向量概念

向量概念（精选五篇）

向量概念 篇1

1. 向量概念的物理学语境

定义1:向量是一种既有大小又有方向的量.又称为矢量.这个定义是中学数学以及大学数学基础课和普通物理教材中采用的最传统的定义.是从物理学研究的一些基本量如,力、位移、速度、加速度、动量、电场强度引用而来,舍弃实际含义,抽象出数学中的概念.这些量贯穿于物理学的许多分支,都是数学中的向量的现实原型,为数学中的向量提供了丰富的物理背景.

定义2:向量是一个既有大小和方向又满足平行四边形法则的量.

但实际上,物理概念的抽象和数学概念的抽象是有本质区别的,例如,电流强度、有限角位移等虽有大小方向,但不满足平行四边形的相加法则,所以就不是向量,由此可以看出传统向量定义的不足.为此,有学者就提出了定义2,将我们平时显而易见的平行四边形法则作为向量的本质属性写在定义中.

从以上两个定义我们可以看出,数学家们为了对现实问题或者数学问题进行求解,预先构造一套合适的数学语言,而数学概念语言的建立本质上有包含具体物理意义的语境所决定,是数学家语用约定的结果.

2. 向量概念的几何学语境

向量可以表示物体的位置,也是一种几何图形(有向线段),因而它成为几何学的基本研究对象.作为几何学的研究对象,向量有方向,可以刻画直线、平面等几何对象及它们的位置关系;有长度,可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题.

定义3:平面上全体点的一个平移,叫做平面上的一个位移向量,简称向量.

定义4:向量是平面上有向线段的等价类.

在这里,突出了向量的几何语境,很好的解释了“自由向量”的本质属性.有向线段既有几何特征,也与物理学语境中的传统定义相吻合,也就使得这种定义能更方便地应用于几何和物理当中.

3. 向量概念的代数学语境

虽然向量作为有向线段可用来确定位置.但要用向量解决几何中的长度、角度等度量问题是远远不够的,必须通过向量的代数运算才能实现.如,利用向量的数乘运算可以刻画平行,利用向量的数量积运算可以刻画垂直、角度、三角函数等.而运算及其规律是代数学的基本研究对象.因此,就需要给出向量的代数定义.

定义5:由n个数a1,a2,…,an组成的形如或

的有序数组叫做n维向量.数ai叫做它的第i个分量.

通过这个定义,向量可以进行加、减、数乘、数量积(点乘)、向量积(叉乘)等多种运算,使得向量具有一系列丰富的性质.

4. 向量概念的向量空间模型语境

为了丰富向量空间的结构,数学家们又建立起了内积空间的理论,在这里,向量既不是有向线段也不是数组,而仅仅作为一些抽象的数学对象,称作是向量空间的元素或者点.各种有着具体形式的向量则仅仅只是这一概念的一些具体解释.

定义6:令F是一个数域,F中的元素用小写拉丁字母a,b,c,…来表示.令V是一个非空集合,V中元素用小写希腊字母α,β,γ,…来表示.把V中的元素叫做向量,而把F中的元素叫做数(标)量,如果下列条件被满足,就称V是F上的向量空间:

(1)在V中定义了一个加法,即若α∈V,β∈V,则(α,β)→α+β∈V.

(2)有一个数量与向量的乘法,即a∈∈V,(a,α)∈V.

(3)向量的加法和数与向量的乘法满足下列算律:①α+β=β+a;②∃30∈V,Vα∈V,有0+α=α;③彐0∈V,Vα∈V,有0+α=α;④彐α∈V,Vα’∈V,有α’+α=0;⑤a(α+β)=aα+aβ;⑥(a+b)a=aα+ba;⑦(ab)α=a(ba);⑧1α=α.

作为一种数学模型,数列、函数、多项式、矩阵等都可以成为相应向量空间中的向量,丰富了向量的外延.

二、多语境观下的向量概念教学启示

1. 向量概念的层次性决定向量在不同的教学阶段有不同的含义和不同的教学要求

数学语境存在层次差别,低层次语境向高层次语境的扩张是数学发展得以展开的前提.通过语境层次的不断扩张,数学问题也不断得到解决,最终促进了数学的发展.在中学和初等物理课程中,特别强调向量的几何定义,当质点做直线运动时,运动方向、速度、加速度都只用正负号就可表示,即都可以当做代数量来处理,因此定义1、2和定义3、4就成为基本的概念定义;在相对论和量子力学中则需要向量的代数定义5;而在现代数学中就需要抽象的向量空间定义6.

2. 方法论角度,从“多元性”的视角来理解数学的发生、发展

比如,在学习平面向量基本定理后,可以发展学生把平面看成一个2维的代数系统,这个系统就是由两个不平行向量的线性组合得到,进而可以使学生认识到空间向量就是一个有3个不共面的向量生成的一个3维代数结构.而结构数学是现代数学发展的主要方向.如,从历史研究出发,对于向量的理解可以从向量理论的起源与发展主要有三条线索进行:物理学中的速度和力的平行四边形法则;位置几何;复数的几何表示.而现代数学意义上的向量概念,它包涵的对象极为丰富,已经被推广到更高维的空间或更抽象的空间,它已成为现代物理学和数学研究的基本工具之一.

向量概念的语境化为理解、说明向量提供了一个新视角,对向量概念的认识不再是绝对的,而是有一个语境前提,在相应的语境下理解向量概念的发生、发展,也为向量的意义分析提供了一个新的理解思路.

参考文献

[1]郭贵春,成素梅.科学哲学的新进展[M].北京:科学出版社,2008.

[2]徐元根.现代数学中的向量概念[J].中学数学杂志,2002(1):19-20.

向量概念教案 篇2

教学目的：

1．理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义； 2．理解向量的几何表示，会用字母表示向量；

3．了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行(共线)、相等的关系； 4．通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力．

教学重点：向量的概念，相等向量的概念，向量的几何表示． 教学难点：向量概念的理解． 教学过程：

一、设置情境，引入新课：

现实生活中有一些量既有大小又有方向。答：比如：力、速度、加速度等有大小也有方向． 举例：在物理中表示推小木箱的力的办法。我们把既有大小又有方向的量叫做向量．这就是我们今天要学习的平面向量的第一小节：向量(板书课题)．

二、新课：

1．向量的概念：

既有大小又有方向的量叫向量．例：力、速度、加速度等． 2．向量的表示方法：

(1)几何表示法：点和射线(数学中通常用点表示位置，用射线表示方向．常用一条有向线段表示向量)．

有向线段——具有一定方向的线段． 有向线段的三要素：起点、方向、长度．

符号表示：以A为起点、B为终点的有向线段记作()．(2)字母表示法： 可表示为()． 例 小船由A地向西北方向航行15n mail(海里)到达B地，小船的位移如何表示？ 用1cm表示5n mail(海里)，如图．

3．向量的模：向量 的大小——长度称为向量的模． 记作：| |，模是可以比较大小的． 注意： 数量与向量的区别：

数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；例如：温度、距离。

向量有方向，大小，双重性，不能比较大小． 4．两个特殊的向量：

(1)零向量——长度为零的向量，表示为：（）(2)单位向量——长度等于1个单位长度的向量． 5．向量间的关系：

(1)平行向量——方向相同或相反的非零向量(如图)，记作：（）．规定：（）与任一向量平行． 长度相等且方向相同的向量．

记作：（）．规定：（）注意：1°零向量与零向量相等． 2°任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关．

问：如果我们把一组平行向量的起点全部移到同一点O，这时各向量的终点之间有什么关系？这时它们是不是平行向量？

答：各向量的终点都在同一条直线上，是平行向量．

(3)共线向量——由此，我们把平行向量又叫做共线向量．

6．例题分析：

例1 有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？ 答：有无数个单位向量；单位向量大小相等；单位向量不一定相等．

例2 判断下列命题真假或给出问题的答案：(1)平行向量的方向一定相同．(2)不相等的向量一定不平行．

(3)与零向量相等的向量是什么向量？(4)与任何向量都平行的向量是什么向量？(5)两个非零向量相等的充要条件是什么？

解：(1)根据定义：平行向量可以方向相反，故命题(1)为假；

(2)平行向量没有长、短要求，故命题(2)为假；

(3)只有零向量；

(4)零向量；

(5)模相等且方向相同

说明：零向量是向量，只不过它的起、终点重合．依定义、其长度为零． 例3 判断：若 //，且 //，则 // ．

证明：向量平行的传递性要成立，就需“过渡”向量 不为零向量． ①两个向量均不为零时，∵ //，∴ 与 同向或反向． 又∵ //，∴ 与 同向或反向，∴ 与 同向或反向，∴ // ． ②若 与 中有一个为零，则另一个无论为零还是不为零，均有 // ．

三、小结：

1．描述一个向量有两个指标：模、方向．

2．平行概念不是平面几何中平行线概念的简单移植，这儿的平行是指方向相同或相反的一对向量，它与长度无关，它与是否真的不在一条直线上无关． 3．向量的图示，要标上箭头及起、终点，以体现它的直观性．

四、巩固练习：

1．等腰梯形ABCD中，对角线 AC与BD相交于点P，点E、F分别在两腰AD、BC上，EF过P且EF // AB，则下列等式正确的是(D)A． B．

C．

D．

2．物理学中的作用力和反作用力是模__________且方向_________的共线向量．(答：相等，相反)

平面向量中基本概念常见错误剖析 篇3

一、忽视零向量的特殊性

例1 a，b是任意向量，给出下列命题：

①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线；

②|a|+|b|=|a+b|成立的充要条件是a与b同向共线；

③若a与b共线，则有且仅有一个实数λ，使a=λb；

④若a∥b，则a与b的方向相同或相反。

上述命题中正确的有____个。

错解 4。

剖析 对于不重合的三条直线a，b，c，满足a∥b，b∥c，则a∥c，但在平面向量中却不一定成立。事实上，若b=0，由于零向量与任意向量都是平行向量，则a与c不一定共线，所以①不正确；

命题②忽略了a或b为零向量的情况，所以②不正确；

命题③中若b=0，任意向量a均与b共线，但不一定有a=λb，所以③不正确；

命题④中，仅仅适合于a与b均为非零向量的情况，所以④不正确。

正解 0。

评注 1.解决这类与平面向量的概念有关的命题真假的判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，以概念为判断依据，或通过举反例说明其正确与否，特别应注意零向量的特殊性。

2.在初学向量时绝对不能把0与0混为一谈：0表示长度为0的向量，即|0|=0。它的方向是任意的，规定0与任意一个向量都平行；而0是一个没有方向的实数。下面几个式子都是错误的：（1）a-a=0；（2）a+0=a；（3）0·a=0；（4）|a|-|a|=0。

二、忽视向量共线与直线重合的区别

例2 已知A（-1，1），B（1，5），C（-2，-5），D（4，7），判断直线AB与直线CD是否共线？

评注 1.方向相同或相反的非零向量称为平行向量，特别规定零向量与任一向量都平行。由于任何一组平行向量都可平移到同一直线上，故平行向量也叫做共线向量，从而可知向量平行与直线平行的区别：两个向量平行（也称共线）包含两个向量重合，两条直线平行不包含两条直线重合。

2.若非零向量b与a共线且它们有公共的点，则它们所在的直线重合。

三、忽视向量运算与实数运算的差异

例3 下列5个命题：

①若a≠0，则对于任意的非零向量b，有a·b≠0；

②若a≠0，且a·b=a·c，必有b=c；

③（a·b）·c=a·（b·c），对于任意向量a，b，c都成立；

④若a，b满足|a|>|b|且a，b同向，则a>b。

其中正确命题的有____个。

错解 4。

剖析 在实数运算中，若a≠0，b≠0，则ab≠0；若a≠0，且ab=ac，则b=c，以及（a·6）·c=a·（b·c）都成立，但在平面向量中，类似结论不一定成立。

事实上，由向量的数量积定义可知，a·b=|a|·|b|cosθ（其中θ是向量a与b的夹角），因此a·b=0，应有a=0或b=0或a⊥b，所以①与②都是错误的。

对于③，因为向量的数量积是一个数量，而实数与向量的积是一个向量，要说明两个向量相等，不仅方向要相同而且大小要相等，而③中等式的左边是与c共线的向量，右边是与a共线的向量，所以③是错误，即向量的“乘法”不满足结合律。

对于④，两个向量不能用“>”来比较。同学们经常混淆向量与向量的大小两个概念，向量是既有大小又有方向的量。向量的大小即向量的模是一个数量，可以比较大小，但向量的方向却无法比较大小，因此向量无法比较大小。

正解 0。

评注 具体可参考前文《向量个性知多少？》

向量概念 篇4

下面, 笔者将对“向量”概念在新旧课程中的教学加以对比, 以发现差异, 并将从教学的设计、教学过程、教学的后记、教学反思和启示进行比较。

一、原课程中教学的反思

(1) 原课程的教学设计。在原教材中, 对于向量的概念只有一句话:我们知道, 位移是既有大小又有方向的量。事实上, 现实世界中, 这种量是很多的, 如力、速度、加速度等。我们把既有大小又有方向的量叫作向量。教学过程中, 仅仅把概念作为一个名词, 举个例子, 进行“一次性归纳”, 或者是直接把概念提出来, 作出解释, 使学生能够理解、记住。

(2) 对照《标准》的反思。分析易发现, 原教学设计有以下明显特征: (1) 注重知识的传授, 把数学知识作为教学的唯一目标。 (2) 片面在理解学生的学习活动, 认为学生的学习活动只限于接受、记忆、模仿和练习。 (3) 忽视对学生思维能力的培养。 (4) 没有考虑学生的认知水平。 (5) 过度形式化, 弱化了数学知识的发生、发展过程。 (6) 无任何文化意识。 (7) 缺乏数学应用意识。

二、反思后的新课程教学设计

(1) 新课程教学设计。《标准》指出:“倡导积极主动、勇于探索的学习方式;注重提高学生的数学思维能力;发展学生的数学应用意识;强调本质, 注意适度形式化;体现数学的文化价值。”同时《标准》还指出:“数学在形成人理性思维和促进人的智力发展的过程中发挥着独特的、不可替代的作用。数学素质是公民所必须具备的一种基本素质。”

对比《标准》的理念, 反思原来的教学设计, 结合北师大版《数学》4, 笔者做了如下设计:

物理学中已经学过的“位移”“速度”和“力”等物理量。针对此知识位移用两个实例来展示:实例一, 飞机飞行;实例二, 从学校到家。速度也用两个实例:行驶中的汽车和投标枪。力也用两个实例来展示, 分别是吊重物和汽车爬坡。这些事例全都可用生动形象的图片展示出来。通过这些图片, 学生会发现这些量都有大小和方向。

(2) 设计理念。 (1) 注重学习方式。通过6个实际的例子, 让学生自主探索、合作交流, 逐步抽象出向量的概念。数学是思维创造的产物, 数学活动是思维创造的活动, 学习是思维的再创造过程。所以, 发挥学生的主动性, 变被动学习为主动学习, 重视亲身实践, 让学生在已有知识的基础上, 重新构建自己新的知识体系。 (2) 体会数学的应用价值。所举例子中有身边的位置移动问题、汽车爬坡中的受力分析问题, 有生产过程中起重机吊重物中的受力分析, 更有体育竞技中体育科技问题。这有利于激发学生学习数学的兴趣, 增强学生的应用意识, 扩展学生的视野。 (3) 加强思维训练。从具体的、错综复杂的实际问题中抽象出数学概念, 这实际上是对人的思维能力的难得的一次训练。这种抽象的过程本身就是一种方法论, 在这个过程中体验和感受, 对学生以后个人成长和智力发展具有实实在在的意义。

三、新课程教学设计、教学过程的反思和启示

(1) 对教育观念的反思。教育观念是指教师对教育本质的理解、认识和感悟。作为数学教师, 数学教育观念就是其对数学、数学教育的本质和价值的认识和理解。如果教师把数学理解为一种工具, 那么教学过程中他就会注重数学的应用性, 强调数学与生产、生活以及其他学科的联系;如果认为数学能赋予人创造性, 那么他就会自觉地把数学知识的发生、发展的过程作为学生发现、探究, 进行再创造的过程。不同的教育观念会产生不同的教育倾向。如果教师认为数学教学就是传授知识, 那么他的教学设计就会注重教学的“结果型”模式;如果教师认为数学教学的目的是实现人的发展, 培养学生的批判意识与创造能力, 其教学设计就会呈现一种“追求过程型”“探索型”的模式。

《标准》中首次将数学观念和数学教育观分开讨论, 有着十分积极的意义。《标准》中指出数学是刻画自然规律的和社会规律的科学语言和有效工具, 数学正在不断地渗透到社会生活的方方面面, 许多方面直接创造价值。数学在形成人的理性思维和促进个人的智力发展的过程中发挥着独特的作用。这一系列描述性的语言, 从不同的侧面阐述了数学的本质, 说明了正确数学观的标准。同时, 《标准》还单独列出了数学教学中注意的问题, 其中有构建共同基础, 提供发展平台;提供多样性课程, 适应个性选择;倡导积极主动、勇于探索的学习方式等。这些都从各个方面强调了数学教育的价值, 定位于数学教育是通过数学进行教育, 是学生获得真正的发展。

在新的课程改革的实践中, 作为教师, 首先应该明确数学价值, 明确数学教育的作用。只有这样, 教师在数学教育的各个环节上才能保证方向明确, 不走弯路。

(2) 对数学文化意识的困惑和反思。《标准》中明确指出, “数学是人类文化的重要组成部分, 数学的课程设计应该体现数学的文化价值。”《标准》只给出了概括性的描述, 并提出非常具体的要求。那么摆在面前的问题是, 什么是数学文化, 它有什么样的具体价值, 具体的教学设计时用什么样的方式体现, 采取什么样的手段体现其价值。比如在“向量”概念的教学设计之初, 也有体现文化价值的理念, 但是, 面对数学中一个冷冰冰的抽象概念时, 确实无从下手。

当教师把一节课上完, 会觉得在数学文化上, 新课程的教学设计和原来教学设计无任何差异。因此, 教师应重新审视《标准》在课程设计理念中所提出的要求:“数学课程应该反映数学的历史、应用和发展趋势, 数学对推动社会发展的作用, 数学科学的思想体系, 数学家的创新精神。数学课程应该帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用, 逐步形成正确的数学观。为此, 高中数学课程提倡体现数学文化价值, 并在适当的内容中提出对数学文化的学习要求, 设立数学史选讲等专题。”

当前电视、媒体虽在不断大力宣传红色传统的民族歌曲, 可是学生们似乎并不喜欢听, 他们总是选择如张杰、汪苏伦、周杰伦等歌星演唱的流行歌曲。因此, 重视民族音乐与教学, 培养音乐人才, 是摆在我们面前的严峻问题。

一、提高认识, 加强自身修养

一堂成功的音乐课, 不仅能使学生感到轻松活泼、其乐无穷, 而且还能开发学生丰富的想象力, 从而有效地达到教学目的。想要学生喜欢音乐课, 必须让学生喜欢音乐老师, 要想让学生喜欢音乐教师, 就必须具备良好的综合素养。所以, 加强教师本身音乐修养与能力就显得尤为重要。在教学中, 教师不能只局限于完成教材所给的内容与要求, 更应该注意拉近学生与音乐的距离, 充分挖掘其中的内在的美, 这是教学的重点所在。这就需要我们不断学习、不断研究, 与时俱进, 适应时代与学生不断的审美需求, 让学生愿意、喜欢接近老师尤其是民族音乐文化。

二、开拓视野, 深化了解

教师要多留意电视、媒体等播放的音乐, 不断收集积累, 用录像、录音设备等, 把电视与媒体中好的、有意义的视频及时录制下来, 以备平时教学使用, 并把平时积累的材料应用到教学之中。如通过播放录像形式, 介绍小提琴协奏曲《梁祝》等……当学生看到中国民族民间音乐在世界级音乐大厅受到外国朋友的喜欢, 听到了经久不衰的掌声时, 民族自豪感便油然而生。

三、以情感为主线, 培养学生对民族音乐的深厚感情

没有情感的教育学生不能产生兴趣, 同时情感又制约着学

这样看来, 从身边具体的问题到抽象的数学概念;物理学科中力学、运动学与数学紧密联系;新生的体育竞技学科中也离不开数学。细细想来, 这个发现、抽象、对比、概括的过程本身难道不就是数学文化的体现吗?数学文化的内容应该从其价值体现出来, 数学所具有的科学、应用、人文、美学价值就是数学文化的一种实实在在的体现。高中数学的学科体系, 教材中所列的数学名题、身边的数学、其他学科中的数学、社会中的数学、数学家的生平、数学中重大的历史事件、我国数学发展的璀璨成果、艺术中的数学等, 这些都可以成为数学文化教育具体的素材。

(3) 对教学反思的反思。反思是人精神结构的重要组成部分。荷兰哲学家斯宾诺莎认为, 反思是认识真理的比较高级的方式。反思, 一般是指行为主体立足于自我以外批判地考察自己的行为。教师的反思是指教师在教育教学实践中, 以自我行为表现及其行为的依据做“异位”解析和修正, 其中有自我对数学、对学生学习数学的规律, 对数学教育的目的、方法、手段以及对经验的认识, 发展自我的专业水平, 进而不断提高自身教育教学效能和素养的过程。

《新课程标准》从目标、要求到结构体例都与以前的教学大纲有很多的变化, 作为习惯于教学大纲指导下的教师, 如何才能尽快适应《新课程标准》的要求呢?这就要求教师在教学生的认知学习。如何提高学生对民族的音乐热情呢?教师要选择适合中小学生生理、心理特点和接受能力的音乐作品, 同时加强对教学形式的精心选择。如唱、奏、欣赏各种类别的传统优秀音乐内容时, 要先考虑培养民族音乐思维, 激发学生主体主动学习民族音乐的热情, 营造浓厚的传统音乐文化氛围。

四、利用各种手段和方式, 培养学生的民族情感

(1) 民族音乐与课内外活动相结合。教师要充分利用课内外、校内外的活动进行民族教育。在校内, 教师可组织民乐队、合唱队, 再配合音乐课的教学, 教唱民族音乐和民族歌曲, 并组织各种民族歌曲比赛、音乐比赛等。

(2) 民族音乐与多媒体的紧密结合。教师要充分利用多媒体的功能, 在播放音乐时加入图片或图谱, 提示学生从音乐要素、色彩、内容、表达情绪等方面去捕捉信心, 并从视觉上加以辅助, 降低学生听觉上的疲劳, 用直观明了的方法去指导欣赏民族音乐。

(3) 民族音乐与表演有机结合。在欣赏中, 教师要抓住中小学生的特点, 设计一些切实可行的情境, 让他们在活动中感受民族音乐的美。

通过以上的教育活动, 让学生充分认识到民族音乐是世界文化的遗产中的一颗璀璨的明珠, 加强对民族音乐的认识和热爱, 不断增强民族意识。相信通过我们的不断努力, 会让民族音乐真正的潜入学生的心田, 培养音乐人才, 使民族音乐文化不断得到传承、发扬与光大。

(河北省迁安市迁安镇第一初级中学)

过程中要不断反省自我, 继承发扬已有的优良做法, 在实践的基础上有针对性地对自己的教学行为、理念作典型剖析, 自我诘难, 筛选并淘汰自己的不良行为习惯。

在反思的过程中, 教师应该加强横向和纵向的联系, 倡导互相合作, 积极交流, 主动参与, 换位思考, 反传统桎梏理念。同时教师还应该加强理论学习, 用最新的教育理念指导自己的教学行为。当然, 教学是一门遗憾的艺术, 教学设计和操作很难完美无缺, 但是教师可以通过不断反思、改善、提高、再反思, 让它趋于完美, 从而促进自己成长成才, 这是教师的追求, 也是《新课程标准》的追求。

参考文献

[1]李善良.课程标准与教学大纲对比分析[M].长春:东北师范大学出版社, 2005.

[2]杨建辉.新课程标准下教师教学设计中应具备的几种意识[J].数学通报, 2004 (2) .

[3]章勤琼.张维忠.高中数学新教材中的数学文化[J].中学数学教学参考, 2006 (11) .

平面向量的概念教案(中职) 篇5

【教学目标】

知识目标：

（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念． 能力目标：

通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．

【教学重点】

向量的线性运算．

【教学难点】

已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．

【教学设计】

从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．

向量不同于数量，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向线段来直观的表示向量，有向线段的长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“︱a︱＞︱b︱”才是有意义的.教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的加法有三角形法则与平行四边形法则.向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定义的.即a-b=a+(-b)，它可以通过几何作图的方法得到，即a-b可表示为从向量b 的终点指向向量a的终点的向量.作向量减法时，必须将两个向量平移至同一起点.实数乘以非零向量a，是数乘运算，其结果记作a，它是一个向量，其方向与向量a相同，其模为a的倍．由此得到a∥bab．对向量共线的充要条件，要特别注意“非零向量a、b”与“0 ”等条件.【教学过程】

【新知识】

在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．

平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作AB．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作a．

图7－2

aA B

向量的大小叫做向量的模．向量a, AB的模依次记作a，AB．

模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确定的． 模为1的向量叫做单位向量． 巩固知识 典型例题

例1 若平行四边形OABC的三个顶点O（0,0），A（2，-2），C（5,2），则B点坐标为

作 业

1.已知点A(1,0),B(02),C(1,2)，求以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标。2.如图所示，四边形ABCD为正方形，△BCE为等腰直角三角形，D C E A （1）找出图中与AB共线的向量； （2）找出图中与AB相等的向量； （3）找出图中与｜AB｜相等的向量；

B （4）找出图中与EC相等的向量.3.如图，O是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形，在图中所示的向量中：

A

B

E

O

D 分别写出与AO,BO相等的向量；

F