焦点三角形

2024-06-18

焦点三角形（精选三篇）

焦点三角形篇1

在圆锥曲线中,焦点三角形的面积,椭圆周角是非常重要的几何量,与其相关的问题在历年高考中经常出现.在解决有关焦点三角形问题中, 如果能巧妙地应用焦点三角形的面积公式与性质,就可以避免大量的推理和运算,使实际问题得到完美解决, 从而节省解题时间. 本文仅以椭圆焦点三角形为例,就这方面进行初步探究.

定义:在圆锥曲线中,P是椭圆上异于长轴两端点的任意一点,F1、F2是椭圆的两个焦点,我们称三角形 ∠F1PF2为椭圆周角,△F1PF2为焦点三角形.

椭圆焦点三角形的面积公式:

证明:由余弦定理知,在三角形△F1PF2中

性质1:如图1,设椭圆长轴的两个端点为A1,A2,短轴两个端点为B1,B2,当点P从B2沿椭圆第一象限部分运动到点A2的过程中,θ递减.

∴当点P从B2沿椭圆第一象限部分运动到点A2的过程中,θ 递减.

推论:根据椭圆对称性,可以得出结论.当点P在短轴顶点B1或B2的位置时,θ取得最大值,此时

例1: 椭圆的两个焦点为F1、F2, 点P为其上的动点,当∠F1PF2为钝角时,点P的横坐标的取值范围为 _________

解析:不少同学习惯用余弦定理解不等式求解,但运算量比较大,容易产生错误.

根据性质1椭圆周角单调性可知:当∠F1PF2=90°,顶点P的横坐标之间的坐标值就是题目所求值.

性质2:P是椭圆上任意一点 ,F1、F2是椭圆的两个焦点,设

证明:由椭圆焦点三角形的面积公式和三角形面积公式

解析:由性质2易求

性质3:P是椭圆上任意一点 ,F1、F2是椭圆的两个焦点,设

证明:由基本不等式可知

例3:已知F1、F2是椭圆的两个焦点 , 椭圆上一点P使得∠F1PF2=90°,则椭圆的离心率e存在的范围是 _________.

性质4:P是椭圆上任意一点 ,F1、F2是椭圆的两个焦点,I为△F1PF2S的内心,如果|PI|=λ,则

证明:设三角形△FPF的内切圆半径为r,

由椭圆焦点三角形的面积公式和三角形面积公式

例4:椭圆的两个焦点为F1、F2,点M为其上的动点 ,当的内心为I,则|MI|cosθ= _________.

解析:由性质4易知

焦点三角形篇2

一、焦点三角形的两个特点

1. 焦点三角形的一边长为焦距，另两边长的和（差）为长轴（实轴）长.

这一特点实际上就是圆锥曲线的定义.

例1已知某双曲线的两个焦点为F1（-5，0），F2（5，0），点P为该双曲线上的点.若PF1·PF2=0，|PF1|·|PF2|=2，求该双曲线的方程.

解析设该双曲线的方程为x2a-y2b=1(a,b＞0),焦距为2c，且设|PF1|=m,|PF2|=n.

根据题意，2c=|F1F2|=25，∠F1PF=90°,得m2+n2=20.又mn=|PF1|·|PF2|=2,所以2a=|m-n|=m2+n2-2mn=4.所以b2=c2-a2=(5)2-22=1，故所求双曲线的方程为x24-y2=1.

变式1点P是双曲线x24-y2=1上的点，F1,F2是该双曲线的左、右焦点，PF1交y轴于M，且M为PF1的中点，则|PF1|是|PF2|的几倍？

略解由PM=F1M，F2O=F1O，知OM∥PF2.又O为原点，M在y轴上，所以PF2⊥x轴.故点P为5，±12，故|PF1|是|PF2|的9倍.

变式2点P在双曲线x2a2-y2b2=1(a,b＞0)上，F1，F2为该双曲线的左、右焦点,且∠PF1F2=30°,PF2⊥x轴,求该双曲线的渐近线方程.

解析求渐近线方程即寻求a,b之间的关系，准确地说就是求ba的值.由题设，通过解Rt△PF1F2便可得到.

设该双曲线的焦距为2c.由题意，

在Rt△PF1F2中，∠PF2F1=90°,∠PF1F2=30°,|F1F2|=2c，

所以|PF1|=433c,|PF2|=233c.

所以2a=||PF1|-|PF2||=233c,即a=33c.

又由a2+b2=c2,得b=63c.

故该双曲线的渐近线方程为y=±2x.

2. 随着在圆锥曲线上的顶点的运动，焦点三角形中该顶点对应的角的大小发生着变化.

对于这一特点，应明确（设P为椭圆上的动点，F1，F2为椭圆的焦点）：① 如点P运动到短轴端点B1时，∠F1PF2恰为直角，则在椭圆上满足PF1⊥PF2的点P的个数是2；② 如点P运动到短轴端点B1时，∠F1PF2为钝角，则在椭圆上满足PF1⊥PF2的点P的个数是4；③ 如点P运动到短轴端点B1时，∠F1PF2为锐角，则在椭圆上满足PF1⊥PF2的点P的个数是0.

因此，要求在椭圆上满足PF1⊥PF2的点P的个数，只需判断∠F1B1F2的大小.

例2F1，F2是椭圆C：x28+y24=1的焦点，在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为多少？

解析设椭圆C的短半轴长为b，半焦距为c，则b=c=2,可知点P运动到短轴端点时，∠F1PF2恰为直角.故在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为2.

变式1F1，F2是椭圆C：x29+y24=1的焦点，点P为椭圆C上的点，求满足PF1⊥PF2的点P的个数.

答案4.

说明同学们可自己动手，求出满足题意的点P的坐标，并指出这些点之间的对称关系，然后再直接指出使∠F1PF2为钝角的点P的横坐标的取值范围.

变式2椭圆C的方程为x29+y24=1，F1,F2为椭圆C的焦点,点P为椭圆C上的点，△PF1F2为直角三角形，且|PF1|＞|PF2|,求PF1PF2的值.

答案PF2⊥x轴（即F1F2）时，PF1PF2=72；PF1⊥PF2时，PF1PF2=2.

说明受变式1中PF1⊥PF2的影响，本题很容易漏解，同学们要特别注意.

二、关于焦点三角形的综合应用问题

1. 焦点三角形形状的判定及周长、面积等的计算

例3椭圆x216+y212=1上一点P到其焦点F1，F2的距离之差为2，试判断△PF1F2的形状.

解析由椭圆的第一定义，知|PF1|+|PF2|=8.由题意，不妨设|PF1|-|PF2|=2.所以PF1=5，|PF2|=3.

又|F1F2|=216-12=4，于是有|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2，故△PF1F2为直角三角形.

说明这里充分利用了椭圆的定义和已知条件，并发挥联想.

例4椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)上的一点M对两焦点F1,F2的张角∠F1MF2=α,求证：△F1MF2的面积为b2tanα2.

证明设|MF1|=r1,|MF2|=r2,则由椭圆的第一定义,有r1+r2=2a.

又|F1F2|=2a2-b2，则在△F1MF2中，由余弦定理，有

4（a2-b2)=r21+r22-2r1r2cosα=(r1+r2)2-2r1r2(1+cosα)=4a2- 2r1r2(1+cosα),

所以r1r2=2b21+cosα.

故S△F1MF2=12r1r2sinα=b2sinα1+cosα=b2tanα2.

说明这里充分利用了圆锥曲线的定义、余弦定理和三角形面积公式.请同学们

思考：当点M在什么位置时，△F1MF2的面积最大？最大值是多少？

同学们还可以证明如下结论：α=arccos2b2r1r2-1；且当r1=r2，即M为短轴端点时，α最大，αmax=arccos2b2a2-1.

2. 有关焦半径的计算

椭圆上任一点到任一个焦点的距离，都称为椭圆的焦半径（也是以该点为一个顶点的焦点三角形的一边长）.

例5如右图，椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点为F1（-c,0）,F2(c,0)，P(x0,y0)是

椭圆上的任意一点，e为椭圆的离心率.证明：|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0.

证明设点P到椭圆左、右准线的距离分别为d1,d2.由椭圆的第二定义,得

|PF1|d1=e，则|PF1|=ex0+a2c=a+ex0；|PF2|d2=e，则|PF2|=ea2c-x0=a-ex0.

例6已知椭圆C：x24+y23=1,F1,F2为其左、右焦点.问：能否在椭圆C上找到一点M，使M到左准线的距离|MN|是|MF1|与|MF2|的等比中项？若存在，求出该点坐标；若不存在，说明理由.

解析不存在.理由如下：

由题意，椭圆C的长半轴长a=2，短半轴长b=3，半焦距c=1.假设存在适合题意的点M,设M为（x0,y0），则|MN|=x0+a2c,|MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0.

所以|MN|2=|MF1||MF2|，即x0+a2c2=(a+ex0)(a-ex0)，也即x0=-a2b2c(a2+c2)=-125＜-2,这不可能，故不存在适合题意的点M.

说明对于存在探索性问题，应先回答其是否存在，再说明理由.

3. 有关离心率的计算

例7椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的两个焦点为

F1（-c,0）,F2(c,0)，离心率为e.证明：

（1）设∠F1PF2=θ,则cosθ≥1-2e2；

(2) 设∠PF1F2=α,∠PF2F1=β,则e=cosα+β2cosα-β2.

证明(1) 设|PF1|=r1，|PF2|=r2,|F1F2|=2c，则r1+r2=2a.

在△F1PF2中，由余弦定理,得cosθ=r21+r22-4c22r1r2

=(r1+r2)2-4c2-2r1r22r1r2=4a2-4c22r1r2-1≥2a2-2c2r1+r222

-1=2a2-2c2a2-1=1-2e2.

(2) 由正弦定理，得r1sinβ=r2sinα=2csin[π-(α+β)],

所以2csin(α+β)=r1+r2sinα+sinβ=2asinα+sinβ，

故e=ca=sin(α+β)sinα+sinβ=

2sinα+β2cosα+β22sinα+β2cosα-β2=cosα+β2cosα-β2.

巩固练习

1. 设椭圆的两个焦点分别为F1,F2，过F2作椭圆长轴的垂线，交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为.

2. 已知P是椭圆x24+y2=1上的一点，F1,F2是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积是.

3. 在一椭圆中，以焦点F1,F2为直径两端点的圆恰好过短轴的两顶点，则此椭圆的离心率e等于.

4. 双曲线的左焦点为F1，顶点为A1,A2，P是双曲线上任意一点，则分别以线段PF1,A1A2为直径的两圆的位置关系为.

焦点三角形篇3

(1) 利用椭圆﹑双曲线的第一定义求周长;

(2) 利用圆锥曲线定义和正弦定理﹑余弦定理求焦点三角形的面积;

(3) 综合运用有关知识解综合性焦点三角形问题, 如最值问题。

下面我们来探讨如何求焦点三角形的周长﹑面积以及和焦点三角形有关的最值问题, 并总结得出一些相关结论。

一、求焦点三角形的周长

在求椭圆或双曲线的焦点三角形的周长时, 经常要应用椭圆或双曲线的第一定义。

例1:F1、F2是椭圆x2+4y2=1的两个焦点, A是椭圆上任一点, AF1的延长线交椭圆于B, 求△ABF2的周长。

分析:由于三角形的周长由AF1、AF2、BF1、BF2构成, 故可考虑利用椭圆的定义来解题。

undefined

所以△ABF2的周长=2+2=4

小结:解此类题的关键是应用椭圆或双曲线的定义来表达三角形的周长。

二、求焦点三角形的面积

在求椭圆或双曲线的焦点三角形的面积时, 需要用圆锥曲线的第一定义结合勾股定理﹑正弦定理或余弦定理来解决。

我们先来探求一个普遍结论:

如图1, 若F1、F2是椭圆undefined的两个焦点, P是椭圆上一点, 且∠F1PF2=θ, 则undefined

证明:设undefined, 由余弦定理得

undefined

由椭圆定义得

m+n=2a ②

由①得:undefined

所以undefined

由此类比双曲线还可得到:

如图2, F1、F2是undefined的两个焦点, P是双曲线上一点, 且∠F1PF2=θ, 则

undefined

公式 (1) 、 (2) 对于焦点在y轴上的椭圆和双曲线同样成立。

由此可见, 圆锥曲线焦点三角形的面积只与b和曲线上的这点与两个焦点的视角有关。假设这个视角为θ, F1、F2分别是曲线的两个焦点, 在椭圆中焦点三角形的面积undefined, 在双曲线里焦点三角形的面积undefined。

注: (1) 此结论称为圆锥曲线焦点三角形面积公式。 (2) 此结论可用于客观题的解题。在解圆锥曲线的问题中, 有些选择题或填空题, 如果用常规方法去解题, 无疑是小题大做, 这在考试特别是高考中, 是非常不可取的。运用特殊解法, 显得很重要, 不但可以节省时间, 还可提高答对率。焦点三角形面积公式便是解一些圆锥曲线客观题的一种解题技巧和解题方法。

例2:如图3, 已知曲线undefined为双曲线上一点, F1、F2是双曲线的两个焦点, ∠F1PF2=60°, 求△PF1F2的面积。

分析:常规解法:由双曲线定义, 余弦定理得:

undefined

解得undefined

所以undefined

如为客观题, 可直接代入焦点三角形面积公式得:undefined

小结: (1) 求椭圆和双曲线的焦点三角形面积, 需要利用椭圆和双曲线的第一定义, 并结合正弦定理﹑余弦定理来解。 (2) 解客观题, 我们可直接利用焦点三角形面积公式求解。

三、最值问题

椭圆和双曲线的焦点三角形, 有时还表现出它的几何特征, 这些图形的出现, 暗示着可用定义思考, 如求和焦点三角形有关的最值问题。

例3:如图4, 已知椭圆undefined、F2分别为其左右两焦点, P为椭圆上任意一点, θ=∠F1PF2,

求: (1) θ的最大值;

(2) △PF1F2的面积的最大值;