随机有限元法

随机有限元法（精选五篇）

随机有限元法 篇1

1 公式及力学模型的建立

1.1 随机参数非线性单自由度系统

1.1.1 摄动法

考虑如下的单自由度非线性系统的运动方程:

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式中:m、c、k分别为系统的质量、阻尼和刚度,它们均为随机量。g(x,undefined)是位移x和速度undefined的非线性函数,ε为一小参数,它确定了非线性的程度。F(t)为确定性的外激励。

如果考虑到阻尼的影响,则式(1)变为式(2)(杜芬(Du-ffing)方程形式)。

undefined

在周期力作用下,式(2)变为:

undefined

式中:F和Ω分别为外力的幅值和圆频率。

根据摄动法,式(1)的近似解可写成:x=x0+εx1

故:

〈x2〉=〈xundefined〉+2ε〈x0x1〉+ε2〈xundefined〉 (4)

将式(1)代入式(4),并把g(x,undefined)在x0附近Taylor展开,略去0(ε2)项,比较ε的同次幂函数,有:

undefined

式(5)的解x1看成下列各个解的叠加:

x1=x1g+x1m+x1c+x1k (6)

其中x1g、x1m、x1c和x1k依次是式(7)的解:

undefined

式(5)、式(7)构成了一系列线性微分方程,式(4)中的均方响应〈x2〉可通过随机中心差分法求出。

1.1.2 随机中心差分法

考虑单自由度线性随机微分方程:

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其中m、c、k是确定性参数,而激励p(t)是具有零均值的高斯白噪声过程,式(8)在3个时间点ts-1、ts和ts+1上的表达式为:

undefined

i取s-1、s、s+1,按Taylor 展开,略去高阶项,整理得:

xs+1=N1(Δt)2ps+N2xs+N3xs-1 (10)

其中undefined。

取式(10)的平方再求均值,即得响应的均方值迭代公式,考虑到白噪声或调制白噪声激励,公式为:

R(s + 1) =a2R(s) +b2R(s-1) +2abD(s) +Z2B(s)/m2 (11)

其中D(s)=〈xs,xs-1〉=aR(s-1)+bD(s-1),R(s)=〈xundefined〉,B(s)=〈pundefined〉。

可以证明,由式(11)给出的迭代格式,当步长Δt取为undefined(其中undefined)时,其积分逼近算子的谱半径小于或等于1。因此迭代格式(11)收敛且条件稳定。

现在根据上述的中心差分法来求式(4)的近似均方响应。由式(10)可知:

x0(s+1)=N1(Δt)2Ps+N2x0(s)+N3x0(s-1)

(12)

undefined

将式(13)两边平方即得〈xundefined(s+1)〉,注意到本实验的假设,及式(5)解的叠加,得:

〈xundefined〉=〈xundefined〉+〈xundefined〉+〈xundefined〉+〈xundefined〉 (14)

根据式(14),通过摄动法和随机中心差分法得出式(1)在tt+1时刻的均方响应。

1.1.3 线化和校正法

对于式(2)和式(3)的杜芬(Duffing)方程,把方程中的非线性项μx3用一个线性项αx(α为一个线化参数)来逼近,得到线化方程:

undefined

式中:β2=ω2+α,于是式(15)可等价地表示为:

undefined

设式(15)或式(16)的近似解为:

x=x0+x1 (17)

式中:x0为线化式(16)的解,很明显,x0=Acosβt, x1是x0的校正项,且有|x0|≫|x1|。

把式(17)代入式(16)得:

undefined

由于|x0|≫|x1|,故有:

N(x0+x1)≈N(x0),α(x0+x1)≈αx0 (19)

于是式(18)可近似用线性方程表示为:

undefined

根据式(20),利用Maple计算机绘图,Duffing方程周期的精确解Tex与近似解Tapp随参数k的变化曲线及绝对误差ΔT分别如图1(其中实线表示Tex曲线,点线表示Tapp曲线)、图2所示。

1.2 随机参数多自由度非线性系统

设结构已按某种形式离散化了。考虑下列具有随机参数矩阵 [m]、[c]、[k]的几个自由度的非线性系统。

这里的 [m]、[c]、[k]分别为n×n阶质量、阻尼和刚度矩阵。

设式(21)的近式解为:

undefined

代入参数,并对undefined在undefined附近作Taylor展开略去0(ε2)项,比较ε的同次幂系数, 取均值,即得均方响应矩阵为:

undefined

根据上述的随机中心差分法,可以推出一般公式:

undefined

其中:undefined。

将式(24)乘以其转置矩阵再取均值,并设外激励undefined为高斯白噪声过程得:

undefined

利用关系式undefined可以证明式(26)成立:

undefined

因此,根据式(24)、式(25)、式(26)即可求出式(23),即随机参数多自由度非线性系统的随机响应。

1.3 复合材料层合板随机参数结构响应的摄动样条函数法

根据上述讨论的摄动变分原理、随机中心差分法及线化和校正法,将样条有限元法耦合起来,形成摄动样条函数方法[10]。

考虑一厚度为h、各层等厚的层合板。当用某种方式离散化处理后,式(1)可表示为如下的层合板的振动方程:

undefined

式中:[m]、[c]、[k]分别为层合板的质量矩阵、比例阻尼矩阵和刚度矩阵;{δ}为层合板的位移响应向量;{P(t)}为荷载向量。[m]、[k]可用有限元等方法形成,本实验则采用样条函数方法形成[m]和[k]。

为了导出响应的均值和标准差,将[m]、[c]、[k]和{x}作如下变换:

[m]=[md]+ε[mr],[c]=[cd]+ε[cr],

undefined

其中ε为一小参数,下标d和r表示随机变量的确定性部分和随机部分。将此变换式代入式(1)式并比较ε的同次幂的系数得:

ε0:undefined

ε0:undefined

由式(28)、式(29)可计算出响应的确定性部分{xd}和随机部分{xr},设结构的随机参数为bj(j=1,2,…,m)且bj不是时间的函数,当bj变化不大时,可将其表示为:

bj=bdj+εbrjj=1,2,…,m (30)

式中:bdj为bj的确定性部分,brj为bj的随机变化部分,并设brj具有零均值,ε为一小参数。相应地把[mr]、[cr]、[kr]、undefined、undefined和undefined在bdj(j=1,2,…,m)附近作Taylor展开,式(29)变为:

undefined

式中下标的号“j”表示对随机参数bj求偏示。

由此可见,求解式(29)的问题现已转变为求解式(31)的问题。通过对该方程的求解(本实验采用样条有限元法),可以得到层合板响应的灵敏度undefined、undefined和undefined,进而可求出响应的统计量。

2 数值算例

根据以上给出的有关公式,编制了计算程序,采用摄动样条函数方法求解复合材料层合板非线性系统的随机响应。对于各种边界条件,均选择样条函数作为振型函数。采用摄动样条函数方法求解反对称角铺设层合板动力响应的第一步,正确地计算出反对称角铺设层合板的固有频率。为此,首先计算层合板的固有频率,并将结果与已有的成果进行了比较。

例如,对于石墨/环氧材料,其材料常取为:E1/E2=40,G12/E2=G13/E2=0.6,G23/E2=0.5,υ12=0.25。

约束条件为四边简支,四边固支,a/h=10,铺设角为45°/-45°/45°/-45°。引入无量纲固有频率undefined,计算结果见表1—表5。

表2中的文献[15]采用层合板的高阶剪切变形理论,数值计算采用样条有限元法。从表2可以看出,与采用经典理论[14]的有限元法相比,本实验结果的改进效果较好。

注:(45°/-45°/45°/-45°)

注:(G12/E2=0.5,θ/-θ)

表3和表4的文献[16]采用经典理论,数值计算运用所谓“渐进法”求解了固有频率undefined,本实验的计算结果有相当好的改进。表5中的文献[17],采用层合板的一阶剪切变形理论,用有限元法求得了四层反对称角铺设四边简单支层合板的基频随长宽比a/b变化的若干结果。从表5可以看出,本实验用摄动样条有限元法所得的结果与文献[17]相应的结果相当接近,尤其是接近于方板(a/b=1)时。

注:(G12/E2=0.5,θ/-θ/θ/-θ)

注:(45°/-45°/45°/-45°)

3 结论

采用摄动法和随机中心差分法建立了随机参数的非线性系统在确定性荷载下的随机响应方程,并用摄动样条有限元法分析了反对称层合板的固有频率等响应特性。表1中文献[11,12,13]均考虑了横向剪切变形的影响,除文献[13]和本实验外,其它文献均采用了有限元法,而文献[13]用二、三次B样条函数构成的样条基,对位移场进行插值。从表1可以看出,虽然本实验采用了经典理论,但由于应用摄动样条有限元法,故所得的结果具有相当的精度。

本实验采用了摄动样条有限元法,输入数据少,场未知量少,形成质量矩阵和刚度矩阵简捷,所占机时并不长。数值算例表明本实验计算公式的正确,为复合材料层合板非线性系统的随机响应分析及优化设计的研究提供了一种实用而有效的方法。

摘要：工程结构中的复合材料的几何参数往往具有随机性质,如何研究随机参数非线性系统的随机响应及统计特性,对结构的可靠性设计和优化设计有着非常重要的意义。应用摄动法、随机中心差分法和线化和校正法,建立了复合材料非线性系统的振动方程和计算模型,采用样条有限元法研究了复合材料层合板具有随机参数的非线性系统在确定性荷载下的随机响应,数值算例说明了本算法的正确性。

随机有限元法 篇2

利用Neumann级数展开的Monte-Carlo随机有限元法,分析了纤维缠绕壳体在内压及材料工程常数随机变化作用下的应力响应,绘出了最大应力响应分布曲线,为该类结构可靠性评估及可靠性设计提供了应力响应数字依据.

作 者：雷开贵 邓子辰 陈顺祥  作者单位：雷开贵,邓子辰(西北工业大学工程力学系,陕西西安,710072)

陈顺祥(第二炮兵工程学院,陕西西安,710025)

刊 名：西北工业大学学报  ISTIC EI PKU英文刊名：JOURNAL OF NORTHWESTERN POLYTECHNICAL UNIVERSITY 年，卷(期)：2002 20(3) 分类号：O346 关键词：纽曼级数   复合材料   随机有限元法   压力容器  

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随机有限元法 篇3

关键词无网格Galerkin法;EFG-FE

中图分类号TU348文献标识码A文章编号1673-9671-(2010)081-0134-01

本文采用有限元与无网格耦合的方法,只在裂尖附近区域布置无网格元,而在其他区域采用一般的有限元。这样,不仅可以充分利用无网格元精度高,处理裂纹扩展灵活的特点,而且可以容易地处理力学边界条件,并提高了求解的效率。

1无网格Galerkin法及其和有限元法的耦合

MLS方法构造出来的形函数并不具有插值性质。本文采用与有限元耦合的方法来处理这一问题。

过渡单元的近似函数为:

(1)

式中,R(x)称为坡度函数,它保证了过渡单元实现从无网格边界到有限元边界的光滑过渡。它可采用与有限元形函数相同的定义,即:

由式(1)可以得到过渡单元的形函数为

,x在过渡单元内。(3)

式中,是有限元形函数;是EFG方法的形函数。

而过渡单元形函数的导数为

式中, x在过渡单元内

所以,对于EFG-FE耦合方法,它的位移近似函数可以写为

式中,是EFG-FE耦合方法的形函数

2算例

如图2所示为具有单边裂纹的有限板。板宽度W=1m,高度L=2m,裂纹长度a=0.4m,σ=1Pa。设其处于平面应力状态,弹性模量E=2.07×1011Pa,泊松比μ=0.3。

网格的划分以及节点的布置图如图3,节点沿x方向均匀分布,在y方向上,裂纹附近的节点布置得最密。包括只用来积分的背景单元,共划分为20×40个单元,包括无网格节点,共有21×41个节点。无网格节点布置在裂纹两边,有21×18个,用来积分的背景单元有20×17个。在计算过程中,有限元区域采用2×2阶高斯积分,无网格区域采用4×4阶高斯积分。

用此方法计算沿四条不同回路的积分J*,这四条回路分别为:

Γ1:(0.48,0)→(0.48,0.08)→(0.32,0.08)→(0.32,-0.08)→(0.48,-0.08)→(0.48,0)

Γ2:(0.56,0)→(0.56,0.16)→(0.24,0.16)→(0.24,-0.16)→(0.56,-0.16)→(0.56,0)

Γ3:(0.64,0)→(0.64,0.24)→(0.16,0.24)→(0.16,-0.24)→(0.64,-0.24)→(0.64,0)

Γ4:(0.72,0)→(0.72,0.32)→(0.08,0.32)→(0.08,-0.32)→(0.72,-0.32)→(0.72,0)

计算结果列于表1中。J*1、J*2、J*3、J*4分别是沿回路Γ1、Γ2、

Γ3、Γ4的积分,且分别采用了线性基函数,二次基函数和部分扩展基。其中线性基向量为,二次基向量为,部分扩展基向量为。其次,由于在线弹性问题中,J*是裂尖处的能量释放率,因此在求出J*后,可由式(7)求得在平面应力状态下的应力强度因子KI: (7)

计算结果列于表2,并于精确解比较,Err为应力强度因子的相对误差,,其中精确解为2.358。可以看出,积分回路的选择对线性基和二次基计算结果的影响较大,对部分扩展基计算结果的影响较小,部分扩展基由于引入了项,能较准确地捕捉裂纹尖端的奇异性。

图2单边裂纹有限板

3结论

本文采用无网格Galerkin方法与有限元(EFG-FE)耦合的方法来计算裂纹问题,只在裂尖附近区域布置无网格元,而在其他区域采用一般的有限元。这种耦合的方法不仅解决了无网格Galerkin法力学边界条件施加的难点,而且还克服了无网格Galerkin法耗时较多的缺点。由于采用背景有限元网格作为无网格元的积分网格,因此有限元与无网格元耦合非常便利,也便于在计算时划分网格及布置节点,从而大大提高了精度

参考文献

[1]宋祖康,陆明万,张雄.固体力学中的无网格方法[J].力学进展,2000,30(1):55～65.

[2]刘更,刘天祥,谢琴.著.无网格法及其应用[M].西北工业大学出版社,2005:203

～213.

[3]张雄,刘岩.无网格法[M].北京:清华大学出版社,2004:61～91.

随机有限元法 篇4

2012年12月, 国务院常务会议通过的《“十二五”循环经济发展规划》指出, 发展循环经济是实现可持续发展的重要途径和基本方式。[1]发展逆向物流, 通过资源回收利用, 以实现减少废弃物、提升企业环保形象的目标, 符合十八大报告强调资源和能源节约的主旋律。

近年来, 已有不少学者致力于研究逆向供应链成员企业库存控制策略、收益分配协调策略、激励机制等。Savaskan等 (2004) 探讨了由制造商负责回收、分销商负责回收和第三方负责回收3种回收渠道下各方的最优决策。[2]孙浩和达庆利 (2008) 在考虑随机回收量, 以及制造商或回收商有库存容量等因素的基础上, 分析了制造商和回收商的最优决策变量, 并采用收入———费用共享契约, 来协调该逆向供应链的发展。[3]朱庆华和窦一杰 (2011) 综合考虑政府补贴、产品绿色度水平、消费者环境偏好等因素, 建立了政府与制造商之间的三阶段博弈模型。[4]Hsueh (2011) 研究了随机需求和回收情况下, 制造和再制造过程中的库存控制策略, 分析了闭环模式下, 产品生命周期每一个阶段 (初期、成长期、成熟期和衰退期) 的最优生产批量大小、订货点、安全库存。[5]Dat等 (2012) 在分析废弃电子电器产品逆向物流网络的基础上, 提出了一个数学规划模型, 最大限度地减少了处理多种电子废弃物总体成本。模型因素考虑了回收、处理、运输过程中的成本, 以及各种废旧产品的销售收入, 求出了逆向物流网络中的最优设施节点和流量。[6]Cardoso等 (2013) 综合考虑生产、配送和逆向物流活动等因素, 建立了一个混合整数线性规划模型, 并采用决策树方法, 解决产品需求不确定性问题。[7]Diabat等 (2013) 考虑库存租金、库存容量、材料运输、处理等成本因素, 建立了多级逆向物流网络, 采用混合整数非线性规划模型, 分析分散回收点的选址和数量, 以及最优的回收中心点设置。[8]Benedito和Corominas (2013) 提出了一种依赖于销售量的退货模型, 回收量取决于新产品的使用寿命以及废旧产品被退回的概率。采用马尔可夫决策问题求得制造商的最优生产策略。[9]曹柬等 (2013) 在考虑制造商的再制造率和努力程度为不对称信息的情况下, 设计了政府对制造商的激励契约, 并分析了再制造率、努力程度等因素与政府激励契约之间的关系。[10]易余胤和梁家密 (2013) 建立了奖惩制度下, 由单一制造商、零售商和第三方回收商构成的闭环供应链模型, 分析分散决策、集中决策和协调模型中奖惩力度和最低回收率对企业决策和收益的影响。[11]

虽然逆向供应链不断发展, 但我国大部分企业关于逆向物流的基础设施建设尚未完善, 第三方仓储系统在逆向供应链发展中将发挥着重要作用。目前, 有关第三方库存系统对逆向供应链各成员决策及收益影响的相关文献研究较少。鉴于此, 本文在已有文献的基础上, 综合考虑了政府环境规制、财政补贴、制造商再制造率、回收商努力程度等因素, 建立了由制造商和回收商构成的二级逆向供应链系统, 分析了供应链成员在不租用和租用第三方仓储两种情况下各自收益影响情况, 并比较分析了在一定范围下, 租用第三方库存可以使供应链整体收益更优。

模型背景及参数假设描述

1.模型框架

企业库存能力是影响供应链能否顺利运行的关键之一。由于目前我国大部分制造企业对于逆向物流的基础设施建设不够完善, 企业面临着库存能力有限的问题。制造企业作为逆向供应链上的核心企业, 承担库存不足时向第三方仓储系统租借相应库存容量的责任。同时, 为落实资源循环利用的节能计划, 制造商一方面使用原材料进行产品制造, 另一方面将从回收商处回购的EOL产品重加工再制造。回收商从消费者群体中回收EOL产品, 并立即交付制造商。政府对于制造商的生产经营活动实行税收政策和再制造补贴激励机制。由此建立由制造商和回收商构成的二级逆向供应链决策模型, 如下图所示。

2.相关参数和决策变量描述

(1) 政府:对制造企业实行产品税收政策和再制造产品绿色补贴激励机制。制造商每生产一单位产品 (包括使用原材料及废旧产品生产的所有产品) 须缴纳税费为t;使用EOL产品每再制造一单位产品给予补贴为s。

(2) 制造商:使用原材料制造的产品单位成本为Cm;使用EOL产品再制造的产品单位成本为Ce, △=Cm-Ce>0;从回收商处回购EOL产品的转移价格为pt (决策变量) ;即使制造商再制造水平较高, 仍无法保证将EOL产品完全再利用, 令EOL产品再制造率为ξ;生产总量为qt (决策变量) ;用于存放EOL产品的自身库存容量为L;所有产品均以市场价格p在市场上销售;制造商的收益函数为πM。

(3) 回收商:pr为回收商向消费者购买EOL产品的回收价格 (决策变量) , e表示回收努力程度 (包括回收渠道设置、广告投入、人员培训等, 为决策变量) , 回收努力成本函数为c (e) =he2÷2, 其中, h表示努力成本系数, h>0;确定型回收量q (pr, e) 是关于回收价格和回收努力程度的线性函数, q (pr, e) =α+βpr+ke。其中, α是不依赖于回收价格和回收努力程度的基本回收量, β表示回收价格对回收量的影响系数, k表示e对qr的影响系数, k>0。令随机回收量为Q (pr, e, ε) =q (pr, e) +ε, 其中, ε为外生不确定性因素, 假设ε服从[0, 1]区间均匀分布。πR是回收商的收益函数。

(4) 第三方仓储系统:制造商回购的EOL产品超过自身拥有的库存容量时, 需向第三方仓储系统租借相应的库存, 每周期内单位库存设施租金为b。

3.模型假设

(1) 制造商和回收商均为完全理性, 即根据各自期望收益最大化原则进行决策。

(2) EOL产品都是可再制造的 (例如机床、大型工程机械等) , 即不考虑回收产品质量的不确定性和差异性。

(3) 制造商具有足够的规模和技术水平对EOL产品进行再制造, 再制品与使用原材料制造的产品同质, 均以相同价格在市场上销售。

(4) 制造商和回收商均为风险中性, 即其效用与收益一致。

模型的建立与求解

由于逆向供应链核心企业面临库存能力有限问题, 本文建立约束条件下, 制造商与回收商之间的Stackelberg博弈模型。制造商作为Stackelberg博弈的领导者, 首先根据自身收益最大化原则决定产品生产总量qt, 以及向回收商购买EOL产品的回购价格pt。回收商作为Stackelberg博弈的跟随者, 在制造商给定决策结果后, 选择其最优回收价格pr和回收努力程度e。下面分别讨论制造商在库存足够和不足情况下的决策行为。

1.制造商库存充足不租用第三方库存设施 (模型1)

回收商向消费者群体收购EOL产品后立即交付给制造商, 由制造商储存。此时, 回收量小于制造商本身拥有的库存容量, 足够存放EOL产品, 不需要向第三方租借相应的库存。根据上述模型背景情况, 得到受库存容量约束的制造商和回收商利润函数分别为:

采用逆向归纳法, 求解该博弈模型, 得到回收商的期望收益函数为:

由于, 故回收商的期望收益函数EπR是关于e的凹函数。由一阶条件得到回收商的努力程度为:

另根据Hesse矩阵负定 (参见附录) 得出。则令, 得到:

因此可知回收商的预期回收量为:

根据式 (3) 的约束条件, EOL产品回收量在制造商原有库存容量范围之内, 则得到满足该约束条件的回购价格和库存容量关系为:

同时, 由式 (1) 得到制造商的期望收益函数为:

由于, 故制造商期望收益函数EπM是关于qt和pt的联合凹函数。令, 得到期望收益最优情况下的回收价格为:

其中, 上标“*”表示博弈的最优解。

对比分析式 (10) 和式 (8) , 可发现:

当, 即制造商原有库存容量时, 可以选择pt1*使其期望收益达到最优。

当L<[ξβ2h (p+s-ce-t) +βh (α+0.5) ]÷[2 (2βh-k2) ]时, 制造商为使其自身收益达到最大, 只能选择满足式 (8) 的最大临界值。由此两种情况, 可得到以下结论:

(1) 在制造商库存容量L>[ξβ2h (p+s-ce-t) +βh (α+0.5) ]÷[2 (2βh-k2) ]的情况下, 逆向供应链企业最优的回购价格pt1*、生产总量qt1*、回收价格pr1*和回收努力程度e1*, 以及制造商和回收商最优期望利润分别满足:

(2) 在制造商库存L<[ξβ2h (p+s-ce-t) +βh (α+0.5) ]/[2 (2βh-k2) ]的情况下, 逆向供应链企业次优的回购价格pt1SB、生产总量qt1SB、回收价格pr1SB和回收努力程度e1SB, 以及制造商和回收商期望利润分别满足:

其中, 上标“SB”表示博弈的次优解。

2.制造商库存不足需租用第三方库存设施 (模型2)

此时, 回收商的回收量超过制造商本身所拥有的库存容量。因此, 作为核心企业的制造商需要向第三方仓储系统租借相应的库存容量用以存放EOL产品。根据此模型背景情况, 得到受库存容量约束的制造商和回收商利润函数分别为:

同样采用逆向归纳法求解该模型。回收商期望收益同上节, 因此, 得到库存容量不足于回收量情况下的回收商最优回收努力程度和回收价格分别为:

e=[βkpr+k (α+0.5) ]÷ (2βh-k2) , pr=[ (βh-k2) pt-h (α+0.5) ]÷ (2βh-k2) , 由此得到回收商的预期回收量为:

根据式 (13) 的约束条件, EOL产品回收量超出制造商原有库存容量范围, 则得到满足该约束条件的回购价格和库存容量关系为:

由式 (11) 得到制造商的期望收益函数为:

由于, 故制造商期望收益函数EπM是关于qt和pt的联合凹函数。令, 得到原有库存不足时, 期望收益最优情况下的回收价格为:

对比分析式 (17) 和式 (15) , 可发现:

当[ξβ (p+s-ce-t) -βb-α-0.5]÷ (2β) >[L (2βh-k2) -βh (α+0.5) ]÷ (β2h) , 即制造商原有库存容量L<[ξβ2h (p+s-ce-t) +βh (α+0.5) -bβ2h]÷[2 (2βh-k2) ]时, 可以选择pt2*使其期望收益达到最优。

当L>[ξβ2h (p+s-ce-t) +βh (α+0.5) -bβ2h]÷[2 (2βh-k2) ]时, 制造商为使其自身收益达到最大, 只能选择满足式 (15) 的最小临界值。

由以上两种情况, 可得出结论:

(1) 在制造商库存容量L<[ξβ2h (p+s-ce-t) +βh (α+0.5) -bβ2h]÷[2 (2βh-k2) ]的情况下, 逆向供应链企业最优的回购价格pt2*、生产总量qt2*、回收价格pr2*和回收努力程度e2*, 以及制造商和回收商最优期望利润分别满足:

(2) 当制造商库存L>[ξβ2h (p+s-ce-t) +βh (α+0.5) -bβ2h]÷[2 (2βh-k2) ]时, 逆向供应链企业次优的回购价格pt2SB、生产总量qt2SB、回收价格pr2SB和回收努力程度e2SB, 以及制造商和回收商的期望利润均与制造商库存L<[ξβ2h (p+s-ce-t) +βh (α+0.5) ]÷[2 (2βh-k2) ]情况下的决策和利润相同。

结论

本文综合考虑了政府环境规制、制造商再制造率、回收商努力程度等因素, 建立了由制造商和回收商构成的二级逆向供应链系统, 分析了供应链成员在不租用和租用第三方仓储两种情况下的收益。模型结果表明, 当制造商原有库存达到一定容量时, 不租用第三方库存将获得最优生产决策。而在一定库存范围内, 制造商需要向第三方租借相应库存用以存放回收商回收的废旧产品, 使得供应链成员效益最优。

本文假设作为逆向供应链核心企业的制造商负责向第三方仓储系统租借额外库存, 而实际供应链生产运营中可以由制造商负责租借, 也可以由回收商负责租借。因此, 探讨由哪方负责租借额外库存, 可使供应链效益更优, 以及如何设计激励机制, 促使供应链成员企业有效合作将是今后的研究方向。

附录:

回收商期望收益函数的Hesse矩阵求解。根据回收商期望收益函数表达式EπR= (pt-pr) (α+βpr+ke+0.5) -he2÷2, 得到关于pr和e的二阶偏导数, 分别为。因此, 回收商期望收益函数的海塞矩阵表示为。由Hesse矩阵负定与函数为凹函数等价得出2βh-k2>0。

参考文献

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提高思维力的基本方法：随机应变法 篇5

有一天，一个老人挑了一担西瓜上街去卖，走累了，就在路边一间危房里休息。有个哑巴看见老人进去，他也跟了进去。他进去是要告诉老人，这房子危险，要赶快离开。可是哑巴不会讲话，他打了不少手势，老人也不知道哑巴是什么意思。这时，突然狂风四起，房子随时有倒塌的危险，一定要让老人立即出去才行。哑巴急了，突然，他想到一个办法，使老人主动跟着他出去了。老人刚一走出房子，那间危房就倒塌了，好险呀！哑巴用的是什么办法呢？原来哑巴抱起一个西瓜就往房外跑，老人当然不饶他，就立即追了出来。哑巴所用的办法，就是随机应变法。