三角形的证明单元测试

三角形的证明单元测试（通用10篇）

篇1：三角形的证明单元测试

三角形的证明单元测试（北师版）3.1
1.如图，在△ABC 中，已知∠BAC=90°，AB=AD=AC，AD 与 BC 相交于点 E，∠CAD=30°，则∠BCD 的度数为()

1

2

3

5))))

2.如图，在△ABC 中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别是 D，E，AD，CE 交于点 H，已知 EH＝EB＝3，AE＝4，则 CH 的长是(3.(本小题 10 分)如图，在△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD 是∠BAC 的平分线，若 CD＝2，那么 BD 等于(4.(本小题 10 分)在△ABC 中，AB＝AC＝5，BC＝6，点 D 是 BC 上的一点，那么点 D 到 AB 与 AC 的距离之和为(5.如图，在等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在边 BC，AC 上，且 BD=CE，AD 与 BE 相交于点 P，则∠APE 的度数为(6.(本小题 10 分)如图，△ABC 和△CDE 均为等边三角形，∠EBD＝62°，则∠AEB 的度数为()

6

7

10

7.(本小题 10 分)如图，A，C，B 三点在同一条直线上，△DAC 和△EBC 都是等边三角形，AE，BD 分别与 CD，CE 交于 点 M，N，有如下结论： ①△ACE≌△DCB； ②CM＝CN； ③AC＝DN．其中，正确结论的个数是(8.(本小题 10 分)下列命题中，其逆命题不成立的是(
 

)

)

A.同旁内角互补，两直线平行 C.如果两个实数相等，那么它们的平方相等

B.线段垂直平分线上的点到这个线段两个端点的距离相等 D.角平分线上的点到角两边的距离相等)

9.(本小题 10 分)用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不大于 45°”时，应假设(

A.有一个锐角小于 45° B.每一个锐角都小于 45° C.有一个锐角大于 45° D.每一个锐角都大于 45° 10.(本小题 10 分)如图，在△ABC 中，BC 的垂直平分线 DF 交△ABC 的外角平分线 AD 于点 D，DE⊥AB 于点 E，且 ．则()A.BC＝AC＋AE B.BE＝AC＋AE C.BC＝AC＋AD D.BE＝AC＋AD

篇2：三角形的证明单元测试

单元测试卷

（二）班级姓名得分

一、选择题(每小题3分，共30分)

1、满足下列条件的两个三角形一定全等的是（）

A、腰相等的两个等腰三角形B、一个角对应相等的两个等腰三角形

C、斜边对应相等的两个直角三角形D、底相等的两个等腰直角三角形

2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）

A、4个B、5个C、6个D、7个

3、如图，△ABC中，AB=AC，D、E、F分别是BC、AC、AB上的点，且BF=CD，BD=CE，则∠EDF=（）

11∠AC、180°–∠AD、45°–∠A 224、等腰三角形底边上的高与底边的比是1∶2，则它的顶角等于（）

A、90°B、60°C、120°D、150°

5、等腰三角形顶角为100°，两腰垂直平分线相交于点P，则（）

A、点P在三角形内B、点P在三角形底边上

C、点P在三角形外D、点P的位置与三角形的边长有关

6、如图，△ABC与△BDE都是等边三角形，AB

A、AE=CDB、AE>CDC、AE

7、在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3，则BC∶AC∶AB=（）A、90°–∠AB、90°–

A、1∶2∶3B、1∶4∶9C、1∶2∶D、1∶3∶

2(第2题图)(第3题图)(第6题图)(第8题图)

8、如图，l1、l2、l3表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有（）

A、一处B、二处C、三处D、四处

9、△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于E，交BC于点D，若CD∶BD=1∶2，BC=6cm，则点D到点A的距离为（）

A.1.5cmB.3cmC.2cmD.4cm10、直角三角形的周长为2+6，斜边上的中线为1，则该三角形的面积等于（）

A、1B、11

3C、D、24

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二、填空题(每小题3分，共18分)

11、如图，已知AC=BD，∠A=D=90°，要使得△ABC≌△DCB，只需增加的一个条件是___________(填一个你认为正确的条件即可).12、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，腰长为a，则其底边上的高是

13、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积是2.(第11题图)(第17题图)(第18题图)

14、如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高，那么这个三角形是三角形.15、如果两个等腰三角形等腰三角形全等(只填一种能使结论成立的条件即可).16、在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是______________。

17、如图所示，P是等边三角形ABC内一点，将△ABP绕点B顺时针方向旋转60°，得到△CBP′，若PB=3，则PP′=。

18、如图，l是四边形ABCD的对称轴，如果AD∥BC，有下列结论：①AB∥CD； ②AB＝BC ；③AB⊥BC ；④AO＝OC。其中正确的结论是______________________________．（把你认为正确的结论的序号都填上）

三、(每小题6分，共12分)

19、已知：线段a、h(如图)

求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h.请你用尺规作图，并补全作法

作法：(1)作线段BC=.(2)作(4)连结.则△ABC为所求等腰三角形.20、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°.仿照图(1),请你设计两种不同的分法，将△ABC分割成3个三角形，使每个三角形都是等腰三角形(要求标出每个等腰三角形三个内角的度数).四、(每小题6分，共18分)

21、已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=120°.(1)用直尺和圆规作AB的垂直平分线，分别交BC、AB于点M、N(保留作图痕迹，不写作法).(2)猜想CM与BM之间有何数量关系，并证明你的猜想。

22、已知：如图，CE⊥AB，BF⊥AC，CE与BF相交于D，且BD=CD.求证：D在∠BAC的平分线上.23、已知：如图，D是等腰ABC底边BC上一点，它到两腰AB、AC的距离分别为DE、DF，当D点在什么位置时，DE=DF？并加以证明.五、(每小题8分，共16分)

24、为美化环境，计划在某小区内用30平方米的草皮铺设一个边长为10米的等腰三角形绿地，请你求出这块等腰三角形绿地另两边的长。

篇3：浅析三角形内角和定理的证明思路

思路一:用平角等于180°求证三角形内角和等于180°.

说明:此思路证明结论需要作适当的辅助线, 目的是把三角形三个内角迁移一个平角的位置上得出结论.下面列举三种常见辅助线供大家参考.

证法1:如图1, 延长BC到D, 过C作CE//AB

因为CE//AB,

所以∠1=∠A, ∠2=∠B.

又∠ACB+∠1+∠2=180°,

所以∠ACB +∠A+∠B=180°.

即:△ABC内角和等于180°.

证法2:如图2, 过A作DE//BC,

因为DE//BC,

所以∠1=∠B, ∠2=∠C.

又∠1+∠BAC+∠2=180°.

所以∠B +∠BAC+∠C=180°.

即:△ABC内角和等于180°.

证法3:如图3, 在BC上任取一点D, 过D分别作DE//AC交AB于E, DF//AB交AC于F.

因为DE//AC,

所以∠1=∠C, ∠2=∠3,

又∠DF//AB,

所以∠4 =∠B, ∠3=∠A,

所以∠2=∠A.

又∠1+∠2+∠4=180°,

所以∠C+∠A+∠B=180°.

即:△ABC内角和等于180°.

思路二:用平行线同旁内角互补求证三角形内角和等于180°

说明:此思路证明结论也需要作适当辅助线, 目的是把三角形三个内角迁移到平行线同旁内角的位置上得出结论.下面举两种辅助线供大家参考.

证法1:如图4, 过A作AD//BC,

因为AD//BC,

所以∠1=∠C,

∠1+∠2+∠B=180°.

所以∠C +∠2+∠B=180°

即:△ABC内角和等于180°.

证法2:如图5, 过点A、B、C分别作AD//BE//CF.

因为AD//BE//CF

所以∠1=∠5, ∠2=∠6,

∠5+∠3+∠4+∠6=180°.

所以∠1 +∠3+∠4+∠2=180°.

即:△ABC内角和等于180°.

篇4：“解三角形”单元测试

1.（A）在△ABC中，若a2＝b2＋c2＋3bc，则A的度数为.

2.（A）在△ABC中，已知cosAa＝cosBb＝cosCc，则∠A等于.

3.（A）在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC是.（填序号）

①等腰三角形;②直角三角形;③等腰直角三角形;④等腰三角形或直角三角形.

4.（B）在△ABC中，若cb＝cosCcosB，则此三角形为.

①直角三角形；②等腰三角形；③等腰直角三角形；④正三角形.

第5题图

5.（B）如图，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，

AB＝120m，则河的宽度为.

6.（B）在△ABC中，已知sinA∶sinB∶sinC＝7∶8∶13，则此三角形中最大内角的度数是.

7.（B）在△ABC中，AB＝5，BC＝7，AC＝8，则AB•BC的值为.

8.（B）已知锐角三角形边长分别为2，3，x，则x的取值范围是.

9.（C）在△ABC中，∠A＝60°，b＝1，面积为3，则

a+b+csinA+sinB+sinC＝.

10.（C）在△ABC中，若∠B＝30°，AB＝23，AC＝2，则△ABC的面积为.

11.（C）给出下列四个命题：①若sin2A＝sin2B，则△ABC是等腰三角形；②若sinA＝cosB，则△ABC是直角三角形；③若a2－b2－c2＞0，则△ABC是钝角三角形；④若cos(A－B)cos(B－C)cos(C－A)＝1，则△ABC是等边三角形.

以上正确命题的序号是.

12.（C）若△ABC中，∠C＝60°，a＋b＝1，则此三角形的面积S△ABC的取值范围是.

二、解答题

13.（A）在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2-23x+2=0的两个根，且2cos(A＋B)＝1，求：

（1）角C的度数；

（2）线段AB的长度；

（3）△ABC的面积.

14.（B）在△ABC中，lga-lgc=lg（sinB）=-lg2，且B为锐角，试判断此三角形的形状.

第15题图

15.（C）如图，半圆O的半径为1，A为直径延长线上一点，OA＝2.B为半圆上任意一点（端点除外），

以AB为斜边作等腰直角三角形ABC，设∠AOB＝α，将四边形OACB的面积表示为α的函数，并判定四边形OACB面积是否存在最大值与最小值?若存在，求出具体值；若不存在，说明理由.

篇5：三角形的证明单元测试

三角形的证明

单元检测试题

班级：_____________姓名：_____________

一、选择题

（本题共计

小题，每题

分，共计21分，）

1.△ABC的三边长分别a，b，c，且a+2ab=c+2bc，则△ABC是（）

A.等边三角形

B.等腰三角形

C.直角三角形

D.钝角三角形

2.如图，∠MAN＝63∘，进行如下操作：以射线AM上一点B为圆心，以线段BA长为半径作弧，交射线AN于点C，连接BC，则∠BCN的度数是（）

A.54∘

B.63∘

C.117∘

D.126∘

3.如图，△ABC中，∠ACB=90∘，CD是高，∠A=30∘，则BD与AB的关系是（）

A.BD=12AB

B.BD=13AB

C.BD=14AB

D.BD=15AB

4.如图，已知∠ACB=90∘，CD⊥AB，垂足是D．下列结论中正确的是（）

A.∠1=∠A

B.∠1+∠B=90∘

C.∠2=∠A

D.∠A=∠B

5.等腰△ABC的顶角A为120∘，过底边上一点D作底边BC的垂线交AC于E，交BA的延长线于F，则△AEF是（）

A.等边三角形

B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰但非等边三角形

6.下列说法不正确的是（）

A.有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

B.有斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等

C.二条直角边对应相等的两个直角三角形全等

D.有斜边对应相等的两个直角三角形全等

7.如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当∠APQ=∠AQP时，P,Q运动的时间为（）

A.3s

B.4s

C.4.5s

D.5s

二、填空题

（本题共计

小题，每题

分，共计30分，）

8.边长为a的正三角形的面积等于________

9.直角三角形中一个锐角为30∘，斜边和最小的边的和为12cm，则斜边长为________．

10.如图，在等边△ABC的底边BC边上任取一点D，过点D作DE // AC交AB于点E，作DF // AC交AC于点F，DE=5cm，DF=3cm，则△ABC的周长为________cm．

11.如图，∠A＝36∘，∠DBC＝36∘，∠C＝72∘，请写出图中有哪些等腰三角形？________．

12.a，b，c为△ABC的三边，且(a-b)(a-c)(b-c)=0，则△ABC一定是________三角形．

13.把一块直尺与一块三角板如图放置，若∠1=63∘，则∠2=________．

14.等腰三角形的顶角为40∘，则其底角为________度．

15.如图，AC⊥AB，AC⊥CD，要使得△ABC≅△CDA．

（1）若以“SAS”为依据，需添加条件________；

（2）若以“HL”为依据，需添加条件________．

16.如图，已知在△ABC中，CD平分∠ACB，且CD⊥AB于D，DE // BC交AC于点E，AC=3cm，AB=2cm，则△ADE的周长为________cm．

17.如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，CD是高，∠A=30∘，AB=4．则BD=________．

三、解答题

（本题共计

小题，共计69分，）

18.如图，在△ABC中，∠C=90∘，AC=12AB，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，试判断∠B与∠BAC的大小关系，并确定它们的度数．

19.在平面直角坐标系中，点是轴上一点，点是轴上一点，若线段，．

（1）则点的坐标是________，点的坐标是________；

（2）以线段为边，在平面直角坐标系中作等边，求出点坐标．

20.已知：将长方形ABCD沿直线AC对折，将点B折到点E处，AE交CD于点F.(1)求证：△ACF是等腰三角形；

(2)若CD=16cm，AD=8cm，求△ACF的面积．

21.如图，∠ABD=∠ADB=15∘，∠CBD=45∘，∠CDB=30∘．求证：△ABC是等边三角形．

22.已知：如图，在△ABC中，∠C=90∘，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE=∠B．

（1）求∠B的度数．

（2）猜想：ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．

（3）如果AC=3cm，请直接写出AB的长度（不要求写出解答过程）．

23.已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90∘，点O是线段AC的中点．

（1）求证：OB＝OD；

（2）若∠ACD＝30∘，OB＝6，求△AOD的周长．

24.已知等边△ABC的边长为4cm，点P，Q分别从B，C两点同时出发，其中点P沿BC向终点C运动，速度为1cm/s；点Q沿CA，AB向终点B运动，速度为2cm/s，设它们运动的时间为x(s)，（1）如图1，若PQ // AB，则x的值为________(s)。

（2）如图2，若PQ⊥AC，求x的值。

篇6：三角形的证明单元测试

本段译文

翠鸟先是把巢筑得高高的用来避免祸患。等到它生了小鸟，特别喜爱它，惟恐它从树上掉下来，就把巢做得稍稍低了一些。等小鸟长出了羽毛，翠鸟更加喜爱它了，又把巢做得更低了一些，于是人们就把它们捉住了。[阅读提示：护子移巢，情真意笃，的确为美轮美奂的动物天性。问题是，就下移动鸟巢，虽然可令幼崽免遭下坠毁身之灾，却无法使爱子逃脱人类伸手取之之祸]。

本段注释

1、出自冯梦龙《古今谭概》。翠鸟：即翡翠鸟，雄的叫翡，雌的叫翠，经常栖息在水边的树洞内，捕食昆虫、小鱼。

2、患：灾祸

3、避患：避免灾祸

4、及：到了„的时候

5、及生子：等到生了小鸟

6、坠：落，掉下

7、稍下：稍微

低一点

8、复：又，再

9、益：更加

10、又更下巢：又把窝做到更低的地方

11、遂：于是，就

12、之：代词，代小鸟

13、下巢：把窝做低

14、恐：担心

15、人遂得而取之矣：人们就得到（翠鸟）并取得它16.以：用17.先：起先18.矣：语气词，了

本段问题回答

下列理解不正确的一项是（C）A.“翠鸟先高作巢”是为了躲避祸患

B.“稍下作巢”是怕幼子掉下来摔伤C.等幼子长出来羽毛“又更下巢”是为了幼子学习飞翔D.这则故事的寓意说明如果父母对子女过分溺爱、娇惯，到头来是害了他们

本段寓意

篇7：三角形的证明单元测试

注意事项：本卷共8大题23小题，满分150分，考试时间120分钟.

一、选择题(本题共10小题，每小题4分，共40分)

1.在Rt△ABC中，∠C=90°，若斜边AB是直角边BC的3倍，则tanB的值是( )

A. B.3 C. D.2

2.在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则cosA的值是( )

A. B. C. D.

3.如果∠ 为锐角，且sin =0.6，那么 的取值范围是( )

A.0°< ≤30° B.30°< <45° C.45°< <60° D.60°< ≤90°

4.若 为锐角，且sin = ，则tan 的值为( )

A. B. C. D.

5.如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标为(3，m)，且OP与x轴正半轴的夹角 的正切值是 ，则sin 的值为( )

A. B. C. D.

第5题图 第8题图 第9题图 第10题图

6. 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB= ，则cosA的值为( )

A. B. C. D.

7.在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是( )

A. B. C. D.

8.如图，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，点D为BC的中点，DE⊥AC于点E，则tan∠CDE的值等于( )

A. B. C. D.

9.如图，两条宽度均为40 m的公路相交成 角，那么这两条公路在相交处的公共部分(图中阴影部分)的路面面积是( )

A. (m2) B. (m2) C.1600sin (m2) D.1600cos (m2)

10.如图，一个小球由地面沿着坡度i=1：2的坡面向上前进了10m，此时小球距离地面的高度为( )

A.5m B. m C.4 m D.2

二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)

11.如图，在四边形ABCD中，∠BAD=30°，∠C=90°，∠ADB=105°，sin∠BDC= ，AD=4.则DC=___________.

第11题图 第12题图 第13题图 第14题图

12.如图，在A处看建筑物CD的顶端D的仰角为 ，且tan =0.7，向前行进3米到达B处，从B处看D的仰角为45°(图中各点均在同一平面内，A、B、C三点在同一条直线上，CD⊥AC)，则建筑物CD的高度为___________米.

13.如图，已知点A(5 ，0)，直线y=x+b(b>0)与x轴、y轴分别相交于点C、B，连接AB，∠ =75°，则b=________.

14.如图，正方形ABCD中，E是CD中点，FC= BC，则tan∠EAF=________.

三、(本题共2小题，每小题8分，满分16分)

15.计算：(1) +2sin45°- ;

(2)sin30° tan60°-(-tan45)+ .

16.如图，在△ABC中，BD⊥AC于点D，AB=6，AC=5 ，∠A=30°.

(1)求BD和AD的长;

(2)求tanC的值.

四、(本题共2小题，每小题8分，满分16分)

17.如图，某中学课外活动小组的同学利用所学知识去测量某河段的宽度.小明同学在A处观测对岸C点，测得∠CAD=45°，小英同学在距A处50米远的B处测得∠CBD=30°，请你根据这些数据计算出河宽.(精确到0.01米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732)

18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，M是直角边AC上一点，MN⊥AB于点N，AN=3，AM=4，求tanB的值.

五、(本题共2小题，每小题10分，满分20分)

19.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE分别与CD、CB相交于点H、E，AH=2CH.

(1)求sinB的值;

(2)如果CD= ，求BE的值.

20.已知，△ABC中，D是BC上的一点，且∠DAC=30°，过点D作ED⊥AD交AC于点E，AE=4，EC=2.

(1)求证：AD=CD;

(2)若tanB=3，求线段AB的长﹒

六、(本题满分12分)

21.如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向.求此时小船到B码头的距离(即BP的长)和A、B两个码头间的距离(结果都保留根号)﹒

七、(本题满分12分)

22.如图，某人在山坡坡脚A处测得电视塔尖点C的仰角为60°，沿山坡向上走到P处再测得点C的仰角为45°，已知OA=100米，山坡坡度(竖直高度与水平宽度的比)i=1：2，且O、A、B在同一条直线上.求电视塔OC的高度以及此人所在位置点P的铅直高度.(测角器高度忽略不计，结果保留根号形式)

八、(本题满分14分)

23.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，AD=3，BC=5，点M是边CD的中点，连接AM、BM.

(1)求△ABM的面积;

(2)求sin∠MBC的值.

篇8：三角形的证明单元测试

曾老师设计的教案中,第一部分是让学生运用猜想、图形剪拼、测量、归纳等方法发现这样一个结论:“三角形的内角和是180°”,第二部分教学内容就是运用演绎方法证明结论(教学过程如下)。

“(二)运用演绎方法证明结论

师:三角形的内角和确实是180°,如何用我们学过的数学知识来证明这个结论呢?

生:对于直角三角形,可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形(图略)。长方形四个角是直角,其内角和为90°×4=360°,这样每个直角三角形的内角和为180°。对于锐角和钝角三角形,我还没想出来。

生:对于非直角三角形,可以在内部作一条高,将其分成两个直角三角形(图略)。这样两个直角三角形的内角和为360°,减去高与底边所成的两个直角的度数,就得到所求的非直角三角形的内角和为180°。……

师:嗯,非常好!这样,我们就成功地证明了‘三角形的内角和为180°’这个非常重要的数学结论。”

事实上,这个被教师称为“成功的证明”并不是用演绎推理方法进行的“证明”,其“证明”过程中存在着两个值得商榷的问题。

一、“长方形的内角和是360°”是怎么得到的

证明过程中用到了“长方形的内角和是360°”这个结论,这个结论是怎么得到的?

一般地,“四边形的内角和是360°”是通过将四边形用对角线分成两个三角形,再由“三角形内角和是180°”推导出来的。因为长方形是四边形,所以内角和是360°(当然也可直接将长方形分成两个三角形进行推导)。人教版教材在“三角形内角和”的教学中还安排了这样一个练习:“根据三角形内角和是180°,你能求出下面的四边形和正六边形的内角和吗?”由此可知,小学中求多边形内角和确实以“三角形内角和是1800”为依据。这样一来,证明过程就会有“循环证明”之嫌。好在长方形是特殊的四边形,教师可以不用“三角形内角和是180°”为依据,而是可以根据它的定义“有一个角是直角的平行四边形是矩形(长方形)”及平行线的某些性质(例如同旁内角互补)推导出长方形四个角都是直角,从而得到了“长方形内角和是360°”的结论,但是“平行线的性质”是初中数学的教学内容,并不是四年级小学生所掌握的知识,论证过程中不好应用。曾老师也许考虑到了这一点,因此提出了另一种说法,认为长方形四个角都是直角是“默认为正确的而不加以证明,相当于平面几何中的公理”。为了证明需要,就把“长方形四个角都是直角”当作“公理”而不加以证明,并且把它当作演绎推理的依据,这样处理不是很妥当。其实,即使把“长方形四个角都是直角”当作“公理”,仅用小学数学中的一些知识,要用演绎法来证明“三角形的内角和是180°”也是做不到的。

二、两个完全一样的直角三角形为什么可以拼成一个长方形

学生在开始“证明”时就提出:“可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形。”这正是“证明结论”的关键。然而,正是这句话出了问题。试想在还不知道直角三角形的内角和是180°时,怎么能知道这样两个直角三角形一定能拼成一个长方形呢?

为了方便,笔者借助图形来说明问题。

假设△ABC和△CDA是两个完全一样的直角三角形,其中∠B=∠D=90°,∠2=∠4,∠1=∠3,BC=DA,AB=CD,A C=CA,把这两个三角形如图所示拼起来,如果能拼成一个长方形,那么必须满足条件:∠1+∠2=90°,∠3+∠4=90°。由于∠2=∠4,∠1=∠3,所以就有∠1+∠4=90°,∠2+∠3=90°。由此可知,当你说“可以用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形”时,已经应用了直角三角形的内角和是180°”这个结论。这样一来,证明过程就形成了这样一个怪圈:先默认直角三角形的内角和是180°,否则它的两个锐角就不能拼成一个直角)→它的两个锐角可以拼成一个直角→两个完全一样的直角三角形可以拼成一个长方形→长方形内角和是360°→每个直角三角形的内角和是180°。显然,用这样的方法来证明“三角形的内角和是180°”是错误的。这种“证明”方法的实质是用直角三角形的两个锐角拼一拼,而且没有任何理由就认定了这两个锐角拼成了一个直角,这根本不是在用“演绎方法”证明“直角三角形的内角和是180°”。再以此结论为依据来证明“非直角三角形的内角和也是180°”就失去了意义。像这种错误的“证明”也并不鲜见,例如在《中小学数学》2009年第12期中刊登的《“三角形内角和”一课的教学现象分析与思考》一文中也是用这种方法证明的,在公开发表的这些文章影响下,估计这样的错误证法还会在课堂教学中出现,对此教师应该予以足够重视。

要证明“三角形的内角和是180°”是需要以平行线的性质为基础的,在初中数学教材中,应用平行线的性质很容易用演绎推理的方法证明这个结论(证明略)。华东师大的张奠宙教授曾在《小学教学》(数学版)2011年第3期中指出:“要证明三角形内角和的定理,平行公理无论如何是绕不过去的。”显然,学生在未掌握平行线性质的情况下,要用演绎推理的方法来证明“三角形内角和是180°”是不可能的,而事实上也是没有必要的。《数学课程标准(实验稿)》第24页对这一内容提出的教学目标是了解“三角形内角和是180°”,与四年级下册数学教材(人教版)配套的《教师教学用书》第135页上对这一内容提出的教学目标是知道“三角形的内角和是180°”。有些教师在实际教学中总是喜欢拔高教学目标,例如对于“三角形内角和”这一教学内容,不仅要学生“知道三角形内角和是180°”,而且还要求他们用演绎推理的方法来证明,这样做有时真的会“弄巧成拙”。

篇9：《全等三角形》单元测试题

——罗素（19世纪、20世纪英国哲学家和数学家）

一、填空题（每小题3分，共30分）

1． 如图1，把△ABC绕点A逆时针方向旋转40°，得到△ADE.若∠CAD=30°，则∠BAC=__.

2． 如图2，若△OAD≌△OBC，且∠O=65°，∠C=20°，则∠OAD=__.

3． 如图3，两个三角形全等.根据图中所给条件，可得∠α=__.

4． 如图4，在△ABC中，AD⊥BC于D.要使△ABD≌△ACD，根据“HL”，还需加条件__；若增加条件∠B=∠C，则可根据__来判定.

5． 如图5，点C、F在BE上，∠1=∠2，BC=EF，请补充条件__（写出一个即可），使得△ABC≌△DEF.

6． 如图6，∠A=90°，AB=BD.由点D作DE⊥BC交AC于点E.若AE=10 cm，则DE的长为__cm.

7． 如图7，BD平分∠ABC.DE⊥AB，垂足为E.S_△ABC=30 cm²，AB=18 cm，BC=12 cm，则DE=__.

8． 如图8，AB=DC，AD=BC.O为BD中点，过O点作直线与DA、BC的延长线交于点E、F.若∠ADB=70°，EO=12，则∠DBC=__，FO=__.

9． 如图9，在直角三角形ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8.过点C作CF⊥BC.如果点D、点E分别在BC、CF上运动，并且始终保持DE=AC，那么当CD=__时，△ABC与△DCE全等.

10． 数学课上，贝贝的老师出了一道题.如图10，在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB=AC；②AD=AE；③∠B=∠C；④BD=CE.请以其中三个论断作为条件，余下的论断作为结论，写出一个正确的命题.晶晶同学说：①②③→④；迎迎同学说：①②④→③；欢欢同学说：①③④→②；妮妮同学说：②③④→①.其中，__的说法正确.

二、选择题（每小题3分，共30分）

11． 如图11，△ABD≌△CDB.下面四个结论中不正确的是（）.

A. △ABD和△CDB的面积相等

B. △ABD和△CDB的周长相等

C. AD∥BC，且AD=BC

D. ∠A+∠ABD=∠C+∠CBD

12． 如图12，已知∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需条件（）.

A. AB=AD，BC=DE B. BC=DE，AC=AE

C. ∠B=∠D，∠C=∠ED. AC=AE，AB=AD

13． 如图13，已知D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=EF，FC∥AB.若BD=2，CF=5，则AB的长为（）.

A. 1B. 3 C. 5 D. 7

14． 如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是（）.

A. 相等B. 互余C. 互补或相等D. 不确定

15． 有下列说法：①如果两个三角形可以依据“AAS”来判定全等，那么也一定可以依据“ASA”来判定它们全等；②如果两个三角形都和第三个三角形全等，那么这两个三角形也一定全等；③要判定两个三角形全等，给出的已知条件中至少要有一组对应边相等.其中正确的是（）.

A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③

16． 在△ABC和△DEF中，AB=DE，∠A=∠D.若证△ABC≌△DEF，还要补充一个条件.错误的补充方法是（）.

A. ∠B=∠E B. ∠C=∠F C. BC=EF D. AC=DF

17． 如图14，已知AB=CD，BC=DA，∠B=23°，则∠D为（）.

A. 67°B. 46°C. 23°D. 无法确定

18． 如图15，已知AB=AC，PB=PC.有下列结论：①EB=EC；②AD⊥BC；③AE平分∠BEC；④∠PBC=∠PCB.其中正确的有（）.

A. 1个 B. 2个C. 3个 D. 4个

19． 如图16，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DE=3，BD=2CD，则BC的长为（ ）.

A. 7B. 8C. 9 D. 10

20． 如图17，有一个平分角的简易仪器（四边形ABCD），其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点处，AB和AD沿着角的两边张开，沿对角线AC画射线AE，AE就是∠PAQ的平分线.这个平分角的仪器的制作原理是（）.

A. 角平分线性质B. AAS

C. SSS D. SAS

三、解答题

21． （8分）如图18，AB∥CD，AB=CD，CE∥BF.则图中有哪几对全等三角形？请任选一对全等三角形进行证明.

22． （8分）图19是雨伞的截面图.伞骨AB=AC，支撑杆OE=OF.AE=1/3AB，AF=1/3AC.当O沿AD上下滑动时，雨伞开或闭.雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？

23． （10分）如图20，△ABC中，D是BC的中点.过D点的直线GF交AC于点F，交AC的平行线BG于点G.DE⊥GF，DE交AB于点E.连接EG、EF.

（1）求证：BG=CF.

（2）请判断BE+CF与EF的大小关系，并证明你的结论.

24． （10分）如图21，AD∥BC，AB⊥BC，AD=AB.E为BC上一点，DF⊥AE于F.试问：在AE上是否存在一点P，使△ABP≌△DAF？若存在，请找出满足条件的点P，并给予证明；若不存在，请说明理由.

四、拓展题

25． （12分）如图22，AD平分∠BAC.DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，且BD=CD.

（1）请指出图中与△BDE全等的三角形，并加以证明.

（2）若AE=6 cm，AC=4 cm，求BE的长.

26． （12分）如图23，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠EAD=90°.

（1）求证：△ACE≌△ABD.

（2）将图23中△AED绕点A顺时针方向旋转至图24所示的位置，其余条件不变，（1）中的结论是否仍成立？请说明理由.

篇10：三角形的证明单元测试

一.单选题（共10题；共30分）

1.sin45°的值等于()

A.B.C.D.2.如图，已知直角三角形ABC中，斜边AB的长为m，∠B=40°，则直角边BC的长是（）

A.msin40° B.mcos40° C.mtan40° D.3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=2，则cosA的值是（）

A.B.C.如图放置，则

D.4.正方形网格中，的值为（）

A.B.C.D.2 5.用计算器验证，下列等式中正确的是（）

A.sin18°24′+sin35°26′=sin54° B.sin65°54′-sin35°54′=sin30° C.2sin15°30′=sin31° D.sin70°18′-sin12°18′=sin47°42′ 6.四个规模不同的滑梯A，B，C，D，它们的滑板长 250m，200m，（平直的）分别为300m，200m；滑板与地面所成的角度分别为30°，45°，45°，60°，则关于四个滑梯的高度正确说法（）

A.A的最高 B.B的最高 C.C的最高 D.D的最高

7.（2015•巴彦淖尔）如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD是（）

A.20海里 B.40海里 C.20海里 D.40海里

8.若cosα=，则锐角α的大致范围是（）

A.0°＜α＜30° B.30°＜α＜45° C.45°＜α＜60° D.0°＜α＜90°

9.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（）

A.msin35° B.mcos35° C.D.10.（2014•泰州）如果三角形满足一个角是另一个角的3倍，那么我们称这个三角形为“智慧三角形”．下列各组数据中，能作为一个智慧三角形三边长的一组是（）

A.1，2，3 B.1，1，C.1，1，D.1，2，二.填空题（共8题；共24分）11.如图，当太阳光与地面成55°角时，直立于地面的玲玲测得自己的影长为1.25m，则玲玲的身高约为________ m．（精确到0.01m）（参考数据：sin55°≈0.8192，cos55°≈0.5736，tan55°≈1.428）.12.如图，某数学兴趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角为60°（A、B、D三点在同一直线上）．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度是________ 米．（结果保留根号）

13.如果α是锐角，且tanα=cot20°，那么α=________ 度．

14.小虎同学在计算a+2cos60°时，因为粗心把“+”看成“﹣”，结果得2006，那么计算a+2cos60°的正确结果应为________

15.小明乘滑草车沿坡比为1：2.4的斜坡下滑130米，则他下降的高度为________ 米．

16.在△ABC中，∠A=120°，AB=4，AC=2，则sinB的值是________

17.（2016•荆州）全球最大的关公塑像矗立在荆州古城东门外．如图，张三同学在东门城墙上C处测得塑像底部B处的俯角为18°48′，测得塑像顶部A处的仰角为45°，点D在观测点C正下方城墙底的地面上，若CD=10米，则此塑像的高AB约为________米（参考数据：tan78°12′≈4.8）．

18.cos240°+cos2α=1，则锐角α=________度．

三.解答题（共6题；共42分）19.（2015•泸州）如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行．当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处．若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？（计算结果用根号表示，不取近似值）．

20.如图，某人在一栋高层建筑顶部C处测得山坡坡脚A处的俯角为60°，又测得山坡上一棵小树树干与坡面交界P处的俯角为45°，已知OA=50米，山坡坡度为12（即tan∠PAB=12，其中PB⊥AB），且O、A、B在同一条直线上.（1）求此高层建筑的高度OC.(结果保留根号形式.)；

（2）求坡脚A处到小树树干与坡面交界P处的坡面距离AP的长度.(人的高度及测量仪器高度忽略不计，结果保留3个有效数字.)

21.已知，如图Rt△ABC中，AB=8，BC=6，求sin∠A和tan∠A．

22.如图，为了测量河宽，在河的一边沿岸边选取B、C两点，在对岸岸边选择点A．测得∠B=45°，∠C=60°，BC=30米．求这条河的宽度（这里指点A到直线BC的距离）．（结果精确到1米，参考数据2≈1.4，3≈1.7）

23.如图分别是某型号跑步机的实物图和示意图，已知踏板CD长为2米，支架AC长为0.8米，CD与地面的夹角为12°，∠ACD=80°，（AB‖ED），求手柄的一端A离地的高度h．（精确到0.1米，参考数据：sin12°=cos78°≈0.21，sin68°=cos22°≈0.93，tan68°≈2.48）

24.小明想测量位于池塘两端的A、B两点的距离．他沿着与直线AB平行的道路EF行走，当行走到点C处，测得∠ ACF=45°，再向前行走100米到点D处，测得∠ BDF=60°．若直线AB与EF之间的距离为60米，求A、B两点的距离．（结果保留三位有效数字，参考数据： 2 ≈1.414； 3 ≈1.732.）

答案解析

一.单选题

1.【答案】B

【考点】特殊角的三角函数值

【解析】

【分析】根据

即可求解．

【解答】故选：B． ．

【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．

2.【答案】B

【考点】解直角三角形

【解析】【分析】根据锐角三角函数的定义解答即可． 【解答】∵cos40°=，∴BC=AB•cos40°=mcos40°． 故选B．

【点评】本题考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．

3.【答案】B

【考点】锐角三角函数的定义

【解析】【分析】根据锐角三角函数的概念直接解答即可． 【解答】∵Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=2，∴cosA=故选B． =．

【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对边比斜边；余弦等于邻边比斜边；正切等于对边比邻边．

4.【答案】A

【考点】锐角三角函数的定义

【解析】【分析】作EF⊥OB，则求cos∠AOB的值的问题就可以转化为直角三角形边的比的问题． 如图，作EF⊥OB，则EF=2，OF=1，由勾股定理得，OE=．

=

故选A.【点评】本题通过构造直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的定义求解．5.【答案】D

【考点】计算器—三角函数

【解析】【解答】利用计算器分别计算出各个三角函数的数值，进行分别检验 ．sin70°18′-sin12°18′=sin47°42′ ．

故选D.【分析】本题考查三角函数的加减法运算 ．

6.【答案】B

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题

【解析】【解答】A.的高度为：300×sin30°=150（米）．

B.的高度为：250×sin45°=125 ≈176.75（米）．

C.的高度为：200×sin45°=100 ≈141.4（米）．

D.的高度为：200×sin60°=100 ≈173.2（米）．

所以B的最高 ．

正确的是

故选：B.【分析】利用所给角的正弦值求出每个滑板的高度，比较即可 ．

7.【答案】C

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题

【解析】【解答】根据题意可知∠CAD=30°，∠CBD=60°，∵∠CBD=∠CAD+∠ACB，∴∠CAD=30°=∠ACB，∴AB=BC=40海里，在Rt△CBD中，∠BDC=90°，∠DBC=60°，sin∠DBC=∴sin60°=，=20（海里）．，∴CD=40×sin60°=40×故选：C．

【分析】根据方向角的定义及余角的性质求出∠CAD=30°，∠CBD=60°，再由三角形外角的性质得到∠CAD=30°=∠ACB，根据等角对等边得出AB=BC=20，然后解Rt△BCD，求出CD即可解答．

8.【答案】C

【考点】锐角三角函数的增减性

【解析】【解答】解：∵cos30°=∴cos45°＜cosα＜cos60°，∴锐角α的范围是：45°＜α＜60°． 故选C．

【分析】理解几个特殊角的度数以及余弦值，根据余弦函数随角度的增大而减小即可作出判断．

9.【答案】A

【考点】锐角三角函数的定义

【解析】【解答】解：sin∠A= ∴BC=msin35°，∵AB=m，∠A=35°，cos45°=，cos60°=，且＜＜，故选：A．

【分析】根据正弦定义：把锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦可得答案．

10.【答案】D

【考点】解直角三角形

22【解析】【解答】解：A、∵1+2=3，不能构成三角形，故选项错误；

B、∵1+1=（2），是等腰直角三角形，故选项错误； C、底边上的高是 =，可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，故选项错误；

D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，其中90°÷30°=3，符合“智慧三角形”的定义，故选项正确． 故选：D．

【分析】A、根据三角形三边关系可知，不能构成三角形，依此即可作出判定； B、根据勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，依此即可作出判定； C、解直角三角形可知是顶角120°，底角30°的等腰三角形，依此即可作出判定；

D、解直角三角形可知是三个角分别是90°，60°，30°的直角三角形，依此即可作出判定．

二.填空题

11.【答案】1.79

【考点】解直角三角形的应用

【解析】【解答】玲玲的身高=影长×tan55°=1.25×1.428≈1.79（m）。故答案为：1.79。

【分析】本题考查了解直角三角形的应用、正切的概念、计算器的使用。

12.【答案】53

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】【解答】解：∵∠CBD=60°，∠CBD=∠A+∠ACB，∴∠ACB=∠CBD﹣∠A=60°﹣30°=30°，∵∠A=30°，∴∠A=∠ACB，∵AB=10，∴BC=AB=10，在R△BCD中，CD=BC•sin∠CBD=10× 32=53 ． 故答案为53 ．

【分析】首先利用三角形的外角的性质求得∠ACB的度数，得到BC的长度，然后在直角△BDC中，利用三角函数即可求解．

13.【答案】70

【考点】特殊角的三角函数值

【解析】【解答】解：∵tanα=cot20°，∴∠α+20°=90°，即∠α=90°﹣20°=70°． 故答案为70．

【分析】根据一个角的正切值等于它的余角的余切值即可求解．

14.【答案】2008

【考点】计算器—三角函数

【解析】【解答】解：∵a﹣2cos60°=2006，∴a=2007．

∴a+2cos60°=2007+1=2008． 故答案为：2008．

【分析】根据错误的运算先确定a的值，然后求出正确的结果．

15.【答案】50

【考点】解直角三角形的应用

【解析】【解答】解：∵坡比为1：2.4，∴BC：AC=1：2.4，设BC=x，AC=2.4x，则AB=AC2+BC2= x2+2.4x2=2.6x，∵AB=130米，∴x=50，则BC=x=50（米）． 故答案为：50．

【分析】根据斜坡的坡比为1：2.4，可得BC：AC=1：2.4，设BC=x，AC=2.4x，根据勾股定理求出AB，然后根据题意可知AB=130米，求出x的值，继而可求得BC的值．

16.【答案】2114

【考点】解直角三角形

【解析】【解答】解：根据题意画出图形，如图所示，过C作CD⊥BA，交BA延长线于点D，∵∠BAC=120°，∴∠CAD=60°，在Rt△ACD中，∠ACD=30°，AC=2，∴AD=12AC=1，根据勾股定理得：CD= AC2-AD2=3，在Rt△BCD中，CD=3，BD=BA+AD=4+1=5，根据勾股定理得：BC= CD2+BD2=28，则sinB= CDBC=328=2114． 故答案为：2114 ．

【分析】根据题意画出图形，如图所示，作CD垂直于BA，交BA延长线于点D，在直角三角形ACD中，利用邻补角定义求出∠CAD=60°，进而确定出∠ACD=30°，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半求出AD的长，利用勾股定理求出CD的长，由AD+DB求出DB的长，在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BC的长，利用锐角三角函数定义即可求出sinB的值．

17.【答案】58

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题

【解析】【解答】解：如图所示：由题意可得：CE⊥AB于点E，BE=DC，∵∠ECB=18°48′，∴∠EBC=78°12′，则tan78°12′= ECBE = EC10 =4.8，解得：EC=48（m），∵∠AEC=45°，则AE=EC，且BE=DC=10m，∴此塑像的高AB约为：AE+EB=58（米）． 故答案为：58．

【分析】直接利用锐角三角函数关系得出EC的长，进而得出AE的长，进而得出答案．此题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得出EC的长是解题关键．

18.【答案】50

【考点】互余两角三角函数的关系

22【解析】【解答】解：∵cos40°+cosα=1，∴α=90°﹣40°=50°．

【分析】根据锐角三角函数的概念，知：互为余角的两个角的余弦平方和等于1．

三.解答题

19.【答案】解：过点A作AP⊥BC，垂足为P，设AP=x海里．

在Rt△APC中，∵∠APC=90°，∠PAC=30°，∴tan∠PAC=CPAP，∴CP=AP•tan∠PAC=33x．

在Rt△APB中，∵∠APB=90°，∠PAB=45°，∴BP=AP=x． ∵PC+BP=BC=30×12，∴33x+x=15，解得x=153-32，∴PB=x=153-32，∴航行时间：153-32÷30=3-34（小时）．

答：该渔船从B处开始航行3-34小时，离观测点A的距离最近．

【考点】解直角三角形的应用-方向角问题

【解析】【分析】首先根据题意可得PC⊥AB，然后设PC=x海里，分别在Rt△APC中与Rt△APB中，利用正切函数求得出PC与BP的长，由PC+BP=BC=30×12，即可得方程，解此方程求得x的值，再计算出BP，然后根据时间=路程÷速度即可求解．

20.【答案】解：（1）∵∠OCA=300，∠COA=900，OA=50 ∴OC=503（2）作PD⊥CO 设PB=x,则AB=2x,OB=DP=50+2x,CD=503-x 00∵∠PCO=4

5，∠CDP=90，∴CD=DP 50+2x=503-x, x=

AP=5·503-13=5015-53≈27.3

【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题

【解析】【分析】解直角三角形的应用-坡度坡角问题

21.【答案】【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得 AC=AB2+BC2=10，sin∠A=BCAC=610=35；

tan∠A=BCAB=68=34．

【考点】锐角三角函数的定义

【解析】【分析】根据勾股定理，可得AC的长，根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，正切为对边比邻边，可得答案．

22.【答案】解：过点A作AD⊥BC于点D．如图所示： 在Rt△ACD中，∵∠C=60°，∴tanC=ADCD=3，∴CD=33AD，在Rt△ABD中，∵∠B=45°，∴tan∠B=ADBD=1，∴AD=BD，∵BC=BD+CD=30米，∴AD+33AD=30米，解得：AD=15（3﹣3）≈19．

答：河的宽度约为19米．

【考点】解直角三角形的应用

【解析】【分析】作AD⊥BC与D，由三角函数得出CD=33AD，AD=BD，由已知条件得出关于AD的方程，解方程即可．

23.【答案】解：过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．

∵CD与地面DE的夹角∠CDE为12°，∠ACD为80°，∴∠ACF=∠FCD﹣∠ACD=∠CGD+∠CDE﹣∠ACD=90°+12°﹣80°=22°，∴∠CAF=68°，在Rt△ACF中，CF=AC•sin∠CAF≈0.744m，在Rt△CDG中，CG=CD•sin∠CDE≈0.42m，∴h=0.42+0.74=1.156≈1.2（米），答：手柄的一端A离地的高度h约为1.2m．

【考点】解直角三角形的应用

【解析】【分析】过C点作FG⊥AB于F，交DE于G．在Rt△ACF中，根据三角函数可求CF，在Rt△CDG中，根据三角函数可求CG，再根据FG=FC+CG即可求解．

24.【答案】试题解析：过点 A作AM⊥EF，过点B作BN⊥EF，垂足分别为点M、N

在Rt ΔACM中，∠ACF=45°，AM=60米 则CM=60米 ∵ CD=100米 ∴ MD=40米

在Rt ΔBDN中，∠BDF=60°，BN=60米 则DN= 603=203 米 ∵ AB //EF ∴∠ BAM= ∠ AMB= ∠ BNM=90 °∴四边形AMNB为矩形 ∴ AB=MN=40+ 203 米

∴ AB ≈74.6米

【考点】解直角三角形