高中数学平面向量的公式知识点

高中数学平面向量的公式知识点（共10篇）

篇1：高中数学平面向量的公式知识点

2013.03.18：知识回顾——平面向量、三角公式

一.平面向量：

1.与的数量积(或内积)：

ab|a||b|coscos

2．平面向量的坐标运算：

(1)设A(x),则ABOBOA

1,y1)，B(x2,y2(x2x1,y2y1).(2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2)，则ab=x1x2y1y2.(3)设a=(x,y)，则a

x2y2

3.两向量的夹角公式：

设a=(xabx1x2y1y21,y1),b=(x2,y2)，且b0，则cosab



x

21y1x2y2

4．向量的平行与垂直：

// x1y2x2y10.()ab0x1x2y1y20.二．三角函数、三角变换、解三角形：

1．同角三角函数的基本关系：

（1）平方关系：sin2+ cos2=1。（2）商数关系：

sincos=tan（

k,kz）（3）asinbcos

a2b2sin()（其中辅助角与点（a,b）在同一象限，且tan

b

a）2.诱导公式：（三角函数符合分配——“一全、二正、三切、四余”）(第一组)——函数名不变，符号看象限

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．

（第一象限）2sinsin，coscos，tantan．（第三象限）3sinsin，coscos，tantan．（第四象限）4sinsin，coscos，tantan．（第二象限）

(第二组)——函数名改变，符号看象限

5sin



2cos，cos2



sin．（第一象限）6sin



2cos，cos2



sin．（第二象限）（7）sin（32)cos,3

2)sin.（第四象限）（8）sin(32)cos,3

)sin（第三象限）

3.三角函数和差角公式：

sin()sincoscossincos()coscossinsin

tan()

tantan

1tantan

变式：tantantan()（1tantan）

4．二倍角公式：

sin22sincos变式：1sin(sin



cos)22

cos2cos2sin2

变式：升幂公式：1+cos=2cos



2cos212

1-cos=2sin



12sin2

降幂公式：cos21cos22sin2

1cos22

tan 22tan1tan2

注：sin(cos



sin)2cos

222sin2

5．正弦定理：

asinAbsinBc

sinC

2R.变形：a2RsinA,b2RsinB,c2RsinCa:b:csinA:sinB:sinC 6.余弦定理：

b21）求边： a2

b2

c2

2bccosA;（2）求角:cosAc2a2

（2bc

a2bc2a2

2cacosB;cosBc2b222ac

c2a2b2

2abcosC;cosCa2b2c22ab

7.三角形面积定理：

S111

2absinC2bcsinA2

casinB=pr

(其中p1

(abc), r为三角形内切圆半径)

篇2：高中数学平面向量的公式知识点

必修四 第二章平面向量

1.在△ABC中，AB?c，AC?b.若点D满足BD?2DC，则AD?( ) A.

21b?c 33

B.c?

5

32b 3

C.

21b?c 33

D.b?

1

32c 3

2.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB?(2,4)，AC?(1,3),则BD?( ) A. (-2，-4)

B.(-3，-5) C.(3，5)

D.(2，4)

3设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC?2BD,CE?2EA,AF?2FB,则

AD?BE?CF与BC( )

A.反向平行

.同向平行

C.互相垂直

D.既不平行也不垂直

4.关于平面向量a，b，c.有下列三个命题：

，k)，b?(?2，6)，a∥b，则k??3. ①若ab=ac，则b?c.②若a?(1

③非零向量a和b满足|a|?|b|?|a?b|，则a与a?b的夹角为60. 其中真命题的序号为 .(写出所有真命题的序号)

?的值为 5.若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段PP12所成的比

A -

1

3

B -

1 5

C

1 5

D

1 3

( )

D.2

( )

→→→

6.已知正方形ABCD的边长为1，AB=a，BC=b，AC=c，则a+b+c的模等于

A.0

B.22

2

7.已知|a|=5，|b|=3，且a・b=-12，则向量a在向量b上的投影等于

A.-4

B.4

12

C5

125

( )

8.若向量a=(1,1)，b=(1，-1)，c=(-1,2)，则c等于

13A.-+22

13-b 22

31C.a-b 22

31D.-a

22

( )

9.与向量a=(13)的夹角为30°的单位向量是

13

A.(，或(1，3)

22

B.(

31

) C.(0,1) 22

D.(0,1)或

3122( )

11

10.设向量a=(1,0)，b=()，则下列结论中正确的是

22

A.|a|=|b|

B.a・b=

2

2

C.a-b与b垂直 D.a∥b

11.已知三个力f1=(-2，-1)，f2=(-3,2)，f3=(4，-3)同时作用于某物

体上一点，为使物体保持平衡，

现加上一个力f4，则f4等于 A.(-1，-2)

( ) D.(1,2)

B.(1，-2) C.(-1,2)

12.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a?c)?(b?c)?0,则c的最大值( )

A.1 B.2 C.2 D.

2

2

b?a・b= . 13.若向量a、b满足a?b?1,a与b的夹角为120°，则a・

14.如图，平面内有三个向量OA、、,其中OA与的夹角为120°，OA与的夹角为30°,且|OA|=||=1，||=2，若=λOA+μλ，μ∈R),则λ+μ的值为.

?aa?

c=a-bab?0a??b，则向量a与c的夹角为( ) 15.若向量与不共线，，且

ab??

A.0

B.

π

6

C.

π 3

D.

π 2

16.若函数y?f(x)的图象按向量a平移后，得到函数y?f(x?1)?2的图象，则向量a=( )

，?2) A.(?1，?2) B.(1，2) C.(?1，2) D.(1

3)，a在b

上的投影为17.设a?(4，

，b在x轴上的投影为2，且|b|≤14，则b为( ) 2

C.??2?

14) A.(2，

B.?2，?

?

?2?? 7???2?7?

8) D.(2，

18.设两个向量a?(??2，?2?cos2?)和b??m?sin??，其中?，m，?为实数.若a?2b，则

?

?

m2

??

?

8] 的取值范围是( ) A.[-6，1] B.[4，

m

C.(-6，1] D.[-1，6]

19.直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单位向量.在直角三角形ABC中，若

????

AB?2i?j,AC?3i?kj，则k的可能值个数是

A.1 B.2 C.3

D.4

→→

20.向量BA=(4，-3)，向量BC=(2，-4)，则△ABC的形状为

A.等腰非直角三角形 C.直角非等腰三角形

B.等边三角形

( )

D.等腰直角三角形

( )

21.若a=(λ，2)，b=(-3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的`取值范围是

10

，+∞? A.??3?

10

? B.??3?

10

-∞， C.?3?

10

-∞， D.?3?

22.已知向量a=(2，-1)，b=(-1，m)，c=(-1,2)，若(a+b)∥c，则m=________.

23.已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|=2，|b|=，则向量a和向量b的数量积a・b=________. 24.已知非零向量a，b，若|a|=|b|=1，且a⊥b，又知(2a+3b)⊥(ka-4b)，则实数k的值为________. 25.已知a=(1，2)，b=(-2，3)，且ka+b与a-kb垂直，则k=( ) (A) ?1?2(B)

?

?

?

?

?

?

2?1(C) 2?3(D) 3?2

课堂小测

1.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点

F.若AC?a，BD?b，则AF?( )

A.

11a?b 42

B.

21

a?b 33

C.

11

a?b 24

D.a?

1

32b 3

2.已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC?CB?0，则OC?( ) A.2OA?OB

B.?OA?2OB

C.

21

OA?OB 33

D.?OA?

1

32

OB 3

?xπ??π?

?2?平移，则平移后所得图象的解析式为() 3.将y?2cos???的图象按向量a????36??4??xπ??xπ?

A.y?2cos????2 B.y?2cos????2

?34??34??xπ?

C.y?2cos????2

?312?

?xπ?

D.y?2cos????2

?312?

CD?4.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD?2DB，

A.

1

CA??CB，则??( ) 3

2 3

B.

1 3

C.?

1 3

D.?

2 3

5.若向量a=(1,1)，b=(2,5)，c=(3，x)，满足条件(8a-b)・c=30，则x等于

A.6

( )

B.5 C.4 D.3

6.已知a，b，c在同一平面内，且a=(1,2).

(1)若|c|=25，且c∥a，求c; (2)若|b|=

7.已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为60°，c=5a+3b，d=3a+kb，当实数k为何值时：

(1)c∥d;(2)c⊥d.

8.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1，-2)，B(2,3)，C(-2，-1).

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长; →→→

(2)设实数t满足(AB-tOC)・OC=0，求t的值.

，且(a+2b)⊥(2a-b)，求a与b的夹角. 2

→→→→→→→→→

9.已知向量OP1、OP2、OP3满足条件OP1+OP2+OP3=0，|OP1|=|OP2|=|OP3|=1.

求证：△P1P2P3是正三角形.

10.已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：

(1)BE⊥CF;(2)AP=AB.

1

解7 由题意得a・b=|a||b|cos 60°=2×3×=3.

2

9

(1)当c∥d，c=λd，则5a+3b=λ(3a+kb). ∴3λ=5，且kλ=3，∴k5

29

(2)当c⊥d时，c・d=0，则(5a+3b)・(3a+kb)=0. ∴15a2+3kb2+(9+5k)a・b=0，∴k=-.

14→→→→→→

解8 (1)AB=(3,5)，AC=(-1,1)，求两条对角线的长即求|AB+AC|与|AB-AC|的大小. →→→→→→→→

由AB+AC=(2,6)，得|AB+AC|=210， 由AB-AC=(4,4)，得|AB-AC|=42. →→→→→→→(2)OC=(-2，-1)， ∵(AB-tOC)・OC=AB・OC-tOC2， 11→→→→→→易求AB・OC=-11，OC2=5， ∴由(AB-tOC)・OC=0得t=-.

5

→→→→→→→→→

证明9 ∵OP1+OP2+OP3=0，∴OP1+OP2=-OP3，∴(OP1+OP2)2=(-OP3)2，

→→

1OP・OP1→2→2→→→2→→

∴|OP1|+|OP2|+2OP1・OP2=|OP3|， ∴OP1・OP2=-，cos∠P1OP2=，

22→→

|OP1|・|OP2|→→→

∴∠P1OP2=120°.∴|P1P2|=|OP2-OP1|=

→→

?OP2-OP1?2=

→→→→OP12+OP22-2OP1・OP2=3.

→→

同理可得|P2P3|=|P3P1|=故△P1P2P3是等边三角形.

证明10 如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB=2， 则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1). →→→

(1)BE=OE-OB=(1,2)-(2,0)=(-1,2)， →→→

CF=OF-OC=(0,1)-(2,2)=(-2，-1)， →→∵BE・CF=-1×(-2)+2×(-1)=0， →→

∴BE⊥CF，即BE⊥CF.

→→

(2)设P(x，y)，则FP=(x，y-1)，CF=(-2，-1)，

→→→→

∵FP∥CF，∴-x=-2(y-1)，即x=2y-2.同理由BP∥BE，得y=-2x+4，代入x=2y-2. 686868→→→→

篇3：高中数学平面向量问题处理的策略

在高三复习教学的过程中,教师应站在新的高度把握向量的教学,这就要求教师应熟悉高考考试要求.《高考数学科考试说明》对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次( 在下表中分别用A,B,C表示) ,其中:

了解: 要求对所列知识的含义有最基本的认识,并能解决相关的简单问题;

理解: 要求对所列知识有较深刻的认识,并能解决有一定综合性的问题;

掌握: 要求系统地掌握知识的内在联系,并能解决综合性较强的或较为困难的问题.

下表是平面向量的考查要求:

从表中可以看出,教师在高三复习教学时没有必要盲目挖深,当然也不能要求过低. 而应根据学生的能力水平,以教科书为基础,紧扣考试说明,精心选题,以达到良好的教学效果,下面以具体的实例进行说明.

例1如图,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的区域内 ( 不含边界) 运动,且则x的取值范围是 ; 当时,y的取值范围是 .

解由向量加法的平行四边形法则,OP为平行四边形的对角线,该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边,∴x的取值范围是( - ∞ ,0) .

当时,要使P点落在指定区域内,即P点应落在线段DE( 不含端点) 上,,∴y的取值范围是

评析本题以平面向量基本定理为背景主要考查了平面向量的加法运算,本题的难点是要求学生能够理清平面中点P与平面的一组基底→OA,→OB的相对位置关系,需要学生有一定的分析和综合能力.

例2如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD = DC =1,AB = 3,动点P在△BCD内运动( 含边界) ,设,则α + β的取值范围是 .

解以A为原点,AB为x轴,AD为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,设P( x,y) ,则( x,y) = α( 3,0) + β( 0,1) ,∴

,即Z表示直线的纵截距.

∵B( 3,0) ,D( 0,1) ,C( 1,1) ,∴DB的方程为BC的方程为x + 2y - 3 = 0.

根据图像,可得在DB边取得最小值1,在点C处取得最大值,∴α + β的取值范围是

评析平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言———“坐标语言”,其实质是“形”转化为“数”. 解决平面向量坐标运算的关键是熟练掌握坐标运算的法则,并注意向量运算的几何意义,其本质是根据相等的向量坐标相同这一原理解题. 本题将向量与不等式( 线性规划) 巧妙地结合在一起,这就提醒一线教师在复习巩固相关的平面向量知识时,既要注重回顾和梳理基础知识,又要注意平面向量与其他知识的综合运用,渗透用向量解决问题的思想方法,从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力,站在新的高度来认识和理解向量.

篇4：高中数学平面向量的公式知识点

【关键词】 平面向量；思维能力

思维能力是学生智力水平发展的重要表现，是学生学习能力提升的重要条件，也是学生学习素养树立的重要“构建”。常言道，“质疑是思维发展的重要源泉”。古语云：“小疑则小进，大疑则大进”，可见，思考、分析等学习活动在学生思维能力培养和提升上具有显著的促进和推动作用。当前，新课标已成为学科教育教学的“方向标”和“指南针”，如何让学生在学习知识、探知问题中，能动思维、自主分析、有效反思特性有效锻炼，已成为教师开展教学活动的重要任务，也成为需要教学工作者迫切解决的教研课题。平面向量章节作为“数”与“形”的有效结合体，是高中数学知识体系的重要组成部分，与三角函数、立体几何以及一元二次不等式等章节存在密切关联，同时，在高中数学章节体系中占有较大比重，也是高考试题命题的重点。平面向量的内在特性，也为培养学生思维能力提供了鲜活载体和有效平台。

一、凸显平面向量知识生活特性，创设融洽情境，激发学生思维内在潜能

数学学科作为基础性知识学科，源自于现实生活，服务于现实生活。生活性是数学学科的重要内在特性之一。思维活动，特别是创新思维活动，不仅需要学生具有一定的学习基础，还要求学生必须具有良好的学习情感。因此，高中数学教师在平面向量章节教学中，要将学生学习情感激发作为思维能力培养的“首要条件”和“先决条件”，抓住平面向量知识内容与现实生活问题之间的密切联系，设置具有生活性、现实性的教学情境，引导学生感知，激发学生情感，使学生在积极情感驱使下，“愿意思考”成为自觉行动。

如在教学“向量的概念及表示”内容时，由于学生对“零向量、平行向量、相等向量、共线向量”等知识理解具有一定困难，导致学生思考分析的主动性没有得到激发。此时，教师抓住向量与现实生活的关联特性，设置了“有一辆汽车从A点出发向西行驶了100公里，到达B点，然后改变方向向西偏北50°走了200公里到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100公里达到D点，试作出向量AB，BC，CD，并求出向量AD绝对值的值。”生活性，将向量概念知识与现实中的汽车行驶方向有机结合，从而使学生内在潜能得到激发，主动参与探知活动，能动分析问题，打下有效思维情感基础。

二、凸显平面向量解法规律特性，注重问题教学，传授学生分析问题方法

问题：已知A（-2，-3），B（4，1），延长AB至点P，使|AP|=3|PB|，求点P的坐标。

分析：本题考查向量的定比分点坐标公式的运用。可以从两个方面进行问题的考虑。一是考虑点P为分点，可以应用定比分点坐标公式求点P的坐标；二是通过图像法，作出符合问题条件的函数图像，如图所示，通过对图像的分析，可以知道，点B是AP的内分点，这样就可以得到λ＞0，此时只要求出λ，就可以由定比分点坐标公式求出P（x， y）。

这时让学生结合该问题的分析过程，进行解题活动。解题过程略。这时，教师与学生共同思考、探求该问题解答的策略和方法。在师生共同分析、总结基础上，学生得到该类型问题解答一般方法：

利用向量定比分点坐标公式求点的坐标时，起点、分点和终点课根据问题需要而确定，所选分点不同，λ的值也随之变化。上述第二种解法，是把向量的定比分点坐标公式看成是一个等量关系，利用解方程的思想处理问题，此种解答比较灵活，在实际解答时，可以进行充分运用。

在上述平面向量问题案例教学活动中，教师在认真研析教学内容基础上，通过设置典型问题案例，引导学生开展问题分析活动，找寻解答问题的“切入点”和思路，指导学生进行解题活动，并与学生共同探寻该类型问题解答的基本方法。这样，就将思考分析问题方法渗透到解题过程中，使问题探究分析的过程变为领会和掌握解题方法的过程，促进了学生问题解答方法的有效掌握。

三、凸显平面向量内涵综合特性，重视思想积淀，培养学生良好思维习性

平面向量章节知识与其他章节知识内容一样，不仅章节内知识点内容丰富，同时还与其他章节存在密切而又复杂的联系。这就为学生良好数学思想的锻炼和形成，提供了实践的有效平台。但由于高中生思维活动易出现思考分析不完备、解题思路不正确、遗漏问题隐含条件等方面的缺点，教师就可以将平面向量综合性问题作为学生思维能力提升的重要载体，引导学生对问题解答过程进行辨析评价活动，将辨析评价过程变为思维素养完善和提升的过程。

问题：已知向量 =（cos3/2x，sin3/2x）， =（cosx/2，-sinx/2）且x∈[0，π/2]，求（1） ；（2）若f（x）= -2λ| + |的最小值是-3/2，求λ的值。

上述问题案例是有关平面向量的一道综合性问题案例。教师在该问题教学活动中，先引导学生进行问题条件分析，然后让学生阐述该问题解答方法和思路，最后，学生进行问题解答活动。学生在解答问题过程中，认识到该问题解答过程中，不仅运用平面向量章节的知识点，还运用到三角函数的知识点内容。同时，在解题思想的运用上，不仅运用函数思想，而且对λ取值范围解答时还运用到分类讨论思想，这样，学生在综合性问题解答中，思维素养能够得到有效锻炼和提升。

篇5：平面向量在高中数学中的应用

坐标与向量, 作为现行中学数学教材各成员中的“宠儿”, 与其它数学知识有密切的联系, 应用起来非常方便, 很讨人喜欢。以下根据本人的教学实践以及组织数学课外兴趣小组活动的经历, 与各位同仁谈谈平面向量如何体现它的工具与纽带的作用。

一、向量在图形上的应用

向量源于图形, 它和几何的关系本是“鱼水”关系。许多几何问题, 都可借向量简单解决。

例1、已知平面上的一个三角形ABC, 在已知平面上有一点P, 设AP的中点是Q, BQ的中点是R, CR的中点是S.证明只有唯一的一点P使得S=P, 另外, 设这点为P0时, 求△ABC和△P0BC的面积比。

因此, S△ABC:S△P0BC=21k:3 k=7:1.这里, 向量加法和定量比分点起了关键的定位作用, 具有其它方法所没有的优越性。

用向量法解几何题, 通常分三步进行:

首先, 将几何问题的条件和结论转化为向量问题, 用向量语言表示;然后, 设置基本向量, 将问题中的相关向量用“基本向量”表示出来;最后, 通过“基本向量”进行推理、运算, 得出求解结论。其中“基本向量”选取是否恰当, 直接影响问题解决的难易程度, 这是解题过程中一个关键要素。

至于向量在空间图形上的应用的好处, 教材和各种资料已有较多的论述, 各类问题都有专门的讨论。比如证明共线 (面) 问题、平行问题、垂直问题、角和距离的求解, 以及存在性等问题几乎都可以用向量来解决, 这里就不再举例了。

二、向量在函数中的运用

三、向量在证明不等式中的应用

该题证法极多, 但构造向量来证明不失为一种好方法。

传统的不等式的证明要用到分析、综合的各种“技巧”, 而向量法却回避了这些高“技巧”, 较为简单地解决了这些令人头痛的问题。

四、向量在三角中的应用

当把向量坐标形式表示, 且引进三角函数于坐标中时, 向量与三角就交溶为一体了。近年来各省份的高考、模拟考题, 经常出现这类问题, 应引起足够重视。

以上用到了向量的数量积定义, 坐标表示下的模公式, 内积公式以及三角恒等变形, 体现了综合利用三角知识和向量知识解题的能力。这种方法也比传统的解三角形方法更简易。

五、向量在数列中的应用

在向量坐标化的情况下, 如果考虑的是向量序列, 那么向量的问题实际便成了数列的问题。

这类问题的关键是利用向量的概念或运算转化为数列问题, 再用数列的有关知识解之。

六、向量在解析几何中的应用

解析几何的许多问题, 常常用向量语言来叙述。因此, 首先要正确运用向量概念把原文“翻译”过来;以便看出所论问题的实质。

事实上, 向量与解析几何的结合也是高考命题的趋势, 也应引起重视, 从上例可以看出, 除了要读懂“向量语言”外, 就是一个运用向量和解析几何知识综合解决问题的过程。

最后, 要强调的是, 向量具有工具性作用, 用它可证明许多重要公式。如利用向量的内积, 可证明公式Cos (α-β) =CosαCosβ+SinαSinβ

在单位圆周上取两点A, B使半径OA, OB的角分别为α, β,

同样, 可利用单位向量和数量积证明解三角形必须的三大定理———射影定理、正弦定理和余弦定理。

综上所述, 向量象一贴强有力的粘合剂, 把各部分知识连成一个有机的整体。由于这一点, 我们在教学中至少要做以下工作: (1) 让学生掌握向量的基本概念和基本运算, 在此基础上学会运用向量语言; (2) 了解向量知识与其它数学知识的交汇作用, 应用向量知识尽量简便地分析和解决问题; (3) 经常去对照有关问题的向量解法和传统解法, 把“向量思想”、“向量法”纳入基本数学思想或数学方法, 并在教学实践中逐步归纳、总结、完善向量思想, 学会举一反三。这无论对他们应考和将来的深造, 都是有益的。

参考文献

[1][日]圣文社编《大学入学考试·数学试题选》人民教育出版社。1979, 12

[2][日]矢野健太郎著《数学解题技巧》 (第二卷上册) 黑龙江人民出版社。1983, 10

[3]《新概念教材·奥赛全解》 (高一数学) 南方出版社2005, 5

篇6：高中数学平面向量的公式知识点

【关键词】高中数学 平面向量 问题分析

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）29-0177-01

使用向量的定义来处理数学问题，因为向量具有代数形式和几何形式的两种身份，这便是使得它成为了多项数学内容的连接中心。所有在高中数学教材中引进向量已经势在必行，而且向量的应用在很多方面都引起了数学专家的思考。改革后的数学课程以简洁为主，简化教学内容，提升数学教学效率，加强数学各部分之间的联系和知识的综合应用，将几何、代数等教学内容进行综合编制。将向量引入到高中数学教材中，增强了各部分内容之间的联系，使得高中的数学知识和大学的数学知识衔接更为紧密了。

1 平面向量的学习内容和特点

1.1 平面向量的定义

在二维平面内能同时体现方向和大小的量为平面向量，在物理学科中将这种量称之为矢量，将只有大小而没有方面的物理量称之为标量，也就是数量。平面向量的表示方式一般是在英文字母a，b，c上面添加一个箭头，这种表示方式不但可以表示向量有向线段的起点，还能表示有向线段的终点。由此可以引出一些新的概念，例如平行向量、有向线段、单位向量等名词。对于平面向量的学习应该从物理学的立场出发，通过物理学中的学习经验来形成一个物理问题情景。

1.2 平面向量的基本定律

规定 是同一平面内两条不共线的向量，那么这个平面内任意向量则为 ，而且只有一对有效实数 ，那么任意向量的计算公式则为 。我们将 称之为这个平面中所有向量的基底。

1.3 平面向量的特点

基础知识是向量的基本特点，同时它也是一种方法和工具相结合的数学知识。向量的运算体系非常具有优势，它所提供的坐标法、向量法等都成为了研究高中数学的主要手段。向量的运算体系解决了几何中长度、角度的计算，线段平行、垂直的证明，正余弦定律的导出。这些例子都充分体现了数学中数形结合的思想。

向量中“数”和“形”同时都有，是数学数形结合的媒介。在介绍向量概念的时候，教材中使用了几何图形，而在解答几何问题时，又使用了向量知识，这些都体现了数形结合的理论思想。

几何代数化、形式化除了可以使用函数，还可以通过向量的方式。向量是现在数学中重要的数学概念，同时它也是联系代数、三角、几何的工具。新高中数学教材引入向量，充分体现了新课程理念。它的引入将几何与代数的关系变得更加紧密了，维度之间的过渡显得十分顺畅。向量是一种数学知识，更是一种解决数学问题的方法。

向量的概念是从生活实践中引出来的，而且它也是解决工程技术和物理学等问题的主要工具。教材中十分看中理论与实际的结合，尤其是应用，比如物理学中通过位移、加速度、速度等概念引入了向量的概念，又从物体做功引入了向量数量积的概念。对于向量应用的例子生活中随处可以，例如速度的分解与合成、工程技术中的曲柄连杆结构问题等。课本每章都安排了实习作业，最引人注意的是，教材在向量这章结束的时候还安排了一个研究性作业——向量在物理学中应用，然后利用数学模型来解释生活中出现的与向量有关的物理问题。

2 解答平面向量的综合问题

在数学学习过程中，平面向量一般会和其他内容联系起来，这种问题在考试中经常会遇到。若是学生对平面向量概念的理解不透彻，或是没有搞明白与其联系的内容，在做题过程中很容易陷入困境。数学中平面向量一般与以下几个方面的内容综合使用。

2.1 平面向量与平面解析几何的综合

平面向量自身就具有数形结合的特点，所以将平面向量和解析几何联系起来也非常常见，学生也经常在考试过程中遇到此類综合性的题目。学生在遇到这类问题时，要使用数形结合的思想解题，这样的话在综合问题上才不会陷入困境，比如已知在平面直角坐标系上有两个点，计算这两个点之间的距离。解这个问题的关键在于求解一个平面内两个点对应平面向量的长度。又或者对一条线段进行分析，求解线段中按照比例分段点的坐标。根据平面向量的性质，求出线段与分段点之间的坐标，对这两个坐标进行计算即可。需要注意的是，在计算平面向量乘积的时候，必须要考虑到向量之间的夹角。在平面几何计算中，一般都是使用这个方法，解答相对应的问题。

2.2 平面向量和三角函数的综合

以直角三角形为基础形成的新函数是三角函数，其中主要包含余弦函数、正切函数、正弦函数等，三角函数一般用来计算平面向量的数量积问题。例如两个平面向量的乘积，是由两个向量的大小和它们之间角度的余弦值相乘而求得。在高中数学学习中，学生总是会遇到这个利用平面向量解决三角函数的题目。再例如使用平面向量的运算方式将平面向量问题转变为三角函数问题，以此来分析三角函数的特点和性质。有些数学题目，学校需要使用三角函数的概念来解决三角形问题，这时也可以利用平面向量的概念，对正余弦定律巧妙使用，对边角进行互换，解决与三角形面积、角度、长度的问题。解决平面向量和三角函数综合问题的关键是学生必须明确向量数量积和三角函数知识之间的联系。

2.3 平面向量和函数的综合

在函数学习中，学生经常会遇到函数图象平移题目，例如指数函数中线段的平移。学习平面向量其实就是在学习点平移的向量，所以在遇到这个函数图象平移问题时，可以将其看作是平面向量中的点进行平移。再例如已知X与Y之间的关系，求出函数中X或Y的最大值和最小值。解答这类问题可以将Z看作平面向量，然后对其计算，利用函数之间的联系简化运算式，最后分析题目中X和Y在什么情况下函数值最小或是最大，进而的出计算结果。学生在遇到平面向量和函数的综合性题目时，学生一定要学会在平面向量特点的基础上转化成为函数式。

3 结束语

总而言之，平面向量知识在学习过程中经常会与其他数学内容联系在一起，这是由于平面向量自身的特点。平面向量具有数形结合的特点，可以解决与解析几何相关的数学题目。

参考文献：

[1]胡小平，任全红.平面向量在高等数学领域中的应用初探[J].绵阳师范学院学报，2007，（02）：15-20

[2]傅拥军.渗透平面向量构建知识网络[J].金华职业技术学院学报，2005，（03）：50-53

篇7：高中数学平面向量的公式知识点

一、利用向量知识特性, 创设问题情境, 培养学生自主学习能力。

数学是生活的艺术, 是现实问题或现象的精确反映。我们在任何学科知识内容中都可以找寻到现实生活问题或现象的影子。学生作为教学活动的重要因素, 是整个学习活动的主人。高中生与初中生相比, 自觉性和自制性都有了一定, 但由于他们易受外界现象和观念的影响, 其学习的自主性也削弱了。爱因斯坦说过:“兴趣是最好的老师。”当代著名教育学家刘思明也曾经提出“快乐学习”的教育理念。因此, 教师在平面向量知识教学中, 就可以抓住学生心理发展规律, 根据平面向量的知识特性, 设置出贴近学生生活的问题情境, 激发学生的求知欲, 促进学生学习自觉性和主动性的良好形成。如在“向量的概念及表示”教学中, 我在新课导入时, 向学生设置了如下的生活情境:“如图1所示, 湖面上有三个点, 一艘旅艇将游客从景点1送到景点2, 半小时后, 游艇再将游客送到景点3。从景点1到景点2有一个位移, 从景点2到景点3也有一个位移。”接下来我向学生提出问题:“在上述的问题情境中, 蕴含着什么数学知识?如何用数学语言来表达?”在这一教学过程中, 学生学习的欲望和潜能被充分地激发和挖掘, 能动学习的特性得到了有效增强, 自然而然地投入到学习知识全过程中。

二、紧扣向量定理内容, 设置探究问题, 提升学生动手实践能力。

在对平面向量知识章节体系内容进行分析的过程中, 我们可以发现, 平面向量基本定理说明以平面内两个不共线向量为基底可以表示任意向量, 是平面向量坐标表示的基础, 平面向量的坐标表示是平面向量基本定理的特例。这部分内容高考中经常以填空题的形式出现。平面向量的数量积把向量运算转化为数量运算, 是平面向量章节中的核心内容。运用向量的数量积可以处理长度、角度、判断两个向量垂直等问题, 可以与三角函数、函数等问题综合在考试中以解答题形式出现。因此, 教师可以抓住平面向量的基本定理内容, 设置探究性问题, 让学生进行解答, 从而在有效巩固所学知识内容基础上, 培养学生实践探究能力。

通过对这两个案例的分析, 可以清楚地了解向量知识基本定理内容的应用。在探究活动中, 我以探究问题为载体, 让学生根据平面向量知识对问题进行思考分析, 找出解答问题的方法和途径, 能够有效提升学生解答问题的能力和水平。

三、抓住向量问题特点, 设置发散问题, 提高学生思维创新能力。

案例三:求证:△ABC的三条高交于一点。

此题是一道文字叙述题, 需要先把文字语言转化为数学语言, 进而转化为具体的平面向量问题, 然后进行求证。学生根据问题, 将其内容转化为数学语言:

已知:在△ABC中, CF, AD, BE分别是AB, BC, AC边上的高。

求证:AD, BE, CF交于一点。

接下来, 我让学生先画图, 根据所学知识, 组成学习小组对问题进行分析。学生通过分析发现, 本题实际上是考查向量的数量积的性质的运用。要证明三线共点问题, 一般先从两线交点入手, 证明第三条线经过该点, 垂直问题一般都利用数量积为0来进行解答。因此, 可以采用两种证明方法进行问题的求证。

在这一问题证明过程中, 可以看出, 平面向量章节问题的解答形式多种多样。教师可以抓住向量问题知识点之间的关系和内涵, 向学生设置“一题多解”、“一题多问”等类型的发散性数学问题, 让学生进行思考分析, 根据相关知识要点内容, 从不同角度进行问题的有效解答, 实现学生思维创新能力的有效提升。

又如在“向量知识的应用”一节教学时, 我在教学过程中, 为了培养学生解题思维的灵活性, 设置了2009年山东省的高考模拟试题:“如图2所示, 在直角△ABC中, 已知BC=a, ∠CAB=90°, 若长为2a的线段PQ以点A为中点, 则PQ与BC的夹角θ取何值时, 的值最大?并求出这个最大值。”我引导学生对此题进行分析, 学生分析得出, 此题主要是考查向量的概念, 平面向量的运算法则与运算向量及函数知识的能力。因此, 在进行这一问题解答时, 可以利用向量的运算列出关系式进行求解, 也可以建立适当的坐标系方法, 把各个点的坐标求出来, 再利用数量积的坐标表示, 列出关系式, 然后求出最值。学生在这一思路的引导下, 有效地进行了问题的解答。

四、联系知识要点, 设置错解问题, 提高学生学习反思能力。

案例四:已知, 求a+b与a-b的夹角的余弦值。

有学生进行了如下解答:

我接下来引导学生对该学生的解答过程进行分析。学生结合所学知识内容, 分析后发现, 上述解答错误在于误认为|a+b||a-b|=| (a+b) (a-b) |=|a2-b2|将向量模的运算看成实数绝对值的运算, 从而形成了错误解答过程。因此, 正确解答过程为:

在这一教学过程中, 我紧紧抓住了学生自主反思能动特性, 充分利用学生解题错误这一有利时机, 引导学生分析思考, 找出问题所在, 为学生在学习知识、解答问题过程中进行认真反思、促进良好学习习惯和品质的养成, 奠定了深厚的思想基础。

篇8：高中数学平面向量的公式知识点

一、 平面向量与平面几何交汇

例1已知O为△ABC的外心，P是△ABC所在平面内的一点，且OA+OB+OC=OP，则P是△ABC的（）

A. 垂心

B. 重心

C. 内心

D. 中心

解析抓住信息OA+OB+OC=OP，将其转化为OB+OC=OP-OA，即OB+OC=AP；再抓住信息点O是外心，将其转化为|OB|=|OC|，得OB2-OC2=0，再转化为（OB+OC）·（OB-OC）=0，得（OB+OC）·BC=0.从而可以判断PA与BC的位置关系.

由OB+OC=AP，

（OB+OC）·BC=0，

得BC·

AP=0，所以AP⊥BC.

同理，可得BP⊥CA，CP⊥AB，所以P是△ABC的垂心.故选A.

点评平面向量本身就是平面几何中的量.向量的加（减）法运算是通过三角形法则（或平行四边形法则）来完成的，因此向量与三角形有着密不可分的关系.近几年来，很多高考题和模拟题都涉及到了用向量表示三角形的“四心”.

变式1试证：点O为△ABC的重心的充要条件为OA+OB+OC=0.

变式2O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λ(AB+AC)，λ∈［0,+∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的.（重心）

变式3试证：点O为△ABC的内心的充要条件为|BC|·OA+|CA|·OB+|AB|·OC=0.

变式4（2003年新课程理科卷）O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|，λ∈［0,+∞),则点P的轨迹一定通过△ABC的.（内心）

变式5（2005年全国Ⅰ文科卷、2005年湖南文科卷）已知O是△ABC所在平面内的一点，试证：点O为△ABC的垂心的充要条件为OA·OB=OB·OC=OC·OA.

变式6O是平面上一定点，A,B,C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC，λ∈［0,+∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的.（垂心）

变式7已知O是△ABC所在平面内的一点，试证：点O为△ABC的外心的充要条件为|OA|=|OB|=|OC|.

变式8已知O是△ABC所在平面内的一点，试证：点O为△ABC的外心的充要条件为(OA+OB)·AB=(OB+OC)·BC=0.

请同学们仔细比较变式1、3、5、7、8，想一想为什么变式1、3中不需要加上条件“O为△ABC所在平面内的一点”，而变式5、7、8中需要？请同学们再比较变式2、4、6，它们的区别又在哪里？

二、 平面向量与平面解析几何交汇

例2（2008年四川理科卷）设椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1,F2，离心率e=22，右准线为l，M,N是l上的两个动点，F1M·F2N=0.

（Ⅰ） 若|F1M|=|F2N|=25，求a,b的值；

（Ⅱ） 证明：当|MN|取最小值时，F1M+F2N与F1F2共线.

略解由a2-b2=c2与e=ca=22，得c2=b2=a22.故

F1-22a,0，F222a,0,l的方程为x=2a.

设M(2a,y1)，N(2a,y2),则F1M=322a,y1，F2N=22a,y2,

由F1M·F2N=0，得y1y2=-32a2＜0.①

（Ⅰ） 由|F1M|=|F2N|=25，得

92a2+y21=12a2+y22=25.②

（这里利用已知的关于向量的条件以及向量的一些基本运算和性质得到①、②两式的过程便是“剥去”向量“外衣”的过程.）

由①、②两式，消去y1,y2，可求得a2=4.故a=2,b=22=2.

（Ⅱ） 由y1y2＜0,知|MN|2=(y1-y2)2=y21+y22-2y1y2≥-2y1y2-2y1y2=-4y1y2=6a2，

当且仅当y1=-y2=62a或y2=-y1=62a时，|MN|取最小值6a.

此时，F1M+F2N=(22a,y1+y2)=(22a,0)=2F1F2，

故F1M+F2N与F1F2共线.

点评解本题时，我们引入了向量的坐标表示（这就是解析几何的基本思想），使向量之间的运算代数化，这样就将“形”与“数”有机地结合在一起了.平面向量与解析几何之间有着十分密切的依存关系，求线段的长度可以通过求相应向量的模来实现，求角的大小则可以通过求两向量的夹角来解决，而平行和垂直的证明则分别可以通过向量共线和向量数量积为零的证明来处理.平面向量与解析几何相“交汇”，能命制出许多颇有新意的试题.

请看与本例类似的几道题：

类似1（2008年全国Ⅰ卷）双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1,l2，经过右焦点F且垂直于l1的直线分别交l1,l2于A,B两点.又已知|OA|，|AB|，|OB|成等差数列，且BF与FA同向.

（Ⅰ） 求双曲线的离心率；

（Ⅱ） 设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.

类似2（2008年上海文科卷）已知双曲线C:x22-y2=1.

（Ⅰ） 求双曲线C的渐近线方程；

（Ⅱ） 已知点M的坐标为(0,1)，设P是双曲线C上的点，Q是点P关于原点的对称点，记λ=MP·MQ，求λ的取值范围；

（Ⅲ） 已知点D,E,M的坐标分别为(-2,-1)，(2,-1),(0,1),P为双曲线C上在第一象限内的点，记l为经过原点与点P的直线，s为△DEM截直线l所得线段的长，试将s表示为直线l的斜率k的函数.

类似3(2008年陕西卷)已知抛物线C：y=2x2，直线y=kx+2交C于A,B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.

（Ⅰ） 证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行；

（Ⅱ） 是否存在实数k，使NA·NB=0？若存在，求k的值；若不存在，说明理由.

类似的题还有很多（如2008年全国Ⅱ理科卷第21题），同学们可以自己动手解这些题目，体会如何“剥去”向量这层“外衣”.

三、 平面向量与三角函数交汇

例3（2008年福建文科卷）已知向量m=(sinA,cosA),n=(1,-2),且m·n=0.

(Ⅰ) 求tanA的值；

(Ⅱ) 求函数f(x)=cos2x+tanAsinx(x∈R)的值域.

略解（Ⅰ） 由题意得m·n=sinA-2cosA=0,所以cosA≠0,且tanA=2.

（Ⅱ） 由（Ⅰ）知tanA=2，得

f(x)=cos2x+2sinx=1-2sin2x+2sinx=-2sinx-122+32.

因为sinx∈［-1,1］，

所以f(x)的值域是-3,32.

点评本题以平面向量知识为平台，考查了三角函数的求值问题.平面向量仍然只是一层“外衣”（包装）.

类似题已知a=（cosα，sinα），b=（cosβ，sinβ）(0＜α＜β＜π).

(Ⅰ) 求证：a+b与a-b相互垂直；

(Ⅱ) 若ka+b与a-kb的大小相等(k∈R且k≠0)，求β-α的值.

分别利用向量相互垂直及大小相等的充要条件，“剥去”向量“外衣”，即可得到三角函数式；通过三角恒等变换即可得出结果.

四、 平面向量与数列交汇

例4已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB=a1OA+a200OC，且A，B，C三点共线（该直线不过原点O），则S200=.

略解易知a1+a200=1，所以S200=12×200(a1+a200)=100.

点评本题源于苏教版教材必修4第77页习题2.3第11题：已知O为坐标原点，A(3,1)，B(-1,3).若点C满足OC=αOA+βOB，其中α,β∈R，且α+β=1，求点C的轨迹方程.请记住下面的结论：

设向量OA，OB不共线，则点P在直线AB上则存在λ,μ∈R，且λ+μ=1,使OP=λOA+μOB.

篇9：高中数学平面向量新课改教学反思

先学后教的好处在于物理知识引入并深入为数学知识, 由实际到认识并上升为数学理论的这一认知过程。不但体会到物理的位移、速度、重力的知识美, 而且还会体会到物理知识与数学知识的紧密联系, 上升到数学知识也是如此之美。使学生认识到要对物理等自然科学知识感兴趣, 必须学习好数学知识。

因此平面向量基本概念的问题情境的教学绝对不能忽视, 让学生细致研读, 像问题情境这样的实例, 在教学中教师要提出问题, 让学生带着问题去思考和学习才有兴趣性和实效性。提问题一定要细致、深刻, 才能督促学生自学得深刻, 才会有兴趣性和实效性。要实现这一目标, 必须先学后教才能深入熟悉问题的情境。

实例:

(1) 民航每天都有从北京飞往上海、广州、重庆等地的航班, 每次飞行都可看成是民航客机的一次位移。

师:这三个位移是不是相同的位移?

生:由于飞行的距离和方向不同, 这是不同的位移。

(2) 汽车向东北方向行驶了60km, 行驶的速度的大小为120km/h, 方向是东北。

师:位移和速度要注意什么?

生:大小和方向。

(3) 起重机吊装物理时, 物理既受到竖直向下的重力作用, 同时又受到竖直向上的起重机拉力的作用。

师:这里的力要注意什么?

生:大小和方向。

教师引导, 在教学中把物理概念中的既有大小又有方向的量叫做向量。

引导深入思考:向量与数量有何区别。

生:向量既有大小又有方向, 而数量只有大小没有方向。

二、如何培养学生对向量基本知识清晰认识的数学素养

在先学后教的基础上, 逐步启发学生弄清楚向量的表示和几种特殊的向量。

师:上述事例中的位移、速度和力如何表示?

生:可用带箭头的线段, 即有向线段表示。

师:有向线段包含哪三要素_____、_____、___。

生:起点、方向、长度。

师:向量可以用有向线段来表示, 向量AB的大小, 也就是AB的记作。

生:长度或 (模) , ∣A B∣

师:有向线段与向量的联系和区别。

生:向量可以用有向线段表示, 但二者不同, 有向线段有固定的起点、大小和方向, 而向量可选任意点作为向量的起点, 有大小和方向。

师:从大小和方向的角度看, 向量有哪些特殊情况?

生:模为0, 模为1, 方向相同或相反。

师:零向量长度___, 零向量记作____。

生:长度为0, 记作

师:单位向量和长度等于____。

生:1。

师:相等向量___, 长度且方向____。

生:相等, 相同。

师:平行向量, 是方向____的非零向量。

生:相同或相反。

师:如果向量a和b平行, 记作___。

规定零向量与任一向量____即对任意向量都有____。

生:

师:向量的平行与线段的平行有什么区别?

生:平行向量包括对任意有向线段平行或重合两种情况, 统称共线向量, 而线段的平行是指两线段所在直线无公共点。

三、要深化向量的有关概念, 注重课堂互动

课堂互动的好处在于充分地调动每个学生的积极性, 学生答对了给予肯定, 多赞许少指责, 这样有助于培养学生学习的兴趣。使学生觉得学习数学有成就感, 使学生的心情舒畅。

例1:判断下列命题是否正确, 并说明理由。

1. 若向量

同向, 且

, 则

。

2. 若

, 则

的长度相等且方向或相反。

3. 若

, 且

的方向相同, 则

。

4. 由于

方向不确定, 故

不能与任意向量平行。

5. 起点不同, 但方向相同且模相等的几个向量是相等的向量。

以上的问题充分讨论, 分组选派代表回答。然后教师对学生给予评价再打分, 引入竞争机制。

例2:在平行四边形ABCD中, E、F分别为边AD, BC的中点, 如图:

(1) 写出与向量共线的向量

(2) 求证:

问:与共线的向量需什么条件?

必须具备什么条件?

篇10：高中“平面向量”的教学探讨

一、从运算的角度来讲，向量可分为三种运算

（1）几何运算 。本章教材给出了三角形法则，平行四边形法则，多边形法则。利用这些法则，可以很好地解决向量中的几何运算问题，从中去体会数形结合的数学思想。

（2）代数运算。①加法、减法的运算法则；②、实数与向量乘法法则；③向量数量积运算法则。

（3）坐标运算。在直角坐标系中，向量的坐标运算有加、减、数乘运算、数量积运算。通过向量的坐标运算将向量的几何运算与代数运算有机结合起来，充分体现了解析几何的思想，让学生初步利用”解析法”来解决实际问题，也为以后学习解析几何及立体几何相关知识打下了基础，作好了铺垫。

二、教学内容、要求、重点与难点

1.本章教学内容可分成两块：第一向量及其运算，第二解斜三角形

（1）平面向量基本知识，向量运算。具体教学内容有: 向量(5.1节)、向量的加法与减法(5.2节)、实数与向量的积(5.3节)、平面向量的数量积及运算律(5.6节)。

（2） 平面向量的坐标运算， 联结几何运算与数量运算的桥梁。具体教学内容体有: 平面向量的坐标运算(5.4节)， 向量加减运算、实数与向量的积运算、平面向量的数量积的坐标表示(5.4节、5.7节)。

（3） 平面向量的应用， 具体教学内容有:线段的定比分点(5.5节)，平移(5.8节)，正弦定理， 余弦定理(5.9节)，解斜三角形应用举例(5.10节)，实习作业。

2.教学要求

（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

（2）掌握向量的加法和减法。

（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。

（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

（6）掌握平面两点间的距离公式以及线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练运用；掌握平移公式。

（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。

（8）通过解三角形的应用的教学，继续提高运用所学知识解决实际问题的能力。

3.教学重点

向量的幾何表示，向量的加、减运算及实数与向量的积的运算，平面向量的数量积，向量的坐标运算，向量垂直的条件，平面两点间的距离公式及线段的定比分点和中点坐标公式，平移公式，正、余弦定理。

4.教学难点

向量的概念，向量运算法则及几何意义的理解和应用，解斜三角形等。

三、本章的特点

教材编排的特点决定了在教学中处理本章时，有别于其它章节。

（1）教材在本章处理上，充分体现了数形结合的思想。教材通过求小船由A地到B地的位移来引入向量，根据学生思维特点，由具体到抽象，以平面几何知识为背景。在概念、法则及例题的编辑上都尽量配了图形，并安排了较多的作图练习、看图练习及作图验证练习等，为学生积极参与教学活动提供了条件，为发挥学生学习的主体作用提供了条件，这样既抓住了平面向量的特点，又使学生通过操作性练习达到对新概念的理解。

（2）利用”向量法”解决实际问题是本章的显著特点之一。向量与几何之间存在着密切联系；向量又有加、减、数乘积及数量积等运算，也有平面向量的坐标运算，因而向量具有几何和代数的双重属性，能联系几何与代数，从而给了我们一种新的数学方法——向量法； 向量法能将技巧性解题化成算法性解题，正、余弦定理的推导就采用了向量法，为以后学习解析几何与立体几何打下了基础。

（3）强化数学能力是本章的另一显著特点。由于本章的向量法的精髓就是将技巧性解题思路化成算法性解题思路；利用所学知识解决实际问题的能力作为本章的重要教学要求；为了更好地培养学生应用数学知识解决实际问题的能力和实际操作能力， 教材还安排了”实习作业”， 通过实际测量， 使学生能运用正、余弦定理来解决实际问题，既体现了数学的工具作用和应用性，又从另一个方面促进了学生对知识的理解与掌握。

四、教学体会

依据教学内容、要求及本章的特点，根据学生认知水平和近几年的教学实践，对”平面向量”教学有如下的教学体会：

（1）认真研究《考试大纲》及教学要求和目标，分析本章节特点，根据学生原有知识结构对学习本章可能会产生的正负迁移作用，有针对性地设计教学计划，组织教学过程，做好学法指导。

（2）在教学中重基础知识，重基本方法，重基本技能，重教材，重应用，重工具作用，不拔高，不选偏题和难题，遵循学生认知规律和按大纲要求进行。

（3）抓住向量的数形结合和具有几何与代数的双重属性的特点，提高”向量法”的运用能力，充分发挥工具作用。在教学中引导学生理解向量怎样用有向线段来表示，掌握向量的三种运算，理解向量运算和实数运算的联系和区别，强化本章基础。

（4）利用解三角形的应用问题，结合教学过程进行数学建模的训练，要引导学生识记、区分和理解正、余弦定理的应用范围，会对公式进行变形；在运用公式解三角形时，会分类讨论三角形类型；指导学生在解三角形时掌握正、余弦定理的选用与寻找合理、简捷的运算途径的关系，总结出解与三角形有关的应用问题 。