高中向量知识点总结

高中向量知识点总结（共6篇）

篇1：高中向量知识点总结

平面向量

【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a。2.向量的模:向量的大小(或长度,记作:||AB 或||a。3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。

4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量:方向相同或相反的向量。6.相等向量:长度和方向都相同的向量。

7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB-=(指向被减数 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b-。

10.共线定理://a b a b λ=⇔。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。

12.向量的模:若(,a x y =,则2||a x y =+22||a a =,2||(a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ⋅=⋅;cos ||||a b a b θ⋅=⋅

14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=;121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=

题型1.基本概念判断正误:(1共线向量就是在同一条直线上的向量。

(2若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。(3与已知向量共线的单位向量是唯一的。

(4四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。(5若AB CD =,则A、B、C、D 四点构成平行四边形。(6因为向量就是有向线段,所以数轴是向量。(7若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。(8若ma mb =,则a b =。(9若ma na =,则m n =。

(10若a 与b 不共线,则a 与b 都不是零向量。(11若||||a b a b ⋅=⋅,则//a b。(12若||||a b a b +=-,则a b ⊥。题型2.向量的加减运算

1.设a 表示“向东走8km ”, b 表示“向北走6km ”,则||a b +=。2.化简((AB MB BO BC OM ++++=。

3.已知||5OA =,||3OB =,则||AB 的最大值和最小值分别为、。4.已知AC AB AD 为与的和向量,且,AC a BD b ==,则AB = ,AD =。5.已知点C 在线段AB 上,且3

5AC AB =,则AC = BC ,AB = BC。题型3.向量的数乘运算

1.计算:(13(2(a b a b +-+=(22(2533(232a b c a b c +---+-= 2.已知(1,4,(3,8a b =-=-,则1 32a b-=。

题型4.作图法球向量的和

已知向量,a b ,如下图,请做出向量132a b +和3 22a b-。a b 题型5.根据图形由已知向量求未知向量

1.已知在ABC ∆中,D 是BC 的中点,请用向量AB AC ,表示AD。2.在平行四边形ABCD 中,已知,AC a BD b ==,求AB AD 和。题型6.向量的坐标运算

1.已知(4,5AB =,(2,3A ,则点B 的坐标是。2.已知(3,5PQ =--,(3,7P ,则点Q 的坐标是。

3.若物体受三个力1(1,2F =,2(2,3F =-,3(1,4F =--,则合力的坐标为。4.已知(3,4a =-,(5,2b =,求a b +,a b-,32a b-。

5.已知(1,2,(3,2A B ,向量(2,32a x x y =+--与AB 相等,求,x y 的值。6.已知(2,3AB =,(,BC m n =,(1,4CD =-,则DA =。

7.已知O 是坐标原点,(2,1,(4,8A B--,且30AB BC +=,求OC 的坐标。题型7.判断两个向量能否作为一组基底

1.已知12,e e 是平面内的一组基底,判断下列每组向量是否能构成一组基底: A.1212e e e e +-和 B.1221326e e e e--和4 C.122133e e e e +-和 D.221e e e-和

2.已知(3,4a =,能与a 构成基底的是(A.34(,55 B.43(,55 C.34(,55--D.4(1,3--题型8.结合三角函数求向量坐标

1.已知O 是坐标原点,点A 在第二象限,||2OA =,150xOA ∠=,求OA 的坐标。2.已知O 是原点,点A 在第一象限,||43OA =60xOA ∠=,求OA 的坐标。题型9.求数量积

1.已知||3,||4a b ==,且a 与b 的夹角为60,求(1a b ⋅,(2(a a b ⋅+,(31(2 a b b-⋅,(4(2(3a b a b-⋅+。2.已知(2,6,(8,10a b =-=-,求(1||,||a b ,(2a b ⋅,(3(2a a b ⋅+,(4(2(3a b a b-⋅+。题型10.求向量的夹角

1.已知||8,||3a b ==,12a b ⋅=,求a 与b 的夹角。

2.已知(3,1,(23,2a b ==-,求a 与b 的夹角。3.已知(1,0A ,(0,1B ,(2,5C ,求cos BAC ∠。题型11.求向量的模

1.已知||3,||4a b ==,且a 与b 的夹角为60,求(1||a b +,(2|23|a b-。2.已知(2,6,(8,10a b =-=-,求(1||,||a b ,(5||a b +,(61 ||2a b-。

3.已知||1||2a b ==，|32|3a b-=,求|3|a b +。题型12.求单位向量 【与a平行的单位向量:||a e a =±】

1.与(12,5a =平行的单位向量是。2.与1(1,2m =-平行的单位向量是。题型13.向量的平行与垂直 1.已知(6,2a =,(3,b m =-,当m 为何值时,(1//a b ?(2a b ⊥? 2.已知(1,2a =,(3,2b =-,(1k 为何值时,向量ka b +与3a b-垂直?(2k 为何值时,向量ka b +与3a b-平行? 3.已知a 是非零向量,a b a c ⋅=⋅,且b c ≠,求证:(a b c ⊥-。题型14.三点共线问题

1.已知(0,2A-,(2,2B ,(3,4C ,求证:，A B C 三点共线。

2.设2(5,28,3(2AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,求证:A B D、、三点共线。

3.已知2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-,则一定共线的三点是。4.已知(1,3A-,(8,1B-,若点(21,2C a a-+在直线AB 上,求a 的值。

5.已知四个点的坐标(0,0O ,(3,4A ,(1,2B-,(1,1C ,是否存在常数t ,使O A t O B O C +=成立? 题型15.判断多边形的形状

1.若3AB e =,5CD e =-,且||||AD BC =,则四边形的形状是。2.已知(1,0A ,(4,3B ,(2,4C ,(0,2D ,证明四边形ABCD 是梯形。3.已知(2,1A-,(6,3B-,(0,5C ,求证:ABC ∆是直角三角形。

4.在平面直角坐标系内,(1,8,(4,1,(1,3OA OB OC =-=-=,求证:ABC ∆是等腰直角三角形。

题型16.平面向量的综合应用

1.已知(1,0a =,(2,1b =,当k 为何值时,向量ka b-与3a b +平行? 2.已知(3,5a =,且a b ⊥,||2b =,求b 的坐标。3.已知a b 与同向,(1,2b =,则10a b ⋅=,求a 的坐标。3.已知(1,2a =,(3,1b =,(5,4c =,则c = a + b。

4.已知(5,10a =,(3,4b =--,(5,0c =,请将用向量,a b 表示向量c。5.已知(,3a m =,(2,1b =-,(1若a 与b 的夹角为钝角,求m 的范围;(2若a 与b 的夹角为锐角,求m 的范围。6.已知(6,2a =,(3,b m =-,当m 为何值时,(1a 与b 的夹角为钝角?(2a 与b 的夹角为锐角?

7.已知梯形ABCD 的顶点坐标分别为(1,2A-,(3,4B ,(2,1D ,且//AB DC ,2AB CD =,求点C 的坐标。

8.已知平行四边形 ABCD 的三个顶点的坐标分别为 A(2,1，B(1,3，C(3, 4，求第四个顶点 D 的坐标。9.一航船以 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成 30 角，求 水流速度与船的实际速度。10.已知 ABC 三个顶点的坐标分别为 A(3, 4，B(0, 0，C(c, 0，（1）若 AB  AC  0，求 c 的值；（2）若 c  5，求 sin A 的值。【备用】 1.已知 | a | 3,| b | 4,| a  b | 5，求 | a  b | 和向量 a, b 的夹角。2.已知 x  a  b，y  2a  b，且 | a || b | 1，a  b，求 x, y 的夹角的余弦。1.已知 a (1,3, b (2, 1，则(3a  2b (2a  5b 。4.已知两向量 a (3, 4, b (2, 1，求当 a  xb与a  b 垂直时的 x 的值。5.已知两向量 a (1,3, b (2, ，a与b 的夹角  为锐角，求  的范围。变式：若 a (, 2, b (3,5，a与b 的夹角  为钝角，求  的取值范围。选择、填空题的特殊方法： 1.代入验证法 例：已知向量 a (1,1, b (1, 1, c (1, ，则2 c （1 3 A. a  b 2 2 1 3 B. a  b 2 2 3 1 C.a  b 2 2 3 1 D. a  b 2 2）变式：已知 a (1, 2, b (1,3, c (1, 2，请用 a, b 表示 c。2.排除法 例：已知 M 是 ABC 的重心，则下列向量与 AB 共线的是（A.AM  MB  BC B.3 AM  AC C.AB  BC  AC）D.AM  BM  CM 6

广东省近八年高考试题-平面向量（理科）1.(2007年高考广东卷第10小题 若向量 a、b 满足| a |=| b |=1，a 与 b 的夹角为 120，则 a a  a b  2.(2008 年高考广东卷第 3 小题 3.已知平面向量 a =（1，2），b =（－2，m），且 a ∥b，则 2 a + 3 b =（A.（－5，－10）B.（－4，－8）4.(2009 年高考广东卷第 3 小题（x,1），b= 已知平面向量 a=，则向量 a  b =（（－x, x 2）．）C.（－3，－6）D.（－2，－4））A平行于 x 轴 C.平行于 y 轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 D.平行于第二、四象限的角平分线       c =(3,x满足条件(8 a － b · c =30，b= 5.(2010 年高考广东卷第 5 小题若向量 a =（1,1），（2,5），则x=(A．6 B．5 C．4 D．3 6.(2011 年高考广东卷第 3 小题已知向量 a (1, 2, b

(1,0, c (3, 4 ．若  为实数,(a  b / / c, 则 (B.1 2 A． 1 4 C.1 D.2 7.(2012 年高考广东卷第 3 小题 8．若向量 BA (2,3，CA (4,7，则 BC （A．(2, 4 B．(3, 4 C．(6,10）D．(6, 10 9.(2012 年高考广东卷第 8 小题对任意两个非零的平面向量  , ，定义

    ．若平面

    n 向量 a, b 满足 a  b  0，a 与 b 的夹角    0, ，且

 和

 都在集合 | n  Z 中，则

 4 2  b a A． 1 2 B． 1 C． 3 2 D． 5 2 7 10.（2014 广东省高考数学理科 12）已知向量 a  1,0, 1则下列向量中 , 与 a 成 60  夹角的是 A．（-1,1,0）B.（1,-1,0）C.（0,-1,1）D.（-1,0,1）8

篇2：高中向量知识点总结

必修四 第二章平面向量

1.在△ABC中，AB?c，AC?b.若点D满足BD?2DC，则AD?( ) A.

21b?c 33

B.c?

5

32b 3

C.

21b?c 33

D.b?

1

32c 3

2.在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，若AB?(2,4)，AC?(1,3),则BD?( ) A. (-2，-4)

B.(-3，-5) C.(3，5)

D.(2，4)

3设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且DC?2BD,CE?2EA,AF?2FB,则

AD?BE?CF与BC( )

A.反向平行

.同向平行

C.互相垂直

D.既不平行也不垂直

4.关于平面向量a，b，c.有下列三个命题：

，k)，b?(?2，6)，a∥b，则k??3. ①若ab=ac，则b?c.②若a?(1

③非零向量a和b满足|a|?|b|?|a?b|，则a与a?b的夹角为60. 其中真命题的序号为 .(写出所有真命题的序号)

?的值为 5.若过两点P1(-1,2),P2(5,6)的直线与x轴相交于点P，则点P分有向线段PP12所成的比

A -

1

3

B -

1 5

C

1 5

D

1 3

( )

D.2

( )

→→→

6.已知正方形ABCD的边长为1，AB=a，BC=b，AC=c，则a+b+c的模等于

A.0

B.22

2

7.已知|a|=5，|b|=3，且a・b=-12，则向量a在向量b上的投影等于

A.-4

B.4

12

C5

125

( )

8.若向量a=(1,1)，b=(1，-1)，c=(-1,2)，则c等于

13A.-+22

13-b 22

31C.a-b 22

31D.-a

22

( )

9.与向量a=(13)的夹角为30°的单位向量是

13

A.(，或(1，3)

22

B.(

31

) C.(0,1) 22

D.(0,1)或

3122( )

11

10.设向量a=(1,0)，b=()，则下列结论中正确的是

22

A.|a|=|b|

B.a・b=

2

2

C.a-b与b垂直 D.a∥b

11.已知三个力f1=(-2，-1)，f2=(-3,2)，f3=(4，-3)同时作用于某物

体上一点，为使物体保持平衡，

现加上一个力f4，则f4等于 A.(-1，-2)

( ) D.(1,2)

B.(1，-2) C.(-1,2)

12.已知a，b是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c满足(a?c)?(b?c)?0,则c的最大值( )

A.1 B.2 C.2 D.

2

2

b?a・b= . 13.若向量a、b满足a?b?1,a与b的夹角为120°，则a・

14.如图，平面内有三个向量OA、、,其中OA与的夹角为120°，OA与的夹角为30°,且|OA|=||=1，||=2，若=λOA+μλ，μ∈R),则λ+μ的值为.

?aa?

c=a-bab?0a??b，则向量a与c的夹角为( ) 15.若向量与不共线，，且

ab??

A.0

B.

π

6

C.

π 3

D.

π 2

16.若函数y?f(x)的图象按向量a平移后，得到函数y?f(x?1)?2的图象，则向量a=( )

，?2) A.(?1，?2) B.(1，2) C.(?1，2) D.(1

3)，a在b

上的投影为17.设a?(4，

，b在x轴上的投影为2，且|b|≤14，则b为( ) 2

C.??2?

14) A.(2，

B.?2，?

?

?2?? 7???2?7?

8) D.(2，

18.设两个向量a?(??2，?2?cos2?)和b??m?sin??，其中?，m，?为实数.若a?2b，则

?

?

m2

??

?

8] 的取值范围是( ) A.[-6，1] B.[4，

m

C.(-6，1] D.[-1，6]

19.直角坐标系xOy中，i，j分别是与x，y轴正方向同向的单位向量.在直角三角形ABC中，若

????

AB?2i?j,AC?3i?kj，则k的可能值个数是

A.1 B.2 C.3

D.4

→→

20.向量BA=(4，-3)，向量BC=(2，-4)，则△ABC的形状为

A.等腰非直角三角形 C.直角非等腰三角形

B.等边三角形

( )

D.等腰直角三角形

( )

21.若a=(λ，2)，b=(-3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的`取值范围是

10

，+∞? A.??3?

10

? B.??3?

10

-∞， C.?3?

10

-∞， D.?3?

22.已知向量a=(2，-1)，b=(-1，m)，c=(-1,2)，若(a+b)∥c，则m=________.

23.已知向量a和向量b的夹角为30°，|a|=2，|b|=，则向量a和向量b的数量积a・b=________. 24.已知非零向量a，b，若|a|=|b|=1，且a⊥b，又知(2a+3b)⊥(ka-4b)，则实数k的值为________. 25.已知a=(1，2)，b=(-2，3)，且ka+b与a-kb垂直，则k=( ) (A) ?1?2(B)

?

?

?

?

?

?

2?1(C) 2?3(D) 3?2

课堂小测

1.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点

F.若AC?a，BD?b，则AF?( )

A.

11a?b 42

B.

21

a?b 33

C.

11

a?b 24

D.a?

1

32b 3

2.已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC?CB?0，则OC?( ) A.2OA?OB

B.?OA?2OB

C.

21

OA?OB 33

D.?OA?

1

32

OB 3

?xπ??π?

?2?平移，则平移后所得图象的解析式为() 3.将y?2cos???的图象按向量a????36??4??xπ??xπ?

A.y?2cos????2 B.y?2cos????2

?34??34??xπ?

C.y?2cos????2

?312?

?xπ?

D.y?2cos????2

?312?

CD?4.在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD?2DB，

A.

1

CA??CB，则??( ) 3

2 3

B.

1 3

C.?

1 3

D.?

2 3

5.若向量a=(1,1)，b=(2,5)，c=(3，x)，满足条件(8a-b)・c=30，则x等于

A.6

( )

B.5 C.4 D.3

6.已知a，b，c在同一平面内，且a=(1,2).

(1)若|c|=25，且c∥a，求c; (2)若|b|=

7.已知|a|=2，|b|=3，a与b的夹角为60°，c=5a+3b，d=3a+kb，当实数k为何值时：

(1)c∥d;(2)c⊥d.

8.在平面直角坐标系xOy中，已知点A(-1，-2)，B(2,3)，C(-2，-1).

(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长; →→→

(2)设实数t满足(AB-tOC)・OC=0，求t的值.

，且(a+2b)⊥(2a-b)，求a与b的夹角. 2

→→→→→→→→→

9.已知向量OP1、OP2、OP3满足条件OP1+OP2+OP3=0，|OP1|=|OP2|=|OP3|=1.

求证：△P1P2P3是正三角形.

10.已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：

(1)BE⊥CF;(2)AP=AB.

1

解7 由题意得a・b=|a||b|cos 60°=2×3×=3.

2

9

(1)当c∥d，c=λd，则5a+3b=λ(3a+kb). ∴3λ=5，且kλ=3，∴k5

29

(2)当c⊥d时，c・d=0，则(5a+3b)・(3a+kb)=0. ∴15a2+3kb2+(9+5k)a・b=0，∴k=-.

14→→→→→→

解8 (1)AB=(3,5)，AC=(-1,1)，求两条对角线的长即求|AB+AC|与|AB-AC|的大小. →→→→→→→→

由AB+AC=(2,6)，得|AB+AC|=210， 由AB-AC=(4,4)，得|AB-AC|=42. →→→→→→→(2)OC=(-2，-1)， ∵(AB-tOC)・OC=AB・OC-tOC2， 11→→→→→→易求AB・OC=-11，OC2=5， ∴由(AB-tOC)・OC=0得t=-.

5

→→→→→→→→→

证明9 ∵OP1+OP2+OP3=0，∴OP1+OP2=-OP3，∴(OP1+OP2)2=(-OP3)2，

→→

1OP・OP1→2→2→→→2→→

∴|OP1|+|OP2|+2OP1・OP2=|OP3|， ∴OP1・OP2=-，cos∠P1OP2=，

22→→

|OP1|・|OP2|→→→

∴∠P1OP2=120°.∴|P1P2|=|OP2-OP1|=

→→

?OP2-OP1?2=

→→→→OP12+OP22-2OP1・OP2=3.

→→

同理可得|P2P3|=|P3P1|=故△P1P2P3是等边三角形.

证明10 如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不妨设AB=2， 则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1). →→→

(1)BE=OE-OB=(1,2)-(2,0)=(-1,2)， →→→

CF=OF-OC=(0,1)-(2,2)=(-2，-1)， →→∵BE・CF=-1×(-2)+2×(-1)=0， →→

∴BE⊥CF，即BE⊥CF.

→→

(2)设P(x，y)，则FP=(x，y-1)，CF=(-2，-1)，

→→→→

∵FP∥CF，∴-x=-2(y-1)，即x=2y-2.同理由BP∥BE，得y=-2x+4，代入x=2y-2. 686868→→→→

篇3：高中向量知识点总结

一、向量知识在高中数学中的作用

1. 利用向量方法证明两角差的余弦公式

例 cos ( α - β) = cosαcosβ + sinαsinβ.

2. 利用向量学习复数知识

复数的几何意义:

( 1) 复数z = a + bi与复平面内的点 ( a, b) 一一对应.

( 2) 复数z = a + bi与向量OZ一一对应, 其中Z点坐标为 ( a, b) .

逻辑上复数可以和向量互相替代, 互相转化. 所以抽象的复数知识用向量也可以解决.

3. 利用向量学习立体几何问题

空间向量作为新加入的内容, 在处理空间问题中具有相当的优越性, 比原来处理空间问题的方法更有灵活性. 立体几何的计算和证明常常涉及两大问题: 一是位置关系, 它主要包括线线垂直、线面垂直、线线平行、线面平行; 二是度量问题, 它主要包括点到线、点到面的距离, 线线、线面所成角, 面面所成角等. 这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角, 而用向量解决线面平行, 计算点到平面的距离、线面角及面面角问题不仅是多了一种方法, 更是解决了一些以前可能解决不了的问题, 比如求二面角问题, 假如不用空间向量法有时很难求解.

( 4) 向量知识在不等式中的应用

利用向量数量积的一个重要性质变形为可以解决不等式中一类含有乘积之和或乘方之和的式子的题目, 采用构造向量去解往往能化难为易, 同时有效提高学生的观察分析能力和想象能力.

如: 已知x > 0, y > 0, 且x + y = 1, 求的最大值.

二、平面向量是高中数学的新增内容, 也是高考的一个亮点

1. 直接考查向量知识

例【2009年江苏卷】第二题: 已知向量a和向量b的夹角为30°, , 则向量a和向量b的数量积a·b =__ .

答案:

2. 向量与三角的融合

例【2013年江苏卷】已知a = ( cosα, sinα) , b = ( cosβ, sinβ) , 0 < β < α < π.

( 1) 若, 求证: a⊥b;

( 2) 设c = ( 0, 1) , 若a + b = c, 求α, β的值.

解答略.

3. 向量与解析几何也是高考的命题热点

高考命题中对知识综合性的考查, 往往在知识网络交汇点上设计试题, 注重学科的内在联系和综合.

例椭圆的焦点为F1, F2, 点P为其上动点. 当∠F1PF2为钝角时, 点P横坐标的 取值范围是__ .

在高中数学中运用向量知识解题, 特别是几何问题, 思路会更清晰, 目标更明确, 更易于掌握. 而作为学生, 因为接触到了新的内容, 不仅会增大知识的容量, 而且由于立足于向量这一新的视角, 会进一步拓宽思维的渠道.

篇4：透视平面向量 交汇知识网络

一、平面向量与有序实数对的交汇

例1 设O为坐标原点,向量OA=(1,2),将OA绕着点O按逆时针方向旋转90°得到向量OB,则2OA+OB的坐标为 .

分析:利用向量和有序实数对的对应关系,及模与向量数量积的意义构建方程求解.再根据旋转的方向确定OB.

解:设OB=(x,y),则OB=OA=5,

又因为OA,OB夹角为90°,所以OA•OB=0.

即x2+y2=5,x+2y=0,,

解方程组得x=-2,y=1,或x=2,y=-1,

又因为是按逆时针方向旋转,

所以x=-2,y=1,,即OB=(-2,1).

故2OA+OB=2(1,2)+(-2,1)=(0,5).

点评:本题主要考查向量垂直的充要条件以及模长公式,并且根据向量的旋转方向确定向量的坐标.

二、平面向量与三角函数的交汇

例2 (2009天津一中3月月考)已知A,B,C为三个锐角,且A+B+C=π.

若向量p=(2sinA-2,cosA+sinA)与向量q=(cosA-sinA,1+sinA)是共线向量.

(Ⅰ)求角A;

(Ⅱ)求函数y=2sin2B+cosC-3B2的最大值.

分析:首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式,由于可求得A角的正弦值,再根据角的范围即可解决第(Ⅰ)小题;而第(Ⅱ)小题根据第(Ⅰ)小题的结果及A、B、C三个角的关系,结合三角恒等变换公式将函数转化为关于角B的表达式,再根据B的范围求最值.

解:(Ⅰ)因为p、q共线,所以(2sinA-2)(1+sinA)=(cosA+sinA)(cosA-sinA),则sin2A=34,

又A为锐角,所以sinA=32,则A=π3.

(Ⅱ)y=2sin2B+cosC-3B2=2sin2B+cos(π-π3-B)-3B2

=2sin2B+cos(π3-2B)=1-cos2B+12cos2B+32sin2B

=32sin2B-12cos2B+1=sin(2B-π6)+1.

又因为B∈(0,π2),

∵C=2π3-B∈(0,π2)

∴B∈(π6,π2)∴2B-π6∈(π6,5π6)∴当2B-π6=π2即B=π3时函数取最大值.

此时函数y=2sin2B+cosC-3B2的最大值为2.

点评:本题主要考查向量共线(平行)的充要条件、三角恒等变换公式及三角函数的有界性.本题解答有两个关键:(1)利用向量共线的充要条件将向量问题转化为三角函数问题;(2)根据条件确定B角的范围.一般地,由于在三角函数中角是自变量,因此解决三角函数问题确定角的范围就显得比较重要了.

三、平面向量与解斜三角形的交汇

例3 (2009南通一模)ΔABC的外接圆半径为1,角A,B,C的对边分别为a,b,c.向量m=(a,4cosB),n=(cosA,b),满足m∥n.

(1)求sin A+sin B的取值范围;

(2)若实数x满足abx=a+b,试确定x的取值范围.

分析:首先利用向量共线的充要条件建立三角函数等式,再利用正弦定理和三角恒等变换求出取值范围;而第(Ⅱ)小题结合三角恒等变换公式将函数转化为关于角B的表达式,再换元成关于t的函数,利用导数和t的范围求最值.

解:(1)因为m∥n,所以acosA=4cosBb,

ab=4cosAcosB.

因为三角形ABC的外接圆半径为1,由正弦定理,得ab=4sinAsinB.

于是cosAcosB-sinAsinB=0.cos(A+B)=0.

因为0

sinA+sinB=sinA+cosA=2sin(A+π4),因为π4

所以22<sin(A+π4)≤1,故1<sinA+sinB≤2.

(2)x=a+bab=2(sinA+sinB)4sinAsinB=sinA+cosA2sinAcosA.

设x=sinA+cosA(1

设x=tt2-1,因为x'=-(1+t2)(t2-1)2<0,故x=tt2-1在(1,2]上单调递减.

所以tt2-1≥2.所以实数x的取值范围是[2,+∞).

点评: 本题主要考查平面向量的数量积、三角恒等变换及三角形中的正弦定理.解答本题主要有两处要注意:第(Ⅰ)小题求解中特别要注意确定角A的范围;(2)第(Ⅱ)小题中利用导数判断函数的单调性确定x的范围.

四、平面向量与函数的交汇

例4 (2009黄冈五所重点高中12月)如图,O半圆的直径AB=12,O为圆心,C为半圆上不同于A,B的任意一点,若P为半径OC上的动点,则(PA+PB)•PC的最小值是 .

分析 首先由中点公式转化为两个向量的数量积,再利用数量积公式和换元法,转化为二次函数求最值.

解:因为O是AB的中点,所以PA+PB=2PO.

即(PA+PB)•PC=2PO•PC=2PO•PC•cosπ=-2PO•PC,

设PO=x(0≤x≤6),

故-2PO•PC=-2x(6-x)=2x2-12x2=2(x-3)2-18.

即(PA+PB)•PC的最小值是-18.

点评:本题求解过程中将平面向量问题转化为求函数的最值问题,从而使问题得到简化.

五、平面向量与解析几何的交汇

例5 已知定点A(-1,0)和B(1,0),P是圆(x-3)2+(y-4)2=4上的一动点,求PA2+PB2的最大值和最小值.

分析:因为O为AB的中点,所以PA+PB=2PO,故可把问题转化为求向量OP的最值.

解:设已知圆的圆心为C,由已知可得:OA=(-1,0),OB=(1,0),

OA+OB=0,OA•OB=-1,又由中点公式得PA+PB=2PO,

所以PA2+PB2=(PA+PB)2-2PA•PB

=(2PO)2-2(OA-OP)•(OB-OP)

=4PO2-2OA•OB-2OP2+2OP•(OA+OB)

=2OP2+2.

又因为OC=(3,4),点P在圆(x-3)2+(y-4)2=4上

所以OC=5,CP=2,且OP=OC+CP,

所以OC-CP≤OP=OC+CP≤OC+CP.

即3≤OP≤7,故20≤PA2+PB2=2OP2+2≤100.

所以PA2+PB2的最大值为100,最小值为20.

点评:本题利用向量运算将解析几何问题转化为平面向量问题,虽然没有直接用向量作为已知条件出现,但如果运用向量知识来解决,就会显得自然、简便.

篇5：高考平面向量知识点总结

1.基本概念：

向量的定义、向量的模、零向量、单位向量、相反向量、共线向量、相等向量。

2. 加法与减法的代数运算：

(1)若a=(x1,y1 ),b=(x2,y2 )则a b=(x1+x2,y1+y2 ).

向量加法与减法的几何表示：平行四边形法则、三角形法则。

向量加法有如下规律： + = + (交换律); +( +c)=( + )+c (结合律);

3.实数与向量的`积：实数 与向量 的积是一个向量。

(1)| |=| || |;

(2) 当 a>0时， 与a的方向相同;当a<0时， 与a的方向相反;当 a=0时，a=0.

两个向量共线的充要条件：

(1) 向量b与非零向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使得b= .

(2) 若 =( ),b=( )则 ‖b .

平面向量基本定理：

若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使得 = e1+ e2.

4.P分有向线段 所成的比：

设P1、P2是直线 上两个点，点P是 上不同于P1、P2的任意一点，则存在一个实数 使 = ， 叫做点P分有向线段 所成的比。

当点P在线段 上时， >0;当点P在线段 或 的延长线上时， <0;

分点坐标公式：若 = ; 的坐标分别为( ),( ),( );则 ( -1)， 中点坐标公式： .

5. 向量的数量积：

(1).向量的夹角：

已知两个非零向量 与b，作 = , =b,则AOB= ( )叫做向量 与b的夹角。

(2).两个向量的数量积：

已知两个非零向量 与b，它们的夹角为 ，则 b=| ||b|cos .

其中|b|cos 称为向量b在 方向上的投影.

(3).向量的数量积的性质：

若 =( ),b=( )则e = e=| |cos (e为单位向量);

b b=0 ( ，b为非零向量);| |= ;

cos = = .

(4) .向量的数量积的运算律：

b=b( )b= ( b)= ( b);( +b)c= c+bc.

6.主要思想与方法：

篇6：高中向量知识点总结

一．【课标要求】

（1）平面向量的实际背景及基本概念

通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示；

（2）向量的线性运算

①通过实例，掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义；

②通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义； ③了解向量的线性运算性质及其几何意义（3）平面向量的基本定理及坐标表示 ①了解平面向量的基本定理及其意义； ②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示； ③会用坐标表示平面向量的加、减与数乘运算； ④ 理解用坐标表示的平面向量共线的条件

二．【命题走向】

本讲内容属于平面向量的基础性内容，与平面向量的数量积比较出题量较小。以选择题、填空题考察本章的基本概念和性质，重点考察向量的概念、向量的几何表示、向量的加减法、实数与向量的积、两个向量共线的充要条件、向量的坐标运算等。此类题难度不大，分值5~9分。

预测2010年高考：

（1）题型可能为1道选择题或1道填空题；

（2）出题的知识点可能为以平面图形为载体表达平面向量、借助基向量表达交点位置或借助向量的坐标形式表达共线等问题。

三．【要点精讲】

1．向量的概念

①向量

既有大小又有方向的量。向量一般用a,b,c……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法AB，a；坐标表示法axiyj(x,y)。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|即向量的大小，记作｜a|。

向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小

②零向量

长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a＝0｜a｜＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）③单位向量

模为1个单位长度的向量，向量a0为单位向量｜a0｜＝1。

④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上，方向相同或相

反的向量，称为平行向量，记作a∥b。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。

数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的

⑤相等向量

长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为ab。大小相等，方向相同

xx2。(x1,y1)(x2,y2)1y1y22．向量的运算（1）向量加法

求两个向量和的运算叫做向量的加法

设ABa,BCb，则a+b=ABBC=AC。规定：

（1）0aa0a；

（2）向量加法满足交换律与结合律；

向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”

（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。

（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点

当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：

ABBCCD。PQQRAR，但这时必须“首尾相连”（2）向量的减法

①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量

记作a,零向量的相反向量仍是零向量。关于相反向量有：

（i）(a)=a；(ii)a+(a)=(a)+a=0；(iii)若a、b是互为相反向量，则a=b,b=a,a+b=0。

②向量减法

向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：aba(b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法

③作图法：ab可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b有共同起点）。（3）实数与向量的积

①实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：

（Ⅰ）aa；

（Ⅱ）当0时，λa的方向与a的方向相同；当0时，λa的方向与a的方向相

反；当0时，a0，方向是任意的。

②数乘向量满足交换律、结合律与分配律 3．两个向量共线定理：

向量b与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b=a。

4．平面向量的基本定理

如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1,2使：a1e12e2其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底

5．平面向量的坐标表示

（1）平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量a可表示成由于a与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)，axiyj，其中x叫作a在x轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。

规定：

（1）相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量；

（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关系。

（2）平面向量的坐标运算：

①若ax1,y1,bx2,y2，则abx1x2,y1y2； ②若Ax1,y1,Bx2,y2，则ABx2x1,y2y1； ③若a=(x,y)，则a=(x, y)；

④若ax1,y1,bx2,y2，则a//bx1y2x2y10。6．向量的数量积

（1）两个非零向量的夹角

已知非零向量a与a，作OA＝a，OB＝b，则∠AＯA＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角； 说明：（1）当θ＝０时，a与b同向；（2）当θ＝π时，a与b反向； （3）当θ＝时，a与b垂直，记a⊥b； 2（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围0≤≤180。

（2）数量积的概念

已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则a·b=︱a︱·︱b︱cos叫做a与b的数量积（或内积）。规定0a0；

向量的投影：︱b︱cos=为射影；

（3）数量积的几何意义： a·b等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积（4）向量数量积的性质

①向量的模与平方的关系：aaa2|a|2。②乘法公式成立

ab∈R，称为向量b在a方向上的投影。投影的绝对值称|a|abababaaba2abba222222b； 2abb；

222③平面向量数量积的运算律 交换律成立：abba；

R；

分配律成立：abcacbccab。对实数的结合律成立：ababab④向量的夹角：cos=cosa,babab=

x1x2y1y2x1y1x2y22222。

当且仅当两个非零向量a与b同方向时，θ=00，当且仅当a与b反方向时θ=1800，同时0与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题

（5）两个向量的数量积的坐标运算 已知两个向量a(x1,y1),b(x2,y2)，则a·b=x1x2y1y2。（6）垂直：如果a与b的夹角为900则称a与b垂直，记作a⊥b。

两个非零向量垂直的充要条件：a⊥ba·b＝Ox1x2y1y20，平面向量数量积的性质。

（7）平面内两点间的距离公式

设a(x,y)，则|a|2x2y2或|a|x2y2。

如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)，那么|a|(x1x2)2(y1y2)2(平面内两点间的距离公式)

2．向量的应用

（1）向量在几何中的应用；（2）向量在物理中的应用。

五．【思维总结】

数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”,能力是在知识传授和学习过程中得到培养和发展的。新课程试卷中平面向量的有些问题与课本的例习题相同或相似，虽然只是个别小题，但它对学习具有指导意义，教学中重视教材的使用应有不可估量的作用。因此，学习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一定的观点和方法组织成整体，形成知识体系。

学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离等。由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点

（1）向量的加法与减法是互逆运算；

（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件；（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况；