小学数学《三角形内角和》教学设计

小学数学《三角形内角和》教学设计（精选8篇）

篇1：小学数学《三角形内角和》教学设计

(课件展示记录表)

学生分小组每人任意画一个三角形，小组保证三种类型的三角形都有。

量出三角形每个内角的度数，再把他们加起来填到小组活动记录表中。

指名汇报各组度量和计算内角和的结果(讲明是哪种三角形)

观察：从大家量、算的结果中，你发现什么?

得出三角形的内角和有等于180度的，也有接近180度的。

问：180度的角是一个什么角?(平角)

有什么特点?

师：除了量算法，刚才有些同学还提出了撕拼法，折拼法。

(2)撕拼法

由学生独立尝试撕拼法。(让学生把角标上∠1, ∠2, ∠3)

指名到前面演示汇报：三个内角拼在一起正好能拼成一个平角。

课件展示撕拼法。

把三角形的3个内角撕下来，拼成一个大角。得出结论：三角形的内角和是180度。

(3)折拼法

学生尝试折拼法。

指名演示。

把三个内角折叠后拼在一起，(如果学生操作有困难，可以提示学生要点：顶角向下折，折痕要与底边平行，顶点与底边重合，再把剩下的两个角向这个点对折)

课件再展示。

引导学生说出结论：三个内角拼在一起也能正好拼成一个平角(180度)。

小结：刚才同学们通过撕拼法、折拼法得出，无论是什么样的三角形的内角和都是1800，那我有些不明白，为什么量算法得出的三角形内角和有时不是正好是180度呢?(测量时有误差)

(板书)三角形的内角和=180?/P>

三、介绍数学家帕斯卡

早在300多年前就有一个科学家，他在12岁时就验证了任何三角形的内角和都是180?他就是法国数学家、物理学家帕斯卡，在今后学习的知识中，也有很多事帕斯卡发现和验证的。

四、实践应用

我们就用三角形的内角和是180度这个结论来解决问题

1. 看图求出未知角的度数。(知道两个角度数，求第三个角的度数。)课本28页第3题

2、判断(请大家用手语来判断)

(1)一个三角形的三个内角度数是：80?、75?、24?。 ( )

(2)大三角形比小三角形的内角和大。 ( )

(3)两个小三角形拼成一个大三角形，大三角形的内角和是360?( )

(4)一个钝角三角形中两个锐角的和大于90度。 ( )

(5)直角三角形的两个锐角的和等于90度。 ( )

3、29页第三题

五：小结

通过今天的学习，你有什么收获?学生自由发言。

能不能画一个有两个直角的三角形?

数学里面有着无穷的奥秘，也有很多未发现的规律，等着同学们去探究、发现。

六、板书：

三角形内角和

三角形的内角和=180度

篇2：小学数学《三角形内角和》教学设计

一是因为教师在出示问题时，没有把“两个”直角三角形的“两个”强调清楚，有许多学生没有听清要求;

二是因为教师没有留给学生充分的思考的时间，好学生反应快，答案脱口而出，其他学生思维还没产生任何的碰撞，更没经历实验的过程。

三是我们现在教育体制下的学生大都缺少质疑权威的意识和习惯，显得顺从，没有主张和个性。在好学生说出三角形的内角和是180°后，其他学生对于这一知识点真正知道的有多少?但正因为是好学生的回答，在其他学生眼中，这是学习的权威啊，他说的肯定是对的，结果大家只有稀里糊涂的点头附和，是的，三角形的内角和是180度。

在这一环节的教学中，很多学生就吃了夹生饭，根本没有透彻的理解和掌握。看似精彩的情境创设，如果得不到教师适度的调控和把握，也焕发不出它应有的光彩。

新课标指出：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的.过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。深刻的思考、仔细的推敲以上情境的创设，也不难发现，它尽管有它的闪光点，但也有不足的地方，就是它的设计引入没有从大部分学生的知识经验出发，没有照顾到全体，知道三角形内角和是180°的学生毕竟是少数，这也就是它没能激发起学生学习欲望的原因所在。因此，在数学课堂教学中，我们要时刻注意发掘教材孕伏的智力因素，审时度势，把握时机，因势利导地为学生创造良好的教学情境，激发学生的兴趣，让学生在学习数学中愉快地探索。

篇3：小学数学《三角形内角和》教学设计

一、建设针对性情境,提高学生的学习积极性

由于数学知识需要不断累积,才能使知识得到深化。所以老师需要将以往的知识和新知识进行结合情况,建设针对性的学习情境,而且这个学习情境也需要迎合学生的兴趣。在课堂上根据数学情境,建设有关三角形的数学模型,激活学生脑海当中的知识,主动参与到教学活动当中,提高自身的学习能力。首先在学习新知识的时候,学生已经了解三角形、正方形、长方形等有关的内容,因此可以使学生联系以往学会的知识进行了解三角形内角和的知识,达到举一反三的目的。同时也可以使学生可以灵活使用所学的知识解决更多阅读的问题,从而促进学生解题能力的提升。其次学生也已经比较熟悉平角、直角等方面的知识,可以指导学生进行动手折纸,使其了解任何三角形的内角和均为180度这一理论。最后要从三角形内角和这一章进行引申,使学生进行了解为什么钝角三角形、锐角三角形这两个差别比较大的三角形内角和是180度,这样不仅可以有效提高学生对学习的积极性,也可以是将三角形内角和是180度这一知识进行灵活运用,从而为学生解决更多的数学难题提供有效的帮助。

二、丰富教学的探究过程,提高学生的知识量

在教学大纲当中清楚地提出数学基本思想主要是指建模、推导、模拟,因此在实际教学过程中,不能单单从数学的表面进行解决问题,需要将问题进行转化,使其变成比较简单的问题,从而提高解题的速度。首先老师在传授知识的时候,需要考虑到学生的理解能力,舍弃一些比较难的问题,选择一些符合学生思维能力的问题。其次要将所选择的问题进行转化,使学生可以学会解题思路,使其学生灵活使用三角形内角和是180度这一知识,解决许多具有难度的题目。比如在老师可以使学生在学习等腰三角形、直角三角形的时候,使学生自己进行验证三角形的内角和是否为180度,并且使其应用所验证出来的结论进行解释生活中遇到的数学问题,提高学生的实践能力。最后为使课堂的学习气氛更加浓烈,可以充分利用学生好奇心强这一点,使学生按照自身的想法加入到等腰三角形组、钝角三角形组、直角三角形组、锐角三角形这四个组当中进行验证内角和是否为180度这一理论。使每个组在纸上剪裁出不同的三角形,并且将三角形的角剪下来进行组合,这样不仅可以使学生可以从纸上计算和实际动手操作这两个方面进行验证三角形内角和的理论,也可以使学生学会从不同的角度进行考虑问题,使学生解题能力得到大幅度提升。

三、丰富教学活动的过程,提高学生对学习的兴趣

学生要想获得更多的数学经验,就需要经历许多数学活动才能得到更多的知识和经验,因此进行教授《三角形的内角和》这一章的时候,老师需要为学生提供更多的动手进行探索的机会,使学生积累更多的经验。首先老师要由浅入深地帮助学生积累经验。比如老师可以在教学之前,先要学生预先进行阅读《三角形的内角和》这一章,使其获得初级的知识,并且根据章节的内容找出自身感兴趣的问题,等待到课堂上进行提问,获得对应的答案。其次老师在课堂上要引导学生提出问题,然后使学生自由进行讨论,找出问题的答案。同时也可以使学生进行分组,根据所得出的不同答案进行辩论,确定最终的答案。最后由老师对学生所给出的答案进行点评,使学生了解其所犯的错误在哪,使学生可以积累更多的学习经验。比如在学习《三角形的内角和》的时候,学生可能会提出钝角三角形和锐角三角形谁的内角和大?这种问题,老师可以将学生分成两组,进行辩论,使学生可以主动进行思考问题的答案。同时使学生进行不断计算,进行验证不同三角形的度数,从而可以深刻地了解三角形内角和是180度这一理论的正确性,从而可以灵活使用这一理论解决许多有关的问题,提高学生灵活运用知识的能力。

四、结束语

数学教学不是简单的理论传授,需要通过不断引导、解析和积累,才能使学生得到更多的知识。在学习《三角形的内角和》的时候,不仅需要使学生了解理论知识的内容,也需要使其了解对应的解题思路,从而提高自身探索数学知识的兴趣。因此在实际教学当中,需要从提高学生的学习积极性、建设针对性的教学情境、丰富教学的探究过程、积累学习经验等方面出发,使学生在不断探索的过程中,了解三角形内角和是180度这一理论,并且充分利用这一理论,解决更多的数学问题,从而提高学生解题的能力。

摘要：《三角形的内角和》是小学数学的必修章节,其对后续的图形学习具有承上启下的作用,因此需要使学生了解《三角形的内角和》的主要内容,才能使学生更好地学习数学。但是目前在数学教学过程中还存在学生学习积极性不高、教学过程比较枯燥、教学效果不明显等问题,严重影响了数学教学的质量。为了解决这些问题,本文主要分析小学四年级数学下册《三角形的内角和》的教学策略,从而促进教学效率的提升。

关键词：小学四年级,数学下册,三角形的内角和,教学策略

参考文献

[1]赖文学.浅谈小学生数学自学能力的培养[J].现代阅读(教育版),2016(03):88-89

[2]苏会生.数学教学中培养学生数据分析意识的策略[J].现代阅读(教育版),2015(03):452-453

篇4：小学数学《三角形内角和》教学设计

一、引入——播撒思想方法的种子

课始，我开门见山的抛出问题：同学们，你们知道数学家们都是怎样在研究数学问题吗？学生被老师“没头没脑”的问题问得只能摇头，同时也在心中升起疑惑。接着，我用课件介绍数学家是这样研究数学问题的：

1．不轻易相信别人或书本。

2．得出一个结论要经过多次的实验。

3．解决同一个问题有不同的策略。

4．数学家的研究过程是：提出猜想，反复验证，得出结论，运用结论。

师：这节课我们就像数学家一样来研究数学问题，你敢挑战吗？（学生跃跃欲试）

师：上节课我们学习了三角形的分类，现在你了解三角形的哪些知识了？

有了前面学习的基础，学生开始七嘴八舌的回答老师提出的问题。当有人说到“三角形内角和是180啊笔保我故作惊讶的问他：“你怎么知道三角形的内角和?80暗模磕闳范吗？”学生回答如我所料——“老师曾经给我们说过的”。我赶紧顺势抛出研究问题“不轻易相信别人或书本”的思想?

二、猜想——展开思想方法的翅膀

猜想是新知识的探索起步阶段，有了大胆的猜想学生的思维被激活了，初步在头脑中架起一座已知与未知的桥梁，学生被猜想牵引着，验证猜想就成了发自内心的需求，学生就会积极主动地参与到学习过程中来。

通过引导，学生大胆提出猜想——是不是所有三角形的内角和都是180澳兀?

师：我们先来看看直角三角形的情况。只要将正方形或长方形怎么样，就可以得出直角三角形?

生：把正方形或长方形沿对角线对折，就得到两个完全一样的直角三角形。(教师操作演示)

师：现在可以猜测一下直角三角形的内角和是多少度?

生：180啊?

师：为什么?

生：因为正方形(或长方形)的内角和等于360埃现在把正方形平分成两个直角三角形，所以每个直角三角形的内角和等?80啊?

师：这是你的分析或者说猜想，对吗？如果直角三角形的内角和是180埃但它是一种特殊的三角形。那么，钝角三角形的内角和是多少呢？锐角三角形的内角和呢?

三、验证——把握思想方法的方向

顾汝佐先生曾说过这样一段耐人寻味的话：“学生学习数学是掌握前人创造的经验，而这种经验需要教师设计出一定的客观形式，通过相应的信号、信息载体，让学生自己去观察、操作、发现、检验、实施，在头脑中构建经验结构。”这实际上就是要求数学教学应根据需要为学生模拟探究情境和过程，让学生自己去发现、建构新知，提升数学素养。

师：可以用什么办法来验证我们的猜测呢?

学生找到了量、拼、折等不同的方法来验证直角三角形的内角和是180度。然后再由直角三角形这种特殊三角形到钝角三角形、锐角三角形这样一般三角形的验证。在学生交流验证方法时我潜移默化地给学生渗透了科学探索的方法——特殊到一般的研究方法，以及转化的数学思想，使学生从小受到了方法论思想的熏陶。

四、归纳——收获思想方法的果实

通过猜测以及验证的一系列探究活动后同学们各抒己见，这时，我让学生们交流、分析，得出结论。但我并没有急于给学生的结论做出判断，而是通过课件展示：“钝角三角形的内角和大于180埃蝗窠侨角形的内角和小?80啊闭庑┐误的结论，让他们再讨论、交流，最后得出结论。这样做就让学生感受到了验证过程的必要，在概括结论时，就会依据验证过程进行提炼。

五、运用——思想方法的再次起航

学生经历了猜测—验证—归纳后，已经建构了自己的认知结构。然而，我们的数学学习还需要灵活运用数学知识解决实际问题。为了让学生在轻松愉快的氛围中巩固知识，拓展思维，我安排了以下练习：

1、在一个直角三角形中∠ 1=30埃?的度数是多少？

2、在钝角三角形中，已知∠1＝140埃?＝25埃求?的度数。

3、在一个等腰三角形中，已知∠1＝40埃求?， ∠3的度数？

4、在一个等边三角形中，分别求出∠1， ∠2， ∠3的度数？

有了前面的探究体验，学生很轻松的完成了这4个练习，直到下课仍旧有人拉着我要继续探究这个问题，不让离去。

篇5：小学数学《三角形内角和》教学设计

角美中心上房小学

朱佶君

新课程将探究式学习作为学生学习的主要方式之一，着重点放在让学生在主动参与的过程中进行学习，在探究问题的活动中获取知识并主动建构新的认知结构，了解获取知识的途径和技巧。

这节课我设计了以“观察—猜想—验证—应用”为主线，让学生在自主学习中“不知不觉”学习到新的知识。在学生猜测三角形内角和是多少度的基础上，引导学生通过探究活动来验证自己的观点是否正确，激发求知的渴望和学习的热情，最后达成共识。

这节课我创设了学生喜欢的情境：“三个三角形的争吵”入手，让学生自己动手探索三角形的内角和。让学生“量一量”、“剪—拼”、贴近了学生的生活，降低了学习难度，注重学生们的动手实践，亲生去体验去感悟。在操作反馈的过程中我提出了两个问题：第一，你选用什么三角形，采用什么方法来验证；第二，经过操作得到什么结论。学生分小组对大小不一的三角形进行验证，经历量、剪、拼一系列操作活动，从而得出“三角形内角和是180°”这一结论。本节课不足之处：

1、学生在还没学习三角形的特性和三角形三边的关系及三角形的内角和的基础上进行学习三角形内角和。就无法复习三角形的有关知识。

2、在解决三角形内角和是什么这个问题，说的不够透彻，课后我改成这样，先让两个学生说，说完让一个学生指出来，指完并让他用黑色水笔画出来。为验证三角形内是180度做铺垫。

3、学生在介绍剪拼的方法时，可以让介绍的学生先上台演示是如何把内角拼在一起，这样学生在动手操作的时候就可以节省时间。而且由于内角和这个概念没有讲清楚，学生在这一环节花了一定的时间。

4、在学生汇报方法时，还应该用尺子比一下拼后的三个角是在一条直线上，更直观的说明三个角形成一个平角，三角形的内角和是180°。

篇6：小学数学《三角形内角和》教学设计

通过分类活动，认识直角三角形、锐角三角形、钝角三角形、内角和的特点

【教学重、难点】

认识直角三角形、锐角三角形、钝角三角形和等腰三角形内角和，并知道它们的特点

【教学过程】

一、求锐角三角形、直角三角形、钝角三角形内角和

篇7：小学数学《三角形内角和》教学设计

一、激趣导入,让学生乐于操作数学

数学课程标准强调创设的数学活动应该是 “应从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程”、“数学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上”。这就是说数学教学活动要给学生创造一个实际操作的环境，学生可以在观察、探索、发现的过程中增加对数学知识的感性认识，形成丰厚的经验背景，从而更有助于学生对数学的学习和理解，同时还要为学生创造一个进行交流和探讨的环境，有助于发挥学生的主体性、积极性和创造性，充分体现现代教学的思想。

我在《三角形内角和》的课堂教学中，从学生个体的经验出发，注重学生学习数学的态度、动机和兴趣，组织能够帮助学生获得经验的活动。采用“激趣与导入”这一教学环节，激发学生学习兴趣和激活学生已有的经验和基本知识，来替代传统课堂教学中的“复习”这一环节。通过让学生任意画一个三角形，说出三种三角形的特征，为探索三角形内角和奠定一定基础。利用日常生活中见到的一些三角形，特别是直角三角板，计算三角形的内角和，既激活了学生对三角形内角和的已有了解，初步感知三角形的内角和是180°这一数学规律，又激发了学生探索的积极性。当老师提出“是不是每个三角形的内角和都是180度呢？”这个问题时，学生已是兴致盎然，非常乐于操作数学，探索、发现“三角形内角和”这一数学规律了。

二、探索发现，让学生善于实验数学

从教学的角度讲，重结论、轻过程的教学只是一种形式上的走捷径的教学，因为它从源头上剥夺了知识的内在联系。数学的结论来源于学生的探索，对现象的观察，对数据的度量、统计与分析，对各种情况的归纳总结。我们要设计学生熟悉的教学情景，提供丰富的教学资料，汲取学生切身的生活体验，让学生展开直接的、面对面的对话，积极地探索和发现数学规律。这节课，在“探索与发现”中设计了两个层面的研究：

1、学生量出三角形三个内角的度数并算出三个内角的和，发现锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的内角和都是180°。但同时学生也提出了不同的看法，引起争论，进入第二层次的探索。（课堂是学生的课堂，在学生的操作和交流中，提出的“我可以用实验证明你是错误的”，使我深深的感受到，只有把我们的课堂变成学生辩论场，只有把我们的课堂变成可以操作的课堂，用“做数学”的理念来实施教学，学生才能善于实验数学，才能发挥自己的智慧和才华，也只有在这样的课堂中才能培养学生的个性和思维。）

2、利用学生引发的争议，让学生动手操作，想办法把三角形的三个内角拼成一个平角，并进行交流。这样，引导学生通过剪拼、撕拼、折拼等多种方式把三个内角拼成一个平角，验证“三角形的内角和是180°”这一数学规律。特别是“把直角三角形中的两个锐角折成了一个直角，你能解释这种现象吗？”把学生的兴趣和思维带入了一种更高的境界，课堂上学生自始至终保持着浓厚的探究兴趣，不再把学习数学看成负担，增强了学好数学的信心，享受着学习数学的乐趣，学生动手操作，使实践能力、观察能力、归纳能力等都得到很好的锻炼，教学效果也比较好。给学生探索的机会，也是给课堂生成的机会。利用学生创造的素材挖掘内在的知识，正是我们注重课堂生成和尊重学生的重要表现。从学生的发现中，不难看出学生善于实验数学，完全能通过数学活动探索问题的本质。

三、迁移应用,让学生精于实践数学

在探索和实践中我们认识到，学生的学习不仅是知识的积累，更应在知识应用中强调应用数学的意识；不仅要让学生主动地获取知识，还要让学生去发现和研究问题、解决问题，让学生精于实践数学。在学生探索发现数学规律后，引导学生应用规律解决一些实际的问题，即完成“试一试”，和“想想做做第1题”，求出三角形中未知角的度数。教师引导学生互相学习，与他人合作。同时鼓励学生注意倾听他人的意见，力图领会理解他人的想法，把别人的思路同自己的想法联系起来，反思自己的知识和解决问题的方法。学生表现精彩纷呈，特别是直角三角形的一个锐角的求法，出现了多种形式。

1、55°+90°=145°，180°-145°=35°，因为直角是90°。

2、180°-55°=125°，125°-90°=35°3、90°-55°=35°，我是根据“在直角三角形中，两个锐角的和是90度”，所以只要用90°减去55°就可以了。

实践表明，把数学知识进行有效的迁移和应用，有利于发展每个学生的潜能，有利于培养学生的创新精神，有利于学生主体性发展和素质的全面提高。

四、拓展延伸，让学生勇于研究数学。在新课程理念的背景下，教学中学生的情意因素被提高到一个新的层面来理解。情感不仅指学习兴趣、学习态度、学习动机，更是指内心体验和心灵世界的丰富。在学生发现了数学规律、能比较熟练的应用后，他们必然会产生新的欲望，去解决生活中的实际问题，这时，我们应适当地提供一些材料，来满足学生进一步学习动机。在这次课堂教学中，拓展延伸部分解决了两个问题，想想做做第2、3题，让学生研究、交流，得出“不管是大三角形还是小三角形，三角形的内角和都是180°”；讨论“一个直角三角形中最多有几个直角？为什么？”由于通过了大量的活动和交流，积累了丰富的经验和情感体验，学生能积极地、深入地去研究数学了。拓展延伸，对发展学生的思维能力、开发智力、促进素质教育等有着不可忽视的作用，生生之间，师生之间勇于共同研究问题，探求数学的奥秘，可以开阔思路，培养能力，提高数学素养。

篇8：小学数学《三角形内角和》教学设计

【教学现象】

师 (出示正方形纸) :这是一个?

生:正方形。

师:数学上把正方形内的四个角称作为正方形的内角。看看正方形的内角是什么角?

生:直角。

师:正方形的内角之和是多少度呢?

生:正方形一共有四个内角, 每个角都是90度, 4乘90度正好等于360度。

师:同意吗?

生:同意。

师:正方形的四个内角之和是360度, 沿着正方形的这条对角线把它剪开, 变成了两个?

生:两个三角形。

师:一个三角形有几个内角?

生:三个内角。

师:今天咱们就来学习三角形的内角和。 (板书)

师:这个直角三角形的内角和是多少度呢?

生:老师, 我觉得直角三角形的内角和是180度。

师:说明你的想法。

生:因为一个正方形是360度, 而这个直角三角形是正方形被切开了一半, 所以是180度。

师:同意吗?是这样吗?

生:是。

师 (出示长方形) :这是一个?

生:长方形。

师:沿着它的对角线把它 (剪开) 。变成了两个?

生:直角三角形。

师:而且这两个直角三角形?

生:一样大。

师:这两个直角三角形的内角和是多少度呢?

生:这个直角三角形的内角和是180度。

师:说说你的想法。

生:因为长方形也有四个直角, 所以也是360度, 360度的一半就是180度。

师:所以?

生:360除以2就是180度。

师:同意吗?

生:同意!

师:那么, 由此看来是不是所有的直角三角形, 它的内角和都是180度呢?

生:所有三角形的内角和都是180度。

师:为什么呢?

生:两个直角三角形都会拼成一个正方形或长方形。它们的内角和是360度, 一半就是180度。

师:非常了不起!利用图形之间的联系来分析这个问题, 当然, 前提是要完全相同的两个直角三角形, 就能拼成一个?

生:正方形或长方形。

师:除了直角三角形, 锐角三角形、钝角三角形的内角和是不是也是180度呢?

……

【教学分析】

从以上的教学片段中, 不难发现, 教师是在确定了正方形、长方形 (即矩形) 的内角和是360°后, 再推导出三角形的内角和是180°。从学生反馈来看, 教学效果不错, 学生很容易就知道三角形的内角和是180°, 这样似乎既降低了新知学习的难度, 又为学生下一步的探究搭建了桥梁。三角形内角和的教学可以这样引出吗?为了说明问题, 我们从如下几个方面做一些分析。

一、各版本教材的编排思路

我们先来了解一下苏教版、北师大版、人教版、浙教版、青岛版教材对于三角形内角和编排的情况, 看看各版本教材如何设计引导小学生探索、发现、理解三角形内角和的。

1.人教版教材

人教版教材关于三角形内角和的引出, 是通过画、量、算, 用这种看似平常, 却又符合儿童认知特点的方法进行引入, 没有了思维上的突兀, 更关键的是遵循了图形认识的内在规律, 简单、易行。

2.北师大版教材

从北师大版教材的编排不难看出, 它也是希望学生通过画一画、量一量、算一算, 经历对三角形三个内角测量、计算的完整过程, 且通过小组内的每个人对不同三角形测量结果的记录, 让学生初步感悟到三角形的内角和大致总在180度左右, 从而为后继的进一步验证提供感性经验。

3.青岛版教材

青岛版教材编排与北师大版教材编排思路很接近, 也是通过量一量、算一算、折一折的方式, 从测量和操作证明角度, 得出三角形的内角和是180°, 它既强调了测量的实际意义, 也渗透了平行公理验证的数理。

4.苏教版教材

苏教版教材最大的特点, 就是从学生已有经验出发, 根据学生已经知道一副三角板每个角的度数入手, 引导学生计算出不同直角三角板上三个内角的和, 引发出直角三角形的内角和是180°的初步结论, 进而引导学生循着平行公理的轨迹, 用折的方式探究其他类型三角形的内角和。教材编排特别注重从学生的最近发展区入手, 引入自然, 展开得体。

5.浙教版教材

浙教版教材与其他几个版本教材的编排思路区别很大, 其他版本教材基本上都是从测量入手, 浙教版教材却是从变化的三角形, 猜测三角形内角和是多少度入手, 再通过两种不同层面的拼图, 借助平行公理, 引导学生发现任何三角形的三个内角都可以拼成一个平角, 即三角形的三个内角和是180°。从某个角度来说, 它更注重依据平行公理来解决三角形内角和的问题。

以上五个版本的教材, 虽然编排的思路与方式不尽相同, 但它们都遵循着一个基本的原则, 要么从测量入手探索三角形的内角和, 要么依据平行公理, 通过折、拼等操作方式证明三角形内角和是180°。没有一个版本的教材是根据长方形或正方形的内角和探索三角形内角和。

二、三角形内角和的数学证明

利用欧几里得的平行公理及其等价定理即可证明“三角形三内角之和为180°”, 定理及其证明记载于欧氏《几何原本》第一卷的命题32, 证明如下:

第一卷命题32

在任意三角形中, 如果延长一边, 则外角等于两内对角的和, 而且三角形的三个内角的和等于两直角。

设ABC是一个三角形, 延长其一边BC至D。则可证外角ACD等于两个内对角CAB、ABC的和且三角形的三个内角ABC、BCA、CAB的和等于两直角。

事实上, 过点C作平行于直线AB的直线CE。﹝I. 31﹞

这样, 由于AB平行于CE, 且AC和它们同时相交, 其内错角BAC、ACE彼此相等。﹝I. 29﹞

又因为, AB平行于CE, 且直线BD同时和它们相交, 同位角ECD与角ABC相等。﹝I. 29﹞

前面已经证明了角ACE也等于角BAC;

故整体角ACD等于两内对角BAC、ABC的和。

给以上各角加上角ACB。

于是角ACD、ACB的和等于三个角ABC、BCA、CAB的和。

但角ACD、ACB的和等于两直角。﹝I. 13﹞

所以, 角ABC、BCA、CAB的和也等于两直角。

当前的中小学数学教材关于三角形内角和的证明, 基本都是以欧几里得的平行公理为基础编写的, 可以说“三角形内角和定理的证明无法绕开平行公理”。

三、数学学科内在的逻辑规律

数学内在的逻辑力量是指一种数学内在的、合乎思维规律与数学发展规律、蕴含着逻辑合理性甚至必然性的力量, 是一种数学的、有条理的的思考与解决问题的力量, 是一种扎根于数学灵魂深处的理性精神。它包括三个方面:一是数学教学合乎思维规律所产生的力量;二是数学教学合乎数学发展规律所产生的力量;三是数学教学使学生掌握合乎逻辑的思维方法后所产生的力量。

四边形的内角和是以三角形内角和为基础得出的, 如果三角形的内角和又以四边形内角和为依据展开论证, 不仅在逻辑上陷入循环论证的怪圈, 更无法得到数理上的支持。因而, 这种看似简单易行的教学引入, 实际对今后的数学教学埋下了逻辑混乱的种子, 会严重影响儿童数学思维发展。

小学阶段数学学习内容浅显, 再加上近年来对数学学科知识的淡化, 不少数学课缺失数学内在的逻辑, 越来越多的数学课堂教学表面化、去数学化, 学生数学学习仅仅停留于浅显层面, 数学思维发展成为不少课堂的缺失。为此, 我们要有清醒的认识, 数学学科核心是“数学”, 遵循数学内在的规律, 发展学生合乎逻辑的思维方法, 永远是数学教学的重中之重。

正是基于对数学内在逻辑规律的认识, 在小学数学教学中, 任何数学教学活动都应遵循数学学科本身具有的内在逻辑性特点。在紧扣数学逻辑的前提下, 结合儿童年龄特点, 组织适合儿童数学思维发展的教学活动。

【教学思考】

通过对教材、数学证明及数学内在逻辑的分析, 不难看出, 小学对三角形内角和的认知, 应建立在两基点之上, 一是数学的基点, 二是儿童的基点。其中, 站在儿童的视角理解三角形内角和, 大多采用直观、可视化的操作方式来验证;站在数学角度理解三角形内角和, 则把平行公理渗透在具体的操作活动中。因而, 教材呈现出来的显性的是操作活动, 隐性的是数学本质。正是基于这样的理解, 三角形内角和的教学导入不应为了所谓的方便、易行, 而违背数学逻辑从正方形或长方形的内角和导入, 这样导入看似降低了学习难度, 实质是打破了数学内在的逻辑规律。教师应该怎样进行这方面的教学导入呢?笔者认为有以下几方面。

一、读懂教材意图, 找准导入的“点”

教材是作为开展课堂教学的重要素材, 也是有效实施教学活动的基本条件, 因而, 理解编者的编写意图, 了解教材的编写特点, 是落实课堂教学的重要前提, 更是做好教学导入最重要的“点”。

从以上五个版本教材中关于三角形内角和的编写, 我们不难看出, 教材要么通过量一量, 得到三角形的内角和;要么通过折一折, 发现三角形内角和是180度;要么先通过猜一猜, 再经过相应的验证, 发现三角形内角和是180度;要么通过撕一撕、拼一拼的方式, 发现三角形内角和是180度。五个版本教材设计的引入环节, 没有一个是从矩形内角和引出三角形内角和, 都是通过对三角形的拼组、量画等活动, 在操作、观察、比较、分析中发现三角形的内角和为180度。

正是基于对教材教学引入编写意图的理解, 在实施三角形内角和的课堂教学导入时, 教师应根据学生认知特点, 依据教材编写思路, 从实际操作入手, 引导学生通过动手操作、观察比较、验证分析等方式, 探究三角形内角和是180度的数学本质。

二、贴近儿童视角, 摸准导入的“脉”

在义务教育阶段, 对于三角形内角和的学习安排在两个学段, 其中, 第一次安排在第二学段, 即小学四年级;第二次安排在第三学段, 即中学八年级;而两个学段关于三角形内角和的安排又有不同的侧重点。第二学段的学习侧重于从具体、形象中积累三角形内角和的经验表象, 第三学段的学习侧重于从具象经验认识向抽象数学证明过渡, 更加突出其内在的数学本质。

结合《义务教育数学课程标准 (2011年版) 》的安排, 小学生学习三角形内角和, 应更多从实践操作中积累认知经验, 从具体形象中丰富认知表象。因而, 在四年级学习三角形内角和时, 应紧扣儿童年龄特点, 摸准他们好动、好奇、倾向直观的学习心理这根“脉”, 引导学生采用猜一猜、拼一拼、量一量、画一画等方式, 直观地认识到三角形内角和是180度。为此, 教学导入应引导学生从观察入手, 从操作入手, 从而为后继验证、分析、比较各类三角形内角和提供充分的感性经验支撑, 更为总结三角形内角和是180度, 提供直观、感性的论据。

三、遵循数学逻辑, 把握导入的“本”

依据数学逻辑内在的规律, 不可能通过四边形的内角和来证明三角形内角和, 这不仅不符合数学逻辑内在的规律, 更陷入了循环论证的怪圈之中。教师对此应有清醒的认识, 切不可为图一时的方便, 而陷学生数学学习于混乱之中。

因而, 在三角形内角和教学导入设计中, 应牢牢把握数学内在逻辑这个“本”, 结合学生的实际, 设计出符合数学逻辑的教学导入, 确保学生数学学习始终沿着数学逻辑思维的正确方向前行。

为此, 教学导入只能从三角形本身入手, 可以从对三角形内角和的猜想入手, 也可以从三角形内角和的拼组入手, 还可以从特殊的直角三角形三个内角和入手, 甚至也可以从量三角形内角后求和入手。总之, 不论用哪种方式导入教学, 都始终从三角形本身特点入手, 引导学生借助各种直观的方式, 验证、分析、证明三角形内角和。此时, 学生得出的三角形内角和为180度, 看似缺失严密数学证明的支撑, 但它却是紧扣数学内在的逻辑规律展开的直观验证, 为后继三角形内角和的数学证明积累了丰富的感性经验。

四、紧扣平行公理, 贴紧导入的“理”

从各种版本教材编写中不难看出, 平行公理是证明三角形内角和重要的公理依据, 虽然小学阶段因学生的年龄特点, 不需要对三角形的内角和进行数学证明, 但在教学设计的整个过程中, 教师应紧扣平行公理, 让教学导入有“理”可循。

作为教师在教学之初应明确, 教学导入中的折一折、拼一拼、摆一摆, 不是随机的活动, 它们的背后都有平行公理的影子。因为不论是折一折还是拼一拼, 都是依据平行公理, 通过同位角、内错角的变换, 让三角形三个内角集中于一点, 组合成平角, 即180度。学生在此活动中得到蕴含着理性思想的感性认识, 学生积累的感性经验更有利于他们今后对三角形内角和抽象的证明。

【导入设计】

为了确保三角形内角和的教学导入既贴近小学生的直观形象, 又遵循数学逻辑的严谨合理, 根据教学实践中具体实际情况, 提出如下几种三角形内角和的教学导入方式。

导入一:从三角板内角引入

引导学生从特殊的三角形———直角三角板上的三个内角入手, 引出对三角形内角和度数的探讨, 进而引出对各种三角形内角和度数均为180度的验证探究。

导入二:从撕拼内角引入

引导学生从最常见的锐角三角形内角和探讨入手, 通过对剪成锐角三角形的纸上三个内角撕一撕, 再拼一拼, 引发学生对拼组出的新角的观察与思考, 引导他们发现锐角三角形三个内角拼组后为一个平角, 进而引出锐角三角形的内角和为180度。在此基础上, 激发学生探讨其他类型三角形内角和的特点。

导入三:从折拼内角入手

引导学生随机拿出一个自制的三角形纸片, 按提示要求标注出三角形的三个内角, 并让学生把三个内角折到一块, 再让学生说说此时三个内角组合成什么新的角。进而引发学生发现三角形三个内角和是180度的规律。