三角形的稳定性

三角形的稳定性（精选8篇）

篇1：三角形的稳定性

《三角形的稳定性》教案

教学目标：

通过观察和实地操作得到三角形具有稳定性，四边形没有稳定性，稳定性与没有稳定性在生产、生活中广泛应用

重点：

了解三角形稳定性在生产、生活是实际应用

难点：

准确使用三角形稳定性与生产生活之中

课前准备：

小木条8 个，小钉若干

教学过程：

一、看一看，想一想

课本P73投影出来

二、做一 做

1、用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后 扭动它，它的形状会改变吗?

2、用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然 后扭动它，它的形状会改变吗?

3、在 四边形的`木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗?

三、议一议

从上面实验过程你能得出什么结论? 与同伴交流。

三角形木架形状不 会改变，四边形木架形状会改变，这就是说，三角形具有稳定性，四边形没有稳定性。

四、三角形稳定性应 用举例、四边形没有稳定性的应用举例

五、练一练

课本P74练习

作业：课本P75――5,9

篇2：三角形的稳定性

每次去杭州玩的时候，都要经过一座大桥。看着长长的大桥像一根带子一样横跨两岸，桥上一辆辆汽车行驶着，大的、小的，一辆接着一辆，我们通过大桥可以方便地到达对岸，这么长的桥，这么多的车，而且桥下还是空的，为什么像一块板一样架在两边的桥可以承担这么多的重量，而且不会倒塌，我就奇怪了：为什么桥不会倒？我想不明白，于是就问了妈妈。妈妈也一时语塞，答不上来，她让我自己找答案，建议我可以去请教老师。我想了很多，决定从数学中找答案。我把目光投给了数学课上。

“认识图形”的课上听了老师讲的三角形，我恍然大悟。原来呀，大桥上的锁链大多是拉成三角形的，而三角形是具有稳定性的啊。怪不得大桥上的锁链都是三角形的，这样大桥 就不会倒了。

篇3：三角形的稳定性

一、“三角形稳定性”的本质

“稳定”的本义是“不易倾倒”, 英译为“stability”, 比如照相机三脚架能够稳定地立在地面上, 其数学原理是三点能够确定一个平面。这一含义并不是三角形稳定性中“稳定”的含义。三角形稳定性中的“稳定”英译为“rigidity”或“rigid”, 其本义是“坚固”, 表达的是“不易变形”的意思, 与“柔韧 (fl exibility) ”或者“易变形”相对。在力学中被看作物体在外力的作用下其形状和大小绝对不变, [1]在几何学中表达的是图形的形状和大小不变。

1979年, L.Asimow和B.Roth在《American Mathematical Society》杂志上发表的一篇题为“图形的稳定性 (Th e Rigidity of Graphs) ”的文章, 其中对怎样的图形具有稳定性作出了详细解说:我们将一个图形看作是由顶点和边组成的集合, 如果这个图形中的每两条连续的边, 起始于点P, 终止于点Q, 且这两条边的长度保持不变 (如图1所示) , 那么就说这个图形是稳定的。[2]也就是说, 由一个顶点和两条边组成的角, 由于边可随意旋转, 角的大小也就可以任意改变。如用第三条边固定PQ的长度, 那么角的大小就被固定了。构成的三角形的三个角都被固定后, 其形状、大小自然不会再改变。而其他多边形, 由于角度可以变化, 其形状也随之变化, 因此, 这个图形就不稳定。

那么, 如图2所示, 在任意△ABC中, 保证三边长度不变, 三个顶点分别被三边固定, 形状和大小不能改变, 符合图形稳定的标准, 所以三角形是稳定的。

在A.García的一篇关于二维图形稳定性的文章中, 对如何判定图形是否具有稳定性进行了进一步阐释:若图形具有稳定性, 它必须由Laman图组成。Laman图是指:在平面内, 一类最小的具有稳定性的图形, 其边和顶点的关系是, 若有n个顶点, 则必须有2n-3条边。若n≥3, 图形的每两条边都要相连。[3]通过计算可以得出三角形的顶点与边的个数及结构都符合Laman图的定义, 所以三角形是稳定的。四边形若要稳定, 要有4×2-3=5条线段, 为使每两条边都相连, 需要在其对角线处加一条边, 变成两个三角形。同理, 五边形、六边形均需要添加边的条数才可以稳定 (如图3所示) 。

二、与相关知识的联系

“三角形的稳定性”在人教版教科书中位于四年级下册第三单元第二课, 是学生学习了三角形的相关概念后的第一个内容。在学习之前, 学生已经对角、三角形、四边形和图形的运动 (主要是旋转) 有了初步认识, 在四年级上册中了解到平行四边形易变形, 为突出三角形不易变形做铺垫。但在四年级上册介绍梯形的时候, 用梯子、隔离墩这些看似十分稳定的实物为例引入梯形的概念, 易使学生产生梯形同样具有稳定性的误解, 在教学中教师应当注意到这一点。

“三角形的稳定性”不仅是三角形的特性之一, 其本质更与初中将要学习的全等三角形有着紧密的联系。虽然小学生无需掌握全等三角形的知识, 但作为教师, 要明确二者之间的关系, 并将全等三角形的知识渗透在教学过程之中。据史料记载, 第一个应用全等三角形的人是古希腊时期的泰勒斯。他证明了第一个全等三角形的判定定理:若一个三角形有两角、一边分别与另一个三角形的对应角和对应边相等, 则这两个三角形全等。[4]三百年后, 欧几里得在其著作《原本》中对三角形的全等进行了整理, 其中, 公理4为“彼此重合的物体是全等的”;命题4、8、26提出了全等三角形的三种判定方法, 即角边角、边边边、角角边。[5]其中“边边边”的判定方法与三角形的稳定性其实就是一码事, 即如果三角形的三条边的长度固定不变, 那么三角形的形状和大小也随之确定。

三角形的稳定性在建筑学中的应用众所周知。除此之外, 在外交战略中也大有用处。利用三角稳定原理处理外交事务的基本思路是:如果要建立和维持稳定, 则要努力构建三角关系。如果要打破稳定、防止稳定, 则要主动破坏或制止建立三角关系。[6]

三、教学设计

“三角形的稳定性”是三角形所具有的客观属性, 属于规律性知识。学习目标可以确定为“了解三角形三条边的长度确定, 三角形的形状、大小不变”。为了达到这样的目的, 可以设计如下的学习任务和学习活动, 让学生经历“观察、猜想、验证、应用”的学习活动, 在活动中逐步认识三角形的稳定性。

第一是理解“稳定性”的概念。人教版教科书中缺少对稳定性的解释, 且上文提到四年级上册中有从看似稳定的物品中抽象出梯形的内容, 学生很难将“稳定”与“形状不变”联系起来。所以第一个活动设计为:你认为“稳定”一词是什么意思, 请举例说明。帮助学生理解固定不变即稳定。期间可以引导学生思考:“图形的稳定指的是什么?”让学生认识到图形的稳定指的是形状、大小不变, 为之后的探究做铺垫。这一环节, 学生需要根据自身经验, 提出想法 (Inferring) , 从实际生活中抽象出稳定的概念。

第二是通过操作, 理解角的对边固定角的大小, 进而了解三角形三边的长度确定三角形的形状、大小, 提出猜想。在《Mathematics for Junior High School》一书中用角的全等引入三角形的全等, [7]且上文中图形稳定性定义中的“两条连续的边”可以看作一个角。受此启发, 探索、发现三角形稳定性的过程可以由角来引入, 提出与“用你手中的学具制作一个角, 想一想怎样让这个角的大小保持不变?这样做会出现一个怎样的新图形?”类似的问题, 帮助学生确立观察对象, 由固定角的大小引出三角形。再通过如“换一条不同长度的边固定这个角, 会发生什么变化?组成的图形又会发生什么变化?”“四人一组, 说一说通过上面的活动, 你发现了什么?”这样的任务让学生在操作中体验三角形三边的长度与其形状大小的关系, 与第一个环节中“稳定”的概念相联系, 通过组内交流, 提出三角形具有稳定性的猜想。

此外, 上文提到四边形、五边形、六边形的形状和大小均需要添加辅助线, 变成几个三角形后才能保持不变, 布置诸如“用你手中的学具做一个四边形, 它的形状会任意改变吗?如果会, 如何让它的形状保持不变?做一做五边形、六边形, 重复上一个任务”的任务, 让学生体验需将多边形分割成若干个三角形才能稳定, 进一步体会三角形具有稳定性。第二环节, 学生需要经历的活动是观察 (Observing) 学具的变化, 发现三角形边与角、边与形的关系;提出想法 (Inferring) 并相互交流 (Communicating) 。

第三是验证猜想, 得出使三角形稳定的条件, 回应学习目标。通过完成上一环节的任务, 学生已经认识到如果三角形三边的长度确定, 这个三角形就唯一确定。本环节就要充分给学生时间去验证自己的结论。由于三角形稳定性的本质与全等三角形的判定密切相关, 学生在初中还要进一步学习全等三角形的判定定理, 在这一环节中应尽可能地鼓励学生发现更多的使得三角形稳定的条件, 为升入中学后的学习打下基础。学生经历的活动是通过实验 (Experimenting) , 整合信息, 验证猜想, 并记录 (Recording) 实验过程、观察发现的结论 (记录单见表1) 。与全班同学进行交流 (Communicating) , 最终基于观察、经验、思考作出判断 (Judgment) 。教师在组织学生进行小组合作的时候, 应明确要求和纪律, 帮助小组长分好工, 让每个小组成员都有作出贡献的机会。

第四是对三角形稳定性的应用。由于每个学生的学习能力不同, 在应用环节应进行分层设计, 使不同程度的学生都能得到发展。针对学习能力较弱的学生, 设计诸如“列举生活中利用三角形稳定性制成的物品”的活动。针对中等水平的学生, 设计类似“利用三角形的稳定性设计一个物品, 画出你的设计图, 讲出设计思路和用途”的开放性活动。针对程度较好的学生, 利用三角形稳定性的本质与外交策略的联系, 将其他学科的知识融入其中, 设计更加开放的活动。例如, 今年恰逢万隆会议举办60周年, 这个会议在历史上有重要的地位, 让学生分小组查阅资料, 利用今天所学的知识, 想一想作为一名外交官在万隆会议上发言, 将如何分析我国的外交策略?这个任务也可聚焦为分析中美俄三大国关系。作业的层次可以全部由学生自主选择, 也可以由教师根据学生本节课的整体接受程度和资源配备情况来确定其中的两个任务, 再由学生选择一个完成。这一环节学生经历的活动因任务的不同而不同, 最好能作为作业让学生利用课余时间完成, 再利用一节课的时间进行汇报。

以上设计可以用表格 (见表2) 清晰地呈现出来。

在三角形稳定性教学中, 教师要使学习活动既符合学生的认知规律又符合数学本质, 并且让学生的观察、操作等学习活动与数学知识之间建立关联从而使学生正确掌握三角形的稳定性的概念。综观本节课的设计, 将更多的时间留给了学生, 让学生经历发现的过程。通过本节课的学习, 使学生在知识方面, 理解了三角形三条边的长度确定, 三角形的形状、大小不变, 并对全等三角形的判定定理有了初步认识。在个人能力方面, 小组合作时既有分工又有共同探究, 提高学生的沟通、协作能力。最后环节学生可以根据自己的学习程度和意愿自由选择作业, 尊重、信任学生, 锻炼自主能力;选择“外交官”作业的学生要查阅资料、深入思考, 提出自己的见解, 锻炼了学生进行批判性思维的能力。

需要指出的是, 任何知识的教学方法不可能是唯一确定的。教师需要针对自己所教学生的实际情况, 选择或者设计最适合学生学习的方法。

参考文献

[1]王同亿, 主编译.英汉辞海下册[S].北京:国防工业出版社, 2000.

[2]L.Asimow, B.Roth.The Rigidity of Graphs[J].American Mathematical Society, 1979.

[3]A.García, J.Tejel.Augmenting the Rigidity of a Graph in R2[J].Springer Science and Business Media, 2009 (3) .

[4]徐传胜.全等三角形判定的历史追溯[J].中学生数理化, 2014 (7-8) .

[5]欧几里得著.兰纪正, 朱恩宽, 译.几何原本[M].西安:陕西科学技术出版社, 2003.

[6]吴殿廷, 等.三角稳定原理与中国的外交策略[J].北京师范大学学报 (自然科学版) , 2015 (2) .

篇4：大班数学活动：三角形的稳定性

1.初步感知三角形的稳定性，了解该特性在生活中的运用。

2.乐意探索，大胆与同伴交流观察、操作的结果。

3.积极利用该特性解决问题，体验成功的快乐。

活动准备：

幼儿搜集的三角形实物（三角尺、红领巾）；积塑玩具拼成的几何图形（三角形、正方形、长方形、梯形）若干；大记录表一张，黑色记号笔一支；书、塑料片、纸片、小木棍若干；照相机的三脚架、自行车、相框、黑板、台历等生活中运用到三角形稳定性的实物；双面胶、篓子若干。

图形操作记录表一张：

活动过程：

1.结合实物三角尺、红领巾，回忆已有经验，交流对三角形的认识。

师：“这些小朋友带来的东西，它们是什么形状的？你们还知道生活当中哪些东西是三角形的？”“三角形有什么特点？”

（评析：数学来源于生活。幼儿通过观察红领巾、三角尺，在直观形象的基础上再次梳理、归纳了三角形的外形特点。）

2.操作记录活动：晃动比较积塑玩具拼成的不同图形，初步感知三角形的稳定性。

师：“这里有许多用玩具拼搭的图形，请你们看一看，动一动，要观察这些图形中谁会变形，谁不会变形。”

（1）师生共同记录完成表格。

师：“谁愿意说一说你刚才玩的是什么图形？它有没有变形？”

“它变形了，变成什么图形了？”

“能变形的图形我们在表格上怎么记呢？”“不能变形的在表格上怎样记？”

“在这张表格上你们发现了什么秘密？”

（2）小结：原来正方形、长方形、梯形都能变形，而三角形不容易变形，它是非常稳定的图形。

（3）讨论让正方形、长方形、梯形不变形的方法。

师：“怎样能让正方形、长方形、梯形不变形呢？也可以试试用三角形的本领来帮助它们。”

幼儿讨论师总结。

（评析：幼儿运用操作材料，大胆尝试在不同的图形里变出三角形，通过自己的操作进一步感知了三角形所带来的稳定性。）

3.观察三脚架等实物，了解三角形稳定性在生活中的运用。

师：“三角形这个稳定的本领给我们的生活带来了许多方便。看一看，找一找，哪些地方用到了这个本领呢？”

观察三脚架，重点引导幼儿找出所有的三角形。

师：“三脚架里有多少个三角形呢？用了这么多的三角形，它们有什么作用？”

自主选择台历、相框、黑板、自行车等物品进行观察，找出物品中的三角形。

4.解决情境难题：怎样让纸、书、塑料片、小木棍立在桌子上？

（1）幼儿动手操作，尝试。

（2）幼儿讲述自己的方法，交流经验。

（评析：幼儿大胆尝试，不怕失败，自己的方法是怎样的，别人的方法又是怎样的？有的将书立在桌上，打开，使页与页之间形成三角；有的将纸叠出折痕，立起来；有的将三根木棍的上端用双面胶绑起，让小木棍像三脚架一样……活动中，操作过程的表述、新发现的探讨、实践经验的交流都让幼儿乐于表达，敢于表达，达到共同探究的目的。）

活动延伸：

区域活动时，教师可和幼儿探究其他图形如五边形、六边形等是否具有稳定性，保持幼儿探究的兴趣。

篇5：三角形的稳定性教学反思

[授课流程反思]

画直角三角形的高与画钝角三角形的高是难点，教师要多鼓励学生动手操作，交流探讨，使学生掌握高的画法，尤其是钝角三角形的高的画法。

[讲授效果反思]

对平分三角形的面积这个探究问题体现了不同的人得到不同的分法的.思想，有些同学可以得到多种分法，有利于培养学生的创新能力。

[师生互动反思]

篇6：《三角形的稳定性》教学设计

（一）教学目标

1．认识三角形的稳定性，并会用其解决一些实际问题．

2．通过练习进一步巩固三角形的边和相关线段．

（二）教学目标解析

1．探索三角形的稳定性和四边形的不稳定性，体会从具体到抽象的研究问题方法． 2．了解三角形的稳定性和四边形的不稳定性有关应用，感悟数学的价值．

3．运用三角形的稳定性以及四边形的不稳定性，解决一些实际问题．

三、教学问题诊断分析 对于三角形的稳定性，应侧重让学生理解只要三角形三条边的长度固定，这个三角形的形状和大小也就完全确定，三角形的这种性质叫做三角形的稳定性．即三角形的稳定性不是“拉不动、拉不动”的问题，其实质应是“三角形边长确定，其形状和大小就确定了”． 教学时注意引导学生动手操作，动脑思考，小组交流，取长补短，帮助学生理解三角形的稳定性，并联系生活中的应用，区分四边形的不稳定性和稳定性的相对性．

本节课的教学重点是：三角形的稳定性

本节课的教学难点为：三角形的稳定性的理解．

四、教学过程设计

（一）创设情境，提出问题 问题1 工程建筑中经常要采用三角形的结构，如屋顶钢架（如图11．1-6(1））其中的道理是什么？盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木（如图11．1-6(2））．为什么要这样做呢？

师生活动：让学生观察思考，初步感知三角形稳定性的重要性．

追问1：下面我们再欣赏一组图片，找出它们的共同点． 师生活动：学生观察图片思考，小组讨论，教师进行适当引导和评价．

【设计意图】让学生初步感知三角形的稳定性与实际生活紧密联系，体会研究三角形稳定性的必要性．

（二）动手操作，形成新知

问题2 动手做一做：将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？（2）将四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？（3）在四边形的木架上再钉一根木条，将它的一对顶点连接起来，然后扭动它，它的形状会改变吗？ 师生活动：学生通过动手操作，独立思考在小组中讨论，汇报自己的发现，学生之间互相补充，老师对有困难的小组加以引导，一起概括出三角形的稳定性实质应是“三角形三边的长确定了，其形状和大小就确定了；四边形四边的长确定了，其形状还会发生改变”．

【设计意图】学生动手操作，动脑思考，通过互帮互学的形式明确三角形具有稳定性以及四边形具有不稳定性．

（三）辨析概念，应用巩固

问题3 三角形的稳定性在生活中有广泛的应用，你能举出一些例子吗？

师生活动：学生举例，老师加以肯定，师生共同分析得出三角形的稳定性在我们的身边处处都存在．

追问1： 四边形的不稳定性是我们常常需要克服的，那么四边形的不稳定性在生活中有没有应用价值呢？如果有，你能举出实例吗？ 师生活动：学生独立思考，然后分组交流，并对错例进行展示，师生共同分析错误的原因．明确四边形的不稳定性的应用．

追问2：一天数学小博士听到三角形和四边形在一起争论：具有稳定性好，还是没有稳定性好，且听它们是怎么说的： 三角形：“具有稳定性的我最好，因为我牢固，不易变形，所以我最受欢迎，不像你四边形，你没有坚定的立场！” 四边形：“灵活性强，可伸可缩，我的这些优点比起你三角形那呆板、简单、一成不变的形式不知有多优越！” 三角形：“我广泛应用于人类的生产生活中，如三角尺、钢架桥、起重机、屋顶的钢架，我的用途大！” 四边形：“我的用途广，像活动衣架、放缩尺、活动铁门等，人类的生活因为我而丰富多彩！” 假如你是数学小博士，你会如何来调解它们的争论？

师生活动：学生小组讨论交流，然后由小组长汇报结果，老师加以适当的补充．师生共同概括，加深对本节内容的认识．

【设计意图】学生用所学的知识解释生活和生产中的现象，进一步体会三角形的稳定性和四边性的不稳定性的作用，感悟数学的价值，体会成功的喜悦．

（四）综合运用，巩固提高 练习1 造房子的屋顶常用三角架，从数学角度来看，是应用了______________，而活动接架则应用了四边形的_______________．

（五）【设计意图】进一步辨析三角形具有稳定性．

练习2 完成教科书第7页的练习，并对不具稳定性的图形，适当地添加线段，使之具有稳定性．

（六）【设计意图】设计有一定坡度的题目，考查学生的灵活运用的能力，开阔学生的视野，训练学生的思维．

（五）总结反思，梳理新知 师生共同回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题．（1）本节课你学习了什么的数学知识？

（2）你有哪些收获？你有什么困惑？ 师生活动：教师引导，学生小结．

【设计意图】学生共同总结，教学相长，再一次突出本节课的学习重点．

（六）布置作业：

篇7：三角形具有稳定性的原因是什么

1.确定一个平面要且只要一条直线(又：2点确定一条直线)与在该直线外的任意一点，即3点可以确定一个平面(3点同时又构成三角形)，也就是说，一个三角形在且只能在一个平面中，所以三角形是稳定的.。

2.关键在于边的数量，使得3条边中任意1条边都与其他2条有且只有1个交点，若其中一条边变化则其他2条边都会相应变化，且变化有唯一性。

三角形的性质

1.在平面上三角形的外角和等于360° (外角和定理)。

2.在平面上三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和。推论：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。

3.一个三角形的三个内角中最少有两个锐角。

4.在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。

篇8：三角形的稳定性

一、缘起:什么是“三角形的稳定性”

一次公开课, 一位教师让学生拿出课前做好的三角形和平行四边形框架, 用手拉一拉。

师:有什么发现?

生:三角形拉拉不会动, 平行四边形一拉就变形了。

师:对, 三角形的这种特性, 叫作“稳定性”。

一生举手, 师:你还有什么补充?

该生拿出一块七巧板中的平行四边形举在手中:老师, 这个平行四边形拉拉也不会变形!

师:……

类似这样的教学“意外”时常出现, 如还有学生质疑:老师, 我把这个四边形铁丝框架的四个角焊住, 它拉拉也不变形, 也是稳定的!这些“意外”渐渐引发了教师的关注和反思——到底什么是“三角形的稳定性”?以下为中学两个版本教材对“三角形稳定性”的描述。

显然, 三角形的稳定性就其外在活动表征是“拉拉不会动”, 内在含义是“形状和大小不会发生改变”, 更进一步的数学实质则是“三角形三边长度确定, 其形状和大小是唯一确定的”, 或者说“三边长度相同的三角形, 其大小和形状是完全一样的 (即全等) ”。因此, 这就带来几点启示:1.教学三角形稳定性或平行四边形不稳定性要从关注“拉拉会不会动”转向“形状是否发生改变”;2.要设计合适的活动帮助学生体验形状的变化与否, 进而体验稳定性。

二、突破:三角形的稳定性实质是“形状唯一性”

许多教师为实现这种认知突破作了尝试, 以下即为特级教师沈百军的教学片段。

教师出示两组长度相等的小棒 (带磁性) :

教师利用第一组小棒在黑板上首尾相连搭出一个三角形 (见下左图) 。

师:你能用另外一组小棒首尾相连搭出一个和老师不一样的三角形吗?

个别学生犹疑, 多数学生都跃跃欲试:能!

师请一个学生上黑板, 学生搭出了如上右图的三角形。

教师将学生所搭三角形旋转后移至教师所搭三角形旁边, 师:有什么发现?

生:这两个三角形是一模一样的!

师:看来, 同样长度的两组小棒所搭出的三角形形状、大小是完全一样的, 也就是说, 三角形的三边长度确定后, 三角形的形状就不会发生变化了, 这叫作三角形的稳定性。

很显然, 沈老师的教学就是基于对三角形的稳定性实质不是“拉拉不会动”而是“形状唯一性”的认识展开的。设计的巧妙之处在于, 为抽象的稳定性找到了一个具象的载体, 同时又利用磁条教具创设了一个激发学生参与的有效情境。在某些教学中, 当某个学生搭建三角形经教师旋转后发现形状是一样的, 还会有学生不确信, 教师可以继续请学生尝试, 最后发现, 无论怎么搭建, 要么直接旋转后即与原图一致, 要么先翻转再旋转, 形状还是一致的。 (注:因学生此时还未学图形的放大与缩小, 因此本文的形状一致, 即指形状、大小完全相等。)

三、升华:对三角形稳定性实质的进一步探索

今年上半年, 又有教师在沈老师基础上做出了更进一步的探索。以下即为教学中的一个片段。

教师发给每位学生同等规格的三根小棒 (如6cm、8cm、10cm) , 师:请同学们用这三根小棒首尾相连组成一个三角形。 (此小棒都带扣钮, 直接组装即可)

教师拿出一根长长的竹签走向学生:请同学们把你们做的三角形全部套到老师的竹签上来。 (教师观察, 如发现有的学生三角形方向不一致, 提醒学生翻个面)

教师对全部三角形进行简单的拨弄、整理, 所有三角形组成了一个中空的三棱柱!

全体学生:哇!

师:你们哇什么?

生:我发现这些三角形组成了一个形体, 不过我叫不来它的名字。

生:我发现我们所有人的三角形形状是一模一样的!

师:怎样的小棒才能搭出一模一样的三角形?

生:只要每组小棒的长度是一样的, 它们所搭出的三角形就是一样的。

师:是的, 只要三角形的三边长度一定, 所搭出的三角形的形状就是一样的, 这就是三角形的稳定性。

此教学片段和沈老师的教学片段最大的区别在于“样本”的扩张, 从2个到数十个, 这样的变化可以起到以下作用。1.可以让学生更确认结果。在2个样本的情况下, 还是会有部分学生心中存有疑问:只有一两个学生上去搭了一下, 是否真能说明问题?可不可能确实存在不一样的三角形, 只不过上去的学生没搭出来?而当样本达到几十个的时候, 就学生而言, 大容量素材足以支撑学生认知从“量变”走向“质变”。2.可以对学生产生更强烈的感官、认知刺激。在教师未整理之前, 在绝大多数学生潜意识中会认为, 大家搭出的三角形肯定会有不一样, 所以当结果呈现在学生眼前时, 带给学生的认知冲突是非常强烈的, 有利于激发学生对问题的深入思考。

四、回归:学生对三角形稳定性的不同理解

就三角形稳定性教学而言, 目前为止, 笔者所了解的“精彩”设计也就止于此。但长期以来, 笔者总觉得“三角形稳定性”的教学存在问题。于是, 笔者想到了学生, 也许他们能带来教学的启示, 学生对此问题究竟是怎样认识的?笔者选择了不同层次的学生进行了访谈。 (这些学生现为五年级, 在四下时已学过三角形稳定性, 而且当时数学老师也采用类似沈老师的方式引导学生进行过学习) 以下即为不同层次学生的典型理解。

(一) 对优等生理解情况的访谈过程

师:你记不记得三角形具有什么特性?

生:稳定性。

师:你觉得什么叫稳定性?

生:就是三角形拉拉不会动, 形状不会变。

师出示两组同等规格的小棒, 用其中一组搭出一个三角形, 问:你能用另一组小棒首尾相连搭出一个和老师不一样的三角形吗?

生思考片刻:不能, 搭出来后转一转还是一样的。 (也有的优生先动手搭, 搭完后自行旋转, 说明还是一样的)

师:这说明什么?

生:说明两组一样长的小棒搭出的三角形形状是一样的。

师:你觉得它和稳定性有关系吗?

生:有。

师:有什么关系?

(接着学生的解释均是模棱两可的)

(二) 对中等生理解情况的访谈过程

师:你记不记得三角形具有什么特性?

生:稳定性。

师:你觉得什么叫稳定性?

生:就是三角形拉拉不会动, 平行四边形一拉就变形了。

和前面类似操作, 问学生能否用另一组小棒首尾相连搭出一个和老师不一样的三角形。

生操作旋转后确认不能。

师:这说明什么?

学生能大致说明同样长的小棒搭出来的三角形是一样的, 但语言表述不太流畅、准确。

师:你觉得它和稳定性有关系吗?

生:好像有。

师:有什么关系?

生:第一个三角形是稳定的, 第二个三角形也是稳定的。

(三) 对后进生理解情况的访谈过程

师:你记不记得三角形具有什么特性?

生想了想:忘记了。

师:你觉得什么叫三角形的稳定性?

生:就是三角形拉拉不会动。

和前面类似操作, 问学生能否用另一组小棒首尾相连搭出一个和老师不一样的三角形。

一部分学生说能, 也有部分学生表示不确定, 而是在操作旋转后确认两个三角形一样。

师:这说明什么?

生:说不来。

师:你觉得它和稳定性有关系吗?

多数学生认为不清楚。也有部分学生说可能有关系但说不来。

虽然上述学生在四年级学习“三角形稳定性”时, 教师已经通过两组同等规格的小棒进行过操作活动, 引导学生从“同等规格的两组小棒, 所搭出的三角形形状是一样的”角度来理解三角形的稳定性。但如果静下心来分析上述不同层次学生的思维, 可以发现, 学习结束一段时间以后, 再对积淀在学生头脑中的对三角形稳定性的认识进行跟踪, 情况远非所想。对于优等生或者中等生而言, 知道三角形有稳定性, 并将稳定性主要理解为拉拉不会动或拉拉不变形, 对于操作活动的理解直觉上认为和稳定性有关, 但要么说不清两者关系, 要么认为稳定性就是这两个一样的三角形拉拉都不变形, 都具有稳定性。对于后进生而言, 很多学生都已经忘记三角形的稳定性这一特性, 对稳定性的解释基本停留在拉拉 (压压) 不变形, 至于操作实验与稳定性之间的关系, 则完全不能建立联系。因此, 就有必要进一步叩问以下几个问题。

1. 学生为什么难理解?

这里所谓的难理解, 主要是指学生很难将“三角形的稳定性”和“三角形的形状一致性 (同样规格的几组小棒, 所搭出的三角形大小形状一样) ”之间取得沟通。在很多教学中, 在学生操作三角形和平行四边形学具后, 教师让学生用自己的话说说它们的特性, 多数孩子会说:平行四边形一拉“容易变形”, 三角形“不容易变形”, 也有学生会说平行四边形“不牢固”, 三角形很“牢固”。很显然, 学生理解稳定性是从操作活动的外显表征出发的, 而且还要借助“外力”——手的推拉活动促进理解。因此, 对于学生而言“三角形具有不易变形的特性”比“三角形具有稳定性”更好理解。而前文所提到的利用“形状一致性”来理解三角形稳定性, 其实已经脱离开实际的推拉操作活动, 而是要借助形状的一致性来理解三角形的稳定性, 这对学生而言, 思维水平显著提高。

此外, 从访谈中等生的一句话中也会有所启发:第一个三角形是稳定的, 第二个三角形也是稳定的。显然, 在学生心目中, 三角形的稳定性和两个或多个三角形的一致性并没有太多关系, 它是存在于每一个独立三角形内部的特性。这让笔者想起了儿童形成空间观念的心理特点中提到的一条——关系比要素更难理解。比如, 儿童知道什么是平行四边形、长方形、正方形等的特征, 但让其用集合图描述各类四边形关系时就非常困难。类似地, 用拉一拉的方法理解三角形稳定性侧重的是要素角度, 而形状一致性角度理解则既要关注多个三角形之间的关系, 还要理解形状一致性和稳定性之间的关系, 因此难度是非常高的。

2. 学生需要理解到什么程度?

通过上述关于学生难点的分析, 笔者逐步有了明晰的答案。一方面, 利用形状一致性来理解三角形稳定性, 对于多数小学生来说是比较难的。另一方面, 三角形稳定性内容将在初中数学中进一步学习, 而且在初中的学习时仍然要借助“推拉是否变形”来理解。北师大版初中数学教参是这样定位的:“教学中可以引导学生先进行操作, 在实践中体会三角形的这个特殊性质, 再鼓励学生思考三角形为什么具有稳定性, 逐步树立推理的意识。” (注:此处的推理意识主要是要与“三边相等三角形全等沟通”。) 因此, 在小学阶段无需过高要求。第三, 从此知识点的意义来说, 小学阶段主要定位于了解其特性及其在生活中的应用, 与小学阶段后续学习没有很强的关联性。此外, 就“稳定性”和“不易变形”两个词语本身而言, 后一个更直接揭示三角形特性, 而且初中学习时对于全等的研究就是形状不变 (一致性) 。

因此, 笔者认为, 此内容的教学应该这样定位:首先, 教稳定性更应该突出关注从“不易变形”角度理解。第二, 应该侧重通过推拉三角形和平行四边形学具体验其是否容易变形, 个别班级基础整体较好的, 可以尝试通过三角形形状一致性角度提升理解三角形的稳定性。