二次根式最值问题习题

二次根式最值问题习题（通用12篇）

篇1：二次根式最值问题习题

二次根式

复习题

二次根式

四种运算

加、减、乘、除

三个概念

两个公式

两个性质

二次根式

最简二次根式

同类二次根式

一．性质

1.当x满足条件

时，式子在实数范围内有意义。

当x

_________时,有意义;当x_______时,有意义

2.当x________时，式子有意义；假设式子有意义，那么x的取值范围是____。

3．以下二次根式有意义的范围为x≥3的是〔

〕。

(A)

(B)

(C)

(D)

4.当－1≤x≤1时，在实数范围内有意义的式子是〔

〕

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

二.化简

=；

=；

=

；=；

=；

=

；＝

；=。

1.假设，那么

；当a＜0时，化简=。

2.－1a0，化简：－=

.3.假设最简根式与是同类二次根式，那么x＝

．

4.假设最简二次根式与是同类根式，那么x=______，y=________

5.设a,b,c为三角形ABC的三边长,6．以下各式中，是最简二次根式的是〔

〕。

(A)

(B)

(C)

(D)

7．假设数轴上表示数a的点在原点的左边，那么化简的结果是〔

〕

A．

3a

B.—3a

C.a

D.8．当x<0时，那么的化简结果是〔

〕

Ａ．－x

B．－x

C．x

Ｄ．x

三.计算

〔1〕·

〔2〕

〔3〕÷

〔4〕(2+3)

〔5〕

〔6〕4－(－)

〔7〕

四.应用

1.用长3cm，宽2.5cm的邮票30枚刚好可以摆成一个正方形，这个正方形的边长是多少？

2.设实数a,b，c在数轴上的位置如下图，试化简：

＋+

3.观察以下分母有理化的运算：

=－1+，=－+，=－+…

从上面的计算结果找出规律，并利用这一规律计算：

〔+++…+

+〕·〔1+〕

篇2：二次根式最值问题习题

【1】根式相加

(1)275-483 (2)32+20.5-20+1345

(3)32x-128x+x21x+x3 (4)x3y-xy3-x2yx (x<0)

【2】根式乘除

(1)23×6 (2)7÷14 (3)35÷12

(4)3ab×23b (5)-34x×61x2 (6)12xy÷(721y)

【3】分母有理化

(1)53 (2)720 (3)2x9y (4)642+10 (5)a-ba-b

【4】混合运算

(1)(2-3)(2+5) (2)(10-23)(10+23) (3)(3-7)2

(4)45+15-1 (5)1x+x2+2-1x-x2+2

【测试训练】

一、填空题

1.计算:23×6=_________.30×115=__________.312×42=_________.

2.计算:217=__________.1226=__________.2632=__________.7.50.15=__________.

3.计算:151000-1025=__________.(22-36)2=___________.

(15+25)5=__________.

4.化简:16+5=__________.22-3=__________.7+57-5=__________.

5.计算:17÷325×35=__________.6223÷(-2334)=__________.

6.计算:(8-212+18)×16=__________.

(210-18)÷22=__________.

7.计算:3416a+139a=__________.3a9+524a=__________.

8.计算:x24x+6xx9-2x21x=__________.y2xy-2y2xy3(y>0)=__________.

9.计算:1b-aa2-2ab+b2=____________.

10.解不等式:-6(2x-3)>3x-2,知__________.

二、选择题

11.下列等式成立的个数为( ).

①ab=ab(a≤0,b≤0). ②a2+b2=a+b.

③914=312. ④mam=am(m<0)

(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个

12. 45,72,53的大小关系是( ).

(A)72>53>45 (B)45>53>72

(C)45>72>53 (D)72>45>53

三、解答题

13.计算:43.5-(56+227)-313

14.计算:a1a-4b-129a-2b1b

15.已知x=5-35+3,y=5+35-3,求3x2-5xy+3y2的`值.

篇3：二次根式最值问题习题

《新课标》强调:数学基础知识、基本技能、基本的数学思想方法和基本的活动经验是数学学科的根本.然而数学思想方法是解决数学问题的灵魂, 是形成数学能力、数学意识的桥梁, 是灵活运用数学知识、技能的关键.在解决数学问题时, 尤其需要用数学思想方法来统帅, 去探求解题思路, 优化解题过程.下面就数学思想方法在二次根式解题过程中灵活运用举例如下, 与同仁磋商.

一、“整体”代入思想

例1 已知$x-y=2\sqrt{5},xy=\sqrt{5}$, 求 (x+1) (y-1) 的值.

解析 由于 (x+1) (y-1) =xy- (x-y) -1,

把$x-y=2\sqrt{5},xy=\sqrt{5}$代入其中, 得

原式$=\sqrt{5}-2\sqrt{5}-1=-\sqrt{5}-1.$

简评 以学生当前所学知识, 依据条件求x, y的值很困难.即便能求得x, y的值, 再代入求值, 过程也相当繁琐.这道题解法把条件看成整体代入求解, 体现整体的数学思想.

二、方程思想

例2 如果$(x-1){}^2+\sqrt{x+y-4}=0$, 求x+yx的值.

解析$\because (x-1){}^2\ge 0‚\sqrt{x+y-4}\ge 0$,

$\begin{array}{l}\text{且}(x-1){}^2+\sqrt{x+y-4}=0‚\\ \therefore (x-1){}^2=0‚\sqrt{x+y-4}=0‚\\ \therefore x-1=0,x+y-4=0‚\end{array}$

解得x=1, y=3.

∴x+yx=1+31=4.

简评:几个非负数的和为零时, 则每一个非负数均为零, 从而可以把多元问题转化为几个方程 (组) 求解, 体现了方程的数学思想.

三、数形结合思想

例3 已知a, b, c三个数在数轴上对应点如图所示, 求$|c-b|-|a-c|+\sqrt{(b+c){}^2}$的值.

解析 由数轴可知:

b>a>0, c<0, c-b<0, a-c>0, b+c>0.

∴原式=|c-b|-|a-c|+|b+c|=b-c- (a-c) +b+c=b-c-a+c+b+c=2b-a+c.

简评 这道题数轴中隐含着解题所需要的信息, 需要我们细心挖掘, 体现了数形结合的数学思想.

四、分类讨论思想

例4 已知xy=3, 求$x\sqrt{\frac{y}{x}}+y\sqrt{\frac{x}{y}}$的值.

解析 ∵xy=3, ∴x, y同号.

(1) 当x>0, y>0时,

原式$=\sqrt{xy}+\sqrt{xy}=2\sqrt{xy}=2\sqrt{3}.$

(2) 当x<0, y<0时,

原式$=-\sqrt{xy}-\sqrt{xy}=-2\sqrt{xy}=-2\sqrt{3}.$

简评 这道题由条件可知解题所需信息x, y同号, 从而我们分类讨论预以解答, 体现了分类讨论的数学思想.

五、转化思想

例5 定义运算“*”的运算法则为$a*b=\sqrt{a{}^2+b}(b\ge 0)$, 则 (3*6) *8=____.

$\begin{array}{l}\text{解}\text{析}\because 3*6=\sqrt{3{}^2+6}=\sqrt{15}‚\\ \therefore (3*6)*8=\sqrt{15}*8=\sqrt{(\sqrt{15}){}^2+8}=\sqrt{23}.\end{array}$

简评 这道题通过定义新运算, 把陌生的求值问题转化为我们所熟悉的数学知识来解决, 体现了转化的数学思想.

六、不等式思想

例6 计算$\sqrt{a+4}-\sqrt{9-2a}+\sqrt{1+3a}+\sqrt{-a{}^2}.$

解析$\because \sqrt{a+4}‚\sqrt{9-2a}‚\sqrt{1+3a}‚\sqrt{-a{}^2}$都是二次根式,

∴a+4≥0, 9-2a≥0, 1+3a≥0, -a2≥0.

∴a=0.

∴原式$=\sqrt{4}-\sqrt{9}+\sqrt{1}+\sqrt{0}=2-3+1+0=0.$

简评 这道题属于二次根式的计算, 隐含着被开方数是非负数这一条件, 依据这一条件, 可以将这个问题转化为不等式 (组) 问题, 从而得到a的值进行求解.体现了不等式的数学思想.

篇4：二次根式最值问题习题

一、方程思想

例1 （2013年四川省攀枝花市中考题）已知实数x，y，m满足■

+|3x+y+m|=0，且y为负数，则m的取值范围是（ ）

A.m>6 B.m<6 C.m>-6 D.m<-6

解析 由二次根式、绝对值的非负性，结合非负数的性质可知，■=0，

|3x+y+m|=0。

即x+2=0，3x+y+m=0。

解得x=-2，y=6-m。

因为y为负数，则有6-m<0，解得m>6。故答案选A。

点评 本题利用二次根式的非负性和非负数的性质，通过列方程（组）来解决问题。非负数（如绝对值、偶次方、算术平方根）是具有特殊性质的数，如果一个等式中有两个未知数，利用非负数的性质构造方程（组）求出未知数是一种常用的解题策略。

二、类比思想

例2 （1）（2013年内蒙古自治区包头市中考题）计算■-3■+■=_____；

（2）（2013年湖北省荆州市中考题）计算4■+3■-■的结果是（ ）

A.■+■ B.■ C.■ D.■-■

解析 先把二次根式化简为最简二次根式，再合并同类项进行计算。

（1）原式=2■-■+■=■；

（2）原式=2■+■-2■=■，故答案选B。

点评 二次根式的加减运算可以类比整式加减中的合并同类项来进行，二次根式的加减运算就是合并同类二次根式。必须注意，只有同类二次根式才能合并，不是同类二次根式的不可以合并，其结果可以不含二次根式。根据二次根式的性质，正确化简各二次根式是顺利进行二次根式加减运算的有力保证。

三、整体思想

例3 （2013年四川省德阳市中考题）若■+b2-2b+1=0，则

a2+■-|b|=______。

解析 先利用非负数的性质可知，a2-3a+1=0和b2-2b+1=0，由此求出

a+■和b的值，然后利用完全平方公式求出结果。

因为■+b2-2b+1=0，所以■+（b-1）2=0。所以a2-3a+1=0且b=1，所以a-3+■=0，即a+■=3，所以■=32，化简得 a2+■=7，所以a2+■-|b|=7-1=6。

点评 在处理问题时，从整体角度思考，即将局部放在整体中去观察分析，往往可简捷巧妙地解决问题。

四、分类思想

例4 （2013年广东省珠海市中考题）阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+2■=（1+■）2。善于思考的小明进行了以下探索：

设a+b■=（m+n■）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b■=m2+2n2+2mn■。

所以a=m2+2n2，b=2mn。这样小明就找到了一种把类似a+b■的式子化为平方式的方法。

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b■=（m+n■）2，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a=____，b=____；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：____+____■=（____+____■）2；

（3）若a+4■=（m+n■）2，且a、m、n均为正整数，求a的值。

解析 （1）根据完全平方公式运算法则，可得出a、b的表达式。因为a+b■=（m+n■）2，所以a+b■=m2+3n2+2mn■，所以a=m2+3n2，b=2mn；

（2）设m=1，n=1，所以a=m2+3n2=4，b=2mn=2。故答案分别为4、2、1、1；

（3）由题意得，a=m2+3n2，b=2mn。因为4=2mn，且m、n为正整数，所以m=2，n=1或者m=1，n=2，所以a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13。

篇5：二次根式最值问题习题

五、小结

本节课你有哪些收获？还有什么要提醒同学们注意的。（学生总结，百花齐放，老师不做限定，没说到的，老师补充。）

六、布置作业

篇6：二次根式最值问题习题

五、小结

本节课你有哪些收获?还有什么要提醒同学们注意的。(学生总结，百花齐放，老师不做限定，没说到的，老师补充。)

六、布置作业

篇7：二次函数最值问题例谈

一、销售利润问题

例1 (2007年 贵州贵阳) 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果, 物价部门规定每箱售价不得高于55元, 市场调查发现, 若每箱以50元的价格调查, 平均每天销售90箱, 价值每提高1元, 平均每天少销售3箱。

(1) 求平均每天销售量y (箱) 与销售价x (元/箱) 之间的函数关系式;

(2) 求该批发商平均每天的销售利润w (元) 与销售价x (元/箱) 之间的函数关系式;

(3) 当每箱苹果的销售价为多少元时, 可以获得最大利润?最大利润是多少?

解: (1) y=90-3 (x-50) 化简得:y=-3x+240.

(2) w= (x-40) (-3x+240) =-3x2+360x-9600.

(3) w=-3x2+360x-9600.

∵a<0, ∴其图像抛物线开口向下.

当undefined时, w有最大值。

又∵x<60, w随x的增大而增大,

∴当x=55元时, w的最大值为1125.

∴当每箱苹果的销售价为55元时, 可以获得1125元的最大利润。

二、几何面积问题

例2 (2007年 福建龙岩) 如图1所示, 在△ABC中, ∠A=90°, AB=4, AC=3.M是边AB上的动点 (M不与A, B重合) , MN//BC交AC于点N, △AMN关于MN的对称图形是△PMN, 设AM=x.

(1) 用含x的式子表示△AMN的面积 (不必写出过程) ;

(2) 当x为何值时, 点P恰好落在BC上;

(3) 在动点M的运动过程中, 记△PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y, 试求y关于x的函数关系式;并求x为何值时, 重叠部分的面积最大, 最大面积是多少?

解:undefined;

(2) 如图4所示, 由轴对称性质知:

AM=PM, ∠1=∠2.

又∵MN//BC,

∴∠2=∠3, ∠1=∠B.

∴∠B=∠3.

∴AM=PM=BM.

∴点M是AB中点,

即当undefined时, 点P恰好落在边BC上。

(3) 以下分两种情况讨论:

第一种情况:

当0

当2

由 (2) 知ME=MB=4-x.

∴PE=PM-ME.

=x- (4-x) =2x-4.

undefined

第二种情况:

∵当0

∴易知undefined

又∵当2

undefined

∴当undefined时 (符合2

综上所述, 当undefined时, 重叠部分的面积最大, 其值为2.

备注:在求函数关系式时要分情况讨论。

三、动点题

例3 (2007年 山东济南) 已知:如图6直角梯形ABCD中 , undefined

(1) 求梯形ABCD的面积;

(2) 点E, F分别是BC, CD上的动点, 点E从点B出发向点C运动, 点F从点C出发点D运动, 若两点均以每秒1个单位的速度同时出发, 连接EF, 求△EFC面积的最大值, 并说明此时E, F的位置。

解: (1) 如图7, 过点D作DM⊥BC, 垂足为M,

在Rt△DMC中,

undefined

undefined

(2) 设运动时间为 x秒,

则有 BE=CF=x, EC=10-x,

过点F作FN⊥BC, 垂点为N,

undefined

当undefined时,

undefined

即△EFC面积的最大值为10, 此时点E, F分别在BC、CD的中点处。

篇8：二次函数的最值问题研究

一、 定轴动区间

点评：通过以上两个例题发现：区间的长度不变，但由于区间位置的移动，影响二次函数的最值.那为什么求最值有时分三种情况讨论，有时候分两种情况讨论呢？通过观察发现：二次函数的最值总是在区间的端点或二次函数的顶点取到.在例1中，二次函数开口向上，最值在两个端点或函数顶点都可能取到，所以分三种情况讨论；而在例2中，最大值不可能在函数顶点时取得，只有可能在两个端点处取得，所以通过端点与区间中点距离的远近分两种情况来讨论.

点评：在例4中，是二次函数的开口方向和对称轴都在变化，区间不变的最值问题；在例5中，先转化为分段函数，两题都是再根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论即可.在求最值时，分类是关键，结合图形去确定最值比较直观，但对学生的画图能力要求较高.在求二次函数动轴定区间的最值问题时，本质还是研究对称轴与区间的位置关系.

三、 动轴动区间

反思：本题是变轴变区间的类型，仍然从轴与区间的位置关系入手展开讨论.

通过以上几个例题，对于可化为二次函数在某区间上的最值问题，基本分为动轴定区间、定轴动区间以及动轴动区间，三种题型解题思路都可以从二次函数的开口方向，对称轴与区间的位置关系来进行讨论.讨论时要理清思路，必要时画出草图，借助数形结合，可以清晰地进行分类并解决问题.

篇9：二次函数最值问题及其解决方法

一、分类举例

1.轴定区间定问题

【例1】求二次函数f (x) =x2-2x-3在以下区间上的最值.

(1) x∈[-2, 0]; (2) x∈[0, 3]; (3) x∈[2, 4].

分析:f (x) = (x-1) 2-4.

1若对称轴在给定区间的右侧或左侧, 此时函数在该区间上是单调函数, 最大值和最小值分别在区间端点处取得, 比如本题的 (1) (3) 小题;

2若对称轴穿过区间, 此时函数在该区间上先减后增, 最小值在对称轴处取得.而最大值在端点处取得.此时只需计算哪个端点处的函数值较大即可, 或比较哪个端点距离对称轴较远 (端点离对称轴越远, 函数值越大) 即可, 比如本题的 (2) 小题;

3函数的最大、最小值只在区间的端点或对称轴处取得.

2.轴定区间变问题

【例2】求二次函数f (x) =x2-2x-3在区间[t, t+2]上的值域.

分析:随着区间位置的改变, 对称轴和 区间的相 对位置对函数值域的影响便一目了然了.

1当对称轴位于区间的左侧, 即t≥1时, 函数f (x) 在区间[t, t+2]上为增函 数, 此时f (x) 的取值范 围是f (t) ≤f (x) ≤f (t+2) ;

2当对称轴位于左半区间, 即t≤1≤t+1时, 函数f (x) 在区间[t, t+2]上是先减后增, 右端点t+2距离对称轴较远, 此时f (x) 的取值范围是f (1) ≤f (x) ≤f (t+2) ;

3当对称轴位于右半区间, 即t+1≤1≤t+2时, 函数f (x) 在区间[t, t+2]上也是先减后增, 此时是左端点t距离对称轴较远, 所以f (x) 的取值范围是f (1) ≤f (x) ≤f (t) ;

4当对称轴位于区间的右侧, 即t+2≤1时, 函数f (x) 在区间[t, t+2]上为减函数, 此时f (x) 的取值范围是f (t+2) ≤f (x) ≤f (t) .

部分学生可能只讨论了三种情况, 将2 3合并, 这是出错的主要原因.

3.轴变区间定问题

【例3】求函数f (x) =x2-2mx+2在区间[-1, 1]上的值域.

分析:对称轴x=m可改变, 对称轴与区间[-1, 1]的相对位置也是变化的, 仿照例2可以求出函数的值域.

1当对称轴 位于区间 的左侧, 即m≤ -1时, 有f (-1) ≤f (x) ≤f (1) ;

2当对称轴 位于左半 区间, 即 -1≤m≤0时, 有f (m) ≤f (x) ≤f (1) ;

3当对称轴位于右半区间, 即0≤m≤1时, 有f (m) ≤f (x) ≤f (-1) ;

4当对称轴位于区间的右侧, 即m≥1时, 有f (1) ≤f (x) ≤f (-1) .

4.轴变区间变问题

【例4】求函数f (x) =x2-2mx+2在区间[a, b]上的值域.

分析:还是同前面的例子相同的讨论.

1当对称轴 位于区间 的左侧, 即当m<a时, 有f (a) ≤f (x) ≤f (b) ;

2当对称轴位于 左半区间, 即a≤m≤a+b/2时, 有f (m) ≤f (x) ≤f (b) ;

3当对称轴位于 右半区间, 即a+b/2≤m≤b时, 有f (m) ≤f (x) ≤f (a) ;

4当对称轴位于区间的右侧, 即m>b时, 有f (b) ≤f (x) ≤f (a) .

二、求二次函数值域的方法和技巧

要求二次函数f (x) =ax2+bx+c (a≠0) 在指定区间[m, n]上的值域, 归根结底是要求出函数在这个区域上的最大值和最小值, 而求函数在这个区间上的最值关键是看函数的对称轴x=-b/2a是否落在指定区间[m, n]内.

1当对称轴落在区间内, 即m≤-b/2a≤n时, 函数的值域为[min (f (-b/2a) , f (m) , f (n) ) , max (f (-b/2a) , f (m) , f (n) ) ].

2当对称轴落在区间外, 即-b/2a<n或-b/2a>m时函数的值域为[min (f (m) , f (n) ) , max (f (m) , f (n) ) ].

篇10：二次函数最值问题及其解决方法

一、分类举例

1.轴定区间定问题

【例1】 求二次函数f（x）=x2-2x-3在以下区间上的最值.

（1）x∈[-2，0]；（2）x∈[0，3]；（3）x∈[2，4].

分析： f（x）=（x-1）2-4.

①若对称轴在给定区间的右侧或左侧，此时函数在该区间上是单调函数，最大值和最小值分别在区间端点处取得，比如本题的（1）（3）小题；

②若对称轴穿过区间，此时函数在该区间上先减后增，最小值在对称轴处取得.而最大值在端点处取得.此时只需计算哪个端点处的函数值较大即可，或比较哪个端点距离对称轴较远（端点离对称轴越远，函数值越大）即可，比如本题的（2）小题；

③函数的最大、最小值只在区间的端点或对称轴处取得.

2.轴定区间变问题

【例2】 求二次函数f（x）=x2-2x-3在区间[t，t+2]上的值域.

分析：随着区间位置的改变，对称轴和区间的相对位置对函数值域的影响便一目了然了.

①当对称轴位于区间的左侧，即t≥1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上为增函数，此时f（x）的取值范围是f（t）≤f（x）≤f（t+2）；

②当对称轴位于左半区间，即t≤1≤t+1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上是先减后增，右端点t+2距离对称轴较远，此时f（x）的取值范围是f（1）≤f（x）≤f（t+2）；

③当对称轴位于右半区间，即t+1≤1≤t+2时，函数f（x）在区间[t，t+2]上也是先减后增，此时是左端点t距离对称轴较远，所以f（x）的取值范围是f（1）≤f（x）≤f（t）；

④当对称轴位于区间的右侧，即t+2≤1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上为减函数，此时f（x）的取值范围是f（t+2）≤f（x）≤f（t）.

部分学生可能只讨论了三种情况，将②③合并，这是出错的主要原因.

3.轴变区间定问题

【例3】 求函数f（x）=x2-2mx+2在区间[-1，1]上的值域.

分析：对称轴x=m可改变，对称轴与区间[-1，1]的相对位置也是变化的，仿照例2可以求出函数的值域.

①当对称轴位于区间的左侧，即m≤-1时，有f（-1）≤f（x）≤f（1）；

②当对称轴位于左半区间，即-1≤m≤0时，有f（m）≤f（x）≤f（1）；

③当对称轴位于右半区间，即0≤m≤1时，有f（m）≤f（x）≤f（-1）；

④当对称轴位于区间的右侧，即m≥1时，有f（1）≤f（x）≤f（-1）.

4.轴变区间变问题

【例4】 求函数f（x）=x2-2mx+2在区间[a，b]上的值域.

分析：还是同前面的例子相同的讨论.

①当对称轴位于区间的左侧，即当m

②当对称轴位于左半区间，即a≤m≤

学生在初中阶段接触最多的，而且觉得比较难以理解的函数便是二次函数.为了使学生更好地理解函数的单调性的作用，笔者补充了一节关于求二次函数最值问题的探究性的课.这节课一方面起到了扩充知识的作用，提高学生对知识的应用能力；另一方面培养学生的探究意识和数形结合的思想方法.

一、分类举例

1.轴定区间定问题

【例1】 求二次函数f（x）=x2-2x-3在以下区间上的最值.

（1）x∈[-2，0]；（2）x∈[0，3]；（3）x∈[2，4].

分析： f（x）=（x-1）2-4.

①若对称轴在给定区间的右侧或左侧，此时函数在该区间上是单调函数，最大值和最小值分别在区间端点处取得，比如本题的（1）（3）小题；

②若对称轴穿过区间，此时函数在该区间上先减后增，最小值在对称轴处取得.而最大值在端点处取得.此时只需计算哪个端点处的函数值较大即可，或比较哪个端点距离对称轴较远（端点离对称轴越远，函数值越大）即可，比如本题的（2）小题；

③函数的最大、最小值只在区间的端点或对称轴处取得.

2.轴定区间变问题

【例2】 求二次函数f（x）=x2-2x-3在区间[t，t+2]上的值域.

分析：随着区间位置的改变，对称轴和区间的相对位置对函数值域的影响便一目了然了.

①当对称轴位于区间的左侧，即t≥1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上为增函数，此时f（x）的取值范围是f（t）≤f（x）≤f（t+2）；

②当对称轴位于左半区间，即t≤1≤t+1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上是先减后增，右端点t+2距离对称轴较远，此时f（x）的取值范围是f（1）≤f（x）≤f（t+2）；

③当对称轴位于右半区间，即t+1≤1≤t+2时，函数f（x）在区间[t，t+2]上也是先减后增，此时是左端点t距离对称轴较远，所以f（x）的取值范围是f（1）≤f（x）≤f（t）；

④当对称轴位于区间的右侧，即t+2≤1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上为减函数，此时f（x）的取值范围是f（t+2）≤f（x）≤f（t）.

部分学生可能只讨论了三种情况，将②③合并，这是出错的主要原因.

3.轴变区间定问题

【例3】 求函数f（x）=x2-2mx+2在区间[-1，1]上的值域.

分析：对称轴x=m可改变，对称轴与区间[-1，1]的相对位置也是变化的，仿照例2可以求出函数的值域.

①当对称轴位于区间的左侧，即m≤-1时，有f（-1）≤f（x）≤f（1）；

②当对称轴位于左半区间，即-1≤m≤0时，有f（m）≤f（x）≤f（1）；

③当对称轴位于右半区间，即0≤m≤1时，有f（m）≤f（x）≤f（-1）；

④当对称轴位于区间的右侧，即m≥1时，有f（1）≤f（x）≤f（-1）.

4.轴变区间变问题

【例4】 求函数f（x）=x2-2mx+2在区间[a，b]上的值域.

分析：还是同前面的例子相同的讨论.

①当对称轴位于区间的左侧，即当m

②当对称轴位于左半区间，即a≤m≤

学生在初中阶段接触最多的，而且觉得比较难以理解的函数便是二次函数.为了使学生更好地理解函数的单调性的作用，笔者补充了一节关于求二次函数最值问题的探究性的课.这节课一方面起到了扩充知识的作用，提高学生对知识的应用能力；另一方面培养学生的探究意识和数形结合的思想方法.

一、分类举例

1.轴定区间定问题

【例1】 求二次函数f（x）=x2-2x-3在以下区间上的最值.

（1）x∈[-2，0]；（2）x∈[0，3]；（3）x∈[2，4].

分析： f（x）=（x-1）2-4.

①若对称轴在给定区间的右侧或左侧，此时函数在该区间上是单调函数，最大值和最小值分别在区间端点处取得，比如本题的（1）（3）小题；

②若对称轴穿过区间，此时函数在该区间上先减后增，最小值在对称轴处取得.而最大值在端点处取得.此时只需计算哪个端点处的函数值较大即可，或比较哪个端点距离对称轴较远（端点离对称轴越远，函数值越大）即可，比如本题的（2）小题；

③函数的最大、最小值只在区间的端点或对称轴处取得.

2.轴定区间变问题

【例2】 求二次函数f（x）=x2-2x-3在区间[t，t+2]上的值域.

分析：随着区间位置的改变，对称轴和区间的相对位置对函数值域的影响便一目了然了.

①当对称轴位于区间的左侧，即t≥1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上为增函数，此时f（x）的取值范围是f（t）≤f（x）≤f（t+2）；

②当对称轴位于左半区间，即t≤1≤t+1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上是先减后增，右端点t+2距离对称轴较远，此时f（x）的取值范围是f（1）≤f（x）≤f（t+2）；

③当对称轴位于右半区间，即t+1≤1≤t+2时，函数f（x）在区间[t，t+2]上也是先减后增，此时是左端点t距离对称轴较远，所以f（x）的取值范围是f（1）≤f（x）≤f（t）；

④当对称轴位于区间的右侧，即t+2≤1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上为减函数，此时f（x）的取值范围是f（t+2）≤f（x）≤f（t）.

部分学生可能只讨论了三种情况，将②③合并，这是出错的主要原因.

3.轴变区间定问题

【例3】 求函数f（x）=x2-2mx+2在区间[-1，1]上的值域.

分析：对称轴x=m可改变，对称轴与区间[-1，1]的相对位置也是变化的，仿照例2可以求出函数的值域.

①当对称轴位于区间的左侧，即m≤-1时，有f（-1）≤f（x）≤f（1）；

②当对称轴位于左半区间，即-1≤m≤0时，有f（m）≤f（x）≤f（1）；

③当对称轴位于右半区间，即0≤m≤1时，有f（m）≤f（x）≤f（-1）；

④当对称轴位于区间的右侧，即m≥1时，有f（1）≤f（x）≤f（-1）.

4.轴变区间变问题

【例4】 求函数f（x）=x2-2mx+2在区间[a，b]上的值域.

分析：还是同前面的例子相同的讨论.

①当对称轴位于区间的左侧，即当m

篇11：二次函数在闭区间上的最值问题

一、定轴定区间

例1.已知函数f (x) =2x2+x-3, 求f (x) 在[-1, 2]上的最值。

解析:这里f (x) 图象 (抛物线) 开口向上, 对称轴, 且, 故

评注:例1中函数的对称轴确定, 区间也确定, 因而最值也是确定的。求解的关键是判断图象的开口方向及对称轴的位置 (即对称轴在不在给定的区间内) 。

一般的, 二次函数f (x) =ax2+bx+c (a>0) 在闭区间[p, q]上的最值可能出现以下三种情况:

(1) 若则f (x) 在区间[p, q]上是增函数, 则

(3) 若则f (x) 在区间[p, q]上是减函数, 则

二、定轴动区间

例2.设函数f (x) =x2-2x-1在区间[t, t+1]上的最小值是g (t) , 求g (t) 的解析式。

解析:由题意, f (x) = (x-1) 2-2, 则:

(1) 当t>1时, f (x) 在[t, t+1]上是增函数, 故g (t) =f (x) min=f (t) =t2-2t-1。

(2) 当1∈[t, t+1], 即0≤t≤1时, g (t) =f (x) min=f (1) =-2。

(3) 当t+1<1, 即t<0时, f (x) 在[t, t+1]上是减函数, 故

评注:例2中函数的对称轴给定, 定义区间因含参数而位置不定, 故求解方法是依对称轴与区间的位置分三种情形讨论。

三、动轴定区间

例3.已知函数f (x) =x2+ax+3-a, 若x∈[-2, 2]时, f (x) ≥0恒成立, 求实数a的取值范围。

解析:本题即求在[-2, 2]上, f (x) 的最小值非负时实数a的取值范围。

由, 则讨论如下:

(1) 当, 即a>4时, f (x) 在[-2, 2]上是增函数, 则f (x) min=f (-2) =7-3a≥0, 得, 这与a>4矛盾, 舍去。

(2) 当-2≤-2a≤2, 即-4≤a≤4时, , 得-6≤a≤2, 从而可得-4≤a≤2。

(3) 当, 即a<-4时, f (x) 在[-2, 2]上是减函数, 则f (x) min=f (2) =7+a≥0, 得a≥-7, 又a<-4, 从而-7≤a<-4。

综上, 实数a的取值范围是[-7, 2]。

评注:例3中的函数区间确定, 而对称轴含参数不确定, 从而仍按对称轴与区间的三种位置关系讨论。

四、动轴动区间

例4.已知y2=4a (x-a) (a>0) , 求f (x) = (x-3) 2+y2的最小值。

解析:将y2=4a (x-a) 代入f (x) 中,

得f (x) = (x-3) 2+4a (x-a) =[x- (3-2a) ]2+12a-8a2, x∈[a, +∞)

(1) 当3-2a≥a, 即0<a≤1时, f (x) min=f (3-2a) =12a-8a2。

(2) 当3-2a<a, 即a>1时, f (x) min=f (a) = (a-3) 2。

评注:例4中的函数不定, 区间亦不定, 同样是按对称轴关于区间位置分情况讨论。

总之, 二次函数在闭区间上的最值, 受限于对称轴与区间的相对位置关系, 特别是其中的含参数最值问题, 注意“定”“动”结合, 合理突破, 所以, 分类讨论常常成为解决此类问题的通法。

摘要：二次函数 (fx) =ax2+bx+c (a≠0) 在闭区间[p, q]上的最值问题实质是利用函数的单调性, 就对称轴与区间的“定”“动”关系, 分类解析

篇12：浅谈二次函数与线段最值问题

关键词：二次函数；线段最值；转化；数形结合；基本图形；数学模型

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2016）24-109-1

初中二次函数的线段问题综合题中，涉及到的类型通常有：1.直接求线段的长或用含字母的式子表示线段的长；2.根据题中给出的线段关系求相应字母的值；3.求多边形周长、面积的最值。其中求三角形或四边形周长、面积的最值，一般要将其转化为求某线段长的最值或利用两点之间线段最短来求最值。

让学生理解并掌握在二次函数背景下借助基本图形研究線段最值问题的方法；在分析解决问题的过程中体会数形结合与转化等数学思想；在这过程中培养学生构建二次函数模型并借助基本图形解决最值问题的意识及能力是至关重要的。在此，笔者结合自身一些教学实践，就“二次函数与线段最值问题”方面，谈一谈自己的一些做法。

一、求竖直线段长的最值问题

这类问题通常是过抛物线上的一动点作x轴的垂线（或y轴的平行线），且与某直线相交于一点，以确定两点之间长度关系的形式出题。解决此类问题时，一般要将线段问题转化为点的坐标问题，根据抛物线和直线上点的横坐标相同，设这两点的横坐标，从而得到这两点的纵坐标，然后用含字母的式子表示两点间的线段长，特别是遇到线段最值问题时，一般要结合二次函数求最值的方法，将二次函数解析式配成顶点式或利用公式求最值。

具体图形如下图所示：“在题目中已知直线l：y=12x+1与x轴、y轴分别相交于点A和点C。抛物线y=-2x2-72x+1的图象交x轴于A、B两点（B在A右边），点P是直线AC上方的抛物线上一动点（不与A，C重合），设P点的横坐标为m，过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，求线段PQ的最大值。”

如何求线段PQ的最大值呢？首先要分析：如果想要线段PQ的最大值，必须明确P、Q两点的坐标，可以用含有m的式子表示P、Q两点的坐标，通过观察，容易发现P、Q两点的横坐标相同，说明线段PQ是一条竖直线段，然后再利用竖直线段长=y上-y下求得PQ=-2m2-4m，接着可以结合二次函数求最值的方法，将二次函数解析式配成顶点式PQ=-2（m+1）2+2，然后求得最大值为2。

二、求水平线段长的最值问题

若将上题的问题改为：过点P作x轴平行线交直线AC于N点，求线段PN的最大值呢？通过观察，容易发现P、N两点的纵坐标相同，说明线段PN是一条水平线段，可以利用水平线段长=x右-x左将PN用二次函数求最值的方法求得最大值为4。

值得探究的是水平线段PN的长与竖直线段PQ长有内在联系吗？过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，稍作思考就不难发现，tan∠PQN=tan∠OCA，所以PNPQ=OAOC=2；即PN=2PQ，从而容易求得线段PN的最大值为4。由此可知：求水平线段长的最值问题可转化为求竖直线段长的最值问题。

三、求斜线段长的最值问题

若将上题的问题改为：求P点到直线AC距离的最大值。同样的问题，斜线段PH的长与竖直线段PQ长有内在联系吗？过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，再由sin∠PQH=sin∠ACO可知PH=255PQ。

进而求得线段PQ的最大值为455。由此可知：求斜线段长的最值问题可转化为求竖直线段长的最值问题。

四、求三角形周长的最值问题

若将上题的问题改为：作PD⊥x轴于D点，交AC于Q点，作PH⊥AC于H点，求△PQH周长的最大值。显然，求三角形周长的最值问题可转化为求竖直线段长的最值问题。

五、求三角形面积的最值问题

这类求多边形面积问题通常转化为函数关系问题。解题技巧一般是过特殊点作x轴或y轴的垂线，将所求面积进行分割，再将面积问题转化为线段问题，构建函数模型，通过二次函数的增减性求得相应的最值。

若将上题的问题改为：连接PA，PC。求△PAC面积的最大值。过点P作y轴平行线交直线AC于Q点，故S△APC=S△APQ+S△QPC=12PQ·（xP-xA）+12PQ·（xC-xP）=12PQ·（xC-xA）=12PQ·OA，显然，求三角形面积的最值问题也可转化为求竖直线段长的最值问题。