闭区间列

2024-05-06

闭区间列（精选三篇）

闭区间列篇1

一、定轴动区间

所谓的定轴动区间就是说这时候二次函数的对称轴是可以确定的, 而闭区间不确定, 有一定的变量存在, 是不确定的。二次函数在闭区间上的最值受制于对称轴与区间的相对位置关系, 特别是含参数的两类“定区间动轴、定轴动区间”的最值问题, 要考察区间与对称轴的相对位置关系, 分类讨论常成为解题的通法, 这些问题其实仔细思考就很容易解决。通过二次函数的性质和图像, 我们不难观察到:二次函数在闭区间上的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。

例1.求f (x) =-x2+2x-2在闭区间[t, t+1]上最大值和最小值是多少。

分析:根据二次函数最值出现的可能:二次函数在闭区间上的的最值总是在闭区间的端点或二次函数的顶点取到。在这个例题中, 这个二次函数是开口向下的, 在闭区间上, 它的最大值在区间的两个端点或二次函数的顶点都有可能取到, 有三种可能, 所以分三种情况讨论;而它的最小值不可能是二次函数的顶点, 只可能是闭区间的两个端点, 哪个端点距离对称轴远就在哪个端点取到, 当然也就根据区间中点与左右端点的远近分两种情况讨论。

解:由二次函数f (x) =-x2+2x-2, 可以很简单的得出二次函数的对称轴是x=1。

(1) 求二次函数的最大值f (x) max

当t+1<1, 即t<0时, f (x) max=f (t+1) =-t2-1

当t<1≤t+1, 即t<0时, f (x) max=f (t+1) =-t2-1

当t≥1时, f (x) max=f (t) =-t2+2t-2

(2) 求二次函数的最小值f (x) min

当时,

这样, 这道题的最值就由分别讨论得出来了, 这就是定轴动区间的情况, 求最大值的时候主要考察对称轴有没有在区间里, 因为当图像开口向下的时候, 区间两端点和对称轴上都有取得最大值的可能性, 而最小值的取值不可能在图像顶点, 只可能是区间两端点, 所以只分两种情况就可以了。

二、定区间动轴

所谓的定区间动轴是和定轴动区间正好相反的一种情况, 这种情况是区间固定, 而图像的对称轴是不固定的情况。这种情况下, 想要求得二次函数的最值也是要分情况讨论而定, 这种分类其实本质上和定轴动区间的情况一样。

例2.求f (x) =x2+2ax+1在区间[-1, 2]上的最小值和最大值是多少?

分析:从这个二次函数来讲, 其图像的开口向上, 其最小值有可能在顶点和区间两端出现, 这就需要考查对称轴是否在区间内部;最大值只能出现区间的两端点。

解:由二次函数f (x) =x2+2ax+1, 可得对称轴方程为:x=-a.

(1) 求二次函数的最小值f (x) min

当-a<-1, 即a>1时, f (x) min=f (-1) =-2a+2;

当-1≤-a<2即-2<a≤1时, f (x) min=f (-a) =1-a2;

当-a≥2, 即a≤-2时, f (x) min=f (2) =4a+5;

(2) 求二次函数的最大值f (x) max

当即时, f (x) max=f (2) =4a+5;

当即时, f (x) min=f (-1) =-2a+2;

三、逆向求值问题

所谓逆向求值问题就是已知了一个二次函数在某一段区间上的最值, 而求二次函数系数上的某个变量的值的运算, 实质上是二次函数求最值的逆向运算, 是二次函数求最值运算的一种变化的题型, 这种题型在考试中也是经常出现的。

例3.已知二次函数f (x) =ax2+ (2a-1) x+1在区间上的最大值为3, 求实数a的值是多少?

分析:这个问题, 若从求最值入手, 需分a>0与a<0两大类五种情形讨论, 过程繁琐不堪。若注意到最大值总是在闭区间的端点或抛物线的顶点处取到, 因此先计算这些点的函数值, 再检验其真假, 过程就简明多了。

解: (1) 当最大值在图像的顶点处的时候, 即令, 得到;此时抛物线的开口向下, 对称轴x=-2, 不在区间上, 所以是不符合题意的。

(2) 令f (2) =3, 得到, 此时抛物线的开口向上, 闭区间的右端点距离对称轴较远, 所以是符合题意的。

(3) 令, 得到, 此时抛物线的开口向下, 闭区间的右端点距离对称轴较远, 所以是符合题意的。

综上所述, 或者都是符合题意的。

总之, 二次函数在闭区间上求最值一直是教师和同学感到棘手的问题, 其实只要分析清楚题目, 看清题目是属于哪一个类型, 然后再分类解决就可以了。在平时学习中, 同学们一定做好知识的梳理工作, 勤于思考, 学会融会贯通, 举一反三。

摘要：二次函数是初中数学学习的重难点问题, 特别是关于在闭区间求最值的问题成为许多同学所困扰的问题, 笔者将此问题分为:定轴动区间, 定区间动轴和逆向求值问题等三个问题来加以讨论。

关键词：初中数学,闭区间,二次函数,最值

参考文献

[1]陈玉华.关于初中数学函数教学设计的几点思考[J].数理化学习, 2009 (11)

二次函数在闭区间上的最值问题篇2

类型1定轴定区间

例1已知函数[f(x)=x2-2x]，求[f(x)]的最小值.

解[f(x)=x2-2x=(x-1)2-1]，

由图1可知，当[x=1]时，[f(x)min=-1].

变式1已知函数[f(x)=x2-2x]，[x∈[2,4]]，求[f(x)]的最小值.

解析由图1可知，函数[f(x)]在[[2,4]]为增函数，

[∴f(x)min=f(2)=0.]

变式2已知函数[f(x)=x2-2x]，[x∈[0,3]]，求[f(x)]的最大值.

解析由图1可知，函数[f(x)]在[[0,1]]上递减，在[[1,3]]上递增，且3离对称轴的距离大于0离对称轴的距离.

[∴f(x)max=f(3)=3.]

例2已知二次函数[f(x)=ax2+4ax+a2-1]在区间[-4，1]上的最大值为5，求实数[a]的值.

解将二次函数配方得[f(x)=a(x+2)2+a2-][4a-1]，函数图象对称轴方程为[x=-2]，顶点坐标为[(-2，a2-4a-1)]，图象开口方向由[a]决定.很明显，其顶点横坐标在区间[-4，1]内.

①若[a<0]，函数图象开口向下，如下图2所示.当[x=-2]时，函数[f(x)]取得最大值5.

即[f(-2)=a2-4a-1=5]，解得[a=2±10].

故[a=2-10(a=2+10舍去)].

②若[a>0]，函数图象开口向上，如上图3所示，当[x=1]时，函数[f(x)]取得最大值5.

即[f(1)=5a+a2-1=5]，解得[a=1或a=-6]，故[a=1(a=-6舍去)].

综上可知：函数[f(x)]在区间[-4，1]上取得最大值5时，[a=2-10或a=1].

点拨求解有关二次函数在闭区间上的最值问题，应先配方，作出函数图象，然后结合其图象研究，要特别注意开口方向、对称轴和区间的相对位置.在例1中，二次函数图象的开口、对称轴和区间都是固定的. 需注意的是，当函数的最值的取得在区间两个端点都有可能的时候，要比较端点与对称轴距离的大小.在例2中，二次函数图象的对称轴和区间是固定的，但图象开口方向是随参数[a]变化的，要注意讨论.二次函数[f(x)=a(x-k)2+h][(a>0)]在区间[[m,n]]最值问题：

①若[k∈[m,n]]，则[f(x)min=f(k)=h]，[f(x)max=max{f(m),f(n)}].

②若[k∉[m,n]]，当[k

当[k>n]时，[f(x)min=f(n)]，[f(x)max=f(m)].

类型2定轴动区间

例3已知函数[y=x2-2x,x∈[-2,a]]，求函数的最小值[g(a).]

分析由于函数图象的对称轴为[x=1]，区间左端点固定，区间右端点的位置不能确定，所以需分两类讨论，即①对称轴在区间[[-2,a]]内，②对称轴在区间[[-2,a]]右侧.

解[∵]函数[y=x2-2x=(x-1)2-1],

①当[-2

②当[a≥1]时，函数在[[-2,1]]上单调递减，在[[1,a]]上单调递增，则当[x=1]时，[ymin=-1].

综上可知[g(a)=a2-2a,-2

例4已知函数[f(x)=-x22+x+6]在区间[[m,n]]上的值域是[[2m-2,2n-2]]，求[m、n]的值.

分析由于函数图象的对称轴为[x=1]，而区间左右端点值均含有参数，所以要分三类讨论，即①对称轴在区间右侧，②对称轴在区间内，③对称轴在区间左側.

解[∵f(x)=-x22+x+6=-12(x-1)2+132,]

①若[m

②若[m<1

故[2n-2=132]，得[n=174.]

由于[2m-2<0,f(n)=-12(174-1)2+132=3932>0,]

故[f(x)]在[x=m]处取最小值[2m-2.]

即[-12(m-1)2+132=2m-2]，解得[m=-1-17].

③若[1≤m

解得[m=2,n=4.]

综上可知[m=-1-17n=174]或[m=2n=4].

点拨当二次函数解析式确定，但自变量取值区间变化时，需根据对称轴和区间的位置关系，对区间参数进行讨论.

类型3动轴定区间

例5求[f(x)=x2-2ax-1]在区间[[0,2]]上的最大值和最小值.

分析因为有自变量有限制条件，要求函数最值，最好是先作出函数图象，作二次函数图象时先看开口方向，再看对称轴的位置，因为此函数图象对称轴[x=a.]位置不定，并且在不同的位置产生的结果也不同，所以要以对称轴的位置进行分类讨论.

解[f(x)=(x-a)2-1-a2]，对称轴为[x=a.]

①当[a<0]时，由图4可知，[f(x)min=f(0)=-1]，[f(x)max=f(2)=3-4a.]

②当[0≤a<1]时，由图5可知，[f(x)min=f(a)=-1-a2,][f(x)max=f(2)=3-4a.]

③当[1≤a≤2]时，由图6可知，[f(x)min=f(a)=-1-a2,][f(x)max=f(0)=-1.]

④当[a>2]时，由图7可知，[f(x)min=f(2)=3-4a,][f(x)max=f(0)=-1.]

例6已知二次函数[f(x)=-x2+2ax+1-a]在[[0，1]]上有最大值2，求[a]的值．

解[f(x)=-(x-a)2+a2-a+1]．

①当[a<0]时，[f(x)max=f(0)=2，]得[a=-1]．

②当[0≤a≤1]时，[f(x)max=f(a)=2]，解得[a=1±52∉[0，1]]，故该方程在[[0，1]]上无解．

③当[a>1]时，[f(x)max=f(1)=2]，得[a=2]．

综上可知：[a=-1]或[a=2]．

点拨当二次函数开口方向和给定区间固定，对称轴位置不确定时，只要讨论对称轴和给定区间的位置关系即可，结合图象需分两种或三种情况讨论.

类型4动轴动区间

例7设[a]是正实数，[ax+y=2][(x≥0,y≥0).]若[y+3x-12x2]的最大值是[M(a).]求[M(a)]的表达式.

分析该题是二元函数求最大值，应先由[ax+y=2]解出[y]代入，消元，转化为关于[x]的二次函数，再求最大值.

解设[f(x)=y+3x-12x2]，由[ax+y=2]得[y=2-ax].

[∴f(x)=(2-ax)+3x-12x2=-12[x-(3-a)]2+12(3-a)2+2.]

[∵y≥0]，[∴2-ax≥0].

又[a>0,x≥0]，[∴x∈[0,2a].]

（1）当[0<3-a<2a(a>0)]即[0

（2）当[3-a≥2a(a>0)]即[1≤a≤2]时，[M(a)=][f(2a)=-2a2+6a].

（3）当[3-a≤0]即[a≥3]时，[M(a)=f(0)=2].

[∴M(a)=12(3-a)2+2-2a2+6a2][(0

点拨当二次函数对称轴和区间都不固定时，还是应先配方，理清函数对称轴和区间的位置关系，然后对参数进行讨论.通过前面二次函数在闭区间上的最值问题的四类题型，我们可以发现二次函数的最值总是在对称轴或区间端点处取得.

例8已知函数[f(x)=ax2+(2a-1)x-3][(a≠0)]在区间[[-32,2]]上最大值为1，求实数[a]的值.

分析若按常规方法从求函数最大值直接入手，则需作如下分类讨论：

①当[a<0]时，分三种情况讨论最大值；

②当[a>0]时，分两种情况讨论最大值.

一共有五种情形，过程繁琐.若从整体角度分析，注意到函数[f(x)]的最大值只可能产生在二次函数的顶点或端点处，这样可以先求函数[f(x)]在顶点和端点的函数值，再逐一验证参数的正确性即可.

解函数[f(x)]的最大值只能在[x1=-32]，或[x2=2]，或[x3=1-2a2a]处取得．

①令[f(-32)=1]，解得[a=-103]，此时[x0=1-2a2a=-2320∈-32，2]．故[f(x)]的最大值不可能在[x1]处取得．（[a=-103]，抛物线开口向下）

②令[f(2)=1]，解得[a=34]，此时[x0=1-2a2a=-13<-32+22]．故[f(x)max=f(2)]，得[a=34]，符合题意．

③令[f1-2a2a=1]，解得[a=-3±222]．要使[f(x)]在[x0=1-2a2a]处取得最大值，必须且只须[a<0]且[x0∈[-32,2]]，经检验，只有[a=-3+222]合题意．

综上可知：[a=34]或[a=-3+222]

点拨本题利用特殊值检验法，先计算特殊点（闭区间的端点、抛物线的顶点）的函数值，再检验其真假，思路明了、过程简洁，是解决逆向型闭区间二次函数最值问题的一种有效方法.

求解二次函数在闭区间上的最值问题，关键是抓住“三点一轴”.“三点”即区间端点与区间中点，“一轴”即二次函数的对称轴，合理进行讨论.

[【练习】]

1．已知函数[y=x2-2x+3 , x∈[0,m]]上有最大值3，最小值2，则[m]的取值范围是（）

A. [ [1,+∞) ]B. [ [0,2]]

C. [ [1,2]]D. [(-∞,2]]

2．已知函数[f(x)=x2－2x＋2]的定义域和值域均为[[1，b]]，则[b＝].

3．已知定义在区间[0,3]上的函数[f(x)＝kx2－2kx]的最大值為3，那么实数[k]的取值范围为．

4．若函数[f(x)=-12x2+132]在区间[[a,b]]上的最大值为[2b]，最小值为[2a]，求区间[[a,b]].

[【参考答案】]

1. C 2. 23. {1，－3}

二次函数在闭区间上最值教学随感篇3

A. (-∞, 0] B.[2, +∞)

C. (-∞, 0]∪[2, +∞) D.[0, 2]

不由得想起高一时给学生讲二次函数的单调性的情景, 高一学生刚刚接触函数, 为了让他们明白, 于是我就通过例题总结出下面顺口溜:区间定, 轴在动, 求最值, a判定, 口向上, 分三种, 大于大 (顶点的横坐标大于区间的最大值) , 单调减, 变量小, 值最大;小于小 (顶点的横坐标小于区间的最小值) 单调增, 变量小, 值最小;在中间, 顶点低, 值最小, 离轴远, 值最大;口向下, 恰相反.以上你若记心间, 二次函数单调性也不难.二次函数在闭区间上的最值主要取决于三个因素:抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置.就高中学习的二次函数有关最值问题:一是定轴定区间, 二是定区间动轴, 三是定轴动区间问题.本文以实例说明借助顺口溜的求解方法, 供读者参考.

一、定轴定区间问题

例1 已知二次函数f (x) =ax2+2ax+1在[-3, 2]上有最大值4, 求实数a的值.

解由函数对称轴x=-1是定直线.因而判定函数的单调性要结合二次函数的开口方向.有上述口诀“在中间, 口向上, 离轴远, 值最大.口向下, 则相反”易知:a=-3或

二、定区间动轴问题

例2 已知二次函数f (x) =-x2+2ax+1-a在[0, 1]上有最大值2, 求实数a的值.

解分析:结合上述顺口溜, 容易想到分三种情况进行分析.即对称轴x=a与区间[0, 1]的相应位置分三种情况讨论:

(1) 当a<0时, f (0) =1-a=2,

∴a=-1.

(2) 当0≤a≤1时, f (a) =a2-a+1=2,

即a2-a+1无解;

(3) 当a>1时, f (1) =a+2,

∴a=2.