立体几何中一题多解

(苏北四市一模试题)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC⊥BC,CC1=4,M是棱CC1上的一点.若N是AB的中点,且CN∥平面AB1M,求CM的长.

解:(解法1)如图1,取AB1的中点P,连结NP、PM.因为N是AB的中点,所以NP∥BB1.

因为CM∥BB1,所以NP∥CM,所以NP与CM共面.

因为CN∥平面AB1M,平面CNPM∩平面AB1M=MP,所以CN∥MP.

所以四边形CNPM为平行四边形,所以CM=NP=12CC1=2.

(解法2)如图2,设NC与CC1确定的平面交AB1于点P,连结NP、PM.

因为CN∥平面AB1M,CN平面CNPM,平面AB1M∩平面CNPM=PM,所以CN∥MP.

因为BB1∥CM,BB1平面CNPM,CM平面CNPM,所以BB1∥平面CNPM.

又BB1平面ABB1,平面ABB1∩平面CNPM=NP,

所以BB1∥NP,所以CM∥NP,所以四边形CNPM为平行四边形.

因为N是AB的中点,所以CM=NP=12BB1=12CC1=2.

(解法3)如图3,取BB1的中点Q,连结NQ、CQ.因为N是AB的中点,所以NQ∥AB1.

因为NQ平面AB1M,AB1平面AB1M,所以NQ∥平面AB1M.

因为CN∥平面AB1M,NQ∩NC=N,NQ、NC平面NQC,

所以平面NQC∥平面AB1M.

因为平面BCC1B1∩平面NQC=QC,平面BCC1B1∩平面AB1M=MB1,所以CQ∥MB1.

因为BB1∥CC1,所以四边形CQB1M是平行四边形,所以CM=B1Q=12CC1=2.

(解法4)如图4,分别延长BC、B1M,设交点为S,连结AC.因为CN∥平面AB1M,

CN平面ABS,平面ABS∩平面AB1M=AS,所以CN∥AS.由于AN=NB,

所以BC=CS.又CM∥BB1,同理可得SM=MB1,所以CM=12BB1=12CC1=2.

判定或证明直线与平面平行的常用方法

(1)利用直线与平面平行的定义(无公共点).

注意不管用哪种方法,都应将相应的条件写全,缺一不可.直线与平面平行的性质定理的作用是证线线平行,应用时常常需构造辅助平面,和平面几何中添加辅助线一样,在构造辅助平面时要确认这个平面的存在性.证明平行问题时要注意“转化思想”的应用,要抓住线线、线面、面面之间平行关系,实现“空间问题”与“平面问题”之间的转化.

摘要：<正>~~