不等式证明的几种方法

第一篇：不等式证明的几种方法

不等式证明的几种方法

刘丹华

余姚市第五职业技术学校

摘要： 不等式的证明可以采用不同的方法，每种方法具有一定的适用性，并有一定的规律可循。通过对不等式证明方法和例子的分析和总结，可以掌握其中的要领，灵活运用。

关键词： 不等式 ;证明方法;分析问题

引言

证明不等式一般没有固定的程序，方法因题而异，灵活多变，技巧性强。有时一个不等式的证明方法不止一种，而一种证法又可能要用到好几个技巧，但基本思想总是一样的，即把原来的不等式变为明显成立的不等式。下面介绍几种证明不等式的方法。

一、构造法

构造法是数学中一种富有创造性的思维方法。当一个数学问题需要解决时，常常通过深入分析问题的结构特征和内在规律，概括抽象构造出一个新的关系，使问题等价转化为与之有关的函数、方程和图形等，再进行求解。构造法也是数学解题中的一种重要的思维方法。

(一) 、构造方程证明不等式

某些不等式问题，可以根据它的条件或结论的特征构造一个一元二次方程，然后利用根的判别式来证明。

例1如果x，y，z均为实数，且xyza，xyz

求证：0x22212a (a0). 2222a，oya， 0za. 33

3证明：由已知的两个等式中消去x，得 12a

2220(ayz)yza  2y2(az)y2z2az22222

因为 yR， 所以 4(az)4(2za)0

所以z(3z2a)0 22

2a 3

22同理可证： 0xa，0ya. 33所以0z

(二) 、构造函数证明不等式

根据欲证不等式结构的特点，引入一个适当的函数，运用函数的性质来加以证明。

例2已知a，b，c为ABC的三边，求证：

证明： 从结论形式看，各项均具有

f(x)abc. 1a1b1cM的形式，于是可构造函数 1Mx， 易证 f(x)在R上为增函数 1x

因为a，b，c为ABC的三边

所以abc

所以f(a)f(bc)

即abcbcbc. 1a1bc1bc1bc1b1c

又如： 求证 ab

1aba

1ab

1b 可用类似方法证明。

(三) 、构造几何图形证明不等式

把欲证的不等式的数量关系所反映的几何背景找出来，然后根据几何图形性质证明不等式成立。 例3已知实数a，b满足ab1，求证：(a2)(b2)2225.

2分析：原式左边可看作点(a,b)与点(2,2)间距离的平方，则可在直角坐标系中，构造点

P(2,2)，Q(a,b)，其中Q是直线xy1与两坐标轴的交点A，B连线段上点，

如图1所示

图

1原式左边就是PQ，设AB中点C(,)

因为 PC22112225， 又PAB为等腰 2

25 2所以 PCAB故PQPC， 即PQPC

所以 (a2)(b2)

(四) 、构造复数证明不等式

222225.

2时，可联想构造复数，使复数的模与根式的表达式形式相同，然后再利用复数模的性质加以证明。 例4已知为a，b，c非负实数，求证：

abc).此题用别的方法较繁，若能转化为复数模的问题，就变得十分简捷。

分析：a，b，c非负实数，abcabc，这样，不等式左右各项和复数模表示相似

于是可构造复数：

z1abi，z2bci，z3cai .

则

z1z2z3z1z2z3 (abc)(1i)i(a

bc)abc)

从而命题得证.

二、反证法

反证法是数学证明的一种重要方法。因为命题“P”与它的否定“非P”的真假相反，所以要证一个命题为真，只要证它的否定为假即可。这种从证明矛盾命题(即命题的否定)为假进而证明命题为真的证明方法叫做反证法。

(一) 、推理的结果与已知的知识相矛盾

例5对实数a，b，c，A，B，C，有aC2bBcA0.且acb0.

2求证： ACB0.分析： 假设a1，a2，，an中有正数且aACB0， 则 ACB0，

由题设，有 acb0， 相乘得aAcCbB，因为aCcA2bB.

所以 (aCcA)24b2B24aAcC， 整理得 (aCcA)20 ， 这与“任何实数的平

方非负”矛盾.

(二) 、推理的结果与已知条件相矛盾

例6已知数列a1，a2，，an (n3) 满足a1an0，且22222

2ak1ak12ak (k2,3,,n1).求证： a1，a2，，an均是非正数.

分析： 假设ap是数列a1，a2，，an中出现的第一个正数，

则 P1且 ap10

由 ak1ak12ak 得 ap1apapap10，

即 ap1ap0.

如此类推可得：anan1ap0

与已知an0 矛盾.

(三) 、推出两个相互矛盾的结论

例7设 zkxkyki， xk,ykR， (k1,2,,n)

r是 z12z22zn2的平方根的实部绝对值.求证： rx1x2xn .

分析： 设 (abi)2z

k

1nn2k， (a,bR)

即 (abi)2(x

k1kyki)

2比较两边的实部与虚部，有

nn2222(x)(y)ab,kkk1k1 nxyab,kkk1

nn

假设rx

k1k ，即a

nxk1k ， 则a(2x

k1nk)xk2③ 2k1

n2结合 ① 与 ③ 知 by

k1

2k， 从而

ab

④

另一方面，由柯西不等式知，abxkyk

k1n

与 ④ 矛盾故rx1x2xn 成立 .

反证法是处理绝对值问题的强有力的工具，但单纯用反证法往往较难得出矛盾，必须与其他方法结合运用，有时还要通过构造等手段来表达目的。在得到两个相互矛盾的结果的过程中，一是根据假设进行推理，二是由条件进行推理，两个方面缺一不可。

(四) 、推理的结果与假设相矛盾

例8已知 an是首项为2，公比为1的等比数列，是它的前n项和，2

(1)用Sn表示Sn1;

(2) 是否存在自然数c和k，使得

分析： (1) Sn422n， Sn1Sk1c2成立. Skc1Sn2; 2

(2) 假设存在符合条件的自然数c和k，则 Sk1c421kc2， 从而

2kSkc42c

4c321k

0(*)4c221k

1k1k令 t4c， 则由(*)式得22t32

即 2t2k13， 由 c,kR 知 tR

上述不等式对任意t,kN不成立.

故这样的自然数c和k不存在.

反证法证明不等式有两个明显的特点，一是前提中增加了新的条件，也就是结论的反面成立，并在证明过程中使用这个条件;二是反证法无需专门去证某个特定的结论，只需利用否定结论导出矛盾即可。

可以看到，反证法具有分析法的特点，它们都从问题的结论去着手考虑，但两者又是截然不同的。反证法是从否定结论中开始，到得出显然矛盾的结论而结束;分析法则是从肯定结论成立开始，到得出显然成立的结果。反证法实际上是否定式的分析法。

不等式的证明可以采用不同的方法，每种方法具有一定的适用性，并有一定的规律可循。通过对不等式证明方法和例子的分析和总结，可以掌握其中的要领，灵活运用。

参考文献：

[1] 唐为民. 构造法在证明不等式中的应用[J]. 数学教学通讯. 2001.9. 41-42.

[2] 周顺钿. 用反证法证明不等式[J]. 中学数学研究. 2004.4. 35-36.

[3] 翁耀明，毛家俊. 某些不等式的概率方法证明[J]. 上海电力学院学报. 2003.3. 57-59.

[4] 徐群芳. 高等数学中证明不等式的几种方法[J]. 太原教育学院学报. 2004.9. 48-50.

[5] 华东师范大学数学系. 数学分析(上册)[M]. 北京. 高等教育出版社. 1991.3.

第二篇：不等式的几种证明方法及简单应用

本科毕业论文(设计)

题目：不等式的几种证明方法及简单应用

学生：孙振学号： 200940520131学院：数学与计算科学学院专业： 信息与计算专业

入学时间： 2009年9月10日 指导教师： 荆科职称：学士完成日期：年月日

(空一行)

论文题目(格式：居中，三号黑体，加粗，标题不超过20字，不用非公知公用的缩写、化学式等)

(空一行)

——副标题(格式：居中，小三号黑体，加粗)

摘要(五号黑体，加粗)：□□□□五号楷体□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□(五号楷体，行距16磅)关键词(五号黑体，加粗)：词1;词2;......词5(五号楷体)

(空一行)

Title(格式：居中，四号Time New Roman字加粗，行间距20磅，句首字母和专有名词首字母大写)

(空一行)

Abstract: □□□□□□□□□□□□□□。(五号Time New Roman体，行距16磅)

Key words: word1;word2;......word5(一一对应)(格式：五号Time New Roman体)

(空一行)

目录(格式：黑体四号字，字间空出4个半角字符，加粗，居中)

1(第1章)引言(绪论)................1 1.1 (第1章第1节)题名............1 1.1 (第1章第2节)题名............2 2 (第2章)题名..........2 2.1 (第2章第1节)题名............5 2.2 (第2章第2节)题名............6 2.2.1(第2章第2节第1目)题名.............7 2.2.2(第2章第2节第2目)题名............. ......8

......5 (第5章)结论(结束语)..............25 参考文献.................26 附录A ...........28 附录B ...........32......

致谢 .............36

(格式：宋体小四号，加粗，分散对齐，行间距20磅，

一、

二、三级标题序号与题名间均空出1个半角字符)

(空一行)

1一级标题(格式：宋体小四号，加粗，左对齐，标题序号与题名间空出2个半角字符)□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。(格式：宋体小四号，首行缩进4个半角字符，行距20磅) 1.1二级标题(格式：宋体小四号，左对齐，标题序号与题名间空出2个半角字符)□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。 1.2二级标题

□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。

1.2.1三级标题(格式：宋体小四号，左对齐，标题序号与题名间空出2个半角字符)

□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。

1.2.2.1四级标题(格式：宋体小四号，左对齐，标题序号与题名间空出2个半角字符)□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。 2一级标题

□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。

......5结论(结束语)

□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。

参考文献：(格式：宋体四号字，加粗，左对齐，左缩进4个半角字符)

(文献按正文部分标注的序号依次列出)(格式：宋体五号字，左对齐，左缩进4个半角字符，行距16磅)

示例：

[1] 廖荣宝，朱云，吴佳，等.对高校化学教材中杂化轨道理论的一点认识[J].阜阳师范学

院学报(自然科学版)，2009，26(4)：69-72.(期刊：主要责任者.文献题名[J].刊名，出

版年，卷数(期数)：起止页码.作者项3个人内全部写出，第4个人及其后著为“，等”)

[2] 周公度，段连运.结构化学[M].4版.北京：北京大学出版社，2007：164-164.(专著：

主要责任者.文献题名[M].译者.版本(第1版不著录).出版地：出版者，出版年：起止页码.作者项同上)

[3] 王兆骞，陈欣，马琨，等.红壤坡地水土流失的监控方法研究[C]//李萍萍.生态学

研究进展——王兆骞教授农业生态学学术思想研讨会文集.镇江：江苏大学出版社，2011：59-67.(论文集：析出文献主要责任者.文献题名[C]//论文集编者名.论文集名.出版地：

出版者，出版年：起止页码.作者项同上)

[4] 石秦.高等教育校园中具有地域特色的空间营造——以西安建筑科技大学草堂校区为

例[D].西安：西安建筑科技大学建筑学院，2008.(学位论文：作者名.题名[D].保存地点：

保存单位(高校标注到学院或系)，年份.)

[5]李国云.本地化服务才是高校信息系统的死角[EB/OL].[2008-05-12].

. (电子文献：网址加http://;网址前加日期，先发布日期，

用圆括号;后下载日期，用中括号;给出的年-月-日，年为4位，月、日为2位;网址后加点)

[6] GB/T 6532-86，原油及其产品的盐含量测定法[S].(技术标准：标准编号，标准名称[S].) [7] 姜锡洲.一种温热外敷药制备方案：中国，88105607.3[P].1989-07-26.(专利：专利申请

者或所有者.专利题名：专利国别，专利编号[P].公告日期或公布日期.)

[8] 冯西桥.核反应堆压力管道与压力容器的LBB分析[R].北京：清华大学核能技术设计

研究院，1997.(报告：主要责任者.文献题名[R].出版地：出版者，出版年.)

[9] 谢希德.创造学习的新思路[N].人民日报，1998-12-25(10).(报纸：主要责任者.文献题

名[N].报纸名，出版日期(版次).)

[10] Katharine A F, Stefan W K, Craig A C, ea al. Simulating the hydrological response to

predicted climate change on a watershed in southern Alberta, Canada [J]. Climatic Change, 2011, 105(3-4): 555-576. 对于汉语拼音著者，姓与名全写，名不缩写，名的首字母大写、其余小写，双名连写、不加连字符.作者项3人内全部写出，第4人及其后著为“, et al”.期刊名称标明全称，不缩写.)

附录A(格式：黑体四号字，加粗，左对齐)

标题(格式：黑体四号字，加粗，居中)

□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。(格式：宋体小四号，首行缩进4个半角字符，行距20

磅)

附录B(格式：黑体四号字，加粗，左对齐)

标题(格式：黑体四号字，加粗，居中)

□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□。(格式：宋体小四号，首行缩进4个半角字符，行距20

磅)

致谢(格式：黑体四号字，加粗，居中)

□□□□宋体小四号字□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□□

□□□□□□□□□□□□□□□□。(内容一般不超过300字。格式：宋体小四号，首行缩

进4个半角字符，行距20磅)

表例：

表1NanoDrop ND-1000测定RNA质量

实验组 对照组

1.8

51.98

2.05

2.1

4147.84 140.1

220

40

2 956.8 5 604.8

(格式：表中文字五号，中文宋体，英文、数字Time New Roman体)

图例：

图2含二甲氨基查尔酮基团的三硫代碳酸酯在不同溶剂中的荧光光谱图

(格式：图题五号字，中文黑体，英文及数字Time New Roman体)

(格式：图中数字、字母、符号一般为小五号，图例为六号，中文用宋体，英文及数字用Time New Roman

体)

公式：

n

n

wi

n

fw(V1,,Vn)



j

1wiVj[1(1ti),1fi](1)

i1

i1

wi

(格式：图题五号字，中文黑体，英文及数字Time New Roman体)

(用公式编辑器输入，重要公式、多个公式应给出编号，全文按前后顺序连续编号，公式居中。要注意公式与物理量符号及上下角标。)

第三篇：构造函数证明不等式的几种类型(数学教学通讯05-6)

构造什么样的函数可以证明不等式

浙江省绍兴县柯桥中学(312030)

徐学军

构造函数证明不等式要求我们能敏锐地观察不等式的结构特征，联想一些特殊函数所蕴涵的不等关系，从而合理地选择恰当的函数模型. 并能准确地运用函数的性质，将这些不等关系表示出来.

为证明不等式而建立的函数模型有以下几种类型.

1、 构造单调函数，利用函数值的不等关系.

例1 证明 求证：ee 令f(x)=

lnx(x>e) x1lnx<0(x>e) x2lnx∴f(x)=(x>e)是减函数

x又∵e<π lneln∴>

即ee.

e例2 已知a、b、c∈(1,+∞)，且a+b>c， 则f ’(x)=

a2b2c2求证： +>

1aa21bb21cc2证明

1x2令f(x)= =， 2111xx1x2x∴f(x)在(1,+∞)上为增函数. 又∵a+b>c，且a、b、c∈(1,+∞)， ∴f(c)

aax= 211xxx1x则g(x)在(1,+∞)上为减函数.

∴g(a+b)

a2a(ab)即< 221(ab)(ab)1aab2b(ab)同理< 221(ab)(ab)1bbc2a(ab)b(ab)(ab)2∴<=+ 22221cc1(ab)(ab)1(ab)(ab)1(ab)(ab)a2b2<+ 221aa1bba2b2c2即 +>

1aa21bb21cc

22、 构造二次函数，利用根的判别式和函数值符号的关系. 例3 在△ABC中，求证：

x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC(x,y,z∈R)

xyz当且仅当时，等号成立. sinAsinBsinC证明

令f(x)= x2+y2+z2-2yzcosA-2zxcosB-2xycosC

= x2-2(ycosC+zcosB)x+y2+z2-2yzcosA, ∵△=4(ycosC+zcosB)2-4(y2+z2-2yzcosA) =4[y2cos2C+z2cos2B+2yzcosBcosC-y2-z2-2yzcos(B+C)] =4 [-y2sin2C-z2sin2B+2yz(cosBcosC-cosBcosC+sinBsinC)] =-4(y2sin2C+z2sin2B-2yzsinBsinC) =-4(ysinC-zsinB)2≤0, ∴f(x)≥0, 对一切x,y,z∈R成立.

∴x2+y2+z2≥2yzcosA+2zxcosB+2xycosC 不等式等号成立f(x)=0△=0

yz此时ysinC=zsinB，即 sinBsinC同理，当以z为自变量考虑时，可得

xy当且仅当时，等号成立， sinAsinBxyz∴当且仅当时，等号成立. sinAsinBsinC例4 (Cauchy不等式)对于任意实数a1，a2，…an，b1，b2，…bn，有

(a1 b1+a2 b2+…+an bn)2≤(a12+a22+…+an2)·(b12+b22+…+bn2) 当且仅当bi=kai(i=1,2,…,n,k为常数)时等号成立. 证明

构造二次函数f(x), 使f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(anx+bn)2

=(a12+a22+…+an2)x2+2(a1 b1+a2 b2+…+an bn)x+(b12+b22+…+bn2) 显然f(x)≥0恒成立

∴△=4(a1 b1+a2 b2+…+an bn)2 -4(a12+a22+…+an2)·(b12+b22+…+bn2)≤0 即(a1 b1+a2 b2+…+an bn)2≤(a12+a22+…+an2)·(b12+b22+…+bn2) 等号成立f(x)=0a1x+b1=a2x+b2=…=anx+bn=0， ∴当且仅当bi=kai(i=1,2,…,n,k为常数)时等号成立.

3、 构造有界函数，利用函数的取值范围. 例5 已知|a|<

1、|b|<

1、|c|<1，求证：ab+bc+ca+1>0. 证明

将不等式左边视作关于a的一次函数f(a),则 f(a)= (b+c)a+bc+1

(-1

1、|c|<1. ∴f(1)= (b+c)·1+bc+1=(b+1)(c+1)>0 f(-1)= (b+c)·(-1)+bc+1=(b-1)(c-1)>0 ∴f(a)= (b+c)a+bc+1= ab+bc+ca+1>0. 例6 已知a、b、c∈R，且a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0 ，

求证：a>0，b>0，c>0. 证明 设f(x)=(x-a) (x-b) (x-c) =x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc ∵a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0 ∴当x≤0时，考察f(x)各项符号知

f(x)<0. 而f(a)=f(b)=f(c)=0 ∴a>0，b>0，c>0. 例7 设a、b、c是三角形的三边长，证明不等式

2( ab+bc+ca)>a2+b2+c2. 证明 ∵a、b、c是三角形的三边长 ∴a =a2-4ab=a(a-4b)<0 又∵y=f(c)为开口向上的抛物线，且a+b为抛物线顶点的横坐标. ∴y=f(c)在b≤ca2+b2+c2. 另外，利用三角函数的有界性也是十分常用的方法.

4、 构造凸函数，利用凸函数的性质定理.

若函数y=f(x)在区间I上恒有f ’’ (x)<0(f ’’ (x)>0)，则称函数y=f(x)在区间I上为上凸(下凸)函数. 凸函数有如下性质：

定理 若函数y=f(x)在区间I上为上凸函数，且x1，x2，…xn∈I，则

f(x1)f(x2)f(xn)xx2xn≤f1

nn当且仅当x1=x2=…=xn时，等号成立.(若为下凸函数，则不等号相反)

例8 在△ABC中，求证：sinA+sinB+sinC≤

33. 2证明

设f(x)=sinx, ∴f ’(x)=cosx, f ’’ (x)=-sinx, ∵x∈(0,π)时，f ’’ (x)=-sinx<0, ∴函数f(x)=sinx在(0,π)内是上凸函数， ∴sinA+sinB+sinC≤3sin当且仅当A=B=C=例9

ABC33=3sin= 332时，等号成立. 3(均值不等式)设ai∈R+(i=1,2,…,n)，则

a1a2an≥na1a2an

n证明 设 f(x)=lnx,x∈(0,+∞) 11则

f ’(x)= ，

f ’’ (x)=-2<0 xx∴函数f(x)=lnx,在(0,+∞)内是上凸函数. ∴lna1lna2lnanaa2an≤ln1

nn1n

∴ln(a1a2…an)≤ln

a1a2an

n即a1a2an≥na1a2an(当且仅当a1=a2=…=an时，等号成立. )

n

第四篇：导数证明不等式的几个方法

1、直接利用题目所给函数证明(高考大题一般没有这么直接) 已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，恒有

11ln(x1)x x1

如果f(a)是函数f(x)在区间上的最大(小)值，则有f(x)f(a(或)f(x)f(a))，那么要证不等式，只要求函数的最大值不超过0就可

2、作差构造函数证明

已知函数f(x)x2lnx.求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x3的图象的下方;

构造出一个函数(可以移项，使右边为零，将移项后的左式设为函数)，并利用导数判断所设函数的单调性，再根据函数单调性的定义，证明要证的不等式。

3、合理换元后构造函数可大大降低运算量以节省时间 (2007年，山东卷)

n1n21)3 都成立. 证明：对任意的正整数n，不等式ln(nn2312

4、从特征入手构造函数证明

若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)>-f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：.af(a)>bf(b) 几个构造函数的类型：

5、隔离函数，左右两边分别考察

第五篇：勾股定理证明的几种证明方法

一、教学内容：勾股定理

1. 掌握勾股定理，了解用拼图的方法验证勾股定理. 2. 能够利用勾股定理进行有关的计算或推理. 3. 能够运用勾股定理解决简单的实际问题.

二、知识要点：

1. 如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=__________，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，这就是__________.

证法一(拼图法)：如图所示，因为大正方形的边长为a+b，所以面积为(a+b)2;中间小正方形的面积为c2，周围四个直角三角形的面积为4×ab;于是有(a+b)2=c2+4×ab，整理得a2+b2=c2.

bab

ac

cbca

ba

(1)证法二(拼图法)：如图所示，因为大正方形的边长为a+b，所以面积为(a+b)2.又

因为此正方形的边长与图(1)中的正方形边长相等，所以它们的面积也相等.故a2+b2+

4×ab=c2+4×ab，所以得到a2+b2=c2.

aabca

cb

bbb

证法三(拼图法)：如图所示，该图是由两个全等的直角三角形和一个以c为直角边的(2)

等腰直角三角形拼成的，由梯形的面积公式，得S梯形=(a+b)(a+b)=(a+b)2.而S

22222

2梯形=ab×2+c.故(a+b)=ab+c，整理得a+b=c.

cb

ca

b

a

a

证法四(拼图法)：如图所示，该图是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的.因

(3)

为大正方形的面积为c2，四个直角三角形的面积和为4×ab，中间的小正方形的面积为(b-a)2，故c2=4×ab+(b-a)2，整理得a2+b2=c2.

c

(4)

2. 怎样用勾股定理解决面积问题

求分别以直角三角形的三条边为边长的正方形的面积之间的关系，关键是找出正方形的面积与三角形的边之间的关系.

如图(1)所示，分别以Rt△ABC的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S

1、S

2、S3表示，可以很容易得出S

1、S

2、S3之间的关系.因为△ABC为直角三角形，所以AB2=AC2+BC2，而S1=AB2，S2=BC2，S3=AC2，故S1=S2+S3，图(2)中S

1、S

2、S3之间的关系也可以用以上方法得到.

CS3A

S1(1)

B

S

2(2)

3. 立体图形中的最短路径问题 (1)圆柱中的最短路径.

如图①所示，圆柱的底面周长为20cm，高为4，BC是上底面的直径，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试画出蚂蚁爬行的最短路径.

因为爬行是在立体图形的表面上进行的，所以可以把立体图形转化成平面图形，即它的侧面展开图(如图②所示)，再看出发点与目的点之间是哪条线段，需要时可根据勾股定理求出这条线段的长度.

C

CBB

A

①

DA

D

②

(2)正方体中的最短路径. 如图③中的正方体，棱长为1，若一只小虫从点A爬到点C，它爬行的最短路径是多少? 将正方体展开后(如图④所示)，因为从点C出发有三条棱，故点C有三处位置，即点C

1、C

2、C3，分别连结AC

1、AC

2、AC3，可得它们的长度都是，故这只小虫爬行的最短路径为.

注意：当图③中的立体图形为长方体时，也是用同样的方法进行分情况比较，但沿这些不同路径，所走路程可能会不同.

C

C

3A

③

④

C

1C

2A

三、重点难点：

重点是掌握勾股定理的内容，难点是勾股定理的应用.

【典型例题】

例1. 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，a=4，求b、c，△ABC的面积及斜边AB上的高.

A

b

cD

C

分析：在Rt△ABC中，由∠B=60°可知∠A=30°，根据30°锐角所对的直角边等于斜边的一半可求出c，然后根据勾股定理求出B. 进一步用面积公式S△ABC=ab，求出S△ABC，最后由ab=c·CD，求CD的长或者是在Rt△ACD中，用30°的锐角所对的直角边CD等于斜边AC的一半来求.

解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，所以∠A=30°. 又因为a=4，所以c=8.

根据勾股定理得b2=c2-a2=82-42=48， 所以b==4.

所以S△ABC=ab=×4×4=8.

在Rt△ACD中，因为∠A=30°，所以CD=AC， 所以CD=×4=2.

评析：直角三角形中30°锐角所对的直角边等于斜边的一半.

例2. 一个零件的形状如图所示，已知AC=3cm，AB=4cm，BD=12cm.求CD的长.

D

CA

B

Ba

分析：要求CD的长，由图知CD=BC+BD，BD的长已知，在Rt△ABC中，应用勾股定理，求得BC，进而求CD.解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，得 BC2=AC2+AB2=32+42=25. 在Rt△CBD中，根据勾股定理，得 CD2=BC2+BD2=25+122=169， 所以CD=13.

评析：BC在本图中，既是Rt△ABC的斜边，又是Rt△CBD的直角边.

例3. 如图所示，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是7cm，则正方形A、B、C、D的面积之和为__________.

分析：由勾股定理，得正方形A、B的面积之和是正方形E的面积，而正方形C、D的面积之和是正方形F的面积.同理，正方形E、F的面积之和是正方形G的面积.所以这四个正方形的面积之和是大正方形G的面积49cm2.