不等式的证明方法大全

第一篇：不等式的证明方法大全

不等式的证明方法

几个简单的证明方法

一、比较法：

ab等价于ab0;而ab0等价于a

b1.即a与b的比较转化为与0

或1的

比较.使用比较发时，关键是要作适当的变形，如因式分解、拆项、加减项、通分等，这是第一章中许多代数不等式的证明及其他各章初等不等式的证明所常用的证明技巧.二、综合法与分析法：

综合法是由因导果，即是由已知条件和已知的不等式出发，推导出所要证明的不等式;分析法是执果索因，即是要逐步找出使结论成立的充分条件或者充要条件，最后归结为已知的不等式或已知条件.对于条件简单而结论复杂的不等式，往往要通过分析法或分析法与综合法交替使用来寻找证明的途径.还要注意：第一，要熟悉掌握第一章的基本不等式和后面各章中著名的各种不等式;第二，要善于利用题中的隐含条件;第三，不等式的各种变性技巧.三、反证法：

正难则反.设所要证的不等式不成立，从原不等式的结论的反面出发，通过合理的逻辑推理导出矛盾，从而断定所要证的不等式成立.要注意对所有可能的反面结果都要逐一进行讨论.四、放缩法：

要证ab，又已知(或易证)ac，则只要证cb，这是利用不等式的传递性，将原不等式里的某些项适当的放大或缩小，或舍去若干项等以达证题目的.放缩法的方法有： ①添加或舍去一些项，如：a21a;n(n1)n;

②将分子或分母放大(或缩小);

③利用基本不等式，如：

log3lg5(

n(n1)lg3lg522)2lglglg4; n(n1);

④利用常用结论：

k1k

1k1

1k

11k1k



12k

1k

;

1k(k1)

1k1

1k

1k1

1k



1k(k1)1k

;



(程度大)

1k



1



(k1)(k1)



2k1

(



) ; (程度小)

五、换元法：

换元的目的就是减少不等式中变量，以使问题化难为易，化繁为简，常用的换元有三角换元和代数换元.如：

已知x2y2a2，可设xacos,yasin;

已知x2y21，可设xrcos,yrsin(0r1); 已知

xaxa

2

2

ybyb

22

1，可设xacos,ybsin;

22

22

已知



1，可设xasec,ybtan;

六、数学归纳法法：

与自然数n有关的许多不等式，可考虑用数学归纳法证明，数学归纳法法证明不等式在数学归纳法中有专门的研究.但运用数学归纳法时要注意：

第一，数学归纳法有多种形式.李大元就证明了下述七种等价的形式：设P(n)是与n有关的命题，则

(1)、设P(n0)成立，且对于任意的kn0，从P(k)成立可推出P(k1)成立，则P(n)对所有大于n0的n都成立.(2)、设m是任给的自然数，若P(1)成立，且从P(k)(1km)成立可推出

P(k1)成立，则P(n)对所有不超过m

的n都成立.(3)、(反向归纳法)设有无穷多个自然数n(例如n2m)，使得P(n)成立，且从P(k1)成立可推出P(k)成立，则P(n)对所有n成立.

(4)、若P(且P(n)对所有满足1nk的n成立可推出P(k1)成立，1)成立，则P(n)对所有n成立.(5)、(最小数原理)自然数集的非空子集中必有一个最小数.

(6)、若P)且若P(k),P(k1)成立可推出P(k2)成立，则P(n)1(,P(2)成立，对所有n成立.(7)、(无穷递降法)若P(n)对某个n成立可推出存在n1n，使得P(n1)成立，则P(n)对所有n成立.

此外，还有螺旋归纳法(又叫翘翘板归纳法)：设有两个命题P(n),Q(n)，若

P(1)

成立，又从P(k)成立可推出Q(k)成立，并且从Q(k)成立可推出P(k1)成

立，其中k为任给自然数，则P(n),Q(n)对所有n都成立，它可以推广到两个以上的命题.这些形式虽然等价，但在不同情形中使用各有方便之处.在使用它们时，若能注意运用变形和放缩等技巧，往往可收到化难为易的奇效.

对于有些不等式与两个独立的自然数m,n有关，可考虑用二重数学归纳法，即若要证命题P(m,n)对所有m,n成立，可分两步：①先证P(1,n),P(m,1)对所有m,n成立;②设P(m1,n),P(m,n1)成立，证明P(m1,n1)也成立. 第二，数学归纳法与其它方法的综合运用，例如，证明

n



k

11k

sinkx0,(0x)

就要综合运用数学归纳法，反证法与极值法;有时可将n换成连续量x，用微分法或积分法.

第三，并不是所有含n的不等式都能用数学归纳法证明的.

七、构造法：

通过构造函数、方程、数列、向量或不等式来证明不等式;证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和数学归纳法仍是证明不等式的最基本方法.要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点.笔者将在第三章中详细地介绍构造法.八、利用基本不等式：

善于利用已知不等式，特别是基本不等式去发现和证明新的不等式，是广泛应用的基本技巧.这种方法往往要与其它方法结合一起运用.

22

例1 已知a，bR，且ab1.求证：a2b2

252

.

证法一：(比较法)a,bR,ab1

b1a

a2b2

22

252

ab4(ab)

22

92

122(a

12)0

a(1a)4

92

2a2a

12

即a22b22

证法二：(分析法)

252

(当且仅当ab时，取等号).

a22B2

252

ab4(ab)8

22

252

b1a

225122

(a)0a(1a)4822

显然成立，所以原不等式成立.

点评：分析法是基本的数学方法，使用时，要保证“后一步”是“前一步”的充分条件.

证法三：(综合法)由上分析法逆推获证(略).

证法四：(反证法)

假设(a2)2(b2)2

252

，则 a2b24(ab)8

252

252

.

由ab1，得b1a，于是有a2(1a)212

1

所以(a)0，这与a0矛盾.

22

.

所以a2b2

252

.

证法五：(放缩法)

∵ab1

∴左边=a2b2

a2b221252ab4

222

=右

边.

点评：根据不等式左边是平方和及ab1这个特点，选用基本不等式

ab

ab2.

2

证法六：(均值换元法)

∵ab1，

所以可设a

12t

，b

12

t， 1

∴左边=a2b2(t2)2(t2)2

5525252

=右边. tt2t

2222

22

当且仅当t0时，等号成立.

点评：形如ab1结构式的条件，一般可以采用均值换元.

证法七：(利用一元二次方程根的判别式法)

设ya2b2，由ab1，有y(a2)2(3a)22a22a13， 所以2a22a13y0，

因为aR，所以442(13y)0，即y故a2b2

22

252

.

252

.

下面，笔者将运用数学归纳法证明第一章中的AG不等式.在证明之前，笔者先来证明一个引理.

引理：设A0，B0，则(A+B)nAn+nA(n-1)B，其中nN. 证明：由二项式定理可知

n

(A+B)=AniBiAn+nA(n-1)B

n

i0



(A+B)A+nA

nn(n-1)

B

第二篇：不等式的证明方法

高考数学证明不等式的方法 ①利用函数的方法证明不等式成立。

步骤一：首先把不等式转化关于某变量x的函数，并且求出x的定义域。 步骤二：证明该变量x的函数在其定义域的单调关系。

步骤三：由步骤二可得出该不等式的极小值或极大值，进而求出最小值或最大值。

步骤四：利用最小值或最大值证该不等式是正确。

②利用求等比数列和的方法证明不等式成立。

③利用列式分解法来证明不等式成立(经常用于数列不等式)。

Ⅰ利用分子分母的列式分解法分解。类型应是分子是常数，分母是可由两个因子式的二元一次方程并且该两个因子式相减可得一个常数。通常类型如下：c/a(x+b1)(x+b2) = c/a * 1/(b2-b1) * [1/(x+b1) - 1/(x+b2)] Ⅱ利用根号和列式分解法来证明不等式的成立。

Ⅲ利用对数的性质来进行因式分解。例如ln[n/(n+1)] = ln(n)-ln(n+1); ④利用假说演绎法来证明不等式的成立。

步骤如下(假设有5分，一般都可拿3分)：

步骤一：假设该不等式成立。

步骤二：当n = 1 时，该不等式成立。(1分或2分)

步骤三：当n = k+1 时，把他代入左边的参数，再跟与 n = k的不

等式转换。从而验证当n = k+1 时，该不等式也成立。(3分或4分)

步骤四：综上所述，该不等式成立。(0分或1分)

⑤利用放缩法来证明不等式成立。下面有几种常见的关于放缩法的几种类型。 Ⅰ利用已有的列式分解法的知识进行放缩。

Ⅱ利用上述已知的条件进行放缩。

Ⅲ

第三篇：不等式的证明方法探究

不等式的证明是高中数学的一个难点，题型较多，涉及的知识面多，证明方法灵活，本文通过一些实例，归纳总结了证明不等式时常用的方法和技巧。

1.比较法

比较法是证明不等式的最基本方法，有“作差”与“作商”两种方法。其思路是把要比较的式子变成其差与0比较大小或其商与1比较大小。

例1 求证：2x23x

证明：∵ (2x23)x2x2x32(x)2 ∴ 2x23x

由例1可见用作差比较法证明不等式的步骤是：作差，变形，判断符号，给结论。

例2 已知：abc0，求证：aabbcc(abc)aabbccabc3abc31423230 88

a2abc3b2bac3c2cab3证明：∵ (abc)aabac33bbabc33ccacb33a()bab3a()cac3b()cbc3

aa 又abc0则ab0,1，故()bba同理：()cab3ab31

b1,()cbc31

abc3a∴ ()bab3a()cac3b()cbc3>1，则abc(abc)abc

由例2可见用作商比较法证明不等式的步骤是：作商，变形，判断与1的大小，给结论。

2.综合法

综合法是利用一些现成的结论(比如重要不等式)，从已知条件入手，逐步得到要证的结论。即“由因寻果”的方法。

例3 已知：ab，且axb2bxa2，求证：xab 证明：∵ axb2bxa2

由不等式性质得：axbxa2b2

即：(ab)x(ab)(ab) ①

由条件ab得ab0，给不等式①两边同乘以正数1，即可得到xab ab3.分析法

分析法是从要证明的结论入手，寻找成立的条件，一直到这个条件是可以证明或已经证明的不等式时，便可推出原不等式成立。即“由果寻因”的方法。

例4 求证：6215

证明：因为62与15都是正数 要证明6215

只需证明(62)2(15)2成立 即只要证明：84315 即只要证明437 即只要证明4849

因为4849显然成立，所以6215成立 4.配方法

把一个不是完全平方形式的多项式中的某些项配成完全平方，然后利用一个实数的平方是非负的这个性质证明某些式子大于或等于零。

例5 求证x26x110

证明：x26x11(x3)2220 则x26x110 5.基本不等式法

利用基本不等式及其变式证明不等式是常用的方法，常用基本不等式及变形有：

①若a,bR，则 a2b22ab(当且仅当ab时取等号) ②若a0,b0，则ab2ab(当且仅当ab时取等号) 例6 已知：x0,y0，求证：(xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3 证明：∵x0,y0

∴x20,y20,x30,y30

∴xy2xy0,x2y22xy0,x3y32x3y30

由不等式性质得：

(xy)(x2y2)(x3y3)2xy2xy2x3y38x3y3

即 (xy)(x2y2)(x3y3)8x3y3 6.放缩法

放缩法是在证明不等式时，将不等式一边适当的放大或缩小来证明不等式。 例7 已知：nN，求证：2n12n证明：∵2n12n 即2n12n7.数学归纳法

1n2n1n2nn1n

1n

与自然数n有关的不等式，通常用数学归纳法证明。

例8 求证：对任何实数x1和任何正整数n，有(1x)n1nx 证明：①当n1时，不等式显然成立

②假设当nk时，不等式成立，即有(1x)k1kx

∵x1，则x10，上式两边同乘(x1)，得

(1x)k1(1kx)(1x)1(k1)xkx21(k1)x

这说明nk1时不等式仍成立

综上①，②知，对任何正整数n，不等式(1x)n1nx仍成立

8.构造法

通过构造辅助函数，然后利用函数的有关性质去证明不等式，或者构造适当的图形使要证明的命题比较直观的反应出来。

例9 证明：7x2(9x2)9，并指出等号成立条件

证明：不等式左边可看成7与x和2与9x2两两乘积

的和，从而联想到数量积的坐标表示

将左边看成向量a(7,2)与b(x,9x2)的数量积

又abab， 所以7x2(9x2)(7)2(2)2x2(9x2)9

当且仅当ba,(0)时等号成立，故由

x79x22

解得：x7,1，即x7时等号成立。 例10 已知：a0,b0,c0

求证：a2abb2b2bcc2a2acc2

当且仅当时等号成立

证明：从根式的结构特点联想到余弦定理，于是可构造如

下图形

1b1a1c

使OAa,OBb,OCc,

AOBBOC60o

则AOC120o,ABa2abb2 BCb2bcc2,ACa2acc2

由几何知识知ABBCAC

∴a2abb2b2bcc2a2acc2

当且仅当A,B,C三点共线时等号成立，则有

1122111 故当且仅当时等号成立

bac absin60obcsin60oacsin120o，即abbcac 129.换元法 通过添设辅助元素，使原来不等式变成与新的变量有关的不等式，应用换元法，可把字母多的化成字母少的，可把繁琐的不等式化成简单的不等式。常用的有三角换元和均值换元。

例11 已知：x0,y0,2xy1，求证：121x1322 y 证明：由x0,y0,2xy1，设xsin2,ycos2 则：1x1212(1cot2)1tan2 22ysincos = 3(2cot2tan2)322 例12 已知x,yR,且xy1。求证：(x2)2(y2)2证明：x,yR,且xy1

1211则(x2)2(y2)2(t2)2(t2)2

22552525 =(t)2(t)22t2

222225则(x2)2(y2)2

225 2则设： xt,yt(tR)

12原不等式得证。

第四篇：不等式的多种证明方法

不等式的多种证明方法 汪洋，合肥师范学院

摘要：数学是生活中的一门自然科学，而不等式则是构成这门自然科学的众多基础中相当重要的组成之一，因此本文专门介绍不等式的各种证明方法。

根据在校期间从大学课程中所学的专业知识，通过课本、资料及网络等渠道收集各种类型的不等式习题，然后依据其不同的思想与方法可以归纳为三大类型，即基础类证明方法、延伸类证明方法和特殊类证明方法。其中基础类证明方法是最简单的证明，包括比较法、分析法、放缩法、综合法;延伸类证明方法则是通过代换、构造、转化等思想将原不等式变化为简单的形式再予以证明，比如换元法、引入参变量法、构造辅助函数法等等;特殊类证明方法是针对一些特殊类型的不等式结构或提问方式，采取相应的特殊证明方法可以使得证明更加简洁，就像反证法、数学归纳法、数形结合法等等。本文就是依上述介绍的各种方法进行展开介绍的，所选的例题皆比较简单，求证方法简洁合理，易于接受，为的只是借此传达各种证明方法的思想。

数学;不等式;证明;方法

目录

1.引言.................

12.基础类证明方法.............. 1

2.1比较法 ................. 1

2.2分析法 .................

22.3放缩法 .................

32.4综合法 .................

53.延伸类证明方法.............. 6

3.1换元法 ................. 6

3.2引入参变量法 ........... 8

3.3构造辅助函数法 ................ 8

3.4转化为向量不等式法 ........... 11

3.5转化为复数法 .......... 11

3.6分解、合成法 .......... 1

14.特殊类证明方法............. 1

24.1反证法 ................ 12

4.2数学归纳法 ............ 1

34.3借助证明法 .......... 1

54.4数形结合法 ............ 16

5.结束语.............. 16

参考文献.................17

不等式的多种证明方法

汪洋，合肥师范学院

摘要：数学是生活中的一门自然科学，而不等式则是构成这门自然科学的众多基础中相当重要的组成之一，因此本文专门介绍不等式的各种证明方法。

根据在校期间从大学课程中所学的专业知识，通过课本、资料及网络等渠道收集各种类型的不等式习题，然后依据其不同的思想与方法可以归纳为三大类型，即基础类证明方法、延伸类证明方法和特殊类证明方法。其中基础类证明方法是最简单的证明，包括比较法、分析法、放缩法、综合法;延伸类证明方法则是通过代换、构造、转化等思想将原不等式变化为简单的形式再予以证明，比如换元法、引入参变量法、构造辅助函数法等等;特殊类证明方法是针对一些特殊类型的不等式结构或提问方式，采取相应的特殊证明方法可以使得证明更加简洁，就像反证法、数学归纳法、数形结合法等等。本文就是依上述介绍的各种方法进行展开介绍的，所选的例题皆比较简单，求证方法简洁合理，易于接受，为的只是借此传达各种证明方法的思想。

关键词： 数学;不等式;证明;方法

Various Methods of Inequality Proof

Wangyang, Hefei Normal University

Abstract: Mathematics is a natural science of the life, and the inequality is an important component of many bases which constitute the natural science. So this article dedicated to a variety of proven methods of inequality.According to the professional knowledge from university courses during the school, I collect all types of inequality problem by books, material and network channels. Then according to different ideas and methods, I put them into three types of proof, which is base class identification method and extension methods of proof and special class methods. The base class method is the simplest proof, and it include the comparison and analysis, and the method of techniques and so on. Extension methods are proved by such substitution, structure, the inequality of thought for the form of simple changes to prove. For example, substitution method, the introduction of parametric method, constructs the auxiliary function method, etc. Special class that is for some special types of inequality structure or form of a question takes a special method of proof which can be made more concise proof, as required, mathematical induction, several form combination, etc. This topic is introduced by the start of various methods described, and the examples are relatively simple, the method is simple and reasonable, and acceptable, which is just only to convey various methods of thought.

Key words: Mathematics; Inequality; Proof; Method

1.引言

用不等号连结两个代数式所成的式子叫做不等式，是描写不等号两边式子的大小关系。不等式理论是等式、方程、函数论进一步的深入和发展，是数学知识又一次扩展的重要内容，是掌握初等数学不可或缺的重要部分，学习了等式后再学习不等式，使式的内容更加充实，更加完善，是我们进一步扩大数学视野，增加数学知识的必要基础。不等式的重要作用是十分明显的，因为在日常的生活、生产和科学研究中到处用到不等式的知识;而不等式的证明更体现了不等式的另一方面，它在数学领域中占有核心地位，它贯穿于初等数学和高等数学的方方面面。

著名数学家D. S. Mitrinovic在他的名著《Analytic Inequalities》的序言中都引述到:“所有分析学家要花费一半的时间通过文献查找他们想要用而又不能证明的不等式”。分析学家Michiel Hazewinkel在《Inequalities Involving Functions and Their Integrals and Derivatives》一书的序言中也讲道:“有时我有这样的感觉，数学(特别是分析学)就是不等式”。由此可见，给出一个关于不等式方面系统的、全面的证明方法具有很现实的意义。

因此，本文将对各种各样的不等式给出相应的证明方法，尽量把不等式的证明方法系统化、全面化。

2.基础类证明方法

在此介绍的四种方法仅需要根据命题本身的已知条件或常用结论即可证明。

2.1比较法

即借助不等式两边做差或做商的结果与0或1比较来证明不等式的方法。如果

aab0，则ab;如果a0,b0，1，则ab。 b1

第五篇：不等式的证明方法论文

重庆三峡学院毕业设计(论文)

题目：不等式的证明方法

院 系 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学(师范类) 年 级 2009级 学生姓名 杨家成 学生学号 200906034134 指导教师 向以华

完成毕业设计(论文)时间 2013 年 5 月

目 录

摘要 ................................................................ I Abstract ........................................................... II 引言 ................................................................ 1 第一章 不等式的基本知识 ........................................... 1

1.1 不等式的概念 ................................................ 1 1.2 实数运算的性质(符号法则) .................................. 1 1.3 不等式的性质 ................................................ 1 第二章 证明不等式的常用方法 ....................................... 2

2.1 比较法 ...................................................... 2 2.2 公式法 ...................................................... 2 第三章 微分在证明不等式中的应用 ................................... 4

3.1 利用函数的单调性 ............................................ 5 3.2 利用微分中值定理 ............................................ 7 第四章 积分在证明不等式中的应用 ................................... 8

4.1利用积分性质 ................................................. 8 4.2 利用积分中值定理 ............................................ 9 4.3 利用二重积分证明不等式 ..................................... 10 第五章 概率在证明不等式中的应用 .................................. 11 致谢 ............................................................... 13 参考文献 ........................................................... 13

不等式的证明方法

杨家成

(重庆三峡学院 数学与统计学院 数学与应用数学专业2009级 重庆万州 404100)

摘要：无论在初等数学还是高等数学中,不等式都是十分重要的内容. 而不等式的证明则是不等式知识的重要组成部分. 在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法. 在初等数学不等式的证明中经常用到的有比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等. 在高等数学不等式的证明中经常利用中值定理、拉格朗日函数、以及一些著名不等式，如：均值不等式、柯西不等式、詹森不等式、赫尔德不等式等等.从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步的探讨和研究不等式的证明.

关键词：不等式;中值定理;证明

I

A Lot of Methods about Inequality Proof

YANG Jia-cheng (Grade 2009, Mathematics and Applied Mathematics, College of Mathematics and Computer Science,Chongqing Three Gorges University, Wanzhou, Chongqing 404100 )

Abstract: In elementary mathematics and higher mathematics, inequalities are very important elements. Inequality is an important component in the inequality proof. In this paper, I summarized some mathematical inequality proof methods. Inequality in elementary mathematical proof commonly use in comparative law, for commercial, analysis, synthesis, mathematical induction, the reduce- tion to absurdity, discriminant, function, Geometry, and so on. Inequality in higher mathematics proof often use the intermediate value theorem, the Lagranga function and some famous inequality, such as : mean inequality, Kensen inequality, Johnson in- equality, Helder inequality, and so on. Inequality proof methods get more efficient and help us further explore and study the inequality proof.

Key words：inequality; mean value theorem; proof

II 2013届数学与应用数学专业(师范类)毕业设计(论文)

引言

不等式是数学中的重要内容之一，它反映了各个变量之间很重要的一种关系. 它的证明在数学中起着重要作用，既能丰富数学知识，又能发展数学逻辑思维能力. 证明不等式没有固定的模式，方法因题而异，灵活多变，技巧性强.

运用初等数学知识能证明一些不等式，但对于另一些不等式的证明，比如积分不等式，以及简化一些不等式证明，则需要借助高等数学知识. 作为高等数学的核心 ———微积分就是一种实用的证明不等式的方法. 第一章 不等式的基本知识

1.1 不等式的概念

不等式的定义：用不等号将两个解析式连结起来所成的式子.

1.2 实数运算的性质(符号法则)

(1)abab0,abab0,abab0,a0a0.(2)a0110,a00. aa (3)a0,a0ab0;a0,b0ab0.

(4)a0,b0ab0;a0,b0ab0;a0,b0ab0.

1.3 不等式的性质

(1)对称性: abba. (2)传递性：ab,bcac.

(3)可加性：abacbc;abcabc. (4)可乘性：ab,c0acbc，

ab,c0acbc.

第 1 页 共 13 页

杨家成：不等式的证明方法

第二章 证明不等式的常用方法

2.1 比较法

证明不等式的主要方法是根据不等式的性质和已有的恒等不等式进行合乎逻辑的等价变换.具体的方法很多，下面着重介绍最基本两种———比较法、公式法.

A欲证AB， (1) 只要证明AB0; (2) 如果A0,B0，只要证明1.

B例1 已知abc， 求证：abbccaabbcca.

证明：abbccaabbccaabcabcbccaab

a2(bc)bc(bc)a(c2b2)(bc)[a2bca(cb)]

(bc)(ab)(ac)0.

说明：作差后为了判断符号，需要恒等变形，而证本题关键正在于联想二次三项式的因式分解.

例2 设ab0，求证：abab. 证明：因为ab0，

所以

abba222222222222222222a1,ab0， baabbaab1，

而ba()abb

故abab.

说明：当式子为指数式时，联想到指数性质，故常用比值法.

比较法是最简单明了的方法，为进一步研究，接下来看另一种方法，用公式法，即利用常用不等式来证明不等式. abba2.2 公式法

2.2.1 柯西不等式

nnn22定理1.1 设ai,biRi1,2,,n，则aibiaibi，

i1i1i12当且仅当

aa1a2n时，等号成立. b1b2bn第2页 共13页 2013届数学与应用数学专业(师范类)毕业设计(论文)

例1 已知a1,a2an都是正数，求证：

aii1i1nn1n2. ai证明：构造两个数组：

a1,a2an;2111,a1a2an，由柯西不等式，得

2anii1nn21n1，即 aii1aii1ainanii121n21， i1i1ain2所以aaii1i11in2.

2.2.2 均值不等式

定理1.2设a1,a2,an是n个正数，则HnGnAnQn称为均值不等式. 其中

Hnn111a1a2an，

Gnna1a2an，

Ana1a2an，

n222aa2an. Qn1n例2 已知0a1,xy0，求证：logaaxayloga2xy21. 8证明：由0a1，a0,a0，得，axay2axay2axy，

从而 logaaxayloga2axyloga2xy2，

故只要证明xy11，即xy即可. 2842211111xyxxx，等号在x(这时y)时取得，

24244所以logaaxayloga21. 8第 3 页 共 13 页

杨家成：不等式的证明方法

2.2.3 排序不等式

定理1.3 设a1a2an,b1b2bn则有

a1bna2bn1anb

(倒序积和)

a1br1a2br2anbrn (乱序积和)

a1b1a2b2anbn,

(顺序积和)

其中r1,r2,,rn是1,2,,n的一个排列，即

倒序积和≤乱序积和≤顺序积和. 例3 设a1,a2,,an是n个互不相同的自然数，证明：

1an111aa12. 2223n2n证明：设b1,b2,bn是a1,a2,,an的一个排列且b1b2bn，

11，所以由排序不等式，得， 22n2bnanba2b12a. 122222n2nbnb111又因为b11,b22,,bnn，故b12 ， 22n22nan111a即1a12.

23n22n2说明：排序不等式适用于与数的排列相关的问题. 因1从应用中，可看出在利用重要不等式来证明不等式时必须注意重要不等式所需要的条件，以及有时需要变形等适当处理，凑成重要不等式的形式.

除了已介绍的二种方法，分析法、综合法、反证法、换元法、构造法、放缩法、数学归纳法等也能解决初等数学中多数不等式证明问题，但对于一些不等式的证明，单靠初等方法是不够的，因此，需要借助高等数学知识微积分来更进一步扩广加深证明不等式的研究. 接下来就探讨微积分在证明不等式中的应用.

第三章 微分在证明不等式中的应用

微分证明不等式的主要方法有函数的单调性法、函数极值与最值法、微分中值定理法、函数凹凸性法、泰勒公式法等.下面就结合例题分别阐述以上方法.

第4页 共13页 2013届数学与应用数学专业(师范类)毕业设计(论文)

3.1 利用函数的单调性

在证明不等式中最常见，最有用的方法之一就是函数单调性法，先来看相关定理. 定理 3.1 设函数fx在区间I上可导，则fx在I上递增(减)的充要条件是：

fx00.

证明:""若fx为增函数，则对每一个x0I当xx0时有

fxfx00令xx0即得fx0. xx0"" 若fx在区间I上恒有fx0，则对任意的x1,x2Ix1x2应用拉格朗日中值定理，存在x1,x2I，使得fx2fx1fx2x10由此得到fx在I上为增函数.

定理 3.2 设函数yfx在a,b上连续,在a,b内可导，

① 若在a,b内，fx0，那么函数yfx在a,b上严格单调增加; ② 若在a,b内，fx0，那么函数yfx在a,b上严格单调递减. 例1 求证：当0x证明：设fx

fx由0x2时，sinx2x.

sinx，x0,， x2xcosxsinxxtanxcosx， 22xx2，sinxxtanx可知，

fx0，即fx在0,上严格递减，

2又由于fx在x2处连续，故fxf2. 2nn例2 已知m,n都是正整数，且1mn，证明：不等式1m1n. 证明：原不等式等价于ln1mln1n，令 mn第 5 页 共 13 页

杨家成：不等式的证明方法

fxfxln1x，x2，则

xx1xln1xxxln1xx1ln1x0,1xx21xx21xx2即fx在2,上严格递减，所以fmfn，即1mn1nm成立.

说明：对幂指式情况，常取对数，作辅助函数来帮助证明.

由以上例题可总结出函数的单调性法的证明不等式步骤：

① 移项(或其它等价变形)使不等式一端为0，另一端为所作的辅助函数fx; ②讨论fx 符号来确定fx在指定区间的增减性， ③根据函数的单调性及区间端点处的函数值即可得证.

其中步骤① 是关键，作出适当辅助函数fx，值得注意的是步骤②讨论fx符号，有时一阶导的符号不能判断，这就需要判断二阶导数的符号，若仍旧不能判断，再求三阶导数，重复上述过程. 例3 求证：tanxx,x0,. xsinx2证明：即证明tanxx0，即sinxtanxx2. xsinx2设fxsinxtanxx，则f0f0f00，而

fxsinxsec2x12secxtan3x4sec3xtanx0，

fx0，命题得证.

例4 求证：当x0时，x21lnxx1.

2x21x10，故f在0,上递增. 证明：设fxlnx,x0，则fxxx1x1x12，即x21lnxx1; x1x12当x1时，fxf10，得lnx，即x21lnxx1，

x1当0x1时，fxf10，得lnx综上，结论命题得证.

利用函数的单调性是证明不等式的一种常用方法，与之类似的是利用函数的极值与最值，但是这里比较的是极值与端点值，而不是0与端点值.

第6页 共13页 2013届数学与应用数学专业(师范类)毕业设计(论文)

3.2 利用微分中值定理

微分中值定理主要有罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理，其中应用最广泛的是拉格朗日中值定理.

定理3.3 (拉格朗日中值定理 ) 函数f满足如下条件：

(ⅰ) f在区间a,b上连续，

(ⅱ) f在区间a,b内可导，

fbfa. bafbfaxa. 证明: 作辅助函数Fxfxfaba则在a,b上至少存在一点使得 f显然FaFb0且F在a,b上满足罗尔中值定理的条件，故存在a,b使得Fffbfa0，移项即得 bafbfa. fba

由拉格朗日公式特点看出，拉格拉日中值定理适用于证明含有函数及其导数，且出现函数之差，自变量差及fx的表达式的不等式. 例1 证明： 对一切h1,h0成立不等式证明：设fxln(1x),x[1,h]，

hln1hh. 1hf(x)在区间[1,h]上满足拉格朗日中值定理，则

ln(1h)ln(1h)ln1h,01， 1hhhh， 1h1h当h0时，由01可推知，11h1h,hhh，

1h1h当h0时，由01可推知，11h1h,从而得到所要证明的结论.

例2 求证：sinxsinyxy. 证明：设 f(x)sinx，则sinxsiny(xy)sin(xy)cos，

故sinxsiny(xy)cosxy. 由以上二例可总结出应用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤：

第 7 页 共 13 页

杨家成：不等式的证明方法

①构造函数f(x)，并确定对应区间[a,b]; ②对f(x)在[a,b]上运用拉格朗日中值定理;

③利用与 a、b 之间大小关系，题中所给条件，放大或缩小f() ，从而推得不等式.

步骤中关键是第一步，构造适当的函数f(x)，确定区间[a,b] ，使f(x) 在[a,b]上满足定理条件;而第三步中，如何放大或缩小f()，有时也需善于借助其它相关知识.

第四章 积分在证明不等式中的应用

4.1利用积分性质

性质4.1 设f(x)为区间[a,b]上的可积函数，若f(x)0，则

baf(x)dx0.

推论4.1.1 若f(x)与g(x)为[a,b]上的可积函数，且f(x)g(x),x(a,b)，则有

baf(x)dxg(x)dx.

ab推论4.1.2 设f(x)为[a,b]上的可积函数，其最大值为M，最小值为m，则

m(ba)f(x)dxM(ba).

ab例1 设f在[a,b]上二阶可导，且f(x)0，证明：f(证明：因为f(x)0，所以f(x)为凸函数，

ab1b)f(x)dx. 2baa故对a,b上任意两点x,t，有f(x)f(t)f(t)(xt)， 令tabx0，得 2babaf(x)dxf(x0)(ba)f(x0)(xx0)dx

(bx0)2(ax0)2

f(x0)(ba)f(x0)

22

f(x0)(ba).

第8页 共13页 2013届数学与应用数学专业(师范类)毕业设计(论文)

故有f(例2求证：2eab1b)f(x)dx. a2ba121212ex2dx2.

11x2x2f(x)e,x,证明：设，则，令f(x)0,x0， f(x)2xe2211而f()f()e2,f(0)1，

22121221fmax1,fmine即e12ex1，

11111x2e()2edx()， 1222221212122eexdx2.

2说明：当证明某积分不等式大于等于或小于等于定数时，往往利用转化为求原函数最值较为简单.

除了积分性质，积分中值定理也常用于证明不等式.

4.2 利用积分中值定理

积分中值定理包括积分第一中值定理、积分第二中值定理，最常用的是积分第一中值定理.

定理4.

1若函数f(x)在[a,b]上连续，则至少存在一点[a,b]使得

baf(x)dxf()(ba).

11x191例1 求证：. dx3603202021x1证明：x191x603dx131610x19dx11，

20316其中[0,1]，于是由

111，即获证. 36321例2 设f(x)在[0,)上连续，且严格单调递减，0ab，求证：

af(x)dxbf(x)dx.

00ba第 9 页 共 13 页

杨家成：不等式的证明方法

证明：设F(x)F(x)x0f(t)dtxx02，则

xf(x)f(t)dtxf(x)f()(0x)，

x依题意，得，f()f(x),F(x)0 .

在[0,)上单调递减，得，F(a)F(b)，

即a0f(x)dxabb0f(x)dxba0，

af(x)dxbf(x)dx.

0运用积分中值定理，可将积分不等式转化为函数不等式来证明，同样的思路也应用到变限积分法中.

4.3 利用二重积分证明不等式

有时将一元函数的积分问题转化为二元函数的二重积分问题，会给解题带来方便. 定理4.2 若f(x)在[a,b]上可积，g(y)在[c,d]上可积，则二元函数f(x)g(y)在平面区域D(x,y)|axb,cyd上可积，且

f(x)g(y)dxdyDbaf(x)dxg(y)dy.

cd例1 设函数f(x)与g(x)在[a,b]上连续，证明Cauchy-Schwarz积分不等式bbb22af(x)g(x)dxaf(x)dxag(x)dx.

2证明：记积分区域D[a,b][a,b]，利用定积分与积分变量符号无关的性质等，有bbbaf(x)g(x)dxaf(x)g(x)dxaf(y)g(y)dyf(x)g(x)f(y)g(y)dxdy D

2 12222[f(x)g(y)f(y)g(x)]dxdy 2Dbb1b21b222f(x)dxg(y)dyf(y)dyg(x)dx aaaa22

第10页 共13页 2013届数学与应用数学专业(师范类)毕业设计(论文)

bb

af2(x)dxg2(y)dy.

a以上就是要介绍的积分在证明不等式的几种方法，从应用中，可看出运用积分与微分证明不等式方法类似，都主要是利用相关的性质，公式.

由以上可以看出，微积分对证明不等式起到了重要作用. 对于某些初等方法无法证明的不等式，适当地利用微积分知识就可以证明. 在具体证明中要依据题设和待证不等式的结构特点，内在联系，选择适当的证明方法.至于如何选择方法，这就得熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点，通过摸清问题本质特征，使得难解性问题转化为可解性问题.

第五章 概率在证明不等式中的应用

根据实际问题，构造适当概率模型，再利用有关结论解决实际问题，一方面沟通不同学科之间的联系.另一方面也可简化证明.

对任意事件A，有0P(A)1证明不等式

例1 证明：若0a1,0b1，则ababab1. 证明：设两事件A与B相互独立，且P(A)a,P(B)b，

则有P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)abab，

0P(AB)1，

0abab1，

ababab1.

随机实验中，必然事件的概率为1，利用这一结论可证明一些不等式. 例2 证明：

证明：设随机试验E只有两个基本事件A和A，将E独立重复地做n次，在第K次试验中，n1. (n1)!n1A出现的概率为Pk(0Pk1)，不出现的概率为Qk(Qk1Pk).又令fn表示n次试验中，则f1P1P2)(1Pn1)Pn,(n2), A首次出现的概率，1,f2(1P1)P2,fn(1P1)( 记PNfn1Nn,Qn(1Pn)，

n1N 则PnQn1，

第 11 页 共 13 页

杨家成：不等式的证明方法

从而fn1n1的充要条件为(1Pn)0，

n1

现取PKK， K112n1nn

则fn(1)(1)(1， )23nn1n1(n1)!n1n1n1

而(1Pn)(1)0，

n1n1n1n1n1

n1， n1(n1)!n1. (n1)!n1N

分析：欲证此不等式，可从考虑相应的级数入手，若能证明级数收敛且

(n1)!1即可.

n1n由上可看出要利用概率论的方法对不等式进行证明，关键在于针对不等式的具体形式，构造相应的概率模型，再利用概率论的相关性质、定理加以证明，从而可以使一些不等式的证明大大简化.

第12页 共13页 2013届数学与应用数学专业(师范类)毕业设计(论文)

致谢

论文即将完成，回顾这篇论文的完成，是单单靠自己完成不了的，从选题到研究方法，从资料查询到写稿，从初稿到修改，直至最终定稿，无不受到向以华老师的悉心指导，深深关切.整个书写论文过程中，向老师的治学严谨，平易近人深深地影响了我，让我在收获专业知识的同时，也获得关于治学，关于为师的道理，相信这将对我以后的学习工作带来不小的启迪.因此，借此机会，向尊敬的向老师表达我由衷的谢意! 参考文献

[1] 华东师范大学数学系.数学分析.高等教育出版社，2001.6. [2] 陈传理，张同君.竞赛数学教程.高等教育出版社，1996.10. [3] 曹敏谦.数学分析习题集题解(三).上海交通大学印刷厂，1979.

[4] 魏全顺. 微分在不等式证明中的应用，湖南第一师范学报，2006，6(1):110-114. [5] 叶春辉.运用高等数学知识证明不等式的探讨，牡丹江教育学院学报,2009. [6] 费荣昌.概率统计解题分析.江苏科学技术出版社，1984.

第 13 页 共 13 页