证明不等式的13种方法

第一篇：证明不等式的13种方法

不等式证明的几种方法

刘丹华

余姚市第五职业技术学校

摘要： 不等式的证明可以采用不同的方法，每种方法具有一定的适用性，并有一定的规律可循。通过对不等式证明方法和例子的分析和总结，可以掌握其中的要领，灵活运用。

关键词： 不等式 ;证明方法;分析问题

引言

证明不等式一般没有固定的程序，方法因题而异，灵活多变，技巧性强。有时一个不等式的证明方法不止一种，而一种证法又可能要用到好几个技巧，但基本思想总是一样的，即把原来的不等式变为明显成立的不等式。下面介绍几种证明不等式的方法。

一、构造法

构造法是数学中一种富有创造性的思维方法。当一个数学问题需要解决时，常常通过深入分析问题的结构特征和内在规律，概括抽象构造出一个新的关系，使问题等价转化为与之有关的函数、方程和图形等，再进行求解。构造法也是数学解题中的一种重要的思维方法。

(一) 、构造方程证明不等式

某些不等式问题，可以根据它的条件或结论的特征构造一个一元二次方程，然后利用根的判别式来证明。

例1如果x，y，z均为实数，且xyza，xyz

求证：0x22212a (a0). 2222a，oya， 0za. 33

3证明：由已知的两个等式中消去x，得 12a

2220(ayz)yza  2y2(az)y2z2az22222

因为 yR， 所以 4(az)4(2za)0

所以z(3z2a)0 22

2a 3

22同理可证： 0xa，0ya. 33所以0z

(二) 、构造函数证明不等式

根据欲证不等式结构的特点，引入一个适当的函数，运用函数的性质来加以证明。

例2已知a，b，c为ABC的三边，求证：

证明： 从结论形式看，各项均具有

f(x)abc. 1a1b1cM的形式，于是可构造函数 1Mx， 易证 f(x)在R上为增函数 1x

因为a，b，c为ABC的三边

所以abc

所以f(a)f(bc)

即abcbcbc. 1a1bc1bc1bc1b1c

又如： 求证 ab

1aba

1ab

1b 可用类似方法证明。

(三) 、构造几何图形证明不等式

把欲证的不等式的数量关系所反映的几何背景找出来，然后根据几何图形性质证明不等式成立。 例3已知实数a，b满足ab1，求证：(a2)(b2)2225.

2分析：原式左边可看作点(a,b)与点(2,2)间距离的平方，则可在直角坐标系中，构造点

P(2,2)，Q(a,b)，其中Q是直线xy1与两坐标轴的交点A，B连线段上点，

如图1所示

图

1原式左边就是PQ，设AB中点C(,)

因为 PC22112225， 又PAB为等腰 2

25 2所以 PCAB故PQPC， 即PQPC

所以 (a2)(b2)

(四) 、构造复数证明不等式

222225.

2时，可联想构造复数，使复数的模与根式的表达式形式相同，然后再利用复数模的性质加以证明。 例4已知为a，b，c非负实数，求证：

abc).此题用别的方法较繁，若能转化为复数模的问题，就变得十分简捷。

分析：a，b，c非负实数，abcabc，这样，不等式左右各项和复数模表示相似

于是可构造复数：

z1abi，z2bci，z3cai .

则

z1z2z3z1z2z3 (abc)(1i)i(a

bc)abc)

从而命题得证.

二、反证法

反证法是数学证明的一种重要方法。因为命题“P”与它的否定“非P”的真假相反，所以要证一个命题为真，只要证它的否定为假即可。这种从证明矛盾命题(即命题的否定)为假进而证明命题为真的证明方法叫做反证法。

(一) 、推理的结果与已知的知识相矛盾

例5对实数a，b，c，A，B，C，有aC2bBcA0.且acb0.

2求证： ACB0.分析： 假设a1，a2，，an中有正数且aACB0， 则 ACB0，

由题设，有 acb0， 相乘得aAcCbB，因为aCcA2bB.

所以 (aCcA)24b2B24aAcC， 整理得 (aCcA)20 ， 这与“任何实数的平

方非负”矛盾.

(二) 、推理的结果与已知条件相矛盾

例6已知数列a1，a2，，an (n3) 满足a1an0，且22222

2ak1ak12ak (k2,3,,n1).求证： a1，a2，，an均是非正数.

分析： 假设ap是数列a1，a2，，an中出现的第一个正数，

则 P1且 ap10

由 ak1ak12ak 得 ap1apapap10，

即 ap1ap0.

如此类推可得：anan1ap0

与已知an0 矛盾.

(三) 、推出两个相互矛盾的结论

例7设 zkxkyki， xk,ykR， (k1,2,,n)

r是 z12z22zn2的平方根的实部绝对值.求证： rx1x2xn .

分析： 设 (abi)2z

k

1nn2k， (a,bR)

即 (abi)2(x

k1kyki)

2比较两边的实部与虚部，有

nn2222(x)(y)ab,kkk1k1 nxyab,kkk1

nn

假设rx

k1k ，即a

nxk1k ， 则a(2x

k1nk)xk2③ 2k1

n2结合 ① 与 ③ 知 by

k1

2k， 从而

ab

④

另一方面，由柯西不等式知，abxkyk

k1n

与 ④ 矛盾故rx1x2xn 成立 .

反证法是处理绝对值问题的强有力的工具，但单纯用反证法往往较难得出矛盾，必须与其他方法结合运用，有时还要通过构造等手段来表达目的。在得到两个相互矛盾的结果的过程中，一是根据假设进行推理，二是由条件进行推理，两个方面缺一不可。

(四) 、推理的结果与假设相矛盾

例8已知 an是首项为2，公比为1的等比数列，是它的前n项和，2

(1)用Sn表示Sn1;

(2) 是否存在自然数c和k，使得

分析： (1) Sn422n， Sn1Sk1c2成立. Skc1Sn2; 2

(2) 假设存在符合条件的自然数c和k，则 Sk1c421kc2， 从而

2kSkc42c

4c321k

0(*)4c221k

1k1k令 t4c， 则由(*)式得22t32

即 2t2k13， 由 c,kR 知 tR

上述不等式对任意t,kN不成立.

故这样的自然数c和k不存在.

反证法证明不等式有两个明显的特点，一是前提中增加了新的条件，也就是结论的反面成立，并在证明过程中使用这个条件;二是反证法无需专门去证某个特定的结论，只需利用否定结论导出矛盾即可。

可以看到，反证法具有分析法的特点，它们都从问题的结论去着手考虑，但两者又是截然不同的。反证法是从否定结论中开始，到得出显然矛盾的结论而结束;分析法则是从肯定结论成立开始，到得出显然成立的结果。反证法实际上是否定式的分析法。

不等式的证明可以采用不同的方法，每种方法具有一定的适用性，并有一定的规律可循。通过对不等式证明方法和例子的分析和总结，可以掌握其中的要领，灵活运用。

参考文献：

[1] 唐为民. 构造法在证明不等式中的应用[J]. 数学教学通讯. 2001.9. 41-42.

[2] 周顺钿. 用反证法证明不等式[J]. 中学数学研究. 2004.4. 35-36.

[3] 翁耀明，毛家俊. 某些不等式的概率方法证明[J]. 上海电力学院学报. 2003.3. 57-59.

[4] 徐群芳. 高等数学中证明不等式的几种方法[J]. 太原教育学院学报. 2004.9. 48-50.

[5] 华东师范大学数学系. 数学分析(上册)[M]. 北京. 高等教育出版社. 1991.3.

第二篇：构造函数法证明不等式的八种方法

利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。

解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何

2、移项法构造函数

【例2】已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，恒有11ln(x1)x x111，从其导数入手即x1分析：本题是双边不等式，其右边直接从已知函数证明，左边构造函数g(x)ln(x1)可证明。 根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。

1、从条件特征入手构造函数证明

【例1】若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)>-f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b， 求证：.af(a)>bf(b)

【变式1】若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式f(x)>f(x)，且yf(x)1为奇函数. 求不等式f(x)

【变式2】若函数y=f(x)是定义在,0上的可导函数且满足不等式2f(x)xf(x)>x2. 求不等式(x2015)2f(x2015)4f(2)0的解集.

3、作差法构造函数证明 【例3】已知函数f(x)12x2lnx.求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)23x3的图象的下方; 分析：函数f(x)图象在函数g(x)的图象的下方不等式f(x)g(x)问题，设F(x)g(x)f(x)

4、换元法构造函数证明

【例4】(2007年，山东卷)证明：对任意的正整数n，不等式ln(1n1)11n2n3 都成立. 分析：本题是山东卷的第(II)问，从所证结构出发，只需令

1nx，则问题转化为：当x0时，恒有ln(x1)x2x3成立，现构造函数h(x)x3x2ln(x1)，求导即可达到证明。

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5、对数法构造函数(选用于幂指数函数不等式) 【例5】证明当x0时,(1x)11xe1x2

6、构造形似函数

【例6】证明当bae,证明abba

7、构造二阶导数函数证明导数的单调性 【例7】已知函数f(x)aex12x2 (1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围;(2)若a=1,求证:x>0时,f(x)>1+x

8、主元法构造函数

【例8】(全国)已知函数f(x)ln(1x)x,g(x)xlnx

(1) 求函数f(x)的最大值; (2)设0ab,证明 ：0g(a)g(b)2g(ab2)(ba)ln2.

【思维挑战】

1、(2007年，陕西)f(x)是定义在(0，+∞)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)≤0，对任意正数a、b，若a

(A)af (b)≤bf (a)(B)bf (a)≤af (b)(C)af (a)≤f (b) (D)bf (b)≤f (a)

2、(2007年，安徽卷)已知定义在正实数集上的函数f(x)12x22ax,g(x)3a2lnxb,其中a>0，且b52a23a2lna，求证：f(x)g(x)

3、已知函数f(x)ln(1x)x1x，求证：对任意的正数a、b, 恒有lnalnb1ba.

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第三篇：构造函数法证明导数不等式的八种方法

导数专题：构造函数法证明不等式的八种方法

1、利用导数研究函数的单调性极值和最值，再由单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，也是近几年高考的热点。

2、解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键。 以下介绍构造函数法证明不等式的八种方法：

1、移项法构造函数 【例1】 已知函数f(x)ln(x1)x，求证：当x1时，恒有11ln(x1)x x

12、作差法构造函数证明 【例2】已知函数f(x)

3、换元法构造函数证明

【例3】(2007年，山东卷)证明：对任意的正整数n，不等式ln(

4、从条件特征入手构造函数证明

【例4】若函数y=f(x)在R上可导且满足不等式xf(x)>-f(x)恒成立，且常数a，b满足a>b，求证：.af(a)>bf(b)

5、主元法构造函数

1223xlnx. 求证：在区间(1,)上，函数f(x)的图象在函数g(x)x23的图象的下方;

1111)23 都成立. nnn1x)x,g(x)xlnx 例.(全国)已知函数f(x)ln((1) 求函数f(x)的最大值;

第 1 页 共 2 页 (2) 设0ab,证明 ：0g(a)g(b)2g(

6、构造二阶导数函数证明导数的单调性 例.已知函数f(x)aexab)(ba)ln2. 212x 2(1)若f(x)在R上为增函数,求a的取值范围; (2)若a=1,求证:x>0时,f(x)>1+x

7.对数法构造函数(选用于幂指数函数不等式) 例：证明当x0时,(1x)

8.构造形似函数

例：证明当bae,证明abba

【思维挑战】

1、(2007年，安徽卷) 设a0,f(x)x1lnx2alnx

22求证：当x1时，恒有xlnx2alnx1， 11xe1x2

2、(2007年，安徽卷)已知定义在正实数集上的函数

f(x)

52122x2ax,g(x)3a2lnxb,其中a>0，且ba3alna， 求证：f(x)g(x)

22xb，求证：对任意的正数a、b，恒有lnalnb1. 1xa

3、已知函数f(x)ln(1x)

4、(2007年，陕西卷)f(x)是定义在(0，+∞)上的非负可导函数，且满足xf(x)f(x)≤0，对任意正数a、b，若a < b，则必有

(

)

(A)af (b)≤bf (a) (C)af (a)≤f (b)

(B)bf (a)≤af (b) (D)bf (b)≤f (a)

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第四篇：放缩法是不等式证明中一种常用的方法

放缩法是不等式证明中一种常用的方法，也是一种非常重要的方法。在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩之后得不出结论或得出相反结论的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点。下面举几个例子说明这个问题。

例 1已知

,求证：

分析 由把可想到二项式系数的和为，由可想到二项式定理，利用放缩法构造出二项式定理公式，从而得出结论。 转化成

证明设且。

对任意，有

将上述各式叠加：

例 2 求证：

分析左式是n个因式连乘的形式，应把各因式化为分式，通过放缩，使之能交替消项，达到化简的目的。由于右式是，因此所放缩后的因式应与有关。证明

例

分析左式很难求和，可将右式拆成n项相加的形式，然后证明右式各项分别大于左式各项，叠加得出结论。

证明

总之，如何确定放缩的尺度，是应用放缩法证明中最关键、最难把握的问题。但是，只要抓住了欲证命题的特点，勤于观察和思考，许多问题都能迎刃而解。

第五篇：浅谈中学几种常用证明不等式方法

成 绩：

XXXXXX大学 毕业论文 题 目：浅谈中学几种常用证明不等式的方法 (外文)：On the method commonly used in Middle School to prove inequality 院(系)：

数学与计算机科学学院 专 业：

数学与应用数学 学生姓名：

学 号：

指导教师：

2013年3月20日 目录 1引言 1 2放缩法证明不等式 1 2.1放缩法 1 2.2(改变分子分母)放缩法 1 2.3拆补放缩法 2 2.4编组放缩法 3 2.5寻找“中介量”放缩法 4 3反正法证明不等式 4 3.1反证法定义 4 3.2反证法步骤 5 4.换元法证明不等式 6 4.1利用对称性换元，化繁为简 6 4.2三角换元法 7 4.3和差换元法 8 4.4分式换元法 8 5. 综合法证明不等式 9 5.1综合法证明不等式的依据 9 5.2用综合法证明不等式的应用 9 5.3综合法与比较法的内在联系 10 6.分析法 10 6.1分析法的定义 10 6.2分析法证明不等式的方法与步骤 11 6.3分析法证明不等式的应用 11 7.构造法证明不等式 13 7.1构造函数模型 13 7.2构造数列模型 14 8.数学归纳法证明不等式 15 8.1分析综合法 15 8.2放缩法 16 8.3递推法 16 9.判别式法证明不等式 17 10.导数法证明不等式 18 10.1利用函数的单调性证明不等式 18 9.2利用极值(或最值) 19 11比较法证明不等式 20 11.1差值比较法 20 11.2商值比较法 21 11.3比较法的应用范围 21 12结束语：

22 参考文献 22 浅谈中学常用几种证明不等式的方法 摘要：中学数学有关不等式的证明的题型多变，技巧性很强，同时它也没有固定的程序加以规定。因而 他是中学数学考试的难点。不等式的证明的方法很多。本文将列举出中学数学常用的几种方法：放缩法、反正法、换元法、分析法、综合法、构造法、数学归纳法、判别式法、导数法、比较法。

关键词：不等式 证明方法 1引言 不等式，渗透在中学数学各个分支中。而不等式的证明在不等式中占有极其重要的地位。不等式的证明的方法是中学数学的重要知识，也成为了中学数学考试的热点问题。本文针对以上的情况，提出了中学几种常见的不等式的证明方法来和大家一起分享，希望不仅能够对我们今后碰到类似的问题起到指导的作用，而且还能够培养分析和解决问题的能力。

2放缩法证明不等式 2.1放缩法 放缩法的定义：在不等式的证明中，有时可把不等式中的某些项或因式换成数字较大或较小的数或式，以达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法。

放缩法的形式：欲证AB，可通过适当放大或缩小，借助一个或多个中间量，使得 再利用传递性，达到欲证的目的。

2.2(改变分子分母)放缩法 在不等式有分式时，长放大或缩小分式的分子或分母，从而达到“以小代大”或“以大代小”的目的。

例1：求一切 证明：

= = 2.3拆补放缩法 在证有些不等式的时候，常将其中某些项拆开和或合并以完成证明。

例2：求证：

证明：

2.4编组放缩法 证明不等式有时把某项拆开，重新编组，利用基本不等式完成证明。

例3：求证:.证明：左 2.5寻找“中介量”放缩法 当两式难以比较大小时，可寻找“中介量”牵线搭桥，利用不等式的传递性完成证明。

例4：求证：

证明：

小结:放缩法是不等式证明中常见的变形方法之一，具有较高的技巧性。放缩 必须有目标，而且要恰到好处，需要细心观察，目标往往要从证明的结论中寻 找。

3反正法证明不等式 3.1反证法定义 “证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实(条件、公理、定义、定理、法则、公式等)相矛盾的结果.这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立”.这种证明的方法，叫做反证法. 3.2反证法步骤 1、假设命题的结论不成立;

2、从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾;

3、由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确，即：提出假设——推出矛盾——肯定结论. 例5：已知：都是小于1的正数;

求证：中至少有一个不大于。

分析：采用反证法证明.其证明思路是否定结论从而导出与已知或定理的矛盾从而证明假设不成立，而原命题成立.对题中“至少有一个不大于”的否命题是“全都大于”。

证明：假设 都是小于1的正数 又 故与上式矛盾，假设不成立，原命题正确 说明：

反证法是利用互为逆否命题具有等价性的思想进行推证的.反证法必须罗列各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证都是不完全的，遇到“至少”、“至多”、“唯一”等字句的命题常用反证法. 例6：若，求证：

证明：假设，则，即。

因为，所以 故 又即 所以 故 与假设不成立，原命题正确。

总结：反证法是根据“正难则反”的原理，即如果正面证明有困难时，或者直接证明需要分多种情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法。反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现。用反证法证明不等式就是最好的应用 4.换元法证明不等式 4.1利用对称性换元，化繁为简 例7:设求证:.分析:把中的两个互换,不等式不变,所以这是一个对称不等式,令 则原不等式等价于：

.证明:令,则 ,. 时,有;

当时,有(否则中必有两个不为正值,不妨设, ,则,这与矛盾), 因此 , , 综上所述, 把代入上式得: 4.2三角换元法 三角换元法的基本思想是根据已知条件，引进新的变量---三角函数，把一个复杂的不等式问题转化为三角不等式的问题，再利用三角函数的性质及三角恒等式去证明，从而使不等式得证。

例8：已知，求证 分析：由已知，令，则 证明：令， 说明:换元法是将较为复杂的不等式利用等价转换的思想转换成易证明的不等式.常用的换元法有(1)若，可设，;

(2) 若，可设;

(3)若，可设，。

4.3和差换元法 在题中有两个变量，可设，这称为和差换元法，换元后有可能简化代数式。

例9:对任意实数，求证：

分析：对于任意实数与，都有。令 ，则有。

证明：设， 下面只须证：

∵不等式右边—不等式左边= ∴ 即 说明：利用“和差换元”可以简证难度较大的不等式.4.4分式换元法 例10：已知 分析：本题的证明方法很多，下面我们利用分式换元来进行证明 证明：设 当且仅当 说明：不等式的证明中，我们知道证明不等式时，可以利用分式换元，使其分式结构变得简单，分母变为单项式，然后把逐项分离，便于利用均值不等式。

5. 综合法证明不等式 5.1综合法证明不等式的依据 (1)已知条件和不等式性质;

(2)基本不等式：

“=”号). 5.2用综合法证明不等式的应用 例11：已知是不全等的正数，求证：

. 分析：观察题目，我们很容易想到利用性质. 证明：， ① 同理可得：

② ③ 是不全等的正数， ①，②, ③至少有一个不等式不能取等号 ①+②+③ 5.3综合法与比较法的内在联系 由于作为综合法证明依据的不等式本身是可以根据不等式的意义、性质或比较法证出的，所以用综合法可以获证的不等式往往可以直接根据不等式的意义、性质或比较法来证明;

摆在我们面前的问题恐怕是方法的选择.方法选择不当，不是证不出来就是难度加大;

方法合理使用，会使题目难度大大下降.因此我们不要学过某种方法就抱定不放，要善于观察，根据题目的特征选择证题方法。

6.分析法 6.1分析法的定义 从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题。如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种证明方法叫做分析法。

6.2分析法证明不等式的方法与步骤 用分析法论证“若A则B”这个命题的格式是：

欲证命题B为真， 只需证命题B1为真， 只需证命题B2为真， …… 只需证命题Bn为真， 只需证命题A为真， 令已知命题A为真， 故命题B为真。

6.3分析法证明不等式的应用 例12：若，求证：

分析：

采用分析法证明. 证明：

原不等式成立。

说明：从这道题目我们不难看出“分析法”的证明格式，是用“”符号，不断用充分条件代替前面的不等式 6.4综合法与分析法的综合应用 条件和结论之间的关系比较复杂,根据既定法则和事实条件,由因导果,一直推究下去,有时会在中途迷失方向,使解题无法进行下去.在这种情况下,可以同时运用综合法与分析法的解题方法,执行.例13：

若是不全相等的正数，求证。

分析：利用对数的性质，所要证的不等式等价于，所以只要证，于是我们可以利用不等式的性质：即可得证。

证明：

， ，，且这三个不等式的等号不能同时成立(它们是3个不全等的正数) 说明：分析法和综合法是对立统一的两个方面.在这道题目中，前面是分析法，后面是综合法，两种方法结合使用，使问题较易解决.分析法的证明过程恰恰是综合法的分析、思考过程，综合法的证明方法是分析思考过程的逆推。

7.构造法证明不等式 构造法作为一种数学思维方法，在解题过程中通过观察分析给出式和欲证式，充分挖掘题目的隐含信息，并进行联想与思考，恰当地构造出一个与题目相关的数学模型，将欲证的问题转化到我们所熟悉的情景之中，从而达到证题的目的，这是构造法证题的解题模式。本文以证明不等式为例，介绍几种常见的构造法。

7.1构造函数模型 我们常常利用一次函数的线性性质、二次函数的最值以及函数的单调性等性质证明某些不等式问题。在证明不等式时，抓住不等式与函数的密切关系，以问题的结构特征为起点，构造相应函数，从函数的思想和方法来解决问题。

例14：已知: 求证: 证明: 构造函数 ,此图象为一条直线.∵ ∴ 又 例15:已知都是正数,;

求证 证明: 在(0,1)上的值域为 所以, .7.2构造数列模型 对于某些自然数的不等式问题，与数列有着密切的联系，这时可构造有关数列模型，利用其单调性解决。

例16：

求证：

证明: 构造数列模型 则有 ，所以数列为递增数列。

又因为，故 即原不等式得证。

总结：欲证含有与自然数有关的和的不等式，可以构造函数模型，只需证明数列是单调递增，且。另外，本题也可以用数学归纳法证明，但是构造数列模型证明简洁。

8.数学归纳法证明不等式 说明数学归纳法是一种证明与正整数有关的数学命题的重要方法。主要有 两个步骤一个结论：

(1) 证明当n取(如=1或2等)时结论正确 (2) 假设n=k(k)时结论正确，证明n=k+1时结论也正确 由(1)、(2)得出结论正确。因此，熟悉归纳步骤的证明方法是十分重要的其实归纳步骤可以看作是一个独立的证明问题，归纳假设“P(k)成立”是问题的条件而“命题P(k+1)成立”就是所要证明的结论，因此，合理运用归纳假设这一条件就成了归纳步骤中的关键，下面简要分析用数学归纳法证明不等式常涉及的方法。

8.1分析综合法 例17：求证：

证明：(1)当 (2)假设 即有：

时：

因此，要证明当时，原不等式成立， 只要证明成立 即证明 也就是证明 即 从而 于是当时，原不等式也成立。

由(1)、(2)可知，对于任意的正整数，原不等式都成立。

8.2放缩法 例18：求证：

证明：(1)当时，，不等式成立。

(2)假设 当时 所以当时，不等式成立 由(1)、(2)可知， 8.3递推法 例19：设，定义，求证：对一切 有 证明：(1)当，显然命题成立 (2)假设，命题成立， 即 当时，由递推公式，知 同时， 当时，命题也成立。

即 由(1)、(2)可知，对一切正整数n，有 说明：证明不等式的题型多种多样，所以不等式证明是一个难点，在由n=k成立，推导n=k+1不等式也成立时，过去讲的证明不等式的方法再次都可以使用，如比较法、放缩法、分析法、反证法等，有时还要考证与原不等式的等价的命题. 9.判别式法证明不等式 判别式法是根据已知的或构造出来的一元二次方程、一元二次不等式、二次函数的根、解集、函数的性质等特征确定出其判别式所应满足的不等式，从而推出欲证的不等式的方法。

二次函数若判别式恒成立。

例20：已知，求证：

证明：令 恒成立 说明：用判别式法证不等式关键在于构造二次函数，操作简单，使用方便。

10.导数法证明不等式 证明有些不等式的题目，看似简单，但是我们无从下手，几种常用的方法都一一尝试，却没有任何作用。这时我们不妨从已有的知识下手，构造一个函数，再借助导数来确定单调性，利用单调性实现问题的转化，从而使不等式得到证明。

利用导数证明不等式的步骤：构造可导函数——研究单调性或最值——得出不等式关系——整理得出结论。

10.1利用函数的单调性证明不等式 例20：当时，证明不等式成立。

证明：设 内单调递减 成立 说明：一般地：证明，可以构造函数， 如果，则是减函数，同时若，由减函数的定义 可知，时，有，即证明。

例21：求证：，其中 证明：设，则 在单调递增，又 故，成立。

说明：一般地：证明，可以构造函数如 果，则是减函数，同时若，由减函数的定义 可知，时，有，即证明。

9.2利用极值(或最值) 例22：对任意实数x,证明不等式 总结：利用导数知识证明不等式是导数应用的一个重要方面，也是考试的一个热点，其关键是构造适当的函数，判段区间端点函数值与0的关系，其实质就是利用求导的方法研究函数的单调性及其极值(或最值)，从而证明不等式。

11比较法证明不等式 11.1差值比较法 差值比较法：欲证AB，只需证A-B0。把不等式的两边相减，转化为不等式的差值与0的大小的问题。

差值比较法的步骤：“做差—变形—判断符号”，为了便于判断符号，我们 往往把其差值转化为积的形式和完全平方的形式。

例23：已知:，都是正数，(并且≠)求证， 分析：要证，只需证明 (作差)。再对其差值做出变形：(因式分解)， 再运用已知条件a,b∈R+，且a≠b，可把问题解决。

证明：= = 又，都是正数(并且≠) 此题是不等式的典型的题目：其拆项也是有一定得技巧，需要一定的观察能力。

11.2商值比较法 商值比较法：“若”。

商值比较法步骤为：①作商：将左右两端作商;

②变形：化简商式到最简形式;

③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1。

例24：已知，，求证。

分析：发现做差变形后，很难比较其符号的大小。再看不等式的两边都是正数， 可以利用商值法来与1进行比较。

证明：

①，则 ②，则 综上所述：

11.3比较法的应用范围 差值比较法应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法 商值比较法应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法。

12结束语：

众所周知,在中学不等式的证明以其变形复杂、方法多样成为学习的难点。本文通过阐述中学几种常用方法，以及相应的一些例题来培养大家对数学式的变形的能力，逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。

参考文献 《机关公文常用词句集锦》一一 1、常用排比：

新水平、新境界、新举措、新发展、新突破、新成绩、新成效、新方法、新成果、新形势、新要求、新期待、新关系、新体制、新机制、新知识、新本领、新进展、新实践、新风貌、新事物、新高度;

重要性，紧迫性，自觉性、主动性、坚定性、民族性、时代性、实践性、针对性、全局性、前瞻性、战略性、积极性、创造性、长期性、复杂性、艰巨性、可讲性、鼓动性、计划性、敏锐性、有效性;

法制化、规范化、制度化、程序化、集约化、正常化、有序化、智能化、优质化、常态化、科学化、年轻化、知识化、专业化、系统性、时效性;

热心、耐心、诚心、决心、红心、真心、公心、柔心、铁心、上心、用心、痛心、童心、好心、专心、坏心、爱心、良心、关心、核心、内心、外心、中心、忠心、衷心、甘心、攻心;

政治意识、政权意识、大局意识、忧患意识、责任意识、法律意识、廉洁意识、学习意识、上进意识、管理意识;

出发点、切入点、落脚点、着眼点、结合点、关键点、着重点、着力点、根本点、支撑点;

活动力、控制力、影响力、创造力、凝聚力、战斗力;

找准出发点、把握切入点、明确落脚点、找准落脚点、抓住切入点、把握着重点、找准切入点、把握着力点、抓好落脚点;

必将激发巨大热情，凝聚无穷力量，催生丰硕成果，展现全新魅力。

审判工作有新水平、队伍建设有新境界、廉政建设有新举措、自身建设有新发展、法院管理有新突破;

不动摇、不放弃、不改变、不妥协;

政治认同、理论认同、感情认同;

是历史的必然、现实的选择、未来的方向。

多层次、多方面、多途径;

要健全民主制度，丰富民主形式，拓宽民主渠道，依法实行民主选举、民主决策、民主管理、民主监督 2、常用短语：

立足当前，着眼长远，自觉按规律办事 抓住机遇，应对挑战:量力而行，尽力而为 有重点，分步骤，全面推进，统筹兼顾，综合治理，融入全过程，贯穿各方面，切实抓好，减轻，扎实推进，加快发展，持续增收，积极稳妥，落实，从严控制严格执行，坚决制止，明确职责，高举旗帜，坚定不移，牢牢把握，积极争取，深入开展，注重强化，规范，改进，积极发展，努力建设，依法实行，良性互动，优势互补，率先发展，互惠互利，做深、做细、做实、全面分析，全面贯彻，持续推进，全面落实、实施，逐步扭转，基本形成，普遍增加，基本建立，更加完备(完善)，明显提高(好转)，进一步形成，不断加强(增效,深化)，大幅提高，显着改善(增强)，日趋完善，比较充分。

3、常用动词：

推进，推动，健全，统领，协调，统筹，转变，提高，实现，适应，改革，创新，扩大，加强，促进，巩固，保障，方向，取决于，完善，加快，振兴，崛起，分工，扶持，改善，调整，优化，解决，宣传，教育，发挥，支持，带动，帮助，深化，规范，强化，统筹，指导，服务，健全，确保，维护，优先，贯彻，实施，深化，保证，鼓励，引导，坚持，深化，强化，监督，管理，开展，规划，整合，理顺，推行，纠正，严格，满足，推广，遏制，整治，保护，健全，丰富，夯实，树立，尊重，制约，适应，发扬，拓宽，拓展，规范，改进，形成，逐步，实现，规范，坚持，调节，取缔，调控，把握，弘扬，借鉴，倡导，培育，打牢，武装，凝聚，激发，说服，感召，尊重，包容，树立，培育，发扬，提倡，营造，促进，唱响，主张，弘扬，通达，引导，疏导，着眼，吸引，塑造，搞好，履行，倾斜，惠及，简化，衔接，调处，关切，汇集，分析，排查，协商，化解，动员，联动，激发，增进，汲取，检验，保护，鼓励，完善，宽容，增强，融洽，凝聚，汇集，筑牢，考验，进取，凝聚，设置，吸纳，造就 4、常用名词 关系，力度，速度，反映，诉求，形势，任务，本质属性，重要保证，总体布局，战略任务，内在要求，重要进展，决策部署，结合点，突出地位，最大限度，指导思想，科学性，协调性，体制机制，基本方略，理念意识，基本路线，基本纲领，秩序，基本经验，出发点，落脚点，要务，核心，主体，积极因素，水平，方针，结构，增量，比重，规模，标准，办法，主体，作用，特色，差距，渠道，方式，主导，纽带，主体，载体，制度，需求，能力，负担，体系，重点，资源，职能，倾向，秩序，途径，活力，项目，工程，政策，项目，竞争力，环境，素质，权利，利益，权威，氛围，职能，作用，事权，需要，能力，基础，比重，长效机制，举措，要素，精神，根本，地位，成果，核心，精神，力量，纽带，思想，理想，活力，信念，信心，风尚，意识，主旋律，正气，热点，情绪，内涵，管理，格局，准则，网络，稳定，安全，支撑，局面，环境，关键，保证，本领，突出，位置，敏锐性，针对性，有效性，覆盖面，特点，规律，阵地，政策，措施，制度保障，水平，紧迫，任务，合力。

5、其它：

以求真务实的态度，积极推进综合调研制度化。

以为领导决策服务为目的，积极推进xx正常化。

以体现水平为责任，积极推进xx工作程序化。

以畅通安全为保障，积极推进xx工作智能化。

以立此存照为借鉴，积极推进xx工作规范化。

以解决问题为重点，积极推进xx工作有序化。

以服务机关为宗旨，积极推进xx服务优质化 以统筹兼顾为重点，积极推进xx工作常态化。

以求真务实的态度，积极参与综合调研。

以为领导决策服务为目的，把好信息督查关。

以体现xx水平为责任，进一步规范工作。

以畅通安全为保障，全力指导机要保密工作。

以立此存照为借鉴，协调推进档案史志工作。

以安全稳定为基础，积极稳妥做好信访工作。

以服务机关为宗旨，全面保障后勤服务。

以整体推进为出发点，协调做好xx工作。

以周到服务为前提，xx工作迅速到位。

以提高服务水平为目标，开始推行xx。

一.求真务实，积极推进xx工作制度化 二.建立体系，积极推进xx工作正常化。

三.规范办文，积极推进xx工作程序化。

四.各司其职，积极推进xx工作有序化。

五.注重质量，积极推进xx服务规范化。

六.统筹兼顾，积极推进xx工作正常化。

一是求真务实，抓好综合调研。

二是提高质量，做好信息工作。

三是紧跟进度，抓好督查工作。

四是高效规范，抓好文秘工作。

五是高度负责，做好保密工作。

六是协调推进，做好档案工作。

七是积极稳妥，做好信访工作。

八是严格要求，做好服务工作。

一、创思路，订制度，不断提高服务水平 二、抓业务，重实效，开创工作新局面 (一)着眼全局，充分发挥参谋助手作用 (二)明确分工，充分搞好统筹协调工作 三、重协调，强进度，信息化工作有新成果 四、抓学习，重廉洁，自身素质取得新提高 一、注重学习，自身素质取得新提高 二、围绕中心，不断开创工作新局面 1.着眼全局，做好辅政工作。

2.高效规范，做好文秘工作。

3.紧跟进度，做好督查工作。

4.提高质量，做好信息工作。

5.周密细致，做好协调工作。

6.协调推进，做好档案工作。

一是建章立制，积极推进xx管理制度化。

二是规范办文，积极推进xx工作程序化。

三是建立体系，积极推进xx督查正常化。

四是注重质量，积极推进xx工作规范化。

五是各司其职，积极推进xx工作有序化。

首先要树立正确的群众利益观，坚持把实现好、维护好、发展好最广大人民群众的根本利益作为促进社会和谐的出发点，在全社会形成和谐社会人人共享的生动局面。

其次，是要树立正确的维护稳定观，坚持把确保稳定作为人民法院促进社会和谐的生命线。

第三，是要树立正确的纠纷解决观，坚持把调判结合作为有效化解不和谐因素、增加和谐因素的有效途径。

第四，是要树立正确的司法和谐观，最大限度地实现法律效果与社会效果的高度统一。

机关公文常用词汇集锦 动词一字部：

抓，搞，上，下，出，想，谋 动词二字部：

分析，研究，了解，掌握，发现，提出，推进，推动，制定，出台，完善，建立，健全，加强，强化，增强，促进，加深，深化，扩大，落实，细化，突出，建设，营造，开展，发挥，发扬，创新，转变，发展，统一，提高，提升，保持，优化，召开，举行，贯彻，执行，树立，引导，规范，整顿，服务，协调，沟通，配合，合作，支持，加大，开拓，拓展，巩固，保障，保证，形成，指导 名词：

体系，机制，体制，系统，规划，战略，方针，政策，措施，要点，重点，焦点，难点，热点，亮点，矛盾，问题，建设，思想，认识，作风，整治，环境，秩序，作用，地方，基层，传统，运行，监测，监控，调控，监督，工程，计划，行动，创新，增长，方式，模式，转变，质量，水平，效益，会议，文件，精神，意识，服务，协调，沟通，力度，领域，空间，成绩，成就，进展，实效，基础，前提，关键，保障，动力，条件，环节，方法，思路，设想，途径，道路，主意，办法，力气，功夫，台阶，形势，情况，意见，建议，网络，指导，指南，目录，方案 形容词一字部：

多，宽，高，大，好，快，省，新 形容词二字部：

持续，快速，协调，健康，公平，公正，公开，透明，富强，民主，文明，和谐，祥和，优良，良好，合理，稳定，平衡，均衡，稳健，平稳，统一，现代 副词一字部：

狠，早，细，实，好，很，较，再，更 副词二字部：

加快，尽快，抓紧，尽早，整体，充分，继续，深入，自觉，主动，自主，密切，大力，全力，尽力，务必，务求，有效 副词三字部：进一步 后缀：化，型，性 词组：

统一思想，提高认识，认清形势，明确任务，加强领导，完善机制，交流经验，研究问题，团结协作，密切配合，真抓实干，开拓进取，突出重点，落实责任，各司其职，各负其责，集中精力，聚精会神，一心一意，心无旁骛，兢兢业业，精益求精，一抓到底，爱岗敬业，求真务实，胸怀全局，拓宽视野。