有关轨迹问题的探讨及在高考中的应用

有关轨迹问题我们并不陌生, 掌握一定的轨迹知识, 在生产和生活中都是必要的。解决轨迹问题能全面考察学生的数学能力和数学思想, 它有是历年来高考的热点。轨迹问题由于常处在复杂多变的意境中, 求解时计算量大, 许多学生由于对解决这类问题不懂章法, 从而陷入思维混乱的状态, 绕了一大圈仍无法解决问题。所以要顺利解决轨迹问题, 不仅要熟悉有关轨迹的基础知识, 还需要灵活运用这些知识。做题时要冷静分析, 找出动点的个性特征, 对症下药, 这样我们就一定能得到正确和圆满的结果。以下将分类讨论有关的轨迹问题, 并拓展到如何用向量求解。

1 转移法求解

此类问题比较普遍, 题中涉及多个动点, 当其中一个动点 (称为主动点) 在已知轨迹上运动时, 求与之相应的另一动点 (称为从动点) 的轨迹方程。解题关键是用从动点坐标 (看作已知) 表示出主动点的坐标, 然后代入它所在的轨迹方程。

例1:已知椭圆, 直线L:, P是L上一点, 射线OP交椭圆于点R, 又点Q在OP上且满足|OQ||OP|=|OR|2, 当P点在直线L上移动时, 求点Q的轨迹方程 (如图1) 。

2 交轨法求解

此类问题也有明显标志, 所求动点是两个动态轨迹的交点。审题时要深入分析两个动点的轨迹的动因, 合理引进参数, 化动为静, 求出两条轨迹方程, 通过联立方程消去参数, 即得所求动点的轨迹方程。

例2:如图, 设点A和B为抛物线y 2=4 p x>0) 上原点外的两个动点, 已知, 求点M的轨迹方程, 并说明它表示什么曲线 (如图2) 。

又A B的方程为:

将 (1) 、 (3) 代入 (2) 消去t1+t2和t1t2得点M的轨迹方程:

即所求轨迹是以 (2p, 0) 为圆心, 2p为半径的圆 (原点除外) 。

本文以上论述了有关轨迹问题的基础知识及求解轨迹问题的若干方法, 并结合新增内容向量的有关知识, 对轨迹知识作了进一步阐述, 相信在以后的学习中, 我们会有更深的研究。

摘要：本文首先论述了有关轨迹问题的基础知识, 剖析了解析几何中常见的轨迹问题, 特别注意其在高考中的应用, 并作了相应的归纳。

关键词：轨迹问题,参数,向量,空间动点

参考文献

[1] 朱德祥.初等几何研究[M].高等教育出版社, 1985.

[2] 孟利忠.解高考轨迹问题六法[M].中学数学研究, 2004 (11～12) .

[3] 蒋家明.减少解几轨迹题计算量的几个对策[M].中学数学研究, 2003 (8) .

[4] 聂文喜.轨迹问题的向量解法[M].中学数学研究, 2004 (6) .