二叉树定价模型

2024-06-30

二叉树定价模型（精选四篇）

二叉树定价模型篇1

期权是一种金融衍生工具, 以期货为基础。期权价值的主要内容是内在价值和时间价值。期权的内在价值是指立即执行期权所能带来的价值。期权的时间价值是指期权没有到期的时候, 所有者因为标的资产价格波动而获得的收益的可能性大小。对期权价值产生影响的因素主要有六个:1、执行价格, 2、标的资产市场价格, 3、到期期限, 4、无风险利率, 5、标的资产价格波动率, 6、预期股利。

在期权合约中, 期权价值的具体表现为期权价格。随着市场供求关系的变化, 期权的价格也会发生相应的变化, 从而会对交易买卖双方的利益造成影响。我们可以看出在期权交易中, 期权价格是一个核心问题, 因而如何使期权的定价合理化就显得非常重要。法国金融学家劳雷斯.巴舍利耶在1900年发表了第一篇有关期权定价的文章。在这之后, 很多金融专家学者也提出了各种公式和定价模型, 但是都不能得到广泛的认同。70年代至今, 期权市场的快速发展促进了期权定价的研究。1979年, 科克斯、鲁宾斯坦和罗斯发表了论文--《期权定价:一种简化方法》, 提出了二叉树定价模型, 该模型的提出使美式期权的定价问题得到了解决。本文将依据二叉树定价模型的原理对美式期权进行研究。

二、二叉树定价模型的基本理论

(一) 基本原理

在二叉树定价模型假定条件下, 股票的价格只能上涨或者下跌。而且我们假定在选取的研究时间段内, 股价每次波动的概率和幅度是相同的。模型将所选取的研究期限分为若干个相等时长的阶段, 然后画出股票价格变化的所有可能路径, 再计算在每一路径上的每一个节点处行权所带来的收益, 最后再将其贴现到研究起始的时点从而得到期权的价格。因为在美式期权情况下, 所有者不用等到交割日再决定是否行权, 他们可以提前行权, 所以计算美式期权价格的时候需要比较贴现计算得到的期权价格和期权行权获得的收益并得出较大者即为期权的理论价格。

(二) 假设条件

⑴不支付股票红利;⑵不计交易成本与税收;⑶投资者可以运用无风险利率拆出或拆入资金;⑷市场无风险利率是常数;⑸股票的波动率是常数

(三) 二叉树模型的结构说明

当时间为0时, 证券的价格为S。时间为△t时, 证券的价格如果上涨, 则为Su, 如果下降, 则为Sd;当时间为2△t时, 证券价格有三种可能:Su^2、Su、Sd^2。依次往后类推。一般来说, 在时间为i△t时, 证券价格为Sujdi-jj=0, 1, …, i

(四) u p d的数值确定:

在现实市场中, 为了描述证券价格的变化而构造二叉树定价模型时, 我们会借助选择u和d来让树形与证券价格的漂移率μ和波动率σ相一致。这时我们就会面临一个问题:是应当选择现实世界的波动率还是选择风险中性定价世界的波动率呢?事实证明选取哪个世界的结果都是一样的 (这里我们不再证明) 。对于很小的一段时间△t以及给定的u和d, 假设波动率在现实世界和风险世界是完全一样的。

首先, 我们假定市场是一个风险中性的世界, 即用无风险利率r代替股票预期收益率μ。

又因为当证券价格遵循几何布朗运动时, 在一个很小的时间段△t内, 证券格变化的方差是S2σ2△t。由方差的定义可得, 定量Q的方差为E (Q2) -[E (Q2) ], 因此

最后, 由考克斯, 鲁宾斯坦和罗斯提出的条件:u=1/d (*)

综上, 可以得出:

当△t很小时,

(五) 用MATLAB软件计算股票期权的价格二叉树

因为在利用二叉树进行期权定价时, 价格的计算步骤相当繁琐。为了简化这些重复性的计算过程, 我们借助于常用MATLAB软件来计算结果。

三、二叉树定价模型的简单应用

本文运用三步二叉树模型给恒生指数期权定价并将结果与真实市场价格比较。

⑴搜集恒生指数2005年至2015年的价格数据, 并计算出历史波动率为σ=0.016近似等于恒生指数收益率的波动率。

⑵搜集期权的执行价格、到期日。此报告使用9月15到期的执行价格分别为20000和30000的两份合约数据和shibor利率数据。

⑶以matlab软件为工具, 运用二叉树计算美式期权理论价格。

a.当执行价格K=20000时

看跌期权的二叉树模型如下

看涨期权的二叉树模型如下:

b.当执行价格为K=30000时

看跌期权的二叉树模型为:

看涨期权的二叉树模型为:

⑷比较市场价格和模型定价如下表所示:

从上述结果中我们可以看出, 模型定价与市场真实价格大体一致, 但是也存在着一定的误差。且对于看涨期权而言, 它的执行价格越低, 买方行使期权的可能性就越大, 期权价格就会越高;反之, 期权价格则越低。而看跌期权的情况刚好相反, 它的执行价格越高, 则买方行使期权的可能性越大, 期权价格就越高;反之, 期权价格则越高。

⑸分析定价误差产生的可能原因

a.在现实的金融市场中, 证券价格波动的异方差性广泛存在, 即实际市场中的证券波动性不是确定不变的, 而是随机的。

b.二叉树定价模型假设在整个考察期内股票不支付红利, 而且没有交易摩擦即不计成本和税收, 这些都是理想状态, 现实市场是可能会支付股票红利的, 而且交易是会存在成本和税收的。

c.在本文所研究的二叉树模型中, 我们人为设定参数u和d是一个固定的数, 在整个考察期中都保持不变, 也就是说我们假定股票的波动性是一直保持不变的。实际上, 当整个考察期的时间跨度比较大时, 股票收益率的波动性是会变化的, 不是固定的。

d.在二叉树定价模型的条件下, 我们假设p为风险中性世界里股票价格上涨的概率。一般来讲, 这一概率与现实世界里股票上涨的概率是不同的。

e.排除模型的原因, 由于我国期权市场不是很发达, 没有很健全的监督机制。误差的存在可能是因为我国证券市场中股票期权参与者的非理性炒作而造成。

4、对二叉树定价模型的评价

⑴优点:二叉树定价模型的算法思想比较简单, 易懂, 即便是在设定步数较大的二叉树模型时, 仍然可以比较精确地得到理论价格。且最突出的优点是无解决了美式期权定价的问题。

⑵缺点:二叉树定价模型也有一些不足的地方, 比如在步数较少时, 只能对理论价格求近似解, 不够精确;而在步数过大时, 计算步骤较复杂。而且二叉树定价模型的某些假设条件是理想化的, 不符合实际。

摘要：近年来, 随着我国经济实力地不断增强, 我国资本市场也得以迅速发展, 但市场的产品结构仍然单一。然而股票期权可以使资本市场的产品更加丰富, 交易更加活跃。在这一大背景下, 我国出现了第一个场内期权产品——50ETF期权, 该产品的推出标志着我国期权时代的到来。人们想通过期权的交易来获得收益, 所以期权的价格决定是交易中人们最关心的问题。在期权定价模型中, 由于二叉树期权定价模型的理论比较通俗易懂, 而且它所能应用的领域也比较广泛, 因此目前受到大家的追捧。本文将选取恒生指数期权, 利用二叉树期权模型对其进行定价, 做简单的分析研究。

关键词：二叉树模型,美式期权,定价

参考文献

[1]John C.Hull.OPTIONS, FUTURES AND OTHER DERIVATIVES (8 th Edition) .机械工业出版社.2011.9

二叉树定价模型篇2

目前,林权改革已在我国如火如荼的开展起来了。中共中央、国务院于2008年颁布了《中共中央、国务院关于全面推进集体林权制度改革的意见》,意见指出,要用5年左右时间,基本完成明晰产权、承包到户的改革任务。同年,国家林业局也颁布了《关于切实加强集体林权流转管理工作的意见》,对其中涉及林权流转工作的部分进行了进一步的规定和要求。2009年11月23日,中国林业产权交易所在北京饭店揭牌运营,标志着全国可流转的林权都可公开挂牌交易,全国性林权森林资源交易平台建立起来了。但是,目前我国的林权改革,尤其是林权流转方面还存在着诸多问题,如林权流转起步晚,规模小;林农对流转缺乏积极性,供给不足;市场信息不对称,地方政府失范;森林资源评估体系缺乏,流转受到技术限制。

目前,国内外许多学者对林权及林权流转进行了研究。如:周训芳(2004)、周珂(2008)、徐丰果等(2008)从不同角度给出了林权的定义;刘宏明(2007)给出了一种合理的林权分类标准;喻胜云(2008)、冯达等(2010)、聂影(2009)针对我国目前林权流转存在的问题进行了定性的分析,并给出了解决方案;Pia(2010)通过六个发展中国家的比较分析,研究了林权的演化过程及其历史;Liu(2009)、Augusta和Andy(2005)、Xu和Andy(2010)研究了林权改革以及林权流转对中国农村经济和农村生产关系调整的影响等。这些研究已经取得了丰硕的成果,但是共同存在着以下两个问题:一是对林权转让中的合同形式、合同内容缺乏研究;二是对林权转让中的定价估值问题缺乏定量研究。

实物期权理论是将金融期权应用到非金融领域的一种理论,是在传统的折现现金流方法已无法解决企业管理中遇到的问题时提出的。实物期权理论目前已经广泛的应用于风险投资、房地产转让、采矿权转让等方面的研究。如:路世昌、江艳楠(2010)将实物期权理论应用于企业并购决策;闫文周、刘金想(2009)将实物期权理论应用于大型项目投资;王燕(2009)将实物期权理论引入到房地产开发领域;章海兰(2010)将实物期权理论用于煤矿企业的并购定价;等等。目前实物期权在这些领域的研究已经较为成熟。林权作为一种非金融资产,与上述实物期权的标的物有着很大的共性。因此,将实物期权理论应用于林权流转,是可行的,也是非常必要的。

本文将实物期权理论应用于林权流转的过程,将林权流转买卖双方即收即付的交易进行改良,将其分解为两个期权的交易,利用实物期权理论对新的交易机制进行分析,并对买卖双方的交易策略进行分析。

二、现有林权流转交易机制的改良

目前我国林权流转交易采用的是即收即付的形式,也就是说,通过协商或拍卖达成交易后,买卖双方立即签订合同,并办理过户手续,交易的买方付出交易款,交易的卖方即不再拥有林权。但是,这种即收即付的交易对买卖双方而言都面临着较大的不确定性。现实中影响林权价值的因素很多,且很多因素是不可控的。可以认为林权流转的交易价格是林权产权年限内收益的现值。但是这一现值受到的很多不可控因素的影响。自然因素就是最重要的一个因素,在自然条件合适的情况下这一现值会高出预期,自然条件不适时则会低于预期,而遇到自然灾害、森林火灾等极端因素时,这一现值会明显降低。另外,某一年的自然因素尤其是极端因素还会对今后年份的林权价值产生影响。一般而言,林权的交易双方只能通过气象局等官方的趋势预测对近年可能出现的影响林权价值的事件进行预期,而对于较长时间以后的趋势则无法作出预测,另外,对于可能出现的极端事件,即使是近期也无法作出预测。同时,林权市场的供需状况也影响着林权的价值。因此,在目前的林权流转交易体制下,林权的买卖双方均面临风险。

一种有效的方法是将交易分解为两个美式期权,买卖双方各执一个期权多头和一个期权空头。林权的买方持有一个看涨期权多头和看跌期权空头,林权的卖方持有一个看涨期权空头和看跌期权多头。两份期权的执行价格相同,即为协议价格。林权交易发生时,交易双方仅需付出期权费。由于期权为美式期权,在到期日之前,实值期权持有方可以选择提前执行。期权多方选择执行期权时,期权空方有权选择是否履行期权义务,若不履行义务,则需要按执行时价值的一定比例向期权多方支付违约金。若林权价值与执行价格一致,则规定看涨期权为实值期权,而看跌期权为虚值期权。这样的设计可以在一定情况下规避风险。

三、林权实物期权的二叉树定价分析

由于林权的收益主要体现在刊发后的木材买卖所得,因此在分析时可以将此视作类似于金融期权中的现金红利支出。因此,这里利用B-S模型定价是不适合的。二叉树模型是一种简单而有效地定价方法。为简单起见,假设林权实物期权是一个二期美式期权,在第一期结束时有一次提前行权的机会。设在0时刻估计的价值为S0,所以设期权的执行价格也为S0,每一期的时间间隔为T。在每一期内,林权价值可能上升u,也有可能下降d,每期期末砍伐相当于当时价值的δ倍(假设林权所有人是理性的,不会因为种种原因而恶意砍伐),林权价值的波动率为σ,林权必要收益率为r。利用风险中性定价方法,可知一期内价值上升的概率为:林权价值二叉树如图1所示。

首先分析看涨期权的价值:

(1)(1-δ)u<1时,看涨期权无价值。

(2)(1-δ)u≥1时,仅在两期林权价值都上升的情况下,看涨期权存在价值。此时又存在两种情况:第一,当时,看涨期权的权利方选择不提前执行期权而等待期权到期再选择是否执行,此时期权的价值为[(1-δ)2u2-1]e-2np2S0(其中p为林权价值上升的概率,同上定义);第二,当时,看涨期权的权利方会选择提前执行该期权,则此时期权价值为[1-δ)u-1]e-np S0。

同时,分析看跌期权的价值:

(1)(1-δ)u叟1时,仅在两期林权价值都上升的情况下,看跌期权不存在价值。此时又存在两种情况:第一,当,看跌期权的权利方不提前执行期权而等待期权到期再选择是否执行,此时期权价值为{2δ2p(1-p)+[1-(1-δ2)d2](1-p)2}e-2n S0;第二,当时,在第一期林权价值下降的情况下,看跌期权的权利方会选择提前执行该期权,此时期权的价值为{[1-(1-δ)d]e-n(1-p)+δ2p(1-p)e-2n}S0。

(2)(1-δ)u<1时,则不论两期林权价值如何变动,看跌期权都存在价值。此时有存在三种情况:第一,当时,看跌期权的权利方不提前执行期权而等待期权到期再选择是否执行,此时期权的价值为{2δ2p(1-p)+[1-(1-δ2)d2](1-p)2+[1-(1-δ2)u2]p2}e-2n S0;第二,当时,在第一期林权价值下降的情况下,则看跌期权的权利方会选择提前执行该期权,此时期权的价值为[1-(1-δ)d]e-n(1-p)S0+{δ2p(1-p)e-2n+[1-(1-δ2)u2]p2}e-2nS0;第三,当时,不论第一期林权价值上升还是下降,看跌期权的权利方都会选择提前执行该期权,此时期权的价值为{[1-(1-δ)d](1-p)+[1-(1-δ)u]p}e-n S0。

以下给出数值算例。

假设林权价值S0=500万元,此时执行价格也为500万元,林权必要收益率r=20%,波动率,每期时间长度为1年。则可算得u=1.2214,d=0.8187,砍伐前林权价值上升的概率价值p=0.7114。

(1)若砍伐率δ=10%,则林权价值二叉树如图2所示(单位:万元,下同)。

首先分析看涨期权,其价值二叉树如图3所示(括号内表示期权价值,下同):

这里不存在提前执行的情况,看涨期权的价值为43.17万元。

再分析看跌期权,其价值二叉树如图4所示。

这里存在提前执行的情况,第一期砍伐前林权价值下降时,看跌期权多方会选择会提前执行,看跌期权的价值为50.32万元。

(2)若砍伐率δ=20%,则林权价值二叉树如图5所示。

显然,此时看涨期权价值为0。分析看跌期权,其价值二叉树如图6所示。

这里存在提前执行的情况,第一期砍伐前林权价值下降时,看跌期权多方会选择会提前执行,看跌期权的价值为84.68万元。

在实际情况下,上述第二种,即砍伐率的情况下,看涨期权价值为0,即林权买方的期权不可能有价值。因此,在设计合约时,必须要对砍伐率进行必要的限制,否则会出现实际只有单边权利的情况,使得这一降低风险的设计对林权买方失去意义。

四、买卖双方交易策略分析

假设同上,同时假设期权空方如果不执行期权义务,则要向期权多方支付执行价格S0的λ倍的违约金(0<λ<1),不考虑林业护理费等管理费用以及税收,同时砍伐率δ在合约中已经做出了限制,不存在前一章节出现的看涨期权价值一定为零的情况。买卖双方可以根据气象局等官方的趋势预测对次年(即第二期)的林权价值作出预测,但是无法预测极端天气、自然灾害等极端情况。第一期、第二期价值分别为X1、X2。为了统一起见,博弈树中的涉及买卖双方的收益是,均采用“(林权买方收益,林权卖方收益)”这一形式。

(1)X1叟S0且X2叟S0

此时,两期结束时买方所持有的期权价值都大于零,林权买方可以选择提前执行这一期权,也可以选择到期时再执行这一期权。若执行期权,林权卖方可以选择履约,或者选择不履约而支付λXi的违约金。博弈树如图7所示。

对于卖方而言,当时,卖方选择履约;当时,卖方选择不履约而直接支付违约金。对买方而言;当X2

(2)X1≥S0且X2

此时,在第一期结束时,买方所持有的期权价值大于零,林权买方可以选择执行这一期权,也可以选择不执行这一期权。若执行期权,林权卖方可以选择履约,或者选择不履约而支付λX1的违约金。而在第二期结束时林权卖方可以选择执行这一期权,也可以选择不执行这一期权。若执行期权,林权买方可以选择履约,或者选择不履约而支付λX2的违约金。由于如果第一时刻林权买方不执行看涨期权,则会失去执行期权的可能。因此,林权买方必然会选择提前执行。此时的博弈树如图8所示。

(3)X1

此时,两期结束时卖方所持有的期权价值都大于零,林权卖方可以选择提前执行这一期权,也可以选择到期时再执行这一期权。若执行期权,林权买方可以选择履约,或者选择不履约而支付λX1的违约金。博弈树如图9所示。

对于买方而言,当时,买方会选择履约;而当时,买方会选择不履约而支付违约金。对于卖方而言,当X2

(4)X1

此时,在第一期结束时,卖方所持有的期权价值大于零,林权卖方可以选择执行这一期权,也可以选择不执行这一期权。若执行期权,林权买方可以选择履约,或者选择不履约而支付λX1的违约金。而在第二期结束时,林权买方可以选择执行这一期权,也可以选择不执行这一期权。若执行期权,林权卖方可以选择履约,或者选择不履约而支付λX2的违约金。由于如果第一时刻林权卖方不执行看跌期权,则会失去执行期权的可能,因此,林权买方必然会选择提前执行。博弈树也可说明这一点:

由上述分析可知,在第一期结束时,实值期权持有方是否选择提前执行期权,关键在于第二期结束时林权价值的变化情况。而在现实中,第二期结束时的林权价值在第一期结束时是未知的,只能通过预期进行判断。因此,在第一期结束时实值期权持有方预期的准确性很重要。对看涨期权的持有方(林权买方)而言,若第一期结束时林权价值上升,则他有权选择是否执行期权。此时他将对第二期结束时的林权价值作出预期。若他预期第二期结束时林权价值会继续上升,则他不会提前执行期权而是等到期后再执行;若他预期第二期结束时林权价值会下降,则他会选择提前执行期权。对看跌期权的持有方(林权卖方)而言,同样,若第一期结束时林权价格下降,则他有权选择是否执行期权。此时他将对第二期结束时的林权价值作出预期。若他预期第二期结束时林权价值会继续下降,则他不会提前执行期权而是等到期后再执行;若他预期第二期结束时林权价值会上升,则他会选择提前执行期权。

上述分析是建立在实值期权持有方能够正确进行预期的基础上。而在实践中,实值期权持有方只能根据气象局等官方对次年(即第二期)进行趋势预测。而这些官方的预测结果不能保证准确,如果出现预测不准,将影响到原实值期权持有方的收益。此外,交易双方对极端情况则无法做出预期,因而在极端情况出现时,原实值期权持有方可能会因没有及时行权造成收益下降甚至蒙受损失。一般而言,极端性情况主要是指严重自然灾害、火灾等。因此,更需关注无法预测的林权价值大幅下降的风险。

(1)若第一期结束时就已出现极端情况,则X1

(2)若第一期结束时未出现极端情况,第二期结束时出现极端情况。若第一期结束时林权价值上升,则看涨期权持有者会选择是否执行期权,则若林权买方预期将下降而提前执行期权,他的收益不变;若林权买方预期上升而不提前执行期权,他的收益会减少甚至蒙受损失。若第一期结束时林权价值下降,则看跌期权持有者会选择是否执行期权,则若林权卖方预期将上升而提前执行期权,他的收益变小;若林权买方预期下降而不提前执行期权,他的收益不变。

总之,将实物期权理论应用于林权流转,首先将目前即收即付的林权流转交易机制进行改良,将这种交易机制进行分解,分解为一个看涨期权和一个看跌期权,随后利用二叉树定价模型,对不同砍伐率下的林权实物期权进行定价。此后本文分析了在改良后的交易机制下,林权买卖双方交易策略,并分析了无法预测的极端情况下林权交易双方受益或损失的可能性。在研究中可以发现,上述交易机制必须要对砍伐率进行限制,且预期对交易策略起着决定性作用。本文在研究中设定了较为严格的假设条件,部分数据如必要收益率、波动率是通过假设得到的,而在实际的林权流转交易中,这些假设条件并不全满足,而且数据难以得到。同时,本文没有考虑林权卖方进行恶意砍伐的情形。这些都有待于进一步的研究。

参考文献

[1]Liu J.Implications and challenges of decentralized China'scollective forest management[C].XIII World ForestryCongress,Buenos Aires,Argentina,18-23,2009,10:1-9

[2]Augusta M.,Andy W.Forest rights and assets based liveli-hoods:Catalyzing rural economies and forest conservationthrough policy reform and collective action[C].Arusha Con-ference,"New Frontiers of Social Policy",12-15,2005,12:3-35

[3]Jintao Xu,Andy W.,Uma L.Impacts and implications forchoice,conservation,and climate change[R].Working pa-per,Washington DC:China's Forest Land Tenure Reforms,2010

[4]Pia K..Devolution of forest-related rights:Comparativeanalyses of six developing countries[R].Working paper,U-niversity of Helsinki,2010

[5]喻胜云.论林权流转的前提[J].中国林业经济,2008(1):15-22

[6]冯达,温亚利.对我国林权流转问题的探讨[J].绿色财会,2010(2):16-18

[7]聂影.林权流转的效率及其制约因素分析[J].生态经济,2009(6):90-94

[8]刘宏明.林权类型刍议[J].国土绿化,2007(10):18

[9]周训芳.林业的历史性转变与《森林法》的修改[J].现代法学,2004

[10]周珂.物权法视野下的林权改革笔谈[J].江苏行政学院学报,2008(2):102-107

教育信息传播过程中的二叉树模型篇3

关键词：教育传播,信息传播过程,条件概率

1 问题的提出

教育传播是由教育者按照一定的目的和要求, 选定合适的信息内容, 通过有效的媒体通道, 把知识、技能、思想、观念等传送给特定的教育对象的一种活动, 它是教育者和受教育者之间的信息交流活动.在教育传播中, 当教育信息通过教育媒体在教育者与受教育者之间进行传递时, 则产生了动态的过程, 这就是教育传播过程.[1]教育信息是从教育者那里出发, 经过教育媒体传递给受教育者的过程, 众多知名学者用建立模式的方法来分析传播过程, 从这些模式中可以清晰地表示出教育传播中的要素以及它们之间的关系.但是, 在传播过程中这些要素和环节如何影响教育信息传播?影响教育信息传播的程度如何?本文试图从概率的角度就教育传播的基本模式来分析教育信息的传播.

2 教育传播的基本模式

教育传播模式是教育实践经验的概括和总结, 传播者 (教育者) 、受传者 (学生) 、教育信息和教育媒体四个要素构成了一个教育传播系统.同时, 传播是在一定的环境中进行的, 环境对传播的效果有重要影响.此外, 要使传播能有效进行, 还必须对传播的效果进行考察, 即需要一个反馈环节.由此, 可构建出一个教育传播模式的总体框架如图1.

这一模式揭示了教育传播中, 教师根据需要选择教育信息和教育媒体将教育信息传输给学生, 学生主动地接受通过教育媒体传来的教育信息进行反馈, 教师根据反馈信息进一步调整教育信息和教育媒体, 达到优化传播过程、提高传播效果的目的.其中传播环境对传播系统的各个要素都会有一定的影响.[1]

3 教育传播过程中的稳定干扰刻画

由于教育环境对教育传播系统的各个要素都有一定的影响, 如果把教育环境中的不利因素理解为教育传播过程中的一种干扰.假设教育者在受到这种干扰时, 会将想要传播的信息, 一部分以概率p正确的传递到教育媒体, 其余部分以概率1-p错误的传递到教育媒体.同样地, 正确的教育信息通过教育媒体传递, 受教育者以概率q正确地接收, 以概率r错误地接收, 另外, 还有部分信息以概率u接收到模糊信息 (q+r+u=1) .

类似地, 对于传递到教育媒体的错误信息, 受教育者以概率q′不变地接收, 以概率r′正确地接收, 另外, 还有部分信息以概率u′接收到模糊信息 (q′+r′+u′=1) (具体模型如图2) .

现在, 分别以A1, A2表示“教育者发出正确信息”事件和“教育者发出错误信息”事件, B1, B2, B3分别表示“受教育者接收到正确信息”事件、“受教育者接收到错误信息”事件和“受教育者接收到模糊信息”事件.于是,

则“受教育者接收到正确信息”事件、“受教育者接收到错误信息”事件和“受教育者接收到模糊信息”事件的概率分别为:

当受教育者接收到正确信息时, 则来源于“教育者正确传播的信息”、“教育者错误传播的信息”的概率分别为:

$\begin{array}{l} Ρ (A_{1} | B_{1}) = \frac{Ρ (A_{1}) Ρ (B_{1} | A_{1})}{Ρ (B_{1})} \\ = \frac{p q}{p q + (1 - p) r^{'}} ‚ (4) \\ Ρ (A_{2} | B_{1}) = \frac{Ρ (A_{2}) Ρ (B_{1} | A_{2})}{Ρ (B_{1})} \\ = \frac{(1 - p) r^{'}}{p q + (1 - p) r^{'}} . (5) \end{array}$

当受教育者接收到错误信息时, 则来源于“教育者正确传播的信息”、“教育者错误传播的信息”的概率分别为:

$\begin{array}{l} Ρ (A_{1} | B_{2}) = \frac{Ρ (A_{1}) Ρ (B_{2} | A_{1})}{Ρ (B_{2})} \\ = \frac{p r}{p r + (1 - p) q^{'}} ‚ (6) \\ Ρ (A_{2} | B_{2}) = \frac{Ρ (A_{2}) Ρ (B_{2} | A_{2})}{Ρ (B_{2})} \\ = \frac{(1 - p) q^{'}}{p r + (1 - p) q^{'}} . (7) \end{array}$

当受教育者接收到模糊信息时, 则来源于“教育者正确传播的信息”、“教育者错误传播的信息”的概率分别为:

$\begin{array}{l} Ρ (A_{1} | B_{3}) = \frac{Ρ (A_{1}) Ρ (B_{3} | A_{1})}{Ρ (B_{3})} \\ = \frac{p u}{p u + (1 - p) u^{'}} ‚ (8) \\ Ρ (A_{2} | B_{3}) = \frac{Ρ (A_{2}) Ρ (B_{3} | A_{2})}{Ρ (B_{3})} \\ = \frac{(1 - p) u^{'}}{p u + (1 - p) u^{'}} . (9) \end{array}$

通过上述分析, 从中可以看出, 在传播过程中由环境带给传播媒体的干扰是影响教育信息有效传递的重要因素, 加之信息发送时发生的错误和学生接收时造成的错误和模糊更影响了教育传播的效果.

4 小结

在教育传播过程中, 导致信息出现误差和衰减的因素很多, 通过分析可以看出, 教育传播渠道是影响教育传播的重要因素.不同教育环境中的传播渠道不同, 这些不同的传播渠道会给教育信息的传播造成多大的干扰?干扰如果是随机的, 情况又将如何?这还需在今后的研究中作进一步的探讨.

参考文献

[1]南国农, 李运林.教育传播学 (第2版) [M].北京:高等教育出版社, 2005:7-39.

[2]盛骤, 谢式千, 潘承毅.概率论与数理统计 (第3版) [M].北京:高等教育出版社, 2001:18-20.

[3]赖景耀, 王春林.概率论与统计[M].兰州:兰州大学出版社, 2001:57-58.

二叉树定价模型篇4

经理人股票期权 (Executive Stock Option, 简称ESO) 是指企业授予员工在未来一定期限内以预先确定的价格和条件购买本企业一定数量股票的权利, 是现代公司对经理人实施的一种长期、有效的激励机制, 在实践中得到越来越广泛的应用。

为了规范处理1995年财务会计准则委员会 (Financial Accounting Standards Board, FASB) 发布了123号公告。要求公司用公允价值法计量股票期权的薪酬成本, 并在员工的服务期内摊销, 对于股票期权的公允价值, F A S B推荐采用的模型主要有Black-Scholes模型和二叉树 (Binomial) 模型。这也逐渐成为国内外学者研究的热点, 如:赵敏等在文中指出在西方一些国家一般采用B-S模型, 但是没有考虑到我国的具体适用性;黎春在文章讨论了B-S模型对ESO公允价值计量的问题, 但是B-S模型是连续性模型对于可以提前执行的E S O不能更好的反应其真实的价值。而由Cox等人提出来的二叉树模型, 主要是针对可以提前执行的美式股票期权的价值。因此, 二叉树模型可以解决经理人股票期权中提前行权这一引起经理人股票期权和自由交易股票期权不同的重要问题。

本文充分考虑ESO在我国的具体适用性和可以提前执行的特点, 首次以论文的形式讨论了二叉树模型对E S O在我国企业的适用性和如何选择参数对公允价值的计量, 然后运用实例加以比较。

二、模型介绍

二叉树模型最早是由Cox等人提出来, 主要是针对可以提前执行的美式股票期权的价值。因此, 二叉树模型首先可以解决经理人股票期权中提前行权这一引起经理人股票期权和自由交易股票期权不同的重要问题。此外, 由于二叉树模型具有更大的弹性, 它也可以对模型计算“路径”的不同选择来调整经理人股票期权大部分的与可自由交易期权不同的因素, 特别是可以用于调整关于员工离职、授予日条件、业绩障碍等因素。

二叉树模型是在每一期将出现两种可能性的假设下构筑的现金流量或某种价格波动的模型, 也是一种简单易行的股票期权估价模型, 假设股票价格的变动呈二项分布, 在单位时间里, 股票价格变动只存在两种可能的结果, 或者上升一定幅度, 或者下降一定幅度, 同时股价上升或下降的概率呈二项分布。二叉树模型需要的变量有:股票价格、价格波动性、股利支付、行权价格、期权到期条件以及无风险利率等。

为明确起见, 本文用S表示股票当前价格, K为股票期权执行价格, F为期权价格, σ股票价格波动率, r为无风险利率, T为期权执行日期。

考虑假设下的股票期权, 将期权有效期分为N个时间间隔为△t的时间段。假设在△t时间段内股票价格从起始值S分别以概率p和1-p随机移动到两个新值Su和Sd中的某一个。设u>1和d<1, 则从S到Su是价格上升运动, 而从S到Sd是价格下降运动。设当前时刻为t=0。则△t时刻, 股票价格有2种可能:Su和Sd;2△t时刻, 股票价格有3种可能:Su2, Sud和Sd2。以此类推, m△t时刻, 股票价格有m+1种可能:

这样我们就得到了股票价格二叉树树图:

记Fm, j (j=0, 1, …, m) 为m△t时刻树图节点 (m, j) 处的期权值。由于T时刻期权价值是确定的, 例如, 看涨期权的价值为FN=max (SN-K, 0) , SN为T=N△t时刻的股票价格, 则首先从 (1) 式可得到T时刻可能的股票价格和相应的期权值:

然后, 我们可以通过树图倒推计算得到t=m△t时刻的期权值Fm, j (m=N-1, …, 1, 0) 。树图倒推计算的基本思想是:由于假设在风险中性世界中, 所以m△t时刻树图中节点 (m, j) 处的期权价格可用 (m+1) △t时刻节点 (m+1, j+1) 和 (m+1, j) 处期权价格的期望值在△t时间内用无风险利率r贴现得到, 即

在期权价格计算公式 (2) , (3) 中, 有3个重要的参数值, p, u, d必须预先合理地确定。目前使用的二叉树参数模型为

三、模型在我国的适用性

由于经理人股票期权通常涉及四个环节:授予、可行权、行权和出售。四环节如图所示

经理人股票期权与普通股票期权存在以下主要区别:

1. 经理人股票期权是典型的混合期权。

一般协议规定在授予日之后不能立即执行, 而是存在一个等待期, 必须到等待期满达到可行权日, 才能获得执行权利;在期权失效之前自由选择是否行权。显然在等待期经理人股票期权类似欧式期权, 在行权有效期选择合适的日期交易, 类似为美式期权。现代企业在协议中一般还会附带条件, 这类似于障碍期权。为了防止经理人认为操作市场和进行财务舞弊, 在行权有效期中设置了禁售期, 使股份的盈利是市场反应而非人为因素。按照我国法规规定, 用于期权激励的支付协议, 应在行权日与出售日之间设立禁售期, 其中国有控股上市公司的禁售期不得低于两年。目的是防止人为操作资产负债表和利润表, 影响股市, 达到自身利益的目的。

2. 经理人股票期权不可转让。

普通的股票期权可以在交易所自由转让, 并可在交易市场通过对冲交易进行套期保值。而经理人股票期权是一种限制性期权, 企业协议中附带的年限条件就指出经理人股票期权的权利是协议签订人, 这使得员工在期权失效之前就提前执行。因此, FASB建议用预期到期时间取代股票期权合约中规定的最长时间, 当然这个预期期限肯定应该大于等于等待期。

3. 经理人股票期权的期限较长。

公开交易的股票期权有效期一般就是几个月, 比较短。而经理人股票期权期限可以达到10年之久。所以无风险利率和股价的波动率对长时间的股票期权定价就会出现一定的误差。

其中最为突出的是经理人股票期权的不可转让性。经理人股票期权的不可转让性在很大程度上限制了股票期权持有人的获利机会, 增加了期权持有人的风险, 从而影响了股票期权的时间价值。在可自由交易的股票期权中, 如果期权尚未到期, 而期权持有人又不再愿意继续持有时, 可以将股票期权出售。出售股票期权可以使得期权持有人获得期权的剩余时间价值, 而实施股票期权则只能使得期权持有人获得期权的内在价值。然而, 经理人股票期权的不可转让性及员工的风险回避性使得期权持有人只能实施股票期权, 这就使得其不得不放弃剩余时间价值, 从而可能导致经理人放弃股票期权或较早行权。而放弃及较早行权的可能性则使得经理人股票期权的价值比类似的可自由交易的股票期权的价值要低。而且, 在期权定价模型中, 如果其他条件相同, 潜在股票价格的波动性越大, 期权定价模型所计算的价值就会越大。但在经理人股票期权中, 由于其不可转让性的存在, 股票价格波动性的增加只能会导致不可分散风险的员工更早地实施股票期权, 因此反而会降低股票期权的价值。

此外, 员工股票期权税收收益、减少公司发行股票成本、其激励作用对公司经营收入的影响以及对公司资本结构的影响等因素都使得现有的B-S期权定价模型并不能完全反映经理人股票期权的真实价值。与B-S模型相比, 二叉树模型有更大的弹性:由于二叉树模型最初就是用于计量美式股票期权的价值, 而美式期权和欧式期权不同, 它本身就允许一定条件下的提前行权。因此, 二叉树模型首先可以解决经理人股票期权中提前行权这一引起经理人股票期权和自由交易股票期权不同的重要难题。

四、参数构造

根据式子 (2) 、 (3) 、 (4) 模型要求的参数有股票的现价、期权的执行价格、无风险利率、期权的有效期和股票价格的波动率。

对于非上市公司, 上述的参数将很难确定, 因此FASB123号文件推荐未上市公司使用最小价值法来计量公允价值。最小价值就是看涨期权的购买者愿意支付的最低金额。

股票期权最小价值=股票现价—有效期内股利的现值—期权行权价格的现值

对于上市公司的股票现价和行权价格都可以直接观察到, 重点是对以下三个参数的选取。

1. 无风险利率。

期权的定价都是在风险中性的假设下进行的, 不存在无风险的套利, 经理人股票期权也不例外。在我国由于利率未开放, 现实中对无风险利率的选取有一年期商业银行定期存款利率和国债利率两类。由于经理人股票期权的时间长, 定期存款的利率波动比较大, 而国债利率相对于时间长, 比较稳定, 这个也是美国等企业的普遍作法。

2. 期权的有效期。

这里的有效期限用期权合约中规定的最长期限并不恰当, 而应当用一个大于等待期的预期期限去代替。美国企业通常是选择公司员工的历史资料来计算预期持有期限的。实际, 经理人对股票期权持有时间是随市场波动而变化的。市场呈现牛市时, 员工可能较多地执行期权, 而市场呈现熊市时, 通常是放弃或者继续持有等待好的时机。

3. 股票价格的波动率。

由于二叉树模型与B-S模型所固有的内在缺陷, 都是假设期权到期时股票服从对数正态分布, 由此也是模型最具争议的变量是股价波动率。如何选取就成为了模型的重点。

股价的波动率用来反映股票年收益的不确定性, 不确定性在实际应用中通常以标准差形式来衡量, 需要注意的是这里股票的收益是按连续复利计算的。

由于实际我们并不能知道未来期权有效期内, 股价的波动状况, 因此只能用历史 (样本) 数据来估计波动率, 所以估计股价日波动率的计算公式为: 其中, , 此估计的标准误差近似为

选用多少个历史数据来估计波动率, 并没有客观的确定方法。一般说来, n越多估计的标准误差就会越小, 估计精确度就越高。另外, 如果是新上市的公司, 没有历史数据或历史数据较少, 可以考虑大盘的波动率代替。因为我国股市系统风险比重很高, 股票价格普遍表现为齐涨共跌, 大盘指数的变化也能较好说明价格的波动状况。

最后, Fama和K.French的实证研究表明波动率在交易所开市的时候比闭市的时候大得多, 因此股价的年波动率为:

五、实例分析

尽管B-S模型和二叉树模型之间不是直接相互推导出来的, B-S最初是更好的解决了欧式期权定价问题, 二叉树模型解决是的美式期权可提前执行的问题, 但是姜礼尚已经得出结论:二叉树模型是一种确定期权价格的显式的离散算法, 如果不计△t的高阶无穷小量, 对于欧式期权则是B-S的一种特定的显式差分形式。这就使得在对欧式期权时, 结果应该比较吻合;对于美式期权时, 不能适用B-S求解。

例1:考虑一个在期权有效期内不分红利的股票欧式看涨期权的估值。设S=12, K=10, r=0.12, σ=0.04, 期权的有效期分为3月、6月、12月、3年、5年。

从结果我们可以看出, 作为欧式期权当时间短暂相对连续的时候B-S和二叉树模型计算出的结果是相当的吻合。但是由于经理人股票期权的期限长, 就可以看出用二叉树与B-S模型的计算差异之处。当有效期达到5年的时候差异就相当的明显。

例2:考虑一个美式的期权, 由于经理人股票期权必为看涨期权否则失去了激励的意义, 所以这里我们也就只考虑美式看涨期权。设S=20, K=18, r=0.1, σ=0.05, 有效期为1年、3年、5年。

由于经理人股票期权可以提前执行, 实质与美式期权很类似, 则更适合采用二叉树模型进行计算估计。看出当时间达到5年的时候二叉树模型之间的相差仍然很小。

通过上面的例子可以看出:二叉树模型可以更直接的解出企业对于ESO的公允价值定价问题, 也更适用于企业ESO的特点。

在我国经理人股票期权是不支付红利的, 由于没有到可行权日, 员工还没有得到股票, 在此期间是不享受红利, 所以本文没有对支付红利情况进行讨论;本文也没有对等待期内对每股收益的稀释性进行研究。

参考文献

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