探寻知识本原敞亮数学味道——从生态视角反思《画平行线》一课

一、【缘起错误】:都是遗忘惹祸?——山重水复疑无路

还清晰地记得, 在六年级下册《空间与图形》的总复习时, 曾经出现过这样的一道操作题:“过P点分别画出角AOB中AO边的垂线和BO边的平行线”。我当时认为这道题非常简单, 因为四年级时就学过了, 并没有复习提示, 便让学生自已操作。我在巡视时发现:多数学生对画垂线掌握较好;而让人出乎意料的是有近一半学生对画平行线却遗忘了, 他们竟然只用一样工具 (直尺或三角板) 直接凭感觉“平移”上去就完成了作图。

无奈之下, 我只有将画平行线的方法当成新授课重新讲解了一次, 以唤起学生对画平行线的记忆。当时尽管有些气愤, 但也找到了自我安慰的理由:虽然是四年级学过的简单知识, 但是时间长了没有练习, 学生遗忘了也是很正常的现象。课后回想起学生们的表现, 让我陷入了深深的沉思之中:为什么同样是四年级学过的知识, 画垂线的方法学生们却没有遗忘呢?

二、【理性思考】:技能仅需模仿?——柳暗花明又一村

不可否认, 画垂线只用到一把尺子, 而画平行线要用到两把尺子, 画平行线自然比画垂线更不容易掌握。原因果真这么简单吗?难道在两年前教学《画平行线》时就留下了“后遗症”?想到这里, 当时教学《画平行线》的情景就开始在眼前浮现:“有的学生拿着三角尺胡乱旋转, 不知所措;有的学生把练习本转来转去;……, 我只好哪有困难就奔到哪里, 手把手地教, 反复让学生记步骤、操练”。

回想起这堂让我满教室“救火”, 累得口干舌燥的课。回想起学生们那迷茫、没有丝毫喜悦表情的脸。不由得让我反思这节课的教学方法是不是太传统了:教师示范, 学生模仿, 不断操练。不容置疑, 画平行线是一项数学操作技能活动, 而学习数学操作技能的基本方法就是模仿练习法。而画平行线仅仅是一种模仿吗?这种“和盘托出”的示范和“依样画葫芦”的模仿, 把学生当成了一个简单的操作工, 完成了没有任何思维含量, 并不是真正意义上的脑力劳动。

究其原因, 问题出在学生对画平行线只是停留在机械的模仿层面上。而出现这种失误的导演者就是我们教师。我们只做到了让学生“知其然”, 而没有“知其所以然”。那就是画平行线的“关键”点:其一、为什么要用两把尺子?其二、这两把尺子各有什么用?第三、为什么要移动?最后, 怎样移动才行?

三、【解读教材】:方法是否孕伏?——不识庐山真面目

仔细考究画平行线的技能, 可以发现因为平行涉及的是两条直线间的关系, 肯定要画两条直线, 而要画两条直线, 必须要移动尺子。怎样移动才能保证移动前后的“直线”是平行的呢?那只有平移!尺子要实现平移, 徒手移还真有难度, 最好有“轨道”, 而这个“轨道”就是另一把尺子。把这个原理弄清楚了, 画平行线的技能就转化成了怎样给移动的三角尺“造”轨道。

这个原理就是画平行线最基本的方法, 它实际上是利用了平行线的判定方法“同一平面内垂直于同一直线的两条直线相互平行”。要让深刻领悟到画平行线的方法, 就是要引导学生理解到画行线的依据是什么, 以促进学生掌握画平行线的技能。表面看来, 由于学生的知识受限, 学生似乎不太容易理解“同一平面内垂直于同一直线的两条直线相互平行”这一相对高深的作图依据。但在笔者看来, 其实不然, 仔细阅读人教版《数学》四年级上册教材, 就不难发现, 画平行线的依据和方法其实在学习《画平行线》之前已经提前孕伏。 (如下图)

首先, 在例1认识平行和垂直时, “做一做” (如下图) 中的第2题“摆一摆”第 (2) 小题“把两根小棒都摆成和第三根小棒垂直, 看一看, 这两根小棒有什么关系?”, 编者意在通过摆小棒一方面巩固平行的意义, 另一方面让学生对这一依据形成初步的表象。

其次, 在例2学习画垂线时, 过直线上一点画这条直线的垂线的动态演示过程 (如上图) , 其中就隐含着画平行线的方法。第一步, 把三角尺的一条直角边与已知直线重合;此时如果过直角顶点画一条直线, 这就是画平行线的第一步。第二步, 沿着直线移动三角尺, 使三角尺的直角顶点和直线上的已知点重合;此时这条直线就扮演着画平行线时“轨道” (即另一把尺子) 的角色, 移动就相当于平移, 这就是画平行线的第二步。第三步, 从直角的顶点起, 沿着另一条直角边画出的一条直线, 就是已知直线的垂线 (直角顶点是垂足) ;此时画出的垂线就相当于画平行线时画出的平行线, 这也就相当于画平行线的第三步。这一演示过程正是对画平行线的依据的直观演绎和动态诠释, 为学生理解其作图依据提供了有力的支撑。

四、【再次实践】:可否意义模仿?——轻舟已过万重山

尽管示范和模仿是数学操作技能形成的两个不可缺少的条件, 但是《画平行线》是本节课乃至本单元的教学重、难点, 我们不能只立足于让学生被动和机械模仿, 学会怎样画平行线就可以了, 而要注意对知识本原的探究, 着重引导学生理解为什么要这样画, 进而有意义地模仿。笔者正好教完毕业班又回到四年级, 不禁萌发了进行教学改进的冲动, 再加上对教材的深入分析, 更加坚定了我进行教学实践的底气。

1、复习画垂线。

师:昨天我们学习了画垂线, 你会过直线上一点画它的垂线吗?

(师先在黑板上画一条直线, 并在直线上标出一个点A, 一生板演, 其余学生在练习本上画)

师:如果我在直线上再标一个点B, 你还会过B点画它的垂线吗?

(生继续画, 师将黑板上三条直线分别标上序号1、2、3)

师:请大家观察你们画出来的两条直线 (直线2和3) 的位置关系, 你发现了什么?

师:你是怎么知道它们相互平行的?

(生1:直接观察就能发现。生2:上节课“摆一摆”的活动中, 我们就发现如果两条直线都和第三条直线垂直, 这两条直线都互相平行)

师:这同学说得真有道理, 利用上节课的知识来说明今天的问题。

2、沟通平行线。

师:数学真是有趣, 观察屏幕, 我们刚才两次画垂线时却无意间画出了平行线。

(电脑演示前面画垂线时三角尺从直线上A点移动到B点的完整过程)

师:刚才从过A点到过B点画垂线的过程中, 这把三角尺在作什么运动?

(学生意识到这是平移运动)

师:其实像三角尺这种平移运动的过程, 我们现实生活中也有。你能发现吗?

(根据学生的回答电脑出示一扇窗户, 并作平移运动) 师:是什么保证了这扇窗户能够作平移运动?

(经过短暂的观察与思考后, 有个别学生似有所晤:窗户上一个轨道, 用力推拉, 窗户就沿着这个轨道作平移运动。)

(电脑重复演示一遍移动过程, 并闪动竖框平移前后所在的两条直线。)

师:那么这竖框平移前后所在的两条直线的位置关系是什么?

3、试画平行线。

师:那谁来说说什么叫做平行线?

师: (师在黑板上再斜着画一条直线4) 那你们现在会画出直线4的平行线吗?

(学生试画, 教师行间巡视指导, 发现有的借助直尺的两边来画, 有的直接徒手“平移”三角尺来画)

师: (找一个直接用直尺边画的同学板演) 请大家观察, 他这样画行吗?

(因为直尺的两边是平行的, 画出来就是平行的)

师:像他这样画有什么局限吗? (画出来的直线只与直尺一样宽)

师:怎样才能突破这个限制呢? (平移的同学想发表想法了)

师: (找一用平移方法画的同学板演) 谁来示范一下你的想法? (在板演过程中有些学生发现尺子容易斜)

师:对于他的想法, 你们有什么意见吗? (这种也比较简便, 也不受宽度的限制, 想画多宽都可以, 但是尺子在平移时容易发生偏斜)

师:这位同学观察真仔细, 发现这种画法不好操作的地方。

师:如果三角尺不晃动该多好啊!小组讨论一下, 有什么好办法改进一下就可以了?

(小组展开了激烈的讨论, 引导学生从平移窗户或画垂线时得到启示:如果能给移动的三角尺加上一个“轨道”就可以了。)

师:如何给移动的三角尺加上一个“轨道”呢?你能来试一试吗? (学生又借用了一把直尺, 边操作边演示)

师:老师发现他又用了一把尺子, 这把尺子有什么作用呢?

师:这位同学真聪明, 由窗户的平移现象, 联想到平行线的画法, 这是数学学习中一种重要的方法——迁移。其实画平行线时, 我们可以借助一把直尺和一个三角板或者两个三角板来画平行线。

4、操作后反思

师: (生标示点C) 你能用这种方法过直线4外一点C画这条直线的平行线吗?动手试一试。

师:你觉得用这种方法画的时候, 要注意些什么?分为哪几步? (生小结注意事项并总结作图步骤)

师:同学们, 你们知道了如何画平行线, 那你们现在明白了为什么要这样画吗? (生试着说明理由)

师:其实啊, 画平行线的方法不是一个新知识, 在前面我们两次画垂线的时候就隐含着画平行线的方法。 (电脑出示两次画垂线的动态过程如下图)

师:其实, 画垂线时过A点画出的直线就相当于画平行线时的已知直线;画垂线时的已知直线就相当于是平移的“轨道”, 也就是直尺的作用。画垂线时过B点画出的直线就相当于画出的平行线。

师:你们明白了吗?原来新知识就是由旧知识发生、发展过来的。画平行线实际上就是利用了“同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行”这一知识来画图的。

五、【对比反思】:枯燥变得灵动?——绝知此事要躬行

不可否认, 传统的教学方法:教师在黑板上示范, 学生在作业本上模仿, 经过多次操练, 学生画平行线的技能同样可以形成。而且这样教学省时省力, 看似提高了教学效率, 实则学生囫囵吞枣, 枯燥乏味。尽管当时学生个个都能轻松掌握, 但随着时间推移, 加之学生并没有真正理解画平行线的方法, 出现本文前面的尴尬实属正常。而第二次的教学实践, 从数学知识的本原出发, 联系学生的生活经验, 利用学生的知识经验, 敞亮数学课的数学味, 让学生充分感悟到了画平行线的要义, 画平行线技能的习得就不再是模仿和机械训练的过程。我不禁要问:是什么支撑枯燥的数学技能课变得深刻而灵动?

1、找准学生的认知起点支撑学生进行主动探究。

影响学生学习的唯一重要因素, 就是学习者已经知道了什么 (奥苏伯尔语) 。在教学实践中, 为了加深学生对平行线的认识, 一方面, 我设计了学生两次画同一直线的垂线, 从而认识到两条垂线是互相平行的;另一方面, 由画垂线时三角尺的平移联想到生活中的窗户的平移运动, 窗户的竖框平移前后所在的两条直线, 构成了一组平行线。这一看似简单的教学设计, 为后面学习平行线的一般画法作了有效的铺垫和渗透。画平行线很重要的一点是借助平移来画, “怎样保证尺子在平移时不发生偏斜?”是学生在探索画法时生成的问题, 在老师的启发下, 学生很自然将先前习得的经验迁移到平行线的画法上, 于是在课堂上爆发出了“能像窗户一样加上一个轨道”这一有力声音。正是由于找准了学生的认知起点, 在认识平行线的过程中作了巧妙的铺垫, 所以画平行线这一难点, 在学生的探究交流中迎刃而解, 为学生的探究学习提供了有力的支撑。

2、展示知识之间的内在联系支撑学生认识深刻灵活。

由于数学知识之间是有机联系的, 教师如能巧妙展示知识之间的内在联系, 引导学生感悟知识之间的相互联系, 可实现学生数学思维和认知能力的飞跃。在画平行线的过程中, 从字面上看只有“平行线的意义”与之是紧密相关的, 可在传统的教法中却没有让学生真正理解画出的两条直线为什么是平行的, 因而学生的认识是粗浅的。而改进后的教学实践中, 引入“画垂线”这一旧知创造了“画平行线”的新境地:其一、“画垂线”看似与“画平行线”无关, 但实则通过“画垂线”一方面对上节课的旧知进行了复习, 显得开课自然不生硬;另一方面更为重要的是通过两次画同一直线的垂线, 进而复习了“平行线的意义”, 还对“垂直于同一直线的两条直线互相平行”这一作图依据有了初步的感知。其二、通过电脑的演示对“画垂线”中三角板作平移运动有了形象的认识, 进而联想到生活中窗户的平移过程, 为后面画平行线需要一个“轨道”提供了有力的支撑。其三、总结完画平行线的步骤后, 引导学生对比“画平行线”与“画垂线”的方法, 让学生领悟到其实“画垂线”的过程中就隐含了“画平行线”的过程, 让学生恍然大悟, 进而加深了“画平行线”方法的认识。正是这样巧妙的展示, 打通了“平行线的意义”、“画垂线”、“平移”和“画平行线”之间的联系, 让学生不但掌握了画平行线的方法, 还明白其中的道理, 促使学生对画平行线的认识深刻而灵活。

3、呈现知识的发生与发展过程支撑学生深切体会数学的本质。

数学课程标准指出:数学教学应该充满着不断的探索与创造、观察与实验、猜测与验证、调控与反思等等。这就要求我们教师在实施课堂教学时要注重呈现知识的发生与发展过程, 促使学生自主能动的学习, 进而培养良好的思维品质和创新意识。在传统的画平行线的教学中, 我们教师把学生当作是一个装知识的“容器”, 被动接受, 死记硬背、机械训练, 学生容易记忆不深刻是正常的。而改进的教学实践中, 技能获得的过程是学生在已有知识和经验的基础上, 调整和重组认知结构的过程。学生对“同一平面内垂直于同一直线的两条直线相互平行”这一画平行线作图依据的理解, 通过“画垂线”的设计分散呈现于各个教学环节之中:一是在复习时画同一直线的两条垂线, 让学生解释“为什么这两条垂线是相互平行的”就是对作图依据的第一次感知。二是在电脑演示两次画垂线时三角尺的移动, 联想到生活中窗户的平移时再次感知其作图依据。三是学生将窗户的平移现象迁移到画平行线的过程其实是对作图依据的第三次感悟。最后, 让学生联系画垂线的方法反思画平行线的方法实则是对作图依据的深刻认识。通过以上四个层次的呈现, 让学生充分感知画平行线的过程, 知道其来龙去脉, 明白画平行线其实是由画垂线发生和发展过来的, 真正体会到画平行线的本质, 也就能深刻掌握画平行线的技能。

六、【推广价值】:适用其他版本?——天下同归而殊途

像前面所述那样进行教学画平行线, 对于学生牢固掌握画平行线的方法所起的作用是显而易见的。可能有人会提出:使用其他版本教材的教师在教学时还适用吗?因为必须要先教学画垂线后才能实施。笔者认为, 这样的教学方法具有推广价值。仔细对比人教版与西师版、北师版、苏教版教材的编排的特点, 虽然各种教材编排这部分内容时有一定的差异, 但是都可以根据教材自身的编排规律全部或部分实施前面所述的教学。现提出其他三种版本教材的实施意见, 仅供参考:

(1) 西师版教材:由于西师版教材编排方式基本与人教版类似, 都是先教学画垂线, 再教学画平行线。因此可以完全借鉴其教学方法。

(2) 北师版和苏教版教材:这两个版本教材编排方式相同, 但都与人教版相反, 都是先教学画平行线, 再教学画垂线, 所以教学时只能部分借鉴其教学方法, 可以在教学完画垂线的方法后, 引导学生与画平行线的方法进行对比, 发现其两者的共性, 以此来促使学生对画平行线的方法的反思, 进一步加深其理解, 从而更好地让学生掌握画行线的技能。