基本不等式及应用

基本不等式及应用（精选六篇）

基本不等式及应用 篇1

一、寻找问题切入点, 灵活证明不等式

用基本不等式证明时, 要注意四个字“正”、“定”、“等”、“同”.“正”是指均值不等式成立的前提条件是各项均为正整数;“定”是指用均值不等式求最值时, 和或积应为定值, 这时常常需要运用拆项、补项、平衡系数等变形技巧;“等”是指利用均值不等式时, 应注意探究等号是否成立, 即等号成立的条件是否具备, 若等号不成立, 则不是最值, 若等号成立, 才是最值;“同”是指多次使用均值不等式时, 等号成立的条件中的变量的取值范围应相同.由于不等式的形式多种多样, 所以证明的方法也灵活多变, 具体证明时要注意方法的选择.

1. 正用:

它是对基本不等式从左往右使用, 由积式向和式变形, 有的时侯还要先分析所求证的不等式, 根据特征进行适当的变形, 再利用基本不等式来证明.依据不等式的结构, 凑出常数因子是解决此类问题的关键.

2. 逆用:

它是对基本不等式从右向左用, 即由和式向积式的变形.根据对数的运算法则, 往往可以把两个正数的乘积的对数转化为它们的对数的和, 而基本不等式特别适合解决两个正数的和与积的转化问题, 所以与对数函数有关的不等式证明问题, 要多考虑基本不等式的灵活运用.

3. 叠用:

即叠和的形式, 利用基本不等式的变形, 并且连续使用, 在连续使用时要注意两次取等号条件必须一致, 否则是错误的.

4. 拆项:

如果题目中的部分项已具备使用公式条件, 则要根据题目特点, 通过加减项的方法配凑成可使用基本不等式的形式.

5. 配凑项:

如果对不等式进行各种变换都不能达到目的, 此时可考虑对原式进行再处理或添加一些特殊的项, 达到构造公式的目的.但要注意必须保证等号同时成立.

二、思维拓展应用, 求解最值问题

本题除了上述解法外, 还有更多的考虑策略, 如考虑条件与结论中的字母的对称性, 可运用均值代换, 即令去求证有关t的不等式或者考虑将原不等式转化为的不等式.有些题目不具备应用基本不等式的特征, 则要根据求证式子的特点, 分析等号成立的条件, 通过对一些数或式子的拆分, 达到能运用不等式的目的.

三、培养学生探究能力, 解决实际问题

基本不等式及其应用 篇2

摘 要： 基本不等式在高中数学中具有极其重要的地位，从知识体系角度说，基本不等式不仅本身就是一个重要的数学知识模块，而且能与高中数学多个分支知识进行融合；从思维能力角度说，基本不等式是创造性与严谨性的有机结合、发散性思维与收敛性思维的辩证统一.本文从基本不等式的三个限制条件DD“一正，二定，三等”入手，结合典型例题，探究基本不等式的运用，让学生充分经历知识的形成过程，从而形成自己对重难点的突破策略，培养学生的归纳、总结能力. 关键词： 基本不等式 限制条件 最值 应用一、主干知识 1.基本不等式：≤或a+b≥2. （1）基本不等式成立条件：a＞0，b＞0; （2）等号成立的条件：当且仅当a=b时取等号. 2.基本不等式的拓展：ab≤，其中a，b∈R. 二、深入探究，加强理解 问题：设x＞0，求函数y=x+的最小值. 解析：∵x＞0“一正” ∴x+≥2=2“二定” 当且仅当x=，即x=1时，等号成立.“三等” 故函数y=x+的最小值为2. 点评：在应用基本不等式时，要把握三个限制条件，即“一正DD各项都是正数；二定DD和或积为定值；三相等DD等号能取得”，这三个条件缺一不可． 探究1：设x＜0，求函数y=x+的最大值. 解析：∵x＜0，∴-x＞0， ∴x+=-（-x+）≤-2=-2， 当且仅当-x=，即x=-1时，等号成立. 故函数y=x+的最大值为-2. 变式：设x≠0，求函数y=x+的值域. 解析：∵x≠0，∴|x|＞0， ∴|x+|=|x|+≥2=2， 当且仅当|x|=，即x=±1时，等号成立. ∴|y|≥2，∴y≤-2或y≥2，即函数y=x+的.值域为（-∞，-2］∪［2，＋∞）. 另解：用分类讨论的方法（x≠0，分x＞0和x＜0两种情况）. 点评：培养学生等价转化的思想，如何创造条件满足“一正DD各项都是正数”. 探究2：设a＞1，求a+的最小值. 解析：∵a＞1，∴a-1＞0， ∴a+=a-1++1≥2+1=3， 当且仅当a-1=，即a=2时，等号成立. 故a+的最小值为3. 变式：设0＜a＜1，求的最大值. 解析：∵0＜a＜1，∴1-a＞0， ∴=?≤?=， 当且仅当a=1-a，即a=时，等号成立. 故的最大值为. 点评：运用基本不等式求最值的焦点在于凑配“和”与“积”，即满足“二定DD和或积为定值”，并且在凑配过程中就应考虑到等号成立的条件. 探究3：设t≥2，求t+的最小值. 分析：本题不满足限制条件：“三相等DD等号能取得”，故不能用基本不等式. 解：由双钩函数y=t+的图像及性质，易知函数y在［2，+∞）上是增函数， 当t=2时，t+的最小值为2. 变式：已知x＞0，y＞0，且x+y=1，求+的最小值. 错解：由已知，1=x+y≥2?圯≤?圯≥2 ∴+≥2=≥8 ∴+的最小值8. 错因：多次用到基本不等式，能否取等号，当且仅当x=y，=，又x+y=1，但x，y无解. 正解：∵x＞0，y＞0， ∴+=（+）（x+y）=7++≥7+2=7+4 当且仅当=又x+y=1，即x=2-3，y=4-2时，等号成立. 故+的最小值为7+4. 知识迁移：已知0＜x＜1，求+的最小值. 解析：∵0＜x＜1，∴1-x＞0， ∴+=（+）?（x+1-x）=7++≥7+4， 当且仅当=，即x=2-3时，等号成立. 故+的最小值为7+4. 点评：运用基本不等式求最值时，应考虑到等号成立的条件.有些题目在拼凑过程中，注意通过“1”变换或添项进行拼凑，使分母能约去或分子能降次. 三、高考回放 A组 1.（湖南高考10）若x＞0，则x+的最小值为?摇 ?摇. 2.（重庆高考12） 已知t＞0，则函数y=的最小值为?摇 ?摇. 3.（重庆高考7）若函数f（x）=x+（x＞2）在x=a处取最小值，则a=（ ） A.1+ B.1+ C.3 D.4 A组命题意图：主要考查灵活应用基本不等式求最值的知识，解决此类问题时，一定要注意“一正二定三等”，三者缺一不可. B组 1.（20重庆高考7）已知a＞0，b＞0，则++2的最小值是（ ） A.2 B.2 C.4 D.5 2.（20四川高考11）设a＞b＞0，则a++的最小值是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 3.（20天津高考12）已知loga+logb≥1，则3+9的最小值为___________. B组命题意图：主要考查应用基本不等式探求最值问题，解答过程中经过几次的放缩才能达到目的，充分体现了试题思维的层次性. C组 1.（年天津高考9）设x，y∈R，a＞1，b＞1，若a=b=3，a+b=2，则+的最大值为（ ） A.2 B. C.1 D. 2.（年山东高考14）已知x，y∈R，且满足+=1，则xy的最大值为___________. 3.（年浙江高考16）若实数x、y满足x+y+xy=1，则x+y的最大值是___________. C组命题意图：主要考查基本不等式的推广ab≤（）（a，b∈R）在求最值中的应用. 从近几年的高考试题来看，利用基本不等式求函数的最值、证明不等式、解决实际问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题；客观题突出“小而巧”，主要考查基本不等式取等号的条件及运算能力；主观题考查较为全面，在考查基本运算能力的同时，又注重考查学生的逻辑推理能力及等价转化、分类讨论等思想方法．预测高考仍将以求函数的最值为主要考点，重点考查学生的运算能力和逻辑推理能力．参考文献： ［1］孙翔峰主编.三维设计高考总复习新课标.光明日报出版社，2011.4. ［2］杜志建主编.2007D2011新高考5年真题汇编.新疆青少年出版社.

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基本不等式及其应用装 原版全文

不等式·基本不等式及其应用 篇3

1. 若[a，b∈R]，且[ab>0]，则下列不等式中，恒成立的是（ ）

A. [a2+b2>2ab] B. [a+b≥2ab]

C. [1a+1b>2ab] D. [ba+ab≥2]

2. 设[a>b>0]，则[a2+1ab+1aa-b]的最小值是（ ）

A. 1 B. 2

C. 3 D. 4

3.[“a=18”]是“对任意的正数[x，2x+ax≥1]”的（ ）

A. 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

4. 若[2x+2y=1，则x+y的取值范围是]（ ）

A. [0，2] B. [-2，0]

C. [-2，+∞] D. [-∞，-2]

5. 已知[a>0，b>0]，且[2a+b=4]，则[1ab]的最小值为（ ）

A. [14] B. 4

C. [12] D. 2

6. 已知二次函数[f（x）=ax2+2x+c（c∈R）]的值域为[0，+∞]，则[a+1c+c+1a]的最小值为（ ）

A. 4 B. [42]

C. 8 D. [82]

7. 已知[x>0，y>0，x+2y+2xy=8]，则[x+2y]的最小值是（ ）

A. 3 B. 4

C. [92] D. [112]

8. 函数[y=loga（x+3）-1（a>0，且a≠1）]的图象恒过定点[A]，若点[A]在直线[mx+ny+1=0]上（其中[m，n>0]），则[1m+2n]的最小值等于（ ）

A. 16 B. 12

C. 9 D. 8

9. 已知[x>0，y>0，且2x+1y=1，若x+2y>m2][+2m恒成立]，则实数[m]的取值范围是（ ）

A. [m≥4或m≤-2] B. [m≥2或m≤-4]

C. [-2

10. 已知[a>0，b>0]，且[2a+b=1]，则[S=][2ab-4a2-b2]的最大值为（ ）

A. [12] B. 2

C. [2-12] D. [2+12]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 若[a>0，b>0，a+b=2]，则下列不等式对一切满足条件的[a，b]恒成立的是 （写出所有正确命题的编号）.

①[ab≤1] ②[a+b≤2] ③ [a2+b2≥2] ④[a3+b3≥3] ⑤[1a+1b≥2]

12. 设[a>b>c]，不等式[1a-b+1b-c>λa-c]恒成立，则[λ]的取值范围是 .

13. 设[x，y]为实数，若[4x2+y2+xy=1，]则[2x+y]的最大值是 .

14. [若对任意x>0，xx2+3x+1≤a恒成立，]则[a]的取值范围是 .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （12分）在下列条件下，求[y=4x-2+14x-5]的最值.

（1）[x<54时，求最大值]；

（2）[x>54时，求最小值]；

（3）[x≥2时，求最小值].

16. （10分）某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房. 经测算，如果将楼房建为[x（x]≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为[560+48x]（单位：元）. 为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=[购地总费用建筑总面积]）

17. （10分）已知[x，a，b，y]成等差数列，[x，c，d，y]成等比数列，求[（a+b）2cd]的取值范围.

18. （12分）已知关于[x]的不等式[2x+2x-a≥7]在[x∈（a，+∞）]上恒成立，求实数[a]的最小值.

基本不等式应用中的常用变换方法 篇4

数学问题解决离不开对已知条件、结论、结构、形式等变化, 通过变化变出公式的模型, 从而变化解题思路.基本不等式

$\begin{array}{l}\sqrt{ab}\le \frac{a+b}{2}\\ (a\ge 0,b\ge 0)\end{array}$

是证明不等式、求函数最值的重要工具, 是由等式向不等式转化的桥梁, 在新教材中这一工具作用体现更明显, 解题中保证“一正、二定、三相等”, 且灵活变化 (添凑项) 使用基本不等式是成功解 (证) 题的关键.

一、加一项

例1 设x>0, 求函数$y=x+\frac{2}{2x+1}$的最小值.

分析:若直接使用基本不等式消不掉x, 得不到常数, 即不满足定值这一条件, 可以通过添项解决.

解:$x+\frac{2}{2x+1}=x+\frac{1}{x+\frac{1}{2}}=x+\frac{1}{2}+\frac{1}{x+\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}\ge 2\sqrt{(x+\frac{1}{2})\cdot \frac{1}{x+\frac{1}{2}}}-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}.$

当$x+\frac{1}{2}=\frac{1}{x+\frac{1}{2}}$, 即$x=\frac{1}{2}$时等号成立.

所以函数$y=x+\frac{2}{2x+1}$的最小值$\frac{3}{2}.$

例2 已知a、b都是正数, 求证

$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\ge \sqrt{a}+\sqrt{b}.$

分析:直接运用基本不等式得不到等式右端, 可以通过添项创造条件使用基本不等式.

证明:$\frac{a}{\sqrt{b}}+\sqrt{b}+\frac{b}{\sqrt{a}}+\sqrt{a}\ge 2\sqrt{a}+2\sqrt{b}$, 所以$\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\ge \sqrt{a}+\sqrt{b}.$

注:若直接使用基本不等式, 则无法消去变量x, 得不到常数, 即直接使用不可行时, 此时需对条件作结构上的变换, 通过添项, 创造条件寻求定值使用基本不等式.

二.减一项

例3 设x≥5 , 求函数$y=x+\frac{3}{x}$的最小值.

分析:若直接使用基本不等式, 可以消去x, 但等号无法取到, 通过变换, 减一项, 使基本不等式的条件等号取到, 部分使用不等式.

解:把条件变为$y=x+\frac{3}{x}=x+\frac{25}{x}-\frac{22}{x}$, 而$y=x+\frac{25}{x}\ge 2\sqrt{25}=10$在x=5时取得最小值, 当x≥5时, $-\frac{22}{x}\ge -\frac{22}{5}$, 所以$y=x+\frac{3}{x}$在x=5时有$y{}_{\min }=10-\frac{22}{5}=\frac{28}{5}.$

例4 设0<x≤1, 求函数$y=x+\frac{3}{x}$的最小值.

解:把条件变为$y=x+\frac{3}{x}=x+\frac{1}{x}+\frac{2}{x},y=x+\frac{1}{x}\ge 2$在x=1时取得最小值.

当0<x≤1时, 而$\frac{2}{x}\ge 2$, 所以$y=x+\frac{3}{x}$在x=1时有ymin=2+2=4.

三、乘一项

例5 已知a, b∈R, x, y都是正数, 求证

$\frac{a{}^2}{x}+\frac{b{}^2}{y}\ge \frac{(a+b){}^2}{x+y}.$

分析:分子分母次数不对称, 不等式不能直接用, 故可以乘一项, 改变结构.

证明:$(\frac{a{}^2}{x}+\frac{b{}^2}{y})(x+y)=a{}^2+b{}^2+\frac{a{}^{2}y}{x}+\frac{b{}^{2}x}{y}\ge a{}^2+b{}^2+2ab,$

所以$\frac{a{}^2}{x}+\frac{b{}^2}{y}\ge \frac{(a+b){}^2}{x+y}.$

例6 已知x>0, y>0, 且$\frac{1}{x}+\frac{9}{y}=1$, 求x+y的最小值.

解:$x+y=(x+y)\cdot 1=(x+y)(\frac{1}{x}+\frac{9}{y})=1+9+\frac{y}{x}+\frac{9x}{y}\ge 10+6=16.$

所以x+y的最小值16.

例7 已知2a2+b2=1, 求$a\sqrt{1+b{}^2}$的最大值.

解:$a\sqrt{1+b{}^2}=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \sqrt{2}a\sqrt{1+b{}^2}\le \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{(\sqrt{2}a){}^2+(\sqrt{1+b{}^2}){}^2}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$

所以$a\sqrt{1+b{}^2}$的最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}.$

注:通过乘一项, 转换已知条件, 特别是乘1, 是使用基本不等式中常用的方法.

四、除一项

例8 已知x>50, 求函数$y=\frac{x-50}{(x-40){}^2}$的最大值.

分析:分子是一次而分母是二次, 可以通过换元变化, 同除分子 (分母) 中的变量使用不等式.

解:设x-50=t>0,

则$y=\frac{x-50}{(x-40){}^2}=\frac{t}{(t+10){}^2}=\frac{t}{t{}^2+20t+100}=\frac{1}{t+\frac{100}{t}+20}\le \frac{1}{2\sqrt{100}+20}=\frac{1}{40}.$

例9 设x>0, y>0, 且$\sqrt{x}+\sqrt{y}\le t\sqrt{x+y}$恒成立, 求实数t的取值范围.

解:由$\sqrt{x}+\sqrt{y}\le t\sqrt{x+y}$, 得$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}<t,$

而$(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}){}^2=\frac{x+y+2\sqrt{xy}}{x+y}=1+\frac{2\sqrt{xy}}{x+y}\le 1+\frac{2\sqrt{xy}}{2\sqrt{xy}}=2,$

所以$(\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x+y}}){}_{\max }=\sqrt{2}$, 所以$t\ge \sqrt{2}.$

五、变一项

例10 已知x>y>0, 且xy=1, 求$\frac{x{}^2+y{}^2}{x-y}$的最小值及此时x, y的值.

分析:对分子变化, 向基本不等式结构转化, 灵活使用公式.

$\begin{array}{l}\text{解}:\text{因}\text{为}\frac{x{}^2+y{}^2}{x-y}=\frac{(x-y){}^2+2xy}{x-y}=\\ (x-y)+\frac{2}{x-y}\ge 2\sqrt{2}.\end{array}$

所以$\frac{x{}^2+y{}^2}{x-y}$的最小值为$2\sqrt{2}.$

由

$\{\begin{array}{l}(x-y)=\frac{2}{x-y}\\ xy=1\end{array},$

解得$x=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2},y=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2}.$

例11 设a>b>0, 求$a{}^2+\frac{16}{b(a-b)}$的最小值.

分析:两个变量一次消不掉, 可以分步进行, 但要注意等号成立的条件要一致.

解法1:由$\frac{16}{b(a-b)}\ge \frac{16}{(\frac{b+a-b}{2}){}^2}=\frac{64}{a{}^2}$, 此时等号成立条件是b=a-b即

a=2b, 所以$a{}^2+\frac{16}{b(a-b)}\ge a{}^2+\frac{64}{a{}^2}\ge 2\sqrt{64}=16$.此时等号成立条件是, $a{}^2=\frac{64}{a{}^2}$即a=4, 所以此时b=2.

解法2:因a2= (a-b+b) 2= (a-b) 2+2 (a-b) b+b2, 又a>b>0, 所以a-b>0, 故有a2≥4 (a-b) b, 所以

$\begin{array}{l}a{}^2+\frac{16}{b(a-b)}\ge \\ 4(a-b)b+\frac{16}{b(a-b)}\ge 16,\text{等}\text{号}\text{成}\text{立}\text{条}\text{件}\text{同}\text{上}.\end{array}$

一类基本不等式应用错因分析 篇5

人教版必修五的基本不等式aba+b2是高中数学的重点内容,也是教学中的难点内容,学生在基本不等式的顺用和逆用解题时很容易出错,甚至还不知道错在哪里,这就给学生学习这个知识点带来了神秘色彩.现举出一个易错题例浅谈一下基本不等式的教与学.

例题:已知正数a,b满足2a+3b=1,求2a+3b的最小值.

典型错解:∵正数a,b满足2a+3b=1,∴2a+3b≥26ab① ,

而 2a+3b=1≥26ab②,∴0

∴2a+3b≥24 ③,∴2a+3b的最小值为24.

错因分析:①式等号成立的条件是“2a+3b”,②式等号成立的条件是“2a=3b”, ③式等号成立的条件应是2a=3b

2a=3b

2a=3b(是由两步共同推理最小值的),此条件会造成矛盾“4=9”,故上述解法是错的.

防错策略:运用重要不等式求最值(或值域)时,教学中必须严扣三大条件(正值条件、定值条件、取等条件,即“一正”、“二定”、“三相等”),规范解题格式(三条件缺一不可),养成严谨的解题习惯.

正确解法:

解法一:(施行“减元”措施,运用函数思想)

由条件知b=1-2a3>0,故0

令2+5a=t(2

易证t+9t在t∈(2,3)时递减、在t∈(3,92)时递增,

故6≤t+9t<132,0<-2(t+9t)+13≤1,2a+3b≥25 (当且仅当t=3即a=15时取到等号).

∴2a+3b的最小值为25.

解法二:(规范使用重要不等式的解题格式)

∵a,b均为正数,∴ab>0,ba>0(写出公式成立的正值条件),

又2a+3b=1,∴2a+3b=1·(2a+3b)=(2a+3b)(2a+3b)=13+6ba+6ab≥13+26ba·6ab=25

当且仅当6ba=6ab即a=b=15时取到等号(写出公式成立的取等条件).

∴2a+3b的最小值为25.(定值条件在ba·ab中得到体现).

评注:解法一虽然较繁,但它说明了严扣三大条件的合理性;解法二中利用条件把2a+3b变形到13+6ba+6ab后只须使用一次公式,解决了分步割裂的矛盾,是最常用的解法. 运用重要不等式求最值(值域)时,一般只使用一次公式,当分步使用公式时,必须各步的取等条件同时成立时才是可行的.

下面我们再通过两个练习,来体验解决这类题的方法.

1.函数y=loga(x+4)-1(a>0,a≠1)的图像恒过点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,求1m+3n的最小值.

2.若x,y为正实数,且2x+8y-xy=0,求xy的最小值.

练习答案如下:

解析1:∵函数y=loga(x+4)-1(a>0,a≠1)的图像恒过点A,∴A(-3,-1)

又点A(-3,-1)在直线mx+my+1=0上,

∴-3m-n+1=0,即3m+n=1,

又mn>0,则m>0,n>0.

∴1m+3n=(3m+n).(3m+3n)=6+nm+9mn6+2nm·9mn=12.

当且仅当nm=9mn,即m=16,n=12时等号成立.

故1m+3n的最小值为12.

解析2:∵ x,y为正实数,

∴2x+8y22x·8y=8xy.

∴8xy-xy0.

∴xy8, ∴xy64,

当且仅当2x=8y即x=16,y=4时等号成立.

故xy的最小值为64.

另解:∵x,y为正实数,

由2x+8y-xy=0,得2x+8y=xy

∴8x+2y=1,∴128x·2y=8xy,

∴xy8, ∴xy64,

当且仅当8x=2y即x=16,y=4时等号成立.

故xy的最小值为64.

基本不等式及应用 篇6

关键词：高中数学,合作学习法,有效,应用

合作学习是独立学习基础上的更高一层次的学习方式,它要求学生不断向别人提出问题,解决别人提出的问题。在这个过程中,学生的学习兴趣会渐渐增强,学习能力会不知不觉地提升,能力的展示会获得更宽广的平台,同时,独立自主的学习能力也得到进一步的提升。高中数学课堂上的合作学习不妨突出这几点:

一、精细化教学目标提升学生思维能力

我们在进行一堂数学课教学时,需要针对教学内容进行教学目标的细化,让教学目标具有可实现性,易于完成。教师必须要明确教学活动的目地,保障教学设计的可操作性。教学活动的难度、数量和坡度应该适宜学生的能力,把学生的兴趣和经验作为教学的重要考虑因素。教师要耐心指导学生解决比较困难的问题,放手让学生尝试解决,但不能放任学生随意处理,以防学生找不到正确答案,在小组讨论中失去方向,这样会导致教学质量降低。举例说明,我们可以在基本不等式的练习课上设计如下问题:

第一:求函数的最小值

第二:求函数的最小值

第三:求函数y=x(3-x)(x≤x≤1)的最小值

第四:若x>0,y>0,且求x+y的最小值

经过几个逐渐深入的问题的探讨解决,学生们获得了数学知识,提高了思维能力,且对于数学的学习欲望大大加强。在老师的引导下,让学生以小组的形式进行讨论,把教学目标首先传达给学生,让学生以循序渐进地难度来对数学知识点进行了解。并学会利用已知知识来解决遇到的数学问题,突出了学生在学习中的主体地位。

二、评价中鼓励比评比更有效

每个学生的独立精神形成小组合作,小组并不是让大家形成同一思维,而是让学生们充分展现自身的个性。所以说,在对学习成果进行评价的过程中要结合学习过程中表现,在对个人评价的过程中要结合集体的表现,告诉学生们合作学习的过程更重要,让学生们充分体会合作学习的精神。拿上面的例子来说,教师不应该直接告诉学生们正确答案,应该有条理的推进。通过讲解原理让学生自己思考,沿着老师提供的思路,寻求解决方法:像前面两道题,学生得出答案后,教师应引导性的对学生的答案做评价,比如继续发问后面的条件加与不加有什么区别;学生得出后面两道题答案之后,教师及时做了评价,还要设问等号取不到的情况如何解决?这样及时评价,又引出学生更多思考的空间,能够提高学生思考能力。所以说,激励在小组活动中是非常重要的。让学生在一个充满了探索的过程中,不断地提高对数学知识的探索能力以及积极性。

三、通过练习让学生学会多种解题方法

再举个例子:求的最大值,其中:a>0,b>0,a+b=1。老师组织学生小组讨论过程中,相互探讨得出多种答案,培养学生独立思考、挖掘答案的习惯,老师只是学习过程中的引路人,陪伴者,抛弃“满堂灌”的教学方式,让学生不再被动接受知识,而是主动追随自身兴趣的引导来学习;学习了本节课的内容,学生在学习数学知识的基础上,不断深化学习内容,了解知识形成过程,让学生以较强的思维能力完成学习任务。在这个过程中,有的小组经过讨论,会得到几种解题的方法。比如:利用二次函数求最大值、利用函数求最值的方法以及巧妙换元等不同的解题方法。一直以来,如何让学生能够更有效率的在课堂学习中学到知识困扰着教育人员。事实上,以学生为主、让学生主动学习知识的课堂才是高效的课堂,这样的课堂能让学生充分掌握课堂知识,实实在在的提高学习能力。所以说,教师要做好充分心理准备来准备教学教材,了解学生状态,预想到学习过程中学生会面临的任何问题。时代在前进,教育课程也在改进,新课程要求学生不再是被动接纳知识,老师不再是满堂灌,学生对学习知识有了主动权,这样的转变提高了对教师的要求,教师要灵活应对学生学习过程中遇到的问题,还要把握教学进度。通过简单例子的练习,学生们明白合作学习要每个小组成员发挥自己能力来独立思考问题,与他人合作探讨问题答案,最后享受成功的快乐,这样高效的课堂对学生来说是提升自我的良好平台。

四、学生变身为“讲课人”

很多时候,通过学生们探讨查询,已然能总结出正确解决方法,老师要做的就是针对性的鼓励评价,补充解释比较复杂的问题。所以,教师要敢于放开,让学生们主动总结学习到的知识,拥有展现自我的机会。经过不断的联系巩固,学生们有能力分析解决问题的思路,有能力提出解决问题的方法。例如,很多学生通过小组合作学习的方式掌握基本不等式在求最值时的规律技巧:等式各项的要求就是正数,负数可以通过添加负号的方式使其变为正数;还有小组发现了不等式取等号的基本条件;其他小组挖掘出适合应用基本不等式形式的方法,即加减项配凑。学生主动摸索问题的解决方案和其中规律的效果比教师授课的效果要好的多。老师在整个过程中。尽量不要对学生的讲解进行打断,多去倾听学生的思路,不仅有助于能够及时发现学生在学习中出现的问题,还可以培养学生的发散性思维能力,对于提升高中数学教学质量有着非常大的促进作用。

五、结语