方向向量

2024-05-30

方向向量（精选三篇）

方向向量篇1

一、基底法

通常先选取一组基底 ( 对于基底中的向量, 最好是已知它们的模及两向量之间的夹角) , 然后将问题中出现的其他向量用基底表示, 再利用向量的运算法则、运算律运算, 从而解决问题. 在“基底法”解决向量问题中常会用到下面结论:

1. 共线向量定理:, 使b = λa.

2. 三点共线的充要条件

3. 中点的向量式: 若C是线段AB的中点, 则

4. 重心的向量式:

( 1) 若G是△ABC的重心, 则

( 2) 若G是△ABC的重心, 则

例1在△ABC中, E为线段AC的中点, 试问在线段AC上是否存在一点D, 使得

所以, 存在点D为AC的三等分点) 时, 使得

例2已知点O, N, P在△ABC所在的平面内, 且

A. 重心、外心、垂心B. 重心、外心、内心

C. 外心、重心、垂心D. 外心、重心、内心

解析因为, 所以点O到三角形的三个顶点的距离相等, 所以O为△ABC的外心; 由, 由中线的性质可知点N在AB边的中线上, 同理可得点N在其他边的中线上, 所以点N为△ABC的重心; 由

答案D.

二、坐标法

利用平面向量的坐标表示, 可以将平面几何中长度、垂直、平行等问题很容易地转化为向量坐标运算的问题, 运用此种方法必须建立适当的坐标系, 实现向量的坐标化.

例3在直角三角形ABC中, 点D是斜边AB的中点, 点P为线段CD的中点, 则

A. 2B. 4C. 5D. 10

解析如图 ( 1) , 以C为原点, CB, CA所在直线为x轴, y轴, 建立平面直角坐标系. 设A ( 0, a ) , B ( b, 0 ) , 则D (b/2, a/2) , P (b/4, /a4) , 由两点间的距离公式可得所以

答案D.

例4 ( 2012·北京高考) 已知正方形ABCD的边长为1, 点E是AB边上的动点, 则的值为___ , 的最大值为___ .

解析以D为坐标原点, 建立平面直角坐标系, 如图 ( 2) 所示. 则D ( 0, 0) , A ( 1, 0) , B ( 1, 1) , C ( 0, 1) , 设E ( 1, a) ( 0≤a≤1) . 所以. 故的最大值为1.

方向向量篇2

一、直线的方向向量与平面的法向量的定义

1 直线的方向向量

我们把直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量.

2 平面的法向量

如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，如果n⊥α，那么向量n叫做平面α的法向量.

二、直线的方向向量与平面的法向量的求法

1. 直线的方向向量的求法

方法一：设直线方程y=kx+b，则其方向向量为m=(1,k).

方法二：设直线方程Ax+By+C=0，则其方向向量为m=(-B,A).

方法三：设A(x1,y1)、B(x2,y2)、（x1≠x2）在直线L上,则其方向向量为m=1,y2-y1x2-x1.注：(1) 当直线L与x轴垂直时，设A(x1,y1)、B(x1,y2)在直线L上，则m=0,y2-y1x2-x1为直线L的一个方向向量；（2）设A(x1,y1,z1)、B(x2,y2,z2)在直线L上,则其方向向量为m=1,y2-y1x2-x1,z2-z1x2-x1( x2≠x1)为直线L的一个方向向量.

2. 平面的法向量的求法

方向向量篇3

关键词：区间数,向量投影,多属性决策,主要防御方向

0引言

主要防御方向是防御者集中兵力兵器抗击敌人进攻的空间指向, 是防御决心的重要内容[1]。文献[2]将选择主要方向归结为有限方案多属性决策问题, 利用模糊层次分析法得到评价指标属性权重的模糊区间数, 根据区间数特征向量法讨论区间数排序, 进而确定主要防御方向, 文献[3]将区间数转换为集对分析联系数, 利用集对分析联系数选择主要防御方向, 但计算过程稍显繁杂。每一方案的决策向量向理想点的投影, 计算相对简单, 较好地反映了该方案与理想方案的差距, 据此可以完成各方案的价值排序[3,9]。本文拟在文献[2][3]基础上, 利用区间数向量投影对此问题作进一步的分析和探讨, 以期为解决其他类似问题提供参考。

1预备知识

1.1区间数及其运算

定义1:a=[a-, a+]={x│0<a-≤x≤a+}称为一正闭区间数, 简称为区间数。若a-=a+, 则区间数退化为普通正实数。

设a=[a-, a+], b=[b-, b+]则可定义如下运算:

(2) 加法, a+b=[a-, a+]+[b-, b+]=[a-+b-, a++b+];

(3) 乘法, a·b=[a-, a+]·[b-, b+]=[a-b-, a+b+]。

1.2向量投影

定义2:设有向量a= (a1, a2, …, an) , 定义向量的模长为

定义3:设有向量a= (a1, a2, …, an) , b= (b1, b2, …, bn) , 定义向量夹角为

定义4:设有向量a= (a1, a2, …, an) , b= (b1, b2, …, bn) , 定义向量a在b上的投影为

数值Prjb (a) 越大, 表示向量a越接近b。

若aj=[aj-, aj+], bj=[bj-, bj+], j=1, 2, …, n, 则 (3) 式可推广至区间数情形,

2决策模型

Step1确定规范化决策矩阵B= (bij) m×n= ([bij-, bij+]) m×n,

对于效益型属性Yj

对于成本型属性Yj

显然[bij-, bij+]⊂[0, 1]。

Step2求取加权规范化决策矩阵

Step3确定区间型正理想点,

由此可构造正理想方案向量X+,

Step4利用式 (4) 求出各方案向量Xi在正理想方案向量X+上的投影

Step5利用式 (10) 求得的投影值对各方案排序, 可得最优方案。

3实证分析

仍以文献[2]中实例数据来说明本方法。某演习中, 指挥部根据作战任务, 结合××地域的实际情况, 确定了4个重点地域X1, X2, X3, X4作为备选地域。选择主要防御方向要考虑的主要属性是要符合上级意图 (Y1) 、本级任务 (Y2) 、敌方情况 (Y3) 和地形条件 (Y4) 等4个方面。其规范化决策矩阵及指标属性见表1[2]。

据此得到加权规范化决策矩阵

据此构造正理想方案向量

利用 (10) 式求出各方案向量Xi在正理想方案向量X+上的投影分别为:

显然, 相应地, 四个待选地域的优序关系为。与文[2][3]结果一致。

4结论

本文针对属性和权重皆为区间数的有限方案多属性决策问题, 利用向量投影方法, 给出了一种基于区间数向量投影的决策方法, 相较于区间数特征向量法以及转换为集对分析联系数再进行决策排序, 该法所需计算量少, 更加便于计算机实现, 具有较好的适用性, 可以为其它类似决策问题提供参考。

参考文献

[1]卢青, 陈岩.陆军合同攻防战斗[M].宣化, 炮兵指挥学院, 2005.

[2]宋占岭.基于区间数特征向量法 (IEM) 的主要防御方向选择问题[J].兵工自动化, 2009, 28 (4) :18-20.

[3]宋占岭, 王忠武, 王锐.基于集对分析联系数的主要防御方向选择[J].电子设计工程, 2013, 21 (4) :51-53.

[4]魏世孝, 周献中.多属性决策理论方法及其在C3I系统中的应用[M].北京:国防工业出版社, 1998.

[5]徐泽水.不确定多属性决策方法及其应用[M].北京:清华大学出版社, 2004.