随机过程课论文

随机过程课论文（共8篇）

篇1：随机过程课论文

应用随机过程学习总结

一、预备知识：概率论

随机过程属于概率论的动态部分，即随机变量随时间不断发展变化的过程，它以概率论作为主要的基础知识。

1、概率空间方面，主要掌握sigma代数和可测空间，在随机过程中由总体样本空间所构成的集合族。符号解释： sup表示上确界，inf表示下确界。本帖隐藏的内容

2、数字特征、矩母函数与特征函数：随机变量完全由其概率分布来描述。其中由于概率分布较难确定，因此通常计算随机变量的数字特征来估算分布总体，而矩母函数和特征函数便用于随机变量的N阶矩计算，同时唯一的决定概率分布。

3、独立性和条件期望：独立随机变量和的分布通常由卷积来表示，对于同为分布函数的两个函数，卷积可以交换顺序，同时满足结合律和分配率。条件期望中，最重要的是理解并记忆E(X)= E[E(X|Y)] = intergral(E(X|Y=y))dFY(y)。

二、随机过程基本概念和类型

随机过程是概率空间上的一族随机变量。因为研究随机过程主要是研究其统计规律性，由Kolmogorov定理可知，随机过程的有限维分布族是随机过程概率特征的完整描述。同样，随机过程的有限维分布也通过某些数值特征来描述。

1、平稳过程，通常研究宽平稳过程：如果X(t1)和X(t2)的自协方差函数r(t1,t2)=r(0,t-s)均成立，即随机过程X(t)的协方差函数r(t,s)只与时间差t-s有关，r(t)= r(-t)记为宽平稳随机过程。

因为一条随机序列仅仅是随机过程的一次观察，那么遍历性问题便是希望将随即过程的均值和自协方差从这一条样本路径中估计出来，因此宽平稳序列只需满足其均值遍历性原理和协方差遍历性原理即可。

2、独立增量过程：若X[Tn]– X[T(n-1)]对任意n均相互独立，则称X(t)是独立增量过程。若独立增量过程的特征函数具有可乘性，则其必为平稳增量过程。

兼有独立增量和平稳增量的过程称为平稳独立增量过程，其均值函数一定是时间t的线性函数。

3、随机过程的分类不是绝对的。例如，泊松过程既具有独立增量又有平稳增量，既是连续时间的马尔科夫链，又是一类特殊的更新过程。参数为lambda的泊松过程减去其均值函数同时还是一个鞅。

三、泊松过程

计数过程｛N(t), t>=0｝是参数为λ的泊松过程（λ> 0），具有平稳独立增量性。而其任意时间长度t发生的次数服从均值为λ* t的泊松分布，即E[N(t)]= λ* t。

1、与泊松过程有关的若干分布：Xn表示第n次与第n-1次事件发生的时间间隔，定义Tn表示第n次事件发生的时刻，规定T0= 0。其中，Xn服从参数为λ的指数分布，且相互独立。泊松过程在任何时候都是重新开始。Tn服从参数为n和λ的Γ分布

四、更新过程

更新过程{N(t),t>=0}中Xn仍保持独立同分布性，但分布任意，不再局限于指数分布。更新过程中事件发生一次叫做一次更新，此时Xn就是第n-1次和第n次更新相距的时间，Tn是第n次更新发生的时刻，而N(t)就是t时刻之前发生的总的更新次数。

由强大数定理可知，无穷多次更新只可能在无限长的时间内发生。因此，有限长时间内最多只能发生有限次更新。

1、更新函数：更新理论中大部分内容都是有关E[N(t)]的性质。以M(t)记为E[N(t)]，称为更新函数。此时，M(t)是关于t的函数而不是随机变量。

2、更 新方程：若H(t)，F(t)为已知，且当t<0时，H(t)与F(t)均为0，同时当H(t)在任何区间上有界时，称具有如下形式的方程K(t)= H(t)+ intergral(K(t-s)*dF(s))的方程称为更新方程。当H(t)为有界函数时，更新方程存在唯一的有限区间内的有界的解K(t)= H(t)+ intergral(H(t-s)*dM(s))。

3、更新定理：Feller初等定理、Blackwell更新定理、关键更新定理。其中Blackwell定理指出，在远离原点的某长度为a的区间内，更新次数的期望是a/u，u = E(Xn)。同时，Smith关键更新定理与Blackwell定理等价。

五、马尔科夫链 马 尔科夫链中的转移概率为条件概率，同时给定过去的状态X0，„，Xn-1和现在的状态Xn，将来的状态Xn+1的条件分布与过去的状态独立，只依赖于现在 的状态。其中，Pij = P{Xn+1=j | Xn=i}为马尔科夫链的一步转移概率，它代表处于状态i的过程下一步转移到状态j的概率。

当转移概率Pij只与状态i，j有关而与n无关时，称为时齐马尔科夫链，同时当状态有限时，称为有限链。转移概率矩阵中概率非负，同时随机矩阵中每一行的元素和为1。

记Pij(n)为n步转移概率，它指系统从状态i经过n步后转移到状态j的概率，而对中间n-1步转移经过的状态无要求。对n步转移概率和转移矩阵，有C-K方程公式。

1.状态的分类和性质：如果状态i经过n步转移后到达j的概率大于0，称状态i可达状态j。若同时状态j可达状态i，则称i与j互通，两两互通的状态有传递 性。我们将互通的各个状态归为一类，自己和自己互通，当一个马尔科夫链中只有一类时称为不可约类，否则则是可约类。

如果状态i可以经过n步回到i状态，则将所有n的最大公约数记为状态i的周期，即d(i)，如果d>1，则称i是周期的，如果d=1则为非周期，空集时为无穷大。同属于一类的两状态周期相同。

记 状态i出发经n步后首次到达j的概率为Fij(n)，则所有可能n的概率Fij(n)加起来的和记为Fij。若Fij=1，i为常返状态，Fij< 1，i为非常返状态或瞬时状态。对于常返状态i，记Ui为从i第一次回到i的期望步长，若Ui有限，称i为正常返状态，若趋于无穷大，则为零常返状态。若 正常返状态i同时还是非周期的，则称之为遍历状态。若遍历状态且Fii(1)=1，则称为吸收状态，此时Ui=1。

对于同属于一类的状态i，j，他们同为常返状态或非常返状态，并且当他们是常返状态时，又同为正常返状态或零常返状态。状态i至j的n步转移概率与首达概率间存在一定关系。同时若i与j互通且i为常返状态，则Fji = 1。2.极限定理及平稳分布：马尔科夫链的极限情况即状态i经过无穷多步转移后到达i的概率是多少。有结论，若状态i是周期为d的常返状态，则Pii(nd)= d/Ui，即经过无穷多步后回到i的概率为常数，上述定理对Pij也有效。同时，不可约的有限马尔科夫链是正常返的。

若 对于马尔科夫链Pj = P(Xn = j)= sum(Pi*Pij)，则概率分布Pj为平稳分布。因为此时，对于任意Xn均有相同的分布。同时，对于遍历的马尔科夫链，极限分布就是平稳分布并且还是 唯一的平稳分布。极限分布即为很长时间后，无论最开始状态如何，最终达到某一状态的概率。若对于遍历的马尔科夫链，该概率是稳定的趋于常数。

3.连续时间马尔科夫链、Kolmogorov微分方程

六、鞅

鞅 的定义是从条件期望出发，如果每次赌博的输赢机会是均等的，并且赌博策略依赖于前面的赌博结果，赌博是“公平的”。因此，任何赌博者都不可能通过改变赌博 策略将公平的赌博变成有利于的赌博。如果将“鞅”描述的是“公平”的赌博，下鞅和上鞅分别描述了“有利”赌博与“不利”赌博。

随机过程｛Sn, n>=0｝称为Fn=sigma{X0,X1,„,Xn}适应的，如果对任意n>=0，Sn是Fn可测的，即Sn可以表示为X0,X1,X2,„,Xn的函数

1.鞅的停时定理：任意随机函数T是关于{Xn，n>=0}的停时，即{T=n}应由n时刻及其之前的信息完全确定，而不需要也无法借助将来的情况，同时T必须是一个停时。同时，{T<=n}和{T>=n}也由n时刻及其之前的信息完全确定。若T和S是两个停时，则 T+S，min{T,S}和max{T,S}也是停时。

则在一直Fn完全信息的前提下，有界停时的期望赌本与初始赌本相同。特别的，当完全信息未知时，有界停时的期望赌本与初始赌本的期望相同。

2.鞅的一致可积性：如果对任意ε>0，存在δ>0，使得对任意A，当P(A)<δ时，有E(|Xn|Ia)<ε对任意n成立。一致可积条件一般较难验证，因此存在两个一致可积的充分条件。

3.鞅的收敛定理：在很一般的情况下，鞅｛Mn｝会收敛到一个随机变量。即对于｛Mn, n>=0｝是关于｛Xn, n>=0｝的鞅，并且存在常数C有限，使得E(|Mn|)

七、布朗运动

若B(0)=0，{B(t),t>=0}有平稳独立增量，对每个t>0，B(t)服从正态分布N(0, t)称之为标准布朗运动。布朗运动的二次变差[B,B](t)= t。

布 朗运动是满足以下三点性质的随即过程，即对于B(t)-B(s)~ N(0,t-s)，B(t)-B(s)服从均值为0，方差为t-s的正态分布。当s=0时，B(t)-B(0)~N(0,t)。并且，对任意0& lt;=s=0)是t的连续函 数。由于布朗运动在有限维分布是空间平移不变的空间齐次性，只需研究始于0的布朗运动即可。

1.高斯过程：有限维分布是多元正态分布的随机过程。布朗运动是一种特殊的高斯过程，即B(t)的任何有限维分布都是正态的。2.｛B(t)｝是鞅，｛B(t)^2t｝也是鞅，则｛X(t)｝是布朗运动。

3.布朗运动｛B(t)｝具有马尔科夫性，容易得到B(t+s)在给定条件Ft=sigma(B(0),B(1),„,B(t))下的分布与在给定条件 B(t)下的分布是一致的。同时由布朗运动具有时齐性，即分布不随时间的平移而变化可知，布朗运动的所有有限维分布都是时齐的。

4.布朗运动的最大值变量及反正弦率：即求始于y点的布朗运动在区间(a,b)中至少有一个零点的概率为布朗运动的反正弦率。

5.几何布朗运动X(t)= exp｛B(t)｝为几何布朗运动。在金融市场中，人们经常假定股票价格是按照几何布朗运动而发生变化。

八、随机积分

1.布朗运动的积分，Ito积分过程，Ito公式，随机微分方程 2.Black-Scholes模型

篇2：随机过程课论文

二．证明独立增量过程是马尔科夫过程。

三．某服务台从上午8时开始有无穷多人排队等候服务，设只有一名工作人员，每人接受服务的时间是独立的且服从均值为20min的指数分布。计算：

(1)到中午12时，有多少人离去？

(2)有9人接受服务的概率是多少？

四．设N(t)为泊松过程，构造随机过程如下：

Z(0)0，Z(t)=Yi

i1N(t)

其中｛Yi｝为独立同分布的随即变量序列，且与N(t)独立。已知Yi的特征函数为Y(u)，求：

(1)Z(t)的一阶特征函数

(2)求E[Z(t)], E[Z2(t)]和var[Z(t)]

五．设马尔科夫链的状态空间I=｛0,1,…｝中转移概率为pi,i11/2，pi01/2，i=0,1,2…，画出状态转移图并对状态分类。

六．设随机过程Z(t)Asin(21t2)，其中A是常数，1与2是相互独立的随机变量，1服从标准正态分布，2在[,]上均匀分布，证明：

(1)Z(t)是宽平稳过程

篇3：LTE随机接入过程研究

在移动通信系统中,网络端和UE进行通信时必须首先建立连接,以取得上行同步为目的的随机接入过程是建立连接的首要步骤。因此,随机接入过程将直接影响到系统的性能。

1 LTE随机接入简介

随机接入过程可以分为非同步随机接入过程(Non-Synchronized Random Access)、同步随机接入过程(Synchronized Random Access)。当UE尚未和网络端取得上行同步或者丢失了上行同步时,UE进行的随机接入过程称为非同步随机接入过程;当UE和网络端取得了上行同步而进行的随机接入过程,称为同步随机接入过程[1]。

UE进行非同步随机接入过程时,尚未取得精确的上行同步。所以,相比同步随机接入过程,非同步随机接入过程最显著的特征是要估计并调整UE上行发送时钟,使同步误差控制在一个CP(Circle Preamble)长度内。

3GPP LTE没有单独定义同步随机接入过程,本文所涉及的随机接入过程均指非同步随机接入过程。当UE处于以下情况时,将进行随机接入过程,以获取或恢复上行同步[2]:

1)从空闲状态向连接状态转换,例如初始随机接入或跟踪区域更新等;

2)当UE处于连接状态,但没有取得上行同步,需要发送上行数据或者控制信息,例如事件触发的测量报告、下行数据的反馈信息等;

3)当UE处于连接状态,从当前小区切换到目标小区;

4)链路连接失败,恢复链路连接。

网络端可以给UE分配专用的随机接入前导序列,以避免多个UE使用同一个随机接入前导序列来竞争随机接入,此过程称为非竞争模式随机接入。反正,由UE随机选择一个随机接入前导序列发起的随机接入,而有可能引发接入冲突,此过程称为竞争模式的随机接入。

2 竞争模式的随机接入过程

2.1 随机接入初始化

在随机接入初始化之前,UE通过解析小区广播的系统信息,RRC层向MAC层配置如下信息[4]:

1)一系列可用的PRACH资源。UE从中选择用于发送随机接入前导的时频资源;

2)随机接入前导组和各组中一系列随机接入前导;

3)随机接入响应窗口大小,UE在时间窗内接收RAR(Radom Access Respond,随机接入响应);

4)初始前导功率,UE初次发送随机接入前导的功率;

5)功率斜升参数,如果前一次随机接入前导发送失败,下一次发送时需增加的功率;

6)最大前导传输数目,允许发送随机接入前导的最大次数;

7)基于前导格式的功率偏移量;

8)最大Msg3 HARQ传输次数;

9)竞争解决定时器。

MAC层执行随机接入初始化过程,如下所示:

1)清空Msg3缓存;

2)前导传输次数计数器置为1;

3)UE中前导重传退避时间置为0 ms;

4)选择随机接入前导。

2.2 随机接入流程

基于竞争模式的随机接入过程由MAC层完成,其流程如图1所示。

(1)Step1:UE通过PRACH向e Node B发送随机接入前导(Msg1)。

系统信息中广播的随机接入前导被分为2个组,MAC层根据在step3中所需的资源大小,在相应的组中选择随机接入前导。用1bit的信息就可以指示不同接入目的所需的资源大小。

MAC层每传输一次前导序列时,通过UE测量的下行参考信号接收功率(RSRP)平均值来估计上行链路路损。MAC层根据路损向物理层设置前导发送功率(=初始前导功率+功率偏移量+(前导传输次数计数值-1)*功率斜升参数),以全额补偿前导发送的路损。

UE根据PRACH的时频资源,按下式计算出RA-RNTI:

式中t_id是所选的PRACH的第一个子帧的索引值(0≤t_id<10),f_id是在此子帧中的PRACH的频率索引(0≤f_id<6)。

物理层在分配的前导传输时频资源上,使用指示的发送功率,把“随机接入初始化”过程中MAC层选择的前导序列发往e Node B。

(2)Step2:e Node B通过PDSCH向UE发送随机接入响应RAR(Random Access Respond)(Msg2)。

包括随机前导序列ID、T-RNTI(Temporary Radio Network Temporary Identifier)、TA(Time Advance,时间提前量)、退避指示、资源分配等。

MAC层在系统信息广播的期望的“随机接入响应窗口”时间内接受RAR。

如果在该时间窗内没有接收到RAR,或者成功解码的RAR中随机前导序列ID和发送的随机接入前导序列不一致,RAR不成功。此时,MAC层把“前导传输次数计数器”加1,并重新选择一个前导序列,重新执行前导的传输过程step1。每重新执行一次前导传输,MAC层都会按照UE中指示的退避时间延迟重传前导序列,避免过多的接入碰撞。

如果UE成功接收到RAR,UE根据RA-RNTI解码PD-CCH,以获取PDSCH中的RAR信息,其中包含有前导序列ID、TC-RNTI等。如果成功解码RAR,并且RAR中的随机前导序列ID和发送的随机接入前导序列一致,则认为RAR成功。

如果多个UE在相同时频资源上发送了相同前导序列,则会发生接入碰撞,每一个UE都也可能接收到RAR,包含相同的TC-RNTI。由此进入到竞争解决过程step3、step4。

(3)Step3:UE通过PUSCH向e Node B发送L1L2消息(Msg3)。

包含RRC连接请求、跟踪区域更新、调度请求、step2中解码的T-RNTI、C-RNTI(如果存在)或者唯一的48bit UE标识(如果不存在C-RNTI)。

RAR成功的UE在step2中分配的时频资源上发送L1L2消息,时间提前量为RAR中解析出来的TA,发射功率=初始前导功率+功率偏移量+(前导传输次数计数值-1)*功率斜升参数,MAC层为发送的Msg3开启一个“竞争能解决定时器”。UE期望在竞争解决定时器超时之前接收到竞争解决消息(Msg4)。

在step1中发生接入冲突的UE,在相同的上行时频资源上发送L1L2消息,冲突仍然存在。如果UE不能在期望的时间内接收到网络端发送的竞争解决消息,MAC层将启动HARQ重传L1L2消息,每一次HARQ重传都将重置竞争解决定时器,直到达到最大的Msg3 HARQ传输次数,UE向高层报告竞争解决失败。

即使e Node B成功解码一个UE,其他的UE冲突仍然未解决,e Node B将在step4中快速解决竞争。

(4)Step4:e Node B通过PDSCH向UE发送竞争解决消息(Msg4)。

竞争解决消息是基于T-RNTI或者C-RNTI的。对于在step3中每一次前导的发送或重传,MAC层都会期望在竞争解决定时器超时之前接收到竞争解决消息。

如果UE接收到并正确解码竞争解决消息,且检测到属于自己的T-RNTI或者UE标识,竞争解决成功,该UE将向网络端传输HARQ反馈,同时将T-RNTI晋升为C-RNTI。

而其他没有接收到竞争解决消息,或者解码竞争解决消息失败,或者成功解码但是检测到不属于自己的T-RNTI或者UE标识的UE,竞争解决失败,UE不会发送HARQ反馈。此时,UE清空HARQ缓存,“前导传输次数计数器”加1,设置退避时间值,UE在和上一次同样的前导序列组中随机选择一个前导序列,然后重新执行前导传输step1。

3 非竞争模式随机接入过程

当UE要求较小时延的随机接入时,例如切换和重新使用上行链路,可以使用非竞争模式的随机接入过程,以快速和网络建立连接。此时,由网络端分配专用的随机接入前导序列,此后过程同竞争模式随机接入step1、step2。

非竞争模式的随机接入流程如图2所示。

4 结束语

随机接入过程是LTE移动通信系统中一个重要的过程,直接关系到系统性能。

基于竞争模式的随机接入过程的目的是取得上行同步,接入时间较长,是和网络端建立连接必不可少的步骤。基于非竞争模式的随机接入过程适用于已经取得了上行同步的情况,以快速建立数据交互为目的,对时延要求较高。

参考文献

[1]沈嘉,索士强,全海洋.3GPP长期演进(LTE)技术原理与系统设计[M].北京:人民邮电出版社,2008.

[2]Stefania Sesia,Issam Toufik,Matthew Baker.LTE-The UMTS Long Term Evolution:From Theory to Practice[M].John Wiley&Sons,Ltd.2009.

[3]3GPP TS36.211V8.8.03rd Generation Partnership Pro-ject;Technical Specification Group Radio Access Net-work;Evolved Universal Terrestrial Radio Access(E-UTRA);Physical Channels and Modulation.[S/OL].(2009-12-09).[2010-01-09].http://www.3gpp.org.

篇4：经历活动过程感受随机思想

五年级上册第四单元《可能性》的例2、例3是属于“统计与概率”领域的教学内容，主要是通过实际活动（摸球游戏）使学生能列出简单的随机现象中所有可能发生的结果，感受随机现象结果发生的可能性是有大有小的，能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述，这是学生学习后续概率知识的基础，因此在教学中我们加强对随机思想的理解，以实现概率素养的初步培养。

1. 相同的游戏，不同的感受

整节课安排了两次摸球游戏，但目标指向是不相同的，第一次师生摸球游戏活动，重在激发学生的学习兴趣和探究欲望，让学生在读懂三个统计表的数据中发现和提出问题，在分析交流中初步感受随机事件发生的统计规律性，并知道事件发生的可能性是有大小之分。第二次学生合作完成摸球游戏活动，提供了活动的現实情境，呈现了小组统计的数据，使学生感知和理解在试验次数足够多的时候，“摸到绿球”这一随机事件的大量出现，就呈现出统计的规律性，利用这种规律性可以作出合理的推测。这两次活动，使课堂趣味盎然，学生乐此不彼，从正反两个方面感受概率的意义。

2. 学会数学思考，会用数据说话

课程标准指出：课程的设计应“充分考虑本阶段学生数学学习的特点，符合学生的认知规律和年龄特点，有利于激发学生的学习兴趣，引发学生的数学思考”。数据分析是统计的核心，在可能性知识的学习中利用数据分析来体会随机性，学会站在概率的角度去分析和解决问题，有利于培养学生的随机思维，从而培养和发展数据分析观念。反思第二次摸球活动，老师设计了一连串的问题链：“根据统计结果猜测袋子里是蓝球多还是绿球多”“9个小组的同学猜测袋子里可能是绿球多，有2个小组的同学猜测袋子里可能是蓝球和绿球同样多，各派代表说说你们的想法”“现在再让你推测：袋子里是蓝球多还是绿球多？为什么”，这组问题串，使学生多次进行思维的碰撞，深度进行数学思考，从对小样本数据（小组统计结果）到大样本数据（全班统计的结果）的收集、观察、整理、分析、思考与交流中，积累了数学活动的经验，逐步丰富了学习过程的体验，增强了随机思想的理解，进一步体会概率的内在价值。

3. 遵守规则，理解随机性

在《可能性大小》的教学中，教师在两次游戏活动中都设计了具体的操作步骤或要求，例如在第一次活动中要闭上眼睛摸球，在第二次小组活动中要求摇匀再摸，这样对游戏活动方法的具体细致的指导，明确遵守游戏活动的规则重要性，这样才能更好地体验在基本相同条件下随机现象中数据的随机性。课本练习十一第11题“把10张卡片放入纸袋，随意摸一张，要使摸出述数字‘1的可能性最大，数字‘5的可能性最小，卡片上可以是什么数字？请你填一填。”

就是让学生活用知识，结合对随机思想的理解进行开放性设计的练习，学生进行设计时就要按规则办事，在摸索中得出结论：只要保证方格填写的数字“1”的卡片数量最多，数字“5”的卡片数量最少就可以了，这样充分利用开放题，让学生经历思考、设计、归纳等过程，能更加深刻地理解事件发生的可能性的大小，更好地体会数据的随机性，感受随机思想。

（本文是广东省教育科研“十二五”规划课题《培养小学生“数据分析观念”的课堂教学研究》（课题批准号：2014YQJK022）成果之一。有删改。）

篇5：随机环境中分枝过程的等价定理

随机环境中分枝过程的等价定理

给定了随机环境中分枝过程(BPRE)的精确定义,讨论了有关的可测性问题和BPRE的.基本性质.在此基础上,证明了BPRE的一个等价定理.

作 者：胡杨利 杨向群 李应求 HU YANGLI YANG XIANGQUN LI YINGQIUa  作者单位：胡杨利,李应求,HU YANGLI,LI YINGQIUa(长沙理工大学数学与计算科学学院,长沙,410077)

杨向群,YANG XIANGQUN(湖南师范大学数学与计算机科学学院,长沙,410081)

刊 名：应用数学学报  ISTIC PKU英文刊名：ACTA MATHEMATICAE APPLICATAE SINICA 年，卷(期)： 30(3) 分类号：O211.65 关键词：随机环境   分枝过程   可测性   等价性  

篇6：随机过程课论文

随机过程的预测与相关性之间的关系

设随机过程X(t)的相关函数为RX()E[X(t)X(t)]0.8||/T，若已知X(t)某一样本函数在tT、t2T的值x(T)、x(2T)，预测x(3T)的值，采用最优线性预测，即：

ˆ(3T)ax(T)bx(2T)x最优准则为：minE{[X(3T)aX(T)bX(2T)]2}

a,bˆ(3T)。假设x(T)0.8、x(2T)0.5，求x讨论：若X(t)为正态随机过程，X1X(T)、X2X(2T)、X3X(3T)ˆ(3T)、minE{[X(3T)aX(T)bX(2T)]2}与条服从3维联合正态分布，则xa,b件概率密度分布函数fX3|X2X1(x3|x2,x1)的均值参数及方差参数的关系。

解：

g(a,b)minE{[X(3T)aX(T)bX(2T)]2}a,bminE{X2(3T)a2X2(T)b2X2(2T)a,b 2aX(3T)X(T)2bX(3T)X(2T)2abX(T)X(2T)}min{E[X2(3T)]a2E[X2(T)]b2E[X2(2T)]a,b

2aE[X(3T)X(T)]2bE[X(3T)X(2T)]2abE[X(T)X(2T)]}min{RX(0)a2RX(0)b2RX(0)2aRX(2T)2bRX(T)2abRX(T)}a,ba,bmin{1a2b21.28a1.6b1.6ab}联立方程g(a,b)g(a,b)0、0，求得：a0、b0.8。abˆ(3T)bx(2T)0.80.50.4 xminE{[X(3T)aX(T)bX(2T)]2}a,b

1020.821.2801.60.81.600.80.36RX()0，说明X(t)是零均值的。随机矢量[X1 X2 X3]T的协方差矩阵为 K3E{[X1 X2 X3]T[X1 X2 X3]}E[X1X1]E[X2X1]E[X3X1]0.8110.80.640.8E[X1X3]RX(0)RX(T)RX(2T)R(T) E[X2X2]E[X2X3]R(0)R(T)XXXE[X3X2]E[X3X3]RX(0)RX(2T)RX(T)0.640.81E[X1X2]X1、X2、X3的联合概率密度分布函数为

x111exp[x x x]Kx1233212322|K3|x31fX3X2X1(x3,x2,x1)

1222[0.36x0.5904x0.36x1123exp20.1296320.36 0.576xx0.576xx]1223K2E{[X1 X2]T[X1 X2]}E[X1X1]E[X1X2]RX(0)RX(T)10.8

R(T)R(0)0.81E[XX]E[XX]2122XXX1、X2的联合概率密度分布函数为 fX2X1(x2,x1)11x11exp[x x]K12212x222|K2|21

122exp[xx1.6xx1212220.3620.6条件概率密度函数

fX3|X2X1(x3|x2,x1)fX3X2X1(x3,x2,x1)fX2X1(x3,x2,x1)11exp(x30.8x2)2

20.620.36X1x1、X2x2已知情况下，X3的条件均值为0.8x2，概率密度函数在条ˆ30.8x2为最大似然估计，正态分布情况下，线件均值处取得最大值，因此，xˆ3的变化方差为0.36,即为最优线性性最优估计与最大似然估计等价，X3围绕x估计的精度minE{[X(3T)aX(T)bX(2T)]2}。

篇7：随机过程课论文

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（1）设{X(t),t0}是一个实的零均值二阶矩过程，其相关函数为E{X(s)X(t)}B(ts),st，且是一个周期为T的函数，即B(T)B(),0，求方差函数D[X(t)X(tT)]。

解：由定义，有：

D[X(t)X(tT)]D[X(t)]D[X(tT)]2E{[X(t)EX(t)][X(tT)EX(tT)]}B(0)B(0)2E{X(t)X(tT)}B(0)B(0)2B(T)0

（2）试证明：如果{X(t),t0}是一独立增量过程，且X(0)0，那么它必是一个马尔可夫过程。

证明：我们要证明：

0t1t2tn，有

P{X(tn)xnX(t1)x1,X(t2)x2,,X(tn1)xn1}P{X(tn)xX(tn1)xn1}形式上我们有：

P{X(tn)xnX(t1)x1,X(t2)x2,,X(tn1)xn1} P{X(tn)xn,X(t1)x1,X(t2)x2,,X(tn1)xn1}P{X(t1)x1,X(t2)x2,,X(tn1)xn1}P{X(tn)xn,X(t1)x1,X(t2)x2,,X(tn2)xn2X(tn1)xn1}P{X(t1)x1,X(t2)x2,,X(tn2)xn2X(tn1)xn1}

因此，我们只要能证明在已知X(tn1)xn1条件下，X(tn)与X(tj),j1,2,,n2相互独立即可。由独立增量过程的定义可知，当atjtn1tn,j1,2,,n2时，增量X(tj)X(0)与X(tn)X(tn1)相互独立，由于在条件X(tn1)xn1和X(0)0下，即有X(tj)与X(tn)xn1相互独立。由此可知，在X(tn1)xn1条件下，X(tn)与X(tj),j1,2,,n2相互独立，结果成立。

（3）设随机过程{Wt,t0}为零初值（W00）的、有平稳增量和独立增量的过程，且对每个t0，Wt~N(,2t)，问过程{Wt,t0}是否为正态过程，为什么？

解：任取0t1t2tn，则有：

Wtk[WtiWti1]k1,2,,n

i1k － 1 － 中科院研究生院2005～2006第一学期

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由平稳增量和独立增量性，可知WtiWti1~N(0,2(titi1))并且独立 因此(Wt1,Wt2Wt1,,WtnWtn1)是联合正态分布的，由

Wt1100Wt1WWWt2110t2t1 0Wt111WtWtnn1n可知是正态过程。

（4）设{Bt}为为零初值的标准布朗运动过程，问次过程的均方导数过程是否存在？并说明理由。

解：标准布朗运动的相关函数为：

RB(s,t)2min{s,t}

/如果标准布朗运动是均方可微的，则RB(t,t)存在，但是：

RB(tt,t)RB(t,t)0t0t

R(tt,t)R(t,t)/BBRB2(t,t)limt0t/RB(t,t)lim/故RB(t,t)不存在，因此标准布朗运动不是均方可微的。

（5）设Nt，t0是零初值、强度0的泊松过程。写出过程的转移函数，并问在均方意义下，YtNds,t0是否存在，为什么？

0st解：泊松过程的转移率矩阵为：

00Q000

20其相关函数为：RN(s,t)min{s,t}st，由于在t，RN(t,t)连续，故均方积分存在。

（6）在一计算系统中，每一循环具有误差的概率与先前一个循环是否有误差有关，以0表示误差状态，1表示无误差状态，设状态的一步转移矩阵为：

pP00p10

p010.750.25 p110.50.5－ 2 － 中科院研究生院2005～2006第一学期

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试说明相应齐次马氏链是遍历的，并求其极限分布（平稳分布）。

解：由遍历性定理可知此链是遍历的，极限分布为(2/3,1/3)。

（7）设齐次马氏链Xn,n0,S1,2,3,4,一步转移概率矩阵如下：

01/21/20001/21/2 P1/21/2001/21/200（a）写出切普曼－柯尔莫哥洛夫方程（C－K方程）；（b）求n步转移概率矩阵；

（c）试问此马氏链是平稳序列吗？ 为什么？

解：（a）略

（b）P(n)PnPn奇数 2Pn偶数（c）此链不具遍历性

（8）设Y(t)X(1)N(t),t0，其中{N(t);t0}为强度为0的Poission过程，随机变量X与此Poission过程独立，且有如下分布：

P{Xa}P{Xa}1/4,P{X0}1/2,a0

问：随机过程Y(t),t由于：E{Y(t)}0

0是否为平稳过程？请说明理由。

RY(t1,t2)EX2(1)N(t1)N(t2)EX2E(1)N(t1)N(t2)2a22N(t1)N(t2)N(t1)N(t2)N(t1)E(1)2a2E(1)N(t2)N(t1)N(t2)N(t1)nP{N(t2)N(t1)n}2n0a2E(1)

a22[(t2t1)]n(t2t1)a22(t2t1)a22(1)eeet2t1n!22n0n故{Y(t)}是平稳过程。

（9）设XtX2Yt,t0，其中X与Y独立，都服从N(0,)

（a）此过程是否是正态过程？说明理由。（b）求此过程的相关函数，并说明过程是否平稳。

证明：（a）任取 nN,0t1t2tn，则有： － 3 － 中科院研究生院2005～2006第一学期

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Xt1X2Yt112t1XX2Yt12tt222X YXtX2Yt12tnnn由于X与Y独立，且都服从N(0,2)，因此可得X机向量 Xt1Y服从正态分布，由上式可知随Xt2Xtn服从正态（高斯）分布，所以过程XtX2Yt,t0是

正态（高斯）过程。（b）由：

E{Xt}E{X}2tE{Y}0

RX(t1,t2)E{Xt1Xt2}E{[X2t1Y][X2t2Y]}E{X2}2(t1t2)E{XY}4t1t2E{Y2}E{X2}2(t1t2)E{X}E{Y}4t1t2E{Y2}24t1t22由于相关函数不是时间差的函数，因此此过程不是平稳过程。（10）设Nt，t0是零初值、强度1的泊松过程。

（a）求它的概率转移函数p(s,t,i,j)P{NtjNsi}；（b）令XtNtt,t0，说明Y

Xdt存在，并求它的二阶矩。

0t1[(ts)]ji(ts)解：（a）p(s,t,i,j)P{NtjNsi} e(ji)!（b）先求相关函数：

RX(t,s)E{(Ntt)(Nss)}min{t,s}2stst(12)

对任意的t，在(t,t)处RX(t,t)连续，故Xt均方连续，因此均方可积，Y21E{Y}EXtdtE021111 Xdt存在。

0t1XdtXdsEXXdtds0t0s00ts

1100RX(t,s)dtds将RX(t,s)代入计算积分即可。

由1，得：

RX(t,s)E{(Ntt)(Nss)}min{t,s}2stst(12)min{t,s}

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211111E{Y}EXtdtEXtdtXsdsEXtXsdtds000002110t13

 1100RX(t,s)dtds1100min{t,s}dtdsdttdsdtsds001t（11）设一口袋中装有三种颜色（红、黄、白）的小球，其数量分别为3、4、3。现在不断地随机逐一摸球，有放回，且视摸出球地颜色计分：红、黄、白分别计1、0、-1分。第一次摸球之前没有积分。以Yn表示第n次取出球后的累计积分，n0,1,（a）Yn，n0,1,是否齐次马氏链？说明理由。

（b）如果不是马氏链，写出它的有穷维分布函数族；如果是，写出它的一步转移概率pij和两步转移概率pij(2)。

（c）令0min{n;Yn0,n0}，求P{05}。

解：（a）是齐次马氏链。由于目前的积分只与最近一次取球后的积分有关，因此此链具有马氏性且是齐次的。状态空间为：S{,2,1,0,1,2,}。

（b）pijP{Yn10.3,0.4,jYni}0.3,0,ji1ji

ji1其他0.32,20.30.4,ji2ji1pij(2)P{Yn2Yni}0.4220.32,ji

20.30.4,ji10.32,0,ji2其他

（c）即求首达概率，注意画状态转移图。

P{05}2[30.340.40.320.43]0.03096

（12）考察两个谐波随机信号X(t)和Y(t)，其中：

X(t)Acos(ct),Y(t)Bcos(ct)

式中A和c为正的常数；是,内均匀分布的随机变量，B是标准正态分布的随机变量。

（a）求X(t)的均值、方差和相关函数；

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（b）若与B独立，求X(t)与Y(t)的互相关函数。

解：（a）E{X(t)}0

A2A2RXX(t1,t2)E{X(t1)X(t2)}cost1t2，D{X(t)}

22（b）RXY(t1,t2)E{X(t1)Y(t2)}0

（13）令谐波随机信号：X(t)Acos(ct), 式中c为固定的实数；是0,2内均匀分布的随机变量，考察两种情况：（a）幅值A为一固定的正实数；

（b）幅值A为一与独立，分布密度函数为

a2ea2/(22),a0的随机变量；

试问谐波随机信号在两种情况下是平稳的吗？

（a）如12题（b）略

（14）设{N(t);t0}是一强度为的Poission过程，记X(t)dN(t)，试求随机过dt程X(t)的均值和相关函数。

解：利用导数过程相关函数与原过程相关函数的关系即可得：

mX(t)mX(t)(t)/ /2RX(t,s)2RX(t,s)(2stmin{s,t})2(ts)

tsts

（15）研究下列随机过程的均方连续性，均方可导性和均方可积性。当均方可导时，试求均方导数过程的均值函数和相关函数。

（a）X(t)AtB，其中A,B是相互独立的二阶矩随机变量，均值为a,b，方差为1,2；

（b）X(t)AtBtC，其中A,B,C是相互独立的二阶矩随机变量，均值为

22a,b,c，方差为12,2。,3222略

（16）求下列随机过程的均值函数和相关函数，从而判定其均方连续性和均方可微性。

（a）X(t)tW,t0，其中W(t)是参数为1的Wienner过程。（b）X(t)W(t),t0,其中W(t)是参数为的Wienner过程。

－ 6 － 221t中科院研究生院2005～2006第一学期

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解：（a）mX(t)E{tW()}tE{W()}0

1t1t111111RX(s,t)E{sW()tW()}stE{W()W()}stmin{,}2min{s,t}

stststRX(t,t)2t 连续，故均方连续，均方可积。

（b）mX(t)E{W2(t)}DW(t)[EW(t)]22t

R(s,t)4s(ts)34s2 均方连续，均方可积。

（17）讨论Wienner过程和Poission过程的均方连续性、均方可导性和均方可积性。

解：略。

（18）设有平稳随机过程X(t)，它的相关函数为RX()2e，其中,为常数，求Y(t)a解：略。

（19）设有实平稳随机过程X(t)，它的均值为零，相关函数为RX()，若

22dX(t)（a为常数）的自协方差函数和方差函数。dtY(t)X(s)ds，求Y(t)的自协方差函数和方差函数。

0t解：mY0

CY(s,t)RY(s,t)dvRX(uv)du

00stDY(t)dvRX(uv)du4(tx)RX(x)dx

000ttt

（20）设N1(t),t0和N2(t),t0是参数分别为1和2的时齐Poission过程，证明在N1(t)的任一到达时间间隔内，N2(t)恰有k个事件发生的概率为：

2pk12121k,k0,1,2,

证明：令X为N1(t)的任一到达时间间隔并且X~Ex(1)，即X的分布密度为：

1e1t,t0 fX(t)t00,由此可知：

－ 7 － 中科院研究生院2005～2006第一学期

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pkP{N2(t)k,t[0,X)}P{N02(t)kXt}1e1tdtk(2t)2t1t1eedt1k!120

2,k0,1,2,21

（21）设随机振幅、随机相位正弦波过程XtVsin(t),t0，其中随机变量V和相互独立，且有分布：

110~U[0,2],V~1/41/21/4

令： Yt1,如Xt2/20,反之,t0

试求过程Yt,t0的均值函数。

解：由定义，随机过程{Y(t);t0}的均值函数为：

Y(t)E{Y(t)}1P{Y(t)1}0P{Y(t)0}P{Y(t)1}PX(t)2/2而



PX(t)2/2PVsin(t)2/2P(1)sin(t)2/2P{V1}P0sin(t)2/2P{V0}P(1)sin(t)2/2P{V1}111Psin(t)2/2Psin(t)2/2Psin(t)2/2222

由于当~U(0,2)时，随机变量(t)sin(t)的分布密度为：

1,1x1 f(t)(x)1x2其它0,因此有：

PX(t)2/2即：

Y(t)

1 41 4（22）设有一泊松过程{N(t),t0}，固定两时刻s,t，且st，试证明

－ 8 － 中科院研究生院2005～2006第一学期

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knksP(N(s)kN(t)n)Ctkns1t,k0,1,2,,n

证明：由于st，有

PN(s)k/N(t)nPN(s)k,N(t)nPN(t)n

PN(s)kP{N(ts)nk}PN(t)n其中

(s)ks((ts))nk(ts)PN(s)kP{N(ts)nk}eek!(nk)!(t)ntPN(t)ne

n!所以

(s)ks((ts))nk(ts)eek!(nk)!PN(s)k/N(t)n(t)nte n!sk(ts)nkn!kskCnk!(nk)!ttnkt

（23）设B(t),t0为零均值的标准布朗运动，a和b为两个待定的正常数（a1），问在什么情况下{aB(bt)}仍为标准的布朗运动？说明理由。

解：由B(t),t0为标准布朗运动可知B(t),t0为正态过程，由正态分布的性质可知

ks1tnk{aB(bt)}为正态过程，令Y(t)ˆaB(bt)，则有

RY(t,s)E{Y(t)Y(s)}a2E{B(bt)B(bs)}a2min{bt,bs}a2bmin{t,s}

因此，要使{aB(bt)}仍为标准的布朗运动，必须ab1，即：

2a1b,b0

（24）设有无穷多只袋子，各装有红球r只，黑球b只及白球w只。今从第1个袋子随机取一球，放入第2个袋子，再从第2个袋子随机取一球，放入第3个袋子，如此继续。令

1,当第k次取出红球Rk,k1,2,

0,反之（a）试求Rk的分布；

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（b）试证{Rk}为马氏链，并求一步转移概率。

解：（a）Rk的分布为：

RkP（b）Rk的一步转移概率为：

1rrbw0bw rbwr1Prbw1rrbw1

bwrbw1 bw1rbw1（25）设有随机过程(t)Xt2Y,t，X与Y是相互独立的正态随机变量，期望均为0，方差分别为X和Y。证明过程(t)均方可导，并求(t)导过程的相关函数。

证明：计算得：E{(t)}t2E{X}E{Y}0

2222 R(t,s)E{[Xt2Y][Xs2Y]}XtsY2

2由于相关函数的导数为：

R(t,s)R(t,s)ts24Xts

它是一连续函数，因此过程(t)均方可导，(t)导过程的相关函数由上式给出。（26）设{Bt;t0}是初值为零标准布朗运动过程，试求它的概率转移密度函数p(s,t,x,y)ˆfBtBs(yx)。

解：由标准维纳过程的定理：设{W0(t);t0}为标准维纳过程，则对任意0t1t2tn，(W0(t1),W0(t2),,W0(tn))的联合分布密度为：

g(x1,x2,,xn;t1,t2,,tn)p(xixi1;titi1)

i1n其中：

1x2p(x;t)exp{}

2t2t可知：当st时，(Bs,Bt)的联合分布密度为：

fBsBt(x,y)x2(yx)21expexp 2s2s2(ts)2(ts)1－ 10 － 中科院研究生院2005～2006第一学期

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Bs的分布密度为：

fBs(x)因此

x2exp 2s2s1p(s,t,x,y)ˆfBtBs(yx)

（27）设有微分方程3fBsBt(x,y)fBs(x)(yx)2exp

2(ts)2(ts)1dX(t)2X(t)W0(t)，初值X(0)X0为常数，W0(t)是标准dt维纳过程，求随机过程X(t)在t时刻的一维概率密度。

解：方程的解：

X(t)X0e03dut2t11tsduW0(s)e03dsX0e3e3W0(s)ds 0330tt222由于W0(t)为维纳过程，故X(t)为正态过程，因此有：

E{X(t)}E{X0e2t3t1t3seW0(s)ds}X0e3ˆX(t)30221t3s2D{X(t)}E{[X(t)E{X(t)}]}E{[eW0(s)ds}]2}30ssstt1tt3s31t3333eemin{s,t}dsd[dseeddseesd]

00s90090tt12323[2te9e6t9](t)ˆX24222222222故X(t)的一维概率密度为：

f(x,t)12X(t)e(xX(t))22X(t)

（28）设给定随机过程{X(t),tT}及实数x，定义随机过程

1,X(t)xY(t)0,X(t)xtT

试将Y(t)的均值函数和自相关函数用过程X(t)的一维和二维分布函数来表示。

解：由均值函数的定义，有：

E{(t)}1P{(t)1}0P{(t)0}P{(t)0}P{(t)x}F(x,t)

由自相关函数的定义，有：

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随机过程讲稿

孙应飞

R(t1,t2)E{(t1)(t2)}11P{(t1)1,(t2)1}10P{(t1)1,(t2)0}01P{(t1)0,(t2)1}00P{(t1)0,(t2)0}P{(t1)1,(t2)1}P{(t1)x,(t2)y}F(x,y;t1,t2)（29）设{X(t),t}是一个零均值的平稳过程，而且不恒等于一个随机变量，问{X(t)X(0),t}是否仍为平稳过程，为什么？ 不是平稳过程

（30）设X(t)为平稳过程，其自相关函数RX()是以T0为周期的函数，证明：X(t)是周期为T0的平稳过程。

证明：由于

E{X(t)X(t)}0

D{X(t)X(t)}E{[X(t)X(t)]2}2[RX(0)RX()]

由切比雪夫不等式有：

P{X(t)X(t)}D{X(t)X(t)}222[RX(0)RX()]

由相关函数的周期性，可知：对于0，有：

P{X(tT0)X(t)}0

因此

PX(tT0)X(t)1

即X(t)是周期为T0的平稳过程。

篇8：渡槽安全度随机过程预测

关键词：渡槽,预测,安全度

0 引言

渡槽结构的特殊性和工作条件的复杂性,决定了渡槽工作性态是一个复杂的系统体系,受地质条件以及实际工程等因素的综合影响,这些因素既有确定性,又有随机性、时变性、模糊性等不确定特征,因此全面而准确地得出渡槽工作性态安全度至关重要。通过相关的渡槽评估方法,并采用渡槽评估指标度量方法将诸多评估指标规格化,参照渡槽评估的等级标准,可以得到渡槽工作性态整体安全度。本文将马尔可夫过程引入渡槽工作性态综合指标评估中,对其工作性态的整体安全度进行预测。

1 模糊马尔可夫链基本原理

建筑工程领域的安全度问题中运用马尔可夫过程进行预测是一个有效的方法。本文通过实例介绍运用马尔可夫链对渡槽的安全度进行预测。马尔可夫链是一种特殊的随机过程,它的基本原理是:按照某系统的发展,时间可离散为n=1,2,3…,对每个系统的状态可用随机变量表示,并且对应一定的概率,称为状态概率。当系统由某一阶段状态转移到另一阶段状态时,在这个转移过程中存在着转移的概率称为转移概率。如果转移概率只与目前相邻两状态的变化有关,即下阶段的状态只与现在状态有关而与过去无关,那么这种离散状态按照离散时间的随机转移系统过程称为马尔可夫过程。

马尔可夫过程的数学表述如下:设某系统每个阶段含有S1,S2,…,Sn,n个可能状态:

该系统的初始阶段状态记为向量π(0),系统第i个阶段的状态向量记为π(i),两相邻系统由现有状态Si变到Sj的状态转移概率为Pij(1<i<n,1<j<n),由Pij构成的矩阵称为系统状态转移矩阵,记为马尔可夫链。有限个马尔可夫过程的整体称为马尔可夫链[1,2]。

用马尔可夫链进行安全度预测,最基本的步骤是:

1)构造状态并确定相应的状态概率;

2)建立状态转移概率矩阵;

3)运用转移矩阵进行初步安全度预测进行预测,并对现有工程进行加固改造进行决策[3,4]。

2 工程实例

2.1 工程简介

以辽河上游某渡槽的工作性态综合评估分析为例,验证上述方法的合理性和有效性。为及时、准确地掌握渡槽的工作状况,以该坝1993年～2008年的工作性态综合评估指标为样本(见图1),预测渡槽2009年的整体安全度。

2.2 模糊状态划分

根据国内外专家经验和常用的分级标准,依据评估指标规格化的取值范围和取值原则,按综合评价指标所得的安全度数值高低设定渡槽综合评估等级为5级,即正常(E1)、基本正常(E2)、轻度异常(E3)、异常(E4)、险情(E5)。

2.3 建立状态转移概率矩阵

根据各时段安全度数值所处的状态,生成不同步长的马尔可夫链状态转移概率矩阵,步长为1,2,3,4,5的转移概率矩阵分别为:

2.4 判断安全度状态

根据2004年～2008年安全度及其相应的状态转移概率矩阵,对2009年的整体安全度进行了预测,结果见表1。表1中步长表示资料数据所在年份与预测值所在年份的时间间隔,各步长与相应的状态转移矩阵对应。由表1可知:状态2的概率最大,因此预测2009年该渡槽工作性态状态基本正常(E2对应的结果),对应的渡槽工作性态评价指标范围为0.42～0.63。实际计算得出渡槽综合评价指标为0.59,可见预测结果与实际情况相符合。

参考文献

[1]茆诗松,王静龙.高等数理统计[M].北京:高等教育出版社,2006.

[2]周荫清.随机过程理论[M].第2版.北京:电子工业出版社,2006.

[3]冯耀龙,韩文秀.权马尔可夫链在河流丰枯状况预测中的应用[J].系统工程理论与实践,1999(10):89-93.