三角形中的角

三角形中的角（精选三篇）

三角形中的角 篇1

虽然角点没有明确的数学定义, 但人们普遍认为角点是二维图像亮度变化剧烈的点或图像边缘曲线上曲率极大值的点[1]。目前, 角点检测方法主要分为基于图像边缘的方法[2]和基于图像灰度的方法[3]2类。前者在很大程度上依赖于图像的分割和边缘的提取, 算法复杂, 计算量大;后者主要通过计算点的曲率及梯度来检测角点, 算法简单, 计算量小。Harris角点检测方法是一种直接基于灰度图像的角点提取算法, 具有较高的鲁棒性, 能够在图像旋转、灰度变化以及噪声干扰等情况下准确提取出角点, 应用广泛[4]。但该方法需要人为设定一个阈值, 且精度只能达到像素级。为此, 本文提出一种改进的Harris角点检测方法, 实现了阈值自动设定, 并把精度提高到亚像素级。

1 Harris角点检测算法

Harris角点检测算法的基本思想是[5]:在图像中设计一个局部检测窗口, 当该窗口沿各个方向做微小移动时, 考察窗口的平均能量变化。当该能量变化超过设定的阈值时, 就将窗口中的中心像素点提取为角点。

对于一幅图像I, 假设X, Y分别为其行向量和列向量的一阶差分。定义:$h(x,y)=\frac{1}{2\text{π}}\text{e}{}^{-\frac{x{}^2+y{}^2}{2}}(1)$为一阶高斯平滑函数, 令:I${}_u^2$ (x, y) =X2*h (x, y) , I${}_v^2$ (x, y) =Y2*h (x, y)

Iuv (x, y) =XY*h (x, y) (2) 进而可得:

$\mathit{{\rm M}}(x,y)=\left[\begin{array}{cc}{\rm I}{}_u^2(x,y)& {\rm I}{}_{uv}(x,y)\\ {\rm I}{}_{uv}(x,y)& {\rm I}{}_v^2(x,y)\end{array}\right](3)$

那么, 窗口能量变化可以由下面的公式求出:R=det (M) -k·tr2 (M) (4) 式中:R是窗口能量的变化值;det (M) 是矩阵M的行列式;tr (M) 是矩阵M的轨迹;k为与检测灵敏度有关的经验值, k越小, 则检测越灵敏, 一般k取0～0.04。Harris角点从R的局部极大值点中产生, 至于R取多大才能作为角点, 这就需要人为设定一个阈值T, 而T的取值依赖于图像的属性。特别是颜色深浅不同, 难以确定, 使得用户在设定具体阈值时比较盲目, 只能多次设定比较后才能获得相对理想的角点[6]。另外, 往往特征值较大的点只集中在某些区域, 这样可能导致检测出的角点分布不均匀;如果降低T, 尽管角点分布总体上趋于均匀和合理, 但将导致角点紧挨在一起, 产生角点聚簇的现象。这些都将影响后续的分析和处理。

2 改进的Harris角点检测算法

本文算法首先采用图像分块和邻近角点剔除的策略[7], 避免阈值的设置, 并保证角点分布的均匀和避免角点聚簇的产生。然后, 结合Forstner检测算法将精度提高到亚像素级。

2.1 自动设定阀值

在角点筛选前, 先对图像进行分块, 这样能保证角点分布均匀。在图像分块时, 为避免存在大面积越界分块, 同时保证对较大图像进行处理时, 有同样的效果, 采用固定块数的分块法, 而非固定单位边长的方法。对于图像块中被检测出的角点, 将其按R值的大小排序, 保留R值相对较大的角点。至此, 在图像各个区域中特征明显的角点均已被检测出, 实现了角点分布的均匀性。但此时, 可能在一个角点很邻近的周围还存在其他角点, 即在局部的区域可能会出现角点聚簇的现象, 这可能导致在特征点匹配处理时误匹配几率显著增加。因此, 必须采用一定的策略减弱或消除这种现象。在实现角点的均匀分布之后, 再加入邻近点剔除策略, 具体方法是:选用一个模板 (如3×3) 对整幅图像进行处理, 若在该模板下存在不止一个角点, 则只保留其R值最大的角点, 以达到剔除邻近点的目的。实例计算表明, 该策略能较好地抑制角点聚簇现象的产生。至此, 完成了对整幅图像的角点检测。

该算法的具体实施过程是对图像中的每个像素点操作, 得到矩阵M, 利用高斯滤波求出新的M, 再计算R值。在图像分块中, 对每一图像块, 检测图像块中存在的角点, 将检测出的角点R值存储在数组R[N]中。其中, N为数组的大小, 即角点的个数。然后, 对R[N]按R值的大小进行排序, 假设排序 (本文选择按从大到小排序) 后的数组为R′[N]。选取数组R′[N]中R值相对较大的角点作为最终的角点, 即在N个角点中选取λ×N ( λ∈ (0, 1]) 个角点作为最终的角点。为了保证各分块中均有角点被保留, 本文采用循环迭代算法对λ值进行求解:在 (0, 1) 内取一较小的值作为λ的初始值 (本文取λ=0.02) , 用λ=λ+step进行循环迭代 (本文取step=0.02) , 以判断λ值。若λ=1, 终止迭代;否则, 判断含有角点的各图像块中是否有角点被保留, 如果是, 则终止迭代, 取此时的λ值。最后, 对整幅图像进行邻近角点剔除操作。本文选用3×3 的操作模板, 若模板下存在的角点数大于1, 则只保留R值最大的角点。

2.2 提高角点定位精度

Harris 检测算法编程实现起来简单, 只需对图像进行一阶差分和卷积运算, 这些都是图像处理中的基础算法, 但是精度只能达到像素级。Forstner 检测算法可以提高定位精度, 但受图像灰度和对比度的变化影响较大。Forstner 检测算法的基本思想是[8]: 对于角点, 对最佳窗口内通过每个像元的边缘直线 (垂直于梯度方向) 进行加权中心化, 得到角点的定位坐标;对于圆点, 对最佳窗口内通过每个像元的梯度直线进行加权中心化, 得到圆心的坐标。

本文将2种方法结合, 以提高角点定位精度。具体方法是:首先利用改进的Harris 角点检测算法提取出一定数量的特征点, 这些特征点都是图像局部范围内最优的特征点, 每个特征点对应于一个具体的像素, 因为它的精度只能达到像素级;然后将提取的特征点作为Forstner最佳窗口的中心点, 在窗口内进行加权中心化操作, 精确定位特征点的位置, 将精度提高到亚像素级别。

3 实验结果分析

为了验证该方法的准确性、稳定性, 这里采用VC++ 2005编制了计算程序。在白天和夜晚两种不同光照条件下进行角点检测实验。实验采用7×7的黑白棋盘格, 对中间的36个角点进行检测。实验过程中将实验用棋盘格变换成多个不同的方位进行角点检测, 图1为实验效果图。可以看出, 本文的方法在不同的光照条件下和不同的方位都能稳定准确地提取角点。

为了验证角点定位的精度, 选用5个坐标已知的角点进行实验。分别采用Harris方法和本文的方法进行角点定位 (单位:像素) , 结果见表1。由表1数据可知, 本文的方法能显著提高角点的定位精度。

4 结 语

本文对Harris角点检测算法进行改进, 采用图像分块和邻近角点剔除策略, 避免了阈值的设置, 并保证角点分布的均匀和避免角点聚簇的产生。结合Forstner检测算法, 将角点检测精度提高到亚像素级。对实际图像进行了角点检测实验, 结果验证了本文方法的准确性和稳定性, 对双目视觉系统的研究具有较强的实用价值。

参考文献

[1]赵文彬, 张艳宁.角点检测技术综述[J].计算机应用研究, 2006 (10) :17-19.

[2]QUDDUS A, FAHMY M M.An improved wavele basedcorner detection technique[C]//Proceedings of IEEE Inter-national Conference on Acoustics, Speech and Signal Pro-cessing.USA:[s.n.], 1999:87-89.

[3]HARRIS C G, STEPHENS M J.A combined corner andedge detector[C]//Proceedings Fourth Alvey Vision Con-ference.Manchester:[s.n.], 2001:147-151.

[4]王玉珠, 杨丹, 张小琪, 等.基于B样条的改进型Harris角点检测算法[J].计算机应用研究, 2007 (2) :192-193.

[5]HEN S, HU W C.A rotationally invariant two-phasescheme for corner detection[J].Pattern Recognition, 2006, 29 (5) :819-828.

[6]Zun Ga O A, HARALICK R.M.Corner detection usingthe facet model[C]//Proc.of Conf.Computer Vision andPattern Recognition.Washington:[s.n.], 2003:30-37.

[7]赵万金, 龚声蓉, 刘纯平.一种自适应的Harris角点检测算法[J].计算机工程, 2008, 34 (10) :212-217.

三角形的角平分线 篇2

1、理解三角形的内外角平分线定理；

2、会证明三角形的内外角平分线定理；

3、通过对定理的证明，学习几何证明方法和作辅助线的方法；

4、培养逻辑思维能力。

教学重点：

1、几何证明中的证法分析；

2、添加辅助线的方法。

教学难点：

如何添加有用的辅助线。

教学关键：

抓住相似三角形的判定和性质进行教学。

教学方法：

“四段式”教学法，即读、议、讲、练。

一、阅读课本，注意问题

1、复习旧知识，回答下列问题

①在等腰三角形中，怎样从等边得出等角？又怎样从等角得出等边？请画图说明。

②辅助线的作法中，除了过两个点连接一条线段外，最常见的就是过某个已知点作某条已知直线的平行线。平行线有哪些性质？

③怎样判断两个三角形是相似的？相似三角形最基本的性质是什么？

④几何证明中怎样构造有用的相似三角形？

2、阅读课本，弄清楚教材的内容，并注意教材上是怎样讲的。

提示：课本上在这一节讲了三角形的内外角平分线定理，每个定理各讲了一种证明方法。为了叙述定理的需要，课本上还讲了线段的内分点和外分点两个概念。最后用一个例题来说明怎样运用三角形的内外角平分线定理。阅读时要注意课本上有关问题的叙述、分析以及作辅助线的方法。通过适当的联想和猜测，找出一些课本上尚未出现的新的证明方法。

a

b

c

d

3、注意下列问题：

⑴如图，等腰中，顶角的平分线交底边于，那么，图中出现的相等线段是，，即，。通过比较得到。

a

b

c

d

⑵如果上面问题中的换成任意三角形，即右图的，平分，交于，那么，是不是还成立？请同学们用刻度尺量一量线段的长度，计算，然后再比较（小的误差忽略不计）。

⑶三角形的内角平分线定理说的是什么意思？课本上是怎样写已知、求证的？

⑷课本上是怎样进行分析、证明的？都用了哪些学过的知识？证明的根据是什么？

⑸课本上证明的过程中是怎样作辅助线的？这样作辅助线的目的是什么？

⑹过三点能不能作出有用的辅助线？如果能，辅助线应该怎样作？各能作出几条？

⑺就作出的辅助线，怎样寻找证明的思路和方法？分析的过程中用到了哪些知识？

⑻你能不能类似地叙述三角形的外角平分线定理？

⑼回答练习中的第一题。

⑽总结证明方法和作辅助线的方法。

⑾注意内分点和外分点两个概念及其应用。

4、阅读指导丛书《平面几何》第二册。

⑴注意辅助线中平行线的作法，通过对图、、的观察分析，找出解决问题的证明方法。

⑵丛书利用正弦定理中的面积公式来证明三角形的内角平分线定理，既把有关的知识联系起来、拓展了解题思路，又为我们提供了一种比较简单的解决问题的方法，值得我们借鉴。要注意三角形面积的几种不同的计算方法。

二、互相讨论，解答疑点

1、上面提出的问题，希望大家独立思考、独立完成。根据已有的思路和线索，参照课本上的方法进行分析。

2、思考中实在是有困难的同学，可以和周围的同学互相讨论，发表看法；也可以请老师帮助、提示或指点。

3、把同学之间讨论的.结果，整理成一个完整的证明过程，写出每一步证明的根据。最后，适当地总结一些解题的经验和方法。

三、讲评纠正，整理内容

1、把学生讨论的结果归纳出来，加以补充说明，纠正错误后进行适当的分类总结，点明证题法中的要点。

①证明比例式的依据是平行截割定理的推论，因此，我们作的辅助线都是平行线。

a

b

c

d

②从上述几种证明方法可以看出，证明的关键在于通过作辅助线把某些线段“移动”到适当的位置，以便根据平行截割定理的推论得出所要的结论。

③辅助平行线的作法，只能是过、、三点分别作不过三点的边（线段）的平行线，和另一条边（线段）的延长线相交，构成一个等腰三角形，达到“移动”的目的。

2、整理教学内容

⑴线段的内分点和外分点

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①在线段上，把线段分成两条线段的点叫做这条线段的内分点。

②在线段的延长线上的点叫做这条线段的外分点。

（）举例

点在线段上，把线段分成了和两条线段，所以，点是线段的内分点，线段和叫

a

b

c

d

做点内分线段所得的两条线段。

点在线段的延长线上，和、两个端点构成了、两条线段，所以，点是线段的外分点，线段和叫做点外分线段所得的两条线段。

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①内分点的条件：a）在已知线段上；

b）把已知线段分成另外两条线段。

②外分点a）在已知线段的延长线上；

b）和已知线段的两端点构成另外的两条线段。

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a）线段的中点是不是线段的内分点？内分点是不是线段的中点？

b）线段的黄金分割点是不是线段的内分点？内分点是不是线段的黄金分割点？

等腰三角形中的角与周长 篇3

例1（2007年•陕西）如图1所示，∠ABC＝50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E.连接EC，则∠AEC的大小是_____．

解析：因为BE平分∠ABC，所以∠EBC=1/2∠ABC=25°.又AD垂直平分BC，所以EB=EC，所以∠C=∠EBC=25°.所以∠AEC=∠EDC+∠C=90°+25°=115°.

点评：本题综合考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质.若连接AC，易知△ABC为等腰三角形.∠AEC=∠AEB，在△ABE中也可算出结果.

例2（2007年•岳阳）已知△ABC中，AB=AC，∠B=60°，则∠A=_____.

解析：略.

例3（2007年•宁波）如图2，在△ABC中，AB=AC.CD平分∠ACB交AB于D点.AE∥DC交BC的延长线于点E.已知∠E=36°，则∠B=_____．

解析：因为AE∥DC，所以∠DCB=∠E=36°.因为CD平分∠ACB，所以∠ACB=2∠DCB=72°.又因为AB=AC，所以∠B=∠ACB=72°.

点评：△ACE也是一个等腰三角形.角平分线与平行线结合，往往出现等腰三角形.

例4（2007年•江西）如图3，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD=80°.AB=AD=DC.则∠C=_____．

解析：因为AB=AD，∠BAD=80°，所以∠ADB=∠B=1/2（180°-80°）=50°.又因为AD=DC，所以∠C=∠CAD=1/2∠ADB=25°.

点评：本题综合考查了等腰三角形底角相等的性质以及三角形外角的性质.要注意等腰三角形的外角α与不相邻的内角β间的关系：α=2β或α+β=180°或180°+β=2α.它们可以互相表示.

例5（2006年•武汉）如图4，在△ABC中，AB的中垂线DE交AC于F，垂足为D.若AC=6，BC=4，求△BCF的周长.

解析：因为DE垂直平分AB，所以FA=FB，所以△BCF的周长=BC+AC=4+6=10.

点评：本题利用线段垂直平分线的性质将△BCF的周长转化为BC+AC.这种转化技巧常常用到.

例6（2007年•安顺）如果等腰三角形的两边长分别为4和7，则三角形的周长为_____．

解析：因为已知的两边长没有确定是腰长还是底边长，故需分两种情况求解：当4为腰长时，第三边长为4，周长为4+4+7=15；当4为底边长时，第三边长为7，周长为4+7+7=18.综上可知，三角形的周长为15或18.