向量减法及其几何意义

向量减法及其几何意义（精选8篇）

篇1：向量减法及其几何意义

2.2.2 向量减法运算及其几何意义

一、教学分析

向量减法运算是加法的逆运算.学生在理解相反向量的基础上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算.因此,类比数的减法(减去一个数等于加上这个数的相反数),首先引进相反向量的概念,然后引入向量的减法(减去一个向量,等于加上这个向量的相反向量),通过向量减法的三角形法则和平行四边形法则,结合一定数量的例题,深刻理解向量的减法运算.通过阐述向量的减法运算,可以转化为向量加法运算,渗透化归的数学思想,使学生理解事物之间的相互转化、相互联系的辨证思想,同时由于向量的运算能反映出一些物理规律,从而加强了数学学科与物理学科之间的联系,提高学生的应用意识.二、教学目标：

1、知识与技能：

了解相反向量的概念；掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义。

2、过程与方法：

通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量减法运算及其几何意义，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法。

3、情感态度与价值观：

通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想。

三、重点难点

教学重点:向量的减法运算及其几何意义.教学难点:对向量减法定义的理解.四、学法指导

减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的基础上结

合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量。

五、教学设想

（一）导入新课

思路1.(问题导入)上节课,我们定义了向量的加法概念,并给出了求作和向量的两种方法.由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算:减去一个数等于加上这个数的相反数.向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究,由此展开新课.思路2.(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算.本节课,我们继续学习向量加法的逆运算——减法.引导学生去探究、发现.（二）推进新课、新知探究、提出问题

①向量是否有减法？

②向量进行减法运算,必须先引进一个什么样的新概念？ ③如何理解向量的减法？

④向量的加法运算有平行四边形法则和三角形法则,那么,向量的减法是否也有类似的法则？

活动:数的减法运算是数的加法运算的逆运算,数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数,因此定义数的减法运算,必须先引进一个相反数的概念.类似地,向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算.可类比数的减法运算,我们定义向量的减法运算,也应引进一个新的概念,这个概念又该如何定义? 引导学生思考,相反向量有哪些性质? 由于方向反转两次仍回到原来的方向,因此a和-a互为相反向量.于是-(-a)=a.我们规定,零向量的相反向量仍是零向量.任一向量与其相反向量的和是零向量,即a+(-a)=(-a)+a=0.所以,如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0.(1)平行四边形法则

图1 如图1,设向量AB=b,AC=a,则AD=-b,由向量减法的定义,知AE=a+(-b)=a-b.又b+BC=a,所以BC=a-b.由此,我们得到a-b的作图方法.图2(2)三角形法则

如图2,已知a、b,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=a-b,即a-b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量,这是向量减法的几何意义.讨论结果:①向量也有减法运算.②定义向量减法运算之前,应先引进相反向量.与数x的相反数是-x类似,我们规定,与a长度相等,方向相反的量,叫做a的相反向量,记作-a.③向量减法的定义.我们定义

a-b=a+(-b), 即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量.规定:零向量的相反向量是零向量.④向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则,这也正是向量的运算的几何意义所在,是数形结合思想的重要体现.提出问题

①上图中,如果从a的终点到b的终点作向量,那么所得向量是什么? ②改变上图中向量a、b的方向使a∥b,怎样作出a-b呢? 讨论结果:①AB=b-a.②略.（三）应用示例

如图3(1),已知向量a、b、c、d,求作向量a-b,c-d.图3

活动:教师让学生亲自动手操作,引导学生注意规范操作,为以后解题打下良好基础;点拨学生根据向量减法的三角形法则,需要选点平

移作出两个同起点的向量.作法:如图3(2),在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,OC=c,OD=d.则BA=a-b,DC=c-d.变式训练

(2006上海高考)在ABCD中,下列结论中错误的是（）A.AB=DC

B.AD+AB=AC

C.AB-AD=BD

D.AD+BC=0 分析:A显然正确,由平行四边形法则可知B正确,C中,AB-AD=BD错误,D中,AD+BC=AD+DA=0正确.答案:C

例2 如图4,ABCD中, AB=a,AD=b,你能用a、b表示向量AC、DB吗?

图4

活动:本例是用两个向量表示几何图形中的其他向量,这是用向量证明几何问题的基础.要多注意这方面的训练,特别要掌握用向量表示平行四边形的四条边与两条对角线的关系.解:由向量加法的平行四边形法则,我们知道AC=a+b, 同样,由向量的减法,知DB=AB-AD=a-b.变式训练

1.(2005高考模拟)已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c,则向量OD等于（）A.a+b+c

B.a-b+c

C.a+b-c

D.a-b-c

图5 解析:如图5,点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c, 结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c.答案:B 2.若AC=a+b,DB=a-b.①当a、b满足什么条件时,a+b与a-b垂直？ ②当a、b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|？

③当a、b满足什么条件时,a+b平分a与b所夹的角 ？ ④a+b与a-b可能是相等向量吗？

图6 解析:如图6,用向量构建平行四边形,其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线.由平行四边形法则,得

AC=a+b,DB=AB-AD=a-b.由此问题就可转换为: ①当边AB、AD满足什么条件时,对角线互相垂直？(|a|=|b|)②当边AB、AD满足什么条件时,对角线相等？(a、b互相垂直)③当边AB、AD满足什么条件时,对角线平分内角？(a、b相等)④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能,因为对角线方向不同)

点评:灵活的构想,独特巧妙,数形结合思想得到充分体现.由此我们可以想到在解决向量问题时,可以利用向量的几何意义构造几何图形,转化为平面几何问题,这就是数形结合解题的威力与魅力,教师引导学生注意领悟.例3 判断题:(1)若非零向量a与b的方向相同或相反,则a+b的方向必与a、b之一的方向相同.(2)△ABC中,必有AB+BC+CA=0.(3)若AB+BC+CA=0,则A、B、C三点是一个三角形的三顶点.(4)|a+b|≥|a-b|.活动:根据向量的加、减法及其几何意义.解:(1)a与b方向相同,则a+b的方向与a和b方向都相同;若a与b方向相反,则有可能a与b互为相反向量, 此时a+b=0的方向不确定,说与a、b之一方向相同不妥.(2)由向量加法法则AB+BC=AC,AC与CA是互为相反向量,所以有上述结论.(3)因为当A、B、C三点共线时也有AB+BC+AC=0,而此时构不成三角形.(4)当a与b不共线时,|a+b|与|a-b|分别表示以a和b为邻边的平行四边形的两条对角线的长,其大小不定.当a、b为非零向量共线时,同向则有|a+b|>|a-b|,异向则有|a+b|<|a-b|;当a、b中有零向量时,|a+b|=|a-b|.综上所述,只有(2)正确.例4 若|AB|=8,|AC|=5,则|BC|的取值范围是（）A.[3,8]

B.(3,8)

C.[3,13]

D.(3,13)解析:BC=AC-AB.(1)当AB、AC同向时,|BC|=8-5=3;(2)当AB、AC反向时,|BC|=8+5=13;(3)当AB、AC不共线时,3<|BC|<13.综上,可知3≤|BC|≤13.答案:C 点评:此题可直接应用重要性质||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|求解.变式训练

已知a、b、c是三个非零向量,且两两不共线,顺次将它们的终点和始点相连接而成一三角形的充要条件为a+b+c=0.证明:已知a≠0,b≠0,c≠0,且ab,bc,ca,(1)必要性:作AB=a,BC=b,则由假设CA=c, 另一方面a+b=AB+BC=AC.由于CA与AC是一对相反向量, ∴有AC+CA=0, 故有a+b+c=0.(2)充分性:作AB=a,BC=b,则AC=a+b,又由条件a+b+c=0, ∴AC+c=0.等式两边同加CA,得CA+AC+c=CA+0.∴c=CA,故顺次将向量a、b、c的终点和始点相连接成一三角形.（四）课堂小结

1.先由学生回顾本节学习的数学知识:相反向量,向量减法的定义,向量减法的几何意义,向量差的作图.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,类比,数形结合,几何作图,分类讨论.（五）作业

篇2：向量减法及其几何意义

教学目标 1．通过探究活动，使学生掌握向量减法概念，理解两个向量的减法就是转化为加法来进行，掌握相反向量．

2．启发学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题．能熟练地掌握用三角形法则和平行四边形法则作出两向量的差向量． 向量的减法运算及其几何意义 对向量减法定义的理解 教学重点 教学难点 教学过程

一、新课导入

思路1．(问题导入)上节课，我们定义了向量的加法概念，并给出了求作和向量的两种方法．由向量的加法运算自然联想到向量的减法运算：减去一个数等于加上这个数的相反数．向量的减法是否也有类似的法则呢?引导学生进一步探究，由此展开新课．

思路2．(直接导入)数的减法运算是加法运算的逆运算．本节课，我们继续学习向量加法的逆运算——减法．引导学生去探究、发现．

数的减法运算是数的加法运算的逆运算，数的减法定义即减去一个数等于加上这个数的相反数，因此定义数的减法运算，必须先引进一个相反数的概念．类似地，向量的减法运算也可定义为向量加法运算的逆运算．可类比数的减法运算，我们定义向量的减法运算，也应引进一个新的概念，这个概念又该如何定义?

二、新课导学

【探究1】相反向量

一个质点，先由A点作直线移动到B点，于是得到一个向量→AB，再由B点按相反方向移动到A点又得到一个向量→BA，如此移动的实际效果，等于没有移动，因此，→AB＋→BA＝0，这个等式就建议我们把向量→BA定→的负向量，并记作→→，于是我们有 义为向量ABBA＝－AB新知1：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a，并且规定，零向量的相反向量仍是零向量，于是，－(－a)＝a.性质：①－(－a)＝a；

②任一向量与它相反向量的和是零向量，即 a＋(－a)＝(－a)＋a＝0 ③如果a、b是互为相反的向量，则有 a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.练习1：判断下列各命题的真假(1)─→AA＋─→AA＋…＋──→AA与──→AA是一对相反向量； 1223n﹣1n

n1(2)─→A1A2＋─→A2A3＋…＋──→Ai﹣1Ai与──→AiAi＋1＋───→Ai＋1Ai＋2＋──→AnA1是一对相反向量；(3)a＝－a的充要条件是a＝0；(4)─→AA＋─→AA＋──→AA的相反向量仍是它本身.1223n1解：(1)真命题.∵─→A1A2＋─→A2A3＋…＋──→An﹣1An＝─→A1An，而──→AnA1与─→A1An长度相等，方向相反，所以命题(1)是真命题.(2)真命题.∵─→AA＋─→AA＋…＋──→AA＝─→AA，而──→AA＋───→AA＋──→AA＝─→AA，由于─→AA与122

3i﹣1i

1i

ii＋

1i＋1i＋

2n1

i1

1i─→AiA1是一对相反向量，所以命题(2)是真命题.(3)真命题.∵当a≠0时，a≠－a；而当a＝0时，a＝－a，故命题(3)是真命题.(4)真命题.∵─→AA＋─→AA＋──→AA＝0，∴─→AA＋─→AA＋──→AA的相反向量仍是它本身.1223

n1

n1【探究2】向量减法

如图，设向量AB＝b，AC=a，则AD=-b，由向量减法的定义，知AE=a+(-b)=a-b．

又b＋BC＝a，所以BC＝a－b． 由此，我们得到a-b的作图方法．

如图2，已知a、b，在平面内任取一点O，作OA=a，则BA=aOB=b，－b，即a－b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量，这是向量减法的几何意义．

新知2：（1）向量减法的定义：a-b=a+(-b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b),求两个向量差的运算，叫向量的减法．

（2）向量的减法运算也有平行四边形法则和三角形法则，这也正是向量的运算的几何意义所在，是数形结合思想的重要体现．

说明：①还可以这样定义：两个向量a与b的差，是这样一个向量x，它适合于等式x＋b＝a，并记作x＝a－b,并称a为被减向量，b为减向量，而x称为差向量．

②向量减法可以转化为向量加法，如图b与a－b首尾相接，根据向量加法的三角形法则有b＋(a－b)＝a,即a－b＝→CB． ③向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的意义，－→AB＝→BA，就可以把减法转化为加法，在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接两向量终点，箭头指向被减数”即可．

→＝a，→→＝a＋b，BD→＝b－a, DB→④以向量ABAD＝b，为邻边作平行四边形ABCD，则两条对角线的向量为AC＝a－b，这一结论在以后应用是非常广泛的．

【探究3】关于向量差的模的不等式

如果我们回忆向量加法的平行四边形法则，那么就可以知道，对于两向量a及b为边作成的平行四边

→＝a＋b，BA→＝a－b，利用图中的三角形OAB，形中，其两条对角线分别为a与b的和及差，如图所示，有OC并注意三角形中两边之差小于第三边，于是当a与b不共线时，有|a－b|>||a|－|b||，与向量和的模的不等式类似．

对于两任意两向量a与b差的长度不大小两向量长度之和，且又不小于两向量长度差的绝对值，即

||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| 证明：由||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|知，||a|－|b||≤|a＋(－b)|≤|a|＋|－b|，亦即 ||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|.说明：在不等式||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|中，①当且仅当a、b同向或a、b中至少一个为0时，左边等号成立； ②当且仅当a、b反向或a、b中至少一个为0时，右边等号成立； ③当且仅当a、b中至少一个为0时，左右两边的等号同时成立.上述①、②及③三个结论在有关问题的求解中是十分有用的.新知3：||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b| 例1 如图，已知向量a、b、c、d，求作向量a-b，c-d．

分析：根据向量减法的三角形法则，需要选点平移作出两个同起点的向量．

作法：如图3(2)，在平面内任取一点O，作OA=a，OB=b，OC=c，OD=d．则BA=a-b，DC=c-d． 变式训练：在ABCD中，下列结论中错误的是（）A．AB=DC 答案：C 例2 如图4，B．AD+AB=AC C．AB-AD=BD

D．AD+BC=0 ABCD中，AB=a，AD=b，你能用a、b表示向量AC、DB吗? 解：由向量加法的平行四边形法则，我们知道AC=a+b，同样，由向量的减法，知DB=AB-AD=a-b． 变式训练

1．已知一点O到ABCD的3个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c，则向量OD等于（）A．a+b+c

B．a-b+c C．a+b-c

D．a-b-c 解析：如图5，点O到平行四边形的三个顶点A、B、C的向量分别是a、b、c，结合图形有OD=OA+AD=OA+BC=OA+OC-OB=a-b+c．故选B．

2．若AC=a+b，DB=a-b．

①当a、b满足什么条件时，a+b与a-b垂直？ ②当a、b满足什么条件时，|a+b|=|a-b|？

③当a、b满足什么条件时，a+b平分a与b所夹的角？ ④a+b与a-b可能是相等向量吗？

解析：如图6，用向量构建平行四边形，其中向量AC、DB恰为平行四边形的对角线．由平行四边形法则，得AC=a+b，DB=AB-AD=a-b．由此问题就可转换为：

①当边AB、AD满足什么条件时，对角线互相垂直？(|a|=|b|)②当边AB、AD满足什么条件时，对角线相等？(a、b互相垂直)③当边AB、AD满足什么条件时，对角线平分内角？(a、b相等)④a+b与a-b可能是相等向量吗？(不可能，因为对角线方向不同例3 化简→AB－→AC＋→BD－→CD．

解：原式＝→CB＋→BD－→CD＝→CD－→CD＝0 变式训练：8．如图所示，DCDEAFBCFE＝________．答案：→AB →＝8，|AC|→＝5，则|BC|→的取值范围是（）例4 若|AB|A．［3，8］

B．（3，8）

C．［3，13］

D．（3，13）

→、AC→同向时，|→解析： ∵→BC＝→AC－→AB，当ABBC|＝8－5＝3；当→AB、→AC反向时，|→BC|＝8＋5＝13；当→AB、→不平行时，3＜|BC|→＜13，总上3≤|→ACBCBC|≤13，故选C．

变式训练：向量a．b满足|a|＝8，|b|＝12，则|a＋b|的最大值为________．答案：20

三、总结提升

1.通过本节学习，要求大家在理解向量减法定义的基础上，掌握向量减法的三角形法则，并能加以适当的应用.2.向量减法的三角形法则的式子内容是：两个向量相减，则表示两个向量起点的字母必须相同（否则无法相减），这样两个向量的差向量是以减向量的终点的字母为起点，以被减向量的终点的字母为终点.四、课后作业

课本第91页习题2.2A组第4、6、7、8题 1．已知｜AB｜＝6，｜CD｜＝9，求｜AB－CD｜的取值范围．答案：［3，15］ 2．已知：A．B．C是不共线的三点，O是△ABC内的一点，若→OA＋→OB＋→OC＝0，求证：点O是△ABC的重心． →＋OC)→，2．证明：如图，∵→OA＋→OB＋→OC＝0，∴→OA＝－(OB→＋OC→，长度相等，方向相反的向量，∴→OA是与OB以OB、OC为相邻两边作BOCD，则→OD＝→OB＋→OC，→，∴A、O、D三点共线． ∴→OD＝－OA

→＝EC→，OE→＝ED→，在□BOCD中，设BC交OD于点E，则BE

篇3：向量减法及其几何意义

一、数学向量教学的意义

1. 可以帮助学生用代数化解决能力来解决几何问题

向量既是几何的对象, 又是代数的对象。作为几何对象, 向量有方向, 可以刻画直线、平面、切线等几何对象;作为代数对象, 向量可以进行运算。向量有长度, 可以解决长度、体积、面积等几何度量问题。向量的代数运算可以解决向量刻画几何对象和几何度量问题。因此, 向量是一种通过代数运算刻画几何对象及其位置关系、几何度量问题的工具。向量集数、形于一身, 是沟通代数与几何的必然过程。学生通过向量的学习, 可以掌握处理几何问题的代数方法, 并体会数形结合的思想。

2. 可以帮助学生理解数学运算, 并发展数学运算能力

向量作为代数对象, 在实践中可以进行运算。数运算, 字母、多项式运算, 向量运算, 函数、映射、变换运算, 矩阵运算等是高中数学教学中运用最多的运算。从数运算, 字母、多项式运算过渡到向量运算, 是一次质的飞跃。向量的数量积运算可以刻画向量的长度, 我们如果想刻画长度、面积、体积等几何度量问题, 可以通过向量的代数运算。在教学中运用向量, 有助于学生进一步体会运算在建构数学系统中的作用以及数学运算的意义, 并为学生理解映射、函数, 矩阵运算, 变换运算奠定基础。

3. 有助于增进学生对数学本质的理解

向量来源于力、位移、速度等现实原型, 是重要的数学模型。向量运算使向量的集合具有特定的数学结构。如引入数与向量的乘法后, 向量连同加法、数乘运算一起构成线性空间结构;引入向量的加法后, 向量连同其加法运算一起构成群结构;引入向量的数量积运算后, 向量连同加法、数乘、数量积运算一起构成线性赋范空间结构。这些特点的存在使得运用向量的运算刻画几何对象及几何度量问题以及位置关系成为可能。因此, 学习向量可以帮助学生认识数学运算对于建构数学系统、刻画数学对象的重要性以及数学概念形成过程中的多层次抽象性, 从而理解高中数学的本质。

二、关于数学向量教学的几点建议

1. 从现实中形成向量概念及其运算

学生的向量概念首先是从接触物理课程中的各种矢量开始的。在现实中, 有许多教师都认为自己在向量概念教学中是借助物理背景引入向量概念, 在概念引入过程中通过一个物理情境, 就匆匆转入向量及相关概念的教学, 并且把整节课的重点和难点放在后面的概念辨析, 这是学生无法建构概念对象的主要原因。因此, 教师在选择物理情境时应该注意既要包括有固定起点这样的基本情境, 也要包括不是固定起点的变式情境;既要涉及力、速度这些学生熟悉的情境, 也要有平移等不熟悉的情境。然后通过鼓励学生不断反思, 让学生建立关于各种物理活动的一致的观念, 并最终把向量概念和及其运算压缩成一个认知整体, 使学生的向量概念及其运算可以灵活地应用于各种情境下的问题。

2. 加强向量语言的教学

数学语言是数学交流中传递信息和情感的重要工具, 向量是中学阶段数学语言表现形式较为丰富的载体, 熟练运用向量的自然语言、符号语言、图形语言, 通过交流可以加强学生对数学的认识和理解, 因为在交流的过程中, 可以更好地理解和使用数学语言和符号, 可以组织和强化学生的数学思维, 同时通过思考他人的想法和策略来丰富和扩展自己的知识和思维。向量语言贯穿于向量教学的始末, 其数学环境极为丰富, 教师在教学中要重视向量运算的学习阶段和平面向量概念的建立, 要遵循循序渐进原则, 在教学和学生学习的每一个阶段, 让学生经历向量语言的模仿———口头语言———书面语言, 规范的口头表达, 尤其重要的是教师要给学生充分的“表现”机会, 通过间接或直接的方式规范数学语言, 使学生在利用数学向量解决实际问题时能合理地使用三种语言形式, 从而形成用数学的能力。

3. 加强法向量的教学, 体现向量在解题中的通法

篇4：活用几何意义解平面向量

一、平面向量加减法的几何意义及其应用

平面向量加减法的几何意义就是指平行四边形法则（或三角形法则）：向量[a+b]和[a-b]就是以向量[a]和[b]为邻边的平行四边形的对角线.

例1 设[O]是平面上一定点，[A、B、C]是平面上不共线的三个点，动点[P]满足：[OP=OA+λ(AB+AC),λ∈[0,+∞)]，则[P]的轨迹一定通过[△ABC]的（ ）

A. 外心 B. 内心

C. 垂心 D. 重心

解析 记[BC]的中点为[D]，则由题知

[OP-OA=AP=λ(AB+AC)=2λAD,]

即[AP=2λAD] , 也即[P]在射线[AD]上.

由[D]为[BC]的中点，故选D.

例2 设向量[a、b、c]满足[a+b+c=0,][(a-b)⊥c,][a⊥b]，若[a=1]，则[a2+b2+c2=] .

解析 本题可以用不同的计算方法解答，但是如果利用向量的几何意义，那就几乎不用计算：由[a+b+c=0]可得向量[a、b、c]构成一个封闭的三角形（如图[△ABC]），记[AB=a,BC=b,CA=c]，

如图，[BD=AB=a]，于是[CD=a-b]，

又由条件[(a-b)⊥c,a⊥b]，可得

[AC⊥CD,AB⊥BC]，

[∴△ACD]是等腰直角三角形.

故[a=b=1]，[c=2]，

∴[a2+b2+c2=4].

点拨 在应用平面向量加减法的几何意义解题时，我们应特别关注某些特殊关系向量所构成的特殊平行四边形如矩形、菱形、正方形等.

二、平面向量数乘运算的几何意义及其应用

数乘[λa]的几何意义是指向量[λa]是由[a]经过伸缩变化得到的，而且两个向量互相平行.

例3 设点[O]在[△ABC]得内部且[OA+2OB+][3OC=0]，则[△ABC]的面积与[△AOC]的面积之比为（ ）

A. 2 B. [32]

C. 3 D. [53]

解析 “给出一些向量条件，探求两个三角形的面积之比”是近些年各地高考和模拟试题的重要题型之一，其实解决这类问题有一个通法：设点[O]为[△ABC]内一点，[m、n、p]为正实数，若[mOA+nOB+pOP=0]，

则[SΔBOCSΔABC=mm+n+p,]

[SΔAOCSΔABC=nm+n+p,]

[SΔAOBSΔABC=pm+n+p.]

证明：由[mOA+nOB+pOP=0,]

得[nn+pOB+pn+pOC=-mn+pOA]①.

令[OD=nn+pOB+pn+pOC],

则①可变为

[nn+pOD-nn+pOB=pn+pOC-pn+pOD]

[⇒nn+pBD=pn+pDC][⇒BD=pnDC]，

故[D]在线段[BC]上.

又[OD=-mn+pOA⇒A、O、D三点共线且]

[ODOA=mn+p]，

∴[SΔBOCSΔABC=ODAD=ODAO+OD]

[=ODOD+n+pmOD=mm+n+p].

同理可证：

[SΔAOCSΔABC=nm+n+p,SΔAOBSΔABC=pm+n+p.]

由定理我们很容易得[SΔAOCSΔABC=21+2+3=13].

即[SΔABCSΔAOC=3].

答案 C

点拨 本题解答中应用了结论：“设点[O]为[△ABC]内一点，[m、p、n]为正实数，若[mOA+nOB+pOP=0]，则[SΔBOCSΔABC=mm+n+p,SΔAOCSΔABC=nm+n+p,][SΔAOBSΔABC=][pm+n+p]”，它能解决求面积比的一类问题.

三、平面向量数量积的几何意义及其应用

1. 数量积为0的几何意义及应用

两非零向量数量积等于0的几何意义就是这两个向量相互垂直，反之亦然.

例4 设[P]是[△ABC]所在平面上的一点，若[PA⋅PB=PB⋅PC=PC⋅PA]，则[P]是[△ABC]的（ ）

A. 外心 B. 内心 C. 垂心 D. 重心

解析 由[PA⋅PB=PB⋅PC]，

可得[(PA-PC)⋅PB=0]，即[CA⋅PB=0]，

[∴CA⊥PB].

同理[AB⊥PC,CB⊥PA].

[∴P]是[△ABC]的垂心.

答案 C

点拨 数量积为0是两向量垂直的代数特征，灵活运用它能加快解题速度、提高解题效率.

2. 投影的几何意义及应用

向量[a]在向量[b]上的投影为[a⋅cosθ]，而[a⋅cosθ=a⋅bb=a⋅bb]，又[bb]是与向量[b]同向的单位向量，故向量[a]在向量[b]上的投影的几何意义就是向量[a]和向量[b]上同向的单位向量的数量积.

例5 设[O]是平面上一定点，[A、B、C]是平面上不共线的三个点，动点[P]满足：[OP=OA+λ(ABAB+ACAC),λ∈[0,+∞)]，则[P]的轨迹一定通过[△ABC]的（ ）

A. 外心 B. 内心 C. 垂心 D. 重心

解析 由投影向量定义可知[ABAB]为[AB]上的单位向量，[ACAC] 为[AC]上的单位向量，则[ABAB+ACAC]的方向为[∠BAC]的角平分线的方向，

又[λ∈[0,+∞)]，∴[λ(ABAB+ACAC)]的方向与[ABAB+ACAC] 的方向相同.

而[OP=OA+λ(ABAB+ACAC),]

∴点[P]在[AD]上移动,

∴[P]的轨迹一定通过[△ABC]的内心.

答案 B

点拨 “[ABAB]为[AB]上的单位向量”在很多试题中有应用，我们一定要从投影的角度加深理解.

[【练习】]

1. 线段[AB]上的一点[C]，直线[AB]外的一点[P]，满足[PA-PB=2]，[PA-PB=25]，[PA⋅PCPA=PB⋅PCPB]，[I]为[PC]上一点，且[BI=BA+λ(APAP+ACAC),λ∈(0,+∞)]，则[BI⋅BABA]的值为（ ）

A. 1 B. 2 C. [5] D. [5-1]

2. 如图，平面上有三个向量[OA、OB、OC],其中[OA与OB]的夹角为[45°]，[OB与OC]的夹角为[30°]，且[OA=2,OB=1],若[OC=λOA+μOB]，则[λμ]= .

[【参考答案】]

1. 由[PA⋅PCPA=PB⋅PCPB]

[⇒cos∠APC=cos∠BPC⇒∠APC=∠BPC，]

即[PC]为[∠APB]的平分线①.

又[BI=BA+λ(APAP+ACAC)]

[⇒AI=λ(ACAC+APAP)]，

∴[AI]为[∠BAP]的角平分线②.

由①②可得：[I]为[△ABC]的内心.

∴[BI⋅BABA]=[BIcos∠ABI].

如图，设[DB=x]，则[DB=BIcos∠ABI]，

[AD=25-x]，又[PA-PB=2,]

∴[25-2x=2]. ∴[x=5-1].

答案 D.

2. 由题意可得

[OC⋅OA=λOA⋅OA+μOB⋅OA]

[⇒OC⋅6-22=4λ+2μ],

[OC⋅OB=λOA⋅OB+μOB⋅OB]

[⇒OC⋅32=2λ+μ],

篇5：向量减法及其几何意义

作为重点培养学生创新意识、实践能力的一种教学模式——“问题解决”的课堂教学模式越来越受到人们的重视。与此相关，设计出高潮迭起、充满吸引力、能提高学生思维训练的质量和水平的好问题，是教师在课堂教学中发挥主导作用的重要标志之一。所以，对于“向量数乘运算及其几何意义”这节课的教学内容，进行了以下处理：

在教学过程中努力将问题的难易程度落在学生的“最近发展区”，既不是太容易，学生不费劲就轻易够到而无所提高，又不能太难，学生怎么努力也毫无结果而丧失信心。同时，所选问题中所蕴涵的基础知识在发展中可以前后联系，可以与其他知识左右沟通，具有典型性。问题中还隐含有适当的“陷阱”，可以较好地暴露学生思维中的不足、方法中的欠缺、知识中的漏洞，帮助学生查漏补缺，以“误”养“正”；问题可以引发学生强烈的认知矛盾和冲突，给学生留下了深刻的印象与体验。

经过学生与课堂的教学实践，体会如下：

1、本节课的教学设计从学生的角度出发，采用“教师设计问题与活动引导”与“学生积极主动探究”相结合的方法分成四个步骤层次分明（1）引入定义（2）验证运算律（3）探究共线定理（4）共线定理的应用。教学的知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。

2、在教学过程中，学生用于探究的时间相对较少了点，同时在发现学生在向量的书写以及计算上还存在问题时，花了较多的时间让学生作过手训练，导致最后时间显得较为紧张。因此对于教学时间节奏的把握还不是特别的好，需要在以后的教学中多加打磨。

篇6：向量减法及其几何意义

2013年5月21日

2.2.3向量数乘运算及其几何意义

一、教学目标

1．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；

2．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行；

3．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想。

二、教学重点与难点

重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的充要条件； 难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的充要条件

三、教学过程

1．设置情境：

引入：位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数

量的关系常常在物理公式中体现。如力与加速度的关系F=m a，位移与速度的关系s=v t。这些公式都是实数与向量间的关系。

师：我们已经学习了向量的加法，请同学们作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)向量，并请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化？这些变化与哪些因素有关？

(-a)+(-a)+(-a)a+a+a的长度是a的长度的3倍，生：其方向与a的方向相同，的长度是a长度的3倍，其方向与a的方向相反。

2．新知探究： 1）.定义：

实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa.它的长度和方向规定如下：



（1）|λa|=|λ||a|.

（2）λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0时，λa的方向与a的方向相反；特别地，当λ=0或a=0时，λa=0.2）.运算律：

思考：求作向量2(3a)和6a（a为非零向量）并进行比较，向量2(a+b)与向量2a+2b相等吗？

设a、b为任意向量，λ、μ为任意实数，则有：



（1）(λ+μ)a=λa+μa；（2）λ(μa)=(λμa)；（3）λ(a+b)=λa+λb.通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律。高一（1）部数学备课组

2013年5月21日

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线形运算.对于任意向量a、b，以及任意实数、

1、2，恒有（仍是向量）（1a1b）=1a1b。3）共线向量定理

向量a(a0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数, 使ba.3.例题讲解：

(1)(3)4a;例1，计算(2)3(ab)2(ab)a;(3)(2a3bc)(3a2bc).计算:(1)（22a6b3c)3(3a4b2c);练习：（2）已知3(xa)2(x2a)4(xab)0

 求x.例2.已知AD3AB，DE3BC，试判断AC与AE是否共线．

例3.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且ABa,ADb，你能用a,b来表示MA、MB、MC和MD。

例4.已知任意两个向量a,b，试作OAab, OBa2b,OCa3b.你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？

练习：已知，D是ABC的边AB上的中点，则向量CD()

11Ａ．BCBA Ｂ．BCBA　22 11C． BCBA Ｄ．BCBA224.小结: 1），向量数乘的定义及运算律； 2），共线向量定理； 3），定理的应用：

篇7：向量减法及其几何意义

教材版本：人民教育出版社A版，普通高中课程标准实验教材，数学必修4

教学内容：高中数学必修4，第二章《平面向量》第二节向量的加法运算及其几何意义第1课时

一、教学目标

知识目标：理解向量加法的含义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则 作出两个向量的和；掌握向量加法的交换律与结合律，并会用它们进行向量运算．

能力目标：经历向量加法概念、法则的建构过程，感受和体会将实际问题抽象为 数学概念的思想方法，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力．

情感目标：经历运用数学来描述和刻画现实世界的过程，体验探索的乐趣，激发 学生的学习热情．培养学生勇于探索、敢于创新的个性品质．

二、重点与难点

重点：向量加法的定义与三角形法则的概念建构；以及利用法则作两个向量的和向量． 难点：理解向量的加法法则及其几何意义．

三、教法学法

教法运用了“问题情境教学法”、“启发式教学法”和“多媒体辅助教学法”． 学法采用以“小组合作、自主探究”为主要方式的自主学习模式．

四、教学过程

新课程理念下的教学过程是一个内容活化、创生的过程，是一个学生思考、体验的过程，更是一个师生互动、发展的过程．基于此，我设定了下面几个教学环节

一、复习回顾

1、向量、平行向量、相等向量的含义是什么？

2、用有向线段表示向量，向量的大小和方向是怎样反映的？什么叫零向量和单位向量？

二、合作探究

【问题1】如图，某人从点A到点B，再从点B改变方向到点C，则两次位移的和可用哪个向量表示？由此可得什么结论？

学生活动：学生讨论，集体回答

点评：位移是向量．位移可以相加，所以向量可以进行加法运算。

2、向量加法的定义

B如图，已知非零向量a、b，在平面内

abAC取一点A，作ABa，BCb，则AC叫作a与b的和。两个向量可以相加，并且两个向量的和还是一个向量。一般地，求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

点评：加法的定义其实是用数学的作图语言来刻画的，这种方法经常出现在几何中，这一点也更好的体现了向量加法具有的几何意义和向量数形结合的特征．

3、向量加法的运算法则

【问题2】上面整个计算过程中我们作了一个什么图形？你能不能结合图形给这种运算法则起个名字？

学生活动：学生讨论，集体回答

（1）三角形法则：定义中求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则

位移的合成可以看成向量加法三角形法则的物理模型。（2）平行四边形法则

【问题3】图1表示橡皮条在两个力F1和F2的作用下，沿GE方向伸长了EO；图2表示橡皮条在一个力F的作用下，沿相同方向伸长了相同长度.从力学的观点分析，力F与F1、F2之间的关系如何？ 学生活动：集体回答

【问题4】通过刚才这个过程你发现对向量进行加法运算还可以怎样进行？ 学生活动：学生讨论，集体回答

点评：以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫作向量加法的平行四边形法则 力的合成可以看作向量加法平行四边形法则的物理模型。

三、例题精解

例

1、已知向量a、b，分别用向量加法的三角形法则与向量加法的平行四边形法则 作出向量a+b

教学活动：师板演作图过程，生集体回答注意事项 小试牛刀

学生活动：学生自主解答，生代表展示讲解做题过程 点评：使学生熟练掌握向量加法的两个运算法则

四、模的关系探究 【问题4】想一想

ab（1）若两向量互为相反向量,则它们的和是什么?（2）零向量和任一向量a的和是什么?（3）ab，|a+b|和

ab的大小关系如何？何时能取到等号呢？

学生活动：学生讨论，代表回答

设计意图：通过三角形三边关系，让学生找出向量的模与他们和的模之间的大小关系。

五、类比联想，探究性质

1、你能说出实数相加有哪些运算律吗？类比实数加法的运算律，向量是否也有运算律？

2、作图验证

（1）b+a的结果与a+b是否相同？（2）(a+b)+c的结果与a+(b+c)的结果呢？

学生活动：学生讨论，代表展示验证过程

设计意图：通过作图验证，加深学生对向量加法运算律的理解。

3、练一练 根据图示填空:

EefDdCg(1)ab=________(2)cd=________(3)abd=______(4)cde=______ cAb

Ba设计意图：在训练三角形法则的同时，使同学们注意到三角形法则推广到 n 个向量相加的形式．

六、实际应用

例

2、长江两岸之间没有大桥的地方,常常通过轮渡进行运输.如图所示,一艘船从长江南岸A点出发,以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶,同时江水的速度为向东2km/h.(1)试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度(保留两个有效数字)(2)求船实际航行的速度的大小与方向(用与江水速度间的夹角表示,精确到度).变式训练

船在静水 的速度是6Km/s,水流的速度是3Km/s,则要使船到对岸的路程最短，它应该朝那个方向前进？船的实际速度是多少？

设计意图：加强学生对向量加法运算的实际应用能力。

六、小结（这节课我学会了什么？）本环节有课堂小结和作业布置两部分内容： 课堂小结：

【问题6】同学们想一想：本节课你有些什么收获呢？留给你印象最深的是什么？作为课堂的延伸，你课后还想作些什么探究？

作业布置：

1、化简

(1)ABCDBC________(2)MABNACCB________(3)ABBDCADC________

篇8：向量减法及其几何意义

一、知识与能力

1.本节课是高三复习课.通过对“导数、平均变化率”的复习, 明确探究导数的几何意义可依据导数概念的形成寻求解决问题的途径.

2.利用割线逼近的方法直观定义切线, 概括导数的 几何意义.

3.通过例题分类解析, 让学生学会利用导数的几何意义求曲线的切线问题, 加深对导数内涵的理解.在学习过程中感受数形结合、极限思想方法.

二、过程与方法

1.学生通过观察感知、动手探究等方法培养学生的 动手和动脑的能力.

2.分类探究和分层练习, 各种层次的学生都可以凭 借自己的知识能力独立解决问题.

3.学生通过思考探究的3个问题, 深化对切线定义 的认知, 小结形成求切线的步骤.

三、情感、态度与价值观

1.在探究过程中渗透极限思想, 体验数形结合思 想.

2.采用示范剖析、学生自主实践的方式, 让学生理 解和掌握基本数学技能、思想方法.

【教学重难点】

重点:理解和掌握切线的定义、导数的几何意义.

难点:体会数形结合、极限思想;利用导数的几何意义求曲线的切线.

【教学方法】分层探究、自主实践.

【教学过程】

一、回顾旧知, 引入新课

二、引导探究, 获得新知

1.动画演示, 得到切线的新定义

已知曲线上点P处的切线PT和割线PQ, 动画演示Q点无限逼近P点, 即Δx→0, 割线PQ的变化趋势. 教师引导学生观察割线与切线是否有某种内在联系? 并体会从割线到切线的变化过程:

学生观察, 得出一般曲线的切线的定义:

曲线上Q点无限逼近P点, 即Δx→0, 割线PQ趋近于确定的位置PT, 这个确定位置上的直线PT称为点P处的切线.

2.数形结合, 概括导数的几何意义

三、分层解析, 巩固理解

师:由导数的几何意义, 我们可以解决“切点—斜率—切线”知一求二问题, 接下来我们重点研究曲线求切线问题.

1.分类解析 (四种常见的类型)

题型一:已知切点, 求曲线的切线方程.

此类题只需求出曲线的导数得到斜率, 并代入点斜式方程即可.

题型二:已知斜率, 求曲线的切线方程.

此类题可利用斜率求出切点, 再用点斜式方程加以解决.

题型三:已知过曲线上一点, 求切线方程.

过曲线上一点的切线, 该点未必是切点, 故应先设切点, 再求切点, 即用待定切点法.

题型四:已知过曲线外一点, 求切线方程.

2.动手实践

【例4】已知曲线f (x) =x2+1.

(1) 求曲线在点 (2, 5) 处的切线方程;

(2) 求曲线过点 (2, -11) 的切线方程.

3.方法总结

曲线y=f (x) “过”点P (x0, y0) 与“在”点P (x0, y0) 处的切线的区别:

①曲线y=f (x) 过点P (x0, y0) 的切线, 是指切线经过P点, P点可以是切点, 也可以不是切点, 而且这样的直线可能有多条;

②曲线y=f (x) 在点P (x0, y0) 处的切线是指P为切点, 若切线斜率存在时, 切线斜率为k=f′ (x0) , 有唯一的一条切线.那么如果切线斜率不存在时, 又会怎么样呢?请看思考探究.

四、思考探究, 深化理解

1.如果曲线y=f (x) 在x0处的导数不存在, 那么曲 线y=f (x) 在x0处还存在切线吗, 若存在, 是什么?

2.曲线在某一点处的切线只能与曲线有唯一公共 点吗?

3.说说曲线的切线定义与初中学习圆的切线定义 有什么不同.

五、归纳总结, 深化认识

1.知识:

(1) 切线的定义;

(2) 函数f (x) 在x=x0处的导数f′ (x0) 的几何意义.

2.思想:体会数形结合、极限等思想方法.

3.应用:

(1) “切点—斜率—切线”知一求二;

(2) 学生归纳出求切线的一般步骤.

【教学反思】

本节课是高三第一轮的复习课, 学生对导数的概念及其几何意义都有了一定的认识, 但很多学生由于初学时对知识掌握不牢固或理解不到位, 往往知其然, 而不知其所以然.因此, 本节课从导数概念的复习入手, 利用多媒体技术动画展示从割线到切线的形成过程并概括导数的几何意义, 既让学生理解了曲线切线的定义, 又让学生明确了探究导数的几何意义可依据导数概念的形成寻求解决问题的途径.利用数形结合思想方法让学生理解了割线通过无限逼近的方法, 得到割线斜率的极限就是曲线在该点处的切线的斜率, 深化了学生对导数几何意义的理解, 突出了重点, 突破了难点, 更体现了新课程背景下对知识发生过程推导所占据的举足轻重的作用.