代数式提升专题（通用6篇）
篇1：代数式提升专题
代数式专题
代数式概念
1．下列说法正确的是（）
A．2不是代数式
B．单项式是整式
C．多项式的常数项是﹣5
D．单项式3（x2+1）的系数是3
2．如图，在长为a，宽为b的长方形（其中a＞b＞＞0）中放置如图所示的两个相同的正方形，恰好构成三个形状、大小完全一样的小长方形（阴影部分），则放置的正方形的边长为（）
A．a
B．
C．
D．
3．如果设正方形纸的边长为acm，所折无盖长方体形盒子的高为hcm，用a与h来表示这个无盖长方体形盒子的容积是（）
A．（a﹣h）2•h
B．（a﹣2h）2•h
C．（a+h）2•h
D．（a+2h）2•h
4．数轴上点A，B分别表示数a，b，则A，B两点之间的距离可以表示为（）
A．a﹣b
B．b﹣a
C．|a﹣b|
D．a+b
5．按照如图所示的计算机程序计算，若开始输入的x值为2．第一次得到的结果为1，第二次得到的结果为4，…第2019次得到的结果为（）
A．1
B．2
C．3
D．4
6．按如图所示的运算程序，若输入x＝2，则输出的y值为（）
A．5
B．11
C．23
D．47
7．根据以下程序，当输入x＝﹣1时，输出结果为（）
A．﹣5
B．﹣1
C．0
D．3
8．按照如图的程序计算：如果输入y的值是正整数，输出结果是94，则满足条件的y值有（）
A．4
B．3
C．2
D．1
9．若m＝﹣2，则代数式m2+2m﹣1的值是（）
A．9
B．7
C．﹣1
D．﹣9
10．若2x2﹣x＝4，则代数式6+4x2﹣2x的值为（）
A．﹣2
B．2
C．10
D．14
11．按如图所示的运算程序，能使输出的结果为15的是（）
A．x＝﹣2，y＝3
B．x＝2，y＝﹣3
C．x＝﹣8，y＝3
D．x＝8，y＝﹣3
12．若x﹣3y的值是2，则3+2x﹣6y的值是（）
A．5
B．6
C．7
D．8
13．若单项式3x2m﹣1y5与单项式﹣5x3yn是同类项，则m，n的值分别为（）
A．3，5
B．2，3
C．2，5
D．3，﹣2
14．若﹣3xmy3和8x5yn是同类项，则它们的和是（）
A．5x10y6
B．﹣11x10y6
C．5x5y3
D．﹣11x5y6
15．如果单项式2x3y4与﹣2xay2b是同类项，那么a、b的值分别是（）
A．3，2
B．2，2
C．3，4
D．2，4
16．若单项式﹣3xnym与单项式4x4﹣nyn﹣1是同类项，则m+n的值是（）
A．2
B．3
C．4
D．5
17．计算a2+4a2的结果是（）
A．4a2
B．5a2
C．4a4
D．5a4
18．﹣3x2y+x2y结果为（）
A．﹣2x2y
B．2x2y
C．﹣2x4y2
D．2x4y2
19．若单项式xmy2与﹣2x3yn的和仍是单项式，则nm的值为（）
A．﹣8
B．﹣9
C．9
D．8
20．去括号2﹣（x﹣y）＝（）
A．2﹣x﹣y
B．2+x+y
C．2﹣x+y
D．2+x﹣y
21．下列各项去括号正确的是（）
A．﹣3（m+n）﹣mn＝﹣3m+3n﹣mn
B．﹣（5x﹣3y）+4（2xy﹣y2）＝﹣5x+3y+8xy﹣4y2
C．ab﹣5（﹣a+3）＝ab+5a﹣3
D．x2﹣2（2x﹣y+2）＝x2﹣4x﹣2y+4
22．若式子2mx2﹣2x+8﹣（3x2﹣nx）的值与x无关，mn（）
A．
B．
C．
D．
23．下列运算中“去括号”正确的是（）
A．a+（b﹣c）＝a﹣b﹣c
B．a﹣（b+c）＝a﹣b﹣c
C．m﹣2（p﹣q）＝m﹣2p+q
D．x2﹣（﹣x+y）＝x2+x+y
24．如图所示，如果用20米长的铝合金做一个长方形的窗框，设长方形窗框的三根横条长均为a米，则长方形窗框的竖条长均为
米（用含a的代数式表示）
25．已知x＝a时，多项式x2+6x+k2的值为﹣9，则x＝﹣a时，该多项式的值为
．
找规律专题
1．观察下列等式：
第一层
1+2＝3
第二层
4+5+6＝7+8
第三层
9+10+11+12＝13+14+15
第四层
16+17+18+19+20＝21+22+23+24
……
在上述的数字宝塔中，从上往下数，2018在（）
A．第42层
B．第43层
C．第44层
D．第45层
2．观察下列等式：1﹣＝，2﹣＝，3﹣＝，4﹣＝，……，根据你发现的规律，则第10个等式为（）
A．9﹣＝
B．11﹣＝
C．10﹣＝
D．10﹣＝
3．按一定规律排列的一列数依次是、1、、、、…按此规律，这列数中第100个数是（）
A．
B．
C．
D．
4．如图所示的运算程序中，若开始输入的x值为11，则第1次输出的结果为14，第2次输出的结果为7，…，第2019次输出的结果为（）
A．1
B．2
C．4
D．7
5．已知整数a1、a2、a3、a4、…满足下列条件：a1＝﹣1，a2＝﹣|a1+2|，a3＝﹣|a2+3|，a4＝﹣|a3+4|，…，an+1＝﹣|an+n+1|（n为正整数）依此类推，则a2019的值为（）
A．﹣1009
B．﹣1010
C．﹣2019
D．﹣2020
6．将正整数1至2019按一定规律排列如表：
平移表中带阴影的方框，则方框中五个数的和可以是（）
A．2010
B．2018
C．2019
D．2020．
7．观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，根据上述算式中的规律，猜想22018﹣2的末位数字应是（）
A．2
B．4
C．6
D．8
8．观察下列关于x的单项式，探究其规律：2x，﹣4x2，6x3，﹣8x4，10x5，﹣12x6，…，按照上述规律，第2018个单项式是（）
A．2018x2018
B．﹣2018x2018
C．﹣4036x2018
D．4036x2018
9．观察下列等式：＝1﹣，＝﹣，＝﹣，＝﹣，…，则++++…+的值为（）
A．
B．
C．
D．
10．一组数：2，1，3，x，7，y，23，…，满足“前两个数依次为a、b，紧随其后的第三个数是2a﹣b”，例如这组数中的第三个数“3”是由“2×2﹣1”得到的，那么这组数中y表示的数为（）
A．9
B．﹣9
C．8
D．﹣8
11．定义一种对正整数n的“C运算”：①当n为奇数时，结果为3n+1；②当n为偶数时，结果为（其中k是使为奇数的正整数）并且运算重复进行，例如，n＝66时，其“C运算”如下：
若n＝26，则第2019次“C运算”的结果是（）
A．40
B．5
C．4
D．1
12．符号“f”，“g”分别表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：（1）f（1）＝0，f（2）＝﹣1，f（3）＝﹣2，f（4）＝﹣3，…，f（10）＝﹣9，…；（2）g（）＝﹣2，g（）＝﹣3，g（）＝﹣4，g（）＝﹣5，…，g（）＝﹣11，…．利用以上规律计算：g（）﹣f（2018）的结果为（）
A．﹣4036
B．﹣2
C．﹣1
D．4036
13．将若干个菱形按如图的规律排列：第1个图形有5个菱形，第2个图形有8个菱形，第3个图形有11个菱形，…，则第10个图形有（）个菱形．
A．30
B．31
C．32
D．33
14．如图是一回形图，其回形通道的宽和OB的长均为1，回形线与射线OA交于A1，A2，A3，…，若从O点到A1点的回形线为第1圈（长为7），从A1点到A2点的回形线为第2圈，…，依此类推，则第11圈的长为（）
A．72
B．79
C．87
D．94
15．现用黑、白两色棋子摆出如下所示的图形，按此规律，图⑦中的黑子与白子共（）
A．33颗
B．35颗
C．38颗
D．40颗
16．观察下列图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，那么第n（n≥1）个图形中共有五角星的个数为（）
A．3n+1
B．4n
C．4n+1
D．3n+4
17．当n为1，2，3，…时，由大小相同的小正方形组成的图形如图所示，则第10个图形中小正方形的个数总和等于（）
A．100
B．96
C．144
D．140
18．利用如图1的二维码可以进行身份识别，某校建立了一个身份识别系绕，图2是某个学生的识别图案，黑色小正方形表示1，白色小正方形表示0，将第一行数字从左到右依次记为a，b，c，d，那么可以转换为该生所在班级序号，其序号为a×23+b×22+c×21+d×20，如图2第一行数字从左到右依次为0，1，0，1，序号为0×23+1×22+0×21+1×20＝5，表示该生为5班学生，那么表示7班学生的识别图案是（）
A
B
C
D
19．找出以下图形变化的规律，计算第2019个图形中黑色正方形的个数是（）
A．3027
B．3028
C．3029
D．3030
20．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可得出数2018应标在（）
A．第504个正方形的左下角
B．第504个正方形的右上角
C．第505个正方形的左下角
D．第505个正方形的右下角
21．观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知数2019应标在（）
A．第504个正方形的左下角
B．第504个正方形的右下角
C．第505个正方形的右上角
D．第505个正方形的左上角
22．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为a1，第2幅图形中“●”的个数为a2，第3幅图形中“●”的个数为a3，…，以此类推，则9a10﹣10a9的值为（）
A．90
B．91
C．103
D．105
23．如图所示，下列图形都是由相同的五角星按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第15个图形中共有五角星的个数是（）
A．59
B．60
C．61
D．62
24．下面图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成的，其中第（1）个图形中共有3个小矩形，第（2）个图形中有5个小矩形……按此规律，第（8）个图形中小矩形的个数是（）
A．15
B．17
C．19
D．21
25．如图所示，第1个图案是由黑白两种颜色的六边形地面砖组成的，第2个，第3个图案可以看成是由第1个图案经过平移而得，那么第n个图案中有白色六边形地面砖（）块．
A．6+4（n+1）
B．6+4n
C．4n﹣2
D．4n+2
26．下列图形由同样的棋子按一定规律组成，图1有3颗棋子，图2有9颗棋子，图3有18颗棋子，…，图8有（）
A．84颗棋子
B．108颗棋子
C．135颗棋子
D．152颗棋子
27．如图是含x的代数式按规律排列的前4行，依此规律，若第10行第2项的值为1034，则此时x的值为
．
28．如图，第一个图形有1个正方形；第二个图形有5个正方形；第三个图形有14个正方形……；则按此规律，第五个图形有
个正方形．
29．如图所示，下列图形都是由相同的玫瑰花按照一定的规律摆成的，按此规律摆下去，第n个图形中有120朵玫瑰花，则n的值为
．
30．将图1中的正方形剪开得到图2，图2中共有4个正方形，将图2中一个正方形剪开得到图3，图3中共有7个正方形，将图3中一个正方形剪开得到图4，图4中共有10个正方形……如此下去，则图2019中共有正方形的个数为
．
整式乘法
1．下列各式计算正确的是（）
A．2（m﹣1）﹣3（m﹣1）＝﹣m﹣3
B．a﹣[﹣（﹣b﹣c）]＝a﹣b﹣c
C．a﹣（﹣2a+b）＝3a+b
D．（x+y）﹣（y﹣x）＝0
2．计算（﹣a）2n•（﹣an）3的结果是（）
A．a5n
B．﹣a5n
C．a
D．﹣6a
3．下列计算正确的是（）
A．（a﹣2b）2＝a2﹣4b2
B．（a﹣2b）2＝a2﹣2ab+4b2
C．（x+5）（x﹣7）＝x2﹣12x﹣35
D．﹣3x（2x2﹣4x）＝﹣6x3+12x2
4．若x2+ax﹣2y+7﹣2（bx2﹣2x+9y﹣1）的值与x的取值无关，则a﹣2b的值为（）
A．﹣5
B．﹣3
C．3
D．4
5．先化简，再求值
求当x＝3，y＝﹣时，代数式2（﹣3xy﹣y2）﹣（2x2﹣5xy﹣2y2）的值．
6．求多项式3y2﹣x2+2（2x2﹣3xy）﹣3（x2+y2）的值，其中|x﹣1|+（y+2）2＝0．
7．先化简，再求值：5（3x2y﹣xy2）﹣（xy2+3x2y），其中x＝1，y＝﹣1．
8．先化简，再求值：4（a2b﹣2ab2）﹣（5a2b﹣4ab2），其中a＝﹣2，b＝1．
9．先化简，再求值：3ab﹣（3a2﹣3a2b）+3（a2﹣a2b﹣2），其中a＝﹣1，b＝2．
10．先化简，再求值：3（x2﹣2xy）﹣2[xy+（﹣xy+x2）﹣1]，其中x＝﹣4，y＝．
11．在长方形纸片ABCD中，AB＝m，AD＝n，将两张边长分别为6和4的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．
（1）在图1中，EF＝，BF＝
；（用含m的式子表示）
（2）请用含m、n的式子表示图1，图2中的S1，S2，若m﹣n＝2，请问S2﹣S1的值为多少？
12．先化简，再求值：（2x2+x）﹣[4x2﹣（3x2﹣x）]，其中x＝﹣1．
13．先化简，再求值：5（3x﹣y2）﹣3（2x﹣y2）﹣2，其中x＝2，y＝﹣1．
14．先化简，后求值：2（3a2b﹣ab2）﹣3（ab2+3a2b），其中a、b满足|a﹣3|+（b+2）2＝0．
因式分解
1．若x2﹣6x+a＝（bx﹣3）2，则a，b的值分别为（）
A．9，1
B．﹣9，1
C．﹣9，﹣1
D．9，﹣1
2．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（）
A．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4
B．x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2
C．x2﹣4＝（x+2）（x﹣2）
D．x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x
3．已知x2+kx+4可以用完全平方公式进行因式分解，则k的值为（）
A．﹣4
B．2
C．4
D．±4
4．下列各式从左到右的变形，是因式分解且分解结果正确的为（）
A．（a+2）2﹣（a﹣1）2＝6a+3
B．x2+x+＝（x+）2
C．x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2）
D．x4﹣16＝（x2+4）（x2﹣4）
5．下列各等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）
A．x•（x﹣y）＝x2﹣xy
B．x2+3x﹣1＝x（x+3）﹣1
C．（x﹣y）2﹣y2＝x（x﹣2y）
D．x2﹣2＝x（x﹣）
6．下列各式能用平方差公式分解因式的有（）
①x2+y2；②x2﹣y2；③﹣x2﹣y2；④﹣x2+y2；⑤﹣x2+2xy﹣y2．
A．4个
B．3个
C．2个
D．1个
7．下列式子中，属于2x3+x2﹣13x+6的因式是（）
A．x+2
B．x﹣3
C．2x﹣1
D．2x+1
8．因式分解：5x2﹣2x＝
．
9．把多项式因式分解：x2﹣6x+9＝
．
10．若m﹣n＝2，则m2﹣2mn+n2＝
．
11．已知a2+a﹣1＝0，则a3+2a2+2018＝
．
12．分解因式：4m2﹣16n2＝
．
13．分解因式：﹣x2+2x﹣1＝
．
14．把多项式ax2﹣2ax+a分解因式的结果是
．
15．分解因式：9﹣12t+4t2＝
．
16．若x2+2x﹣1＝0，则代数式x4+3x3﹣4x2﹣11x﹣2018的值为
．
17．已知m+n＝8，mn＝15．求下列各式的值．
（1）m2n+mn2；
（2）m2﹣mn+n2．
18．因式分解：2m（2m﹣3）+6m﹣1．
分式专题
1．已知a+b＝5，ab＝3，则的值是（）
A．
B．
C．
D．
2．已知m+＝3，则m2+＝（）
A．7
B．11
C．9
D．1
3．下列代数式变形正确的是（）
A．＝
B．＝﹣
C．÷（+）＝+
D．＝
4．在式子，，，2a中，分式的个数有（）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
5．如果把分式中的a、b同时扩大为原来的2倍，得到的分式的值不变，则W中可以是（）
A．1
B．
C．ab
D．a2
6．若x，y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是（）
A．
B．
C．
D．
7．下列各式中，是最简分式的是（）
A．
B．
C．
D．
8．如果把分式中的x，y都扩大2倍，那么分式的值（）
A．扩大4倍
B．扩大2倍
C．缩小2倍
D．不变
9．化简+的结果是（）
A．
B．
C．x+1
D．x﹣1
10．某次列车平均提速vkm/h，用相同的时间，列车提速前行驶skm，提速后比提速前多行驶50km，提速前列车的平均速度是（）
A．km/h
B．km/h
C．km/h
D．km/h
11．将代数式3x﹣2y3表示为只含有正整数指数幂的形式：3x﹣2y3＝
．
12．若a+b＝2，ab＝﹣3，则+的值为
．
13．当x≠﹣时，无论x为何值，的值恒为2，则﹣＝
．
14．化简＝
．
15．分式与的最简公分母是
．
16．先化简，再求值：，其中x＝tan60°﹣2．
17．先化简分式：1﹣•，然后在﹣1，0，1，2中选一个合适的数作为a的值代入求值．
18．先化简，再求值：，其中x＝2018．
19．先化简，再求值（1﹣）÷，其中x＝4．
20．先化简，再求值：（2﹣）÷，其中x＝﹣3．
21．先化简，后求值：（1﹣）÷（），其中a＝3．
22．已知甲种糖果的售价为每千克m元，乙种糖果的售价为每千克n元，若取甲种糖果6kg、乙种糖果10kg混合出售，则售价应是每千克多少元？
23．甲队在n天内挖水渠a
米，乙队在m天内挖水渠b
米，如果两队同时挖水渠，挖x
m需要多少天才能完成（用代数式表示）？
24．甲单独完成某件工作需a天，乙单独完成这件工作需b天，那么甲、乙二人合作每天可完成工作的．
二次根式
1．下列各式中与是同类二次根式的是（）
A．
B．
C．
D．
2．下列运算正确的是（）（此题没有正确答案，建议直接删除）
A．a3+a3＝a6
B．（a+b）2＝a2+b2
C．
D．﹣6a+1
3．下列计算正确的是（）
A．﹣＝1
B．x（x﹣1）＝x2﹣1
C．（x2）3＝x5
D．x8÷x2＝x6
4．计算的结果是（）
A．3
B．2
C．
D．6
5．如果y＝+2，那么（﹣x）y的值为（）
A．1
B．﹣1
C．±1
D．0
6．的值为（）
A．+2
B．﹣2
C．2018
D．2019
7．下列属于最简二次根式的是（）
A．
B．
C．
D．
8．a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是（）
A．a﹣b
B．a+b
C．b﹣a
D．﹣a﹣b
9．计算3＝
．
10．若＝x﹣4+6﹣x＝2，则x的取值范围为
．
11．代数式中x的取值范围是
．
12．计算3﹣的结果是
．
13．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是
．
14．若最简根式与3是同类根式，则x＝
．
15．如果实数a、b在数轴上的位置如图所示，那么+＝
．
16．计算：．
17．（1）计算：﹣5
（2）计算：6
18．（1）计算：+（﹣）×
（2）解方程
19．若一个三角形的三边长分别为a、b、c，设p＝（a+b+c）．
记：Q＝．
（1）当a＝4，b＝5，c＝6时，求Q的值；
（2）当a＝b时，设三角形面积为S，求证：S＝Q．
20．计算：+3﹣．
参考答案
代数式概念
1．解：A、2是代数式，不符合题意；B、单项式是整式，符合题意；
C、多项式的常数项是﹣，不符合题意；D、3（x2+1）是多项式，不符合题意，故选：B．
2．解：放置的正方形的边长为：，故选：B．
3．解：依题意得：（a﹣2h）（a﹣2h）•h＝（a﹣2h）2•h（cm3）故选：B．
4．解：∵数轴上点A，B分别表示数a，b，∴A，B两点之间的距离可以表示为：|a﹣b|，故选：C．
5．解：当x＝2时，第一次输出结果＝×2＝1；
第二次输出结果＝1+3＝4；
第三次输出结果＝4×＝2，；
第四次输出结果＝×2＝1，…
2019÷3＝673．
所以第2019次得到的结果为2．
故选：B．
6．解：把x＝2代入得：y＝4+1＝5，此时|2﹣5|＝3＜6，不满足条件，进行下一轮循坏；
令x＝y＝5，y＝10+1＝11，此时|5﹣11|＝6＝6，不满足条件，进行下一轮循坏；
令x＝y＝11，y＝22+1＝23，此时|11﹣23|＝12＞6，满足条件，输出结果，此时y＝23．
故选：C．
7．解：把x＝﹣1代入得：4﹣（﹣1）2＝4﹣1＝3＞1，把x＝3代入得：4﹣32＝4﹣9＝﹣5＜1，则输出结果为﹣5．
故选：A．
8．解：当3y+1＝94时，解得y＝31，当3y+1＝31时，解得y＝10，当3y+1＝10时，解得y＝3，当3y+1＝3时，解得y＝，不是整数，舍去，故选：B．
9．解：当m＝﹣2时，原式＝（﹣2）2+2×（﹣2）﹣1
＝4﹣4﹣1
＝﹣1，故选：C．
10．解：当2x2﹣x＝4时，6+4x2﹣2x＝6+2（2x2﹣x）
＝6+2×4
＝6+8
＝14，故选：D．
11．解：A．x＝﹣2，y＝3时，输出的结果为3×（﹣2）+32＝3，不符合题意；
B．x＝2，y＝﹣3时，输出的结果为3×2﹣（﹣3）2＝﹣3，不符合题意；
C．x＝﹣8，y＝3时，输出的结果为3×（﹣8）+32＝﹣15，不符合题意；
D．x＝8，y＝3时，输出结果为3×8﹣32＝15，符合题意；
故选：D．
12．解：当x﹣3y＝2时，3+2x﹣6y
＝3+2（x﹣3y）
＝3+2×2
＝3+4
＝7
故选：C．
13．解：∵单项式3x2m﹣1y5与单项式﹣5x3yn是同类项，∴2m﹣1＝3，n＝5，解得：m＝2，故m，n的值分别为：2，5．
故选：C．
14．解：∵﹣3xmy3和8x5yn是同类项，∴m＝5，n＝3，∴﹣3xmy3和8x5yn的和是：5x5y3．
故选：C．
15．解：∵单项式2x3y4与﹣2xay2b是同类项，∴a＝3，2b＝4，∴a＝3，b＝2．
故选：A．
16．解：∵单项式﹣3xnym与单项式4x4﹣nyn﹣1是同类项，∴n＝4﹣n，m＝n﹣1，解得：n＝2，m＝1，则m+n＝2+1＝3．
故选：B．
17．解：a2+4a2＝5a2．
故选：B．
18．解：﹣3x2y+x2y＝（﹣3+1）x2y＝﹣2x2y，故选：A．
19．解：∵单项式xmy2与﹣2x3yn的和仍是单项式，∴单项式xmy2与﹣2x3yn是同类项，则m＝3，n＝2，∴nm＝23＝8，故选：D．
20．解：2﹣（x﹣y）＝2﹣x+y．
故选：C．
21．解：A、﹣3（m+n）﹣mn＝﹣3m﹣3n﹣mn，错误，故本选项不符合题意；
B、﹣（5x﹣3y）+4（2xy﹣y2）＝﹣5x+3y+8xy﹣4y2，正确，故本选项符合题意；
C、ab﹣5（﹣a+3）＝ab+5a﹣15，错误，故本选项不符合题意；
D、x2﹣2（2x﹣y+2）＝x2﹣4x+2y﹣4，错误，故本选项不符合题意；
故选：B．
22．解：∵式子2mx2﹣2x+8﹣（3x2﹣nx）的值与x无关，∴2m﹣3＝0，﹣2+n＝0，解得：m＝，n＝2，故mn＝（）2＝．
故选：D．
23．解：A、原式＝a+b﹣c，错误；
B、原式＝a﹣b﹣c，正确；
C、原式＝m﹣2p+2q，错误；
D、原式＝x2+x﹣y，错误，故选：B．
24．解：由图可得，长方形窗框的竖条长均为米；
故答案为：﹣a+10．
25．解：将x＝a代入x2+6x+k2＝﹣9，得：a2+6a+k2＝﹣9
移项得：a2+6a+9＝﹣k2
∴（a+3）2＝﹣k2
∵（a+3）2≥0，﹣k2≤0
∴a+3＝0，即a＝﹣3，k＝0
∴x＝﹣a时，x2+6x+k2＝32+6×3＝27
故答案为：27
找规律专题
1．解：∵第1层的第1个数为1＝12，第2层的第1个数为4＝22，第3层的第1个数为9＝32，∴第44层的第1个数为442＝1936，第45层的第1个数为452＝2025，∴2018在第44层，故选：C．
2．解：由题意可得，n﹣＝，则n＝10时，10﹣＝，故选：C．
3．解：由、1、、、、、…可得第n个数为．
∵n＝100，∴第100个数为：
故选：B．
4．解：第1次输出为14，第2次输出为7，第3次输出为10，第4次输出为5，第5次输出为8，第6次输出为4，第7次输出为2，第8次输出为1，第9次输出为4，…
即：14，7，10，5，8，4，2，1，4，2，1，…
从第6次开始，每4，2，1三个数循环一次，所以（2019﹣5）÷3＝671…1．
故选：C．
5．解：把a1＝﹣1代入得a2＝﹣1，依此类推得a3＝﹣2，a4＝﹣2，a5＝﹣3，类比可得a2n﹣1＝﹣n，a2n＝﹣n，所以a2019＝a2×1010﹣1＝﹣1010
故选：B．
6．解：从表中正整数1到2019的排列情况来看，每一行是8个数，也就是每一列下面的数减去上面的数是8．
随着方框的平移，可表示出其变化规律的表达式为：
2+8n，3+8n，4+8n，5+8n，6+8n
将这五个数相加为40n+20，将四个答案中的数来尝试，可见只有40n+20＝2020时，n为整数．
故选：D．
7．解：21﹣2＝0，22﹣2＝2，23﹣2＝6，24﹣2＝14，25﹣2＝30，可得，这些数的末尾数字按照0，2，6，4循环出现，2018÷4＝504…2，∴22018﹣2的末位数字和22﹣2的末尾数字相同，等于2，故选：A．
8．解：第2018个单项式为﹣4036x2018，故选：C．
9．解：++++……+
＝（1﹣+﹣+﹣+﹣，…）
＝（1﹣）
＝×
＝，故选：B．
10．解：解法一：常规解法
∵从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b，∴2×3﹣x＝7，∴x＝﹣1，则2×（﹣1）﹣7＝y，解得y＝﹣9．
解法二：技巧型
∵从第三个数起，前两个数依次为a、b，紧随其后的数就是2a﹣b，∴7×2﹣y＝23，∴y＝﹣9．
故选：B．
11．解：若n＝1，第一次结果为13，第2次结果为：3n+1＝40，第3次“C运算”的结果是：＝5，第4次结果为：3n+1＝16，第5次结果为：，第6次结果为：3n+1＝4，第7次结果为：1，…
可以看出，从第5次开始，结果就只是1，4两个数轮流出现，且当次数为偶数时，结果是4，次数是奇数时，结果是1，故选：D．
12．解：∵f（1）＝0，f（2）＝﹣1，f（3）＝﹣2，f（4）＝﹣3，…，f（10）＝﹣9，…，∴f（n）＝1﹣n（n为正整数）；
∵g（）＝﹣2，g（）＝﹣3，g（）＝﹣4，g（）＝﹣5，…，g（）＝﹣11，…，∴g（）＝﹣n（n为正整数）．
∴g（）﹣f（2018）＝﹣2019﹣（1﹣2018）＝﹣2．
故选：B．
13．解：设第n个图形有an个菱形（n为正整数）．
观察图形，可知：a1＝5＝3+2，a2＝8＝3×2+2，a3＝11＝3×3+2，a4＝14＝3×4+2，∴an＝3n+2（n为正整数），∴a10＝3×10+2＝32．
故选：C．
14．解：设第n圈的长为an（n为正整数）．
观察图形，可知：a1＝7＝2×4﹣1，a2＝15＝4×4﹣1，a3＝23＝6×4﹣1，…，∴an＝2n×4﹣1＝8n﹣1（n为正整数），∴a11＝8×11﹣1＝87．
故选：C．
15．解：设第n个图形中黑色棋子有an个，白色棋子有bn个（n为正整数）．
观察图形，可知：a1＝1，a2＝1+3＝4，a3＝1+2×3＝7，a4＝1+3×3＝10，…，∴an＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2（n为正整数）．
同理：bn＝2n（n为正整数）．
∴a7+b7＝3×7﹣2+2×7＝33．
故选：A．
16．解：设第n个图形中五角星的个数为an（n为正整数）．
观察图形，可知：a1＝1+3×1，a2＝1+3×2，a3＝1+3×3，a4＝1+3×4，…，∴an＝1+3n（n为正整数）．
故选：A．
17．解：设第n个图形中小正方形的个数为an（n为正整数）．
观察图形，可知：a1＝12+4×1，a2＝22+4×2，a3＝32+4×3，…，∴an＝n2+4n（n为正整数），∴a10＝102+4×10＝140．
故选：D．
18．解：依题意，得：8a+4b+2c+d＝7，∵a，b，c，d均为1或0，∴a＝0，b＝c＝d＝1．
故选：B．
19．解：由图可得，第（1）个图中黑色正方形的个数为：2，第（2）个图中黑色正方形的个数为：2+1＝3，第（3）个图中黑色正方形的个数为：2×2+1＝5，第（4）个图中黑色正方形的个数为：2×2+1×2＝6，第（5）个图中黑色正方形的个数为：2×3+1×2＝8，∵2019÷2＝1009…1，∴第2019个图形中黑色正方形的个数是：2×（1009+1）+1×1009＝3029，故选：C．
20．解：∵2018＝4×504+2，∴数2018应标在第505个正方形的右下角．
故选：D．
21．解：观察图形发现奇数个正方形的四个角上的数字逆时针排列，偶数个图形顺时针排列，∵2019＝504×4+3，∴2019应该在第505个正方形的角上，∴应该逆时针排列，设第n个正方形中标记的最大的数为an．
观察给定正方形，可得出：
每个正方形有4个数，即an＝4n．
所以数2019应标在第505个正方形左上角
故选：D．
22．解：a1＝3＝1×3，a2＝8＝2×4，a3＝15＝3×5，a4＝24＝4×6，…，an＝n（n+2）；
∴9a10﹣10a9＝9×10×（10+2）﹣10×9×（9+2）＝90，故选：A．
23．解：由图可得，第n个图形有五角星：4n，令n＝15，得4n＝60，故选：B．
24．解：∵图①有矩形有3个＝2×1+1，图②矩形有5个＝2×2+1，图③矩形有7＝2×3+1，∴第n个图形矩形的个数是2n+1
当n＝8时，2×8+1＝17个，故选：B．
25．解：∵第一个图案中，有白色的是6个，后边是依次多4个．
∴第n个图案中，是6+4（n﹣1）＝4n+2．
故选：D．
26．解：第①个图形有3颗棋子，第②个图形一共有3+6＝9颗棋子，第③个图形一共有3+6+9＝18颗棋子，第④个图形有3+6+9+12＝30颗棋子，…，第⑧个图形一共有3+6+9+…+24＝3×（1+2+3+4+…+7+8）＝108颗棋子．
故选：B．
27．解：根据题意得：29x+10＝1034，解得：x＝2，故答案为：2．
28．解：由题意知，第五个图形中正方形有12+22+32+42+52＝55（个），故答案为：55．
29．解：4（n+1）﹣4＝120
解得n＝30
故答案为：30．
30．解：根据题意：每次分割，都会增加3个正方形．
故图10中共有3×2019﹣2＝6055个正方形．
故答案为：6055．
整式乘法
1．解：A、2（m﹣1）﹣3（m﹣1）
＝2m﹣2﹣3m+3
＝﹣m+1，故此选项错误；
B、a﹣[﹣（﹣b﹣c）]
＝a+（﹣b﹣c）
＝a﹣b﹣c，故此选项正确；
C、a﹣（﹣2a+b）＝3a﹣b，故此选项错误；
D、（x+y）﹣（y﹣x）＝2x，故此选项错误；
故选：B．
2．解：（﹣a）2n•（﹣an）3
＝a2n•（﹣a3n）
＝﹣a5n．
故选：B．
3．解：A．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，此选项错误；
B．（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，此选项错误；
C．（x+5）（x﹣7）＝x2﹣2x﹣35，此选项错误；
D．﹣3x（2x2﹣4x）＝﹣6x3+12x2，此选项正确；
故选：D．
4．解：x2+ax﹣2y+7﹣2（bx2﹣2x+9y﹣1）
＝x2+ax﹣2y+7﹣2bx2+4x﹣18y+2
＝（1﹣2b）x2+（a+4）x﹣20y+9，∵x2+ax﹣2y+7﹣2（bx2﹣2x+9y﹣1）的值与x的取值无关，∴1﹣2b＝0且a+4＝0，则a＝﹣4，b＝，∴a﹣2b＝﹣4﹣2×＝﹣5，故选：A．
5．解：原式＝x2﹣6xy﹣2y2﹣2x2+5xy+2y2
＝﹣x2﹣xy，当x＝3，y＝﹣时，原式＝﹣32﹣3×（﹣）
＝﹣9+
＝﹣．
6．解：原式＝3y2﹣x2+4x2﹣6xy﹣3x2﹣3y2＝﹣6xy，∵|x﹣1|+（y+2）2＝0，∴x＝1，y＝﹣2，则原式＝﹣6×1×（﹣2）＝12．
7．解：原式＝15x2y﹣5xy2﹣xy2﹣3x2y
＝12x2y﹣6xy2，当x＝1，y＝﹣1时，原式＝12×12×（﹣1）﹣6×1×（﹣1）2
＝﹣12﹣6
＝﹣18．
8．解：原式＝4a2b﹣8ab2﹣5a2b+4ab2
＝﹣a2b﹣4ab2，当a＝﹣2，b＝1时，原式＝﹣（﹣2）2×1﹣4×（﹣2）×12
＝﹣4+8
＝4．
9．解：原式＝3ab﹣3a2+3a2b+3a2﹣3a2b﹣6
＝3ab﹣6，当a＝﹣1，b＝2时，原式＝3×（﹣1）×2﹣6
＝﹣6﹣6
＝﹣12．
10．解：原式＝3x2﹣6xy﹣xy﹣3（﹣xy+x2）+2
＝3x2﹣6xy﹣xy+3xy﹣3x2+2
＝﹣xy+2，当x＝﹣4，y＝时，原式＝﹣×（﹣4）×+2
＝7+2
＝9．
11．解：（1）EF＝AF﹣AE
＝AF﹣（AB﹣BE）
＝AF﹣AB+BE
＝6﹣m+4
＝10﹣m；
BF＝BE﹣EF
＝4﹣（10﹣m）
＝m﹣6．
故答案为10﹣m，m﹣6；
（2）∵S1＝6（AD﹣6）+（BC﹣4）（AB﹣6）＝6（n﹣6）+（n﹣4）（m﹣6）＝mn﹣4m﹣12，S2＝AD（AB﹣6）+（AD﹣6）（6﹣4）＝n（m﹣6）+2（n﹣6）＝mn﹣4n﹣12，∴S2﹣S1
＝mn﹣4n﹣12﹣（mn﹣4m﹣12）
＝4m﹣4n
＝4（m﹣n）
＝4×2
＝8．
12．解：原式＝2x2+x﹣4x2+3x2﹣x
＝x2，当x＝﹣1时，原式＝（﹣1）2＝1．
13．解：原式＝15x﹣5y2﹣6x+3y2﹣2
＝9x﹣2y2﹣2，当x＝2，y＝﹣1时，原式＝9×2﹣2×（﹣1）2﹣2
＝18﹣2﹣2
＝14．
14．解：原式＝6a2b﹣2ab2﹣3ab2﹣9a2b
＝﹣3a2b﹣5ab2，∵|a﹣3|+（b+2）2＝0，∴a＝3，b＝﹣2，则原式＝﹣3×9×（﹣2）﹣5×3×4
＝54﹣60
＝﹣6．
因式分解
1．解：（bx﹣3）2＝b2x2﹣6bx+9，∵x2﹣6x+a＝（bx﹣3）2，∴﹣6b＝﹣6，a＝9，解得a＝9，b＝1，故选：A．
2．解：A、（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4，是整式的乘法运算，故此选项错误；
B、x2+4x﹣2＝x（x+4）﹣2，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
C、x2﹣4＝（x+2）（x﹣2），是因式分解，符合题意．
D、x2﹣4+3x＝（x+2）（x﹣2）+3x，不符合因式分解的定义，故此选项错误；
故选：C．
3．解：∵x2+kx+4＝x2+kx+22，∴kx＝±2x•2，解得k＝±4．
故选：D．
4．解：A、（a+2）2﹣（a﹣1）2＝（a+2+a﹣1）（a+2﹣a+1）
＝3（2a+3），故此选项错误；
B、x2+x+，无法运算完全平方公式分解因式，故此选项错误；
C、x2﹣x﹣6＝（x﹣3）（x+2），正确；
D、x4﹣16＝（x2+4）（x2﹣4）＝（x2+4）（x﹣2）（x+2），故此选项错误．
故选：C．
5．解：A、x•（x﹣y）＝x2﹣xy，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、x2+3x﹣1＝x（x+3）﹣1，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、（x﹣y）2﹣y2＝x（x﹣2y），属于因式分解，故本选项符合题意；
D、x2﹣2＝x（x﹣）式子右边不是几个整式的积的形式，所以不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：C．
6．解：①x2+y2，无法分解因式；
②x2﹣y2＝（x+y）（x﹣y），能用平方差公式分解因式；
③﹣x2﹣y2，无法分解因式；
④﹣x2+y2＝（y+x）（y﹣x），能用平方差公式分解因式；
⑤﹣x2+2xy﹣y2＝﹣（x﹣y）2，不符合题意．
故选：C．
7．解：∵2x3+x2﹣13x+6
＝2x3+x2﹣10x﹣3x+6
＝x（2x2+x﹣10）﹣3（x﹣2）
＝x（2x+5）（x﹣2）﹣3（x﹣2）
＝（x﹣2）（2x2+5x﹣3）
＝（x﹣2）（2x﹣1）（x+3），∴2x3+x2﹣13x+6的因式是：（x﹣2），（2x﹣1），（x+3）．
故选：C．
8．解：5x2﹣2x＝x（5x﹣2），故答案为：x（5x﹣2）．
9．解：x2﹣6x+9＝（x﹣3）2．
故答案为：（x﹣3）2．
10．解：∵m﹣n＝2，∴m2﹣2mn+n2
＝（m﹣n）2
＝22
＝4，故答案为：4
11．解：∵a2+a﹣1＝0，∴a2＝1﹣a、a2+a＝1，∴a3+2a2+3，＝a•a2+2（1﹣a）+2018，＝a（1﹣a）+2﹣2a+2020，＝a﹣a2﹣2a+2020，＝﹣a2﹣a+2020，＝﹣（a2+a）+2020，＝﹣1+2020，＝2019．
故答案为：2019．
12．解：原式＝4（m+2n）（m﹣2n）．
故答案为：4（m+2n）（m﹣2n）
13．解：﹣x2+2x﹣1
＝﹣（x2﹣2x+1）
＝﹣（x﹣1）2．
故答案为：﹣（x﹣1）2．
14．解：原式＝a（x2﹣2x+1）＝a（x﹣1）2．
故答案为：a（x﹣1）2
15．解：原式＝（3﹣2t）2．
故答案为：（3﹣2t）2
16．解：∵x2+2x﹣1＝0
∴x2+2x＝1，∴原式＝x4+2x3+x3﹣4x2﹣11x﹣2018
＝x2（x2+2x）+x3﹣4x2﹣11x﹣2018
＝x3﹣3x2﹣11x﹣2018
＝x3+2x2﹣5x2﹣11x﹣2018
＝x（x2+2x）﹣5x2﹣11x﹣2018
＝﹣5x2﹣10x﹣2018
＝﹣5（x2+2x）﹣2018
＝﹣5﹣2018
＝﹣2013，故答案为：﹣2013．
17．解：（1）∵m+n＝8，mn＝15，∴m2n+mn2＝mn（m+n）
＝15×8
＝120．
（2）∵m+n＝8，mn＝15，∴m2﹣mn+n2
＝（m+n）2﹣3mn
＝64﹣45
＝19．
18．解：原式＝4m2﹣6m+6m﹣1
＝4m2﹣1
＝（2m+1）（2m﹣1）．
分式专题
1．解：当a+b＝5，ab＝3时，原式＝
＝
＝
＝，故选：B．
2．解：∵m+＝3，∴m2+2+＝9，则m2+＝7，故选：A．
3．解：A、＝＝，故选项错误；
B、＝﹣，故选项错误；
C、÷（+）＝÷＝，故选项错误；
D、＝＝，故选项正确．
故选：D．
4．解：在所列代数式中，分式有，这2个，故选：B．
5．解：如果把分式中的a、b同时扩大为原来的2倍，得到的分式的值不变，则W中可以是：b．
故选：B．
6．解：A．≠，不符合题意；
B．≠，不符合题意；
C．≠，不符合题意；
D．＝，符合题意；
故选：D．
7．解：A、＝b，原式不是最简分式，故本选项不符合题意；
B、＝，原式不是最简分式，故本选项不符合题意；
C、＝，原式不是最简分式，故本选项不符合题意；
D、中分子、分母不含公因式，原式不是最简分式，故本选项符合题意；
故选：D．
8．解：把分式中的x，y都扩大2倍
则＝，故分式的值扩大为原来的2倍．
故选：B．
9．解：原式＝+
＝
＝，故选：A．
10．解：设提速前这次列车的平均速度xkm/h．
由题意得，＝，方程两边乘x（x+v），得s（x+v）＝x（s+50）
解得：x＝，经检验：由v，s都是正数，得x＝是原方程的解．
∴提速前这次列车的平均速度km/h，故选：D．
11．解：将代数式3x﹣2y3表示为只含有正整数指数幂的形式：3x﹣2y3＝．
故答案为：．
12．解：当a+b＝2，ab＝﹣3时，原式＝+
＝
＝
＝﹣，故答案为：﹣．
13．解：∵x≠﹣，∴﹣bx﹣5≠0，∵＝2，∴a+x＝﹣2bx﹣10，a+（1+2b）x＝﹣10，根据题意知1+2b＝0，则b＝﹣0.5，∴a＝﹣10，则﹣＝＝＝1.9，故答案为：1.9．
14．解：原式＝﹣
＝
＝
＝，故答案为：．
15．解：∵＝，＝，∴分式与的最简公分母是：2（a+b）（a﹣b）；
故答案为：2（a+b）（a﹣b）．
16．解：原式＝﹣•
＝﹣
＝﹣，当x＝tan60°﹣2＝﹣2时，原式＝﹣＝﹣＝﹣．
17．解：原式＝1﹣•
＝1﹣
＝﹣
＝﹣，∵a≠﹣1，0，1，∴a＝2，则原式＝﹣．
18．解：
＝
＝
＝x+1，当x＝2018时，原式＝2018+1＝2019．
19．解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝，当x＝4时，原式＝＝．
20．解：原式＝×＝，把x＝﹣3代入得：原式＝＝＝1﹣2．
21．解：原式＝（﹣）÷
＝•
＝，当a＝3时，原式＝＝2．
22．解：∵商店有甲种糖果6千克，每千克售价m元；乙种糖果10千克，每千克售价n元，∴甲乙两种糖果混合后共有10千克，甲乙两种糖果共售（6m+10n）元，∴将甲乙两种糖果混合出售，每千克售价应为＝元；
答：售价应是每千克元．
23．解：∵甲队在n天内挖水渠am，乙队在m天内挖水渠bm，∴甲队1天内挖水渠m，乙队在1天内挖水渠m，∴两队同时挖水渠，挖xm需要的天数是：＝（天）；
答：挖xm需要天才能完成．
24．解：∵单独完成一项工作，甲要a天，乙要b天，∴甲的工效为，乙的工效为，∴甲、乙二人合作每天可完成工作的，故答案为：．
二次根式
1．解：A．＝3，与是同类二次根式；
B．＝2，与不是同类二次根式；
C．＝，与不是同类二次根式；
D．与不是同类二次根式；
故选：A．
2．解：A、a3+a3＝2a3，故此选项错误；
B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故此选项错误；
C、2m﹣2＝，故此选项错误；
D、（3a2﹣a）2÷2a2＝9a2﹣6a+1，故此选项正确；
故选：D．
3．解：A、﹣，无法计算，故此选项错误；
B、x（x﹣1）＝x2﹣x，故此选项错误；
C、（x2）3＝x6，故此选项错误；
D、x8÷x2＝x6，故此选项正确；
故选：D．
4．解：原式＝2﹣＝．
故选：C．
5．解：∵y＝+2，∴1﹣x≥0，x﹣1≥0，解得：x＝1，故y＝2，则（﹣1）2＝1．
故选：A．
6．解：原式＝[（﹣2）（+2）]2•（+2）
＝（5﹣4）•（+2）
＝+2．
故选：A．
7．解：A．＝2，不符合题意；
B．是最简二次根式；
C．＝2，不符合题意；
D．＝，不符合题意；
故选：B．
8．解：由数轴知b＜0＜a，则b﹣a＜0，∴＝|b﹣a|＝a﹣b，故选：A．
9．解：3+4＝7．
故答案为：7．
10．解：∵＝x﹣4+6﹣x＝2，∴x﹣4≥0，x﹣6≤0，解得：4≤x≤6．
故答案为：4≤x≤6．
11．解：依题意得：x﹣1＞0，解得x＞1．
故答案是：x＞1．
12．解：原式＝3×﹣2
＝﹣2
＝﹣．
故答案为：﹣．
13．解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴x﹣2019≥0，解得：x≥2019．
故答案为：x≥2019．
14．解：∵最简根式与3是同类根式，∴2n﹣2＝2，3n﹣x＝n，解得：n＝2，x＝4．
故答案为：4．
15．解：由数轴知a＜0＜b，且|a|＜|b|，则a﹣b＜0，∴+＝|a﹣b|+|b|
＝b﹣a+b
＝2b﹣a，故答案为：2b﹣a．
16．解：原式＝2+3×﹣（+）
＝2+﹣4
＝﹣．
17．解：（1）原式＝﹣﹣5
＝2﹣2﹣5
＝﹣2﹣3；
（2）原式＝2﹣+9﹣
＝9．
18．解：（1）原式＝++﹣
＝2+3+6﹣3
＝5+3；
（2）方程组整理为，①﹣②得2x＝﹣6，解得x＝﹣3，把x＝﹣3代入②得﹣6﹣3y＝1，解得y＝﹣，所以方程组的解为．
19．解：（1）∵a＝4，b＝5，c＝6，∴p＝（a+b+c）＝，∴Q＝＝＝；
（2）∵a＝b，∴设底边c上的高为h，∴h＝，∴S＝c•h＝c，∵a＝b，∴p＝（a+b+c）＝a+c，∴Q＝＝＝c，∴S＝Q．
20．解：原式＝2+3×﹣×4
＝2+2﹣
＝3．
篇2：代数式提升专题
代数式的求值与代数式的恒等变形关系十分密切．许多代
所以
a+b+c=0或bc+ac+ab=0．
若bc+ac+ab=0，则 数式是先化简再求值，特别是有附加条件的代数式求值问题，往往需要利用乘法公式、绝对值与算术根的性质、分式的基本性质、通分、约分、根式的性质等等，经过恒等变形，把代数式中隐含的条件显现出来，化简，进而求值．因此，求值中的方法技巧主要是代数式恒等变形的技能、技巧和方法．下面结合例题逐一介绍．
1．利用因式分解方法求值
因式分解是重要的一种代数恒等变形，在代数式化简求值中，经常被采用．
分析 x的值是通过一个一元二次方程给出的，若解出x后，再求值，将会很麻烦．我们可以先将所求的代数式变形，看一看能否利用已知条件．
解 已知条件可变形为3x2+3x-1=0，所以
6x4+15x3+10x2
=(6x4+6x3-2x2)+(9x3+9x2-3x)+(3x2+3x-1)+1
=(3x2+3x-1)(2z2+3x+1)+1
=0+1=1．
说明 在求代数式的值时，若已知的是一个或几个代数式的值，这时要尽可能避免解方程(或方程组)，而要将所要求值的代数式适当变形，再将已知的代数式的值整体代入，会使问题得到简捷的解答．
例2 已知a，b，c为实数，且满足下式：
a2+b2+c2=1，①
求a+b+c的值．
解 将②式因式分解变形如下
即
(a+b+c)
2=a2
+b2
+c2
+2(bc+ac+ab)
=a2
+b2
+c2
=1，所以 a+b+c=±1．所以a+b+c的值为0，1，-1．
说明 本题也可以用如下方法对②式变形：
即
前一解法是加一项，再减去一项；这个解法是将3拆成1+1+1，最终都是将②式变形为两个式子之积等于零的形式．
2．利用乘法公式求值
例3 已知x+y=m，x
3+y3
=n，m≠0，求x2
+y2的值．
解 因为x+y=m，所以
m3
=(x+y)3
=x3
+y3
+3xy(x+y)=n+3m·xy，所以
求x2
+6xy+y2的值．
分析 将x，y的值直接代入计算较繁，观察发现，已知中x，y的值正好是一对共轭无理数，所以很容易计算出x+y与xy的值，由此得到以下解法．
解 x2
+6xy+y2
=x2
+2xy+y2
+4xy
=(x+y)2
+4xy
3．设参数法与换元法求值
如果代数式字母较多，式子较繁，为了使求值简便，有时可增设一些参数(也叫辅助未知数)，以便沟通数量关系，这叫作设参数法．有时也可把代数式中某一部分式子，用另外的一个字母来替换，这叫换元法．
分析 本题的已知条件是以连比形式出现，可引入参数k，用它表示连比的比值，以便把它们分割成几个等式．
x＝(a-b)k，y＝(b-c)k，z＝(c-a)k．
所以
x+y+z=(a-b)k＋(b-c)k+(c-a)k=0．
u+v+w=1，①
由②有
把①两边平方得
u2+v2+w2+2(uv+vw+wu)=1，所以u2+v2+w2=1，即
两边平方有
所以
4．利用非负数的性质求值
若几个非负数的和为零，则每个非负数都为零，这个性质在代数式求值中经常被使用．
例8 若x2-4x+|3x-y|=-4，求yx的值．
分析与解 x，y的值均未知，而题目却只给了一个方程，似乎无法求值，但仔细挖掘题中的隐含条件可知，可以利用非负数的性质求解．
因为x2
-4x+|3x-y|=-4，所以
x2
-4x＋4＋|3x-y|=0，即(x-2)2
+|3x-y|=0．
所以 yx
=62
=36．
例9 未知数x，y满足
(x2
＋y2)m2
-2y(x+n)m+y2
+n2
=0，其中m，n表示非零已知数，求x，y的值．
分析与解 两个未知数，一个方程，对方程左边的代数式进行恒等变形，经过配方之后，看是否能化成非负数和为零的形式．
将已知等式变形为
m2
x2
+m2y2
-2mxy-2mny+y2
+n2
=0，(m2x2
-2mxy+y2)+(m2y2
-2mny+n2)=0，即(mx-y)2
+(my-n)2
=0．
5．利用分式、根式的性质求值
分式与根式的化简求值问题，内容相当丰富，因此设有专门
讲座介绍，这里只分别举一个例子略做说明．
例10 已知xyzt=1，求下面代数式的值：
分析 直接通分是笨拙的解法，可以利用条件将某些项的形式变一变．
解 根据分式的基本性质，分子、分母可以同时乘以一个不为
3．已知a+b+c=3，a+b+c=29，a+b+c=45，求零的式子，分式的值不变．利用已知条件，可将前三个分式的分
ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)的值．(改)母变为与第四个相同．
2．已知x+y=a，x+y=b，求x+y的值．
(第一个分母改为x)
5．设a+b+c=3m，求(m-a)+(m-b)+(m-c)-3(m-a)(m-b)(m-c)的同理
8．已知13x-6xy+y-4x+1=0，求(x+y)^13·x^10的值．
1.383
2.(b+2ab-a)/2 3.42 4.2 5.0 6.2 分利用这种对称性，或称之为整齐性，来简化我们的计算．
7.8 8.8
值．
分析 计算时应注意观察式子的特点，若先分母有理化，计算反而复杂．因为这样一来，原式的对称性就被破坏了．这里所言的对称性是
同样(但请注意算术根！)
将①，②代入原式有
篇3：代数式提升专题
一、因地制宜：让乡土资源融入专题探究，增加教学的“乡土味”
我国幅员辽阔，地区之间存在着很大的差异，教材的编写不可能照顾到每个地区的实际。而学生对家乡的历史有着深厚的感情，引入乡土资源能够拉近知识与生活的距离，使学生激发学习的兴趣，开阔思维的视野，深化知识的理解。
例如，在教学“因地制宜优势互补”一课时，专题探究“绘制家乡经济发展的蓝图”的第一个活动是“计算：如何优势互补”（第117页）。活动以A地与B地分别具有生产摄像机和电脑的优势来分析，设置了一系列的假设和推理，引导学生理解“因地制宜、优势互补”在区域经济发展中的必要性。在新课改第一年，笔者按照教材施教，一节课下来，学生却像在做一道数学计算题，眼中满是迷茫，效果甚微。反思这节课，笔者发现教学效果不佳的原因是该专题探究缺乏生活气息、艰涩难懂。于是，在以后几年的教学中，笔者就把原专题探究改成了“说说我们家乡的优势产业”，让学生从最熟悉的身边事入手，讨论自己家乡———上虞的区域经济。这样一改，专题探究立即充满了乡土气息，极大地激发了学生探究的积极性，在轻松愉悦的氛围中，师生一起探讨了家乡的优势产业及发展方向，如崧厦是“中国伞城”，伞业发展蒸蒸日上；盖北是“江南吐鲁番”，葡萄种植业生气勃勃；下管的板栗种植、沥海的养殖业……丰富多彩、生动翔实的乡土资源向学生扑面而来，学生突然明白，原来课本中深奥的道理就在自己身边……
二、紧跟时代：让鲜活的资源融入专题探究，增加教学的“时鲜味”
专题探究材料丰富，时代性强，且随着版本的升级，材料也在不断更新。如专题探究“谋求共同发展”中的图1-53，由第二版中的“2003年八国峰会”改成了第三版中的“2007年八国峰会”（第37页）；专题探究“透视看不见的手”，由第二版中的“20世纪80年代初的红果案例”改成了第三版中的“2006年底陕西某地芹菜菜农自毁菜地的案例”（第111页）。但相对于瞬息万变的现实生活，有些专题探究的材料还是存在着一定的滞后性，这就要求我们教师与时俱进，及时补充时政热点，拓展专题探究，激发学生的兴趣，增添课堂活力。
例如，专题探究“关注世界和平”的第二部分是“祈盼和平与挑战和平”，教材以图文结合的方式，生动地展示了四个具有代表性的案例：北约轰炸南联盟、“9.11”恐怖袭击、巴以冲突、美军轰炸伊拉克（第34-35页）。这些案例虽然典型，但在时间上离现实生活已比较远了，“鲜”味不够，完全可以搜集、整理一些当下有价值的新闻予以补充，增强探究的时效性。如讲到“局部战乱”，可增添“2010年11月23日朝韩双方的炮击事件和东北亚地区的联合军演”；讲到“恐怖主义”，可增加“2008年9月20日巴基斯坦首都万豪酒店爆炸”等近年发生的恐怖事件。由于近几年的中考试题都是运用鲜活的热点问题创设情境、设置问题，考查学生的基础知识和解题能力，因此在中考专题复习阶段，我们尤其要引入最新时事新闻。事实证明，紧跟时代，让鲜活的资源融入专题探究，既能增强教学内容的时代感和亲切感，又能调动学生的学习积极性，从而提高课堂教学效果。
三、转换角色：让学生资源融入专题探究，增强教学的“真实感”
从学生参与教学的心理看，越跟学生自身密切的知识，越能激发学生的参与热情。纵观近几年的中考试题不难发现一个明显的趋势，即“贴近学生生活，关注学生成长”，各地试卷普遍关注社会焦点，特别是学生成长过程中遇到或可能遇到的问题。因此，在教学中我们要让学生学会转换角色，从挖掘自己的生活资源入手，走进教材，由“观众”变为“演员”，更好地融入教学。
例如，专题探究“身边的白色污染”（第67页）中有一则题为“你一天‘制造’多少白色垃圾”的阅读材料，旨在通过普通人一天的生活，让学生认识到在我们的生活环境中，到处充斥着白色垃圾。记得当时学生看完材料后，竟情不自禁地笑了起来。这么严肃的环境问题怎么会令人忍俊不禁？笔者觉得其中的原因可能有二：一是把可能出现的白色污染叠加在一个人的一天当中，有些凭空杜撰，使教材失去了应有的客观性和真实性；二是学生只作为材料的旁观者，没有深入其中，体会不到编写者的真正意图。于是，在去另一班级教学同一内容时，笔者把原专题探究改成：“结合自己的生活，说说近几天你‘制造’了哪些白色垃圾。”经过这样的处理后，学生立即觉得环境问题就在自己的身上或身边，有话能说，有话要说，有话想说。有的说自己今天上学路上买的早饭，就用了一个塑料袋；有的说自己妈妈昨天傍晚买菜回来，用了好几个塑料袋；有的说自己没买零食，已有好几天没“制造”白色垃圾了……让学生资源融入专题探究，不仅增强了课堂的“真实感”，而且使学生由一个旁观者转换成了一名剧中人，进一步拉近了学生与教材的距离。
四、深挖细掘：把解题技巧融入专题探究，提高课堂的“含金量”
中考试题依托基础知识，考查了学生从材料中提取、归纳有效信息的能力以及结合所学知识分析、解决问题的能力。因此，我们在平时教学中，应该借助专题探究进行解题训练，提高学生的解题能力。
例如，专题探究“透视我国的人口国情”中有三张图片：图2-14、图2-15和图2-16（第60-61页），对这些图片，笔者在课堂教学中是这样处理的：第一步，让学生把三张图片设定为材料一、材料二、材料三，然后设问： (1) 材料一、二、三分别说明了什么？ (2) 它们反映的问题会带来哪些负面影响？ (3) 党和政府采取了哪些措施来解决这些问题？ (4) 面对这些问题，中学生可以做些什么？第二步，用课件出示同类问题的不同呈现方式，如文字材料、表格、折线图、漫画等，让学生再次解以上题目。这样练习，旨在让学生明白材料的呈现形式千变万化，如图表、文字、线状图、柱状图、漫画等，但问题的实质不变，解决问题的方法也不变，从而培养学生举一反三的能力。
另外，我们还可以对专题探究进行时空错位式的处理，即把某些材料“移”往别的教学内容教学中，进行同类归纳或异类对比。例如，专题探究“透视我国的人口国情”中的图2-15（第60页）反映了“我国人口文化素质不高”的人口国情，笔者曾把这一图片进行了“移位”处理，在专题探究“感受计划生育的成就”的教学中，与其中的图2-24（第69页反映我国人口文化素质不断提高）进行对比，把这两幅看似矛盾的图片放在一起让学生思考，有效地培养了学生多角度分析问题的能力，也大大提高了专题探究的利用率。
五、改头换面：改变专题探究的呈现形式，增加课堂的“新颖性”
专题探究的呈现形式很多，有文字材料、统计材料、图片材料，具有很强的典型性、直观性和欣赏性，但千篇一律地照本宣科会影响学生的学习积极性和教学的有效性，这就要求我们适时适地地改变专题探究的呈现形式，增加课堂的“新颖性”。
例如，专题探究“感动不平凡的变化”，通过“有感于生活用品的变化”这一活动，让学生感受改革开放以来人民生活发生的巨大变化，教材第25页呈现了数幅图片帮助学生理解（图1-32煤油灯、图1-33收音机、图1-34各种票证），但往往不如生活中的实物更有说服力。上新课前，笔者让学生展示了从长辈那里收集来的那个年代的生活用品。虽然学生收集到的物品很少，只有老式的手表、收音机、针线板等几件“古董”，但它们一出现在课堂上，立即让学生内心受到了强烈的震动，真切地认识了人民生活水平有了何等的提高。另外，随着多媒体教学广泛进入课堂，我们也可以借助多媒体生动地呈现更多的相关情景。例如，专题探究“让天空变蓝”中的第一个活动是“远离沙尘暴”（第75页），课本中已有文字说明和示意图，为了让学生能更直观地面对中国的环境问题，笔者在课堂上又加播了有关沙尘暴的视频，效果甚好。
篇4：突破专题提升能力
【关键词】专题复习 复习策略
【中图分类号】G633.8【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）31-0154-02
2016年广东省普通高考使用全国I卷，比原广东卷难度要大，知识点再现率要小。高三化学的总复习必然面临内容多、时间紧、任务重的窘迫局面，如何有效地进行化学高考复习是值得我们深入探讨的。在过去的2016届高考中，我校高三化学采用专题复习，收到了事半功倍的效果。所谓专题复习就是把一类类的相关问题整合起来，当作一个专题而进行的专项复习，可以说，它是高考化学复习必不可少的重要环节。专题复习有利于让学生摆脱教材的束缚，将零碎、分散的化学知识进行高度的融合、整理，形成完整和系统的知识体系，从而提升学生的化学能力，达到知识灵活运用的层次。因此，专题复习的好坏对教学效果乃至高考成绩起到了直接的影响，我们应该予以高度重视。那么，应该怎么开展专题复习呢？就此问题，笔者结合自己的教学实践谈点肤浅的看法。
一、设计专题复习内容的原则
1.关联性原则
一个专题必须是由相关或相似的化学知识经过提炼综合而成。如电荷守恒、物料守恒、质子守恒、盐类水解原理等知识点可以整合成《溶液中离子浓度大小比较专题》。
2.重点性原则
构建专题应以高考的重点、难点、热点、化学学科主干知识为核心。如全国I卷常考的考点有阿伏加德罗常数、同分异构体数目或书写、周期表周期律、原电池与电解池、电解质溶液、溶度积、化学基本实验操作等等，这些都可以作为设计专题的重点。
3.提高性原则
按教材的章节进行复习只能停留在知识的表面，学生的能力并没有实质性的提高。而专题复习则应该让学生站在新的角度或高度上，进一步感悟知识的内涵和外延，明显地从能力和方法上提升学生，是一个从量变到质变的飞跃过程。
4.针对性原则
专题复习必须针对学生的实际情况，针对学生的薄弱环节，把知识的易错点、易混点设计成专题，把学生心中的一个个疑惑组装设计成专题，从而把握好专题复习的方向，做到有的放矢，加强复习的针对性和实用性。
二、专题复习的策略
1.相关类比，异中求真
专题复习要探寻专题知识的共性、规律性的问题。谚语有云：笨拙的教师只是传授真理，聪明的教师教学生发现真理。在化学知识中，有许多相似的概念、原理等，例如，电荷守恒、物料守恒和质子守恒；原电池和电解池等，学生在学习的过程中容易模糊，容易混淆。在复习过程中，教师应该把这些知识点收集整合到一起，学生通过类比法，把相应的知识点梳理清楚。这样有利于学生把握知识的共性和规律性，使知识得以升华和发展，并提高学生分析问题和解决问题的能力。例如在《电化学》专题复习中，学生从装置举例、能量转换、电极名称等方面比较原电池与电解池装置：
通过以上类比，知识得以升华，再让学生总结出以下规律：判断原电池和电解池的关键是什么？二次电池的充放电过程实质是什么？原电池与电解池涉及的计算往往利用的都是什么法？
复习完这个专题，学生心中豁然开朗，如下图这两套装置（N装置中两个电极均为石墨棒），以前学生是一头雾水，判断不出装置类型，专题复习后思路清晰得多了。
2.分散归类，化零为整
在专题复习时必须打破模块顺序，章节顺序，将分散的知识点连成线、结成网。通过学生自己梳理知识，找到知识的纵横联系，把知识点化零为整，化繁为简，使之系统化、条理化，形成一定的知识网络，从而提高学生对化学知识的归纳能力、分析能力、运用能力。例如：以阿伏加德罗常数为中心的概念和计算是高考命题的热点，考的难度也不大，但失分者依然较多，究其原因是阿伏加德罗常数考查的知识细致而全面，命题者往往又喜欢给这种题型设置陷阱，但学生一来解题时没有注意所给的条件，审题不仔细，造成错解；二来学生脑海中的阿伏加德罗常数考点渗透在必修1、2和选修3、4、5等几本书各章节中，牵涉到电子转移的数目、化学键数目、水解等等，考点很多，很杂，简直就是一团乱麻，但却没有将其归类，整理。其实教师可以通过《阿伏加德罗常数考题归纳与分析》的专题复习让学生总结出阿伏加德罗常数的考查内容有：
⑴考查氧化还原反应中电子转移的数目
⑵考查物质的电离、水解
⑶考查标准状况时对物质状态的了解
⑷考查气体摩尔体积的适用条件
⑸考查物质中所含的微粒数目
⑹考查分子或晶体结构中的化学键数目
⑺考查特殊物质的摩尔质量和隐含反应的分析
每个考查内容让学生自己写出常考的题目好好斟酌斟酌，并在审题细节上下工夫，灵活应用各种知识，阿伏加德罗常数题就可以做到战无不胜了。
3.逐个击破，化难为易
全国I卷高考包含的专题很多，高考二卷中的每一道大题的题型就可以作为一个大专题，但这样的大专题本身包含的考点又多又难，又是高考的重点和难点，学生必然觉得复杂繁琐，难以理解、难以掌握，这时我们应该针对学生的薄弱环节把大专题再设计成几个小专题，把复杂的问题分解为若干个小问题，然后逐个击破，化难为易，化大为小。因为小专题内容单纯，针对性更强，复习更灵活。如化学工业流程题是近几年高考的主流题型之一，但因为化学工业流程题背景新颖，知识覆盖面广，思维跨度大，综合性强，涵盖了元素及其化合物的知识、反应原理以及实验基本操作等知识令不少考生避而远之。为解决这种困境，教师可以将化学工业流程题专题复习分解为几个小专题：《陌生方程式的书写》专题复习让学生对化工流程题中方程式的书写不再感到纠结；《化工流程中原料的预处理》专题复习消除学生对浸出率等化工专业术语的恐惧和熟悉化工生产原料的预处理方法；《化工流程的尾声——分离提纯定乾坤》专题复习帮助学生理清蒸发结晶与冷却结晶，过滤与趁热过滤，洗涤与干燥等的区别；《高考化工流程题对实验基本操作的考查》专题复习归纳化工流程题中常见的实验基本操作的考查。专题复习的魔力让学生大展身手，此时哪怕遇到再复杂的化工流程题也信心大增，有的甚至能应付自如。
4.教师引导，人人参与
说起专题复习不少教师肯定会认为无非就是教师把某专题知识梳理清晰，归纳出结论印发给学生，在课堂上讲清楚，学生考试肯定就能过关。但我们往往也听到这些教师埋怨：讲了那么多遍，学生怎么还不懂？这是什么原因呢？现代著名教育家、心理学家布鲁纳说过：“教一个人某门学科，不是要他把一些结果记下来，而是教他参与把知识建立起来的过程。”为此，教师在专题复习中要发挥教师的主导作用，引导学生亲身经历知识的梳理、积极探索方法，自主建构知识网络，使他们人人参与学习，人人参与课堂，让学生真正成为课堂的主人。也只有这样，学生各方面的能力才更快提高。笔者在《化学平衡图像》专题复习前，就要求学生在自我梳理知识的基础上，让学生尝试列出自己的复习提纲，并且就相关内容提出问题。教师应对每位学生的复习提纲进行认真、细致的审阅，存在问题多的，教师再予以集体引导进行修改。例如很多学生就普遍存在图像题的类型不齐全，归纳的解题方法不到位的问题。对个别学生存在的个别问题教师应予以个别面批指正。当然学生自己编写的复习提纲，往往不及教师编写的科学和完善，也貌似浪费了学生不少时间，但因为学生亲自参与了知识的梳理过程，对知识的理解特别透彻，特别深刻，掌握知识的情况远比教师的满堂灌要强得多。而且这样做，学生参与课堂复习的热情大为高涨，因为毕竟有他们自己辛勤劳动的成果，成功的喜悦写满脸上，甚至期待下一次的编写复习提纲。高考复习的课堂不再是教师枯燥的独角戏！同时，教师根据学生列出的复习提纲，可以清楚地了解学生对知识的领悟程度，从而提高课堂上复习的针对性和有效性。
经过一年的教学实践，笔者发现：适当、科学地突破专题复习，贯彻以上复习策略，注重方法训练，并配以精心挑选的练习加以巩固教学效果，能收到理想的复习效果，大大地提高学生的化学能力，成绩的提高是水到渠成的事情。
参考文献：
[1]郭浩芳.浅谈高三专题复习中的习题选编 [J] .中学化学教学参考，2011，（10）：49-51.
篇5：代数式提升专题
第一章
行列式
（一）行列式的定义
行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.1．二阶行列式
由4个数得到下列式子：称为一个二阶行列式，其运算规则为
2．三阶行列式
由9个数得到下列式子：
称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.3．余子式及代数余子式
设有三阶行列式
对任何一个元素，我们划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素的余子式，记成例如，再记，称为元素的代数余子式.例如，那么，三阶行列式定义为
我们把它称为按第一列的展开式，经常简写成4．n阶行列式
一阶行列式
n阶行列式
其中为元素的代数余子式.5．特殊行列式
上三角行列式
下三角行列式
对角行列式
（二）行列式的性质
性质1
行列式和它的转置行列式相等，即
性质2
用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.性质3
互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号.推论1
如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.推论2
如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.性质4
行列式可以按行（列）拆开.性质5
把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D.定理1（行列式展开定理）
n阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积的和，即
或
前一式称为D按第i行的展开式，后一式称为D按第j列的展开式.本定理说明，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值.定理2
n阶行列式的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零.即
或
（三）行列式的计算
行列式的计算主要采用以下两种基本方法：
（1）利用行列式性质，把原行列式化为上三角（或下三角）行列式再求值，此时要注意的是，在互换两行或两列时，必须在新的行列式的前面乘上（－1），在按行或按列提取公因子k时，必须在新的行列式前面乘上k.（2）把原行列式按选定的某一行或某一列展开，把行列式的阶数降低，再求出它的值，通常是利用性质在某一行或某一列中产生很多个“0”元素，再按这一行或这一列展开：
例1 计算行列式
解：观察到第二列第四行的元素为0，而且第二列第一行的元素是，利用这个元素可以把这一列其它两个非零元素化为0，然后按第二列展开.例2
计算行列式
解：方法1 这个行列式的元素含有文字，在计算它的值时，切忌用文字作字母，因为文字可能取0值.要注意观察其特点，这个行列式的特点是它的每一行元素之和均为（我们把它称为行和相同行列式），我们可以先把后三列都加到第一列上去，提出第一列的公因子，再将后三行都减去第一行：
方法2
观察到这个行列式每一行元素中有多个b，我们采用“加边法”来计算，即是构造一个与
有相同值的五阶行列式：
这样得到一个“箭形”行列式，如果，则原行列式的值为零，故不妨假设，即，把后四列的倍加到第一列上，可以把第一列的（－1）化为零.例3
三阶范德蒙德行列式
（四）克拉默法则
定理1（克拉默法则）设含有n个方程的n元线性方程组为
如果其系数行列式，则方程组必有唯一解：
其中是把D中第j列换成常数项后得到的行列式.把这个法则应用于齐次线性方程组，则有
定理2
设有含n个方程的n元齐次线性方程组
如果其系数行列式，则该方程组只有零解：
换句话说，若齐次线性方程组有非零解，则必有，在教材第二章中，将要证明，n个方程的n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零.第二章
矩阵
（一）矩阵的定义
1．矩阵的概念
由个数排成的一个m行n列的数表
称为一个m行n列矩阵或矩阵
当时，称为n阶矩阵或n阶方阵
元素全为零的矩阵称为零矩阵，用或O表示
2．3个常用的特殊方阵：
①n阶对角矩阵是指形如的矩阵
②n阶单位方阵是指形如的矩阵
③n阶三角矩阵是指形如的矩阵
3．矩阵与行列式的差异
矩阵仅是一个数表，而n阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“”与矩阵记号“”也不同，不能用错.（二）矩阵的运算
1．矩阵的同型与相等
设有矩阵，若，则说A与B是同型矩阵.若A与B同型,且对应元素相等，即，则称矩阵A与B相等，记为
因而只有当两个矩阵从型号到元素全一样的矩阵，才能说相等.2．矩阵的加、减法
设，是两个同型矩阵则规定
注意：只有A与B为同型矩阵，它们才可以相加或相减.由于矩阵的相加体现为元素的相加，因而与普通数的加法运算有相同的运算律.3．数乘运算
设，k为任一个数，则规定
故数k与矩阵A的乘积就是A中所有元素都乘以k，要注意数k与行列式D的乘积，只是用k乘行列式中某一行或某一列，这两种数乘截然不同.矩阵的数乘运算具有普通数的乘法所具有的运算律.4．乘法运算
设，则规定
其中
由此定义可知，只有当左矩阵A的列数与右矩阵B的行数相等时，AB才有意义，而且矩阵AB的行数为A的行数，AB的列数为B的列数，而矩阵AB中的元素是由左矩阵A中某一行元素与右矩阵B中某一列元素对应相乘再相加而得到.故矩阵乘法与普通数的乘法有所不同，一般地：
①不满足交换律，即
②在时，不能推出或，因而也不满足消去律.特别，若矩阵A与B满足，则称A与B可交换，此时A与B必为同阶方阵.矩阵乘法满足结合律，分配律及与数乘的结合律.5．方阵的乘幂与多项式方阵
设A为n阶方阵，则规定
特别
又若，则规定
称为A的方阵多项式，它也是一个n阶方阵
6．矩阵的转置
设A为一个矩阵，把A中行与列互换，得到一个矩阵，称为A的转置矩阵，记为，转置运算满足以下运算律：，，由转置运算给出对称矩阵，反对称矩阵的定义
设A为一个n阶方阵，若A满足，则称A为对称矩阵，若A满足，则称A为反对称矩阵.7．方阵的行列式
矩阵与行列式是两个完全不同的概念，但对于n阶方阵，有方阵的行列式的概念.设为一个n阶方阵，则由A中元素构成一个n阶行列式，称为方阵A的行列式，记为
方阵的行列式具有下列性质：设A，B为n阶方阵，k为数，则
①；
②
③
（三）方阵的逆矩阵
1．可逆矩阵的概念与性质
设A为一个n阶方阵，若存在另一个n阶方阵B，使满足，则把B称为A的逆矩阵，且说A为一个可逆矩阵，意指A是一个可以存在逆矩阵的矩阵，把A的逆矩阵B记为，从而A与首先必可交换，且乘积为单位方阵E.逆矩阵具有以下性质：设A，B为同阶可逆矩阵，为常数，则
①是可逆矩阵，且；
②AB是可逆矩阵，且；
③kA是可逆矩阵，且
④是可逆矩阵，且
⑤可逆矩阵可从矩阵等式的同侧消去，即
设P为可逆矩阵，则
2．伴随矩阵
设为一个n阶方阵，为A的行列式中元素的代数余子式，则矩阵称为A的伴随矩阵，记为（务必注意中元素排列的特点）
伴随矩阵必满足
（n为A的阶数）
3．n阶阵可逆的条件与逆矩阵的求法
定理：n阶方阵A可逆，且
推论：设A，B均为n阶方阵，且满足，则A，B都可逆，且，例1
设
（1）求A的伴随矩阵
（2）a，b，c，d满足什么条件时，A可逆？此时求
解：（1）对二阶方阵A，求的口诀为“主交换，次变号”即
（2）由，故当时，即，A为可逆矩阵
此时
（四）分块矩阵
1．分块矩阵的概念与运算
对于行数和列数较高的矩阵，为了表示方便和运算简洁，常用一些贯穿于矩阵的横线和纵线把矩阵分割成若干小块，每个小块叫做矩阵的子块，以子块为元素的形式上的矩阵叫做分块矩阵.在作分块矩阵的运算时，加、减法，数乘及转置是完全类似的，特别在乘法时，要注意到应使左矩阵A的列分块方式与右矩阵B的行分块方式一致，然后把子块当作元素来看待，相乘时A的各子块分别左乘B的对应的子块.2．准对角矩阵的逆矩阵
形如的分块矩阵称为准对角矩阵，其中均为方阵空白处都是零块.若都是可逆矩阵，则这个准对角矩阵也可逆，并且
（五）矩阵的初等变换与初等方阵
1．初等变换
对一个矩阵A施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为初等变换，（1）交换A的某两行（列）；
（2）用一个非零数k乘A的某一行（列）；
（3）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上.注意：矩阵的初等变换与行列式计算有本质区别，行列式计算是求值过程，用等号连接，而对矩阵施行初等变换是变换过程用“”连接前后矩阵.初等变换是矩阵理论中一个常用的运算，而且最常见的是利用矩阵的初等行变换把矩阵化成阶梯形矩阵，以至于化为行简化的阶梯形矩阵.2．初等方阵
由单位方阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵.由于初等变换有三种类型，相应的有三种类型的初等方阵，依次记为，和，容易证明，初等方阵都是可逆矩阵，且它们的逆矩阵还是同一类的初等方阵.3．初等变换与初等方阵的关系
设A为任一个矩阵，当在A的左边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等行变换；在A的右边乘一个初等方阵的乘积相当于对A作同类型的初等列变换.4．矩阵的等价与等价标准形
若矩阵A经过若干次初等变换变为B，则称A与B等价，记为
对任一个矩阵A，必与分块矩阵等价，称这个分块矩阵为A的等价标准形.即对任一个矩阵A，必存在n阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使得
5．用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵
设A为任一个n阶可逆矩阵，构造矩阵（A，E）
然后
注意：这里的初等变换必须是初等行变换.例2
求的逆矩阵
解：
则
例3
求解矩阵方程
解：令，则矩阵方程为，这里A即为例2中矩阵，是可逆的，在矩阵方程两边左乘，得
也能用初等行变换法，不用求出，而直接求
则
（六）矩阵的秩
1．秩的定义
设A为矩阵，把A中非零子式的最高阶数称为A的秩，记为秩或
零矩阵的秩为0，因而，对n阶方阵A，若秩，称A为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵.2．
秩的求法
由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩.对任一个矩阵A，只要用初等行变换把A化成阶梯形矩阵T，则秩(A)=秩(T)=T中非零行的行数.3．与满秩矩阵等价的条件
n阶方阵A满秩A可逆，即存在B，使
A非奇异，即
A的等价标准形为E
A可以表示为有限个初等方阵的乘积
齐次线性方程组只有零解
对任意非零列向量b，非齐次线性方程组有唯一解
A的行（列）向量组线性无关
A的行（列）向量组为的一个基
任意n维行（列）向量均可以表示为A的行（列）向量组的线性组合，且表示法唯一.A的特征值均不为零
为正定矩阵.（七）线性方程组的消元法.对任一个线性方程组
可以表示成矩阵形式，其中为系数矩阵，为常数列矩阵，为未知元列矩阵.从而线性方程组与增广矩阵一一对应.对于给定的线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解.第三章
向量空间
（一）n维向量的定义与向量组的线性组合1．
n维向量的定义与向量的线性运算
由n个数组成的一个有序数组称为一个n维向量，若用一行表示，称为n维行向量，即矩阵，若用一列表示，称为n维列向量，即矩阵
与矩阵线性运算类似，有向量的线性运算及运算律.2．向量的线性组合设是一组n维向量，是一组常数，则称
为的一个线性组合，常数称为组合系数.若一个向量可以表示成则称是的线性组合，或称可用线性表出.3．矩阵的行、列向量组
设A为一个矩阵，若把A按列分块，可得一个m维列向量组称之为A的列向量组.若把A按行分块，可得一个n维行向量组称之为A的行向量组.4．线性表示的判断及表出系数的求法.向量能用线性表出的充要条件是线性方程组有解，且每一个解就是一个组合系数.例1 问能否表示成，的线性组合？
解：设线性方程组为
对方程组的增广矩阵作初等行变换：
则方程组有唯一解
所以可以唯一地表示成的线性组合，且
（二）向量组的线性相关与线性无关
1．线性相关性概念
设是m个n维向量，如果存在m个不全为零的数，使得，则称向量组线性相关，称为相关系数.否则，称向量线性无关.由定义可知，线性无关就是指向量等式当且仅当时成立.特别
单个向量线性相关；
单个向量线性无关
2．求相关系数的方法
设为m个n维列向量，则线性相关m元齐次线性方程组有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数矩阵的秩小于m
例2
设向量组，试讨论其线性相关性.解：考虑方程组
其系数矩阵
于是，秩，所以向量组线性相关，与方程组同解的方程组为
令，得一个非零解为
则
3．线性相关性的若干基本定理
定理1
n维向量组线性相关至少有一个向量是其余向量的线性组合.即线性无关任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合.定理2
如果向量组线性无关，又线性相关，则可以用线性表出，且表示法是唯一的.定理3
若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部分必无关.定理4
无关组的接长向量组必无关.（三）向量组的极大无关组和向量组的秩
1．向量组等价的概念
若向量组S可以由向量组R线性表出，向量组R也可以由向量组S线性表出，则称这两个向量组等价.2．向量组的极大无关组
设T为一个向量组，若存在T的一个部分组S，它是线性无关的，且T中任一个向量都能由S线性表示，则称部分向量组S为T的一个极大无关组.显然，线性无关向量组的极大无关组就是其本身.对于线性相关的向量组，一般地，它的极大无关组不是唯一的，但有以下性质：
定理1
向量组T与它的任一个极大无关组等价，因而T的任意两个极大无关组等价.定理2
向量组T的任意两个极大无关组所含向量的个数相同.3．向量组的秩与矩阵的秩的关系
把向量组T的任意一个极大无关组中的所含向量的个数称为向量组T的秩.把矩阵A的行向量组的秩，称为A的行秩，把A的列向量组的秩称为A的列秩.定理：对任一个矩阵A，A的列秩=A的行秩=秩（A）
此定理说明，对于给定的向量组，可以按照列构造一个矩阵A，然后用矩阵的初等行变换法来求出向量组的秩和极大无关组.例3
求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出：
解：把所有的行向量都转置成列向量，构造一个矩阵，再用初等行变换把它化成简化阶梯形矩阵
易见B的秩为4，A的秩为4，从而秩，而且B中主元位于第一、二、三、五列，那么相应地为向量组的一个极大无关组，而且
（四）向量空间
1．向量空间及其子空间的定义
定义1
n维实列向量全体（或实行向量全体）构成的集合称为实n维向量空间，记作
定义2
设V是n维向量构成的非空集合，若V对于向量的线性运算封闭，则称集合V是的子空间，也称为向量空间.2．
向量空间的基与维数
设V为一个向量空间，它首先是一个向量组，把该向量组的任意一个极大无关组称为向量空间V的一个基，把向量组的秩称为向量空间的维数.显然，n维向量空间的维数为n，且中任意n个线性无关的向量都是的一个基.3．
向量在某个基下的坐标
设是向量空间V的一个基，则V中任一个向量都可以用唯一地线性表出，由r个表出系数组成的r维列向量称为向量在此基下的坐标.第四章
线性方程组
（一）线性方程组关于解的结论
定理1
设为n元非齐次线性方程组，则它有解的充要条件是
定理2
当n元非齐次线性方程组有解时，即时，那么
（1）有唯一解；
（2）有无穷多解.定理3
n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是
推论1
设A为n阶方阵，则n元齐次线性方程组有非零解
推论2
设A为矩阵，且，则n元齐次线性方程组必有非零解
（二）齐次线性方程组解的性质与解空间
首先对任一个线性方程组，我们把它的任一个解用一个列向量表示，称为该方程组的解向量，也简称为方程组的解.考虑由齐次线性方程组的解的全体所组成的向量集合显然V是非空的，因为V中有零向量，即零解，而且容易证明V对向量的加法运算及数乘运算封闭，即解向量的和仍为解，解向量的倍数仍为解，于是V成为n维列向量空间的一个子空间，我们称V为方程组的解空间
（三）齐次线性方程组的基础解系与通解
把n元齐次线性方程组的解空间的任一个基，称为该齐次线性方程组的一个基础解系.当n元齐次线性方程组有非零解时，即时，就一定存在基础解系，且基础解系中所含有线性无关解向量的个数为
求基础解系与通解的方法是：
对方程组先由消元法，求出一般解，再把一般解写成向量形式，即为方程组的通解，从中也能求出一个基础解系.例1
求的通解
解：对系数矩阵A，作初等行变换化成简化阶梯形矩阵：，有非零解，取为自由未知量，可得一般解为
写成向量形式，令，为任意常数，则通解为
可见，为方程组的一个基础解系.（四）非齐次线性方程组
1．非齐次线性方程组与它对应的齐次线性方程组（即导出组）的解之间的关系
设为一个n元非齐次线性方程组，为它的导出组，则它们的解之间有以下性质：
性质1
如果是的解，则是的解
性质2
如果是的解，是的解，则是的解
由这两个性质，可以得到的解的结构定理：
定理
设A是矩阵，且，则方程组的通解为
其中为的任一个解（称为特解）,为导出组的一个基础解系.2．求非齐次线性方程组的通解的方法
对非齐次线性方程组，由消元法求出其一般解，再把一般解改写为向量形式，就得到方程组的通解.例2
当参数a，b为何值时，线性方程组
有唯一解？有无穷多解？无解？在有无穷多解时，求出通解.解：对方程组的增广矩阵施行初等行变换，把它化成阶梯形矩阵：
当时，有唯一解；
当时，，无解；
当时，有无穷多解.此时，方程组的一般解为
篇6：代数式提升专题
姓名:________
班级:________
成绩:________
小朋友，带上你一段时间的学习成果，一起来做个自我检测吧，相信你一定是最棒的!
一、选择题
(共5题；共10分)
1.（2分）下列数中，个位上是8的数是（）。
A
.81
B
.65
C
.86
D
.48
2.（2分）下面数字只读一个零的数是（）
A
.3206600
B
.40800507
C
.60907200
D
.40103506
3.（2分）把38740用“万”作单位，保留两位小数约是（）
A
.3.87万
B
.38.7万
C
.387.40万
4.（2分）省略亿位后面的尾数，600800000约是（）。
A
.6亿
B
.6.008亿
C
.6.1亿
5.（2分）62148＞（）
A
.61248
B
.68241
C
.162048
二、判断题
(共5题；共10分)
6.（2分）判断对错.在小数的末尾添上两个“0”，这个小数就扩大了100倍．
7.（2分）72659省略百位后面的尾数约是727（）
8.（2分）计算小数加减法时，得数的小数部分有0的要把0去掉。（）
9.（2分）判断对错
（1）6.599＞6.6
（2）2.3＞2.3001
（3）56.782＞56.78
（4）0.009＞0.010
10.（2分）近似数是6.32的三位小数不止一个（）
三、填空题
(共10题；共37分)
11.（5分）下面每个数中的“8”分别表示多少？
780000000_______
840000000_______
350800000_______
58620000_______
12.（4分）第五次人口普查结果公布：中国总人口1295330000人，改写成以“万”为单位的数是_______人，省略“亿”后面的尾数约是_______人．
13.（7分）2.09的整数部分是_______，表示_______，“9”在_______位上，表示_______．
14.（2分）在括号里填上合适的数
如果零上9℃记作＋9℃，那么零下3℃记作_______℃．
15.（3分）把阴影部分用小数表示出来。
_______
_______
16.（1分）把一个小数的小数点先向右移动两位，再向左移动一位，得到的数是32.15，原来的数是_______。
17.（3分）6.954保留一位小数是_______，保留两位小数是_______．
18.（4分）9.462是一个_______位小数，它的计数单位是_______，它有_______个这样的单位，保留一位小数约是_______，精确到个位是_______。
19.（7分）一个袋食盐重500克，2袋食盐重_______克，合_______千克。
20.（1分）一个数的小数点向右移动一位后比原数大25.2，原数是_______．
四、计算题
(共2题；共24分)
21.（4分）一个三位小数，把它的小数点删掉后，这个数扩大了_______倍．
22.（20分）直接写得数。
10-8.7=
5.6÷1.4=
2.9÷2.9×9.2=
2.07÷0.01=
0.12=
0.63÷7=
2.81-1.7-0.3=
2×1.3×0.5=
五、解决问题
(共5题；共35分)
23.（5分）几个同学在一次100米赛跑中的成绩是李刚15.5秒，王朋14.9秒，赵松15.05秒，肖龙16.12秒，请你把他们的成绩按名次排列起来．
第一名：姓名
成绩；
第二名：姓名
成绩；
第三名：姓名
成绩；
第四名：姓名
成绩
．
24.（10分）超市中有四箱水果，价格分别如下：
鸭梨10千克，24.5元；
苹果12千克，28.80元；
橘子15千克，31.50元；
香蕉16千克，34.40元．
（1）算一算，哪种水果最便宜？
（2）李叔叔有20元钱，打算买3种水果，请你帮李叔叔设计买水果的方案，看最多能买多少千克水果(要求每种水果都是整千克数)．
（3）你们小组能组成几个不同的小数？
（4）计算出其中最大的小数和最小的小数除以0.5的商．
25.（5分）用下面的三张卡片可以组成哪些小数？它们的和是多少？
26.（5分）文文家新房子装修，打算给长方形的客厅铺上木地板，客厅长7.5米，宽4.6米，家居市场给出的木地板的价格是每平方米120元。他家客厅木地板大约需要多少钱？
27.（10分）量一量，填一填。
参考答案
一、选择题
(共5题；共10分)
1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、二、判断题
(共5题；共10分)
6-1、7-1、8-1、9-1、9-2、9-3、9-4、10-1、三、填空题
(共10题；共37分)
11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、18-1、19-1、20-1、四、计算题
(共2题；共24分)
21-1、22-1、五、解决问题
(共5题；共35分)