高中空间向量习题

高中空间向量习题（精选6篇）

篇1：高中空间向量习题

空间向量与立体几何的练习题

1.如图所示，在四棱锥PABCD中，侧面PAD是正三角形，且垂直于底面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形， ，M为PC上一点，且PA∥平面BDM.

(1)求证：M为PC中点;

(2)求平面ABCD与平面PBC所成的锐二面角的大小.

2.如图，平面平面ABC， 是等腰直角三角形，AC =BC= 4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD BA， , ，求直线CD和平面ODM所成角的正弦值.

3.如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD， ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD的中点.

(1)证明：PE

(2)若APB=ADB=60，求直线PA与平面PEH所成角的`正弦值.

4.如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AD∥BC，BAD=90，ACBD，BC=1，AD=AA1=3.

(1)证明：AC

(2)求直线B1C1与平面ACD1所成角的正弦值.

5.如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点， AA1=AC=CB=22AB.

(1)证明：BC1∥平面A1CD;

(2)求二面角D-A1C-E的正弦值.

6.如图，在圆锥PO中，已知PO=2，⊙O的直径AB=2，C是 的中点，D为AC的中点.

(1)证明：平面POD平面PAC;

(2)求二面角B-PA-C的余弦值.

7.如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上.设二面角A1-DN-M的大小为.

(1)当=90时，求AM的长;

(2)当cos =66，求CM的长.

8.四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60.

(1)求AC1的长; (2)求BD1与AC夹角的余弦值.

篇2：高中空间向量习题

高二数学单元试题

（考试时间：120分钟满分：150分）

一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1．已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且ka＋b与2 a－b互相垂直，则k的值是（）

137A．1B．C．D．55

52．已知32,2,则5与3数量积等于

A．－15 B．－5 C．－3（）D．－

13．已知A、B、C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M与点A、B、C一定共面的是

（）A． B．2

11111D．OM 2333

34．已知向量a＝（0，2，1），b＝（－1，1，－2），则a与b的夹角为（）C．OM

A．0°B．45°C．90°D．180°

5．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为

A．2（）B．3C．4D．

56．在下列命题中：①若a、b共线，则a、b所在的直线平行；②若a、b所在的直线是异面直线，则a、b一定不共面；③若a、b、c三向量两两共面，则a、b、c三向量一定也共面；④已知三向量a、b、c，则空间任意一个向量p总可以唯一表示为p＝xa＋yb＋zc．其中正确命题的个数为（）

A． 0B．1C． 2D．

317．已知空间四边形ABCD，M、G分别是BC、CD的中点，连结AM、AG、MG，则AB+(BDBC)等于（2）



A．AGB． CGC． BCD．2BC8．直三棱柱ABC—A1B1C1中，若CAa，CBb，CC1c，则A1B（）

高二数学共 6 页第 1 页



9．在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，向量D1A、D1C、A1C

1A．有相同起点的向量C．共面向量

A． abcB．abcC． abcD． abc

是（）

B．等长向量D．不共面向量

10．已知点A（4，1，3），B（2，－5，1），C为线段AB上一点，且()



3|AC||AB|,则点的坐标是

715310757

3A．(,,)B．(,3,2)C．(,1,)D．(,,)

22283322

211．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足ABAC0,ABAD0,ACAD0，则△BCD是（）

A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不确定 12．（文科）在棱长为1的正方体ABCD—

A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）A．

223B．CD

55510

（理科）已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC＝2，则点B到平面EFG的距离为（）A．

32B．C．D．

151011

二．填空题（本大题4小题，每小题4分，共16分）

13．已知向量a=(+1,0,2)，b=(6,2-1,2),若a∥b,则与的值分别．

14．已知a,b,c是空间两两垂直且长度相等的基底，m=a+b,n=b-c,则m，n的夹角为 ．

bc)a，15．已知向量a和c不共线，向量b≠0，且(ab)c(d＝a＋c，则d,b．

16．（如图）一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A

为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是

60，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长。

上杭二中2006—2007学年第二学期

高二数学单元测试答题卷

13．________、_________

15．_________________．90°16．_____________________．6

11．14．____________________．60°

52三．解答题（本大题6小题，共74分）

17．（本小题满分12分）如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．（1）写出A、B1、E、D1的坐标；（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．

解：(1)A(2, 2, 0)，B1(2, 0, 2)，E(0, 1, 0)，D1(0, 2, 2)

→→→→

(2)∵ AB1 ＝(0,-2, 2)，ED1 ＝(0, 1, 2)∴ AB|1 |＝ 22，ED|

1→→

|5，AB1 ED· 1 ＝ 0－2＋4＝2, →→

→→ABED·210

∴ cos AB1，ED1 ＝＝＝∴→→10．

5AB|1 |·ED| 1 | AB1与ED1所成的角的余弦值10 ． 10

18．（本小题满分12分）

在正方体ABC，如图Ｅ、Ｆ分别是BB1，ＣＤ的中点，DA1B1C1D1中（1）求证：D1F平面ADE；（2）

解：建立如图所示的直角坐标系，（1）不妨设正方体的棱长为1，则D（0，0，0），A（1，0，0），D1（0，0，1），E（1，1，），F（0，0），则D1＝（0，－1），DA＝（1，0，0），21

＝（0，1，），则D1＝0，x

D1＝0，D1，D1.D1F平面ADE.12，－

（２）B1（1，1，1），C（0，1，0），故CB1＝（1，0，1），＝（－1，－

12），CB1＝－1＋0－

＝－

，11

3

2，则



322



3.150

19．（本小题满分12分）

BCD中如图，在四棱锥PA，底面ABCD是正方形，侧棱PD底面ABCD，PDDC，E是PC的中点，作EFPB交PB于点F.DB；（1）证明 PA∥平面E

（2）证明PB平面EFD． 解：

解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点.设DC(1)证明：连结AC，AC交BD于G.连结EG.a.,0,0),依题意得A(a(0,0P,),(0a，E)

aa

底面ABCD是正方形，G是此正方形的中心，aa

故点G的坐标为(，0)且PA(a,0,a),EG(a,0,a).2222



PA2EG.这表明PA∥EG.而EG

平面EDB且PA平面EDB，PA∥平面EDB。

aa

0,(2)证明：依题意得B(a,a,0),PB(a,a,a)。又DE（22PBDE, 由已知EFPB，且EF

a2a2

故00

DEE,所以PB平面EFD.20．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD．（1）求SC与平面ASD所成的角余弦；（2）求平面SAB

和平面SCD所成角的余弦． 解

：

（1

C

（2

21．（本小题满分12分）如图，在底面是菱形的四棱锥P—

ABCＤ中，∠ABC=600，PA=AC=a，PB=PD=2a,点E在PD上，且PE:ED=2:1.（1）证明PA⊥平面ABCD；（2）求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角的大小

（1）证明因为底面ABCD是菱形，∠ABC=60°，所以AB=AD=AC=a，在△PAB中，2222由PA+AB=2a=PB知PA⊥AB.同理，PA⊥AD，所以PA⊥平面ABCD.（2）解作EG//PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD.知EG⊥平面ABCD.作GH⊥AC于H，连结EH，则EH⊥AC，∠EHG即为二面角的平面角.又PE : ED=2 :

121，所以EGa,AGa,GHAGsin60a.333

从而tan

EG,30.GH3

22．（本小题满分14分）



P是平面ABCD外的点，四边形ABCD是平行四边形，AB2,1,4,AD4,2,0,

AP1,2,1.（1）求证：PA平面ABCD.

（2）对于向量a(x1,y1,z1),b(x,2y,2z)2，定义一种运算：



(ab)cx1y2z3x2y3z1x3y1z2x1y3z2x2y1z3x3y2z1，试计算



(ABAD)AP

(ABAD)AP的绝对值;说明其与几何体P-的绝对值的几何意义（几何体P-

ABCD的体积关系，并由此猜想向量这种运算

ABCD叫四棱锥，锥体体积公式：V=底面积高）.解：

（1）APAB(2,1,4)(1,2,1)2(2)40 APAB 即APAB

APAD( 1,2,1)(4,2,0)440



APAD即PAADAD面ABCD

（2）ABADAP48,又cosABAD





1ABADsinABADAP16 V3BADAP猜测：A在几何上可表示以AB,AD,AP为棱的平等六面体的体积（或以AB,AD,AP为棱的四棱柱

篇3：用空间向量处理空间距离问题

空间距离的计算是立体几何的一类重要问题, 是历年来高考立体几何试题的热点.新课标高中数学选修2—1的第三章“空间向量与立体几何”用向量研究立体几何, 降低了综合推理的难度.下面就立体几何中最常见的距离问题, 给出向量的解法.

一、求两点之间的距离

求空间两点A、B之间的距离, 可利用公式|a|2=a2, 转化为求向量$\overrightarrow{{\displaystyle AB}}$的模$|\overrightarrow{{\displaystyle AB}}|.$

例1 如图1, 四面体O—ABC的各棱长都是1, 点D, E分别是边OA, BC的中点, 连结DE.计算D、E两点之间的距离.

解:$|\overrightarrow{{\displaystyle DE}}|{}^2=\overrightarrow{{\displaystyle DE}}{}^2=(\overrightarrow{{\displaystyle DA}}+\overrightarrow{{\displaystyle AB}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{{\displaystyle AC}}-\frac{1}{2}\overrightarrow{{\displaystyle AB}}){}^2=(\frac{1}{2}\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}A}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{{\displaystyle AC}}+\frac{1}{2}\overrightarrow{{\displaystyle AB}}){}^2=\frac{1}{4}(\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}A}}{}^2+\overrightarrow{{\displaystyle AC}}{}^2+\overrightarrow{{\displaystyle AB}}{}^2+2\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}A}}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle AC}}+2\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}A}}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle AB}}+2\overrightarrow{{\displaystyle AC}}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle AB}})=\frac{1}{4}(1+1+1-1+1-1)=\frac{2}{4}$, 所以$|\overrightarrow{{\displaystyle DE}}|=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 即DE的长$\frac{\sqrt{2}}{2}.$

点评:求两点间的距离, 可以先求出以这两点为端点的向量, 然后求出该向量的模, 则模就是两点之间的距离.计算时, 常把该向量分解成三个确定的向量来表示, 这三个向量实际上就是空间向量的一组基底.

二、求点到直线的距离

设直线 l 的方向向量为 n, A为 l 上的任一点, , 则点P到直线 l 的距离为$d=|\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}||\sin \langle \overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}‚\mathit{n}\rangle |.$

例2 如图2, 在长方体ABCD—A1B1C1D1中, 已知AB=4, BC=3, CC1=2, 求点B1到直线AC的距离.

解:以D为坐标原点, 分别以DA、DC、DD1为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系, 则$B{}_1(3‚4‚2)‚A(3‚0‚0)‚C(0‚4‚0)‚\overrightarrow{{\displaystyle AB{}_1}}=(0‚4‚2)$, 直线AC的方向向量为

所以点B1到直线AC的距离为

$d=|\overrightarrow{{\displaystyle AB{}_1}}||\sin \langle \overrightarrow{{\displaystyle AB{}_1}}‚\mathit{n}\rangle |=\frac{2\sqrt{61}}{5}.$

点评:本题也可过B1作直线AC的垂线, 垂足为E, 转化为求B1E的长;用向量法求解, 点、向量用三维坐标表示, 进行向量的运算, 避开了添加辅助线以及论证.

三、求点到平面的距离

如图3, 求点P到平面α的距离的步骤为:①求出平面α的一个法向量 n;②找出从平面α内一点A出发的任一条斜线段对应的向量$\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}$;③应用公式$d=\frac{|\overrightarrow{{\displaystyle A{\rm P}}}\cdot \mathit{n}|}{|\mathit{n}|}$, 求出点P到平面α的距离为 d.

例3 (2008年安徽省高考题) 如图4, 在四棱锥O—ABCD中, 底面ABCD是四边长为1的菱形, $\angle ABC=\frac{\text{π}}{4}‚{\rm O}A\perp$底面ABCD, OA=2, 求点B到平面OCD的距离.

解:作AP⊥CD于点P, 分别以AB, AP, AO所在直线为 x, y, z 轴建立坐标系, 知$A(0‚0‚0)‚B(1‚0‚0)‚{\rm P}(0‚\frac{\sqrt{2}}{2}‚0)‚D(-\frac{\sqrt{2}}{2}‚\frac{\sqrt{2}}{2}‚0)‚{\rm O}(0‚0‚2).$

可得$\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}{\rm P}}}=(0‚\frac{\sqrt{2}}{2}‚-2)‚\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D}}=(-\frac{\sqrt{2}}{2}‚\frac{\sqrt{2}}{2}‚-2)‚\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B}}=(1‚0‚-2).$

设 n= (x, y, z) 是平面OCD的一个法向量, 则

$\{\begin{array}{l}\mathit{n}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}{\rm P}}}=0‚\\ \mathit{n}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}D}}=0‚\end{array}$

即

$\{\begin{array}{l}\frac{\sqrt{2}}{2}y-2z=0‚\\ -\frac{\sqrt{2}}{2}x+\frac{\sqrt{2}}{2}y-2z=0.\end{array}$

取$z=\sqrt{2}$, 得 x=0, y=4, 所以$\mathit{n}=(0‚4‚\sqrt{2}).$

设点B到平面OCD的距离为 d, 则 d 为$\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B}}$在向量$\mathit{n}=(0‚4‚\sqrt{2})$上的投影的绝对值, $d=\frac{|\overrightarrow{{\displaystyle {\rm O}B}}\cdot \mathit{n}|}{|\mathit{n}|}=\frac{2}{3}.$

所以点B到平面OCD的距离为$\frac{2}{3}.$

点评:向量法求点到平面的距离, 垂线段不必作出, 只需求出平面的法向量.另外, 会求点到平面的距离, 那么直线到平面、平面到平面间的距离都可转化为点到平面的距离来求解.

四、求异面直线的距离

如图5, l1、l2 是两条异面直线, n 是 l1 与 l2 的公垂线段AC的方向向量, D、B分别是 l1、l2 上的任意两点, 则 l1 与 l2 的距离是$d=\frac{|\overrightarrow{{\displaystyle BD}}\cdot \mathit{n}|}{|\mathit{n}|}.$

例4 如图6, 在长方体ABCD—A1B1C1D1中, AB=4, BC=3, CC1=2, H是AB的中点, G是CC1的中点, 求异面直线HG与CD1的距离.

解:以D为坐标原点, 分别以DA、DC、DD1为 x、y、z 轴, 建立空间直角坐标系, 则H (3, 2, 0) , C (0, 4, 0) , G (0, 4, 1) , D1 (0, 0, 2) .

所以$\overrightarrow{{\displaystyle {\rm H}G}}=(-3‚2‚1)‚\overrightarrow{{\displaystyle D{}_{1}C}}=(0‚4‚-2)‚\overrightarrow{{\displaystyle D{}_{1}G}}=(0‚4‚-1).$

设 n= (x, y, z) 是异面直线HG与CD1的公垂线的方向向量, 则

$\{\begin{array}{l}\mathit{n}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle {\rm H}G}}=0‚\\ \mathit{n}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle D{}_{1}C}}=0‚\end{array}$

即

$\{\begin{array}{l}-3x+2y+z=0‚\\ 4y-2z=0.\end{array}$

取 z=2, 得$x=\frac{4}{3}‚y=1$, 则$\mathit{n}=(\frac{4}{3}‚1‚2).$

所以异面直线HG与CD1的距离为

$d=\frac{|\overrightarrow{{\displaystyle D{}_{1}G}}\cdot \mathit{n}|}{|\mathit{n}|}=\frac{6\sqrt{61}}{61}.$

点评:用向量法求异面直线间的距离的步骤是:①求两条异面直线公垂线的方向向量 n;②在两异面直线上各取一点G、D1, 得向量$\overrightarrow{{\displaystyle D{}_{1}G}}$;③求$\overrightarrow{{\displaystyle D{}_{1}G}}$在 n 上的射影长.

五、求线面、面面之间的距离

线与面、面与面的距离都可以化归为点到平面的距离求解.

例5 (2009年高考重庆卷) 如图7, 在五面体ABCDEF中, $AB//DC‚\angle BAD=\frac{\text{π}}{2}‚CD=AD=2$, 四边形ABFE为平行四边形, FA⊥平面$ABCD‚FC=3‚ED=\sqrt{7}$.求:直线AB到平面EFCD的距离.

解:以点A为坐标原点, $\overrightarrow{{\displaystyle AB}}‚\overrightarrow{{\displaystyle AD}}‚\overrightarrow{{\displaystyle AF}}$的方向为 x、y、z 轴的正方向建立空间直角坐标系, 则A (0, 0, 0) , C (2, 2, 0) , D (0, 2, 0) .

设F (0, 0, z0) (z0>0) , 可得$\overrightarrow{{\displaystyle FC}}=(2‚2‚-z{}_0).$

由$|\overrightarrow{{\displaystyle FC}}|=3$, 即$\sqrt{2{}^2+2{}^2+z{}_0^2}=3$,

解得F (0, 0, 1) , 即$\overrightarrow{{\displaystyle FC}}=(2‚2‚-1)‚\overrightarrow{{\displaystyle FD}}=(0‚2‚-1).$

因为AB//DC, DC⊂面EFCD, 所以直线AB//面EFCD.

所以直线AB与平面EFCD的距离等于点A到平面EFCD的距离.

设 n= (x, y, z) 是平面EFCD的一个法向量, 则

$\{\begin{array}{l}\mathit{n}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle FC}}=0‚\\ \mathit{n}\cdot \overrightarrow{{\displaystyle FD}}=0‚\end{array}$

即

$\{\begin{array}{l}2x+2y-z=0‚\\ 2y-z=0.\end{array}$

取 y=1, 得 x=0, z=2, 则 n= (0, 1, 2) .

所以点A到平面EFCD的距离为

$d=\frac{|\overrightarrow{{\displaystyle AF}}\cdot \mathit{n}|}{|\mathit{n}|}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

从而直线AB到平面EFCD的距离为$\frac{2\sqrt{5}}{5}.$

点评:当直线和平面平行时, 线面距离就转化为点面距离求解, 解题的关键是建立坐标系, 求出平面的法向量, 正确运用公式.在例4中, 如果要求平面CD1B1与平面A1BD的距离, 可转化为直线D1B1与平面A1BD的距离求解.

《高中数学课程标准》指出:立体几何教学采用传统的综合法与向量法相结合, 以向量法为主, 这充分体现向量的工具作用, 是一种全新的视角.用向量法求空间距离, 把传统的形式逻辑证明转化为数值运算, 即借助向量法使解题模式化, 具有通用性和操作性, 简化求解过程, 方便易行.

篇4：高中空间向量习题

关键词：高中数学；空间向量；困难与策略

G633.6

前言：作为沟通几何、代数以及三角函数的桥梁，空间向量兼具代数和几何的双重概念。但是在高中生学习空间向量的过程中存在着许多的问题，导致学生对于空间向量没有深入的理解，不能熟练的将其运用到数学解题中，因此对于高中生在学习空间向量中的困难我们应加以重视，同时提出解决办法，进而帮助高中生更好的学习空间向量知识。

一、空间向量概述

所谓空间向量就是对空间中具有方向和大小的量的描述。空间向量共分为共线向量定理、共面向量定理与空间向量分解定理三个基本的定理。

空间向量既具有几何的概念又具有代数的概念，所以它是高中生学好几何代数以及三角函数的基础，只有对空间向量有深入的理解，才能进一步学好数学几何与代数，才能让学生在学习立体几何的时候有更加清晰的思路与逻辑，在一定程度上降低学生学习立体几何的难度，能够运用数学知识去解决实际的问题。

同时将空间向量运用到立体几何的教学中，符合现代社会向数字化发展的方向，为今后学生进一步学习高等数学奠定了坚实的基础，促使数学学科向现代化发展。

二、高中生学习空间向量的困难

（一）对向量概念理解不透彻

由于向量概念趋向于抽象化，要求学生有很强的逻辑思维能力与空间想象能力，因此一般的学生对于向量概念的理解只是浮于文字表面，没有将其进行深入的分析与理解，导致学生不能将向量的概念充分应用于数学问题的解答中[1]。

另一方面，教师对于向量概念的重视程度不高，也是导致学生对于向量概念理解不透彻的主要原因。在日常的数学教学中，教师只是将向量得数学概念以语文学习概念的形式表达出来，对于数学语言的运用少之又少。同时对于数学概念的讲解也趋向于让学生进行死记硬背式的学习，不能将概念与数学事实相联系，造成概念与实际应用之间的脱节，使學生在理解相关数学概念时产生困难。

（二）线性运算与表示坐标不熟练

由于学生在对图形进行观察时，不能全面、正确的把握各个元素在图形中的位置关系，在一些综合性较强，关系较为复杂的数学题中，学生往往无法有效利用坐标系进行线性运算，经常会错误的理解题意，在解题过程中就会受到错误信息的干扰，无法做出正确的答案[2]。同时高中生为了在做题时节约时间，加快做题速度，导致他们没有一个良好的学习习惯，在解题时没有把空间点在坐标系里标出来就直接进行向量坐标的计算，这样导致学生在进行向量运算时频频出错，因此无法从根本上掌握线性运算与坐标表示。

（三）数学语言的表达不准确

学生在用数学语言对空间向量的知识进行表述时，常常表达的不够准确，只是将大致意思表达出来而已，这样经常造成向量语言的错误表述。在解题过程中常常因为表述的不准确，造成一些小细节上的丢分。

（四）对线面关系的证明存在问题

学生在运用空间向量的知识对线面关系进行证明时常常找不到判断的条件或者是对于要证明的关系需要哪些证明条件不清楚，于是直接将已知条件胡乱的拼凑在一起，进而得出需要证明的结论，利用错误的论据和自己主观想象出的定理去证明结论，导致学生在对结论的证明不正确，从而在考试中丢分。

三、高中生学习空间向量的对策

（一）利用多媒体进行辅助教学

对于数学向量概念的教授，数学教师应该不仅仅局限于对教材概念的照本宣科，而是利用现代化的多媒体技术将抽象难懂的数学概念形象化、具体化[3]。通过对课件的展示，刺激学生的视觉感官，让学生能够直观的感受到数学知识概念，对枯燥的概念有了一个更清晰的认识，这样方便学生对概念进行记忆和加深对其的印象。利用多媒体辅助教学还可以吸引学生的注意力，将枯燥的概念知识变的更加形象具体，充满乐趣，提升了学生学习数学的积极性，加快学生对知识的理解速度，对向量的知识概念有了更深层次的理解。

另外，教师也可以直接采用实物模型向学生说明向量的概念。运用一些生活中常见的实物模型对向量概念加以说明，可以将数学的教学融入生活，便于学生的理解。

（二）重点培养学生的空间想象能力

在空间向量的学习过程中，需要学生建立大量的坐标系与绘制图形来解决问题，因此要求学生要有很强的空间想象能力与逻辑思维能力。对于培养学生的空间想象能力教师可以利用计算机将立体图形形象的绘制出来，运用计算机软件将立体图形具体、细致的展现在学生眼前，通过刺激学生的视觉感官，帮助学生在脑海中建立一个立体的图像，进而提升自身的空间想象能力。

同时利用计算机的绘图软件将实体图形多方位的描绘出来，让学生充分感受到图像的立体感[4]。另一方面可以指导学生动手制作立体模型，让学生通过实际操作亲身感受实物的立体感和空间感，进而培养学生的空间想象能力。

（三）强化学生的基础知识

学生无法准确的表达数学语言，究其原因主要是学生的基础知识掌握不牢靠。因此要加强对学生基础知识的训练，让学生全面的掌握数学中的基础性知识，才能在表达中尽量避免出现知识性问题，才能使用准确的数学语言，在数学问题的解答中才能更加严谨细致。

（四）提高学生的逻辑思维能力

高中数学就是以培养学生的逻辑思维能力为主要目的而设立的学科。因此想要学好空间向量，对学生逻辑思维能力的培养是十分必要的。教师可以通过对数学例题的分析，帮助学生梳理数学问题中的逻辑，从而提高学生的逻辑思维能力，达到锻炼学生逻辑思维的目的。

结论：通过对学生学习空间向量的现状分析，发现了学生在学习空间向量时存在的各种问题，要解决这些问题最重要的是对学生空间想象能力与逻辑思维能力的培养，这样才能从根本上帮助学生更好的学习理解空间向量，将其应用到数学问题的实际解答中[5]。

参考文献：

[1]董成勇.高中生学习空间向量的困难和相应的教学策略[D].华东师范大学，2007.

[2]郭永胜.高中生向量理解水平的调查研究[D].扬州大学，2012.

[3]谢易明.高中生物理学习困难成因分析及应对策略[D].南京师范大学，2008.

[4]秦桂芳.思维风格对高中生立体几何解题中向量法与综合法选择的影响[D].广西师范大学，2014.

篇5：平面向量复习题

向量思想方法和平面向量问题是新考试大纲考查的重要部分，是新高考的热点问题。题型多为选择或填空题，数量为1-2题，均属容易题，但是向量作为中学数学中的一个重要工具在三角、函数、导数、解几、立几等问题解决中处处闪光。最近几年的考试中向量均出现在解析几何题中，在解析几何的框架中考查向量的概念和方法、考查向量的运算性质、考查向量几何意义的应用，并直接与距离问题、角度问题、轨迹问题等相联系。近年考纲又新增“平面向量在几何中的应用”试题进一步要求我们具备多角度、多方向地分析，去探索、去发现、去研究、去创新，而不是去做大量的模仿式的解题。一个问题解决后，不能匆匆而过，回顾与反思是非常有必要的，以充分发挥每一道题目的价值。除了要重视一题多解外，更要重视一题多变，主动探索：条件和结论换一种说法如何？变换一个条件如何？反过来又会怎么样？等等。只有这样才能做到举一反三，以不变应万变。

一、高考考纲要求

1．理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念．

2．掌握向量的加法与减法．

3．掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件．

4．了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算．

5．掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件．

6．掌握平面两点间的距离公式，掌握线段的定比分点和中点公式，并且能熟练运用；掌握平移公式．

二、高考热点分析

在高考试题中，对平面向量的考查主要有三个方面：

其一是主要考查平面向量的概念、性质和运算法则，理解和运用其直观的几何意义，并能正确地进行计算。其二考查向量坐标表示，向量的线性运算。

其三是和其他知识结合在一起，在知识的交汇点设计试题，考查向量与学科知识间综合运用能力。

数学高考命题注重知识的整体性和综合性，重视知识的交互渗透，在知识网络的交汇点设计试题．由于向量具有代数和几何的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项知识的媒介．因此，平面向量与其他知识的结合特别是与解析几何的交汇、融合仍将是高考命题的一大趋势，同时它仍将是近几年高考的热点内容．

附Ⅰ、平面向量知识结构表

1.考查平面向量的基本概念和运算律

1此类题经常出现在选择题与填空题中，主要考查平面向量的有关概念与性质，要求考生深刻理解平面向量的相关概念，能熟练进行向量的各种运算，熟悉常用公式及结论，理解并掌握两向量共线、垂直的充要条件。1．(北京卷)| a |=1，| b |=2，c = a + b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为

A．30°

B．60°

C．120°

D．150°

（）

2．(江西卷)已知向量

A．30°

(1,2),(2,4),||

B．60°,若()

C．120°,则与的夹角为

2（）

D．150°

3．(重庆卷)已知A（3，1），B（6，1），C（4，3），D为线段BC的中点，则

A．

与的夹角为（）

444

4B．arccos C．arccos()D．－arccos()

2555

5

4．(浙江卷)已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则

arccos



（）

A．a⊥e B．a⊥(a－e)



C．e⊥(a－e)D．(a＋e)⊥(a－e)

．(上海卷)在△ABC中，若C90，ACBC4，则BABC 2.考查向量的坐标运算

1．(湖北卷)已知向量a=（－2，2），b=（5，k）.若|a+b|不超过5，则k的取值范围是

A．[－4，6]

2．(重庆卷)设向量a=（－1，2），b=（2，－1），则（a·b）（a+b）等于

A．（1，1）

B．（－4，－4）

C．－4

D．（－2，－2）

()

（）

B．[－6，4]

C．[－6，2]

D．[－2，6]

（）



3．(浙江卷)已知向量a＝(x－5，3)，b＝(2，x)，且a⊥b，则由x的值构成的集合是

A．{2，3}

B．{－1，6}

C．{2}

D．{6}

例4．(2005年高考·天津卷·理14)在直角坐标系xOy中,已知点A(0,1)和点B(－3,4)，若点C在∠AOB的平分线上且||=2,则OC=。



5．(全国卷)已知向量OA(k,12),OB(4,5),OC(k,10)，且A、B、C三点共线，则k=.6．(湖北卷)已知向量a7．(广东卷)已知向量a

(2,2),b(5,k).若|ab|不超过5，则k的取值范围是

(2,3),b(x,6),且a//b,则x.3.平面向量在平面几何中的应用



ABAC

),[0,),则1.O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OPOA(|AB||AC|

P的轨迹一定通过△ABC

A．外心的（）B．内心

C．重心

D．垂心



2．（辽宁卷）已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A,C），则AP等于（）

A．(ABAD),(0,1)

B.(ABBC),(0,C.(ABAD),(0,1)

D.(ABBC),(0,

3．已知有公共端点的向量a，b不共线，|a|＝1，|b|=2,则与向量a，b的夹角平分线平行的单位向量是.

4．已知直角坐标系内有三个定点A(2,1)、B(0,10)、C(8,0)，若动点P满足：OPOAt(ABAC),tR，则点P的轨迹方程。

4.平面向量与三角函数、函数等知识的结合当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式。在此基础上，可以设计出有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题。此类题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：

①利用向量平行或垂直的充要条件，②利用向量数量积的公式和性质.1．(江西卷)已知向量(2cos

xxxx,tan()),(2sin(),tan()),令f(x).224242

4求函数f(x)的最大值，最小正周期，并写出f(x)在[0，π]上的单调区间.2．(山东卷)已知向量



m(cos,sin)

和

n

sin,cos,,2

，且

mn求



cos的值.28

3．(上海卷)已知函数

f(x)kxb的图象与x,y轴分别相交于点

A、B，22（,分别是与x,y轴正半

轴同方向的单位向量），函数g(x)

x2x6.f(x)g(x)时，求函数

（1）求k,b的值；（2）当x满足

g(x)

1的最小值.f(x)

【反思】这类问题主要是以平面向量的模、数量积、夹角等公式和相互知识为纽带，促成与不等式知识的相互迁移，有效地考查平面向量有关知识、不等式的性质、不等式的解法、不等式的应用及综合解题能力。

5.平面向量与解析几何的交汇与融合由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带。而解析几何也具有数形结合与转换的特征，所以在向量与解析几何知识的交汇处设计试题，已逐渐成为高考命题的一个新的亮点。

平面几何与解析几何的结合通常涉及到夹角、平行、垂直、共线、轨迹等问题的处理，解决此类问题基本思路是将几何问题坐标化、符号化、数量化，从而将推理转化为运算；或者考虑向量运算的几何意义，利用其几何意义解决有关问题。主要包括以下三种题型：

1、运用向量共线的充要条件处理解几中有关平行、共线等问题

运用向量共线的充要条件来处理解几中有关平行、共线等问题思路清晰,易于操作,比用斜率或定比分点公式研究这类问

题要简捷的多。

2、运用向量的数量积处理解几中有关长度、角度、垂直等问题

运用向量的数量积，可以把有关的长度、角度、垂直等几何关系迅速转化为数量关系，从而“计算”出所要求的结果。

3、运用平面向量综合知识，探求动点轨迹方程，还可再进一步探求曲线的性质。

1．(江西卷)以下同个关于圆锥曲线的命题中 ①设A、B为两个定点，k为非零常数，|

PA||PB|k，则动点P的轨迹为双曲线；



(),则动点P的轨迹为椭圆； 2

②设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若③方程2x

5x20的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；

x2y2x2

1与椭圆y21有相同的焦点.④双曲线

25935

其中真命题的序号为（写出所有真命题的序号）



2．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知A(3,1),B(1,3)，若点C满足OC0AOB，其中,R，且

1，则点C的轨迹方程为()

A.C.3x2y110B.(x1)2(y2)25 2xy0D.x2y50

2．已知平面上一个定点C（－1，0）和一条定直线l：x＝－4，P为该平面上一动点，作PQ⊥l，垂足为Q，

（PQ＋2PC）（PQ－2PC）＝0.（1）求点P的轨迹方程；



篇6：空间向量复习

（基本知识点与典型题举例）

为右手直角坐标系（立体几何中建立的均为右手系）。

2、空间直角坐标系中的坐标运算：

一、空间向量的线性运算：

1、空间向量的概念：

空间向量的概念包括空间向量、相等向量、零向量、向量的长度（模）、共线向量等．

2、空间向量的加法、减法和数乘运算：

平面向量中的三角形法则和平行四边形法则同样适用于空间向量的加（减）法运算． 三个不共面的向量的和等于以这三个向量为邻边的平行六面体的对角线所表示的向量．

3、加法和数乘运算满足运算律：

①交换律，即a+b=b+a；②结合律，即(a(a+b)ca(b+c)；

③分配律，即()a=a+a及(a+b)ab（其中，均为实数）．

4、空间向量的基本定理：

（1）共线向量定理：对空间向量a，b(b0)，a∥b的充要条件是存在实数，使a=b．（2）共面向量定理：如果空间向量a，b不共线，则向量c与向量a,b共面的充要条件是，存在惟一的一对实数x，y，使c=xa+yb。

推论：①空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y，使xyC；

②空间一点位于平面C内的充要条件是存在有序实数对x，y或对空间任一定点，有xyC；

③若四点，，，C共面，则xyzC

 xyz1。

（3）空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组

x，y，z，使p=xa+yb+zc．其中{a，b，c}是空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量，该定理可简述为：空间任一向量p都可以用一个基底{a，b，c}惟一线性表示（线性组合）。

5、两个向量的数量积：

（1）两个向量的数量积是a

b=abcosa，b，数量积有如下性质：①ae=acosa，e（e为单位向量）；②a⊥bab=0；③aa=a

2；④ab≤ab。

（2）数量积运算满足运算律：①交换律，即ab=ba；②与数乘的结合律，即(a)

b=(ab)；③分配律，即(a+b)c=ac+bc．

二、空间向量的直角坐标运算：

1、空间直角坐标系：

若一个基底的三个基向量是互相垂直的单位向量，叫单位正交基底，用{i，jk}表示；在空间

选定一点O和一个单位正交基底{i，jk}，可建立一个空间直角坐标系Oxyz，作空间直角 坐标系Oxyz时，一般使∠xOy=135°（或45°），∠yOz=90°；在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，称这个坐标系

（1）定义：给定空间直角坐标系O－xyz和向量a，存在惟一的有序实数组使a=a1i+a2j+a3k，则(a1，a2，a3)叫作向量a在空间的坐标，记作a=(a1，a2，a对空间任一点A，存在惟一的3)。

OA

xi+yj+zk，点Ａ的坐标，记作A(x，y，z)，x，y，z 分别叫Ａ的横坐标、纵坐标、竖坐标。

（2）若A(x

1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则AB(x2x1，y2y1，z2z1)；

（3）空间两点的距离公式：

d



3、空间向量的直角坐标运算律：已知a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，则：a+b(a1b1，a2b2，a3b3)，ab(a1b1，a2b2，a3b3)；

a(a1，a2，a3)，ab=(a1b1，a2b

2，a3b3)；

a∥ba1b1，a

2bcosab

ab2，a3a,bb3|a||b|1212a2b2a3b32220；

空间两个向量的夹角公式：

a1a2a3b12b2b

3。

4、直线的方向向量与向量方程：

（1）位置向量：已知向量a，在空间固定一个基点O，作向量OA

a，则点A在空间的位置被a

所

惟一确定，a称为位置向量。

（2）方向向量与向量方程：给定一个定点Ａ和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量

AP

ta，则此方程为直线l上点P对应的向量方程，向量a称为直线l的方向向量。

5、平面的法向量：

（1）如果表示向量a的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面

（记作a⊥），向量a叫做平面的法向量。法向量有两个相反的方向。

三、空间向量在立体几何中的应用：

1、空间向量在位置关系证明中的具体应用：

1）空间的线线、线面、面面垂直关系，都可以转化为空间两个向量的垂直问题来解决：①设a、b分别为直线a，b的一个方向向量，那么a⊥ba⊥bab=0；②设a、b分别为平面，的一个法向量，那么⊥a⊥bab=0；③设直线l的方向向量为a，平面的法向量为b，那么l⊥a∥b。

2）空间直线与直线平行，直线与平面平行，平面与平面平行，都可以用向量方法来研究：①设a、b是两条不重合的直线，它们的方向向量分别为a、b，那么a∥ba∥b；②直线与平面平行可转化为直线的方向向量与平面的法向量垂直，也可用共面向量定理来

证明线面平行问题；

③平面与平面平行可转化为两个平面的法向量平行。

2、空间向量在立体几何的计算问题中的应用：

1）空间角的计算：

①线线角：异面直线所成角转化为两条直线所在向量的夹角；

②线面角：直线AB与平面所成角为，其中n是平面的法向量；

③面面角：二面角的大小为，其中m，n是两个半平面的法向量。2）距离的计算：

①点面距：设n是平面的法向量，A，则B到的距离为；

②线线距：设n是两条异面直线l1，l2的公垂线的向量，若A，B分别是在l1，l2上的任意一点，则l1，l2的距离为；

③线面距、面面距，与前面求法相同。

四、例题分析：

例

1、如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD

为正方形，PD=DC，E、F分别是AB，PB的中点.（1）求证：EF⊥CD；（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论.（3）求DB与平面DEF所成角的大小。

例

2、如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的，其中

AB4,BC2,CC13,BE1，（1）求BF的长；（2）求点C到平面AEC1F的距离。

例

3、已知四棱锥PABCD的底面为直角梯形，AB//DC，DAB90,PA底面ABCD，且PAADD

1，AB1，M是PB的中点。

（1）证明：面PAD面PCD；（2）求AC与PB所成的角；

（3）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。

例

4、如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，E是AB上

一点，PFEC.已知PD

2,CD2,AE

2, 求（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；（Ⅱ）二面角EPCD的大小。

例

2、如图4，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动，问AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为

π

4．19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD 为正方形，PD=DC，E、F分别 是AB，PB的中点.（1）求证：EF⊥CD；

（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论.（3）求DB与平面DEF所成角的大小.19．以DA，DC，DP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图，设AD=a，则

D(0•,•0•,•0)•,•A(a•,•0•,•0)，B(a•,a•,•0)•,C•

(0•,•a•,•0)•,E•

(a•,a

•,•0)•,F•(a2

2•,a2•,a2)•,P•(0•,•0•,a)

（1）a

a2•,•0•,2

•,•(0•,•a•,•0)0•,•

∴EF

DC•.（2）设G(x•,•0•,•z)，则G∈平面PAD.FG

aaa

x2•,•2•,•z2，ax2,••a2•,•za2(a•,•0•,•0)aaa

x20，则x2； 

a

x2•,•a2•,•za2(0•,•a•,•a)a2a2a(z2)0，则z=0.∴G是坐标为（a，0，0），即G为AD的中点.（3）（只理科做）设平面DEF的法向量为n(x•,y•,z)•.由n0•,(x,•y,•z)a,•a•,a

0•,得DE0•222n.(x•,y,•z)(a,•a,••0)0•.a

(xyz)即0•,2取x=1，则y=-2，z=1, axa2

y0•.∴ n=(1，-2，1).cos〈BD•,•n〉a3



2a6



•, ∴DB与平面DEF所成角大小为

2arccos3

（即arcsin3

6）.19．如图4，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ADAA11，AB2，点E在棱AB上移动，问AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为

π4

． 解：设AEx，以D为原点，直线DA，DC，DD1所在直线

分别为

x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A1(1，01)，D1(0，01)，E(1，x，0)A(1，0，0)C(0，2，0)． ∴CE(1，x2，0)D1)，DD1C(0，2，1(0，0，1)．

设平面D1EC的法向量为n(a，b，c)，·D1C0，2bc0，n

由 

ab(x2)0，·CE0n



又CC1(0，0，3)，设CC1与n1的夹角为，

CC1·n则cos． 1

CC1n

令b1，∴c2，a2x．

∴n(2x，1，2)．

n·DD1π依题意cos．



4nDD1．

∴

x2x2∴AE2．

 ∴C到平面AEC1F的距离dCC1cos

20．如图5所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB4，BC2，CC13，BE1．



（1）求BF；

（2）求点C到平面AEC1F的距离．

解：（1）以D为原点，DAF，DC，DF所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Dxyz，D(0，0，0)B(2，4，0)A(2，0，0)C(0，4，0)E(2，41)，C1(0，4，3)，设F(0，0，z)． 

由AFEC1，得(2，0，z)(2，0，2)，∴z2．

∴F(0，0，2)BF(2，4，2)．



∴BF

·AE0，n1

（2）设n1为平面AEC1F的法向量，n1(x，y，1)，由

·AF0，n1，x1

4y10，得∴1