区间数理论

2024-06-21

区间数理论（精选八篇）

区间数理论篇1

1 研究方法与步骤

1.1 研究方法

本文以高校教师教学质量评价体系和教学过程为研究对象, 通过深入研究分析教学质量评价制度的特征、功能、理论依据, 运用综合评价和区间数的相关理论, 采取“理论研究和实践论证相结合, 单一指标与综合评价相结合, 动态研究和静态研究相结合, 定量分析与定性分析相结合, 点值数据与区间数据相结合”的研究方法, 最终形成“评价理论—指标体系—实证研究—深入探讨”这样一个“螺旋式上升”过程。

1.2 研究步骤

第一步, 研究高校教学质量综合评价指标体系的内涵。第二步, 探讨区间数综合评价的基本问题。包括:区间数综合评价的内涵与理论基础, 数据结构与数据处理, 权重问题与排序问题。第三步, 构建高校教学质量综合评价指标体系。在充分调研的基础上, 考虑现有评价体系的优缺点和区间数理论处理问题的特点, 结合教学质量综合评价的要求, 构建高校教学质量综合评价指标体系。第四步, 根据评价指标体系, 运用区间数理论对评价数据进行预处理。第五步, 按照构建的高校教学质量综合评价指标体系和评价方法, 对高校教学质量进行评价, 并及时总结经验, 不断修正与改进评价体系与评价方法。

2 结果与分析

2.1 构建高校教学质量综合评价指标体系

以课堂教学为核心, 综合考虑教学文件和教学研究对教师教学质量进行更为全面的综合评价。其中, 教学文件和教学研究属于教师自评指标, 主要用于督促教师个人规范教学环节和进行教学改革, 其评价结果以课堂教学质量的形式体现出来。本文以胡平波的评价指标为主, 确定具体的指标体系见下表1:

2.2 确定评价指标体系的权重

首先, 采用多次或者多人的测量, 将结果综合以实现指标的区间化。其次, 将数据进行无量纲化处理。第三, 求解点值的权重。

模型1:采用无量纲化数据的评价区间值的极差最大化这一目标函数求解点值的权重, 具体的数学模型为:

模型2:采用“和”的概念, 把各个评价单元上的评价值加总, 具体的数学模型为:

部分结果 (见表2) :

3 结论与建议

3.1 研究结果

1) 建立综合指标体系对被评教师的基本素质、教学行为、教学成效等进行全面评价, 能较广泛、充分、全面的获得评价信息。

2) 采取动态静态评价相结合的综合评价方式对教学质量进行评价, 建立较完善的动态评价机制, 对教师的教学质量实行连续评价。

3) 将主观评价指标和客观评价指标的评价结果统一处理为数值数据, 量化方法有可靠的数学理论作支撑, 评价结果客观科学。

3.2 建议

1) 由于学术界对高校教师教学质量评价指标的定量研究较少, 因此本课题探索性研究所能参考的权威性文献不多。同时, 本研究的指标体系主要是基于教学效果来建立, 在评价结论上可能存在一定的误差。

2) 权重的求解与评价数据的区间长度有关。模型1的目标函数显示, 评价数据的区间长度越大, 也应该越大。然而, 当区间长度越长时, 模糊性也越大, 若给这样的指标赋以较大的权重, 会导致评价灵活性的过大。也就意味着指标值直接决定了权重的取值情况。这与我们的基本思想是不符的。模型2实现了在确定区间权重下限和上限过程中的一致, 但可能出现难以构建区间的情形。

参考文献

[1]胡平波.高校教师教学质量评价指标体系维度结构及测量[J].江西财经大学学报, 2010 (3) .

三参数区间数集成算子及决策应用篇2

关键词多属性决策；三参数区间数；集成算子；可能度

中图分类号C934； O223 文献标识码A

AbstractSeveral aggregation operators of threeparameters interval numbers and their applications to decisionmaking were investigated. Firstly， ordered weighted CPOWA， ordered weighted CPOWG， generalized ordered weighted CPOWA and generalized ordered weighted CPOWG of threeparameters interval number were defined， their natures were studied， and weighted CPOWA and weighted CPOWG of threeparameters interval number in related reference were generalized. Then， the decisionmaking method was proposed by combined possibility degrees of threeparameters interval numbers on attribute values of alternatives with aggregation operators of threeparameters interval number defined in this paper.

Key wordsmultiple attribute decisionmaking； threeparameters interval number； aggregation operator； possibility degree

1引言

目前区间数多属性决策模型1引起了人们的普遍关注，并在经济、管理、航空等领域发挥着重要作用，但是使用区间数表达决策信息也存在一定的局限性2，3：首先，为了尽可能覆盖可能取值范围，区间数取值范围会出现过大现象，其次，已有区间数运算可能导致不确定性的增加，得出的结果会产生较大误差甚至失真，第三，通常的区间数认为区间内取值机会均等，而实际问题中往往并非如此.针对上述问题，文献2.定义了三参数区间数的概念，通过确定最有可能取值点，使得三参数区间数比区间数覆盖信息更加全面，在一定程度上克服了区间数决策出现的局限性.在文献2.基础上，文献3.提出了熵测度的三参数区间数的TOPSIS决策模型，文献4，5.研究了三参数区间数的集成算子及决策应用，文献6，7.将三参数区间数概念推广到模糊集和Vague集情况，文献8.研究了偏好序为三参数区间数的群决策问题，文献9.提出了三参数区间数的投影排序模型，文献10，11.将三参数区间数与区间灰数相结合，提出了三参数区间灰数决策模型，文献12-14.研究了三参数区间数互反判断矩阵和三参数区间数互补判断矩阵及其决策应用.

本文继续研究三参数区间数信息集成算子及其决策应用，拓展了文献4.的研究成果.首先，给出了三参数区间数有序加权CPOWA算子、有序加权CP-OWG算子以及广义有序加权CPOWA算子和广义有序加权CPOWG算子的定义，并研究了这些算子的性质，推广了文献4.中的三参数区间数的加权CPOWA算子和加权CPOWG算子.然后，通过计算方案三参数区间数属性值的可能度得到可能度矩阵，进而利用可能度矩阵的排序向量实现方案三参数区间数属性值的排序，并通过文中定义的三参数区间数信息集成算子进行信息集成，从而提出了一种三参数区间数多属性决策方法.最后，通过实例说明了决策方法的可行性.

2相关概念

建立每个方案的可能度矩阵，根据可能度矩阵的排序向量，对每个方案属性值进行排序，然后根据OWCPOWA 算子或OWCPOWG算子或GOWCPOWA 算子或GOWCPOWG算子对方案进行集结，得到方案最终得分，并根据最终得分大小对方案进行排序择优.

根据上面的分析，得到了一种三参数区间数多属性决策方法，具体步骤如下：

步骤1确定三参数区间数决策矩阵A=（aij）mn，并将其规范化，得到三参数区间数规范化决策矩阵R=（rij）mn.

步骤2建立每个方案的规范化属性值可能度矩阵，根据可能度矩阵的排序向量，实现方案属性值排序.

步骤3取定基本单位区间单调函数，对每个规范化属性值进行集结.

步骤4根据文中定义的三参数区间数信息集结算子，对每个方案属性值进行集结，得到方案的得分s（xi），i=1，2，…，m.

步骤5由方案得分实现方案排序择优.

5结语

在三参数区间数相关算子基础上，定义了三参数区间数的四个算子：有序加权CPOWA算子、有序加权CPOWG算子以及广义有序加权CPOWA算子和广义有序加权CPOWG算子，并研究了它们的性质，推广了三参数区间数加权CPOWA算子和加权CPOWG算子.然后，给出了一种集成算子和可能度矩阵进行决策的三参数区间数多属性决策方法.本文研究内容丰富了三参数区间数多属性决策理论和方法.

nlc202309051527

参考文献

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区间数理论篇3

随着科学技术的不断发展, 人们要对不同问题进行各方面的评判决策, 这就是多属性决策。它已经广泛地应用在社会、经济、文化、科技、教育等各个领域。在评判决策过程中, 由于被评判的对象通常具有不确定性及人类对问题复杂性考虑、思维概念的模糊性和认识的差异性等方面的影响, 使决策评判通常表现出不确定性和模糊性, 通常以一个不确定的数来表示, 而不是以一个具体的数值来表示, 这种不确定性的数往往以区间数的形式给出。

区间数的排序及决策问题是决策分析理论研究的重点和热点问题。它在工程、技术、管理、经济、军事、教育等领域有广泛的应用。因此, 如何将区间数进行排序、比较大小等有着重要的实际应用与理论价值。目前虽然有一些这方面的研究结果, 但区间数的排序仍然是一个众说纷纭的问题, 比如区间数[2, 6]与区间数[3, 5]大小的比较, 究竟孰大孰小?莫衷一是。本文鉴于以上情况, 在集对分析原理的基础上, 提出了一种区间数排序的新方法, 基于势概念的区间数排序。并在此基础上给出了相关的定义及性质。

二、区间数运算相关知识及性质

定义1:对于x=[a, b]={x│a

对于区间数的有关性质, 具体如下:

(1) 如果区间数x=[a, b], y=[c, d]中, 当a=c, b=d时, 称区间数x与y相等, 此时记x=y;

(2) x+y=[a+c, b+d];

(3) x-y=[a-c, b-d];

(4) xy=[ac, b d];

(5) kx=[ka, kb], 其中k≥0且为实数;a

上面的运算 (1) 到 (6) 容易证明满足结合律、分配律及交换律等运算性质。明确如上的区间数运算后, 下面引入新概念——势, 通过势概念方法进行区间数的排序。

三、势的概念及含义

定义2:对于区间数x=[a, b], 令N=a+b, S=a, P=b-a, F=N-S-P, 此时称区间数x=[c, b]转化为一个相互关联的联系数表达式:

则有μ=a+bi+cj。

其中i∈[-1, 1], j=-1, 此时a为同势;b为异势, c为反势, a+b+c=1。该式亦可称为同异反势联系数, 同异反势联系数实际上将区间数建立了一个统一的联系表达。

例如可以将区间数[2, 6], [3, 5]通过定义2建立如下的同异反势联系数:

对于区间数[2, 6]对应的同异反势联系数为:

同理, 对于区间数[3, 5]对应的同异反势联系数为:

定义3:对于同异反势联系数μ=a+bi+cj, 其中i∈[-1, 1], j=-1, a+b+c=1, 称μ=a+b i+c j为偏势联系数。

其中称为偏同势, 偏同势反映了异势趋向于同势的变化及其走向情况;称为偏异势, 偏异势反映了反势趋向于异势的变化及其走向情况;称为偏反势, 偏反势反映了同势趋向于反势的变化及其走向情况。

偏势联系数μ=a+b i+c j则反映了同异反势联系数的一种同、异、反之间的相互联系情况及趋势变化。

定义4:在联系数μ=a+bi+cj中, 称为联系数的势值, 记为:

联系数的势值shi (μ) 实际上反映了同势与反势之间的一种比例关系。该值越大方案越优;反之, 该值越小方案越劣。

定义5:在联系数μ=a+bi+cj中, 称a-c为联系数的偏势值, 记为:△ (μ) =a-c。

联系数的偏势值△ (μ) 实际上反映了同势与反势之间的一种量差关系。该值越大方案越优;反之, 该值越小方案越劣。

当△ (μ) =0为偏均势;当 (μ) >0偏同势;当△ (μ) <0偏反势。

定义6:对偏势联系数

shi (μ) 或△ (μ) 越大, c越小, 方案越可行;反之shi (μ) 或△ (μ) 越小, c越大, 方案越不可行。

四、SPA理论的区间数排序

区间数排序给出的是一个区间值, 这个值实际上是决策者给出的相关信息, 该信息具有不确定性。因此, 区间数的排序是不确定性多属性排序问题。区间数的排序实际上就是将给出的区间数根据其区间值的情况找出一个最优方案。在引言部分提及的区间数[2, 6]与区间数[3, 5]孰大孰小问题, 首先给出其区间数的偏势联系数表达式, 将问题转换为联系数的势值或偏势值的大小进行比较判断。对于区间判断矩阵进行排序与区间数类似, 由决策者给出对应区间数, 然后计算相应的势值或偏势值大小并进行比较排序, 此时偏势或势值实际就转化为有具体数值大小的实数或相应的判断矩阵, 关于此类问题的排序是很简单的, 具体参见相关文献[1]。

五、应用实例

下面给出一个具体的例子说明该方法的区间数排序在学生评定优秀中的应用。某班级现有6名学生的4门课程考试成绩 (如表1所示) 。

分别建立6名学生语文、数学、物理、外语4门成绩的区间数。然后, 由区间数分别计算出序号为1到序号为6的学生对应区间数上的联系数、势和偏势的值, 根据其值的大小进行排序 (具体计算结果见表2) 。

通过表2可以发现, 利用SPA理论的区间数排序得到的结论与用其他方法得到的结论是一致的, 这说明该算法是有效的。但如果要更好地反映出学生学习成绩情况与变化趋势预测情况, 可以将6名学生的4门课程的成绩为端点, 建立同异、反联系数矩阵, 然后将联系数矩阵通过SPA理论转换为对应的势值矩阵, 通过势值矩阵进行排序处理, 关于此类矩阵的排序问题实际上是实数矩阵的排序问题, 该方法比较成熟, 文献较多。但这样处理得到的结果相对准确, 不过运算量较大。相比之下, 用本文提出的区间数排序方法进行排序相对容易、简单方便, 能较好地反映出问题的实际情况。

六、结束语

本文利用新理论集对分析SPA方法理论, 通过具体实例比较说明了该方法的有效、合理及其可操作性。在此基础上通过集对分析联系数中关于处理确定与不确定性问题的理论, 提出了一种新的区间数排序方法。该方法通过同异反势联系数的确定与不确定之间的关系反映了区间数的不确定及内在联系变化。SPA理论中的联系数理论实际上通过反映同偏势、异偏势及反势来体现区间数的优劣特性。

参考文献

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区间数理论篇4

目前, 区间型不确定数据的聚类方法研究主要集中在c均值聚类算法方面。c均值聚类算法的研究主要包括基于硬划分的c均值聚类方法[1,2]和基于模糊划分的c均值 (fuzzy c-means, FCM) 聚类方法[3,4,5,6]。对于基于硬划分的c均值聚类方法, 区间数之间的距离是影响聚类效果的重要因素之一。而对于基于模糊划分的c均值聚类方法, 区间数间距离和模糊度指数m会对聚类效果产生重要影响[7,8]。

聚类分析数据分布情况的认识关系着模糊度指数m的取值, 但这种分布情况的认识无法采用单一的m值来准确描述, 需要采用区间数[9]或语言化模糊表示[10]。现有的区间Ⅱ型模糊c均值聚类算法都是针对点数据对象, 而未针对区间数, 因此, 本文提出区间数的区间Ⅱ型模糊c均值 (interval type-2 improved fuzzy c-means for interva data, IT2 IFCM) 聚类算法, 以期提高区间数模糊c均值 (improved fuzzy c-means for interva data, IFCM) 聚类算法的聚类效果。

1 IT2 IFCM聚类算法

若数据对象集合X={xj|j=1, 2, …, n}, 其中xj= (xj1, xj2, …, xjp) 为p维区间型数据对象。各个数据簇的原型表示为vi= (vi1, vi2, …, vip) , i=1, 2, …, c。那么IT2 IFCM聚类算法的目标为式 (1) 所示的最优化问题。

点数据对象的区间Ⅱ型模糊c均值 (interval typeⅡfuzzy c-means, IT2 FCM) 聚类算法的主要步骤已有研究[9]。本文将p维区间数向量看作2p维的点数据向量, 利用IT2 FCM聚类算法思路, 得到了IT2 IFCM聚类算法思路和求解步骤。IT2 IFCM聚类算法计算过程如图1所示。

在根据簇原型计算隶属度的过程中, 数据对象xj属于数据簇i的计算公式如式 (2) 所示。该过程为数据对象向区间Ⅱ型模糊集合的映射过程。

在数据簇原型更新过程中, 由式 (2) 得到的上下隶属度保持固定, 再通过KM迭代算法得到簇原型的区间估计值[viL, viR], (i=1, 2, …, c) 。KM迭代算法如算法1所示。

求簇中心vi的最小值viL时, 只要将算法1中步骤2的第一个if结构替换为以下内容:

经过KM迭代算法后, 可得数据簇i的原型区间形式为[viL, viR], 那么数据簇i的原型vi可通过式 (3) 的逆模糊处理求得。

如果更新后的数据簇原型与原来数据簇原型的偏差小于某阈值ε, 则数据簇原型更新迭代过程停止。迭代停止后, 可得到各个数据簇原型和各数据对象相对各数据簇原型的隶属度。

在硬划分过程中, 根据数据簇更新迭代过程最后得到的各数据对象相对于数据簇的隶属度值, 进行各数据对象的划分。在计算viL时, 会得到数据对象j的属性l相对于数据簇i的隶属度值uil (xj) , 其值如式 (4) 所示。

那么, 数据对象j相对于数据簇i的隶属度ui (xj) 的最小值uiL (xj) 可通过式 (5) 求得。

数据对象j相对于数据簇i的隶属度ui (xj) 的最大值uiR (xj) 可以通过式 (6) 求得。

根据uiL (xj) 和uiR (xj) , 通过降阶处理得到数据对象j属于数据簇i的隶属度如式 (7) 所示。

由降阶处理得到的隶属度结果, 对数据进行硬划分, 得到数据对象在各个数据簇的划分。硬划分规则如下:

那么xj被划分到数据簇i中。

以上IT2 IFCM聚类算法相对于IFCM聚类算法, 修改的过程包括数据簇原型的更新和硬划分过程, 修改后的IFCM聚类算法可以得到更好的聚类效果。

2 IT2 IFCM聚类算法收敛性分析

IT2 IFCM聚类算法中, 有两个迭代过程:求数据簇原型的KM迭代算法和聚类迭代。聚类过程已具收敛性[9], 因此本文仅分析KM算法在聚类迭代过程的收敛性, 并得到选择m1和m2的规则。

KM迭代算法的关键步骤是找到转换点并更新数据簇原型。假设待聚类的数据集合为X={xj|j=1, 2, …, n}, 其中xj= (xj1, xj2, …, xjp) , 利用KM迭代算法计算数据簇原型vi的第l维的区间值[vilL, vilR]时, 对各维度属性排序得到的属性值集合为Xf={fl|l=1, 2, …, p}, 其中fl= (x1l, x2l, …, xnl) , 并且x1l

获得转换点k后, 根据式 (8) 和式 (9) 来更新数据簇原型的上下限值vilL和vilR。

如果vilL′=vilL, 那么查找vil最小值的KM算法停止迭代。同样, 当vilR′=vilR时, 查找vil最大值的KM算法停止迭代。

为说明模糊度指数m1和m2是如何影响KM迭代算法的收敛性, 现假设数据簇i的原型的第l维初始值为vilL0, 且xkl≤vilL0

如果vilL0≠vilL1, 且x (k-m) l≤vilL1

如果vilL2为所求数据簇i的原型的第l维值, 那么vilL2需要满足x (k-m) l≤vilL2

相对于式 (11) , 式 (12) 分母中的第三项必须足够小。因此模糊度指数m1和m2的差值必须尽可能小, 使的差值尽可能小, 并且又能满足参数m的不确定性描述要求。否则, KM迭代过程会产生死循环。例如vilL2不是期望的簇原型最小值, 那么下一次迭代结果可能等于vjlL0, 此时便产生死循环, 该情况必须避免。

3 IT2 IFCM聚类效果仿真实验

为了检验IT2 IFCM聚类算法的改进效果, 该部分采用4组合成区间型数据集合和城市气温数据集合进行实验。实验中, 采用全局相异度指标来衡量聚类效果[11]。该指标值越大, 聚类效果越好。另外, 还采用CR指数[12]来度量聚类划分与先验划分之间的一致程度。该指标值越大, 聚类划分与先验划分一致程度越高。

3.1 合成数据产生方法

构建的4个区间型数据集合中, 每个数据集合包括了4个数据簇, 每个簇内数据对象个数分别为150、100、50和40。构建区间型数据对象时, 先通过二维正态分布, 产生二维点数据对象, 假设为 (xi, yi) , 那么该点数据对象对应的区间型数据对象为: ([xi-γi1, xi+γi1], [yi-γi2, yi+γi2]) , 其中γi1和γi2为从区间[0, 8]内随机选取的两个数。产生4个数据集合时, 产生点数据对象集合的参数如表1所示。

3.2 基于合成数据的聚类效果对比

对合成的4组区间型数据集合进行了IT2 IFCM聚类算法和IFCM聚类算法[13]聚类效果对比实验。IT2IFCM聚类算法中模糊度指数m1和m2分别取1.8和2.2;IFCM聚类算法中, 模糊度指数m为2。对每个数据集合, 对每种聚类算法重复进行100次。每次聚类时, 重新随机选择初始数据簇原型。记录这100次聚类算法执行过程中全局相异度指数的最大值和均值, 结果如表2所示。

根据表2所列全局相异度指标可知:对于每个合成数据集合, IT2 IFCM聚类算法的全局相异度指标均最大。表明IT2 IFCM聚类算法相对IFCM聚类算法具有更好的聚类效果。

3.3 基于城市气温的聚类效果对比

城市气温数据集合包括了36个城市每个月的区间型气温数据[14], 且被分为4类, 作为对这36个城市的先验划分。对该气温数据集进行IT2 IFCM聚类算法和IFCM聚类算法, 得到CR指标如表3所示。

由表3可知:IT2 IFCM聚类算法的CR指标相对IFCM聚类算法的CR指标较大。说明IT2 IFCM聚类算法与先验划分的一致性是最好的, 聚类效果最好。

4 结论

针对区间数模糊c均值聚类算法中模糊度指数m无法准确描述数据簇的分布情况的问题, 本文做了如下三方面的工作:

1) 拓展了点数据集合的区间Ⅱ型模糊c均值聚类算法, 将其扩展到区间型不确定数据的聚类中, 提出了区间数的区间Ⅱ型模糊c均值聚类算法, 并详细说明了该聚类算法的聚类过程;

2) 分析IT2 IFCM聚类算法的收敛性, 确定了模糊度指数m1和m2的取值原则, 即m1和m2的差值在满足描述模糊度指数的不确定性前提下尽可能小;

基于区间数的风险投资篇5

1952年，Markowize提出的均值方差理论，一直被认为是证券投资组合理论的基石。M-V组合理论强调对证券组合总风险的分析，运用均值和方差分别来定义投资组合的收益和风险，合理解释了投资分散现象。

均值-方差最终的结果依赖于风险资产随机收益率的期望和方差的度量。但是，实际投资决策中，在估计风险资产预期收益率的时候用算术平均的方法给所有历史数据赋以相等的权重是不合理的。同时，文献[6][1,2]都曾指出在投资组合模型中，Markowitz均值-方差模型的最后结果对预期收益率的均值和方差的误差非常敏感。同时均值-方差理论带有二次约束，实际求解困难，而且收益率和风险要求为一个准确的数，这是不符合实际投资的，预期投资的收益率和投资风险本来就是不确定的。

基于均值-方差理论的不足之处，很多学者将模糊决策引用到均值-方差的研究中。文献[1]用区间数描述了证券的收益率、投资风险和证券流动性的不确定性，基于绝对偏差风险函数和极大极小原则建立了投资组合选择的区间规划模型，并利用区间数的两种序关系将模型转化为普通的参数线性规划问题，进而求得其解;文献[2]提出了证券组合投资的区间数线性规划模型，并通过引入区间数线性规划问题中的目标函数优化水平α和约束水平β将目标函数和约束条件均为区间数的线性规划问题转化为确定型的线性规划问题;文献[3]提出了区间数的相对左偏度的定义，利用其作为区间数下表达证券风险损失率的一种补充，能合理地反映风险损失率与预期收益率之间的相关关系。

二、模型设定

均值-方差理论通过求解二次规划，可以算出有效投资组合的集合，计算结果指明各种资产在投资者的投资中所占份额，理性的投资者将选择并持有有效率投资组合，即使得那些在给定的风险水平下的期望回报最大化，或者使得那些在给定期望回报率水平上使风险最小化。经典的Markowitz模型为：

其中ri为第i种证券的收益率，E (ri) 为第i种证券的预期收益率，xi为证券i的持有比重，ΣΣxixjσij为投资组合的方差，即用来衡量投资组合的风险。

将区间数引入Markowitz模型，设Ri=[r-，r+]，表示第i种证券在持有期的投资收益范围，qij=[σij-，σij+]表示风险的范围。在投资组合中，投资者希望风险最小，受益最大，据此可以建立多目标线性目标规划，即：

三、模型变化

仍然考虑市场中包含一种无风险资产和n种证券，投资不涉及税收和交易成本，不允许卖空。现引入风险偏好系数λ，λ∈[0, 1]，则Markowitz模型可以表示为

其中参数λ看作投资者的风险厌恶因子，当λ取值越大，表明投资者风险厌恶程度越高。当λ=1时，表明投资者只考虑风险，完全忽略收益问题，这是一种极端的保守投资。另一种极端投资是当λ=0时，投资者为了追逐利益完全不顾投资风险，利益最大。为了符合实际设rf小于等于ri，表明当证券收益率小于无风险资产时，投资者不会选择该种证券。

假设风险资产的收益率和代表其风险的方差都在一个区间内变动，即r_≤ri≤r+，σij_≤σij≤σij+。加入这两个约束条件，投资模型可以表示为

在风险管理中，我们不能得到ri和σij的准确值，那么我们可以至少考虑在最坏情况下得到最优解，因此我们可以改进(P2)，将风险投资策略模型设定为

在优化求解过程中为了简化，在σij_≤σij≤σij+中取任意的定值，根据相关知识可以证得f (x)是线性连续函数，则(P3)的目标函数等价于：

通过优化求解可得, 其中M= (1, 1, …) 是n维单位向量。再求解 (P5) 的最小值可得, 是minif (x) 的唯一最优解。当收益率变化区间确定时, 都有唯一确定的R*与相对应。

因为f (x) 是连续函数, 取遍所有的, 那么变可以得到maxminif (x) 的有界点集。则基于风险管理下的投资组合的收益和风险为

四、结论

在现实投资中，投资收益和风险是不确定的，利用模糊数学中的区间数，将收益和风险定义在一定的区间内，当投资者的目标函数确定时，利用minimax原则可以找出最优的风险投资策略，这对于投资者来说具有更强的现实指导意义。

参考文献

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基于区间数的粮食安全评价方法探讨篇6

1 研究背景

目前我国农村土地利用方式还处于粗放形式, 农村水利设施建设还不到位, 生产方式还处于一家一户的小农耕作方式, 农场种植模式在有些地区还没形成, 粮食流通过程中也因为物流发展落后和收费站较多等造成粮食物流滞后, 同时在农业种植方面缺乏科学的引导和科技的使用, 导致我国粮食供给力不足。

民以食为天, 如果粮食安全出现问题, 将会出现巨大的恐慌, 从而影响社会的稳定。如日本大地震后我国出现大量抢购食用盐的现象, 充分说明全民恐慌的严峻性, 所以粮食安全是治国安邦的大事, 政策制定者和管理人员必须重视粮食安全问题, 要站在战略的高度来制定粮食安全政策, 增加粮食供给能力, 保证我国粮食安全。

关于粮食安全方面的研究引起战略位置的重要性, 一直备受关注, 也出现了一系列的研究成果。关于粮食安全评价指标体系的研究自20世纪60年代就已经开始, 并基于不同的方面给出了不同的评价指标和评价方法[1~3]。我国地大物博, 各种气候地带不同, 地理位置和种植农作物的种类各不相同, 自然会采用不同的评价指标来进行粮食安全评价。同时, 在对粮食的评价过程中, 主要涉及到粮食安全评价指标体系建立的科学性及合理性, 评价指标的权重确定也是一个非常重要的问题。本文将结合粮食安全的实际情况和评价指标建立原则, 在分析粮食评价指标的基础上, 给出一种粮食安全评价指标权重确定方法, 并结合粮食安全评价过程中存在的不确定性, 提出运用区间数作为评价标度, 给出一种基于区间数的粮食安全评价过程。

2 粮食安全一般评价模型

粮食安全评价的主要过程包含粮食安全评价指标的选择、粮食安全评价指标权重的确定和最终对粮食安全评价信息的综合获取粮食安全评价结果, 并对评价结果进行分析和反馈, 以达到对粮食安全的定级和对后期粮食安全宏观政策的制定和实施。粮食安全评价一般采用综合评价模型[4], 即:

通过评价模型可以看出, 粮食安全评价中最核心的是评价指标的确定以及指标权重的确定。获取指标值后, 在指标权重确定后就可以通过该模型确定粮食安全综合评价值, 然后根据相应的粮食安全等级标准进行对比分析, 就可以确定出粮食安全等级, 从而有针对性地进行粮食种植政策制定。

2.1 评价指标体系

在对任何评价指标进行评价的过程中, 首先必须经历两个步骤:一是指标的初选, 二是对初选指标的择优筛选, 从而确定最终的评价指标作为粮食安全评价指标体系。

在对粮食安全评价指标初选过程中, 一般应遵循科学性、系统性、可比性和动态性原则, 并结合粮食安全评价的最终目的和用途, 选择具有明确内涵并便于比较和数据获取的所有可能影响粮食安全的因素, 组成粮食安全评价指标的初选评价体系。

第二步就是针对初选指标, 分别采集相关的样本数值进行分析, 利用统计的方法, 对这些指标的相关性和关联性进行分析, 比如可以采用统计学中的广义协方差方法, 来对初选指标的可行性、必要性和完备性等方面进行检验, 从而剔除不必要的或是描述重复的评价指标, 保留下来的则是最终最优的评价指标, 从而构成粮食安全评价指标的评价体系。通过分析现有粮食安全评价指标体系, 并对最优指标经过初选和择优筛选, 得到的粮食安全评价指标主要由粮食生产 (C1) 、粮食流通 (C2) 、粮食储存 (C3) 、粮食消费 (C4) 这4个主要影响因素构成[3]。

2.2 粮食安全评价指标权重确定方法

粮食安全对国民生活影响重大, 关系到当地农民的生活和社会的安稳。准确地对粮食安全状况进行评价, 不仅是解决我国人口温饱问题的先决条件, 也是维护国家政治稳定的必要过程, 所以评价指标的权重确定是否科学可行非常重要。

评价指标的赋权法总体来说分为3类[4]。最开始的一类赋权法是专家学者凭借自己的学识和经验直接给出每个评价指标的权重, 后来人们发现这种赋权方法带有一定的个人偏好, 提出应该从采集的数据中来获取每个指标之间的差别, 从而提出利用评价信息本身来获取指标的权重, 即客观赋权法。但是在实际应用中发现, 这样的指标有时也不符合实际情况, 最后各学者通过研究提出对主观赋权法和客观赋权法进行简单加权从而得到组合权重, 作为评价指标的权重, 此法能有效克服主客观赋权法的不足。所以在粮食安全评价指标权重确定过程中, 最好是通过分析确定主观赋权法和客观赋权法, 之后将两种赋权方法进行组合, 从而得到最终的权重向量。

3 基于不确定信息的粮食安全评价模型

考虑到在对粮食安全评价过程中, 评价指标在评价值的获取中存在大量的不确定性和模型, 且在数据采集过程中, 不可能采集到真实的数据, 往往是通过等间距多次采集数据, 取所获数据的均值作为该指标的代表值。这个均值和真实数据值有一定区别, 真实数据应该靠近均值, 所以为了能使最终的粮食安全评价结果更符合实际情况, 在对评价信息获取过程中, 不应该选择均值作为评价值的代表值, 而是剔除多次测量结果中的异常值, 将多次测量结果落点形成的区间作为最终的评价值, 即用区间数来刻画评价值更符合实际情况, 也更客观。首先给出一个定义:

设[a, b]为区间数, 定义连续区间数据有序加权算子 (C-OWA)

若取p (y) =yr (r≥0) , 则有fp ([a, b]) = (b+ra) / (r+1) 。

下面将基于区间数给出一种粮食安全评价方法。

3.1 组合赋权法确定权重

聘请专家组对粮食安全评价指标的重要性进行探讨, 根据经验选择适当的方法, 确定各指标的主观权重, 并通过多次采集数据, 利用数据本身的信息获取评价指标的客观权重, 对主客观权重通过加权, 获得粮食安全评价指标的组合权重向量为w= (w1, w2, …, w4) [5]。

3.2 评价信息的获取

针对每个评价指标下的数据通过等间距多次采集, 对采集数据进行落点分析, 对一些变异较大的异常数据进行剔除。如果采集次数较少, 则直接按照最大最小值构成区间数;如果采集次数较大, 则选择落点比较密集的区间作为评价信息。考虑到所采集数据的标度不一样, 为便于比较, 对评价信息进行标准化, 得到粮食安全评价值向量C= (c1, c2, …, c4) , 其中, ci=[ci-, ci+]。

3.3 评价信息融合

考虑到区间数进行运算和比较的不便, 应该将区间数转换成便于比较和计算的实数, C-OWA算子能在有效保留区间数所包含信息的基础上将区间数转换成实数, 所以可以对粮食安全评价向量通过C-OWA算子转换成实数A= (a1, a2, …, a4) , 将转换后的评价值加权集合, 从而得到最终的粮食安全评价值level=a1w1+a2w2+…+a4w4。

3.4 评价等级划分和反馈

在计算出粮食安全评价值后, 结合联合国公布粮食安全等级量化表, 来确定我国的粮食安全等级, 并根据评价等级进行有效的宏观政策制定和实施。

4 结语

农村人口大量外流, 特别是青壮年劳力的大量外出务工, 给农业农村的发展带来务农劳力的缺乏, 从而严重威胁着我国的粮食安全问题, 所以必须注重对三农问题的解决。只有解决好粮食安全问题, 才能保证人民的温饱问题, 维护社会的稳定、快速发展, 并使我国在世界上处于不败地位。

现阶段我国应该立足国内粮食生产现状, 开展多边粮食贸易, 通过必要的粮食进口来弥补国内粮食产量不足的现状, 破除国际上的粮食武器风险。同时, 要严格保护粮食生产环境, 加大对农业基础设施的建设和投入, 保证我国耕地的比例, 强化农业科技在粮食产量上的应用和服务, 完善粮食仓储物流体系, 提高粮食的中转能力。

摘要：作为一个拥有13亿人口的大国, 粮食安全是关系到国家安全的头等大事。因此, 建立粮食安全评价指标意义重大。分析了粮食安全评价指标的构建过程, 并给出粮食安全评价指标和指标权重确定方法。根据粮食安全评价过程中的不确定性, 提出一种基于区间数的粮食安全评价方法, 以完善粮食评价理论体系。

关键词：粮食安全,指标,区间数,权重

参考文献

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区间数理论篇7

目前, 对管制员综合素质的评估研究还相对较少, 2004年, 何云中等提出了空中交通管制中人的可靠性评价的指标体系结构模型, 并运用模糊数学和层次分析法相结合, 建立空中交通管制中人的可靠性定量评价模型, 通过实例验证表明层次分析法应用于空中交通管制中人的可靠性评价, 可为各级领导机构提供航空安全管理的决策依据[2]。2009年唐卫贞等应用模糊层次分析法构建管制员综合素质评价指标体系和模糊综合评价模型, 从定量和定性两方面对管制员职业素质进行了综合评价[3]2010年, 何昕等利用多元评价模型构建了管制员综合素质评估模型, 应用层次分析法、模糊综合评判法和二次评判法处理判断矩阵、权重矩阵和隶属度矩阵, 进而从定性到定量对管制员综合素质进行评估[4]。以上文献均是通过将模糊数与层次分析法相结合, 对管制员相关要素进行了评价分析。2010年唐卫贞等从系统观点的角度, 结合空中交通管制工作实际, 分析了空中交通管制员操作可靠性的影响因素, 并利用而物元分析法确定了管制员操作可靠性评价指标体系[5]。

与以上文献不同的是, 本文提出了基于区间数的管制员综合素质评估方法, 通过对管制员的综合素质进行评估得到管制员的等级评定。首先根据管制员综合素质影响因素, 建立管制员综合素质评价指标;提出了一种构造区间数的方法, 并依据“少数服从多数”的原则, 给出一种多名专家共同参与决策时专家权重确定方法, 避免了单个专家根据自己的知识和经验给出的指标重要性判断的主观性;通过区间数之间的大小关系排序, 结合区间数之间距离的概念确定了各个评价指标的权重大小;最后建立管制员综合素质评价模型, 确定管制员影响因素得分情况, 对管制员综合素质进行评价, 并通过算例进行了验证。

1 基础知识

定义1[6], 设R表示实数, 如果a-, a+∈R且a-≤a+, 称A=[a-, a+]为一个二元区间数。

定义2[7]如果a=[a-, a+], b=[b-, b+]为两个二元区间数, 则它们之间的距离ρ (a, b) 为

定义3[8,9]如果A=[a-, a+], B=[b-, b+]为两个二元区间数, 则a≥b的可能度P (A≥B) 为:

2 评价指标体系确定

本文借鉴国内外对管制员综合素质影响因素相关研究成果[2—5, 10, 11], 选取了符合我国民航发展要求的影响因素。进一步通过结合我国一线管制单位实际调研结果, 参考管制专家的意见, 将管制员综合素质影响因素进行筛选、归纳和总结为:个人认知能力、管制指挥能力、身体素质、专业知识与技能和工作态度。在此基础上建立如下指标体系, 这个体系比文献[3]等构建的体系更加完善和全面。如图1所示。

3 群决策专家系数确定模型和指标得分区间数构建模型

设有N名专家, 共同独立对管制员综合素质进行评测。第n (n=1, 2, 3, …, N) 位专家独立对第M (M≥2) 层元素aM, i关于第M-1层相关联的指标aM-1, j的重要性, 给出一个判断评分, 评分标准如表1所示。

那么, 指标元素aM, i相对于上一层相关联指标aM-1, j重要性评分的加权均值ΔMi, j为:

式 (3) 中, λMn, i, j为第n名专家关于元素aM, i相对于上一层相关联指标aM-1, j重要性评分的权重系数, 由式 (4) 确定。

式 (4) 的意义为如果一名专家与大多数人的决策意见一致, 那么这名专家应当具有更多的决策权力, 反之, 这名专家应当具有较少的决策权力, 也就是说专家权重遵从少数服从多数原则, 其值是归一化的。其中为调节系数, 根据参考文献[12], 一般情况取;ε为调节变量, ε取值为大于零的实数, 根据指标重要性评分标准特点, 取ε=0.1。

则, 构建指标元素aM, i重要性评分的区间数如下

式 (5) 中ΔMi, j由式 (3) 确定, 式 (5) 中其他参数由式 (6) ~式 (8) 确定。

4 管制员综合素质评价模型

通过区间数之间的大小关系排序, 基于区间数距离, 确定各评价指标权重大小, 过程如下。

Step1对构造的区间进行两两比较, 确定最小的区间数。最小区间数记为满足

Step2将确定的最小区间数对应指标的初始权重定定为0.1

Step3计算其他指标对应的区间数的初始权重

Step4将各指标对应的权重归一化, 即得指标最终权重

因为本文共建立三层指标层次结构, 所以管制员综合素质评价模型可以表示为

式 (13) 中, 为第三层 (最后一层) 中与第二层指标j相关的元素i的得分。

5 评价算例分析

选取我国某地区空管局4名管制员进行综合素质评价, 他们的相关指标得分初始值如表2所示;选取7名专家, 其中一线管制单位人员5名, 包括部门经理1名, 带班主任1名, 一线普通管制员1名, 具有高级技术职称管制员2名, 高校相关理论研究工作者2名。他们独立的对各元素进行打分, 结果如表2~表8所示。

根据本文所给的群决策中专家权重确定方法, 由式 (4) 可以计算得到每位专家关于每一个指标的权重系数, 如表9所示。

由式 (3) ~式 (8) 可以计算得到相关指标评分对应的区间数, 如表10所示。

根据式 (9) 可以确定最小区间数, 根据式 (1) 可以确定各个指标对应的区间数跟与其有关系的最小区间数之间的距离, 根据式 (10) ~式 (12) 可以得到各个指标最终权重, 根据式 (13) 可以得到每位参与测评管制员的最终得分, 最终结果如表11所示。

注:*表示各最小区间数对应的指标。

通过表11可以发现, 对管制员综合素质影响较大的四个因素为:指令准确性、冲突与特请处置、航空器调配合理性、反违章意识、团队合作, 以后单位对管制员进行培训或再培训的时候可以加强这四个方面的训练。

如果给定管制员最终得分和管制员综合素质水平之间的关系对应表如表12所示, 那么在本文中测试的四位管制员综合素质水平分别为:管制员1综合素质得分为80.0分, 其处于良好水平, 管制员2综合素质得分为91.8分, 其处于优秀水平, 管制员3综合素质得分为87.4分, 其处良好水平, 管制员4综合素质得分为92分, 其处于优秀水平。

6 结论

(1) 考虑民航发展的需要, 提出了更加全面的空中交通管制员综合素质评价指标体系, 并将区间数理论应用于构建综合评价模型。

(2) 针对专家群决策, 给出了一种新的专家权重的确定方法, 引入区间数距离概念确定了管制员综合素质指标权重, 进而建立了管制员综合素质评价模型, 最后对管制员综合素质进行了实例分析。

(3) 通过计算分析, 从定量和定性两方面确定对管制员影响较大的因素有:冲突与特请处置能力、航空器调配合理性、反违章意识、团队合作。该结论为民航业评定管制员提供理论依据。

(4) 管制员状态保持能力和各指标量化评分方法将是下一步研究的重点。

摘要：管制员是空中交通管制系统中最活跃的因素, 管制员综合素质对空管安全运行有着重要的作用。为保证空管安全运行, 针对管制员综合素质进行评价。给出了群决策专家权重系数量化模型, 确定了不同专家关于每一指标权重大小, 提出了一种构造二元区间数方法, 并应用区间数距离确定了指标权重系数, 最终建立了管制员综合素质评价模型, 并通过算例进行了验证。结果表明:所建模型能够对管制员素质进行有效的正确评价。确定对管制员综合素质影响较大的因素有:指令准确性、冲突与特请处置、航空器调配合理性、反违章意识、团队合作。

关键词：区间数,群决策,专家权重,管制员综合素质

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区间数理论篇8

多属性决策问题普遍存在于经济、教育、管理、军事等各个领域, 是决策理论与方法研究的重要内容之一。在实际生活中, 由于测量的误差或客观事物的复杂性、不确定性及人们认识的模糊性等, 使得决策者很难确定属性权重和属性值的精确值, 但却能给出一个大致的区间, 于是区间数多属性决策问题的研究就成为决策界研究的热点问题[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16]。

有关区间数不确定多属性决策问题的研究主要是属性权重的确定和对备选方案的排序。目前对于属性权重确定问题的研究已取得了一些成果[1,2,3,4,5], 文献[1]通过信息熵来确定属性权重, 依据的基本思想是在某个属性下, 所有方案的属性值差异越小 (大) , 则此属性在决策中所起的作用越小 (大) , 权重就应越小 (大) 。文献[2,3,4,5]通过建立优化模型求解属性权重, 依据的基本思想是使所有方案与理想方案的距离达到最小。这些方法解决了一些属性权重的确定问题, 但也存在着一些不足, 如文献[1]依据的基本思想是合理的, 但遗憾的是信息熵公式只适用于实数, 所以文献[1]必须先把区间数属性值变换为实数, 这在一定程度上丢失了部分决策信息。而文献[2,3,4,5]依据的思想值得商榷, 因为若在某个属性下所有属性值都一样, 这个属性在决策时实际上并不起作用, 其权重应该为零, 但依据文献[2,3,4,5]属性权重并不为零。正是这些不足的存在, 有必要寻求新的属性权重确定方法。

有关属性值为区间数的多属性决策问题的研究已引起重视, 并取得了一些成果[6,7,8,9,10,11,12,13,14,15]。在已有成果中大部分文献认为属性值在区间数内是服从均匀分布的[6,7,8,9,10,11], 只有文献[12,13,14,15]认为是服从正态分布的。事实上, 认为其服从正态分布更加贴近实际, 比如人们的上班时间为7∶00～9∶00, 但基本上集中在8∶00左右。为此本文针对属性值为正态分布区间数而属性权重完全未知的多属性决策问题, 基于正态分布的基本性质, 针对方案综合属性值所在区间存在相互交叉部分的情形, 提出了正态分布下区间数之间相互比较的可能度概念, 给出了一种区间数比较的新方法。然后基于文献[1]的基本思想给出了一种确定属性权重的新方法, 最后给出了一种区间数不确定决策方法。

2 区间数比较

2.1 基本概念和性质

定义1[15] 设R为实数, aL, aR∈R且aL≤aR, 称[aL, aR]为区间数, 记为A=[aL, aR]。

本文所讨论的区间数不包含两端端点相同退化为一个实数的“退化区间”情形。

定义2[15] 设区间数A=[aL, aR], B=[bL, bR], A=B当且仅当aL=bL, aR=bR.

定义3[15] 设区间数A=[aL, aR], B=[bL, bR], 当aL≥bR时, 称A大于B, 记为A>B.

定义4 设区间数A=[aL, aR], B=[bL, bR], 称d (A, B) 为区间数A和B的距离, 其中

$d (A, B) = \sqrt{(a^{L} - b^{L})^{2} + (a^{R} - b^{R})^{2}}$

定理1[17] 设随机变量X～N (μ, σ2) , 则 $Y = \frac{X - μ}{σ} \sim Ν (0, 1)$ 。

定理2[17] 设X～N (μ, σ2) , 则Y=aX+b也服从正态分布, 且Y～N (aμ+b, (aσ) 2) 。

定理3[17] 设X, Y为两个相互独立的随机变量, 且X～N (μ1, σ21) , Y～N (μ2, σ22) , 则Z=X+Y仍服从正态分布, 且Z～N (μ1+μ2, σ21+σ22) 。

定理4[17] 设X1, X2, …, Xn为n个随机变量, 若Xi～N (μi, σ2i) (i=1, 2, …, n) , 且它们相互独立, 则对任意不全为零的常数a1, a2, …, an, 有

$\sum_{i = 1}^{n} a_{i} X_{i} ~ Ν (\sum_{i = 1}^{n} a_{i} μ_{i}, \sum_{i = 1}^{n} a_{i}^{2} σ_{i}^{2})$

2.2 正态分布下区间数的可能度

区间数难以比较, 主要是两个区间数存在相互交叉部分的情况, 设随机变量ξa在区间数a=[aL, aR]内服从正态分布, 记为ξa～N (μ, σ2) , 根据正态分布的3σ原则 (P (|a-μ|≤3σ) ≈0.9973) , 随机变量ξa几乎可以肯定落在区间 (μ-3σ, μ+3σ) , 故可以令μ-3σ=aL, μ+3σ=aR, 解得

$μ = \frac{1}{2} (a^{L} + a^{R}), σ = \frac{1}{6} (a^{R} - a^{L}) (1)$

定理5 设ξa～N (μa, σ2a) , ξb～N (μb, σ2b) , 则 $Ρ (ξ_{a} > ξ_{b}) = Φ (\frac{μ_{a} - μ_{b}}{\sqrt{σ_{a}^{2} + σ_{b}^{2}}})$ 。

证明ξb～N (μb, σ2b) , 由定理2知, -ξb～N (-μb, σ2b) (这里a=-1, b=0) , 故由定理3知, ξa-ξb～N (μa-μb, σ2a+σ2b) , 由定理1知, $\frac{(ξ_{a} - ξ_{b}) - (μ_{a} - μ_{b})}{\sqrt{σ_{a}^{2} + σ_{b}^{2}}} ~ Ν (0, 1)$ 。

又P (ξa>ξb) =P (ξa-ξb>0) =1-P (ξa-ξb≤0) , 而

$\begin{array}{l} Ρ (ξ_{a} - ξ_{b} \leq 0) \\ = Ρ (\frac{(ξ_{a} - ξ_{b}) - (μ_{a} - μ_{b})}{\sqrt{σ_{a}^{2} + σ_{b}^{2}}} \leq \frac{0 - (μ_{a} - μ_{b})}{\sqrt{σ_{a}^{2} + σ_{b}^{2}}}) \\ = Φ (\frac{0 - (μ_{a} - μ_{b})}{\sqrt{σ_{a}^{2} + σ_{b}^{2}}}) \\ = Φ (\frac{μ_{b} - μ_{a}}{\sqrt{σ_{a}^{2} + σ_{b}^{2}}}) \end{array}$

故

根据定理5, 我们给出区间数可能度的定义。

定义5 设区间数A=[aL, aR], B=[bL, bR], 称

$Ρ (A > B) = Φ (\frac{μ_{a} - μ_{b}}{\sqrt{σ_{a}^{2} + σ_{b}^{2}}}) (2)$

为A>B的可能度。其中μa, μb, σa, σb由式 (1) 给出。查表即可求出P (A>B) 。

定义5显然满足以下性质:

定理6 设区间数A=[aL, aR], B=[bL, bR], C=[cL, cR], 则:

(i) 0≤P (A>B) ≤1;

(ii) (互补性) P (A>B) +P (B>A) =1;

(iii) $Ρ (A > B) \geq \frac{1}{2}$ 当且仅当aL+aR≥bL+bR, 特别地, $Ρ (A > B) = \frac{1}{2}$ 当且仅当aL+aR=bL+bR;

(iv) (传递性) 对于3个区间数A, B, C, 若 $Ρ (A > B) \geq \frac{1}{2}$ 且 $Ρ (B > C) \geq \frac{1}{2}$ , 则 $Ρ (A > C) \geq \frac{1}{2}$ 。

有了可能度公式, 下面考虑区间数排序。

记N={1, 2, …, n}, 给定的一组区间数Ai=[aLi, aRi], i∈N, 对它们进行两两比较排序步骤如下:

①根据定义5对任意Ai, Aj求得相应的可能度P (Ai>Aj) , 简记为pij, 并建立可能度矩阵P= (pij) n×n.根据定理6, 此矩阵为模糊互补判断矩阵。

②利用文献[18]中给出的排序公式

$ω_{i} = \frac{1}{n (n - 1)} (\sum_{j = 1}^{n} p_{i j} + \frac{n}{2} - 1), i \in Ν$

进行计算, 得到可能度矩阵P的排序向量ω= (ω1, ω2, …, ωn) T.

③根据ωi的大小对区间数进行排序。

3 属性权重完全未知的区间数多属性决策方法

对于某多属性决策问题, 设其方案集为S={s1, s2, …, sn}, 属性集为P={p1, p2, …, pm}, 假定方案si∈S在属性pi∈P下的属性值为rij=[rLij, rRij], 从而构成决策矩阵R= (rij) n×m, 这里假定R已经规范化 (即所有属性转为效益型属性) [12]。

3.1 求属性权重

本文求属性权重所依据的思想和文献[1]相同, 但与文献[1]相比有一个明显的优点, 即不需把属性值转换为实数, 直接利用专家给出的原始属性值即可求得属性权重。

下面依据此思想给出求解属性权重的具体步骤:

Step1: 计算属性pj下方案si与其他方案的偏差vij, 其中

$v_{i j} = \sum_{k = 1}^{n} d (r_{i j}, r_{k j}) (3)$

其中, d (rij, rkj) 是依据定义4计算的区间数距离。

Step2: 计算属性pj下方案间的总偏差

$v_{j} = \sum_{i = 1}^{n} v_{i j} (4)$

Step3: 计算属性pj的权重

$ω_{j} = \frac{v_{j}}{\sum_{l = 1}^{m} v_{l}} (5)$

3.2 对方案进行排序

Step1: 根据3.1节计算属性权重

$ω = (ω_{1}, ω_{2}, \dots, ω_{m})^{Τ}$

Step2: 计算各方案的综合属性值

$G_{i} = \sum_{j = 1}^{m} ω_{j} r_{i j} = [\sum_{j = 1}^{m} ω_{j} r_{i j}^{L}, \sum_{j = 1}^{m} ω_{j} r_{i j}^{R}] (6)$

由于属性值rij=[rLij, rRij]服从正态分布, 属性权重ω1, ω2, …, ωm为实数, 故根据定理4, 综合属性值Gi也服从正态分布。

Step3: 根据2.2节对区间数Gi进行排序, Gi的排序即为方案的排序。

4 算例

例采用本文方法对文献[13]中的算例进行分析:

假设有4个方案, 评价指标具有3个属性, 决策矩阵为

其中, rij={μij, σij}, 首先利用式 (1) 把rij={μij, σij}转化为rij=[rLij, rRij], 得

$R = [\begin{matrix} [0.4210.559] & [0.5050.535] & [0.7210.739] \\ [0.3090.591] & [0.3010.919] & [0.4200.960] \\ [0.5010.819] & [0.6200.740] & [0.4010.599] \\ [0.4750.805] & [0.5050.895] & [0.6700.730] \end{matrix}]$

根据式 (3) 、式 (4) 、式 (5) 求得属性权重向量为

$ω = (0.258, 0.373, 0.369)^{Τ}$

根据式 (6) 求得各方案的综合评价值为

$\begin{array}{l} G_{1} = [0.56310.6165] \\ G_{2} = [0.34700.8496] \\ G_{3} = [0.50850.7083] \\ G_{4} = [0.55820.8109] \end{array}$

根据式 (1) 和式 (2) 对区间数两两比较, 查表求得可能度矩阵

$Ρ = [\begin{matrix} 0.5 & 0.4602 & 0.2946 & 0.0139 \\ 0.5398 & 0.5 & 0.4562 & 0.1788 \\ 0.7054 & 0.5438 & 0.5 & 0.0778 \\ 0.9861 & 0.8212 & 0.9222 & 0.5 \end{matrix}]$