轨迹问题

轨迹问题（精选十篇）

轨迹问题 篇1

一、点型

例1已知平面α,平行平面β直线l奂α,点P∈l,平面α,β间的距离为α,则在β内到点p的距离为c,且到直线l的距离为b(a

A.是一个圆 B.是两条直线 C.不存在 D.是四个点

分析:如图1,设Q1∈β,且PQ=c,点Q1到l的距离AQ1=b,到面α的距离BQ1=a,又a

二、线型

例2若正四面体S-ABC的面ABC内有一动点P分别到平面SAB、平面SBC,平面SAC的距离成等差列,则点P的轨迹是(图2)( )。

A.一条线段 B.一个点 C.一段圆弧 D.抛物线

分析:设面ABC内一动点P到面SAB、面SBC、面SAC的距离为d1、d2、d3,正四面体高为h,每个面面积为S,则由等体积法得1/3Sd1+1/3Sd2+1/3Sd3=1/3Sh,所以d1+d2+d3=h(1),又因为2d2=d1+d3(2)联系(1)和(2)得d2=h/3,即P到面SBC的距离为定值。先找到AD三等分点满足过P作EF//BC,则EF//SBC。所以EF上的任一点到面SBC距离相等,又因为P在面ABC内,所以轨迹为线段,应选答案A。

三、圆型

例3已知平面α,点A、B是平面α外的两点且在α两侧,若AB⊥α,为AB=2c,平面α内的有一动点P到A,B两点的距离和为2a,其中a>c,则动点P的轨迹是( )。

A.球面 B.圆 C.椭圆 D.线段

方法一:凭生活经验直觉判断,一个椭圆球形体被垂直于它的长轴的一个平面所截,截面应该是一个圆。

方法二:如图3所示,设AB与平面β交点为o,|AO|>|BO|,|AO|为m+c,(0≤m

四、圆锥曲线型

例4已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1,点M在棱AB上,且AM=1/3点P是ABCD面内的动点,且点P到直线A1D1的距离与点P到点M的距离的平方差为1,则点P的轨迹是( )。

A.抛物线的一部分 B.双刚曲线的一部分 C.直线的一部分 D.以上都不对

分析:如图4所示,P到A1D1距离为PE。过P作PF∥AM,则PF⊥面A1D连EF,EF⊥A1D1进而EF=1,所以A1在Rt△PFE中。|PE|2=|PF|2+|EF|2,

∴|PE|2=1+|PF|2,又∵|PF|2+1-|PM|2=1

∴|PF|=|PM|P,F、M在面ABCD内,

∴P点轨迹为抛物线的一部分。

注:这是用圆锥曲线定义求轨迹。

例5已知平面α,点A,B是平面α外的两点且在AB∥α,AB=2 a,AB到平面α的距离为b,α内有一动点P到A两点的距离和为2a,其中,则动点P的轨迹是( )。

A.球面 B.圆 C.椭圆 D.线段

分析:如图5所示,设AB在平面α上射影为A1B1,取A1B1的中点为O,以O为原点,如图建立空间直角坐标系,设动点P的坐标为(x,y,0);则A1(0,-c,0),B1(0,c,0),A(0,-c,b),B(0,c,b),所以,则由题意可得,通过移顶,两次平方可得a2x2+(a2-c2)y2=a2(a2-c2-b2),由条件可得P点轨迹应该是平面α上的椭圆,应选答案C。

立体几何中个轨迹类型除此之外还有球面。

探究动点轨迹问题 篇2

福州时代中学戴炜

一、实验内容 探究圆锥曲线中两直线交点的轨迹问题

掌握利用超级画板进行动态探究的常用方法

二、设计理念

本讲意在通过具体任务，驱动学生进行主动探究，发现规律性质，并能总结出一般结论。最后能体会利用超级画板探究动态几何问题的一般方法，并将其应用到更加广泛的探究过程中去。

三、实验过程

1.探究问题（轨迹为定点型）x2

y21，过椭圆的右焦点F作与x轴不垂直的直线L，交椭圆于已知椭圆方程为5

A、B两点，C是点A关于x轴的对称点，试用超级画板探究直线BC与x轴的交点N的轨迹。

探究过程

（1）求出椭圆的右焦点2,0

x2

y21和过点2,0的直线xmy2，用画笔标出交点A、B（2）作出椭圆：5

（3）作出点A关于x轴的对称点C，作直线BC，找出其与x轴的交点N

（4）拖动关于m的滑动块，观察点N的轨迹

（5）猜测点N的坐标，你能用数学方法加以说明吗？

探究结果

直线BC与x轴的交点N是定点，定点的坐标为5,0 2

x2y2

拓展探究：若椭圆的方程为221，试用超级画板探究N点的轨迹是否仍是定点。ab

2.探究问题（轨迹为圆锥曲线型）

x2

y21，点A、B是椭圆长轴的两个端点，直线（1）已知椭圆C的方程为4

xm(2m2)与椭圆C交于P,Q两点，且AP和BQ交于S点，试用超级画板探究，当m变化时S的轨迹，并求出该轨迹方程。

x2x2y22

y1改为椭圆221，点A、B是椭圆长轴的两个端（2）若将椭圆C：4ab

点，直线xmaxa与椭圆C交于P,Q两点，且AP和BQ交于S点，试求S的轨迹方程。

x2y2x2y2

（3）若将椭圆C：221改为双曲线221，点A、B是双曲线实轴的两

abab

个端点，直线xm与双曲线C交于P,Q两点，且AP和BQ交于S点，试求S的轨迹方程。

探究过程

x2

y21和点A（-2,0）（1）作出椭圆：，点B（2,0）4

（2）作出直线xm，用画笔标出交点P、Q（3）作直线AP、BQ，用画笔标出交点S（4）拖动关于m的滑动块，观察点S的轨迹（5）你能求出S的轨迹方程吗？

x2y2x2y2

（6）用类似的方法探究椭圆方程为221和双曲线方程为221时S的轨

abab

迹。

探究结果

x2

y21（1）S的轨迹为双曲线，方程为4x2y2

（2）S的轨迹为双曲线，方程为221

ab

x2y2

（3）S的轨迹为椭圆，方程为221

ab

互动交流：结合“交轨法”求轨迹方程做相应讨论和总结。

x2y2x2y2

以问题（3）为例，若将椭圆C：221改为双曲线221，点A、B是双

abab

曲线实轴的两个端点，直线xm与双曲线C交于P,Q两点，且AP和BQ交于S点，试求S的轨迹方程。

解析过程：设P点的坐标为x1,y1，则Q点的坐标为x1,y1.又有Aa,0,Ba,0 则直线AP的方程为y

y1

xa① x1a

y1

xa② x1a

直线BQ的方程为y

y1222

①×②得y2③ xa2

x1a

x12y12

又因点P在双曲线上，故221

abm222

即y2x1a

n

x2y2

代入③并整理得221,此即为点S的轨迹方程.ab

拓展探究：（1）若直线xm改为垂直于y轴的直线，最终的轨迹如何？

（2）若将问题架构在抛物线上，如抛物线y2x上任意一点P向其准线l引垂线，垂足为Q，连接顶点O与P的直线和连接焦点F与Q的直线交于R点，则R点的轨迹如何？

结果：轨迹方程为y2xx 3.探究问题（轨迹为直线型）

前面的探究问题中，直线的平移是生成点M轨迹的因素之一，若将直线的平移改为旋转，点S的轨迹如何？

x2

y21，已知曲线C的方程为曲线C与x轴的交点分别为A、B，设直线xmy14

与曲线C交于P,Q两点，且AP和BQ交于S点，试用超级画板探究，当m变化时，S的轨迹是不是恒在一条直线上？如果是，请求出该直线方程。

探究过程

x2

y21和直线xmy1，用画笔标出点A、B和交点P、Q，（1）作出曲线C：4

作直线AP、PQ，找出交点S，拖动关于m的滑动块，观察S的轨迹，判断S的轨迹是不是恒在一条直线上，并求出该直线方程。

x2y2

（2）插入变量尺a、b，作出椭圆221；控制椭圆的长短轴大小，观察轨迹变

ab

化；

（3）猜测影响轨迹位置与形状的因素，你能用数学方法加以说明吗？ 探究结果

（1）m改变时，S的轨迹为一条直线，直线方程为x4

x2y2

（2）插入变量尺，作出椭圆221，改变a的值，轨迹位置发生改变，改变b

ab的值，轨迹位置不变；

x2y22

（3）假设椭圆方程为221，则按上述方法做出的点S的轨迹为直线xa

ab

拓展探究

x2y2

（1）若曲线C由椭圆变为双曲线221，S的轨迹是不是仍在一条直线上？你

ab

能否求出该直线方程。

x2y2

（2）假设椭圆方程为221，前面的探究问题中，A、B点为曲线和x轴的交点，ab

现在若将A、B点改为x轴上的定点（-2，0）和（2，0），则点S的轨迹还是直线吗？请试用超级画板探究，判断S的轨迹为何种类型的曲线。

结果：当a2时，S的轨迹为一个椭圆

向量在研究轨迹问题中的应用 篇3

问题1：平面上求过两点A(x1,y1),B(x2,y2)的直线l方程

这是一个直线的“两点式”方程问题，用解析法处理要讨论过A，B两点的直线斜率存在与不存在，即x1=x2与x1≠x2两种情况.但这一问题如果借助于向量就可避免讨论而得出一般的结论.

简答：设直线l上任一点P(x,y)，∵AP与AB共线，即(x-x1,y-y1)∥(x2-x1,y2-y1)，∴(x-x1)(y2-y1)=(y-y1)(x2-x1)即为直线l方程

说明：实际上有关共线或平行的轨迹问题均可借助向量，利用共线向量定理给出比较简洁的处理.

例1 G为△ABC所在平面上一点，则G为△ABC的重心的充要条件是GA+GB+GC=0

简证:必要性：∵G为△ABC的重心，∴AG=2GD=GB+GC，

即-GA=GB+GC，∴GA+GB+GC=0

充分性：由GA+GB+GC=0得 GB+GC=-GA，取BC中点D,则GB+GC=2GD，∴2GD=-GA即2GD=AG，∴AG=2GD，从而得知G为△ABC的重心.

例２ 已知OA,OB不共线，且OP=xOA+yOB(x,y∈R)，则A,B,P三点共线的充要条件是x+y=1

简证:必要性：∵A,B,P三点共线，∴AP=λAB，∴OP-OA=λ(OB-OA)，∴OP=(1-λ)OA+λOB，又∵OP=xOA+yOB，由平面向量基本定理可知：

x=1-λ,y=λ，∴x+y=1

充分性：∵x+y=1，∴y=1-x，∴OP=xOA+(1-x)OB=x(OA-OB)+OB，

∴OP-OB=x(OA-OB)即BP=xBA，∴BP∥BA，因为BP，BA有公共点B，∴A,B,P三点共线.

例3 （2011年安徽理21）设λ>0，点A的坐标为(1,1)点在抛物线y=x2上运动，点Q满足BQ=λQA经过点Q与x轴垂直的直线交抛物线于点M点P满足QM=λMP求点P的轨迹方程

解：由QM=λMP知O,M,P三点在同一条垂直于x轴的直线上，故可设P(x,y)，Q(x,y0),M(x，x2),则x2-y0=λ(y-x2)，即y0=(1+λ)x2-λy ①

再设B(x1,y1)，由BQ=λQA，即(x-x1,y0-y1)=λ(1-x,1-y0)得

x1=(1+λ)x-λ

y1=(1+λ)y0-λ ②

将①式代入②式消去y0得x1=(1+λ)x-λ

y1=(1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ ③

又点B在抛物线y=x2上所以y1=x21再将③代入y1=x21得

(1+λ)2x2-λ(1+λ)y-λ=(1+λ)2x2-2λ(1+λ)x+λ2

2λ(1+λ)x-λ(1+λ)y-λ(1+λ)=0

∵λ>0 ∴2x-y-1=0，故所过点P的轨迹方程为2x-y-1=0

说明：这是一道高考压轴题，难度较大，但若抓住两次共线这一特征，借助于向量共线定理，问题就较易处理.

问题2：平面直角坐标系中，求A(x1,y1),B(x2,y2)以为直径的圆C方程

这是一个圆的“直径式”方程问题，同学们不必强记，借助于向量，则很快可给出结论.

设P(x,y)为圆上任一点，∵AB为直径，

∴PA⊥PB，∴PA⊥PB，即PA·PB=0

∴(x1-x,y1-y)(x2-x,y2-y)=0

即(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0为圆C方程（直径式方程）

说明：事实上有关垂直的轨迹问题均可借助向量，利用向量的数量积为零均可给出简捷处理

例4 求过圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的切线方程

简解：设Q(x,y)为切线上任一点，连CP，

则CP⊥PQ,∴CP·PQ=0即(x0-a,y0-b)·(x-x0,y-y0)=0∴(x0-a)(x-x0)+(y0-b)(y-y0)=0，即为所求切线方程.

例5 已知P(x0,y0)为圆O：x2+y2=r2外一点，过P分别作圆的两条切线，

切点为A、B，求过A、B的直线方程

简解：连OA,OB,则OA⊥PA，OB⊥PB,设A(x1,y1),B(x2,y2)

由OA·AP=0得(x1,y1)·(x0-x1,y0-y1)=0

即x1x0-x21+y1y0-y21=0

∵x21+y21=r2，∴x0x1+y0y1=r2，

同理x0x2+y0y2=r2

∴A(x1,y1),B(x2,y2)都在直線x0x+y0y=r2上，

∴过切点为A、B的直线方程即为x0x+y0y=r2.

例6 (2011课标全国卷理20) 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y=-3上M点满足MB∥OA MA·AB MB·BA M点轨迹为曲线C

（1） 求曲线C的方程 （2）P为C上的动点，G为C在P点处的切线，求O点到G上距离的最小值

解：∵MA·AB=MB·AB ∴(MA+MB)·AB=0

又MB∥OA ∴MB与OA共线，M点又在线段AB的中垂线上

设M(x,y)由已知得B(x,-3)又A(0,-1)

∴MA=(-x,-1-y) MB=(0,-3-y),AB=(x,-2),MA+MB=(-x,-4-2y)，

∴(-x,-4-2y)·(x,-2)=0得曲线C的方程为y=14x2-2

（2） 设P(x0,y0)为曲线C：y=14x2-2上一点 ∵y′=12x

∴G的斜率为12x0 ∴G方程为y-y0=12x0(x-x0)

即x0x-2y-2y0-x20=0

∴d=|2y0-x20|x20+4=12x20+4x20+4=

12x20+4+4x20+4≥2

当且仅当x0=0时取“=” ∴O到G距离的最小值为2

综上可知，在研究轨迹的共线（平行）与垂直（数量积）问题中向量很给力.

立体几何中点的轨迹问题 篇4

一、动点在几何体的某个面上

如果动点在几何体的某个面上, 则它的轨迹就与平面解析几何中的轨迹问题相同, 就可能是直线和圆锥曲线等, 不过往往是其中的一部分而已。

例1.动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的ABB1A1面上, 且PB=PB1, 则P点的轨迹是线段BB1的垂直平分线。

例2.如图A B C D为直角梯形, ∠ABC=90°, AD⊥面PAB, AD=4, BC=8, ∠APD=∠BPC, 求P点的轨迹。

例3.如图正方体中, 点P在面A1B上, 满足P到A1D1和P到BB1的距离相等。求点P的轨迹。

解析:P到A1D1的距离就是P到点A1到距离, 在平面A1B上, 动点P到定点A1的距离等于它到定直线BB1的距离, 由抛物线的定义知P点的轨迹是抛物线的一部分。

例4.如图所示, 正三棱锥V—ABC中, 点P在侧面VAB上, 且点到底面ABC的距离等于它到顶点V的距离, 求P点轨迹。

解析:作PG⊥AB于G, PF⊥于ABC于F, 连接FG, 则∠PGF是二面角V—AB—C的平面角, 由题设知VP=PF,

而sin∠PGF是一个小于1的正常数, 即动点P到定点V和到定直线AB的距离之比为一个小于1的正常数, 所以P点的轨迹是椭圆的一部分。

二、动点为空间中的动点

动点为空间的点, 它的轨迹就可能是直线、平面或曲面, 在中学最大的可能是球面, 例如到正方体相连三个面的距离都相等的点的轨迹就是正方体的对角线;到空间两点距离相等的点构成一个平面;在平面同侧且到平面距离相等的点在一个与已知平面平行的平面上;到一条直线的距离相等的点构成一个圆柱面;当然, 到一定点距离为定值的点构成一个球面, 等等。

例5.在正方体ABCD—EFGH中, 棱长为2, M在DH上, N在面ABCD上, MN=2, P点为MN的中点, 求P点的轨迹与正方体的面围成的几何体的体积。

解析:连结D N, 则三角形M D N为直角三角形, 于是即点P到定点D的距离为定值1, 所以P点的轨迹是一个球, 此球面与正方体围成的部分只有球的所以所求体积

小结:

管理变革的轨迹 篇5

长期以来，组织效率低下不仅困绕着中石油，也是国内大部分企业要面对的问题。如何在做大的同时做强企业，建立起高效运作体系?实践证明，只有伴随企业发展过程坚持不间断进行管理变革，才能打造出有核心能力的运作体系，华为22年的持续管理变革也证实了这一点。

华为自1988年十几个人举债2万元创业， 至全球销售收入1491亿元人民币(约合218亿美元)，海外收入比例为53.5%，净利润183亿元人民币，成为国际排名仅次于爱立信的世界级移动设备企业。华为之所以能在高技术、高品质、高服务水平、高竞争环境的国际通信行业中胜出，成为行业标杆企业，是华为22年间进行的不间断管理变革的结果。回顾华为的管理变革，主要经过了自主优化、引进复制、创新发展三个阶段。

自主优化阶段：该阶段从1988年持续到，本阶段的主要变革工作：《华为基本法》起草、QC品质圈实施、ISO质量体系认证、各职能优化。

本阶段的管理变革以解决具体问题为主。如研发管理变革，强调了战略机会点把握、注重研发速度与集中优势兵力，这在华为发展初期取得了良好效果，也为企业快速增长立下了汗马功劳。自主优化也是痛苦的，摸着石头过河，进展缓慢而且经常走弯路，以《华为基本法》为例，聘请了人民大学6位教授，耗时3年，八易其稿出炉，然而出炉不久便被打入冷宫，很少被任正非提及，实际上并未发挥“指导华为前进”的理论作用。

88年至管理变革的主体是华为，虽然由于员工们局限性以及经常被事务性工作所困挠，无法在管理模式上取得突破性进展，但对于当时创业期的华为来说，这次管理变革满足了当时的管理需要，也为企业建立了良好的变革文化，

引进复制阶段：引进复制西方管理体系阶段是从年开始至。华为陆续与IBM、Hay、Mercer、PwC、德勤、FhG、盖洛普、NFO-TNS、Oracle等公司合作，进行了业务流程、组织、品质控制、人力资源、财务客户满意度等六个方面的变革。

在这一轮管理变革中，华为公司将自身定位为一个包括研发、销售和核心制造的高技术企业，并以建立流程化组织为目标。同样以研发工作为例，主要是成立由市场、开发、服务、制造、财务、采购、质量组成的团队(PDT)，运用各种先进的管理理念及工具对产品整个开发过程进行管理和决策，确保产品研发全过程的信息透明与客户需求目标的一次性满足。

同时本阶段也进行了信息化实施工作，将经过实践检验的流程固化在信息系统中，实现了流程管理电子化、业务信息数据化。建立了从客户端(需求)到客户端(供应)的简洁、规范的信息化控制体系，摆脱了对人的依赖，实现了企业的职业化与专业化改造。

复制阶段变革的主体是咨询公司，他们帮助华为建立起了各种体系化、标准化的管理体系，使管理的可控性与透明性得到了明显改善。然而随着西方管理体系在华为建立，西方体系的缺陷也逐渐显现出来，体系中过多的流程控制点，不但降低了运行效率，而且易于滋生官僚主义及教条主义，这使得管理变革又一次提上了日程。

创新发展阶段：金融危机是中西管理模式的分水岭，企业家开始客观评价西方管理模式，基于西方管理模式的管理创新成为中国企业管理变革的新特点。华为在本阶段的主要工作：进行了以一线作战需求为中心的组织与流程变革。

为有效执行各地区部、代表处、产品线、后方平台的一线作战模式，本阶段主要确定了以代表处系统部铁三角为基础的，轻装及能力综合化的海军陆战队式的一线组织结构;借用了美军参谋长联席会议的组织模式，提出了片区的改革方案;并提出了“蜂群”的迅速集结与撤离的一窝蜂战术要求。

在这一阶段，任正非不再强调西方管理的先进性，而是强调创新与自我复制，提出“要善于总结我们为什么成功，以后怎样持续成功，再将这些管理哲学的理念，用西方的方法规范，使之标准化、基线化，有利于广为传播与掌握”。这不但是本次变革的指导思想，也为华为未来管理变革指明了方向。

轨迹问题 篇6

关键词：工资增长；在岗职工工资；工资正常增长机制

最近，国际劳工组织（ILO）在日内瓦发布《全球工资报告2010～2011》。报告显示，金融危机后全球工资增速几近折半。而中国工资增速“引涨”全球，超欧美国家达5倍之多。但是这个数据并没有得到中国民间的认同，老百姓对工资是否增长并没有什么感觉， 倒是对物价飞涨带来的“蒜你狠”、“豆你玩”、“糖高宗”、“姜你军”、“苹什么”等印象颇深。广东是改革开放的排头兵，三十年来广东经济发展始终保持高速增长，但是工资增长水平却总体落后。从2009年开始沿海地区频繁爆发集体劳资纠纷，而纠纷的导火线都集中为工资薪酬水平过低引发。因此，比较分析广东职工工资增长现状和问题具有强烈的现实紧迫性，对全国的工资增长问题也有一定的借鉴意义。

一、 21世纪以来广东在岗职工工资增长轨迹

1. 在岗职工工资总额以及年平均工资的增长轨迹。21世纪以来，随着经济的快速增长，广东省在岗职工工资总额和在岗职工年平均工资呈显著增长态势，工资总额从2001年的1 146.11亿元增长到2010年的4 363.82亿元，实际增长3.9倍，而年平均工资从2001年的15 682元增长到2010年的40 358元，实际增长2.6倍。10年来广东省在岗职工工资总额和在岗职工年平均工资实际增长轨迹具有以下特点：第一，广东在岗职工工资总额与在岗职工年平均工资增长态势基本一致，2001年～2005年广东在岗职工工资总额以及在岗职工年平均工资的增速几乎一致，从2006年起，两者增幅差距有扩大趋势；第二，从2006年～2010年，广东在岗职工工资总额增速都高于在岗职工年平均工资增速，这5年来，在岗职工工资总额实际增长80.8%，年平均增长16.2%，而在岗职工年平均工资实际增长54.1%，年平均增长10.8%，在岗职工工资总额年均增长比在岗职工年平均工资年均增长高5.4%。

2. 在岗职工工资与本省GDP增长轨迹比较。从总量来看，近5年广东省GDP总额和在岗职工工资总额的增长轨迹相比呈现以下特点：第一， 2006年～2010年广东省GDP增长与本省在岗职工工资总额的增长大体呈同升降态势；第二，从2006年～2008年这三年来看，广东省GDP的增长速度略比在岗职工工资总额的增长速度高，但增长速度的差距逐年缩小；第三，自2007年以后，经历金融危机，两者的增速都呈下降趋势；第四，2008年～2010年，工资总额的增速持续超过GDP增速，一是经济受金融海啸冲击持续疲软，二是国内农村剩余劳动力供给显著下降导致工资成本持续上升。

从人均来看，广东近五年人均GDP以及在岗职工人均工资的增长轨迹相比呈现以下特点（见图1）：第一，人均GDP的增长速度与人均工资的增长速度的呈同升降态势；第二，人均GDP的增长速度基本大于人均工资的增长速度，但差距逐年缩小；第三，2009年人均工资的增长速度为9.8%，首次高于本省人均GDP的增长速度；第四，到2010年，广东省人均GDP的增长速度又再次超过在岗职工的平均工资，差距为2.4%。

自2006年～2010年五年来广东省的GDP和在岗职工的工资总额与人均额增长轨迹基本同步，但2010年例外，2010年的广东省GDP的增长速度是低于在岗职工的工资总额，但是这一年的人均GDP的增长速度是高于在岗职工人均工资的。这与近年来广东出现的“用工荒”密切相关，广东在岗职工的人数不断减少，2010年广东省在岗职工人数的减少在某种程度上使得人均GDP得到提高，所以出现了人均GDP超过在岗职工的人均工资的现象。

二、 广东省与全国在岗职工年平均工资增长的横向比较

1. 广东省及全国在岗职工年平均工资的增长速度比较。2006年，全国的在岗职工年平均工资为21 001元，广东为26 186元， 是全国水平的1.2倍。2007年～2010年，广东省的在岗职工年平均工资大约都是全国水平的1.1倍，到2010年，广东省在岗职工的年平均工资超过40 000元，而全国水平只有36 539元。但结合两者的增长轨迹图（见图2）来看，我们可以看到，2006年，全国在岗职工的年平均工资的增长率达到14.4%，而广东水平只有9.3%，差距达到5.1%，2007年，全国在岗职工的年平均工资的增长率更是达到18.7%，而广东水平只有12.4%，差距达到6.3%，是5年来差距最大的一年。自2007年后，两者的增速差距不断缩小，到2010年，两者的差距只有0.6%，但绝对值来看，广东省在岗职工与全国在岗职工的年平均工资的增速都呈下降的趋势，这个是值得我们重视的。

2. 广东省平均工资相关指标比较分析。广东省平均工资的相关影响指标不尽合理（见表1）。

（1）广东省人均GDP和在岗职工平均工资增长落后于全国增长水平。人均GDP从2006年～2010年，我国GDP增长0.9倍（净增184 888亿元），我国人均GDP增长80%（净增13 492元），全国城镇在岗职工月平均工资（扣除价格因素）增长50%（净增938元），全国城镇居民人均消费性支出（扣除价格因素）增长40%（净增262元），居民消费价格指数比2006年上涨13.8%。相同条件下，广东省的GDP从2006年～2010年五年间只增长了70%（净增19 425亿元），比全国水平低20%，人均GDP增长了60%（净增16 202元），比全国水平低20%，城镇在岗职工月平均工资（扣除价格因素）增长40%（净增886元），比全国水平低10%，扣除价格因素后的人均消费性支出只增长40%（净增370元），与全国水平的增长持平，广东省五年来的居民消费价格指数上涨了9.6%，低于全国水平13.8%。

（2）广东居民人均消费性支出占居民月平均工资比例过高。2006年～2010年全国的居民人均消费性支出占居民月平均工资的比例由41.7%下降到36.9%，5年来人均消费性支出占月平均工资的比例下降了4.8%；而2006年～2010年广东的居民人均消费性支出占居民月平均工资的比例分别是47.5%、48.7%、46.9%、46.4%、45.8%，五年来只下降了1.7%，远远落后于全国。五年来，全国城镇在岗职工月平均工资净增938元，广东城镇在岗职工月平均工资净增886元，而全国城镇在岗职工的人均消费性支出净增262元，广东城镇在岗职工的人均消费性支出净增达到370元，广东在岗职工工资增长幅度不大，但消费性支出的增长幅度偏大，高于全国水平。

可见，广东省得工资增长情况的国内横向比较结果并不理想，工资增长幅度和速度都显著落后于全国平均水准，工资水平仍有较大的提升空间。

三、 对于广东省工资增长问题的总结与建议

1. 总结。

（1）广东省在岗职工年平均工资的增速跟不上工资总额的增长速度。21世纪以来，随着经济的快速增长，广东省在岗职工工资总额和在岗职工年平均工资都逐年增长，自2006年以来，广东省在岗职工工资总额的增长速度都高于在岗职工平均工资，并且差距逐年拉大，这说明在岗职工人数增长对在岗职工工资总额增长的贡献大于在岗职工年平均工资增加对在岗职工工资总额增长的贡献。

（2）广东省在岗职工的年平均工资与人均GDP比例衔接不协调。从2006年～2010年5年看来，在绝对数上广东省人均GDP一直高于在岗职工的年平均工资；从增长速度来看，除了2009年发生的金融危机导致广东经济严重下滑，大大拉低了人均GDP的增速之外，其余年份广东的人均GDP的增长速度均高于年平均工资；从比例系数来看，两者的比例系数都低于1，广东省在岗职工年平均工资只占人均GDP90%左右。这可以看出，广东职工对经济发展所做出的贡献大于自己所得到的报酬，政府应该实行措施让在岗职工的年平均工资跟上人均GDP的步伐，除了从最低工资标准以及工资指导线标准两方面入手外，还应该缩小贫富差异，优化税率结构等方面下工夫。

（3）广东省在岗职工的年平均工资总体偏低。从2006年～2010年，从绝对数来看，全国的在岗职工的年平均工资低于广东省在岗职工的年平均工资的，从增长速度来看，广东省是低于全国平均水平的，并且广东省在岗职工的年平均工资的增长速度逐年降低的。我省是经济大省，每年的GDP都名列前茅，但是工资水平却低于全国平均水平，这说明我省在岗职工的工资标准还不够合理，建立合理的工资增长机制是必要的。

（4）广东在岗职工的生活质量有待提高。2006年～2010年广东省在岗职工的人均消费性支出占实际工资的平均比例为47%，而全国在岗职工的人均消费性支出占实际工资的平均比例为39%，两者的差距达到8%，这是一个足以引起重视的数字。5年来，广东在岗职工的人均消费性支出在不断增加，虽然在岗职工的月实际工资也在不断增加，但并没有赶上消费性支出的增幅，两者不成比例，严重影响了广东在岗职工的生活质量。在物价高昂的今天，我们只有提高广东在岗职工的实际工资，才能真正提高他们的生活质量。

2. 建议：加快建立健全的工资正常增长机制。广东省在岗职工的年平均工资低于人均GDP，其增长速度低于全国水平，并且人均消费性支出占在岗职工实际工资的比例达到50%，尽管每年广东省政府都出台最低工资标准，但最低工资的缓慢提高令在岗职工难于分享到社会的经济发展成果。针对这种现状，广东省应建立一个使在岗职工工资随经济效益提高并与其他有关因素变化而相应协调、合理、持续增长的健全的工资增长机制，才能让更广大的人民分享到经济发展成果。

（1）要必须充分发挥政府部门的作用。在市场机制尚不完善的时候，加大政府宏观调控力度十分有必要。应将广东省在岗职工工资增长情况作为地方政府或行业主管部门政绩考核的重要指标之一。

（2）要完善、推广工资指导线制度。2006年以来，广东省每年都有设定工资指导线，但效果不甚明显。广东省可设定职工工资增长与本省GDP增长挂钩的办法，制定一定的增长比例，并且广东省还应设定职工工资增长幅度与全国工资增长幅度相一致，缩小差距。同时，除发布地区性工资增长指导标准外，还应发布行业工资增长指导标准，引导企业合理确定工资水平和增长幅度。

（3）要合理制定并及时发布广东省各地区的最低工资标准线，加快建立行业最低工资标准。由广东省根据地区经济发展状况，在农民工和低收入群体比较集中的建筑业、餐饮业等行业，出台行业最低工资标准，将最低工资标准进一步细化，使其更具有可操作性。

参考文献：

1. 韩兆洲等著．劳动工资与社会保障—广东最低工资调研与统计测算模型研究.北京：经济科学出版社，2006．

2. 韩兆洲，魏章进．最低工资标准的测算模型及实证检验．统计与决策，2010，（24）．

3. 李艳，韩兆洲：和谐劳动关系的构建——广州、佛山、深圳最低工资标准比较研究.统计与信息论坛，2011，（11）.

4. 李立春，董丽.我国全员劳动生产率与工资水平的关系分析.经济师，2008，（12）.

5. 张长生.改革开放以来广东职工工资总额及平均工资增长研析.南方经济，2009，（1）．

6. 黄桂田，尹志峰.工资增长机制及相关影响因素分析.财贸经济，2009，（9）.

7. 屈曙光，彭璧玉.工资对经济增长的影响.经济评论，2010，（4）.

8. 关于完善广东最低工资标准制度的对策思考.岭南学刊，2011，（2）.

9. 刘丽，任宝平．工资、物价和经济增长的内在关系．社会科学研究，2008，（1）．

基金项目：国家社会科学基金项目“最低工资标准问题研究”（项目号：08BJY046），教育部社科规划项目“我国最低工资标准统计测算与调整决策支持系统研究”（项目号：08JA910002），广州市社会科学十二五规划项目“工资增长机制与劳动关系互动研究：以广州市为例”（项目号：11Q28）。

作者简介：李艳，广东金融学院经济贸易系讲师，暨南大学博士生；郭张媚，广东金融学院经济贸易系2008级本科生。

有关双曲面的轨迹问题的研究 篇7

关键词：双曲面,轨迹,方程

文献[1]对有关圆及椭圆的轨迹问题作了探讨, 文献[2]给出双曲面 (单叶双曲面和双叶双曲面) 的标准方程, 文献[3]对有关椭球面轨迹问题进行了研究, 笔者又对有关双曲面的轨迹问题作了研究, 得出了有关双曲面轨迹的几个结论, 并给出了求满足题设条件的双曲面方程的方法.

定理1 设点M (x, y, z) 在三维空间内异于原点的任一定点P0 (x0, y0, z0) 与双曲面

$S:\frac{x{}^2}{a{}^2}\pm \frac{y{}^2}{b{}^2}-\frac{z{}^2}{c{}^2}=1(a>0,b>0,c>0)$

上任一点P′ (x′, y′, z′) 的连线上, 且满足$\overrightarrow{{\rm P}{}_0{\rm M}}=\lambda \overrightarrow{{\rm M}{{\rm P}}^{\prime }}(\lambda \ne -1)$, 则点M的轨迹为双曲面

$\begin{array}{l}{S}^{\prime }:\frac{\left(x-\frac{x{}_0}{1+\lambda }\right){}^2}{a{}^2}\pm \frac{\left(y-\frac{y{}_0}{1+\lambda }\right){}^2}{b{}^2}-\frac{\left(z-\frac{z{}_0}{1+\lambda }\right){}^2}{c{}^2}=\\ \frac{\lambda {}^2}{(1+\lambda ){}^2}。\end{array}$

证明 只就单叶双曲面给予证明。

由于$\overrightarrow{{\rm P}{}_0{\rm M}}=\lambda \overrightarrow{{\rm M}{{\rm P}}^{\prime }}$, 所以

$\overrightarrow{{\rm O}{{\rm P}}^{\prime }}=\frac{(1+\lambda )\overrightarrow{{\rm O}{\rm M}}-\overrightarrow{{\rm O}{\rm P}{}_0}}{\lambda },$

即

$x^{\prime }=\frac{(1+\lambda )x-x{}_0}{\lambda },y^{\prime }=\frac{(1+\lambda )y-y{}_0}{\lambda },z^{\prime }=\frac{(1+\lambda )z-z{}_0}{\lambda }$。

又点P′是单叶双曲面S上任一点, 于是

$\frac{\left(\frac{(1+\lambda )x-x{}_0}{\lambda }\right){}^2}{a{}^2}+\frac{\left(\frac{(1+\lambda )y-y{}_0}{\lambda }\right){}^2}{b{}^2}-\frac{\left(\frac{(1+\lambda )z-z{}_0}{\lambda }\right){}^2}{c{}^2}=1,$

即

S′:$\frac{(x-\frac{x{}_0}{1+\lambda }){}^2}{a{}^2}+\frac{(y-\frac{y{}_0}{1+\lambda }){}^2}{b{}^2}-\frac{(z-\frac{z{}_0}{1+\lambda }){}^2}{c{}^2}=\frac{\lambda {}^2}{(1+\lambda ){}^2}$。

推论1 设三维空间内异于原点的任一定点P0 (x0, y0, z0) 与双曲面

$S:\frac{x{}^2}{a{}^2}\pm \frac{y{}^2}{b{}^2}-\frac{z{}^2}{c{}^2}=1(a>0,b>0,c>0)$

上任一点P′ (x′, y′, z′) 的连线段之中点为M (x, y, z) , 则点M的轨迹为双曲面

$S:\frac{(x-\frac{x{}_0}{2}){}^2}{a{}^2}\pm \frac{(y-\frac{y{}_0}{2}){}^2}{b{}^2}-\frac{(z-\frac{z{}_0}{2}){}^2}{c{}^2}=\frac{1}{4}$。

定理2 已知双曲面

$S:\frac{x{}^2}{a{}^2}\pm \frac{y{}^2}{b{}^2}-\frac{z{}^2}{c{}^2}=1(a>0,b>0,c>0),$

点P0 (x0, y0, z0) (x${}_0^2$+ y${}_0^2$+ z${}_0^2$≠0) 为空间内任一定点, 过点P0任作一直线L与双曲面S相交于P′ (x′, y′, z′) , P″ (x″, y″, z″) 两点, 点N (x1, y1, z1) 是线段P′P″的中点, 点M (x, y, z) 是直线L上任一点, 且$\overrightarrow{{\rm P}{}_0{\rm N}}=\mu \overrightarrow{{\rm P}{}_0{\rm M}}(\mu \ne 0)$, 则点M的轨迹为双曲面

$\begin{array}{l}{S}^{\prime }:\frac{(x+\frac{1-2\mu }{2\mu }x{}_0){}^2}{a{}^2}\pm \frac{(y+\frac{1-2\mu }{2\mu }y{}_0){}^2}{b{}^2}-\\ \frac{(z+\frac{1-2\mu }{2\mu }z{}_0){}^2}{c{}^2}=\frac{1}{4\mu {}^2}(\frac{x{}_0^2}{a{}^2}\pm \frac{y{}_0^2}{b{}^2}-\frac{z{}_0^2}{c{}^2})。\end{array}$

证明 只就单叶双曲面给予证明。

由于点P′与P″都是单叶双曲面S上的点, 于是

$\frac{x^{\prime }{}^2}{a{}^2}+\frac{y^{\prime }{}^2}{b{}^2}-\frac{z^{\prime }{}^2}{c{}^2}=1,\frac{x^{″}{}^2}{a{}^2}+\frac{y^{″}{}^2}{b{}^2}-\frac{z^{″}{}^2}{c{}^2}=1,$

两式相减, 得

$\frac{1}{a{}^2}(x^{\prime }-x^{″})(x^{\prime }+x^{″})+\frac{1}{b{}^2}(y^{\prime }-y^{″})(y^{\prime }+y^{″})-$

$\frac{1}{c{}^2}(z^{\prime }-z^{″})(z^{\prime }+z^{″})=0$。

因为$\overrightarrow{{{\rm P}}^{″}{{\rm P}}^{\prime }}//\overrightarrow{{\rm P}{}_0{\rm M}}$, 所以有

$\frac{x^{\prime }-x^{″}}{x-x{}_0}=\frac{y^{\prime }-y^{″}}{y-y{}_0}=\frac{z^{\prime }-z^{″}}{z-z{}_0},$

因此

$\frac{x-x{}_0}{a{}^2}(x^{\prime }+x^{″})+\frac{y-y{}_0}{b{}^2}(y^{\prime }+y^{″})-\frac{z-z{}_0}{c{}^2}(z^{\prime }+z^{″})=0$,

又由于点N是线段P′P″的中点, 则有

$x{}_1=\frac{x^{\prime }+x^{″}}{2},y{}_1=\frac{y^{\prime }+y^{″}}{2},z{}_1=\frac{z^{\prime }+z^{″}}{2},$

所以

$\frac{x-x{}_0}{a{}^2}x{}_1+\frac{y-y{}_0}{b{}^2}y{}_1-\frac{z-z{}_0}{c{}^2}z{}_1=0$。

又因为

$\overrightarrow{{\rm P}{}_0{\rm N}}=\mu \overrightarrow{{\rm P}{}_0{\rm M}}(\mu \ne 0)$,

所以

$\overrightarrow{{\rm O}{\rm N}}=\overrightarrow{{\rm O}{\rm M}{}_0}+\mu (\overrightarrow{{\rm O}{\rm M}}-\overrightarrow{{\rm O}{\rm M}{}_0})=(1-\mu )\overrightarrow{{\rm O}{\rm M}{}_0}+\mu \overrightarrow{{\rm O}{\rm M}},$

即

x1= (1-μ) x0+μx, y1= (1-μ) y0+μy, z1=

(1-μ) z0+μz,

故有

$\begin{array}{l}\frac{1}{a{}^2}(x-x{}_0)[(1-\mu )x{}_0+\mu x]+\frac{1}{b{}^2}(y-y{}_0)\times \\ [(1-\mu )y{}_0+\mu y]-\frac{1}{c{}^2}(z-z{}_0)[(1-\mu )z{}_0+\mu z]=0,\end{array}$

即

$\frac{\left(x+\frac{1-2\mu }{2\mu }x{}_0\right){}^2}{a{}^2}+\frac{\left(y+\frac{1-2\mu }{2\mu }y{}_0\right){}^2}{b{}^2}-\frac{\left(z+\frac{1-2\mu }{2\mu }z{}_0\right){}^2}{c{}^2}=$

$\frac{1}{4\mu {}^2}\left(\frac{x{}_0^2}{a{}^2}+\frac{y{}_0^2}{b{}^2}-\frac{z{}_0^2}{c{}^2}\right)$。

推论2 已知双曲面

$S:\frac{x{}^2}{a{}^2}\pm \frac{y{}^2}{b{}^2}-\frac{z{}^2}{c{}^2}=1(a>0,b>0,c>0),$

点P0 (x0, y0, z0) (x${}_0^2$+ y${}_0^2$+ z${}_0^2$≠0) 为空间内任一点, 过点P0任作一直线L与双曲面S相交于P′ (x′, y′, z′) , P″ (x″, y″, z″) 两点, 则线段P′P″的中点M (x, y, z) 的轨迹为双曲面

$S^{\prime }:\frac{(x-\frac{x{}_0}{2}){}^2}{a{}^2}\pm \frac{(y-\frac{y{}_0}{2}){}^2}{b{}^2}-\frac{(z-\frac{z{}_0}{2}){}^2}{c{}^2}=\frac{1}{4}\left(\frac{x{}_0^2}{a{}^2}\pm \frac{y{}_0^2}{b{}^2}-\frac{z{}_0^2}{c{}^2}\right)$。

参考文献

[1]王跃辉.解析几何的变式与解题后的反思.数学教学, 2006; (12) :34—36

[2]吕林根.解析几何 (第三版) .北京:高等教育出版社, 2004;160—165

空间图形中的轨迹问题 篇8

在知识网络的交汇点处设计试题已成为竞赛、高考等各类考试命题的热点, 空间图形中的轨迹问题正是在这一背景下出现的, 本文仅就空间图形中的轨迹类型加以盘点, 旨在揭示题型规律, 探索解题方法,

一、轨迹是离散的点

例1 已知平面α//平面β, 直线l⊂α, 点P∈l, α、β间的距离是12, 则β内与点P的距离是20、且与直线l的距离为13的点的轨迹为 ( ) .

(A) 一个圆 (B) 两条直线

(C) 两个点 (D) 四个点

解析:如图1, 设点P在平面β上的射影为O, 则PO=12, 在β内与点P距离为20的点的轨迹是以O为圆心, 以16为半径的圆;在β内与直线l的距离为13的点的轨迹为两条平行线m、n, 它们到O点的距离均为5, 因为5<16, 所以直线m、n均与圆O交于两点, 即满足条件的轨迹为四个离散的点.故选 (D) .

评注:上述解法类似于解析几何中的交轨法, 体现了分解与组合的数学思想.

二、轨迹是线段

例2 如图2, △PEF为边长为a的正三角形, 四边形EFGH是正方形, 面PEF⊥平面EFGH, M是平面EFGH内一个动点, 且满足MP=MH, 则点M在正方形EFGH内的轨迹为 ( ) . (其中O是正方形EFGH的中心)

解析:在空间与点P、H距离相等的点的轨迹是过线段PH的中点, 且与PH垂直的平面, 又EP=EH=a, 由公理2知点M的轨迹应为面EFGH内过点E的一条线段, 进而可以排除 (C) 、 (D) 选项, 又$G{\rm H}=a‚G{\rm P}=\sqrt{2}a$, 故点G不在点M的轨迹上, 因此又排除了 (B) 选项.选 (A) .

评注:借助公理2和特殊点进行排除, 找到了问题解决的突破口, 这是处理选择题的有效策略.

三、轨迹是圆

例3 如图3, 在四棱锥P-ABCD中, AD⊥面PAB, BC⊥面PAB, 底面ABCD是梯形, AB=6, AD=8, BC=4, 若∠APD=∠CPB, 则满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹为 ( ) .

(A) 抛物线的一部分

(B) 椭圆的一部分

(C) 双曲线的一部分

(D) 圆的一部分

解析:由∠APD=∠CPB可知PA=2PB, 在平面PAB内, 以线段AB的中点为坐标原点, 以AB所在的直线为x轴建立如图4所示的平面直角坐标系xOy, 则A (-3, 0) 、B (3, 0) , 设P点的坐标为 (x, y) , 依题意有$\frac{\sqrt{(x+3){}^2+y{}^2}}{\sqrt{(x-3){}^2+y{}^2}}=2$, 平方整理得 (x-5) 2+y2=16 (y≠0) .选 (D) .

评注:由∠APD=∠CPB将问题转化为平面几何问题后, 还可以由圆的第二定义:圆是平面内到两定点距离的比为常数 (不是1) 的点的轨迹直接获解.

四、轨迹是圆锥曲线

例4 在正三棱锥A—BCD中, 底面边长为6, 侧棱长为$\sqrt{13}$, 侧面ABC内有一点P, 它到底面BCD的距离与到顶点A的距离相等, 则动点P的轨迹所在的曲线为 ( ) .

(A) 抛物线 (B) 椭圆

(C) 双曲线 (D) 圆

解析:如图5, 易求得三棱锥A—BCD的侧面和底面所成二面角的大小为30°, 过点P作PO⊥底面BCD于O;作PM⊥棱BC于M, 易知∠PMO就是二面角A—BC—D的平面角, 在Rt△PMO中, PM=2PO, 又PA=PO, 所以PM=2PA, 故P点的轨迹为椭圆在侧面ABC内的一段弧.选 (B) ,

评注:通过二面角的定义挖掘到$\frac{{\rm O}{\rm P}}{{\rm M}{\rm P}}=\frac{1}{2}$, 进而把立体几何问题降维成平面解析几何问题, 该题实质考查的是椭圆的第二定义.

五、轨迹是圆锥曲面

例5 如图6, 已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AB=BC=BB1=2, ∠ABC=90°, 点O1、O分别是棱A1C1和AC的中点, 将三棱柱绕轴O1O旋转一周, 则线段BC1所形成的轨迹图形为 ( ) .

解析:以B为坐标原点, 建立如图7所示的空间直角坐标系B-xyz, 设点P为线段BC1上的任一点, 点P在轴线OO1上的射影为M, P点的竖坐标为t, 则t∈[0, 2], 易知P、M两点的坐标分别为P (0, t, t) 、M (1, 1, t) , 设$|\overrightarrow{{\rm P}{\rm M}}|=d$, 则有d2- (t-1) 2=1, 选 (C) .

评注:通过建立空间直角坐标系, 寻求到双曲线方程d2- (t-1) 2=1, t∈[0, 2], 说理清晰, 曲线方程起到了以数助形的作用.

六、轨迹是几段圆弧

例6 在棱长为$\sqrt{3}$的正方体ABCD—A1B1C1D1的表面上与以A为球心, 以2为半径的球面所形成的轨迹的总长度为 ( ) .

$\begin{array}{l}(\text{A})\frac{\pi }{3}(\text{B})\frac{\pi }{2}\\ (\text{C})\frac{5\pi }{6}(\text{D})\frac{5\pi }{2}\end{array}$

解析:如图8, 由正方体的对称性知只需考查点P在面AB1与面AD1内的情况即可.

1.当点P在面AB1时, 因为$\sqrt{3}<{\rm P}A<$$AB{}_1=\sqrt{6}$, 所以P的轨迹为以A为圆心, 以2为半径的一段$\stackrel{⌢}{{\rm P}{}_1{\rm P}{}_2}$, 易求得$\stackrel{⌢}{{\rm P}{}_1{\rm P}{}_2}$所对的圆心角为30°, 故$\stackrel{⌢}{{\rm P}{}_1{\rm P}{}_2}$的长度为$\frac{\pi }{3}$;

2.当点P在面A1C1内时, 点P的轨迹是以A1为圆心, 以$\sqrt{2{}^2-(\sqrt{3}){}^2}=1$为半径的一段弧$\stackrel{⌢}{{\rm P}{}_2{\rm P}{}_3}$, 且$\stackrel{⌢}{{\rm P}{}_2{\rm P}{}_3}$所对的圆心角为$\frac{\pi }{2}$, 故$\stackrel{⌢}{{\rm P}{}_2{\rm P}{}_3}=\frac{\pi }{2}.$

综合1、2知所求的轨迹总长度为$3(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3})=\frac{5\pi }{2}$选 (D) .

评注:本题对空间想象能力的要求较高, 寻找到$\stackrel{⌢}{{\rm P}{}_1{\rm P}{}_2}$、$\stackrel{⌢}{{\rm P}{}_2{\rm P}{}_3}$的半径及所对应的圆心角是解题的关键.

以空间图形为素材的轨迹问题, 具有新颖性、综合性、交汇性的特点, 解决此类问题要善于把空间问题化归为平面问题, 然后再借助平面几何或解析几何知识进行突破.

由带电粒子运动轨迹分析有关问题 篇9

这一类题的分析方法:先画出入射点的轨迹切线, 即画出初速度的方向;再根据轨迹的弯曲方向, 确定电场力的方向;进而利用分析力学的方法来分析粒子带电性质、电场力做功的正负、电势能增碱、电势大小变化、电场力大小变化等有关问题。

例1.一带电液滴在竖直向下的匀强电场中的运动轨迹如图所示, 则此带电油滴从a运动到b的过程中, 能量变化情况为 () 。

A.动能减小

B.电势能增加

C.动能和电势能之和减少

D.重力势能和电势能之和增加

解析:由带电油滴从a到b的运动轨迹可知, 带电油滴受到的电场力方向应是竖直向上, 且电场力大于重力。所以带电油滴从a运动到b的过程中, 电场力做正功, 电势能减小;重力做负功, 重力势能增大。从a运动到b, 由动能定理可得:带电油滴动能增大。由总能量守恒可得:整个过程中只有动能、电势能、重力势能的相互转化, 所以三者之和为一定值。重力势能增大, 带电油滴动能和电势能之和减少。动能增大, 重力势能和电势能之和减少。

综合上述分析可知:C正确。

例2.如图所示, 一个带电荷量为-q的油滴, 从O点以速度v射入匀强电场中, v的方向与电场方向成角, 已知油滴的质量为m, 测得油滴到达运动轨迹的最高点N时, 它的速度大小仍未v, 求:

(1) 最高点N点与O点的竖直高度。

(2) 最高点N点与O点的电势差UAB

(3) 电场强度E

(3) 竖直方向上:vsin=gt

设水平方向油滴的运动加速度为a, 则-v=vcos-at

例3.如图所示, 带箭头的线段表示电场线的分布情况。电粒子在电场中运动的轨迹如图中虚线所示。若不考虑其他力, 则下列判断中正确的是 () 。

A.若粒子是从A运动到B, 则粒子带正电;若粒子是从B运动到A, 则粒子带负电

B.不论粒子是从A运动到B, 还是从B运动到A, 粒子必带负电

C.若粒子是从B运动到A, 则其加速度减小

D.若粒子是从B运动到A, 则其速度减小

解析:根据轨迹的弯曲方向, 电场力的方向, 不论粒子是从A运动到B, 还是从B运动到A, 粒子受电场力的方向与场强方向相反, 所以粒子必带负电。根据电场线的疏密程度, 确定电场的强弱, 从B运动到A, 场强减小, 电场力减小, 加速度减小, 电场力做正功, 动能增大。综合上述分析可知:B、C正确。

例4.一平行板电容器的两个极板水平放置, 两极板间有一带电量不变的小液滴, 液滴在极板间运动时所受空气阻力的大小与其速率成正比。若两极板间电压为零, 经过一段时间后, 液滴以速率v匀速下降, 若两极板间的电压为U, 液滴以速率v匀速上升, 若两极板间的电压为-U, 液滴做匀速运动时的速度大小、方向将是 () 。

A.2v向下B.2v向上

C.3v向下D.3v向上

解析:当不加电场时, 液滴匀速下降, 即f=kv=mg。当两极板间电压为U时, 液滴向上匀速运动, 即F电=kv+mg, F电=2mg;两极间电压为-U时, 电场力方向反向, 大小不变, 液滴向下运动, 当匀速运动时F电=mg=kv/, 解之得:v/=3v

专题训练:

1.带电粒子 (不计重力) 以水平速度v0垂直于电场力方向进入水平放置的平行金属板形成的匀强电场中, 它离开电场时的速度偏离原来方向的偏向角为, 数值偏移距离h, 则下列说法正确的是 () 。

A.粒子在电场中做类平抛运动

B.偏向角与粒子的电荷量和质量无关

C.粒子飞过电场的时间取决于极板长度和粒子进入电场时的初速度

D.粒子竖直偏移的距离h可用加在两极板间的电压来控制

2.如图所示, 平行的实线代表电场线, 方向未知, 电荷量为1×10-2C的正电荷在电场中只受电场力作用, 该电荷由A点移到B点, 动能损失了0.1J, 若A点电势为-10V, 则 () 。

(1) B点电势为零

(2) 电场线方向向左

(3) 电荷运动的轨迹可能是图中曲线 (1)

空间图形中轨迹问题的求解策略 篇10

近几年的高考数学试题, 设置了一些数学学科内的综合题, 它们的新颖性、综合性, 值得我们重视.在知识网络交汇点处设计的试题能充分体现考生处理问题的能力, 空间图形中的轨迹问题正是在这种背景下“闪亮登场”, 如2008年高考浙江卷第10题, 2004年高考重庆卷第12题等.这些空间图形轨迹问题的出现是符合新课程标准指出的考查方向和要求的, 因其涵盖了平面几何、立体几何、空间向量、解析几何等知识, 对数学思想和方法的考查充分, 故足以使我们认真注意对这类空间图形轨迹问题的研究与学习.由于这类问题涉及的知识点多, 思维方式和常规问题有一定差异, 题目的综合性、灵活性比较强, 加之学生对这种形式的试题接触不多, 所以他们往往找不准解题的切入点, 对此, 本文结合一些相关的实例, 对空间图形中的若干轨迹问题进行探讨, 给出相应的求解策略, 旨在探索题型规律, 揭示解题方法.

1 利用空间图形本身的特征

结合立体几何中图形本身的点、线、面之间的位置关系特征, 是解决立体几何中轨迹问题的一种重要方法.

例1 (2008浙江高考题理) 如图1, AB是平面α的斜线段, A为斜足, 若点P在平面α内运动, 使得△ABP的面积为定值, 则动点P的轨迹是 ( ) .

(A) 圆 (B) 椭圆

(C) 一条直线 (D) 两条平行直线

分析 由于斜线段AB的长度为定值, △ABP的面积为定值, 所以点P到AB的距离PC也为定值, 则以PC为底面半径, 以AB为旋转轴作如图2之圆柱, 由圆锥曲线直观定义可知, 平面α截圆柱所得平面是椭

$k\left(x-\frac{2}{7}\right)‚$直线过定点$\left(\frac{2}{7}‚0\right)$, 适合题意.

所以直线l过定点$\left(\frac{2}{7}‚0\right).$

点评 本题在直线过定点的探求中, 引入了x1, y1, x2, y2等众多字母, 充分利用韦达定理消去x1, x2, y1和y2得到k和m的一个方程, 并沿着最终用k表示m的目标前进, 问题便易如反掌.

例5 已知直线了l: (2m+1) x+ (m+1) y=7m+4 (x∈R) 及圆P: (x-1) 2+ (y-2) 2=25, 求证:无论m为何实数, 直线l与圆P总是相交的.

分析 将直线l的方程变形为

(x+y-4) + (2x+y-7) m=0,

则无论m为何实数, 只要x+y-4=0且2x+y-7=0即可.

证明 解由x+y-4=0与2x+y-7=0组成的方程组, 得直线x+y-4=0与直线2x+y-7=0的交点为 (3, 1) , 而 (3-1) 2+ (1-2) 2=5<25, 所以交点 (3, 1) 在圆P的内部.故无论m为何实数, 直线l与圆P总是相交的.

点评 要善于运用辨证的观点去思考分析, 在动中寻定, 即直线过定点问题, 一般将直线方程改写成 (A1x+B1y+C1) +λ (A2x+B2y+C2) =0的形式, 则直线恒过直线m:A1x+B1y+C1=0与直线n:A2x+B2y+C2=0的交点.圆面, 故动点P的轨迹是椭圆.故选B.

评注 本题充分利用已知条件中空间点线面的特征, 构造满足使得△ABP的面积为定值的空间几何体——圆柱, 抽象的空间点线面到具体的空间几何体, 浑然天成, 设计巧妙, 独具匠心.最后结合圆锥曲线最原始的定义, 返璞归真.本题的解决必须具有良好的空间想象能力与化归能力, 是一个着眼基础、提升能力、让人耳目一新的深入考查学生思维能力的上乘之作.

2 利用解析几何中曲线的定义

把立体几何中的轨迹问题转化成解析几何中曲线的定义加以求解, 其实就是解析几何中曲线的定义的平面的立体化, , 通过对解析几何中曲线定义的深刻理解达到解答立体几何中轨迹问题的目的.

例2 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, P是侧面BB1C1C内一动点, 若P到直线BC与直线C1D1的距离相等, 则动点P的轨迹所在的曲线是 ( ) .

(A) 直线 (B) 圆

(C) 双曲线 (D) 抛物线

分析 由C1D1⊥平面BB1C1C, 得PC1⊥C1D1, 所以PC1就是点P到直线C1D1的距离, 因此条件转化为点P到BC的距离等于点P到点C1的距离.根据抛物线的定义, 点P的轨迹所在的曲线是抛物线.选D.

评注 本题以立体几何知识为载体, 考查了圆锥曲线的概念等基础知识, 将抛物线的动态定义寓于正方体之中, 体现了知识间的内在联系和整合应用.

3 空间关系转化为平面关系

把立体几何中轨迹问题的特征转化成解析几何中图形的基本特征, 利用解析几何中图形的特征和立体几何本身的性质把立体几何中的轨迹问题求解出来.

例3 在四棱锥P-ABCD中, AD⊥平面PAB, BC⊥平面PAB, 底面ABCD为梯形, AD=4, BC=8, AB=6, ∠APD=∠CPB.满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是 ( ) .

(A) 圆 (B) 不完整的圆

(C) 抛物线 (D) 抛物线的一部分

分析 因为AD⊥平面PAB, BC⊥平面PAB, 所以AD//BC, 且

∠DAP=∠CBP=90°.

又 ∠APD=∠CPB, AD=4, BC=8,

得$\tan \angle A{\rm P}D=\frac{AD}{{\rm P}A}=\frac{CB}{{\rm P}B}=\tan \angle C{\rm P}B$,

即$\frac{{\rm P}B}{{\rm P}A}=\frac{CB}{AD}=2.$

在平面PAB内, 以AB所在直线为x轴, AB中点为坐标原点, 建立平面直角坐标系, 设点P (x, y) , 则

$\begin{array}{l}A(-3‚0)‚B(3‚0).\\ \frac{|{\rm P}B|}{|{\rm P}A|}=\frac{\sqrt{(x-3){}^2+y{}^2}}{\sqrt{(x+3){}^2+y{}^2}}=2‚\end{array}$

整理得 x2+y2+10x+9=0.

故选A.

评注 根据题目信息, 利用空间几何性质, 把立体几何问题转化到平面上, 再利用解析几何的方法探求轨迹是本题的闪光之处.

4 利用空间直角坐标系

利用数与形相结合的解析几何的方法来研究空间轨迹, 把立体问题平面化来简化问题, 从而为我们用平面解析几何的方法来研究空间问题提供方便, 而空间向量的应用以及空间坐标系的使用对于立体几何问题的解决也引入了解析的方法, 把空间问题平面化, 正是空间解析法中的重要应用.

例4 如图3, 正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为1, 点P是平面AC内的动点.若点P到直线A1D1的距离等于点P到直线CD的距离, 则动点P的轨迹所在的曲线是 ( ) .

(A) 抛物线

(B) 双曲线

(C) 椭圆

(D) 直线

分析 如图3, 以A为原点, AB所在的直线为x轴, AD所在的直线为y轴, 建立平面直角坐标系.设P (x, y) , 作PE⊥AD于E, DF⊥A1D1于F, 连接EF, 易知

|PF|2=|PE|2+|EF|2=x2+1.

又作PN⊥CD于N, 则|PN|=|y-1|.

依题意得|PF|=|PN|, 即

$\sqrt{x{}^2+1}=|y-1|.$

化简得 x2-y2+2y=0.

故选B.

评注 将立体几何与解析几何中的圆锥曲线巧妙地整合在一起, 相互交汇和渗透, 有利于培养学生运用多学科知识解决问题的能力.

5 利用平面几何的有关性质

对于轨迹的处理, 学生最熟悉的还是在某个平面内的问题.因此把空间问题平面化, 利用平面几何的有关性质来解决问题, 也是一种值得注重的方法.

例5 若三棱锥A-BCD的侧面ABC内一动点P到底面BCD的距离与棱AB的距离相等, 则动点P的轨迹与三角形ABC组成的图形可能是__.

评注 本题把所有的关系都转化到三角形ABC所在的平面内来考虑是解题的突破口, 而画出正确的图形更需要利用平面几何的性质.从本题可以看出, 平面几何的有关性质, 在求解空间轨迹问题中, 的确能起到很大的作用.充分利用平面几何的有关性质, 不仅能发现规律、找到解题途径, 还能加深对数学思想方法的理解.

需要指出的是以上几种策略、方法不是孤立的, 而是互相联系、互相渗透的.从以上解决问题的过程中可以看到, 其一般方法不外乎是将立体几何问题平面化, 将平面问题解析化, 其中空间关系向平面关系的转化是最根本的方法, 它贯串整个解决问题的过程.

平面解析几何与立体几何都是高中数学的重点内容.平面解析几何的本质是用代数方法研究平面图形的性质;而立体几何更多的是研究空间中的点线面的位置关系及其性质.在现行高中数学新课程标准中, 立体几何与平面解析几何已经作为几何模块出现在数学必修内容之中.对这两门几何学科的学习研究, 并将其内容加以综合运用, 是目前我们面临的一项研究课题.本文上述研究的空间的动点的轨迹问题, 就是两种几何结合的典型例子.在以后我们的教学过程中可以选择适当的内容和学生一起研究此类问题.这样的研究不仅可以使学生复习、巩固解析几何中研究轨迹问题的方法, 更重要的是可以对空间的点线面的关系进行动态的回顾, 提高学生探究、解决问题的能力.

参考文献

[1]王勇.探求以空间图形为背景的轨迹问题[J].数学通报, 2004, (9) .