学思想，一定要有自己的教学主见，一定要有教学的主动权。当然，这一切都是以提高自身的专业素养和基于学生学情为前提的。“我的课堂我做主”，一线教师应该要有这个魄力与胆量。

以上，是笔者的一些看法，言语或有偏激，但也是实话实说。如有不当之处，请大家批评指正，谢谢！