变形三角形（精选四篇）
变形三角形 篇1
sin2β;
(6) 2sinαsinβ=cos (α-β) -cos (α+β) ; (7) 2cosαcosβ=cos (α-β) +cos (α+β) .若从正余弦函数的有界性来分析研究, 则可得到下面几个三角不等式:
(11) sin (α+β) sin (α-β) ≤sin2α[当且仅当β=kπ (k∈Z) 时取等号];
(12) cos (α+β) cos (α-β) ≤cos2α[当且仅当β=kπ (k∈Z) 时取等号];
(14) 由 (7) 余弦函数的有界性得
近年来, 有许多的高考竞赛题也与上述几个三角不等式有缘.
变形三角形 篇2
一、三角高程测量边长的测定，应采用符合规范规定的相应精度等级的电磁波测距仪往返观测各2测回，当采取中间设站观测方式时，前、后视各观测2测回。
二、垂直角观测应采用觇牌为照准目标，按下表中的要求采用中丝双照准法观测。当采用中间设站观测方式分两组观测时，垂直角观测的顺序宜为：第一组：后视一前视一前视一后视(照准上目标)；第二组：前视一后视一后视一前视(照准下目标)，
每次照准后视或前视时，一次正倒镜完成该分组测回数的1／2。中间设站观测方式的垂直角总测回数应等于每点设站、往返观测方式的垂直角总测回数；
三、垂直角观测宜在日出后2h至日落前2h的期间内目标成像清晰稳定时进行。阴天和多云天气可全天观测；
四、仪器高、觇标高应在观测前后用经过检验的量杆或钢尺各量测一次，精确读至0．5mm，当较差不大于1mm时取用中数。采用中间设站观测方式时可不量测仪器高；
三角变形中基本公式的活用 篇3
1．平方关系
这个公式要从两个方向进行理解.
从左到右，左边有变量[α]，右边没有，我们说这个公式叫消去律.不仅如此，它还为我们沟通[sinα±cosα]和[sinαcosα]提供了方便.
[∵(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα]，
[(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα]，
[∴sinαcosα=(sinα+cosα)2-12]
[=1-(sinα-cosα)22.]
还可以这样理解：
[(sinα+cosα)2-2sinαcosα=1]，
[(sinα-cosα)2+2sinαcosα=1].
反过来，[1=sin2α+cos2α]，这可看作1的妙用之一：添加律. 即将“1”看成同角的正、余弦的平方和，在应用中不能拘泥于[α]，可能有：[1=sin2β+cos2β][=sin22α+cos22α=sin2α2+cos2α2=]…
2．倍角公式
三个倍角公式中，余弦的倍角公式最重要，选取哪种形式，取决于已知函数的名称. 如果能将平方关系、倍角公式、和角公式综合起来应用，会有更多意想不到的变化.[sin2α=2sinαcosα]，将右边看成分式，分母是1，再用添加律，将1改写为[sin2α+cos2α]，有[sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α]，右边是一个“齐次式”，可以上下同除以[cos2α]：[sin2α=2sinαcosαcos2αsin2αcos2α+cos2αcos2α][=2tanαtan2α+1.]
用同样的方法可得到：
[cos2α=cos2α-sin2αcos2α+sin2α][=1-tan2α1+tan2α.]
公式学活了，可以随心所欲地变形：
[1+sin2α=1+2sinαcosα]
[=sin2α+2sinαcosα+cos2α][=(sinα+cosα)2]，
[1-sin2α=(sinα-cosα)2]等.
例 求证：[1+sin2θ-cos2θ1+sin2θ+cos2θ][=tanθ].
证明 方法一（化弦为切）：
左边[=1+2tanθ1+tan2θ-1-tan2θ1+tanθ1+2tanθ1+tan2θ+1-tan2θ1+tan2θ]
[=1+tan2θ+2tanθ-1+tan2θ1+tan2θ+2tanθ+1-tan2θ]
[=2(1+tanθ)tanθ2(1+tanθ)=tanθ=右边.]
[∴]原式成立.
方法二（切化弦）：
结论[⇔1+sin2θ-cos2θsinθ=1+sin2θ+cos2θcosθ]
[⇔1-cos2θ+sin2θsinθ][=1+cos2θ+sin2θcosθ]
[⇔2sin2θ+2sinθcosθsinθ][=2cos2θ+2sinθcosθcosθ]
[⇔2sinθ+2cosθ=2cosθ+2sinθ].
显然成立，因此原式成立.
方法三（倍角化单角）：
左边[=1+2sinθcosθ-cos2θ+sin2θ1+2sinθcosθ+cos2θ-sin2θ]
[=(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)(sinθ+cosθ)(sinθ+cosθ)2+(cosθ-sinθ)(cosθ+sinθ)]
[=sinθ+cosθ+sinθ-cosθsinθ+cosθ+cosθ-sinθ]
[=2sinθ2cosθ][=tanθ]＝右边.
∴原式成立.
方法四（降幂）：
左边[=sin2θ2+1-cos2θ2sin2θ2+1+cos2θ2]
[=sinθcosθ+sin2θsinθcosθ+cos2θ][=sinθ(sinθ+cosθ)cosθ(sinθ+cosθ)]
[=tanθ]＝右边.
∴原式成立.
方法五（比例性质）：
由[sin22θ=1-cos22θ]得，
[1-cos2θsin2θ=sin2θ1+cos2θ=tanθ]，
由等比定理得，
[1-cos2θ+sin2θsin2θ+1+cos2θ=tanθ]，
即[1+sin2θ-cos2θ1+sin2θ+cos2θ=tanθ].
方法六（1的妙用）：
将1代换为[sin22θ+cos22θ]，对分母，
[1+sin2θ+cos2θ]
[=(sin22θ+cos22θ)+(sin2θ+cos2θ)]
[=(sin22θ+sin2θ)+(cos22θ+cos2θ)]
[=sin2θ(sin2θ+1)+cos2θ(cos2θ+1)]
[=sin2θ(sinθ+cosθ)2+(cosθ-sinθ)× (cosθ+sinθ)×2cos2θ]
[=2cosθ(sinθ+cosθ)[sinθ(sinθ+cosθ) +cosθ(cosθ-sinθ)]]
[=2cosθ(sinθ+cosθ)].
同理，对分子，
[1+sin2θ-cos2θ=2sinθ(sinθ+cosθ)]
∴左边[=tanθ=]右边，原式成立.
方法七（引入辅助角）：
左边= [1+2sin(2θ-π4)1+2sin(2θ+π4)]
[=2[sinπ4+sin(2θ-π4)]2[sinπ4-sin(2θ+π4)]][=2sinθcos(π4-θ)2sin(π4+θ)cosθ]
[=sinθcosθ]（这里用到了和差化积公式）[=tanθ]
[=]右边.
∴原式成立.
方法八（方程思想的应用）：
设 [sinθ+cosθ=x,sinθ-cosθ=y]，
则[x+yx-y=2sinθ2cosθ=tanθ].
左边[=(sinθ+cosθ)2-(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)(sinθ+cosθ)2+(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)]
[=x2+xyx2-xy=x+yx-y=tanθ][=]右边.
∴原式成立.
变形三角形 篇4
关键词：深基坑,基坑支护,变形监测,变形预警
引言
自2000年代开始至今, 地下工程和高层建筑在长三角地区的城市中得到了快速的发展, 每个高楼大厦的底下都一个个的规模不同的深基坑。如何保证深基坑施工的安全及周边环境的安全是高层建筑基础施工中的一个难题。如何解决这样一个难题呢?除设计上应加强基坑支护结构的安全设计且施工中应严格按设计要求进行施工外, 更重要的是应加强深基坑支护的变形监测和周围环境的安全监测工作。
1 深基坑变形监测的目的和意义
深基坑是指深度大于或等于5m的基坑[1], 多年来深基坑支护结构的设计和深基坑的施工经验告诉了我们, [2]严密的设计、精心的施工和周全的变形监测和预警是保证深基坑安全的三个重要的途径。对于复杂的大中型工程或对周边环境影响要求严格的项目, 往往在设计和施工上难借鉴以往的经验, 也难以从理论上找到定量分析和预测的方法, 这就必定需要依靠施工过程中加强对支护结构和周边环境的现场监测来实现深基坑的安全施工。
基坑监测的目的在于:[3] (1) 为信息化施工提供依据; (2) 为基坑周边环境中的建筑和各种设施的保护提供依据; (3) 为优化设计提供依据; (4) 是基坑工程设计理论发展的重要手段。
基坑监测的意义在于:[2] (1) 靠现场监测提供动态信息反馈来指导施工全过程, 并可通过监测数据来了解基坑的设计强度, 为今后降低工程成本指标提供设计依据; (2) 可及时了解施工环境———地下土层、地下管线、地下设施、地面建筑在施工过程中所受的影响及影响程度; (3) 可及时发现和预报险情的发生及险情的发展程度, 为及时采取安全补救措施充当耳目。
由此可见, 基坑监测既是检验基坑支护结构设计有效性的重要手段, 又是指导基坑全过程施工和避免事故发生的必要措施。施工中只有加强对基坑支护结构的力学性能进行动态监测, 才可能掌握基坑支护结构和周边环境的变形趋势, 及时调整基坑施工方案, 确保基坑全过程的安全施工。基坑施工中必须对开挖与支护进行全程的变形监测, 建立好预警系统, 并及时反馈安全信息。
2 深基坑变形监测的内容和基本方法
基坑监测的主要涉及的内容有:[2][4] (1) 地下管线、地下设施、地面道路和建筑物的沉降、位移; (2) 围护桩地下桩体的侧向位移 (桩体测斜) 、围护桩顶的沉降和水平位移; (3) 围护桩、水平支撑的应力变化; (4) 基坑外侧的土体侧向位移 (土体测斜) ; (5) 坑外地下土层的分层沉降; (6) 基坑内、外的地下水位监测; (7) 地下土体中的土压力和孔隙水压力; (8) 基坑内坑底回弹监测。
基坑监测方法的选择应考虑基坑类别、设计要求、场地条件、当地经验及方法的适用性等各种因素的综合影响, 使其满足简便易行, 有利于适应施工现场条件的变化和施工进度的要求下来确定。
目前在深基坑和周围岩土体变形的研究中, [5]国内外采用的主要方法有:经验公式预测法、数值模拟法、非线性预测方法、物理模拟法和半理论半解析法等。
深基坑工程的监测工作主要包括四大方面:[6][7]支护结构应力监测、支护结构外力监测、支护结构变形监测和外部建筑物及周边环境监测, 其又各自包含若干个小方面, 如下表1所示。
3 深基坑变形监测的实施与预警
本文以江苏省苏州市金河国际中心工程为例进行探讨。工程概况:该项目坐落于苏州新区CBD中心地带的狮山路88号, 全楼总高28层, 是一幢新古典风格造型的甲级写字楼。地下两层为全埋式人防地下室, 其基坑开挖深度13.3米, 是安全等级为一级的深基坑。该基坑周边环境复杂, 四周都有多个建筑物, 且紧邻街道, 四周的建 (构) 筑物离基坑开挖线的距离均较近, 尤其是东侧的滨河路, 南侧的狮山路的地下管网密集分布, 需要重点保护。
(1) 监测要求
(1) 严格按设计要求制定监测方案, 经监理和设计审查确定后实施;
(2) 在充分理解设计意图的基础上, 结合工程特点确定预警指标;
(3) 结合现场条件合理布置初始监测点, 并量测初始数据;
(4) 实施监测, 周期为基坑土方开挖至地下室侧壁回填的全过程;
(5) 监测频率:土方开挖时:1次/天;当检测值超过警戒值时, 及时报警, 必要时增加监测次数至2次/天;垫层施工完成后:若深层土体位移比较稳定, 可以减少监测次数成2次/天;浇好底板后:可以1次/3-5天;
(6) 监测过程中应加强监测点、监测设备的保护工作, 以防止移动和损坏, 影响监控数据的准确性;
(7) 监控过程中及时向建设、监理和设计等单位通报监测结果, 并提供最终监测报告。
(2) 监测项目
监测项目主要为: (1) 护坡顶部水平位移; (2) 护坡顶部沉降; (3) 地下水位深层位移 (测斜) ; (4) 周边管线沉降; (5) 地下土要特别体深层位移 (测斜) ; (6) 锚杆内力检测。
(3) 监测频率
基坑开挖过程中及底板浇筑后7天内:1次/天;7-14天, 1次/2天;14-28天, 1次/3天;28天后, 1次/5天。遇台风、连续下雨天或发现异常情况时, 加大监测频率, 具体监测频率与设计、监理及建设单位共同商定。
(4) 监测内容及预警指标
结全本工程的特点, 确定监测内容和预警值见表2。
(5) 监测过程
(1) 基坑周边地表裂缝监测:在施工初期先进行裂缝调查, 记录已有的裂缝情况, 后期进行监测。基坑开挖导致基坑周边产生约52条新的裂缝, 裂缝的走向与基坑开挖方向一致。标记并观测了新的裂缝, 监测结果显示:北侧原有裂缝最大变化3.8 mm, 新出现裂缝最大宽度5.8 mm;东侧已有裂缝最大宽度1.8 mm, 新裂缝最大宽度3.0 mm;南侧已有裂缝最大宽度2.1mm。在支护锚杆固定处理后趋于稳定, 裂缝后期变化甚小。
(2) 周边已有建筑物的监测:采用精密水准测量的方法, 利用电子水准仪周期性地观测建筑物上的沉降观测点和水准基点之间的高差变化值。结合本工程的结构、工程地质和周边环境等特点, 周边已有建筑物沉降监测点和水平监测点以每个建筑物平均布设3个点为基本原则, 主要建筑物适当增加点数到4-5个。同时布设6个水平基准点, 均选取在变形区之外稳定、通视好的已有建筑物上, 便于全局控制和稳定性分析。周边已有建筑物裂缝观测监测点以每条裂缝平均布设2对点为基本原则, 主要建筑物适当增加点数, 影响较弱、建筑物较小时适当减少点数。
(6) 监测结果分析
本工程监控的结果表明:基坑的桩顶水平位移和沉降的最大值都没到达警报值, 即在此支护方式下开挖基坑, 变形是在允许范围内, 基坑的这一项指标是稳定。该工程监控结果验证了, 通过实施实时的变形监测与预警, 不仅为深基坑施工提供指导, 并可及时发现基坑施工过程中存在的安全隐患, 及时解决安全问题避免产生恶性事故, 从而实现信息化施工。
4 结束语
深基坑变形监测与预警是深基坑施工中的一个重要的环节, 也是岩土工程领域研究的热点问题之一。如何在保证基坑工程自身稳定的同时, 有效控制基坑的变形, 以确保工程施工及周围环境的安全, 是当前高层建筑施工中值得研究的一项重要课题。本文结合笔者对长三角地区的苏州高层建筑深基坑施工的理论分析和实践经验, 探讨了深基坑变形监测的目的、意义、内容和基本方法, 并辅以工程实例对深基坑的监测过程和预警办法作了详细的介绍, 并从监控结果中论证了基坑变形监测和预警的有效性和实用性。希望能对从事深基坑施工的同行们提供一些帮助。
参考文献
[1]杨跃.现代高层建筑施工第1版[M].武汉:华中科技大学出版社出版, 2011年.
[2]姚黔贵.城市深基坑变形监测的实施[J].贵州:贵州工业大学学报 (自然科学版) , (2) , 2005∶97.