不等式证明的基本方法

2024-06-28

不等式证明的基本方法（精选十篇）

不等式证明的基本方法篇1

1. 问题情境, 导入新课

投影:有一个珠宝商人, 很多人到他那里买的东西回家一称发现分量都有问题, 于是向工商局投诉, 工商局派人去调查, 商人承认他用的天平左右的杆长有问题, 向人们提出一个调解方案, 放左边称变重对人们不公平, 放右边称变轻商人要亏本, 那么用两次称重的平均值作为物品的实际重量, 如果你是购买者, 你接受他的方案吗?

问题1:判别公平不公平的依据是什么?答找出实际重量

问题2:如何找出实际重量?你能不能把这个问题转化成一个数学问题?

珠宝放左边称砝码显示重量为a, 放右边称砝码显示重量为b, 假设天平的左杠杆长为l1, 右杠杆长l2, 那么这个珠宝的实际重量是多少? (会算吗?用什么原理来算?用物理的杠杆原理求解出实际重量 )

2. 学生活动

请两名同学上黑板 (巡视, 有不同的解法让他上黑板写一下, 这样可以收集不同的证明方法) .

先让学生谈一谈证的对不对, 他这个证明方法有什么特点?

3. 建构数学

问题:对于这个定理你怎么认识它? (结构有什么特点啊?成立的条件是什么?什么叫当且仅当?)

当a=b时, 取“=”, 并且只有当a=b时, 取“=”, 我们把这种等号成立的情况称之为当且仅当.

猜想:n个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数是否成立?如果成立条件是什么.

二、教学反思

证明不等式的基本方法一篇2

------比较法

教学目的：

以不等式的等价命题为依据，揭示不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用教学重点：比较法的应用

教学难点：常见解题技巧

一、复习引入：

两实数的大小关系。

我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．例如，在图6一1中，点A表示实数a，点B表示实数b,点A在点B右边，那么ab．我们再看图6一1，ab表示a减去b所得的差是一个大于0的数即正数.一般地：

若ab，则ab是正数；逆命题也正确．

类似地，若ab，则ab是负数；若ab，则ab0；它们的逆命题都正确.这就是说：

abab0； b a abab0； A B abab0．图6—

1由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了.二、讲解新课：

思考一：

3322已知a,b是正数，且ab，求证：ababab

尝试：作差比较，作差——变形——定符号

证明：∵(ab)(abab)=a2(ab)b2(ab)

=(ab)(ab)=(ab)(ab)

2∵a,b是正数，且ab,∴ab0,(ab)>0

3322∴(ab)(abab)>0,∴ababab 3322332222

2注：比较法是证明不等式的基本方法，也是最重要的方法

比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论

例2（P21例）如果用akg白糖制出bkg糖溶液，则糖的质量分数为

时糖的质量分数增加到a，若上述溶液中添加mkg白糖，此bam，将这个事实抽象为数学问题，并给出证明。bm

ama 此即：已知a, b, m都是正数，并且a < b，求证：bmb

分析：这是一道分式不等式的证明题，依比较法证题步骤先将其作差，然后通分，由分子、分母的值的符

证明：amab(am)a(bm)m(ba)bmbb(bm)b(bm)

∵a,b,m都是正数，并且a 0 ,b  a > 0 ∴amam(ba) 0即bmbb(bm)

思考：若a > b，结果会怎样？若没有“a < b”这个条件，应如何判断？例3．在⊿ABC中a、b、c分别是A、B、C的对边，S是三角形的面积求证： c2a2b24ab43S

222证明：在⊿ABC中cab2abcosC，S1absinC

2c2a2b24ab4S2abcosC4ab23absinC所以134ab(1cosCsinC)4ab[1C)]226

由于a，b∈（0，+∞）又sin(C)1 6

222则4ab[1sin(C)]0即cab4ab43S 6

abab2思考二：例4．设a, b  R+，求证：ab(ab)

方法2：作商法abba

a1b 理论根据： aab,b01bab0

操作方法：“作商——变形——判断商式大于1或小于1”

证明：（作商）aabb

(ab)ab

2aab2bba2a()bab2

a当a = b时，()bab2

1aba0,()2bab2a当a > b > 0时，1,b1

ab

2a当b > a > 0时，01,b

∴ab(ab)abab2aba0,()2b1（其余部分略）

注：1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论

2．比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论

三、练习

1．求证：x2 + 3 > 3x

证明：∵(x2 + 3) 3x = x3x()()3(x)

∴x2 + 3 > 3x

2．已知a, b都是正数，并且a  b，求证：a5 + b5 > a2b3 + a3b2 232232232230

4证明：(a5 + b5)(a2b3 + a3b2)=(a5  a3b2)+(b5  a2b3)

= a3(a2  b2) b3(a2  b2)=(a2  b2)(a3  b3)

=(a + b)(a  b)2(a2 + ab + b2)

∵a, b都是正数，∴a + b, a2 + ab + b2 > 0

又∵a  b，∴(a  b)2 > 0∴(a + b)(a  b)2(a2 + ab + b2)> 0

即a5 + b5 > a2b3 + a3b

23．例4后半题

四、小结：我们一起学习了证明不等式的最基本、最重要的方法：比较法，1．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断与0的关系——结论

2．比较法之二（作商法）步骤：作商——变形——判断与1的关系——结论

五、作业

谈谈基本不等式的证明拓展和应用篇3

≥0.

思路二图形法：构造如下平面图形.

图1中的面积关系可说明不等关系（a+b）2≥4ab（基本不等式的变形）；图2中的面积关系可说明不等关系a2+b2≥2ab.注意，其中a，b取正实数.

思路三三角形法：在Rt△ABC中，设∠C=Rt∠，AB=c，AC=b，BC=a，则有a=csinA，b=csinB，所以2ab=2c2sinAsinB=2c2sinAcosA=c2sin2A≤c2=a2+b2，当且仅当sin2A=1，即A=B=45°，即a=b时，等号成立.

思路四向量法：设m=（a，b），n=（b，a），则|m|==|n|，m•n=ab+ba=2ab.由m•n≤|m||n|，得a2+b2≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立.

不等式链≥≥≥=（a＞0，b＞0），即“平方平均数”≥“算术平均数”≥“几何平均数”≥“调和平均数”是高中数学中重要的结论，在教材及高考卷中屡见不鲜.

1. 几何证法

先看一道课本题与一道高考题：

题目1 （人教A版必修5第三章第4节）在图3中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b.过点C作垂直于AB的弦DE，连结AD，BD.你能利用这个图形，得到不等式≤（a>0，b>0）的几何解释吗？

题目2 （2010年湖北理科卷）设a＞0，b＞0，称为a，b的调和平均数．如图4，C为线段AB上的点，且AC=a，CB=b，O为AB中点，以AB为直径作半圆．过点C作OD的垂线，垂足为E．连结OD，AD，BD．则图中线段OD的长度是a，b的算术平均数，线段的长度是a，b的几何平均数，线段的长度是a，b的调和平均数．

再解决高考题：

解析在Rt△ADB中，CD为高，则由射影定理可得CD2=AC•CB，故CD=，即CD长度为a，b的几何平均数.

在Rt△OCD中，CE为高，则将OC=a－=，CD=，OD=代入OD•CE=OC•CD，可得CE=，于是OE==，所以DE=OD－OE=，故DE的长度为a，b的调和平均数.

然后改编高考题：

变式1 在图4中作出长度为（平方平均数）的线段.

然后解决变式1：

解析如图5，过点O作OR⊥AB，交半⊙O于点R，连结CR.

因为OR==，OC=，在Rt△ROC中，CR==，故CR即为所求.

最后证明重要不等式链：

证明由图5中线段的长度CR≥OR=OD≥CD≥DE，即可证明≥≥≥.

2. 代数证法

证明（1）将（a－b）2≥0（a，b∈R）展开，得a2+b2≥2ab（a，b∈R）①；

（2）将①式两边都加上a2+b2，得2（a2+b2）≥（a+b）2（a，b∈R）②；

（3）由②式变形，得≥（a，b∈（0，+∞））；

（4）将①式两边都加上2ab，得（a+b）2≥4ab（a，b∈R）③；

（5）将③式变形，得≥（a，b∈（0，+∞））；

（6）将上式两边都乘以，得≥（a，b∈（0，+∞））.

综上，得≤≤≤（a，b

∈（0，+∞））.

例1 已知函数f（x）=x（a，b∈（0，+∞）），A=

f，B=f（），C=f，则A，B，C的大小关系为（）

A. A≤B≤CB. A≤C≤B

C. B≤C≤AD. C≤B≤A

解因为f（x）=x在R上是减函数，又由不等式链≤≤，得答案为A.

例2 设a，b，c均为正数，求证：++≥（a+b+c）.

证明由≥（a+b），≥

（b+c），≥（c+a）三式相加，得++≥（a+b+c）.

例3 甲、乙两同学同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步.如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（）

A. 甲先到教室B. 乙先到教室

C. 两人同时到教室D. 不确定

解设从寝室到教室路程是s，甲（乙）跑步和步行速度分别为a，b，甲、乙两人所用时间分别为t1，t2，则+=t1，a+b=s，故t1=，t2=.

由＜（a≠b），所以t1＞t2，故选B.

1. 已知x，y∈（0，+∞），且9x+16y=144，求xy的最大值.

2. 今有一台坏天平，两臂长不等，其余均精确.有人说要用它称物体的重量，只需将物体放在左、右托盘各称一次，则两次称量结果的和的一半就是物体的真实重量，这种说法对吗？并说明你的结论.

关于不等式证明的若干方法篇4

1 利用函数的单调性及微分中值定理

命题1:设f (x) 定义在区间I内, 若f' (x) >0 (或f' (x) <0) , x∈I则函数f (x) 在I内严格增加 (或严格减少) .

实质:根据所证的不等式构造一个函数F (x) , 利用导数的符号判断F (x) 的单调性, 使得被证明的不等式转化为一个单调函数在两点的函数值的比较.

命题2: (lagrange中值定理) 若函数f (x) 在[a, b]上连续, 在 (a, b) 内可导, 则, 其中ξ∈ (a, b) .

例1:设e<a<b<e2, 证明.

证明:对f (x) =ln2x在[a, b]上应用拉格朗日中值定理得:

设

当t>e时, φ ('t) <0, 所以φ (t) 单调减少

从而φ (ξ) >φ (e2)

应用函数的单调性及微分中值定理证明不等式问题是一种较常用的方法, 具体步骤如下:

(1) 在[a, b]上由题意引入函数f (x) .

(2) 写出微分中值公式

(3) 这里的关键也是辅助函数的引入, 对f' (ξ) 进行估值

2 利用曲线的凹凸性

命题3:若f (x) 为 (a, b) 内的凹 (或凸) 函数, 且x1, x2, …, xn∈ (a, b)

当且仅当x1=x2=…=xn时等号成立. (可由函数凹凸性的定义和推论证明)

例2:证明当x>0, y>0时,

证明:令f (t) =tlnt, 则, 当t>0时, f'' (t) >0为凸函数

当x>0, y>0时有

此方法适用于函数在指定区间上的曲线具有凹 (凸) 性, 证明的具体步骤是:

(1) 引入辅助函数, 求辅助函数的一二阶导数.

(2) 判断二阶导数在所给区间上的符号.

3 利用函数的极值与最值

定义:设f (p) 定义在U (p0) , 若坌p∈U (p0) , p≠p0, f (p) <f (p0) (或f (p) >f (p0) ) , 求n元函数f (x1, x2, …, xn) 在约束条件g (x1, x2, …, xn) =0下的条件极值, 可先构造函数F (x1, x2, …, xn, λ) = (fx1, x2, …, xn) +λg (x1, x2, …, xn)

然后分别对x1, x2, …, xn, λ求偏导数的方程组

解上方程组得函数F (x1, x2, …, xn, λ) 的唯一稳定点p (x10, x20, …, xn0, λ0) , 再根据具体问题加以分析判断F (x1, x2, …, xn, λ) 是否存在极大值或极小值, 最后代入稳定点即可得到所证不等式.

例3:设x, y, z为正数, 且满足x+y+z=6, 求证:xy+yz+zx≤12.

证明:设F (x, y, z, λ) =xy+yz+zx+λ (x+y+z-6)

解之得唯一解x=y=z=2, λ=-4

因为F (x, y, z, λ) 有最大值F (2, 2, 2, -4) =12

所以

当我们构造好函数F (x) 后, 求出在指定区间上的最大值M最小值m, 则有m≤F (x) ≤M.

4 利用积分的性质

参考文献

[1]蔡兴光, 郑列.高等数学应用与提高[M].北京:北京科学出版社, 2002.

不等式证明的基本方法篇5

（一）教学目标

1．知识与技能: 掌握比较法证明不等式的方法。

2.过程与方法: 通过糖水（盐水）不等式引入比较法；通过对比较法的两种形式，加深对比较法的理解。

3．情态与价值：体会数学在日常生活中无所不在，培养数学兴趣。

（二）教学重、难点

重点：掌握比较法证明不等式的方法。难点：比较法证明不等式的方法中的变形。

（三）教学设想 [创设问题情境]

一、作差比较法

3322例1 已知a,b都是实数,且ab,求证ababab

a例2 如果用akg白糖制出bkg糖溶液,则其浓度为, b 若在上述溶液中再添mkg加白糖,此时溶液的浓度 am增加到,将这个事实抽象为数问学题,并给出证明.bm

解:可以把上述事实抽象如成下不等式问题:

ama,并ab且,则 已知a,b,m都是正数bmb

二、作商比较法

abba例3 已知a,b是正数,求证abab，当且仅当ab时,等号成立.abc 变式引申:求证:若a,b,cR,则aabbcc(abc)

3补充例题:已知a2,求证:loga(a1)log(a1)a 补充练习:若a,b,m,n都是正实数,且mn1，试证明manbmanb

三、小结：两种方法的步骤。

高中数学中不等式的证明方法篇6

要培养和提高自己的证题能力，一是要熟悉证明不等式的常用方法；二是要通过做题、思考来感悟和领会这些方法、技巧，使其变为自己的证题能力。不等式的证明方法是多种多样的，并且在一个题目的证明过程中，往往不止应用一种方法，而需要灵活应用各种方法。现将证明不等式的常用方法归纳如下。

一、比法较

1.作差比较法

依据a>b a-b>0（或a例1.已知：a、b、c为正数，求证：a3+b3+c3≥3abc

证明：因为a3+b3+c3-3abc

= （ a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）

= （a+b+c）[（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2]≥0

所以a3+b3+c3≥3abc

2.作商比较法

依据若b>0，则a>b >1（或a

关键词 Daily report 英语学习

中图分类号：G623.31 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）16-0041-02

我校位于城中村与市区结合的南湾片区，学生多属于外来务工人员的子女，即使是本市的生源，家长多属于湾仔本地人，文化程度不高，家庭学习环境差，很多家里没有电脑，学生根本不会利用互联网查阅资料，电脑对于他们来说就是一台游戏机。无论汉语还是英语，表达能力都很差。目前常规的英语教学，有限的课堂45分钟只能落实一些课本基本知识，日常口语会话不能得到很好的练习。为了有效练习日常会话和口语表达能力，我打算英语课利用课前3分钟开展一个“Daily Report”活动，活动实施前进行了学情调查，通过调查获得的数据，使我有了一种认识：受调查学生都经过了小学3年的英语学习，有些甚至学了6年，但由于众多原因，大部分学生未能达到应有的口语水平。存在的问题如下：

1.随着年级的增高、学习内容的增加、学习负担的加重，学生的学习态度和学习兴趣也随之减弱。

2.课堂是学生语言学习与习得的主要环境，离开课堂之后，他们很少有机会说英语，更无法将所学知识应用于实际交流。

3.部分学生有讲英语的热情，但对开口讲英语总有一种惧怕心理，怕出错，怕受老师责备，怕被同学耻笑。这种恐惧心理常导致学生平时缺乏足够的口语练习机会，在开口时没有一种自主感。越害怕说的就越少。

4.由于学生英语基础差，对学习英语产生了烦、厌、没兴趣等心理障碍，觉得用英语进行交际是一件非常困难的事，因而逃避说英语。

《九年义务教育初中英语课程标准》三至五级中对我们初中英语教学有这样的要求：“学生能尝试使用不同的教育资源，从口头和书面材料中提取信息，扩展知识，解决简单的问题并描述结果。能在学习中互相帮助，克服困难。”

开展Daily report活动能为学生搭建展示自我、与他人分享交流的平台，能够更好的激发学生学习英语的兴趣，提高学生做事能力，增强自信心。同时为师生互动交流提供了一个良好的机会。学生在演讲前会通过多种媒体收集、查阅大量资料，再对所收集的资料进行整合，这要求学生要正确地获取和判断各种信息，了解媒体传达信息的方式、工具等特点，合理使用数码技术、通讯工具和网络。这体现了21世纪技能——学生的信息、媒体和技术技能。所以，Daily Report对城乡结合地区的学生英语学习起着非常重要的作用。

一、开展Daily Report活动的要求

1.确定演讲内容。课前三分钟演讲顺序由课代表安排，或按座次，或按学号，或男女轮流出场；演讲的内容从刚入学七年级上的教学需要实施命题演讲，如自我介绍；一段时间后进行半开放型演讲，即演讲内容不做太多限制，让演讲者在备选的几个话题中抽签选择；最后进行开放型演讲，让演讲者自由选题。严密组织，让学生充分重视这一教学环节，以达到以讲促学的目的。杜绝信马由缰式的放纵，鼓励学生运用意会、感受、想象等方法，丰富词汇，领悟语法，形成自己的语言风格。

2.要求脱稿，不走形式。脱稿演讲，一方面能提高学生的记诵能力，另一方面还可以让学生在反复背诵中加深对主题的理解。每一次背诵都是一次学习的过程，也是一次提高的过程。我强调让学生珍惜难得的锻炼机会，严格脱稿演讲制度，不要让演讲有名无实。

3.注重教师指导，注重学生的个体差异。教师要对“课前三分钟演讲”进行针对性的指导。学生千差万别，演讲内容丰富多彩，演讲风格各不相同，那么演讲的效果肯定不会一致。初中生的年龄特点决定了他们敏感、自尊的心理特征，他们渴望成功，渴望得到认可和表扬，所以我们要对其中成功的演讲进行充分地肯定，让其尽享成功的愉悦，进一步激发他们的表现欲望和创造欲望，为其他学生树立一个榜样。教师言传身教，自始自终应把握正确的指引方向，既发挥学生的主体性，调动他们的积极性；又不放任自流，任由学生随意的“演讲”，让演讲流于形式。鼓励为主，恰当点评。对于不太成功的演讲，教师要善于从“不成功”中发现闪光点，让演讲者体会到了小小的鼓励，使其对下一次演讲充满渴望。

二、开展Daily Report活动的作用

1.培养了学生的创新能力。课前三分钟演讲，使学生的创造力得到了极大限度的发挥。从标题拟定、题材翻新、主题升华，一段音乐伴奏，不管是内容还是形式，学生们都表现出了非凡的创造力。为了吸引听众注意，各种各样的小花招更是层出不穷。

2.锻炼了学生发表个人见解的胆量，消除了学困生畏难的情绪。很多学生第一次上台手足无措，语无伦次，经过第二次、第三次锻炼以后，都有不同程度的进步。Daily Report循环周期长，学生准备时的工作量大，对基础差的学生是个很大的挑战。如何照顾学困生？可由课代表组织Daily Report的活动，分组依次轮流进行，前一天由科代表在公示栏里提醒，分布完这个任务后，第二天就开始执行，先从英语基础好的学生开始。对胆子很小、成绩也偏后的学生Daily Report会遇到困难，教师特意鼓励这些学生，让其好好表现。并带动其他同学给予其热烈的掌声鼓励。一些语音不好、语言表达不好的学生在Daily Report活动中可分配简单的任务，让其找到适合自己的舞台，这不仅使他们有成就感，而且也可提高他们的课堂参与热情，增强他们学好英语的信心。这样一来，既给学生们扫除英语课的紧张心理，也给学生开创一个很好的表现机会。

3.养成了学生仔细聆听的习惯。在进行Daily Report后，演讲者会对自己的内容进行提问，听众也会对所听到的内容进行纠错。只有仔细聆听了，才可以做到准确的回答问题和纠错。在纠错这一问题上，教育学生一方面要礼貌的纠正他人的错误，另一方面要敢于面对自己的错误。

4.促进了教师教学观念的转变，培养了教师的教育科研意识。通过这个活动，牢固树立校本研究的思想，更新了教师教学观念，巩固并加深了教师对新课程改革的理解，拓宽了教师对教学方式改变的思路，促进了教师综合素质的提高。

浅谈数列中不等式的证明方法篇7

利用比较法

比较法就是直接利用比较原理证明不等式的一种方法.当要证明的是项与项或和与和之间的大小时,常用比较法.

例1已知数列{an}各项均不为0,其前n项和为Sn,且对任意n∈N+,都有:(1-P)Sn=p-pan(p为不大于1的常数),记

(1)求an;

(2)试证明:

解:(1)∵(1-p)Sn=p-pan①,∴当n≥2时,(1-p)Sn+1=p-pan+1②.

②-①得,an+1=pan.又由(1-P)S1=p-pa1得a1=p.

∴数列{an}是以p为首项,p为公比的等比数列,

∴an=pn.

证明:

利用放缩法

放缩法是指根据题设条件和不等式的结构特征从不等式的一侧出发,适当放大或缩小,进而证明不等式的一种方法.放缩法可以单独应用,也可以和其他方法配合应用.

例2已知数列{an}的前n项和为Sn,且满足an=,求证:

方案1:首先想到如下放缩:,所以.

显然这个值超出,失败的原因是分母缩得太小.

方案2:,显然可行.

点评:在放缩过程中,要根据题目中所证的结论适当调整放缩程度.

利用迭代法

切比雪夫不等式的若干证明方法篇8

关键词：切比雪夫不等式,期望,方差

切比雪夫不等式有许多种不同的证明方法，本文总结了该不等式在概率论中的一些常用证明方法。

切比雪夫不等式:设随机变量X的平均值E (X) 和方差D (X) 都存在，且D (X) 有限，则对于任意正数ε，有

令ε=kσ，其中k是正数，则得到切比雪夫不等式另一种形式:

证法1:

由数学期望的定义得

利用以上结果可得

注意每项都大于0，去掉使得因子

其中每项piqjrk的系数都满足

记P表示x, y, z…的取值不满足上式的概率, 即满足下式

证法2:

设η=[X-E (X) ]2具有密度函数f (x) ，分布函数F (x) ，且注意η的非负性，则有

证法3:

不妨设X是连续型随机变量，均值E (X) =μ，方差D (X) =σ2，对任意实数ε>0，定义函数

注意，对任意的x， (x-μ) 2g (x) ，所以

证法4:

设X为离散型随机变量，其概率分布为Pi=P{X=xi}，其中i=1, 2，…。X分别以Pi取得值xi。则事件|X-E (X) |ε表示随机变量X取得所有满足不等式xi-E (X) ε的可能值xi，该事件的概率为

参考文献

[1]徐传胜.从博弈问题到方法论学科—概率论发展史研究[M].北京:科学出版社, 2010:175-178.

[2]成都地质学院《概率论与数理统计》编写小组.概率论与数理统计[M]北京:地质出版社1981:94.

[3]杨杰, 于忠文, 王会斌.概率论与数理统计[M].济南:山东大学出版社, 2005:124.

一个不等式问题的七种证明方法篇9

题目:已知a, b, c, d∈R,

求证:

分析1: (分析法)

证法1: (1) 当ac + bd≤0时, 显然成立.

(2) 当ac + bd > 0时, 欲证原不等式成立,

只需证 (ac + bd) 2≤ (a2+ b2) (c2+ d2)

即证即证

即证0≤ (bc - ad) 2

因为a, b, c, d∈R, 所以上式恒成立,

综合 (1) 、 (2) 可知:原不等式成立.

分析2:用综合法.

分析3:用比较法.

证法3:因为 (a2+ b2) (c2+ d2) - (ac + bd) 2= (bc - ad) 2≥0,

所以 (a2+ b2) (c2+ d2) ≥ (ac + bd) 2.

分析4:用放缩法.

证法4:为了避免讨论, 由ac + bd≤| ac + bd | ,

可以试证 (ac + bd) 2≤ (a2+ b2) (c2+ d2) .

由证法1可知上式成立, 从而有了证法4.

分析5:用三角代换法.

证法5: 不妨设 (r1, r2均为变量) .

分析6:用换元法.

证法6: (1) 当 (a2+ b2) (c2+ d2) = 0时, 原不等式显然成立.

分析7:用构造函数法 (判别式法) .

证法7:待证不等式的结构特征与一元二次方程的判别式

显然不论x取任何实数, 函数f (x) 的值均为非负数, 因此,

(1) 当a2+ b2≠0时, 方程f (x) = 0的判别式Δ≤0,

即[2 (ac + bd) ]2- 4 (a2+ b2) (c2+ d2) ≤0,

即 (ac + bd) 2≤ (a2+ b2) (c2+ d2)

故

解一道不等式证明题的多种方法篇10

题目:已知a, b, c∈R, 且|a|<1, |b|<1, |c|<1, 求证:ab+bc+ca>-1.

即1+ab>|a+b|, ∴1+ab+bc+ca>|a+b|+bc+ca=|a+b|+c (a+b) .

根据a+b的符号分两种情况进行讨论:

(1) 若a+b≥0, |a+b|+c (a+b) = (a+b) (1+c) ≥0;

(2) 若a+b<0, |a+b|+c (a+b) = (a+b) (c-1) >0.

∴1+ab+bc+ca>0在两种情况下都成立, 得证.

证法2:由已知|a|<1, |b|<1, 有 |ab|<1, 即-1<ab<1, 根据a, b, c的符号分三种情况进行讨论:

(1) 若a, b, c中至少有一个为0 (只证明有一个为0的情况) , 不妨令c=0, 则ab+bc+ca+1=ab+1>0, 成立;

(2) 若a, b, c同为正或同为负, 显然成立;

(3) 若a, b, c中两正一负或两负一正, 不妨令a>0, b>0, c<0, ab+bc+ca+1=ab+ (a+b) c+1>ab- (a+b) +1= (1-a) (1-b) >0, 仍然成立, 得证.

证法3:根据所证不等式的对称性, 构造一次函数f (x) = (b+c) x+bc+1, x∈ (-1, 1) , 且f (-1) =- (b+c) +bc+1= (1-b) (1-c) >0, f (1) = (b+c) +bc+1= (1+b) (1+c) >0.

∴在区间 (-1, 1) 上恒有f (x) >0, 又∵|a|<1,

∴f (a) >0, ∴ (b+c) a+bc+1>0,

即ab+bc+ca>-1.

证法4:根据所证不等式的对称性, 不妨设|a|≥|b|≥|c|, 构造二次函数

f (x) =x2- (b+c) x+bc= (x-b) (x-c) , 不难看出方程f (x) =0的根都在 (-|a|, |a|) 内,

∴f (-a) >0, ∴f (-a) =a2+ (b+c) a+bc>0,

即 (b+c) a+bc>-a2>-1.

证法5:构造三次函数f (x) =x3+kx2+px+q, 设a, b, c是三次方程f (x) =0的三个实根, 由韦达定理知ab+bc+ca=p (高考不作要求) , 再由f-1 (x) =3x2+2kx+p研究原函数的单调性, 得f (1) >0且f (-1) <0, 将两式左右对应相减即得证.

评注:在不等式的问题中, 常根据不等式的结构特征, 构造辅助函数, 转化为由辅助函数的性质或函数与方程的关系来研究不等式, 这种函数与方程思想是证明不等式的重要方法.

证法6: 构造向量m= (a, b, c) , n= (b, c, a) , 则

ab+bc+ca=m·n=|m||n|cos (m, n) = (a2+b2+c2) cos (m, n) , 要证明ab+bc+ca>-1, 只须证明ab+bc+ca的最小值大于-1即可, 亦即证明当cos (m, n) <0的情况下不等式成立, 根据空间直角坐标的位置关系, m与n所成角要为钝角, 其只能在以下两种情况中产生: (1) a, b, c中一个为0, 一正一负; (2) a, b, c中两个同号一个异号. (1) 显然成立; (2) 不妨设a, b同号, c异号, 由 (1-|a|) (1-|b|) >0有1+|ab|>|a|+|b|>|c| (|a|+|b|) =-ac-bc, 而1+ab=1+|ab|, 得证.