立体几何中点的轨迹问题

点的轨迹问题是平面解析几何中的一个重要内容, 对于大多数学生来讲都是很难解决的, 如果把问题与立体几何结合即探求空间某点的轨迹, 可以说是难上加难!在此本文仅以几个例子说明空间点的轨迹问题的解决方法, 以期能抛砖引玉, 给广大学生一些启示。

一、动点在几何体的某个面上

如果动点在几何体的某个面上, 则它的轨迹就与平面解析几何中的轨迹问题相同, 就可能是直线和圆锥曲线等, 不过往往是其中的一部分而已。

例1.动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的ABB1A1面上, 且PB=PB1, 则P点的轨迹是线段BB1的垂直平分线。

例2.如图A B C D为直角梯形, ∠ABC=90°, AD⊥面PAB, AD=4, BC=8, ∠APD=∠BPC, 求P点的轨迹。

例3.如图正方体中, 点P在面A1B上, 满足P到A1D1和P到BB1的距离相等。求点P的轨迹。

解析:P到A1D1的距离就是P到点A1到距离, 在平面A1B上, 动点P到定点A1的距离等于它到定直线BB1的距离, 由抛物线的定义知P点的轨迹是抛物线的一部分。

例4.如图所示, 正三棱锥V—ABC中, 点P在侧面VAB上, 且点到底面ABC的距离等于它到顶点V的距离, 求P点轨迹。

解析:作PG⊥AB于G, PF⊥于ABC于F, 连接FG, 则∠PGF是二面角V—AB—C的平面角, 由题设知VP=PF,

而sin∠PGF是一个小于1的正常数, 即动点P到定点V和到定直线AB的距离之比为一个小于1的正常数, 所以P点的轨迹是椭圆的一部分。

二、动点为空间中的动点

动点为空间的点, 它的轨迹就可能是直线、平面或曲面, 在中学最大的可能是球面, 例如到正方体相连三个面的距离都相等的点的轨迹就是正方体的对角线;到空间两点距离相等的点构成一个平面;在平面同侧且到平面距离相等的点在一个与已知平面平行的平面上;到一条直线的距离相等的点构成一个圆柱面;当然, 到一定点距离为定值的点构成一个球面, 等等。

例5.在正方体ABCD—EFGH中, 棱长为2, M在DH上, N在面ABCD上, MN=2, P点为MN的中点, 求P点的轨迹与正方体的面围成的几何体的体积。

解析:连结D N, 则三角形M D N为直角三角形, 于是即点P到定点D的距离为定值1, 所以P点的轨迹是一个球, 此球面与正方体围成的部分只有球的所以所求体积

小结:

空间中点的轨迹问题的解决, 需要我们对解析几何中的轨迹问题有很牢固的基础, 同时还考查了学生的观察能力和空间想象能力, 需要学生仔细寻找动点与定点或定直线之间的关系。考试中题目一般出现在选择或填空题之中, 不是很难解决, 但由于它综合了解几和立几两部分的内容, 大家应该引起注意, 多多关注一下!