曲线轨迹

曲线轨迹（精选九篇）

曲线轨迹 篇1

求曲线方程是解析几何的两大基本问题 (由曲线求方程, 由方程研究曲线性质) 之一, 将形的直观与数的严谨有机结合起来, 是每年必考的内容, 常考常新.

本文就求轨迹的方程问题介绍常用的几种基本方法.

一、定义法

如果动点的轨迹符合某种曲线的定义, 这时只需判断轨迹的形状, 然后根据条件求出曲线的方程.

例1 在△ABC中, BC=a, 若三内角满足$\sin C-\sin B=\frac{1}{2}\sin A$, 求点A的轨迹方程.

解:以BC所在直线为 x 轴, 线段BC中点为原点, 建立直角坐标系 (如图1) , 则$B(-\frac{a}{2}‚0)‚C(\frac{a}{2}‚0)$.设A (x, y) ,

因为$\sin C-\sin B=\frac{1}{2}\sin A$,

所以$c-b=\frac{1}{2}a‚|AB|-|AC|=\frac{1}{2}a$ (定值) .

由双曲线定义知, 点A的轨迹方程为

$\frac{x{}^2}{(\frac{a}{4}){}^2}-\frac{y{}^2}{(\frac{\sqrt{3}}{4}a){}^2}=1(x＞\frac{a}{4}).$

例2 已知两圆C1: (x-4) 2+y2=169, C2: (x+4) 2+y2=9, 动圆在圆C1内部且和圆C1相内切, 和圆C2相外切.求动圆圆心的轨迹方程.

解:如图2, 设动圆圆心为P (x, y) , 半径为 r, 连结PC1、PC2.由于动圆与圆C1内切, 与圆C2外切, 则有

|PC1|=13-r,

|PC2|=3+r.

两式相加得|PC1|+|PC2|=16.

这表明动点P到两定点C1、C2的距离之和为定值, 根据椭圆定义, 得知点P轨迹是椭圆.该椭圆的中心是C1C2中点O (即原点) , 焦距是|C1C2|=8, 即 c=4, 长轴长2a=16, 即 a=8, 又 b2=a2-c2=48.

因此所求轨迹方程是

$\frac{x{}^2}{64}+\frac{y{}^2}{48}=1.$

二、直接法

动点满足的几何条件易于“坐标化”时, 只需直接将几何条件通过有关定理、公式“翻译”成含 x, y 的等式就得到曲线的轨迹方程.此法也叫“直译法”, 具体步骤是设点, 列式, 代入, 化简.

例3 如图3, 已知抛物线C:y2=4x, 若椭圆的左焦点及相应准线与抛物线C的焦点F和准线 l 分别重合, 求椭圆短轴端点B与焦点F所连线段的中点M的轨迹方程.

解:设M (x, y) , 依题意知B (2x-1, 2y) .

设 x 轴与准线 l 的交点为K, 则|FK|=2.

因为$|F{\rm K}|=\frac{a{}^2}{c}-c=\frac{b{}^2}{c}$,

所以$2=\frac{b{}^2}{c}$, 即 b2=2c. (*)

又 b=|2y|, c=2x-2 (x>1) , 代入 (*) 式有

4y2=2 (2x-2) ,

即 y2=x-1 (x>1) 为所求点M的轨迹方程.

例4 动点P到直线 x+y=6的距离的平方等于由两坐标轴及点P到两坐标轴之垂线所围成的矩形面积, 求点P的轨迹方程.

解:设动点P (x, y) , 则S矩形=|xy|, 点P到直线 x+y=6的距离

$d=\frac{|x+y-6|}{\sqrt{2}}.$

因为 d2=S,

所以$(\frac{|x+y-6|}{\sqrt{2}}){}^2=|xy|$,

即 (x+y-6) 2=2|xy|.

当 xy≥0时, 点P的轨迹方程为

(x-6) 2+ (y-6) 2=36;

当 xy<0时, 点P的轨迹方程为

x2+4xy+y2-12x-12y+36=0.

三、转移法

动点P (x, y) 随另一个动点P0 (x0, y0) 的运动而运动, 当P0的轨迹是已知或可求时, 常用转移法求得点P的轨迹方程.这种方法也叫“代入法”或“相关点法”.其具体步骤是:

1.设P0 (x0, y0) , 写出 x0、y0 应满足的等式F (x0, y0) =0; (*)

2.设所求轨迹上的动点P (x, y) , 并求出点P和P0的坐标应满足的关系式

$\{\begin{array}{l}x{}_0=f(x‚y)‚\\ y{}_0=g(x‚y)；\end{array}$

3.将上述关系式代入等式 (*) , 便可得到动点P的轨迹方程F[f (x, y) , g (x, y) ]=0.

例5 从定点A (0, 4) 连结双曲线 x2-4y2=16上任一点Q, 求内分线段AQ成1∶2的分点P的轨迹方程.

解:设Q (x0, y0) , P (x, y) , 由题设

$\lambda =\frac{A{\rm P}}{{\rm P}Q}=\frac{1}{2}$,

有

$\{\begin{array}{l}x=\frac{\frac{1}{2}x{}_0}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}x{}_0‚\\ y=\frac{4+\frac{1}{2}y{}_0}{1+\frac{1}{2}}=\frac{8+y{}_0}{3}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x{}_0=3x‚\\ y{}_0=3y-8.\end{array}$

因为Q (x0, y0) 在双曲线上,

所以 x${}_0^2$-4y${}_0^2$=16,

即 (3x) 2-4 (3y-8) 2=16.

从而得点P的轨迹方程是

$\frac{x{}^2}{\frac{16}{9}}-\frac{(y-\frac{8}{3}){}^2}{\frac{4}{9}}=1.$

例6 过原点的双曲线的一个焦点F (4, 0) , 实轴长为2, 求双曲线中心O′的轨迹方程.

解:如图4, 设O′ (x, y) , 另一个焦点F′ (x0, y0) , 则

$\{\begin{array}{l}x=\frac{x{}_0+4}{2}‚\\ y=\frac{y{}_0}{2}\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x{}_0=2x-4‚\\ y{}_0=2y.\end{array}(1)$

因为双曲线过原点, 由双曲线定义知

||OF′|-|OF||=2a.

因为F (4, 0) , 实轴长2a=2, 所以

$\sqrt{x{}_0^2+y{}_0^2}-4=\pm 2$,

所以 x${}_0^2$+y${}_0^2$=36或 x${}_0^2$+y${}_0^2$=4.

将上 (1) 式代入上述等式, 便得到中心O′的轨迹方程是

(x-2) 2+y2=9或 (x-2) 2+y2=1.

四、参数法

引入第三个变量 t (参数) , 建立起动点P (x, y) 的坐标 x, y 与 t 的关系式:

$\{\begin{array}{l}F{}_1(x‚y‚t)=0‚\\ F{}_2(x‚y‚t)=0‚\end{array}$

或

$\{\begin{array}{l}x=f(t)‚\\ y=g(t).\end{array}$

从上述关系式中消去参数 t, 便可得到动点P (x, y) 的轨迹方程F (x, y) =0.

例7 如图5, 给出定点A (a, 0) (a>0) 和直线 l:x=-1, B是直线 l 上的动点, ∠BOA的角平分线交AB于点C, 求点C的轨迹方程.

解:设C (x, y) , 直线 l 上动点B的坐标为 (-1, tanθ) (θ为参数, $-\frac{\text{π}}{2}＜\theta ＜\frac{\text{π}}{2})$, 则

$|{\rm O}B|=\sqrt{1+\tan {}^2\theta }=\sec \theta .$

因为OC平分∠AOB, 所以

$\frac{|AC|}{|CB|}=\frac{|{\rm O}A|}{|{\rm O}B|}=a\cos \theta$,

即C是$\overrightarrow{{\displaystyle AB}}$的内分点, 由定比分点坐标公式得

$\{\begin{array}{l}x=\frac{a-a\text{c}\text{o}\text{s}\theta }{1+a\text{c}\text{o}\text{s}\theta }‚\\ y=\frac{a\text{s}\text{i}\text{n}\theta }{1+a\text{c}\text{o}\text{s}\theta }‚\end{array}$

解得

$\{\begin{array}{l}\cos \theta =\frac{a-x}{a(1+x)}‚\\ \sin \theta =\frac{(1+a)y}{a(1+x)}.\end{array}$

因为 sin2θ+cos2θ=1, 所以

(1-a) x2-2ax+ (1+a) y2=0 (0≤x<a) .

这便是点C的轨迹方程.

例8 过抛物线 y2=2px (p>0) 顶点O, 作互相垂直的弦OA、OB, 求AB中点M的轨迹方程.

解法1:设$A(\frac{t{}_1^2}{2p}‚t{}_1)‚B(\frac{t{}_2^2}{2p}‚t{}_2)‚{\rm M}(x‚y).$

因为OA⊥OB, 所以

kOA·kOB=-1,

即$\frac{2pt{}_1}{t{}_1^2}\cdot \frac{2pt{}_2}{t{}_2^2}=-1$,

得 t1t2=-4p2. ①

因为M为线段AB的中点, 所以

$\{\begin{array}{l}x=\frac{t{}_1^2+t{}_2^2}{4p}‚\\ y=\frac{t{}_1+t{}_2}{2}.\end{array}\begin{array}{l}②\\ \\ ③\end{array}$

将③式平方:4y2= (t1+t2) 2=t${}_1^2$+t${}_2^2$+2t1t2, 并将①②代入, 消去参数 t1、t2.

从而得点M的轨迹方程是 y2=px-2p2.

解法2:设A (x1, y1) , B (x2, y2) , M (x, y) , 依题意

$\{\begin{array}{l}y{}_1^2=2px{}_1‚\\ y{}_2^2=2px{}_2‚\\ 2x=x{}_1+x{}_2‚\\ 2y=y{}_1+y{}_2‚\\ x{}_{1}x{}_2+y{}_{1}y{}_2=0.\end{array}\begin{array}{l}①\\ ②\\ ③\\ ④\\ ⑤\end{array}$

将①②代入③得: 4px=y${}_1^2$+y${}_2^2$. ⑥

由①×②得:$x{}_{1}x{}_2=\frac{y{}_1^{2}y{}_2^2}{4p{}^2}.⑦$

⑦代入⑤得: y1y2=-4p2. ⑧

④式平方, 并将⑥⑧代入得:

4y2=4px-8p2,

故所求点M的轨迹方程是 y2=px-2p2.

五、交轨法

如果所求轨迹是由两条动曲线 (包括直线) 的交点所得, 其一般解法是恰当地引进一个参数, 写出两条动曲线的方程, 消去参数, 所得方程便是所求的轨迹方程.

例9 设椭圆与双曲线有共同的焦点F1 (-4, 0) , F2 (4, 0) , 且椭圆的长轴长是双曲线实轴长的2倍.求椭圆与双曲线交点的轨迹.

解:设双曲线的实半轴长为 a (2<a<4) , 则椭圆长半轴长为2a, 由半焦距为4得:

$\{\begin{array}{l}\frac{x{}^2}{a{}^2}-\frac{y{}^2}{16-a{}^2}=1‚\\ \frac{x{}^2}{4a{}^2}+\frac{y{}^2}{4a{}^2-16}=1.\end{array}\begin{array}{l}①\\ \\ ②\end{array}$

解得$y{}^2=\frac{(a{}^2-4)(16-a{}^2)}{4}.$

代入①得 a2=2|x|.所以

$\frac{x{}^2}{2|x|}-\frac{y{}^2}{16-2|x|}=1.$

当 x>0时得 (x-5) 2+y2=9;

当 x<0时得 (x+5) 2+y2=9.

由2<a<4, 知2<|x|<8, 故所求轨迹是半径为3, 分别以 (5, 0) 及 (-5, 0) 为圆心的两个圆.

例10 椭圆$\frac{x{}^2}{4}+y{}^2=1$与 x 轴的交点为A (2, 0) 、A′ (-2, 0) , 与 y 轴平行的直线交该椭圆于P、P′两点, 试求AP和A′P′交点Q的轨迹方程.

解:如图6, 平行于 y 轴的直线 x=x1.

设P (x1, y1) , P′ (x1, -y1) , Q (x, y) , 则

$\frac{x{}_1^2}{4}+y{}_1^2=1.①$

当 x1≠±2时, 直线AP和A′P′的方程分别为:

$\begin{array}{l}y=\frac{y{}_1}{x{}_1-2}(x-2)‚②\\ y=\frac{-y{}_1}{x{}_1+2}(x+2).③\end{array}$

因为交点Q满足②③, 由②×③得:

$y{}^2=\frac{-y{}_1^2}{x{}_1^2-4}(x{}^2-4).④$

由①得 x${}_1^2$-4=-4y${}_1^2$, 代入④得

$y{}^2=\frac{1}{4}(x{}^2-4)$, 即$\frac{x{}^2}{4}-y{}^2=1.$

当 x1=±2时, 可得点Q坐标为 (±2, 0) , 也满足$\frac{x{}^2}{4}-y{}^2=1.$

所以交点Q的轨迹方程是$\frac{x{}^2}{4}-y{}^2=1.$

六、几何法

动点的几何特性与平面几何的定理有着直接或简接地联系, 且利用平面几何的基本知识得到包含已知量和动点坐标的等式, 化简后即可得所求轨迹方程.

例11 在坐标平面内, P (3, 4) 为定点, 过P作互相垂直的两直线 l1, l2, 其中 l1 交 x 轴于点M, l2 交 y 轴于点N, 求线段MN中点Q的轨迹方程.

解:如图7, 因为∠NPM=∠NOM=90°,

所以M、O、N、P四点共圆, 点Q即为圆心.设点Q (x, y) ,

因为|QO|=|PQ|,

所以$\sqrt{x{}^2+y{}^2}=\sqrt{(x-3){}^2+(y-4){}^2}.$

化简得点Q的轨迹方程是

6x+8x-25=0.

例12 已知椭圆 x2+4y2=1, l1, l2 是经过椭圆长轴的二端点A、B之切线, 当M为椭圆上任一点, AM交 l2 于C, BM交 l1 于D, 过M作 x 轴垂线MN, 延长NM交CD于P.当M在椭圆上运动时, 求点P的轨迹方程.

解:如图8, 用平面几何知识解梯形ABCD.设二对角线AC、BD交于M, 则有|MN|=|MP|.

设P (x, y) , M (x1, y1) , 则 x1=x, y1=y/2.

因为点M (x1, y1) 在椭圆 x2+4y2=1上,

所以 x${}_1^2$+4y${}_1^2$=1,

即$x{}^2+4(\frac{1}{2}y){}^2=1.$

从而得点P的轨迹方程是 x2+y2=1.

求轨迹方程, 内容丰富, 形式多样, 常可用多种方法求解, 上述几例均可用其它方法求解, 请大家不妨试试, 以开阔解题思路, 培养思维品质.求出曲线方程后, 要注意轨迹的完备性和纯粹性.因为将轨迹条件解析化或化简方程时会扩大或缩小变量的取值范围, 应注意把丢掉的找回, 把扩大的舍去, 即求出方程后要注意动点坐标的取值范围.

曲线轨迹 篇2

高考要求

求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系 这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点，也是同学们的一大难点

重难点归纳

求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法

(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程

(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求

(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程

(4)参数法 若动点的坐标(x,y)中的x,y分别随另一变量的.变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程

求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性 要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念

典型题例示范讲解

例1如图所示，已知P(4，0)是圆x2+y2=36内的一

点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求

矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程

曲线轨迹方程的常见求法 篇3

一、直接法

将动点满足的几何条件或等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.

例1：已知A、B为两定点，动点M到A与到B的距离比为常数λ，求点M的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线.

解：建立坐标系如图所示，设|AB|=2a，则A（-a，0），B（a，0）.

设M（x，y）是轨迹上任意一点.

二、定义法

若动点轨迹的条件符合某一基本曲线的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），则可用定义直接探求.

例2：某检验员通常用一个直径为2cm和一个直径为1cm的标准圆柱，检测一个直径为3cm的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？

分析本题考查“定义法”求曲线的轨迹方程及将实际问题转化为数学问题的能力.

解：设直径为3，2，1的三圆圆心分别为O、A、B，问题转化为求两等圆P、Q，使它们与⊙O相内切，与⊙A、⊙B相外切.

建立如图所示的坐标系，并设⊙P的半径为r，则

|PA|+|PO|=（1+r）+（15-r）=2.5

∴点P在以A、O为焦点，长轴长为2.5的椭圆上，

圆锥曲线两切线交点轨迹探究 篇4

性质1椭圆的两条相互垂直的切线MA, MB的交点M轨迹为x2+y2=a2+b2, 它经过双曲线的两个焦点.

性质2双曲线的两条相互垂直的切线MA, MB的交点M的轨迹为圆x2+y2=a2-b2, 它经过椭圆的两焦点.

笔者读后对其认真的进行了研究, 将其结论实行了一般化的推广, 并对无心曲线抛物线进行了类似的研究, 得到如下几个结论, 现整理成文, 供参考.

定理1椭圆的两条切线MA, MB斜率分别为kMA, kMB, 且kMA·kMB=k, 则其两切线交点M轨迹方程为kx2-ka2=y2-b2.

证明如图1, 设M (x0, y0) , A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则切线MA, MB的方程分别为

因M在切线上, 则有

故AB方程为

由AB与椭圆相交, 代入椭圆C方程并消去y得

代入 (1) 化简得

由韦达定理代入上式整理得

故切线交点M轨迹方程为

由此k=-1, 可得如下推论 (文[1]性质1) :

推论1椭圆的两条相互垂直的切线MA, MB的交点M轨迹为圆x2+y2=a2+b2, 它经过的两个焦点.

当k=1时, 又可得到一个有趣结论:

推论2椭圆的两条切线MA, MB斜率分别为kMA, kMB, 且kMA·kMB=1, 则其两切线交点M轨迹为以椭圆的两焦点为顶点的等轴双曲线x2-y2=a2-b2在椭圆外的实线弧段.

当k=b2/a2时, 又可推得另一有趣性质:

推论3椭圆的两条切线MA, MB斜率分别为kMA, kMB, 且, 则其两切线交点M轨迹为双曲线的渐近线y=± (b/a) x在椭圆外的射线段.

定理2双曲线的两条切线MA, MB斜率分别为kMA, kMB, 且kMA·kMB=k, 则其两切线交点M轨迹方程为kx2-ka2=y2+b2.

将定理1证明过程中b2换成-b2即可得证.同上述定理1, 将k换成-1, 1可得:

推论1[1]双曲线的两条相互垂直的切线MA, MB的交点M轨迹为圆x2+y2=a2-b2, 它经过椭圆的两焦点.

推论2双曲线的两条切线MA, MB斜率分别为kMA, kMB, 且kMA·kMB=1, 则其两切线交点M轨迹为以双曲线的两焦点为顶点的等轴双曲线x2-y2=a2+b2在双曲线外的弧段.

考虑抛物线中两切线交点轨迹, 可得到:

定理3 抛物线y2=2px (p>0) 的两条切线MA, MB斜率分别为kMA, kMB, 且kMA·kMB=k (k≠0) , 则其两切线交点M轨迹方程为x=p/2k.

证明方法类比定理1, 此处从略.

当k=-1时, 不难推得中学数学中一个常见结论.

推论抛物线y2=2px (p>0) 的两条切线MA, MB相互垂直, 则其两切线交点M必在准线l:x=-p/2上.

上述结论形式优美而简洁, 具有一定的观赏性.

参考文献

[1]林新建.椭圆与双曲线两垂直切线的交点性质[J].中学教研 (数学) , 2011, (3) :30-31.

“微笑曲线”与职教吸引力提升轨迹 篇5

一、树立“经营”理念———构建全新职教管理模式

我国积极融入世界经济全球化进程, 外向型经济催生新的人才需求, 国际金融危机促进了新一轮经济结构调整, 新的经济形势必然要求职业教育管理创新模式作出必要的回应, 尤其要突出其严谨的专业性、丰富的实践性和广泛的适应性。新时期职业教育必须以市场需求为基础调整管理目标、对象、任务与策略, 树立“变管理为经营”的新理念。它是以知识为前提、以智力为支撑的“经营”, 是一种创造、使用、保存、转让知识和智力的全新管理模式, 应包括对教师教学方式的管理、对学生实践性学习活动的管理以及对校、企、学三体联动的管理。

二、建立自主创新体系———打造职业教育产品优势

随着土地、环境和其他资源逐渐稀缺, 劳动力价格不断上涨, 全球市场竞争加剧, 技术创新和产品研发的重要作用日益凸现, 主要依靠产业链低端的制造加工来维持经济发展已经越来越不可能。作为直接指向就业的教育, 职业教育与当前行业发展趋势、实际需求的结合紧密程度将直接决定其办学质量和办学成果。众多职业教育机构着力打造职业教育的“优势产品”。如北大青鸟紧密围绕“解决岗位实际问题”这一核心目标, 广泛收集企业招聘信息, 深入访谈业内专家, 并经过反复论证, 最终搜集、设计了800多个网络岗位工作中发生的问题, 研发出全新的网络工程师培训产品, 并在教材编写、教学实施方面实现了突破和创新, 将技能培训与职业素质培养进一步融合, 大幅度提高网络从业者的工作能力。职业教育要以就业为导向, 立足行业发展现状及用人企业的需求, 不断追求自主创新。

三、创新职业教育理念———实现产业纵向升级

伴随着国际上人才、资本、科技、创意等生产要素的快速流动, 适逢我国国家竞争力提升、社会演进、经济转型、产业升级与调整的关键时期, 客观上要求职业教育包含更宽泛的内涵和多元化的功能。如针对农民工、下岗工人、刑满释放人员等缺乏基本技能的状况, 大力实施“农村劳动力转移培训工程”、“农村实用人才培训工程”等, 有力促进经济发展和农村劳动力有序转移, 同时帮助边缘化群体融入社会;针对职业教育内部、职业教育与普通教育的脱节问题, 实施职业学校的专业设置“标准工程”, 高、中、初级职业教育相互衔接的“金桥工程”, 普通教育与职业教育的“双证融通工程”, 普通高等学校毕业生的“回炉培训工程”等。现代职业教育理念应借鉴经济学、管理学等理念, 以创业能力为基础, 以发展能力为目标, 以创新能力为核心, 立足五种素质 (观念、品格、知识、能力和方法) , 提升五种能力 (自我认知、组织、协调、综合分析、应变能力) , 实现五个对接 (与理论对接、与实践对接、与国家需求对接、与国际视野对接、与未来发展五对接) , 通过优化产业人才供给、强化转岗培训, 最终实现改造升级传统产业、推动产业更替、引领产业创新、催生新兴战略性产业、创造产业竞争优势的目标。

四、彰显特色内涵———实施区域品牌发展战略

教育部于2006年11月正式启动100所国家示范性高职院校建设计划, 旨在加快建设一批理念先进、特色鲜明、质量优秀的品牌高职院校, 充分发挥示范性院校在区域内的导向作用、示范作用和辐射作用。示范性高职院校建设计划既是我国新时期推进高职教育整体改革和质量提高的重大工程, 也为我国高职教育办学模式的改革突破提供了全新发展视角, 即形成地方为主、中央引导、突出重点、协调发展的管理机制, 创建区域化职业教育品牌发展模式, 增强职业教育比较竞争优势和为区域经济社会发展服务的能力。

品牌战略引入职业院校不是对企业品牌战略的简单移植, 应以服务区域经济和社会发展为办学宗旨, 体现区域定向性、结构优化性、体制创新性、延伸互补性四大特性, 通过产学结合、集团办学、校办产业、合作办学、职教超市等多元化办学模式, 实现与区域发展良性互动和“有机增长”。区域化职业教育品牌往往具备区域性、示范性和集群性三个基本要素, 即体现明显的区域差异和地域特色;代表区域最具竞争力的主体形象;拉动社会经济发展;增加区域产业集约化程度;提高该区域的人均资本存量和产出水平。如依托宁波、温州服装与鞋业支柱产业带, 形成的宁波、温州职业院校服装与鞋业专业集群带, 面向区域集群产业彰显专业活力、培养急需人才和提供智力支持, 形成与区域经济“相生共舞”的品牌效应。

发展职业教育不同于从事生产经营, 培养人才不能完全商品化、市场化, 专业更新也不像企业产品更新那样简捷, 然而经济领域的理论对职业教育的发展方向仍有着积极的指导意义, 向“微笑曲线”两端渗透, 树立全新的“人才观、就业观、质量观”, 抢占“微笑曲线”的制高点, 才能真正提高职业教育吸引力和核心竞争力。

摘要：“微笑曲线”揭示了高技术产业领域中技术创新和品牌对于提升产品附加值的重要意义, 职业教育的健康发展也正如“微笑曲线”的轨迹, 只有着力于位于价值链的课程创新研发和职教品牌创立, 不断增加人才培养的附加值, 才能真正提升职业教育吸引力, 形成现代职教发展的核心优势。

关键词：职业教育,微笑曲线,知识经营,自主创新品牌意识,综合能力

参考文献

[1]周济.在国家示范性高等职业院校建设计划视频会议上的讲话[N].中国教育报, 2006-11-24.

[2]裴云.高附加值产品理念及其对高职教育的启示[].高等职业教育, 2010, (01) :36-37.

[3]张振助.高等教育与区域互动发展研究[J].教育发展研究, 2005, (9) :39-44.

曲线轨迹 篇6

轨迹是数学图像的重要组成部分, 几何画板是展示轨迹生成和动画演示不可或缺的技术工具。教材和教辅上的绝大多数轨迹问题在笔者的精心研究下总能迎刃而解, 但教材中的一道轨迹问题却困扰了笔者好几个月, 在反反复复的苦心探究下, 最终获得了圆满解决。正是这个问题的解决, 使笔者对轨迹的认识有了极大的提高, 构建了自己的轨迹理论, 为以后遇到的类似轨迹问题提供了一个清晰的构图方向。在此, 笔者将其编撰成文, 以飨读者。

●轨迹理论

轨迹生成的原理是从一个主动点出发, 依托几何画板提供的功能, 按照一系列规则做出从动点, 从而生成轨迹 (或演示动画) 。

每一个轨迹生成或动画演示问题, 无论复杂与否, 都可以概括为一个 (或几个) 从主动点到从动点的构图过程。与纸上作图不同, 几何画板上的点线具有“父子”的层次关系, 要生成最终轨迹, 必须保证主动点与从动点的“父子”层次关系的单向传递性, 一系列构图规则的确定都必须遵循这一原则。

●问题的背景

椭圆、双曲线、抛物线是圆锥曲线家族的三成员, 它们除了各自的身份和特征, 还具有一个统一的定义:平面内到一个定点和到一条定直线 (定点在直线外) 的距离之比等于常数的点的轨迹叫做圆锥曲线, 其中, 定点是焦点, 定直线是准线, 常数是离心率, 当常数小于1时, 轨迹是椭圆;当常数等于1时, 轨迹是抛物线;当常数大于1时, 轨迹是双曲线。

一般情况下, 三种圆锥曲线的图像都是单一呈现的, 构造其中任一轨迹都不困难, 而统一定义中需要通过离心率控制同一轨迹的变化来体现三种圆锥曲线的连续变化和内在联系, 却十分具有挑战性。

这是一个经典的轨迹问题, 提供的基础对象有一条直线及这条直线外一点, 还有一个离心率参数。简单而言, 正如图1所示, 在已知离心率e的情况下, 如何从直线DH及直线外一点F出发, 做出符合条件的点P (其中PH为点P到直线DH的距离, FD⊥DH) ?

问题简洁而明确, 但构图的规则如何确定?

●难点剖析

通过分析我们了解到图1中的点A是曲线的顶点, 同样满足, 因此, 可以在垂线段FD上任取一点A, 标记比值为离心率。这样, 可以通过改变点A的位置来控制离心率的大小。点P需要满足条件, 点P是明确的从动点, 但主动点如何探求?

●解决方案

1.方案一

如果将直线DH向左右分别平移长度d得到两条新直线, 再以点F为圆心、e.d为半径构造新圆, 新直线与新圆相交的交点P即满足条件。循此思路, 可得如图2所示的构图规则。

(1) 过点F作已知直线的垂线段FD, 并在FD上任取一点A, 测量并标记比值 (即离心率e) ; (2) 构造射线FD, 在射线FD上任取一点B, 点B为主动点; (3) 以点F为缩放中心, 将点B按标记比值缩放, 得到新点B', 再依次选择点F、B', 构造新圆; (4) 分别标记向量FB和BF, 将已知直线向左右平移, 得到两条新直线 (虚线) , 两条新直线与新圆相交, 可产生四个交点, 分别为P1、P2、P3、P4, 这四个点均为满足条件的从动点 (如果构图时, 不能产生交点, 可适当调整点A, 使比值变大, 再调整点B增大圆的半径即可产生所需交点) ; (5) 选择点B、P1, 构造轨迹, 同样构造点P2、P3、P4的轨迹, 至此圆锥曲线统一轨迹构造成功。

隐藏作图的痕迹后, 拖动点A从点F向点D移动, 离心率会从0向无穷大变化, 可以观察到轨迹从椭圆到抛物线、再到双曲线的一个连续巧妙的变化过程, 三种曲线的内在统一的联系一目了然。

品析:要掌握轨迹的构图精义, 需要充分了解构图对象之间的联系及层次关系。本构图方案中, 点A的地位非常重要, 它最终控制了轨迹变化的过程, 但在作图过程中, 它仅仅是参数e的提供者, 是一个静止的对象;主动点B的探求是关键性的, 它是所有后继构图及最终生成轨迹的基础, 主动点B取在射线FD上的主要目的一是用于标记向量便于平移直线, 二是便于缩放得到新圆的半径, 三是有了射线FD, 就足以取到任意大小的圆。

2.方案二

从演示效果来看, 方案一已解决了问题, 但从生成的轨迹来看, 图像却不能令人满意, 由于计算精度的问题, 椭圆、双曲线的两支都是不完整的。为了尽善尽美地展现轨迹, 笔者对三种圆锥曲线的共同性质进行了大量的深入的研究, 期待发现一个统一的性质可以利用。终于, 找到了一个可供构图的性质。

圆锥曲线统一性质:如图3是圆锥曲线的一部分, 记焦点F, 顶点A, 准线l, 过点A作对称轴FA的垂线m, 设点P为曲线上任意一点, ∠PFA的平分线交l于点Q, 交m于点C, 延长AC到点E, 使AC=CE, 则P、E、Q三点共线。

从性质可以看出, 只要点P的位置确定, 其他对象的位置均确定。反过来, 如果以F为起点构造任一条射线, 能否找到确定的点P?循此思路, 可得如图4的构图规则。

(1) 过点F作已知直线的垂线段FD, 在FD上任取一点A, 测量比值 (即离心率) ; (2) 以点F为圆心作任意大小的圆, 在圆周上任取一点B, 点B为主动点; (3) 作直线BF, 过点A作线段FD的垂线m, 作∠BFA的平分线交l于点Q, 交m于点C, 延长AC到点E, 使AC=CE; (4) 作直AFAD线QE交直线BF于点P, 则点P为所需从动点; (5) 选择点B、P, 构造轨迹, 至此, 圆锥曲线统一轨迹构造成功。

品析:此方案下的轨迹是完整连续的圆锥曲线, 拖动点A, 圆锥曲线的变化更加连贯自如;构图时, 主动点的选择是讲究的, 不适宜使用平面上的自由点, 为了控制方便, 一般都取在某条曲线上, 本方案中用圆周上的点控制射线的转动便于轨迹的生成和动画演示。

●提升

轨迹生成和动画演示占据了几何画板的半壁江山, 理解并掌握轨迹生成的原理是学好几何画板的基础, 在思考构图规则时需要关注如下几点。

曲线轨迹 篇7

CATIA软件为当今汽车行业主流设计软件,操作界面简单,能够多模块同时操作,提高建模效率,此次钢板弹簧建模是基于CATIAV5R19版本。在汽车非独立悬架设计中,钢板弹簧设计尤为重要,因为直接影响操纵稳定性、轴转向效应。转向干涉量、减振器行程、传动轴长度的设定,都需要计算钢板弹簧的运动特性。

1、钢板弹簧建模过程

本文以某轻卡改型开发为例,在车架安装点不变的情况下,改变输入载荷,且满足整车姿态角要求,重新匹配钢板弹簧刚度参数,通过CATIA构建钢板弹簧各状态中性层曲线。

1.1 参数输入

板簧安装点、吊耳安装点可根据车架整车坐标提取。

1.2 CATIA草绘

进入CATIA草绘模块,根据输入条件,绘制钢板弹簧满载、下极限、上极限状态中性层曲线,如图1、2所示:

首先绘制板簧单边曲线,约束弧高、夹紧距、吊耳作用长度,通过对称实现板簧全部曲线参数化,并且输入不同载荷下弧高的变化定义板簧夹紧状态下中心距基线参数的变化:

S-板簧中心距

L-主片长度

f-弧高

r-卷耳半径(中性层)

Sj-夹紧距

2、钢板弹簧垂直跳动运动轨迹分析

2.1 圆心位置:

先确定板簧基线(前、后卷耳中心连线),对于上卷式卷耳,圆心位于基线上方处的平行线上r/2,对于下卷式卷耳,位于基线下方处的平行线上r/2,对于平卷式即位于基线上(即主片中性层)。

r是卷耳中心到主片中性层的距离,如图3:

2.2 半径长度

圆半径是板簧有效半长的3/4,即R=3/4,是有效半长,是设计长度减去无效长度Sj。R是半径,是板簧中点p (任何位置)到圆心的距离,要从该中点去确定圆心位置O。如图4。

3、钢板弹簧纵扭变形轨迹分析

为使分析单纯化,只考虑板簧中部承受纯弯矩,两端承受大小相等、方向相反的垂直力;此外,为简化分析,只研究平卷式板簧,且不计及吊耳或滑板对基线斜角变化的影响。

仍然采用等应力梁亦即整圆弧的假设,这时板簧主片中性层的纵扭变形由前、后两段反向圆弧所组成,如图6所示。令固定端在汽车前进方向的前方,承受力矩M为反时针方向。

说明:M为纵扭力矩、板簧的近似不动点(瞬时中心)g、主片原中点m、纵扭之后板簧中点由m移至p、L2为板簧有效全长、R为圆弧半径。

4、结论

本文介绍了基于CATIA软件,建立钢板弹簧模型曲线及运动轨迹的分析方法,利用草绘的强大功能实现钢板弹簧满载、下极限、上极限状态曲线约束,极大的方便平台化钢板弹簧的设计,缩短建模周期,对我国汽车行业设计、制造提供了技术支持。

摘要：本文重点介绍汽车用钢板弹簧的三维建模方法,基于CATIA软件草绘模块进行钢板弹簧中性层曲线的研究、绘制。在整车坐标下,根据钢板弹簧运动原则验证其垂直跳动运动轨迹、纵扭变形轨迹。本文所提出的建模在CATIA软件中易于操作,提高变载荷下的钢板弹簧匹配、建模的效率。CATIA绘制整车坐标下的钢板弹簧曲线直接、精准,且为后续平台开发提供有力的技术支持。

关键词：CATIA,建模,钢板弹簧曲线,运动轨迹

参考文献

[1]董学锋.钢板弹簧悬架运动学解析.长春汽车研究所.1991.

[2]陈耀明.钢板弹簧纵扭问题分析.东风汽车工程研究院.2005.

[3]郭孔辉.板簧变形运动学分析.长春汽车研究所.2000.

[4]刘惟信.汽车设计.清华大学出版社.2001.

[5]陈家瑞.汽车构造.人民交通出版社.1993.

曲线轨迹 篇8

随着工业的不断发展,趋于自动化与智能化,工业机器人应用越来越广泛。其中,码垛机器人是用在工业生产过程中执行大批量工件、包装件的获取、搬运、码垛、拆垛等任务的一类工业机器人,码垛机器人的应用不但可以缩短生产周期,提高产品质量,还可以改善生产条件,非常适应现代化生产发展的需要[1]。码垛机器人的运动基本上属于大惯量力臂运动过程,所以在码垛机器人的运动控制过程中,容易产生振动和冲击。为了使运动过程中码垛机器人避免冲击、振动等现象的发生,因此对各关节的轨迹规划就有了较高的要求。在工业机器人轨迹规划的理论方面,国内外均做了不少研究,Lin C-S和Chang等[2]提出一种最优时间下的轨迹规划方法,Pires等[3]研究了基于遗传算法轨迹规划方法,Piazzi等[4]采用的方法则达到了全局最优。Chettibi和Saramago等[5,6]结合时间最优和系统能量,采用样条函数的方法。叶辰雷[7]综合国内外研究现状,介绍了基于时间最优、能量最优和jerk最优方法规划函数。国内外均在理论上对轨迹规划进行了深入的研究,但是均未考虑工程实际中与电机的匹配问题,因此提出基于电机转矩曲线下调整轨迹函数对工程实际具有重要意义。[8]

针对码垛机器人运动控制的工程实际中,由于轨迹函数与电机转矩的不匹配,机器人的最大转矩超出电机连续领域时间过长,本研究产生速度滞后,给机器人关节带来的冲击、振动问题,提出如何依据已经选定的电机,根据电机转矩曲线,寻找如何改进轨迹函数的相关变量,优化轨迹函数使其达到工程实际要求。并通过实验,以验证通过与电机转矩进行匹配调整轨迹函数的可行性。

1 工程问题

轨迹规划的前提是,机器人的驱动装置能够提供足够大的功率来满足机器人运动关节所做的加速和减速运动,即机器人手臂在路径的开始运动时就可以立刻加速到所需要的期望速度[9]。因此就需要各个关节具有适合的驱动力,保证关节在规划的运动轨迹下稳定高速地运行。在码垛机器人工程调试中,采用一些轨迹函数时,发现在速度最大处前面,产生了冲击振动,即电机速度跟不上预期值,产生了速度滞后,最后导致机器人手臂振动,产生冲击。针对这一问题,主要解决办法现在主要有重新规划轨迹函数和重新选择电机,本研究针对前一种方法,以电机转矩曲线为参考,调整轨迹函数,使机器人运动达到工程实际要求。码垛机器人的轨迹规划中,由于腰部承载载荷大,旋转范围广,腰部的轨迹规划和电机的选择最为重要,本研究主要以腰部旋转关节的轨迹规划函数和电机转矩作为重点,介绍基于电机转矩曲线匹配下的轨迹函数的优化方法。

2 轨迹函数规划

在轨迹函数规划中,采用插值函数方法,并采用多项式组合进行插值拟合轨迹函数。在机器人的起始位姿和终止位姿的关节变量采用θI和θF表示,把时间为变量,从起始位姿开始,令t=0,工作时间为T,到达终止位姿时为t=T。设关节运动轨迹插值函数为s(τ),并且设定:0≤s≤1,0≤τ≤1,τ=t/T,用θjI和θjF表示第j个机器人关节变量的起始位姿和终止位姿,然后用矢量形式表示位置函数,速度函数,加速度函数分别为:

以下面条件作为s(τ)函数的初始条件和终止条件:s(0)=0,s'(0)=0,s″(0)=a;s(1)=1,s'(1)=0,s″(1)=0。

其中:a—初始加速度。

以上插值函数方法均来自参考文献[10]。本研究采用两段多项式函数组合进行轨迹函数的拟合,并且在函数连接处给定相应的约束条件,约束条件的给定主要由厂家要求的工作效率和机器人的机械特性决定。为了使组合函数连续,由函数的连续性条件有:

其中:sτm(n),sτm(m)—n次多项式和m次多项式,sτm(n)—加速段函数,sτm(m)—减速段函数,τm—τm时刻为连接点,v—连接点处速度。

对不同的多项式的函数,选取不同初始条件和终止条件,及连续性条件,即可拟合出插值函数。本研究以插值函数的初始加速度a=3作为限定条件,加速时间与减速时间比为2∶3,即τm=0.4,通过Matlab规划轨迹函数,拟合得到两组轨迹函数,以3次函数与4次函数连接拟合得到插值函数:

以4次函数与4次函数连接拟合得到插值函数:

分别将式(4)和式(5)插值函数代入式(2),得到轨迹角速度函数,3次函数与4次函数组合的轨迹角速度函数为:

4次函数与4次函数组合的轨迹角速度函数为:

3 轨迹函数转矩与轨迹优化

3.1 腰部关节运动方程

腰部关节的工作旋转角度为θ,腰部关节运动时,根据力学方面知识及拉格朗日函数:L=K-P,对于旋转运动而言,运动方程有:

式中:K—动能,P—势能,θi—系统变量,Ti—产生旋转的所有转矩。

为了简化计算,将机械手臂作为刚体看待,则旋转过程中的动能为:

式中:I—转动惯量,ω—角速度,m—质量。

由于机械手腰部只做旋转运动,所有机械手的动能为:K=Ι-ω2/2。由建模软件测量质心到参考平面的距离为l,则系统的势能为:P=mgl。则机器人的腰部旋转关节的拉格朗日函数为:

将规划好的角速度函数代入上式,得到拉格朗日函数为:

则机器人腰部系统动力学函数为:

3.2 轨迹函数转矩—速度曲线

根据三维建模得到的模型,计算得到转动惯量I为824.14 kg.m2,机器人的初始位姿θI为0°,终止位姿θF为120°,规划函数时负载时间T为1.7 s,代入式(12)后得到腰部旋转关节的轨迹函数对应动力学函数。3次多项式与4次多项式拟合的轨迹函数对应的运动函数为:

4次多项式与4次多项式拟合的轨迹函数对应的运动函数为:

码垛机器人腰部关节选用三洋伺服电机,型号为R2AA8350DCH00,功率为3.5 k W,额定转速为2 000 min-1。减速箱的减速比为119,则将旋转关节的轨迹函数对应转矩换算到电机轴的转矩计算公式为T=Ti/119。应用Matlab软件,作出轨迹函数对应的速度—转矩曲线,并与所选伺服电机的速—转矩特性曲线进行比较。

不同轨迹函数对应的速度—转矩特性曲线如图1所示。

所选伺服电机的速度—转矩特性曲线如图2所示。

4 实验及结果分析

由图1轨迹函数转矩曲线可知,最大转矩处没有对应最大角速度,而是在最大加速度处。而在电机选型时,基本是以最大速度处来选定[11,12],所以工程实际中,负载转矩就会超出连续转矩时间太多,关节就会产生较大冲击和振动。根据减速比,本研究把图1中的角速度转换为电机转速后,确定轨迹函数转矩曲线最大转矩处的速度值,并找出在伺服电机上该速度值对应的额定扭矩。不同轨迹函数下最大转矩与额定转矩的对比如表1所示。

由表1可知,两个函数的最大转矩均处在了电机的瞬时区域,在调试运行时,在相同速度时均发生了不同程度的振动。综合考虑,选择4次连接4次函数进行优化,由插值函数可知,轨迹函数由插值函数s(τ)决定,由式(12)可知轨迹函数最大转矩由最大加速度决定,对于4次连接4次轨迹函数,s(τ)为:

式中:τm—加速阶段时间。

以加速时间段为例,由s(τ)函数的初始条件和终止条件解得系数分别为:

加速阶段的加速度函数为:

由式(17)可知,在轨迹函数中,加速度最大值的τ时刻确定时,最大加速度值只与系数a2,a3,a4相关,而系数a2,a3,a4只与初始加速度a和加速时间τm相关。根据相关数学知识可知,在τm不变时,最大加速度随初始加速度为单调递减关系;在a不变时,最大加速度随τm为单调递减关系。根据式(2)规划轨迹后实际运行时间为T=(θF-θI)s'(τ)/θ'(t)。在运行时,θ'(t)为定值,可知s'(τ)越小,实际运行时间就越小,效率就越高。

因此,改变其初始加速度a和加速段时间τm来改变最大加速度和最大速度的值,就可以对轨迹函数进行调整,进行轨迹函数的优化,4次连接4次函数初始加速度a=3增大到a=4.5,加速段时间τm=0.4调整到τm=0.5时的转矩和速度曲线图如图3所示。

根据图3,本研究以电机转矩曲线为参考,进行轨迹函数的调整可以看出,调整方向基本符合规矩函数的优化原则,即尽可能减小最大速度值,降低最大加速度值(或最大减速度值)。调整后的加速段的最大转矩从32.88 N.m降低到26.43 N.m。插值函数的速度s'(τ)从1.92降低到1.83。从实验结果来看,码垛速度从4.5 s/包提高到3.96 s/包,运动时间得到了提高,并且在相同速度下,调整后的关节没有产生冲击。

5 结束语

本研究首先对机器人腰部关节进行建模分析,计算出了大惯量负载下关节的转动惯量,根据规划轨迹函数的基本要求,规划出轨迹函数,并通过动力学分析,绘制出轨迹函数对应的负载转矩特性曲线。在轨迹函数调整方面,分析出最大转矩只与初始加速度a和加速段时间τm有关,通过调整初始加速度a和加速段时间τm来改变最大加速度和最大速度值,使轨迹函数的最大负载转矩处于电机允许的瞬时转矩内,从而让轨迹函数达到工程实际要求。在电机选型方面,则可以根据轨迹函数最大转矩,综合考虑电机选型原则,进行电机选型,而不用重新规划轨迹函数,就可以达到工程要求。

本研究从轨迹函数与工程实际相结合出发,为轨迹函数优化和电机选型提供了一种参考方法,这一方法同样适用于机器人的其他关节轨迹函数的优化。

参考文献

[1]李晓刚,刘晋浩.码垛机器人的研究与应用现状—问题及对策[J].包装工程,2011,32(3):96-102.

[2]LIN C-S,CHANG P-R,LUH J Y S.Formulation and Optimization of Cubic Polynomial Joint Trajectories for Industrial Robots[J].IEEE Transactions on Automatic Control,1983,28(2):1006-1074.

[3]PIRES E J,MACHADO J A,OLIVEIRA PBDM.Robot Trajectory Planning Using Multi-objective Genetic Algorithm Optimization[J].Springer Berlin Heidelkerg,2004,3102(4):615-626.

[4]PIAZZI A,VISIOLI A.Global minimum-time trajectory planning of mechanical manipulators using interval analysis[J].Journal of Control,1998,71(4):631–652.

[5]CHETTIBI T,LEHTIHET H E,HADDAD M,et al.Minimum cost trajectory planning for industrial robots[J].European Journal of Mechanics A/Solids,2004,23(3):703-715.

[6]SARAMAGO S F P,STEDDEN V J R.Optimal trajectory planning of robot manipulators in the presence of moving obstacles[J].Mechanism&Machine Theory,2000,35(8):1079-1094.

[7]叶辰雷.码垛机器人的结构优化及轨迹规划研究[D].北京:北京邮电大学自动化学院,2014.

[8]付晓龙,何建萍,王付鑫.焊接机器人轨迹规划的研究现状[J].轻工机械,2015,33(2):110-113.

[9]NIKU.机器人学导论[M].北京:电子工业出版社,2013.

[10]JORGE ANGELES.Fundamentals of Robotic Mechanical Systems[M].New York:Springer,2007.

[11]康国坡,陈新度,夏鸿建.基于动力学分析的喷涂机器人电机选型[J].机械设计与制造,2012(12):148-150.

曲线轨迹 篇9

关键词：钢顶管,曲线顶进,轨迹控制系统,青草沙水源地原水工程

1 钢顶管曲线顶进轨迹控制系统

混凝土顶管在曲线段的顶进轨迹控制系统,主要是在顶管机机头后设置几节带纠偏段油缸的纠偏特殊管,用以形成曲线以及在纠偏时作为过渡段,从而增加纠偏灵敏度,保证纠偏效果。但钢管节在顶进过程中一旦发生轨迹的偏离,纠偏比较困难。因此,钢顶管曲线顶进的轨迹控制系统首先应强化对机头的姿态控制,使机头尽可能不发生大的偏离;其次应强化纠偏操作的灵敏度,尽可能地减小纠偏过程中钢管节刚性大而对纠偏效果产生的不利影响;此外,轨迹控制系统还应保证线形受控,即整个曲线段管节的弯曲弧度都满足要求。

提出了由机头纠偏系统、二级纠偏钢管、自适应伸缩节和纠偏特殊管4部分组成的顶进轨迹控制系统,以适合超长距离大口径钢顶管曲线的顶进。图1为钢顶管曲线顶进轨迹控制系统示意图。

1)机头纠偏系统。

顶管机后段断面上布置有4组共8只纠偏油缸。通过纠偏油缸调整上、下、左、右各个方向,达到纠偏目的。

2)二级纠偏钢管。

紧随顶管机后布置1节二级纠偏钢管,采用两段一铰的形式,与顶管机后段焊接。该纠偏钢管内同样布置有8只纠偏油缸,布置形式与机头相同,形成第2套纠偏系统。在纠偏过程中,二级纠偏钢管起到2方面的作用。

(1)转角分散作用。

二级纠偏管的设置相当于增加了可转动的接头,它与后面的自适应伸缩节将1个转角分散成多个转角,从而使转角不断减少,这就避免了机头纠偏过猛,而导致的后面F型管节开口量过大的情况[1](见图2)。

(2)过渡作用。

二级纠偏管可以分担一部分机头纠偏油缸的伸缩量,起到一定的过渡作用,从而使形成的曲线更平稳。若不经二级纠偏管过渡,则当纠偏量大时,机头容易越过设计曲线,偏至另一侧。

3)自适应伸缩节。

在二级纠偏钢管后面焊接 1节自适应伸缩节,采用两段一铰可伸缩的套筒承插式钢结构件。在形成曲线的过程中,自适应伸缩节中的油缸在外力作用下可以自动拉开和缩回,从而自动适应线形的要求,大大增加了轨迹控制的灵敏度。

4)纠偏特殊管。

对于前3节F型接口钢管节,在每节管的末端端面处预留3个油缸槽,放置3只纠偏短油缸, 使前3节F型接口钢管节成为3节纠偏特殊管。它可以调节纠偏特殊管之间的开口量,使其满足设计值,以便前面几节管节及时形成整体弯曲弧度,引导后面的管节顺利前行。

2 钢顶管曲线顶进轨迹的施工控制

钢顶管曲线顶进轨迹的施工控制内容包括2个方面:一是控制机头的姿态,以保证引导效果;二是控制线形,以保证弯曲效果。

2.1 机头姿态控制方法

对于曲线顶进来说,机头的姿态控制内容包括使机头按设计曲线前进和机头偏离设计曲线时的纠偏。

1)使机头按设计曲线前进的控制方法包括及时准确测量和二级纠偏钢管与机头的联合作用。

(1)及时准确测量:每顶进1节管节的距离测量1次顶管机机头的坐标,测量结果及时通知操作人员,以尽可能保证机头始终处于正确的路线上。

(2)二级纠偏钢管和机头联合作用:二级纠偏钢管可以起到过渡作用,使得机头不用很大的偏转量就可以沿曲线前进,以减少纠偏油缸伸缩量过大而导致的机头偏离设计曲线的情况,使机头轨迹得到较好的控制。

2)机头偏离设计曲线时的纠偏方法。纠偏存在一定的“滞后效应”,纠偏效果往往要等管节再顶进一段距离后才能显现出来。在实际的纠偏过程中,对于机头的行进轨迹往往很难把握。此外,由于地质条件复杂,管节的实际受力存在一定的不确定性,完全依照机头偏差值进行纠偏并不一定能达到预期效果。因此,在纠偏时,重要的是要及时预测以及控制机头前进的趋势,而不是刻意保证机头轨迹的零误差,在趋势符合要求的前提下,偏差会通过一种渐变的方式逐渐得到消除。依据上述理念,在实际顶进中,可以每顶进一定的距离绘制一次机头偏差曲线,然后根据曲线的斜率分析机头偏差发展趋势(见图3)。

当曲线到达峰值(A点)之后,则可以判断顶管机已经开始往回走,甚至可以判断机头的最前部已经开始向轴线靠拢。这时就应该把纠偏角度逐渐减小,然后在适当的时机把机头摆正。如果机头往回的趋势很大,甚至可能要进行反向纠偏。由于是直接判断机头的偏差趋势,具有很强的超前性,因此通过绘制偏差趋势图可以有效解决机头方向偏差的延迟性,保证机头纠偏的效果。

2.2 线形控制方法

1)引入过渡曲线。

实际的顶进过程中,根据设计的曲线,在直线段与曲线段之间引入一段平缓的过渡曲线。这是为了避免机头刚进入曲线段时纠偏量过大,造成线形失控,同时也是为了减小管节间的应力集中。过渡曲线在设计曲线的内侧,最后形成顶管的实际控制轴线[2]。

2)启用纠偏特殊管。

紧随顶管机后的几节管的弯曲是整个线形控制的关键,因为一般来讲,当前20 m的管道形成曲线后,后方跟进的管节就基本沿原来的“通道”前进[3]。启用纠偏特殊管可以保证前面的管节及时形成弯曲弧度,当后面的管节进入曲线段时,松开曲线外侧的法兰螺栓,管节在顶力和侧向土压力的合力作用下,接口会自动张开以适应线形要求,从而形成整体曲线。

3)控制开口量。

若要线形受控,则前面已形成弯曲弧度的管节不能因后面管节的顶进而发生偏离轴线方向的运动。这就要求管节间的开口量必须固定。当每节F型接口钢管节的开口量达到设计值以后,立刻将所有的钢法兰上的螺栓拧紧,塞入木衬垫,使开口量固定;同时用∏形卡箍固定在各个钢法兰间以确保接头的连接强度和整体的稳定性。

3 纠偏施工控制注意点

在进行具体的纠偏操作时,应注意以下几个方面的问题。

1)在顶进中及时量测机头的位置,确保前进趋势符合要求。

若机头的偏差值过大,对于后面的管节来说,其位置也偏离了设计轴线。此时,只能采取较大的纠偏角。但由于后面的钢管节已形成弯曲弧度,且具有较强的抵抗变形能力,所以往往会造成管节内侧的接口也张开。

2)联合纠偏。

机头纠偏系统、二级纠偏钢管、自适应伸缩节联合作用,增加了纠偏灵敏度,避免产生过大的纠偏角。

3)动态纠偏。

纠偏应尽量在管道顶进过程中进行,避免在静止状态纠偏。实践证明,当管道处于静止状态时,所需的纠偏力比顶进适合纠偏增加50%～90%;同时,静态状态下纠偏会对第1节管产生较大的不均匀应力。在动态纠偏过程中,通过观察偏差发展趋势可以灵活确定纠偏方案[4]。

4)纠偏过程中要保证实际轨迹在设计曲线的内侧。

由于是曲线顶管,所以顶力被分解为垂直于顶管轴线和平行于顶管轴线的力。平行于顶管轴线的力用于推进管节前进,而垂直于顶管轴线的力则作用于周围土体,使土体受挤压而变形,管道会逐渐向此方向位移。因此,一般控制机头前进轨迹在顶管轴线内侧2～3 cm,避免机头后面的管道向设计曲线外侧滑移。

4 轨迹控制效果实例

上海市青草沙水源地原水工程严桥支线C11标采用超长距离大直径钢顶管施工,钢管直径为3 600 mm,顶进路线分为直线段和曲线段。直线段长约890 m,曲线段长约170 m,曲率半径881 m。其中从工作井J45到工作井J42B段为曲线顶进,分为Ⅰ、Ⅱ号2条管线,南北平行布置。

将曲线顶进施工轨迹控制技术应用于青草沙水源地原水工程严桥支线C11标J45-J42B曲线段Ⅰ号管线后。Ⅰ号管线的管节高程偏差主要集中在-30～+30 mm之间(偏上为正,偏下为负),如图4所示;平面偏差主要集中在-20～+30mm之间(偏右为正,偏左为负),如图5所示。

根据上海市工程建设规范DG/TJ 08-2049—2008《顶管工程施工规程》质量标准规定,对于水平曲线顶管,测站数≤2时,高程允许偏差为100 mm,平面允许偏差为150 mm。Ⅰ号管线管节的平面和高程偏差均远小于规范值,说明采用上述施工轨迹控制系统和控制方法,能较好地控制曲线段的施工轨迹。这对于其他大直径钢顶管曲线顶进的工程项目具有一定的参考意义。

5 结语

1)提出了一种适合超长距离大口径钢顶管曲线顶进的轨迹控制系统,介绍了钢顶管曲线顶进的机头姿态控制方法以及线形控制方法。

2)钢顶管曲线顶进轨迹控制系统的4个组成部分联合作用,可以有效地解决钢顶管曲线顶进轨迹难以控制的问题。二级纠偏管的拐角分散和过渡作用使形成的曲线更加平稳;自适应伸缩节的设置,增加了轨迹控制的灵敏度;纠偏特殊管的设置则保证了管节弯曲效果。

3)机头姿态控制方法主要有及时准确测量、同时启用机头与二级纠偏钢管的纠偏系统、绘制机头偏差趋势图以提前预测机头前进趋势、机头与二级纠偏钢管以及自适应伸缩节联合纠偏、顶进中动态纠偏;线形控制方法有引入过渡曲线、及时启用纠偏特殊管、用螺栓和卡箍控制开口量。

4)应用钢顶管曲线顶进轨迹控制技术后,青草沙水源地原水工程严桥支线C11标J45-J42B曲线段Ⅰ号管线的管节高程偏差主要集中在-30～+30 mm之间,平面偏差主要集中在-20～+30 mm之间,均远小于规范值,取得了较好的控制效果。

参考文献

[1]王承德.钢管顶管关键技术——纵向弯矩传递[J].特种结构,2009,26(5):13-14.

[2]郭如为.浅论曲线顶管的关键技术控制[J].中国高新技术企业,2007(13):137-138.

[3]张肄.曲线顶管施工刍议[J].上海市政工程,1999(3):46-48.