代数式与方程教案

撰写教案是教师的一项基本工作，也是将教学设计的理性思考转化为可操作的课堂教学方案的关键步骤。以下是小编整理的《代数式与方程教案》，欢迎大家借鉴与参考，希望对大家有所帮助！

第一篇：代数式与方程教案

数与代数教案四

数与代数教案四<四则运算>

1.运算定律。 加法交换律 a+b=b+a

加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)运算定律乘法交换律 a×b=b×a

乘法结合律 (a×b)×c=a×(b×c) 乘法分配率 (a+b)×c=a×c+b×c

2.混合运算。

(1

里面的。)

计算：(710-18×4)÷

简便运算：

①2.5×12.5×4×8②4×43+4×57

③(21-78)×17④5.03-2.14-1.86

第二篇：数值线性代数课程设计—超定方程组的求解

《数值线性代数课程设计》

专业： 信息与计算科学

班级： 13405011 学号： 1340501123 姓名： 实验日期：报告日期：实验地点：邢耀光 数理学院五楼机房

1

2016.05.09

2015.05.13

超定方程组的求解

邢耀光

(班级：13405011 学号1340501123)

摘要：在实验数据处理和曲线拟合问题中，求解超定方程组非常普遍。比较常用的方法是最小二乘法。形象的说，就是在无法完全满足给定条件的情况下，求一个最接近的解。最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。

关键字：最小二乘问题，残量，超定方程组，正则化方程组，Cholesky分解定理。

正文：

最小二乘法的背景：

最小二乘法(又称最小平方法)是一种数学优化技术。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。最小二乘法经常运用在交通运输学中。

交通发生预测的目的是建立分区产生的交通量与分区土地利用、社会经济特征等变量之间的定量关系，推算规划年各分区所产生的交通量。因为一次出行有两个端点，所以我们要分别分析一个区生成的交通和吸引的交通。

最小二乘问题：

最小二乘问题多产生于数据拟合问题。例如，假定给出m个点t1,...,tm和这m个点上的实验或观测数并假定给出在ti上取值的n个已知函数1(t),...,n(t)。考虑i 的线性组合 ，

f(x;t)x11(t)x22(t)...xnn(t) ， (1)

我们希望在t1,...,tm点上f(x;t)能最佳的逼近y1,...,ym这些数据。为此，若定义残量 据y1,...,ymj1

则问题成为：估计参数x1,...,xn，使残量r1,...,rm尽可能地小。(2)式可用矩阵-向量形式表示为

ri(x)yixjj(ti) ， i1,...,m ， (2)

n r(x)bAx ， (3) 其中

1(t1)n(t1)y1A,

b,

(t)(t)y1mnmm

TT )r(x(x,...x,,x)(r(x),...,r(x)).

1nm1

当mn时，我们可以要求r(x)0，则估计x的问题就可以用第一章中讨论的方法解决。当mn时，一般不可能使所有残量为零，但我们可要求残向量r(x)在某种范数意义下最小。最小二乘问题就是求x使残向量r(x)在2范数意义下最小。

定义1：给定矩阵ARmn及向量bRm，确定xRn，使得

2 bAx2r(x)2minr(y)2minAyb2. (4)

yRnyRn这就是所谓的最小二乘问题，简称为LS问题，其中的r(x) 常常被称为残向量。

在所讨论的最小二乘问题中，若r线性依赖于x，则称其为线性最小二乘问题：若r非线性依赖于x，则称其为非线性最小二乘问题。

最小二乘问题的解x又可称做线性方程组

Axb,

ARmn

(5)

的最小二乘解，即x在残向量r(x)bAx的2范数最小的意义下满足方程组(5)。当mn时称(5)式为超定方程组。

定理1:(Cholesky分解定理) 若ARnn对称正定，则存在一个对角元均为正数的下三角阵LRnn，使得

ALL. (6) (6)式称为Cholesky分解，其中的L称作A的Cholesky因子。

因此，若线性方程组Axb的系数矩阵是对称正定的，则我们自然可按如下的步骤求其解：

(1)计算A的Cholesky分解：ALL ;

(2)求解Lyb得y ;

(3)求解Lxy得x; 简单而实用的方法是直接比较ALL两边的对应元素来计算L。设

TTTTl11ll2122.

Llllnnn1n2T比较ALL两边对应的元素，得关系式

aij 首先，由a11l11，得

l11再由ai1l11li1，得

li1ai1l11，i1,...,n.

这样便得到了矩阵L的第一列元素。假定已经算出L的前k1列元素，由

akk得 2lp1jipjpl ，1jin (7)

a11.

lp1k2kp,

122 lkkakklkp. (8)

p1k1再由

得

aikliplkpliklkk ， ik1,...,n,

p1k1k1 likaikliplkplkk ，ik1,...,n. (9)

p1这样便求出了L的第k列元素。这种方法称为平方根法。

3

记最小二乘解的解集为LS，即

定理 ATAxATb. (10)

方程组(10)常常被称为最小二乘问题的正则化方程组或法方程组，它是一个含有n个变量和n个方程的线性方程组。在A的列向量线性无关的条件下，AA对称正定，故可用平方根法求解方程组(6)，这样，我们就得到了求解最小二乘问题最古老的算法———正则化方法，其基本步骤如下：

(1)计算CAA, dAb;

(2)用平方根法计算C的Cholesky分解：CLL; (3)求解三角方程组Lyd和Lxy.

TTTTT

2：xLS 当且仅当

LSxRn:x是LS问题(3)的解 ，

实验 ：

一：超定方程组的求解

原理：设A是mn阶矩阵mn，则线性方程组Axb为超定方程组，这里xR,bR。如

mm果A的秩为n，则称A为列满秩矩阵。超定方程组的解满足法方程AAxAb，该解使得

TTbAx 22min，称之为最小二乘解。

11 题目： 111TT1.11.12121.21.2221.31.3x3

21.41.441.51.525

用正则化方法求解，要求: (1)BLL 不得使用MathCAD指令Cholesky; (2)BLL使用MathCAD指令Cholesky。

11解：(1)A111 1.11.126.58.5551.21.22T8.5511.375 1.31.32 , 则 BAA6.51.41.428.5511.37515.2981.51.5215B21,20.5L2.907 , gATbLB2.236, 211111L1128.25

L31 B3123.824 , L22B22L210.316 , L11 4 LB32L31L2132L0.822 , LL2233B3331L320.037 , 22

2.236002.2362.9073.824 即 L2.9070.31600.037 , LT00.3160.822, 3.8240.822000.037

6.70810 则yL1g3.162xLT1y10 ,  , 9.27310132.4781011

x即为所求的最小二乘解。

11.11.1211.21.22(2)A2.2360011.31.32cholesky(B)2.9070.316011.41.423.8240.8220.03711.51.52， ,

2.236002.2362.9073.824 则 L2.9070.3160， LT00.3160.8223.8240.8220.037000.037,

6.70810 则yL1g3.162xLT1y10 , 

9.27310132.4781011,x即为所求的最小二乘解。

二：已知如下数据： xi0.00.20.40.60.81.01.2yi0.91.92.83.34.05.76.5 利用最小二乘法拟合曲线 ya1xa2.

0.00.90.21.9解：令B0.00.20.40.60.81.01.20.42.80.91.92.83.34.05.76.5 ,x0.6 ，y3.3 0.81.04.05.71.26.510.010.210.41 则A10.6XATAATy0.8434.571 ，即p(x)0.8434.571x ， , 10.811.011.2故最小二乘法拟合曲线为y4.571x0.843.

程序附录： 一;

11.11.12111.21.22256.58.55A11.31.32b3AxbBATA gATb, B6.58.5511.37511.41.428.5511.37515.298,45, ,,11.51.52 f(B)nrows(B)

Lidentityn()fork1nLkkBkkifk1k1LkkBkkLkp2otherwisep1forik1nBLkikiLifk1kk(break)ifknk1BikLipLkpLikp1LotherwisekkL

15g20.5, , 28.25,

002.23602.23602.2362.9073.824Tf(B)2.9070.3160L2.9070.3160L00.3160.82200.0373.8240.8220.037,Lf(B),3.8240.8220.037,0,

6.708103.16210yx119.27310132.4781011TyLg , xLy ,, ，

二;

120.00.20.40.60.81.01.2TT B , xB , yB, 0.91.92.83.34.05.76.5

00.90.21.90.42.8x0.6 ,y3.3 , x0, x0.2,nrows(x) ,n120.8415.71.26.507,i1n , Ai11

,

. 111Ax,AXy,A1i2i111p(s)0.8434.571x. 0.20.410.843,p(s)XT1

TTAy ,X0.6,XAA4.571s0.811.2

心得体会：

通过本次的课程设计，让我学会了很多，学会了简单的MathCAD 软件的用法。让我更加深刻了解最小二乘问题，和以往对知识的疏忽得以补充。不仅掌握了学习的知识，而其还可以培养和熟练使用资料，运用工具书的能力，把我们所学的课本知识与实践结合起来，起到温故而知新的作用。

参考文献：

1，《数值线性代数》(第二版) 北京大学出版社 徐树方，高立，张平方，编著。2013.01

email：974671870qq.com

1340501123：邢耀光

2016.05.13

7

第三篇：数与代数六年级下册复习教案

数与代数

数的认识(第一课时总课

时)

教学内容

数的意义、单位、读写、分类、基本性质(分数、小数)、互化、大小的比较、数的改写(近似值)、怎样判断一个分数能否化为有限小数。 教学目标

1、使学生们进一步理解整数、分数、小数、百分数(折数、成数)的意义，沟通知识之间的联系和区别。

2、通过整理复习，使学生形成知识网络，掌握复习方法，提高综合运用能力。

3、结合教学，渗透人文主义教育和事物之间是互相联系的思想。 教学重点

进一步理解整数、分数、小数、百分数的意义，沟通知识之间的联系和区别，形成知识网络，掌握复习方法，提高综合运用能力。 教学过程

一、旧知回顾

同学们从今天开始，我们一起来对小学阶段所学过的数学知识进行一个系统的整理和复习。

说一说你都用过哪些数?举例说明。

二、复习整理

1、学生独立整理，构建网络。

2、交流汇报。

三、巩固训练 填空。

1、用三个8和三个0组成六位数中，一个零都不读的最小六位数是(

)，只读一个零的最大六位数是(

)。

2、我国14岁以上的青少年学生约为221950000人，读作(

)，用“万”作单位的数是(

)，改写成以“亿”为单位的近似数是(

)。

3、甲比乙少33.3，如果甲的小数点向右移动一位，就号乙相等，乙是(

)。

4、23的分母加上9，要使分数的大小不变，分子应加上(

)。

5、一道数学题，全班35人做对，5人做错，正确率是(

)。

6、把12.07万改写成用“一”作单位的数是(

)，读作(

)

7、一根竹竿长7米，平均截成5段，每段是这根竹竿的(

)，每段长(

)米。

8、一个三位小数用“四舍五入”法取近似值是7.30，这个数最大是(

)，最小是(

)。

9、分母是12的所有最简真分数的和是(

)。

10、a3，当a为(

)时，

a3为真分数，当a为(

)时，

a3为假分数。

判断。

1、整数都是自然数。(

)

2、14千克也可以写成25%千克。(

)

3、红红先做了100道题，正确率是98%，她又做对了2道题，这时他的正确率是100%。(

)

4、0.8和0.80完全一样，没有任何不同。(

)

5、0表示一个物体也没有，也表示起点，还用来占位以及表示分界。(

)

6、一个数如果不是正数就是负数。(

)

7、一个数的末尾添上一个0，这个数就扩大10倍。(

)

8、75%和

9、213575100写法不同，但意义相同。(

)

不能化为有限小数。(

)

10、分母是100的分数就叫百分数。(

)

四、课堂小结。

第四篇：二年级数与代数总复习教案

数与代数教学设计

教学目标：

1、进一步熟练地掌握三位数加减法的笔算及演算。熟练掌握用竖式计算除法。

2、结合实际情况，使学生具有一定得收集数学信息提出问题并解决问题的能力。

教学过程:

一、谈话导入

老师：时间过得真快，开学已经到了第二个月了，我们已经学习了数与代数这一板块的两个大内容，这节课我们就把学习的这两个大内容的知识做一个简单的复习。大家有没有信心完成这个任务呢?

二、自主探究

师：大家想一想，在数与代数这个版块中，我们都学习了哪些知识? 学生回答：(举手)

生活中的大数(万以内数的读写、数的组成、大小比较、还有估算) 竖式除法的计算(有余数的余数要比除数小) 师：举例说一说你在二年级又认识了那些新数? 生：认识了比较大的数(千位数、百位数)。(例如学生说数字236

5、4908等)

师：你会不会把你认识的数进行比较吗?下面看一看老师给你的数字你能它们按从大到小的顺序排列吗?先说一说你是怎样比较大小的。

课件出示一些数字(京杭运河约1749千米 长江长度约6397千米 黄河长度约5464千米)

生：在比较数的大小时：

一般先比较位数，位数多的数就大;

如果数为相同，就从最高位比起，最高位上的数字大的数就大; 最高位相同，就比较下一位，一次往下比。 (学生进行数的比较并汇报结果)

结果：最大的数是长江的长度约6397千米

黄河长度约5464千米

京杭运河约1749千米

师提问：你们能不能在数线上标出1749的大致位置?(画一个数线学生标出位置)

师：想一想，你在解决问题方面有哪些进步? 学生：(会看数学信息、根据信息理解题意、会计算。) 师：下面就有几道题我们一起去看看。(课件出示练习题)

例题：妈妈买了17个苹果，如果每盘放5个苹果，平均可以放几盘?还剩几个?

分析理解：求平均可以放几盘?也就是求15里面有几个5?(用除法计算)

学生独立完成，个别展示。

说一说计算由于数的除法时要注意什么? 学生回答：要注意余数必须比除数小。

三、当堂训练

1、写出下面的数，按从小到大的顺序排列。

二千五百五十三

四百六十八

六千七百

2、竖式计算。

25÷6 =

56÷8 = 27÷4 =

四、课堂总结

今天我们复习了生活中的大数和除法的一些知识，希望我们在日常生活中遇到类似问题，能够灵活运用学习的知识去解决。

第五篇：式与方程教案

教学内容：义务教育课程标准实验教科书第12册92页“整理与反思”和“练习与实践”1-6 教学目标：

1.使学生进一步理解用字母表示数的作用和等式的性质，体会用字母表示数的简洁性，渗透初步的代数思想。在比较中进一步加深对方程、方程的解及解方程的区别、方程与等式的关系的理解。

2.使学生进一步掌握“ax±b=c”、“ax×b=c”、“ax÷b=c”、“ax±bx=c”等形式的方程解法，培养学生自觉检验的良好习惯。

3.使学生进一步掌握列方程解决实际问题的基本思考方法，提高学生分析理解数量关系的能力，体会列方程解决实际问题的方便性。

教学重点、难点：用字母表示数和解简易方程。 教学设计：

一、用字母表示数 1.复习用字母表示数。

我们知道，用字母表示数可以简明地表达数量关系、运算定律和计算公式.为研究和解决问题带来很多方便;我们通过下面的例子。边回忆、边总结以前学过的内容和方法。

大家先想一想。在一个含有字母的式子里.数字与字母、字母与字母相乘，应该怎样写?例如，a乘以4.5可以怎样写? s乘以h可以怎样写?(a乘以4.5可以写成a×4.5或a·4.5或4.5a。不可以写成a4.5。s乘以h可以写成S.h或Sh) 指出：除了不能写成a4.5以外。其他都是对的。

例l、用a表示单价,x表示数量，c表示总价.写出下面的数量关系式。

(1)已知单价和数量.求总价的公式;

(2)已知总价和数量，求单价的公式：

(3)已知总价和单价。求数量的公式： (4)如果每文圆珠笔的价钱是3.75，要计算买8支圆珠笔要用多少钱，应该用上面的哪个公式? 巡视时，注意观察学生用的字母和公式的写法是否正确、发现遗忘的要及时辅导，并纠正错误。写完后，集体订正。 2.做教科书第92页第1题。

二、简易方程

1.复习方程的概念。

(1)出示复习题：下列等式，哪些是方程，哪些不是方程?并说明理由。

18+25=43 5x+4x+8=35

x-2

4×3-18÷3 = 6

3x+5=7

a+4 我们知道含有未知数的等式叫做方程。方程的特征是：它含有未知数，同时又是—个等式。 (2)提问：方程与等式有什么联系和区别?

指出：方程一定是等式，但等式不一定是方程。可以用集合图表示给学生看。 (3)举例说说什么是等式的性质?你怎样理解“同时”、“同一个数”、“0除外”这些词的?利用等式的性质可以做什么?

(4)说一说“方程的解”与“解方程”有什么区别? 2.复习解简易方程。

例：解下列方程，并写出检验过程。 3X+5=7

5X+4X+8=35 学生做题时.教师巡视。注意帮助有困难的学生和及时纠正错误。 在解方程的过程中。我们主要是应用了加、减、乘、除法中各部分间的关系和一些运算定律。 3.做教科书第92页上面的第2题。

教师引导学生分别按照复习的过程叙述和小结复习的内容。

三、复习列方程解应用题

1、说出下面各题中数量之间的相等关系。 (1)养禽场一共养鸡鸭600只。(2)红花比黄花少25朵。

(3)参加航模组的人数是参加美术组的3倍。

(4)花金鱼比黑金鱼的1.2倍还多8条。

3、P93第6题。

课前让学生了解自己穿的鞋的码数和厘米数，课上完成时出示码数和厘米数之间的换算关系后，让学生验证这种换算关系正确与否，后引导学生分析知道厘米数求码数与知道码数求厘米数通常应各采用什么方法解，再让学生独立解答填表，最后全班交流。

四、补充

1、在( )里写出含有字母的式子。 (1)3个x相加的和(

)，3个x相乘的积(

)。(2)一批煤有a吨，烧了8天，平均每天烧m吨，还剩(

)吨。(3)一个圆柱底面半径为r，高为h，它的体积v=(

)。 (4)松树高y米，杨树比松树的3/4少5米，杨树高(

)米。

(5)小明今年a岁，小华今年b岁，经过x年后，两人相差(

)岁。

2、判断。

(1)方程一定是等式，等式一定是方程。(

) (2)方程两边同时乘或除以同一个数，所得结果仍然是方程。(

) (3)畜牧场养了600头肉牛，比奶牛的2倍多80头，求奶牛有多少头?可以列式为600÷2+80。(

)

3、选择。

(1)下面的式子中，(

)是方程。

A、25x

B、15-3=12

C、6x+1=6

D、4x+7<9 (2)x=3是下面方程(

)的解。

A、2x+9=15

B、3x=4.5

C、18.8÷x=4

D、3x÷2=18 (3)当a=4，b=5，c=6时，bc-ac的值是(

)。 A、1

B、10

C、6

D、4 (4)五年级种树60棵，比四年级种的2倍少4棵。四年级种树(

)。

A、26棵

B、32棵

C、19棵

D、28棵

4、列方程解答下面各题。

(1)养鸡场一共养鸡650只，其中母鸡的只数是公鸡的1.6倍，养鸡场养母鸡多少只? (2)学校开展兴趣小组活动，参加书法组的有36人，比美术组的2.5倍少9人，参加美术组的有几人? (3)甲、乙两桶油，甲桶油的重量是乙桶油的3倍，如果从甲桶取出28千克，乙桶加入4千克，这时两桶油的重量相等，甲、乙两桶原来各有多少千克油?

课前思考： “整理与反思”中的3个问题，可采用先小组讨论、后全班交流的方式进行，讨论时要让学生结合一些具体的例子来说明。要加强一些相近知识的比较，如等式与方程的比较，方程、方程的解与解方程的比较等。要注意培养学生一些良好的学习习惯，如方程解好后自觉检验的习惯、列方程解决实际问题前先分析数量关系后解答的习惯。要重视学生分析理解数量关系的训练。

课前思考：本课时的复习内容有两大块：用字母表示数和方程，就教材而言，我们在“整理与反思”中需要帮助学生系统整理这两块内容。当然在整理与反思的环节中可以穿插进行教材提供的配套练习，这样更能帮助学生理解相关内容。沈老师的复习课的设计体现了这样的做法，我也会按这样的教学思路来上本节复习课。

在复习“用字母表示数”中，需要帮助学生理一理，特别是有些注意点要强调。如：在含有字母的乘法算式里，乘号可以省略不写或用“.”表示，但数和数相乘时，乘号不能省略。数字和字母相乘省略乘号时，一般把数字写在字母前面。1与任何字母相乘时，1都省略不写。注意2a与a2的区别。 在复习“方程”时，除了复习方程的意义、等式的性质和解方程、列方程解决实际问题外，还要在解方程时突出检验的重要性，在列方程解决问题时突出书写格式和检验方法并要结合教材提供的列方程解决实际问题帮助学生了解一般哪些实际问题适合列方程解答。

沈老师补充了很多较实用的配套练习，估计课上来不及完成，还需另找时间组织学生练习。 课后反思：这节课主要复习用字母表示数的方法，以及方程的意义和解法。先组织学生讨论三个问题，首先要求学生举出有字母的式子可以表示公式、运算律和数量关系;然后要求学生说说方程与等式的联系和区别，在比较中进一步明确方程的含义;接着要求结合具体的例子回忆并整理等式的有关性质，在整理中进一步理解解方程的依据和方法。如练习第1题，让学生体会用字母表示数的应用价值，第2题，使学生加深对等式性质的认识，并自觉整理有关方程的解法。其中第6题让学生利用鞋的码数与厘米数之间的换算关系，学生对这个题目也比较感兴趣，根据已知的码数列方程求出相应的厘米数，或根据已知的厘米数列算式求出相应的码数，通过练习使学生进一步掌握列方程解决问题的基本思考方法。 课后反思：从学生的学习情况来看，用字母表示数有一部分学生已经遗忘，如1和字母相乘，1是不用写的，数字和字母相乘，乘号要省略，数字要写在字母的前面，a的平方表示两个a相乘，而2a表示2乘a,这一点要让学生区分。在括号里写出含有字母的式子，有一部分学生完成的不够好，尤其是补充习题上的一题用r表示圆锥的底面半径，h表示圆锥的高，要求写出圆锥体积的计算公式，出乎我意料的是学生完成的很不好。

关于方程和等式的一些基本知识，学生都能掌握，如果题目的难度有所增加，如补充的最后一道应用题，有相当一部分学生束手无策，需要老师的指导，尤其是一些学习困难生，讲解一遍对他们来说也是不够的。 课前思考：认真学习了沈老师对式与方程这个内容的整理与反思，沈老师除了教材上提供的习题内容外，补充了很多平时学生易错的内容，我的教学进步比组内老师慢一些，她们的课前思考与课后反思对我是很大的帮助与建议。

结合教学内容以及沈老师的教学设计预案，我想将教学设计作略微调整。

1、与潘老师的想法相同，先通过讨论整理与反思的三个问题，让学生对原有知识沟其回忆。

2、复习用字母表示数和数量关系。特别是沈老师在前后两节课中补充了很多相应的练习，特别是用含有字母的式子来表示的习题，我想将这两节课中涉及到的内容先整理与复习。并将第93页上第9题作为用字母表示数的拓展练习进行巩固。

3、复习解方程。除了教材上的内容外，再补充平时学生易错的类型。比如： 3x-6+4=16

x+0.25x=10

1+0.25x=10 列方程解决实际问题放在第二课时专项复习。

课后反思：本课时中，我借助沈老师设计的复习课教案就“用字母表示数”和“方程”进行了复习。总体情况较好，但在练习过程中，还是发现出现了一些错误，还是关于“用字母表示数”这部分的练习。如：有一题判断题：一个两位数，个位是b，十位是a，这个两位数是ab。大部分学生都误认为是对的。另外一题是2a无论什么情况下都不可能等于a2。这一题也有不少学生认为是对的。看来还是不能灵活运用所学知识来解决问题。还有一题填空题：3个连续自然数，中间的一个数是m，这3个数的和是(

)，这3个数的平均数是(

)。这一题也有一些学生不会用含有字母的式子来表示。在后面的复习中，还要针对学生存在的问题进行相关练习。 课后反思：本节课复习时主要围绕两个内容：

1、是用含有字母的式子表示数与数量关系;

2、是方程的意义与解方程。由于用字母表示比较抽象，所以在复习时也出现了类似孙老师所讲的那种问题，这些问题的出现正好可以进一步对这些知识进行查漏补缺。