晋级课证明不等式的基本方法—比较法

2024-05-15

晋级课证明不等式的基本方法—比较法（精选6篇）

篇1：晋级课证明不等式的基本方法—比较法

证明不等式的基本方法—比较法

高二数学组李彩妨

【学习目标】

1、理解并掌握证明不等式的基本方法---比较法;

2、熟悉并掌握比较法证明不等式的基本步骤：作差（商）---变形---判断---结论.【重、难点】

重点：求差比较法证明不等式。难点：求差、商后，如何对“差式”“商式”进行适当变形，并判断符号。

【教学过程】【复习导入】

初中时候，我们学习了比较两实数大小的方法，其主要依据是实数运算的符号法则，首先，我们作一简要的复习.abab0，abab0，abab0

利用上述等价形式，也可证明不等式.如果用akg白糖制出bkg糖溶液，则其浓度为a/b.若在上述溶液中再添加mkg白糖，此时溶液的浓度增加到（a+m）/(b+m),比较a/b 与（a+m）/(b+m)的大小。

【新知探究】

1．比较法证明不等式的一般步骤：作差（商）—变形—判断—结论

2．作差法：a－b＞0a＞b，a－b＜0a＜b.作差法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解（分式通分、无理式有理化等）后，把差写成积的形式或配成完全平方式.3．作商法：a＞0，b＞0，a＞1a＞b.ba＞1不能推出a＞b.这里要注意a、b两数的符号.b比商法要注意使用条件，若【典型例题】

3322例

1、已知a,b都是正数，并且ab，求证：ababab.练习：

设xR，求证：（1）xx1

–

“学海无涯苦作舟，书山有路勤为径” 23

52（2）1xx 44例

2、已知a,b都是正数，求证：aabbabba, 当且仅当ab时，等号成立。

变式训练：已知a>b>0,求证：(ab)aba2bb2a

【小结评价】

1、作差（商）法的一般步骤

2、作差法和作商法的区别

【自我检测】

1．设0＜x＜1，则a=2x，b=1+x，c=A.a B.b

1中最大的一个是 1x C.c

D.不能确定

2．已知x、y∈R，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，则M与N的大小关系是

A.M≥N

B.M≤N

C.M=N

D.不能确定 3．若11＜＜0，则下列结论不正确的是．．．ab

B.ab＜b2 D.|a|+|b|＞|a+b| A.a2＜b2 baC.+＞2 ab4．已知|a+b|＜－c（a、b、c∈R），给出下列不等式：

①a＜－b－c；②a＞－b+c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的是____________.（把成立的不等式的序号都填上）

5．若a、b∈R，有下列不等式：①a+3＞2a；②a+b≥2（a－b－1）；③a+b＞ab+ab；④1a+≥2.其中一定成立的是__________.（把成立的不等式的序号都填上）a-2 –

“天下事，必作于细”

篇2：晋级课证明不等式的基本方法—比较法

【学习目标】

能熟练运用比较法来证明不等式。

【新知探究】

1．比较法证明不等式的一般步骤：作差（商）—变形—判断—结论.2．作差法：a－b＞0a＞b，a－b＜0a＜b.作差法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差后需要判断差的符号，作差变形的方向常常是因式分解（分式通分、无理式有理化等）后，把差写成积的形式或配成完全平方式.3．作商法：a＞0，b＞0，a＞1a＞b.b

a＞1不能推出a＞b.这里要注意a、b两数的符号.b比商法要注意使用条件，若

【自我检测】

1中最大的一个是 1x

A.aB.bC.cD.不能确定

2．已知x、y∈R，M=x2+y2+1，N=x+y+xy，则M与N的大小关系是

A.M≥NB.M≤NC.M=ND.不能确定 1．设0＜x＜1，则a=2x，b=1+x，c=

3．若11＜＜0，则下列结论不正确的是．．．ab

B.ab＜b2 A.a2＜b

2C.ba+＞2D.|a|+|b|＞|a+b| ab

4．已知|a+b|＜－c（a、b、c∈R），给出下列不等式：

①a＜－b－c；②a＞－b+c；③a＜b－c；④|a|＜|b|－c；⑤|a|＜－|b|－c.其中一定成立的是____________.（把成立的不等式的序号都填上）

5．若a、b∈R，有下列不等式：①a2+3＞2a；②a2+b2≥2（a－b－1）；③a5+b5＞a3b2+a2b3；④a+1≥2.其中一定成立的是__________.（把成立的不等式的序号都填上）a

【典型例题】

3322例

1、已知a,b都是正数，并且ab，求证：ababab.-1 –“学海无涯苦作舟，书山有路勤为径”

变式训练：当m＞n时，求证：m3－m2n－3mn2＞2m2n－6mn2＋n3．

例

2、已知a,b都是正数，求证：aabbabba, 当且仅当ab时，等号成立。

例

3、b克糖水中有a克糖(ba0)，若再添上m克糖，则糖水就变甜了，试根据这个事实提炼一个不等式：；并且加以证明。

变式训练：5.船在流水中在甲地和乙地间来回行驶一次的平均速度v1和在静水中的速度v2的大小关系为____________.并且加以证明。

【典型例题】课后练习课本P23习题2.11，2，3，4

篇3：“基本不等式的证明”教学案例

1. 问题情境, 导入新课

投影:有一个珠宝商人, 很多人到他那里买的东西回家一称发现分量都有问题, 于是向工商局投诉, 工商局派人去调查, 商人承认他用的天平左右的杆长有问题, 向人们提出一个调解方案, 放左边称变重对人们不公平, 放右边称变轻商人要亏本, 那么用两次称重的平均值作为物品的实际重量, 如果你是购买者, 你接受他的方案吗?

问题1:判别公平不公平的依据是什么?答找出实际重量

问题2:如何找出实际重量?你能不能把这个问题转化成一个数学问题?

珠宝放左边称砝码显示重量为a, 放右边称砝码显示重量为b, 假设天平的左杠杆长为l1, 右杠杆长l2, 那么这个珠宝的实际重量是多少? (会算吗?用什么原理来算?用物理的杠杆原理求解出实际重量 )

2. 学生活动

请两名同学上黑板 (巡视, 有不同的解法让他上黑板写一下, 这样可以收集不同的证明方法) .

先让学生谈一谈证的对不对, 他这个证明方法有什么特点?

3. 建构数学

问题:对于这个定理你怎么认识它? (结构有什么特点啊?成立的条件是什么?什么叫当且仅当?)

当a=b时, 取“=”, 并且只有当a=b时, 取“=”, 我们把这种等号成立的情况称之为当且仅当.

猜想:n个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数是否成立?如果成立条件是什么.

二、教学反思

篇4：不等式证明的基本方法

一、比较法

例1 设a、b是非负实数，求证：a3+b3≥ab（a2+b2）.

简解： a3+b3-ab（a2+b2）=a2a（a-b）+b2b（b-a）

=（a-b）［（a）5-（b）5］

当a≥b时，a≥b，从而（a）5≥（b）5，得（a-b）［（a）5-（b）5］≥0；

当a＜b时，a＜b，从而（a）5＜(b)5，得（a-b）［（a）5-(b)5］

＜0

所以a3+b3≥ab（a2+b2）.

二、分析法

例2 已知a＞0，b＞0，2c＞a+b，求证：c-c2-ab＜a＜c+c2-ab．

简解：要证c-c2-ab＜a＜c+c2-ab，只需证，-c2-ab＜a-c＜c2-ab

只需证，|a-c|＜c2-ab即证，(a-c)2＜c2-ab

即证a2-2ac＜-ab，∵ a＞0，只需证，a-2c＜-b

即证a+b＜2c，这为已知．故原不等式成立．

点评：分析法是执果索因，其步骤为未知→需知→已知，在操作中“要证”，“只需证”，“即证”这些词语是不可缺少的．

三、综合法

例3设函数f（x）=2x（1-ln2x），

求证：对任意a、b∈R+，均有f′a+b2≤f′(a)+f′(b)2≤f′2aba+b.

简解：

f′（x）=-2ln2x，f′（a）+f′（b）2=-ln4ab，

f′a+b2=-ln（a+b）2≤-ln4ab，

f′2aba+b=-2ln2•2aba+b≥-2ln4ab2ab=-ln4ab，

∴ f′a+b2≤f′（a）+f′（b）2≤f′2aba+b.

点评：综合法是由因导果，其步骤为：从已知条件出发，利用有关定理、公理、公式、概念等推导出结论不等式.

四、基本不等式法

例4 已知a、b、c均为正数，证明：a2+b2+c2+1a+1b+1c2≥63，并确定a、b、c为何值时，等号成立.

简解：因为a、b、c均为正数，由基本不等式得：

a2+b2≥2ab

b2+2≥2bc

c2+a2≥2ac

所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①

同理1a2+1b2+1c2≥1ab+1bc+1ac②

故a2+b2+c2+1a+1b+1c2

≥ab+bc+ac+31ab+31bc+31ac③

≥63

所以原不等式成立.

当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，（ab）2=（bc）2=（ac）2=3时，③式等号成立，

即当且仅当a=b=c=314时，原式等号成立.

点评：利用基本不等式必须注意：“一正，二定，三相等.”

五、反证法

例5 已知p3+q3=2，求证：p+q≤2.

分析：本题由已知条件直接证明结论，佷难找到证明的方法，正难则反，可以利用反证法.

简解：假设p+q＞2，则p＞2-q，p3＞（2-q）3，

∴ p3+q3＞q3+（2-q）3=q3+8-12q+6q2-q3=6q2-12q+8=6（q-1）2+2≥2

∴ p3+q3＞2与p3+q3=2矛盾，∴ p+q≤2.

点评：正难则反，使用反证法，从否定结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证明结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的.

六、放缩法

例6 设数列{an}满足a1=0且11-an+1-11-an=1.

（1）求{an}的通项公式；

(2)设bn=1-an+1n记Sn=∑nk=1bn，证明：Sn＜1.

分析：要证Sn＜1，先求出{bn}的通项公式，再求{bn}的前n项的和Sn，最后利用放缩法.

简解：(1)an=1-1n；

(2)bn=1-an+1n=n+1-nn+1•n=1n-1n+1，

Sn=∑nk=1bn=∑nk=11k-1k+1=1-1n+1＜1.

点评：放缩法是利用不等式的传递性，按题意及目标，作适当的放大或缩小，常用的放缩技巧有：

(1) 舍掉(或加进)一些项；(2)在分式中放大或缩小分子(或分母)；

七、柯西不等式法

例7 若n是不小于2的正整数，求证：47＜1-12+13-14+…+12n-1-12n＜22.

分析：从所要证明的不等式结构可转化为柯西不等式来证.

简解：1-12+13-14+…+12n-1-12n=1+12+13+…+12n-212+14+…+12n=1n+1+1n+2+…+12n

所以求证式等价于47＜1n+1+1n+2+…+12n＜22

由柯西不等式有1n+1+1n+2+…+12n［（n+1）+(n+2)+…+2n］＞n2于是：1n+1+1n+2+…+12n＞n2（n+1）+（n+2）+…+2n=2n3n+1=23+1n≥47

又由柯西不等式有

1n+1+1n+2+…+12n＜

（12+22+…+n2）1(n+1)2+1(n+2)2+…+1(2n)2＜

n1n(n+1)+1（n+1）（n+2）+…+1（2n-1）（2n）=

n1n-12n=22

八、构造法

例8 已知a、b∈R，求证：|a+b|1+|a+b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.

分析：本题若从绝对值不等式方面入手比较难，但观察不等式两边的结构，可看出是函数f(x)=x1+x（x≥0）自变量x分别取|a+b|、|a|、|b|的函数值，从而可构造函数求解.

简解：构造函数f(x)=x1+x（x≥0），首先判断其单调性，设0≤x1＜x2，因为f(x1)-f(x2)=x11+1-x21+x2=x1-x2(1+x1)（1+x2）＜0，所以f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在［0，+∞］上是增函数，取x1=|a+b|，x2=|a|+|b|，显然满足0≤x1≤x2，所以f(|a+b|)≤f(|a|+|b|)，

即|a+b|1+|a+b|≤|a|+|b|1+|a|+|b|=|a|1+|a|+|b|+|b|1+|a|+|b|≤|a|1+|a|+|b|1+|b|.

点评：抓住不等式的结构和特点，转化为函数思想求解是解决此题的关键.

篇5：证明不等式的基本方法一

------比较法

教学目的：

以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用教学重点：比较法的应用

教学难点：常见解题技巧

一、复习引入：

两实数的大小关系。

我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．例如，在图6一1中，点A表示实数a，点B表示实数b,点A在点B右边，那么ab．我们再看图6一1，ab表示a减去b所得的差是一个大于0的数即正数.一般地：

若ab，则ab是正数；逆命题也正确．

类似地，若ab，则ab是负数；若ab，则ab0；它们的逆命题都正确.这就是说：

abab0； b a abab0； A B abab0．图6—

1由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了.二、讲解新课：

思考一：

3322已知a,b是正数，且ab，求证：ababab

尝试：作差比较，作差——变形——定符号

证明：∵(ab)(abab)=a2(ab)b2(ab)

=(ab)(ab)=(ab)(ab)

2∵a,b是正数，且ab,∴ab0,(ab)>0

3322∴(ab)(abab)>0,∴ababab 3322332222

2注：比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法

比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论

例2（P21例）如果用akg白糖制出bkg糖溶液，则糖的质量分数为

时糖的质量分数增加到a，若上述溶液中添加mkg白糖，此bam，将这个事实抽象为数学问题，并给出证明。bm

ama 此即：已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：bmb

分析：这是一道分式不等式的证明题，依比较法证题步骤先将其作差，然后通分，由分子、分母的值的符

证明：amab(am)a(bm)m(ba)bmbb(bm)b(bm)

∵a,b,m都是正数，并且a 0 ,b  a > 0 ∴amam(ba) 0即bmbb(bm)

思考：若a > b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？例3．在⊿ABC中a、b、c分别是A、B、C的对边，S是三角形的面积求证： c2a2b24ab43S

222证明：在⊿ABC中cab2abcosC，S1absinC

2c2a2b24ab4S2abcosC4ab23absinC所以134ab(1cosCsinC)4ab[1C)]226

由于a，b∈（0，+∞）又sin(C)1 6

222则4ab[1sin(C)]0即cab4ab43S 6

abab2思考二：例4．设a, b  R+，求证：ab(ab)

方法2：作商法abba

a1b 理论根据： aab,b01bab0

操作方法：“作商——变形——判断商式大于1或小于1”

证明：（作商）aabb

(ab)ab

2aab2bba2a()bab2

a当a = b时，()bab2

1aba0,()2bab2a当a > b > 0时，1,b1

ab

2a当b > a > 0时，01,b

∴ab(ab)abab2aba0,()2b1（其余部分略）

注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论

2．比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论

三、练习

1．求证：x2 + 3 > 3x

证明：∵(x2 + 3) 3x = x3x()()3(x)

∴x2 + 3 > 3x

2．已知a, b都是正数，并且a  b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2 232232232230

4证明：(a5 + b5)(a2b3 + a3b2)=(a5  a3b2)+(b5  a2b3)

= a3(a2  b2) b3(a2  b2)=(a2  b2)(a3  b3)

=(a + b)(a  b)2(a2 + ab + b2)

∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0

又∵a  b，∴(a  b)2 > 0∴(a + b)(a  b)2(a2 + ab + b2)> 0

即a5 + b5 > a2b3 + a3b

23．例4后半题

四、小结：我们一起学习了证明不等式的最基本、最重要的方法：比较法，1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论

2．比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论

五、作业

篇6：晋级课证明不等式的基本方法—比较法

班级________姓名________考号________日期________得分________

一､选择题:(本大题共6小题,每小题6分,共36分,将正确答案的代号填在题后的括号.)

1.设P则P､Q､R的大小顺序是()

A.P>Q>RB.P>R>Q

C.Q>P>RD.Q>R>P

解析:即PR;

又,即R>Q;

故有P>R>Q.故应选B.答案:B

2.已知a>2,b>2,则a+b与ab的大小关系是()

A.a+b>abB.a+b

C.a+b≥abD.a+b≤ab

解析:解法一:∵a>2,b>2,∴a-1>1,b-1>1,∴(a-1)(b-1)>1,即ab-a-b>0,∴ab>a+b,故选B.解法二:a2,b2,0

1a111

2,0b2,01

a1

b1,即0ab

ab1,0abab,故选B.答案:B

3.若实数x,y适合不等式xy>1,x+y≥-2,则()

A.x>0,y>0B.x<0,y<0

C.x>0,y<0D.x<0,y>0内

解析:x,y异号时,显然与xy>1矛盾,所以可排除C､D.假设x<0,y<0,则x<1.y

∴x+y

又xy≠0,∴x>0,y>0.答案:A

4.若a,b∈(0,+∞),且

a≠b,M

()

A.M>NB.M

C.M≥ND.M≤N

解析:∵a,b∈(0,+∞),且a≠b,N ,则M与N的大小关系是 MN,故应选A.答案:A

5.已知a,b,c∈R,a+b+c=0,abc>0,T

A.T>0B.T<0

C.T=0D.无法判断T的正负

解析:∵a+b+c=0,∴(a+b+c)=a+b+c+2ab+2bc+2ac=0,即2ab+2bc+2ac=-(a+b+c)<0,∵abc>0,∴上述不等式两边同除以2abc, 2222222111,则()abc

111a2b2c

20,故选B.得Tabc2abc

答案:B

6.已知a,b,c,d都是正数,S

()

A.S<1B.S>1 abcd,则有abcabdcdacdb

C.S>2D.以上都不对

解析:S>

答案:B

二､填空题:(本大题共4小题,每小题6分,共24分,把正确答案填在题后的横线上.)

7.某品牌彩电厂家为了打开市场,促进销售,准备对其生产的某种型号的彩电降价销售,现有四种降价方案:

(1)先降价a%,再降价b%;

(2)先降价b%,再降价a%;

(3)先降价1(a+b+c+d)=1.abcdabab%,再降价 %;22

(4)一次性降价(a+b)%.其中a>0,b>0,a≠b,上述四种方案中,降价幅度最小的是________.解析:设降价前彩电的价格为1,降价后的彩电价格依次为x1、x2、x3、x4.则x1=(1-a%)(1-b%)=1-(a+b)%+a%·b%,x2=(1-b%)(1-a%)=x1,ababx31%1%22

211ab% ab%,

4x41ab%1ab%a%b%

a%b%x1x2,x3x1a%b%0,2

x3x1x2x4.答案:方案(3)

28.已知|a+b|<-c(a、b、c∈R),给出下列不等式:

①a<-b-c;②a>-b+c;③a9.函数

y的最大值为________.解析:函数的定义域为

[1,6].y212

≤[212]22]3515.y2≤15.由题意知y00y1即x

时等号成立.答案

10.已知x+2y+3z=

解析: