线性代数练习题

线性代数练习题（精选7篇）

篇1：线性代数练习题

线性代数练习题（1）详细解答

1．（1）×；

（2）×；

（3）×；

（4）×。

1110402．（1）6k1222；（2）040； 333040201（3）ABBAO；（4）010。0021313．解：214001267811341312056。402121012101214．解：因为0288~0288~01445990313903131210120310029~0144~01016~01016，001300130013x129,所以x216，x33.213220585．解：3AB2A21720，ATB056。4292290049

篇2：线性代数练习题

2、行列式如果互换任意两行，则行列式的值不变.()参考答案：错误

3、行列式中如果有两列元素对应成比例，则此行列式等于零.()参考答案：正确

142533331.()44行列式111222参考答案：错误

320224728，则5A,BA2B 471011491参考答案：正确

6、若A,B,C为矩阵，则有A(BC)(BC)A

参考答案：错误

7、若A,B为n阶矩阵，则有(AB)2A22ABB2

参考答案：错误

128、A为任一n阶方阵，且满足A2AE0，则AA2E，参考答案：正确

9、若2232546，则有XX1308 21参考答案：错误

10、对n维向量组1,,m, 若有不全为零的常数k1,,km, 使得

k11kmm0，称向量组1,,m线性相关（）

参考答案：正确

11、向量组1,2,,m,m2线性相关的充要条件是该向量组中任一个向量都可以用其余m1个向量线性表示（）参考答案：错误

12、向量组1,2,3线性无关, 则向量组112, 223, 331也线性无关 参考答案：正确

5113

13、列向量10, 21, 31, 43 则4可由1,2,3线性表

1111示

参考答案：正确

kx1x2x30

14、齐次线性方程组 x1kx2x30有非零解，则k0.()3xxx0123 参考答案 ：错误

15、如果两个矩阵等价，那么它们的秩相等.()参考答案 ：正确

16、如果ABC,则r(C)r(A).()参考答案 ：正确

17、如果一个矩阵的秩是r,那么所有r阶子式都不为零.()参考答案 ：错误

18、设是方阵A的一个特征值，则1是AE的一个特征值 参考答案：正确

19、设A是3阶方阵，A的特征值有3，则A一定有特征值参考答案：正确

20、一个实二次型f的矩阵A的秩称为该二次型的秩 参考答案：正确 选择题

11 30a01、三阶行列式b0c的值为().0d0选项A)

abcd

选项B)

acbd

选项C)

adbc

选项D)

0

参考答案：D x1x2x3x3y3z32、若三阶行列式 y1y2y32，则三阶行列式x2y2z2().z1z2z3x1y1z1选项A)

选项B)

2选项C)

0

选项D)参考答案：A x1x2x32x12x22x33、若三阶行列式 y1y2y31，则三阶行列式y1y2y3(z1z2z3z1z2z3选项A)0

选项B)

2选项C)2

选项D)1 参考答案：B 33424、三阶行列式4812().246选项A)

8选项B)

8

选项C)

1选项D)

0 参考答案：D

5、当x取何值时，二阶行列式x119x0().选项A)x2

3选项B)x23

选项C)x3

选项D)x13或x13

参考答案：D

1236、已知三阶行列式D312，则元素a312的余子式 M31为().231选项A)1 选项B)1

选项C)2).选项D)2 参考答案: A

7、已知三阶行列式D3 中第一行的元素自左向右依次为1,1,2，它们的代数余子式分别为3,4,5，则三阶行列式D3=().选项A)7 选项B)8 选项C)9 选项D)10 参考答案: C



218、已知A0230，则A1=(004310选项A）14220 001310选项B）14220

001310选项C）220 001100选项D）110220 345参考答案:A

9、设A12，则A

=（）.34选项A）1234 选项B）4231

选项C）4231 选项D）4231

).参考答案:B

10、设A,B为n阶矩阵，为数，下列错误的是（）.选项A）ATA

选项B）ABAB 选项C）BAAB 选项D）AA

参考答案:D

11、设A为任一n阶方阵，下列结论正确的是（）.选项A）AAT 为反对称矩阵 选项B）AAT为对称矩阵

选项C）A 可以表示为对称矩阵与反对称矩阵的和 选项D）AAT与AAT都同为对称矩阵 参考答案:C

12、已知A320471,B224，则(011A2B)T(选项A）728491

34选项B）2701

20选项C)2141 74选项D)29 81

参考答案:D

113、设A123321,B331，则AB（）.22选项A）13111113 选项B）11131311 ).111313选项D）11选项C）参考答案:A 11 1313 11011，则A（）.12

14、已知A选项A）21 1001选项B）

1221选项C）

1011选项D）

01参考答案:A

15、下列各行向量组线性相关的是().选项A）1(1,0,0),选项B）1(1,2,3),选项C）1(1,2,3),选项D）1(1,2,2),参考答案：B

16、下列各向量组中线性无关的是().选项A）1,2,0 选项B）(1,2),(2,4)选项C）(0,1),(1,2),(2,3)选项D）(1,2),(1,3)2(0,1,0),3(0,0,1)2(4,5,6),3(2,1,0)2(2,4,5)；

2(2,1,2),3(2,2,1)参考答案：D

17、下列说法中错误的是（）.选项A）向量组线性相关，则向量组含有零向量 选项B）向量组1,2线性相关，则对应分量成比例

选项C）向量组1,2,,n线性相关，则1,2,,n中至少有一个向量能表示为其余向量线性组合

选项D）若向量组1,2,,n线性无关，则其部分向量组也线性无关 参考答案：A

T18、向量组1线性相关，则数k().（k,-1,1）,2(4,4,4)T（其中T为转置符号）选项A）1 选项B）2 选项C）3 选项D）4 参考答案：A

19、向量组1,2,,n线性无关的充要条件为().选项A)1,2,,n均不为零

选项B)1,2,,n中任两个向量的分量不成比例 选项C)1,2,,n中任一个向量不能由其余向量线性表示 选项D)1,2,,n中有一部分向量线性无关 参考答案：C

20、设n元齐次线性方程组Ax0的系数矩阵A的秩为r，则Ax0有非零解的充分必要条件是（）.选项A)rn 选项B)rn 选项C)rn 选项D)rn 参考答案：B

21、线性方程组x1x20x1x20，当取何值时，方程组有非零解（）.选项A)0 选项B)1 选项C)2 选项D)任意实数 参考答案：B

22、已知A是mn矩阵，r(A)r，下列结论正确的是（）.选项A)rn时，Axb有唯一解 选项B)mn时，Axb有唯一解

选项C）rn时，Axb有无穷多解 选项D)mn时，Axb有解 参考答案：A 21110023、矩阵311左乘初等矩阵001

相当于进行下列哪种初等变换(278010选项A)第一行与第二行互换

选项B)第二行与第三行互换 选项C)第一列与第二列互换

选项D)第二列与第三列互换 参考答案：D

24、设矩阵A112331，则A的秩是（）.选项A)1 选项B)2 选项C)3 选项D)4 参考答案：B).2225、用正交变换化二次型x1为标准型是（）2x1x2x22选项A)2y1

22选项B)y12y2

22选项C)2y1y2

222选项D)

y1y2y3

参考答案：A

a000a0的特征值是().26、矩阵000a选项A)a 选项B)0选项C)1 选项D)1,2,,n 参考答案：A

27、矩阵

31的特征值2对应的一个特征向量是().13选项A)(1,2)选项B)(1,1)选项C)(1,3)选项D)(1,4)参考答案：B 28、3阶矩阵A的特征值为1,0,1,矩阵BA2A4E的特征值为 选项A)1,2,3 选项B)3,0,3 选项C)7,4,3

2选项D)3,4,5 参考答案：C

29、已知向量(0,1,0)T,(1,0,1)T下列计算不正确的是（）选项A)(1,1,1)T

选项B)(1,1,1)T

选项C)(,)0

选项D)

2(1,2,1)T

参考答案：D

30、矩阵A有n个特征值分别为2,3,4n,n1，A,B相似，则BE(选项A)1选项B)2 选项C)n

选项D)

篇3：线性代数应用举例

下面举三个应用实例, 这些例子可以引导学生理解线性代数的基本概念的本质及意义。

1 应用问题举例

1.1 矩阵乘法应用举例

某两种合金均含有某三种金属, 其成分如表1所示。

现有甲种合金30 t, 乙种合金20 t, 求三种金属的数量。

解:两种合金的成分构成矩阵记为:

甲乙两种合金的重量构成的矩阵记为: () A=2030;

则三种金属的数量为: () AB=9932。

1.2 逆矩阵应用举例

小李的朋友给小李发来一封密信, 它是一个三阶方阵, 他们约定:消息的每一个英文字母用一个整数来表示:, 约定好的加密矩阵是, 求小李的朋友发的密信内容。

解:试求密信内容, 先假设密信内容矩阵为X, 则:

求解得满足题意的只有一个矩阵:

由英文字母与整数之间的对应关系即得密信内容为“I LOVE YOU”。

1.3 方程组应用举例

某农场饲养的一种动物可能的最长寿命为6岁, 将其分成3个年龄段组:第1组0～2岁, 第2组3～4, 第3组5～6, 动物从第2年龄组开始繁殖后代, 经长期统计, 第2年龄组的动物在其年龄段内平均繁殖5个后代, 第3年龄组的动物在其年龄段内平均繁殖3个后代, 第1年龄组和第2年龄组能顺利进入下个年龄组的存活率分别是2/3和1/3, 现农场有3个年龄段的动物各90只, 问饲养6年之后, 农场3个年龄段的动物各有多少只?

解:根据题意, 动物最长寿命为6岁, 将其分成相差2岁为一个年龄段, 共分成3个年龄段组, 因而可取2年为一个周期。设分别表示第k周期的第1, 2, 3组动物的数量 (单位:只)

则有

已知代入上式, 可得

故饲养6年之后, 农场第1, 2, 3年龄段的动物各有2460只, 260只和160只。

2 结语

本文列举了三个实例, 而这三个实例用线性代数基本知识很容易就能解决。在线性代数的教学过程中经常举些应用例子的好处是, 能引起学生对线性代数的学习兴趣, 能使学生易于理解和掌握其基本概念及理论, 达到较好地教学效果。

参考文献

[1]同济大学数学系.工程数学.线性代数[M].5版.北京:高等教育出版社, 2007.

[2]何良材, 李新.线性代数[M].重庆:重庆大学出版社, 2007.

篇4：线性代数练习题

一、练习课教学中存在的问题

练习课长期以来被定位为“教的补充”和“教的强化”，因此，出现了“练习课教学不用备课”的误区，表现如下：

1.练习课=作业课

许多教师认为，练习练习，就是布置作业让学生练，练完便就题论题，很少有知识拓展和学法指导，学生分析和解决问题能力的培养没有得到重视，整堂课完全是在“教练习”。小学四年级数学“数与代数”的练习多以计算为主，因此，大量的独立计算任务使课堂气氛更压抑。

2.练习课无层次性

首先，练习未分层。许多教师在小学数学教学过程中没有根据学生的认知规律遵循由易到难、由浅入深的原则，直接按教材编排顺序给学生布置练习，因此，在“数的运算”教学中出现先练竖式计算，后练文字题，再练竖式计算的情况，让学生觉得重复无序。

其次，学生未分层。学生是个体，个体与个体之间存在差异性。在练习课中对他们“一视同仁”，则会导致基础较好的学生练习课轻松化，而得不到更深层次的发展；基础较差的学生感到吃力，仍旧一无所获。

3.练习课形式单一

单一的形式使得练习课枯燥无味，在课堂中，如果学生自始至终仅依照教材和练习册独立完成其中的练习，练习的生活性和趣味性得不到重视，学生便会对练习课毫无兴趣，导致课堂效率不高。

4.忽略小结的重要性

在练习课中，部分教师更重视学生多写多算以达到掌握知识的目的，而忽略了小结的重要性。在小学四年级数学“数与代数”练习课中，学生一堂课下来一直在计算，期间或最后教师没有注意引导其总结和归纳方法，导致学生为练而练，分析解决实际问题的能力得不到提高。

二、练习课教学策略

针对以上问题，我将从以下几方面阐述小学四年级数学“数与代数”练习课教学的策略。

1.练习课应体现“用练习教”的理念

练习课应该围绕练习目标组织内容，针对学生学习中的薄弱环节进行练习设计，使学生牢固地掌握知识和方法。其中，练习的设计应当精练、得当，过多或重复的练习会使学生失去学习兴趣，降低效率；过少的练习不足以使学生巩固知识技能。练习课上，教师不可以布置学生反复练习后就题论题，完全不理会学法的指导和知识的拓展。

2.练习课要突出层次性

首先，练习分层。教师在设计练习时应遵循由易到难、由浅入深的原则将练习分层。例如：“数的运算”教学中，教师的设计应从单纯的竖式题目开始，再到简单的文字题，最后到开放题。

其次，学生分层。观察学生平时在课堂中的表现和课内外作业，将学生动态分层，并随时注意学生的变化。针对学生的分层，教师在练习的布置方面也要分层，这有利于不同层次的学生或掌握基础，或巩固知识，或得到更好的发展。教师偶尔也可以“用B级人做A级事”，以激励其奋发进取。

3.练习方式多样化

“兴趣是最好的老师”，针对小学四年级“数的认识”枯燥的练习内容，教师应对各练习设计多种形式的练习方式，寻找丰富的素材，合理组织，使练习课生动有趣。

在重视练习的生活性和趣味性的同时，对练习的方式作出一些调整，以激发学生的兴趣。小学四年级数学“数与代数”的练习并非都必须以书面化的形式“算”，读数、口算、估算等练习都可以让学生口头练习，更能训练学生的口算、估算能力及思维能力。小学四年级学生已开始有自己的“想法”，把自己当做“大人”，幼稚的教学设计只会让他们更反感。但争强好胜仍是这一年龄段学生的特点，教师可以以竞赛的方式设计练习，比正确率和速度。这样，既节约了课堂时间，又训练了学生的思维能力。在组织形式上，可以让学生独立练习和合作练习。

4.重视小结的作用

在练习分层的情况下，课堂中的小结显得很有必要。尤其是在运算中，不能让学生盲目不停地演算，在一类或一层题演算结束后，教师应当分析学生在练习中存在的问题并加以纠正。另外，小结的重点是总结由例及类的解题规律和方法。一类问题得到解决后，组织学生总结归纳解题规律和方法能更好地巩固和强化知识，形成技能技巧。

总之，新课程改革背景下，小学四年级数学“数与代数”的练习课教学应当关注学生原有的认知水平和生活经验，发展学生的数学思维能力，增强数感。教师在教学中应特别注意教学的方式方法，以取得较高的课堂教学效率为目的，从而提高小学四年级数学“数与代数”课堂教学质量。

参考文献：

张琳.人教版数学四年级上册“数与代数”内容的实践与思考[J].小学青年教师：数学版，2006（10）.

作者简介：严剑波（1984—），男，汉族，云南省嵩明县人，云南省曲靖市会泽县纸厂乡大石板小学，本科，小学一级教师，研究方向为小学教育。

篇5：线性代数第四章练习题答案

二

次

型

练习4、1

1、写出下列二次型的矩阵

2（1）f(x1,x2,x3)=2x12x24x1x32x2x3；

（2）f(x1,x2,x3,x4)=2x1x22x1x32x1x42x3x4。

解：（1）因为

2

f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3)022所以二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为：02011011210x1x2x3, 21。0（2）因为

0f(x1,x2,x3,x4)=(x1,x2,x3,x4)1101所以二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为：11***11010x1x2x3x4，10。10

2、写出下列对称矩阵所对应的二次型： 11（1）2121201212；

（2）21201211212112012012。12102

T解：（1）设X(x1,x2,x3)，则

1f(x1,x2,x3)=XTAX=(x1,x2,x3)21212021222x1x2x3 

=x122x32x1x2x1x34x2x3。（2）设X(x1,x2,x3,x4)T，则

01

f(x1,x2,x3,x4)=XTAX=(x1,x2,x3,x4)2101211212112012012121x1x2x3x4 

2=x2x4x1x22x1x3x2x3x2x4x3x4。

练习4、2

1、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。

22（1）f(x1,x2,x3)=2x1x24x1x24x2x3；

（2）f(x1,x2,x3)=2x1x22x2x3；

222（3）f(x1,x2,x3)=x12x23x34x1x24x2x3。

解：（1）二次型f(x1,x2,x3)的矩阵 2

A=2021202。0A的特征方程为

det(EA)=

20202=(2)(254)=0，12由此得到A的特征值12，21，34。

对于12，求其线性方程组(2EA)X0，可解得基础解系为

1(1,2,2)T。

对于21，求其线性方程组(EA)X0，可解得基础解系为：

2(2,1,2)T。

对于34，求其线性方程组(4EA)X0，可解得基础解系为：

3(2,2,1)T。

将1,2,3单位化，得

11111(,122T,)，3332123T

2212(，3323)，3令

33(,21T,)，33132

P=(1,2,3)=323231323232，3132则

PTAP=diag(-2,1,4)=0001000。4作正交替换X=PY，即

122xyyy3121333212

x2y1y2y3，333x2y2y1y3123333二次型f(x1,x2,x3)可化为标准形：

222

2y1y24y3。

（2）类似题（1）方法可得：

12

P=0121212121201T，PAP=020120200，202即得标准形：2y222y3。

（3）类似题（1）的方法可得： 2

P=3231323232322T，PAP=0301305000，1222即得标准形：2y15y2y3。

2、用配方法将下列二次型化为标准形：

222（1）f(x1,x2,x3)=x12x25x32x1x22x1x36x2x3；

（2）f(x1,x2,x3)=2x1x24x1x3；

（3）f(x1,x2,x3)=4x1x22x1x32x2x3。解：（1）先将含有x1的项配方。

f(x1,x2,x3)=x1+2x1(x2x3)+(x2x3)－(x2x3)+2x2+6x2x3+5x3

22=(x1x2x3)+x2+4x2x3+4x3，22222再对后三项中含有x2的项配方，则有

22222

f(x1,x2,x3)=(x1x2x3)+x2+4x2x3+4x3=(x1x2x3)+(x22x3)。

1TT设Y=(y1,y2,y3)，X=(x1,x2,x3)，B=002211012，0令Y=BX，则可将原二次型化为标准形y1y2。

（2）此二次型没有平方项，只有混合项。因此先作变换，使其有平方项，然后按题（1）的方法进行配方。令

x1y1y2x11

x2y1y2，即x2=1xyx0333110001y1y2。y3则原二次型化为

f(x1,x2,x3)=2(y1y2)(y1y2)+4(y1y2)y3 =2y12－2y2+4y1y3+4y2y3

=2(y1y3)2－2(y2y3)2，1TT设Y=(y1,y2,y3)，Z=(z1,z2,z3)，B=0001011，02令Z=BY，则可将原二次型化为标准形2z122z2。

（3）类似题（2）的方法，可将原二次型化为标准形：

4z14z2z3。

2223、用初等变换法将下列二次型化为标准形：

222（1）f(x1,x2,x3)=x12x24x32x1x24x2x3；

222（2）f(x1,x2,x3)=x13x2x32x1x22x1x36x2x3；

（3）f(x1,x2,x3)=4x1x22x1x36x2x3。（此题与课本貌似而已，注意哈）解：（1）二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为 1

A=1012202。4112010024001100100012110024001100100010110000。221于是

110AE=100122010024001100100令

1

C=0011022，1作可逆线性变换X=CY，原二次型可化为标准形：f(x1,x2,x3)=y12y2。

（2）类似题（1）的方法，原二次型可化为标准形：

2f(x1,x2,x3)= y124y2y3。

（3）类似题（1）的方法，原二次型可化为标准形：

f(x1,x2,x3)= 2y12

4、已知二次型

22cx32x1x26x1x36x2xf(x1,x2,x3)=5x125x212y26y3。

22的秩为2。求参数c的值，并将此二次型化为标准形。

解：二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为 5

A=1315333。c因为A的秩为2，令detA=0，可得c=3。

222即

f(x1,x2,x3)=5x15x23x32x1x26x1x36x2x3

也就是

5A= 1315333，322通过初等变换法，即可将其化为标准形：4y29y3。

5、设2n元二次型

f(x1,x2,,x2n)=x1x2nx2x2n1xnxn1 试用可逆线性替换法将其化为标准形。

解：令 x1y1y2n1x2y2y2n10xnynyn

1，P=xn1ynyn1xyy2n122n101xyy12n2n01011110111010，01即作正交变换X=CY，二次型f(x1,x2,,x2n)可化为标准型：

22y12ynyn1y2n。

223x32ax2x3(a>0)通过正交变换化为标准

6、已知二次型f(x1,x2,x3)=2x123x2225y3，求a的值及所作的正交替换矩阵。型fy122y2222解：因为原二次型可化为fy12y25y3，可知原二次型的矩阵的特征值为

1，2和5。

而原二次型的矩阵为 2

A=0003a0a。3故A的特征方程为

det(EA)=

0000a3a=(2)(69a)=0。

223因此将此特征方程的解1，2，5代入得：a=2。

对于11，求其线性方程组(EA)X0，可解得基础解系为

1(0,1,1)。

T对于22，求其线性方程组(2EA)X0，可解得基础解系为：

2(1,0,0)。

对于35，求其线性方程组(5EA)X0，可解得基础解系为：

T

3(0,1,1)。

T将1,2,3单位化，得

11111(0,12,12)，T

2212(1,0,0)，1212T

3故正交替换矩阵为：

33(0，)，T0P=(1,2,3)=21210001。212练习4、3

1、判别下列二次型是否为正定二次型：

222（1）f(x1,x2,x3)=5x16x24x34x1x24x2x3；

222（2）f(x1,x2,x3)=10x12x2x38x1x224x1x328x2x3；

2222（3）f(x1,x2,x3,x4)=x1x24x37x46x1x34x1x44x2x3

2x2x44x3x4。解：（1）二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为 5

A=205226262002。45262由于5>0，=26>0，202=84>0, 4即A的一切顺序主子式都大于零，故此二次型为正定的。

（2）二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为

10

A=41242141214。1由于

1042141214=-3588<0，|A|=412故此二次型不为正定的。

（3）二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为： 10

A=320122324222。27由于

101232=-9<0，03故此二次型不为正定的。

2、当t为何值时，下列二次型为正定二次型：

222（1）f(x1,x2,x3)=x14x2x32tx1x210x1x36x2x3；

222（2）f(x1,x2,x3)=x1x25x32tx1x22x1x34x2x3；

222（3）f(x1,x2,x3)=2x1x2x32x1x2tx2x3。

解：（1）二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为： 1

A=t5t4353。1由于

1tt412=4t，tt4353=t230t105，15但易知不等式组

24t0

2

t30t1050无解，因此，不论t取何值，此二次型都不是正定的。

（2）二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为： 1

A=t1t1212。5

此二次型正定的充要条件为

1>0，451tt1=1t2>0，|A|=5t24t>0，由此解得：t0。

（3）二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为： 

2A=100t。2011t2由

2>0, 2111>0，|A|=1t22>0，解得：2t2。

3、设A、B为n阶正定矩阵，证明BAB也是正定矩阵。证明：由于A、B是正定矩阵，故A及B为实对称矩阵。所以(BAB)=BAB=BAB，即BAB也为实对称矩阵。

由于A、B为正定矩阵，则存在可逆矩阵C1，C2，有

A= C1TC1，B= C2TC2，所以 BAB= C2TC2C1TC1C2TC2=(C1C2TC2)T(C1C2TC2)，即

BAB也是正定矩阵。

4、如果A，B为n阶正定矩阵，则A+B也为正定矩阵。

证明：由于A、B是正定矩阵，故A及B为实对称矩阵。从而A+B也为实对称矩阵，而且

fXAX，gXBX，为正定二次型。于是对不全为零的实数x1,x2,,xn，有

XAX0，XBX0。TTTTTTTT故

h=XT(AB)X=XTAX+XTBX0，即二次型h=XT(AB)X为正定的，故A+B为正定矩阵。

5、设A为正定矩阵，则A-1和A*也是正定矩阵。其中A*为A的伴随矩阵。证明：因为A为正定矩阵，故A为实对称矩阵。从而(A1)T(AT)1A1 即A1也为对称矩阵，(A*)T(AT)*A*即A*也为对称矩阵。

由已知条件可知，存在可逆矩阵C，使得

ACTC。

于是

A1(CTC)1C1(C1)T=QTQ，A*=|A|A1|A|C1(C1)T=

1A1C[1AC1TT]=PP，其中Q=(C1)T，P=(-1*1AC1T)都为可逆矩阵。

故A和A都为正定矩阵。

6、设A为n×m实矩阵，且r(A)=m

证明（1）因为A为n×m实矩阵，所以AT为m×n矩阵，又r(A)=m

AX＝O , 只有零解。于是对于任意的 X  O , 有 AX  O。则

TTTX（AA）X＝（AX）（AX）＞ 0。因此，ATA为正定矩阵。

（2）因为A为n×m实矩阵，所以AT为m×n矩阵，又r(A)=m

XT（AAT）X＝（A T X）T（A T X） 0。因此,AAT为半正定矩阵。

7、试证实二次型f(x1,x2,,xn)是半正定的充分必要条件是f的正惯性指数等于它的秩。

证明：充分性。设f的正惯性指数等于它的秩，都是r，则负惯性指数为零。于是f可经过线性变换X=CY变成

2f(x1,x2,,xn)=y1y2yr。

2从而对任一组实数x1,x2,,xn，由X=CY可得Y=CX，即有相应的实数y1,,yr,,yn，使f(x1,x2,,xn)=y12y2yr20.即f为半正定的。

必要性。设f为半正定的，则f的负惯性指数必为零。否则，f可经过线性变换X=CY化为

f(x1,x2,,xn)=y12ysys21yr2，s

于是当yr=1，其余yi=0时，由X=CY可得相应的值x1,x2,,xn，带入上式则得

f(x1,x2,,xn)=－1<0。

这与f为半正定的相矛盾，从而f的正惯性指数与秩相等。

8、证明：正定矩阵主对角线上的元素都是正的。

证明：设矩阵A为正定矩阵，因此fXTAX 为正定二次型。于是对不全为零的实数x1,x2,,xn，有

XTAX0，T取Xi(0,,0,1,0,,0)，(i=1,2,…,n)

2-1

2T则iAidi0，(i=1,2,…,n)即主对角线上的元素都是正的。

篇6：大学线性代数练习一习题及答案

一、选择题

1.下列行列式中（C）的值必为零(A)行列式的主对角线上元素全为零(B)行列式中每个元素都是二个数的和(C)行列式中有两列元素对应成比例(D)n阶行列式中零元素的个数多于n个

a11a31a12a32a13a334a114a312a11a122a31a32a13a332.如果Da21a22a231，则D14a212a21a22a23等于（D）（A）8

（B）12

（C）24

（D）4 1a1b1c1dbcdcaddaabbc3.行列式=(A)(A)a+b+c+d

(B)0

(C)abcd

(D)1

二、计算

121．D4=100237161102054911

12.D535036

211743081231696801352n111n(a1)2(b1)2(c1)2(d1)2(a2)2(b2)2(c2)2(d2)2(a3)2(b3)2(c3)2(d3)20 1213．已知n阶行列式11311a114．D41111a211，求其代数余子式之和A11+ A12++A1n

11111a311a21b

篇7：线性代数习题答案

综合练习一01AA.01BB、C.01CA.01DA.01Er2,s5,t8或r5,s8,t2或r8,s2,t5.01Fi2,j1.01G12.01Ha13a25a31a42a54;a13a25a32a44a51;a13a25a34a41a52.01I排列的逆序数为k2;当k为偶数时,排列为偶排列,当k为奇数时,排列为奇排列.a11aaa01K(1)1;(2)(aa1222a13a1411a22a33a44);(3)aa21aa23a24a3141a3242a3343a34.44f(x)g(x)s(x)01M48x18.01Nf(x)g(x)s(x).01O1.f(x)g(x)s(x)02AB、D.02B3.02C6.02Dx0,1,2.02E(1)n1(n1)xn.02F(12131)n!.02G(1)n(n1)2nn1(n1)n.2.02H(1)n1(nax)xn1.02I(1)n[(1)nn].03AB.03BD.03CD.03DD.03E12246000.03Fa0,b0.4403G1,3.03Habii03If(x)2x23x1.i1i1ai03Jx4.03L0.03M0.04A(1aa2)(1a)3.04Bn1.04Cx1x2...xn1(1a1x1a2x2...anxn).04Dx1x2...xn[1a(1x1...1.1x2xn)]04E(x1)n..49.04F1(1)a1(1)2a2an1...(1)anan1...a2a1n04G(n1)当a,n1n1当a.05A0.05B1.05C12/5.05D0.05E0.05F0.05G(1)0;(2)144.05H9,18.06An!(n1)!(n2)!...2!1!.06B(cos).4ij1icosj07A(1x)2(10x).08AA、B.08BD.08CC、D.08DD.08E2.08Fa0且bb/4.08Gf(x)2x23x1.08H甲、乙、丙三种化肥各需3千克,5千克,15千克.综合练习二01AB.01BD.01CC.01DC.01ED.01FB.01GD.01HC.01I1/3.01J2.01K0.01La2(a2n).01N(AB)(AB).01S(2)A249(A2E).01T(1)1,(2)n.01U(1)(1)n1n1k2(n1)!.(2)(1)n1n!(k1,2,,n).01V两年后在岗职工668人,培训人员334人.01W即晴天概率为146256,阴天的概率为6248256,下雨天的概率为256.xnx426001X1y023/21/200xn.yn1nyzn101/40zn4236z224012102A4982242.02B2n102420121.02C2220242222.1nn(n1)2.4n14n0002D201n.02En1n142.400001002nn.2n1.0002n.50.10002FA20061.由于A5A.1100003A(1)(1)n11(2)1200n!A.0230.0034(3)A6E.(4)12(EB).(5)B(E2A)1.10103BB510E.03D1211.03C(2)A2A5(A2E).03EA11(A3E).(A4E)11106(AE).03FB1114(5A23AE).03G(EABA)1B(EAB)1B1.03HB1110(A23A4E).03I(EAB)1EA(EBA)1B.10001/21/20003NA1003O1122212.1/21/61/391/85/241/121/422100201003403P000123310005200003Q(A1A2A41A3)1A11A2(A4A3A11A2)1A111(A4A3(A1A2A4A3)4A3A11A2)1.04A(1)8/3;(2)9;(3)81;(4)1/9;(5)1/3;(6)576;(7)3.04B10804F521220101.04GA0A(bTA1),05AD.05C2.05D当a1且b2,r(A)4;当a1且b2时,r(A)2;.51.当a1,b2或a1,b2时,r(A)3.05E当c1,并且a1或b0时,r(A)1;当c1,a1且b0时,r(A)3;当c1,但a1或b0时,r(A)3;当c1,a1且b0时,r(A)2.05F当ab0时,r(A)0;当ab0时,r(A)1;当ab,且a(n1)b0时,r(A)n1;当ab,且a(n1)b0时,r(A)n.05G11n.05Hr[(A*)*]n,如果r(A)n,0,如果r(A)n.1111101005K111105L01041111.11110010.00022400110005M220005N12200022.00120233.003405OA.0211106A1321.06B202.03052231106C43206D22.319/213/2.21112300106E020.06F21001.121012103006G003300..52.综合训练三01AC.01BB.01CB.01Dt1.01Ea2b.01F(1)当t5时,1,2,3线性相关;(2)当t5时,1,2,3线性无关;(3)3122.01G(1)当a1时,1,2,3线性相关;(2)当b2且a1时,可由i唯一的表出:122;当b2且a1时,可由i线性表出:(2t1)1(t2)2t3,其中t是任意常数.02AB.02BC.02C B.02D D.02E t5.02F不能.02G(1)能;(2)不能.02I(1)当a2时,不能用1,2,3线性表出;(2)当a2且a1时,有唯一的表达式:a11(a1a2a2)212a23;当a1时,(1kl)1k2l3,k,l.02J(1)若0且3,可由1,2,3唯一线性表示;(2)若0,可由1,2,3线性表示,但不唯一;(3)若3,不能由1,2,3线性表示.02K(1)当b2时,不能由1,2,3线性表出;(2)当b2,a1时,可唯一表示为122;当b2,a1时,可表示为(2k1)1(k2)2k3()k为任意常数.02L(1)当a1,b0时,不能表示成1,2,3,4的线性组合;(2)当a1时,有唯一表示式:2ba1ab1b1a12a130.402M(1)当a4时,可由1,2,3唯一线性表出..53.(2)当a4时,不能由1,2,3线性表示.(3)当a4且3bc1时,可由1,2,3线性表出,但不唯一:t1(2tb1)2(2b1)3(t为任意常数).02N不等价.03AD.03B1.03Cn.03D(1)R(1,2,3,4)2;向量组的一个极大无关组为2,4;12(24),3234;(2)R(1,2,3,4,5)3;向量组的一个极大无关组为1,3,5;2135,4135;(3)R(1,2,3,4,5)3;向量组的一个极大无关组为1,2,3;4123,5120.3.03ER(1,2,3,4,5)3.03Fa15,b5.04AD.04B(1,0,0,...,0)T.04Ct1.x1y1104D4.04E矩阵xy221的秩小于3.xnyn111422204F(1)C3,(CR);(2)k170k012,(k1,k2R);201523/23/4(3)C13/2C217/40,(C1,C2R).0104G(1)无解;(2)(1/2,2,1/2,0)Tk(1/2,0,1/2,1)T,其中k为任意常数;(3)(514,3314,0,7)Tk(1,1,2,0)T.(k为任意常数);.54.(4)C131(7,177,1,0,0)TC(101911127,7,0,1,0)TC3(7,7,0,0,1)T(2,3,0,0,0)T,(C1,C2,C3R).04H(1)1,2,3是所给方程组的基础解系.(2)1,2,3不是所给方程组的基础解系.104I当1时,有解,解为1k12,其中k为任意常数.0104J(1)当1且45时,方程组有唯一解;1当1时,其通解为1k01,其中k0为任意实数;1当45时,原方程组无解;(2)当2且1时,方程组唯一解;当2时,方程组无解;当1时,方程组有无穷多组解.全部解为21k110k012001,其中k1,k2是任意常数.04K(1)当a0时,方程组无解;x12/a,当a0,b3时,方程组有唯一解:x21,x30;x12/a,当a0,b3时,方程组有无穷多解:x213t,(tR).2x3t.(2)当a0或a0时b4,方程组无解;方程组不可能有唯一解;当a0且b4时,方程组有无穷多解.通解是.55.(6,4,0,0,0)Tk1(2,1,1,0,0)Tk2(2,1,0,1,0)Tk3(6,5,0,0,1)T.其中k1,k2,k3是任意实数.(3)当a1,b36时,方程组无解;当a1,a6时,方程组有唯一解,x(b36)a1,x12(a4)(b36)162a1,xb36230,x4a1;当a1,b36时,方程组有无穷多解,通解为(6,12,0,0)Tk(2,5,0,1)T.k为任意常数;当a6时,方程组有无穷多解,通解是(1(1142b),1(122b),0,1(bT77736))k(2,1,1,0)T.04L(1)当ab,bc,ca时,方程组仅有零解x1x2x30.(2)当abc时,方程组有无穷多组解,全部解为k1(1,1,0)T(k1为任意常数).当acb时,方程组有无穷多组解,全部解为k2(1,0,1)T(k2为任意常数).当bca时,方程组有无穷多组解,全部解为k3(0,1,1)T(k3为任意常数).当abc时,方程组有无穷多组解,全部解为k4(1,1,0)Tk5(1,0,1)T(k4,k5为任意常数).2104M(1)方程组有无穷多组解,通解为41k(k为任意常数502).1(2)当m2,n4,t6时,方程组(I),(II)同解.04Na2,t4.04O非零公共解为t(1,1,1,1)T.(t为任意常数)04P原来至少要有3121个桃子,最后还剩下1020个桃子.05A B.05BC.05CA.05DC.05ED.05FD.05G1.05H1..56.05I(1,2,3,4)Tk(1,1,1,1)T,其中k是任意实数.05J(3,2,0)Tk(1,1,1)T.(k为任意常数)05K通解为(9,1,2,11)Tk1(10,6,11,11)Tk2(8,4,11,11)T05L3m2n.05M2.1/2005N通解为1/21k,其中k为任意常数.011105O(1)1可由2,3,4线性表出.(2)4不能用1,2,3线性表出.x1k2t,06A(2)通解是x2k2,其中t是任意实数.x3t,06B通解是(a8,4,2,1)T12a24a3,a22a3,a3,0)Tk(,其中k是任意实数.06E方程组的唯一解为(ATA)1ATb.06L(II)的通解为c1(a11,a12,...,a1,2n)Tc2(a21,a22,...,a2,2n)T...cn(an1,an2,...,an,2n)T,其中c1,c2,...,cn为任意常数.综合练习四1/21/61/(23)01A45.01B11/221/6;31/(23).0;02/601/(23)3/202A(1)10,22,33,1/2k10对应特征向量为11/2,1.57.1122对应特征向量为k2,013对应特征向量为k331.1(2)18,231,218对应特向量为k11,其中k1为任意非零常数.21231对应特征向量为k201k32,其中k2,k3是不全为10零的实数.(3)101232全部特征向量为k12k20,(k1,k2不全为零).0102BA的特征值是1,2,2a1,a221对应的特征向量依次是k13,k22,k31.(k1,k2,k3全不为0).01a102CA的特征值2(二重)及0,2对应特征向量为k1(0,1,0)Tk2(1,0,1)T.0对应特征向量为k3(1,0,1)T.02D(1)当b0时,A的特征值为12na,则任一非零向量均为其特征向量.(2)当b0时,A的特征值为12n1ab,na(n1)b当1n1ab对应特征向量为1111k1000k21kn100,01.58.1a(n1)b对应特征向量为k1nn,(kn0).102Ea2,b3,c2,01.2n21102F112n212n23n1.112n202GA与B特征值相同但不相似.02Ha7,b2,P15112202I1102.0.101302Ja1,b8,c10.02K(1)|EA|4a34a23a2a1.03AB.03BB.03CA.03D(1)k(2)2i(i1,2,,n);i(i1,2,,n);(3)kii(i1,2,,n);(4)i(i1,2,,n);(5)1(i1,2,,n);(6)|A|1,2,,n);i(ii(7)f(i),(i1,2,,n).03E|A|21.03F1/2.03G2203H4/3.03J(1)0;(2)A的特征值全为零.0对应特征向量为k11k11...kn1n1(k1,k2,...,k3不全为零的任意常数).03L3,2,2.03M(1)P1AP全部特征值是1,12,,n.Pi是P1AP的属于i的特征向量..59.(2)(P1AP)T全部特征值是11,2,,n.PTi是(PAP)T的属于i的特征向量.03P1(n1重),3,1对应特征向量为k1(y2,y1,0,,0)Tk2(y3,0,y1,,0)Tkn1(yn,0,0,,y1)T,k1,k2,,kn1不全为0,3对应特征向量为kn(x1,x2,,xn)T,kn0.04AD.04B546333.76804C(1)a3,b0,1.(2)A不能相似于对角阵.404D当a1时,A1116114.442当a111410222时,A301055.22519132504E(1)3k(1,0,1)T(2)A162102.(k);为任意非零常数521301104F1/201/200004G.1011/201/2.11011104H111.04IAPP1P(2E)P12E.1115404J6333.76804OA的特征值是2与1(n1重)..60.X1(1,1,,1)T是A属于2的特征向量,X2(1,1,0,,0)T,X3(1,0,1,,0)T,,Xn(1,0,0,,1)TA属于1的特征向量.11112n2n2nA111112n2n2n.12n112n12n05A0.05BA能对角化.05CA能对角化.1105D(1)12(2);1;(3)311;21(4)1(5)A2.;不能对角化;(6)20405E令P212100,则11.011021005F(1)T12403212,T1AT010122002.111263(2)T111133263,TAT.01166311123605GP120036,P1AP1.1114236.61.221535305HQ1425353,QTAQ22.705235305Ia1,b3.A能对角化.05J01,a3,b0.A不能相似于对角阵.1105Kxy0.05L111111.05MA~1111.0905N105PA~B.0.00105Q(1)x0,y2;(2)P210.11106An!.06B6.06C(2n3)！.06Dk(k2)2.06FO.06EE.3n13n106G(1)(2)6n13123n123n1;93;(3)10013n123n13n.13n223n23n06Hx10051001.06Ix51003210013.n06Ja1n563,nliman5.06Ka站至多有240只小船,b站至少有80只小船..62.是综合练习五01AB.01BB.01CB.01D3.01E1.00101F010.01Gy21y22y23.10001H(1)fz21z22,相应的线性变换为zPy(P1112P1)x.P1010,P1002013,001001x1(2)z2z22111/2z112z3.相应的线性变换x2x3112z2.001/2z3100(3)f12y2222y3相应的线性变换x1101/21/21y,x101Ix1212y1201Jc3,4y219y22.3122y2x3221y311126301Ka2,b3.xCy,C111263,2106301Lf(x)x2221,x2,x312x2x32x1x22x2x34x1x3.切平面方程为2x1x2x31.02AD.02BA.02CC.02DA.02EC.02F(2,2).02G(1)正定.(2)正定.02H(1)2;(2)1.1012241102I0,P01002NB1314111.114.022.63.综合练习六01A(1)V1是向量空间.(2)V2是向量空间.01B(1)W1不是子空间.(2)W2是子空间.dimW22.(0,1,0),(0,0,1)是W2的一组基.(3)W3是子空间,dimW32.(1,1,0),(2,0,1)是W3的一组基.(4)W4不是子空间.(5)W5不是子空间.01CW1W2是V的子空间,W1W2不一定是V的子空间.T02B5114,14,4,4.02C坐标变换公式为x1111x1x1212x1x2102x2或x32001x2x010x3x3111x3在所给定的两组基下具有相同坐标的全部向量为k32,k3为任意实数.T02D(1)(3,4,4)T;(2)112,5,132.02E(5/21/21,2)(1,2,3)3/23/2.5/25/202F(1,2,2)T时,坐标乘积的极大值是18.002G(1)A110011000110.1011(2)所求非零向量010203k4k4(k为非零任意常数).02H(1)111011;(2)0011(1,0,0)T,2(0,1,0)T,3(0,0,1)T;(3)A11.02I(1,1,,1).3.64.a11a1203Aa21a22a11a12a31a32a2203C(1)a12a32a21a11a31a23a13;a33a12a22a12a32a13a23a13.a3301103B020.210a11a21(2)ka31ka12a22ka32a13a23;ka33a11a21a11a12a21a22(3)a21a31a21a22a31a32aa31a3231a11a12a13a21a22a23a21a22a23a31a32a33a31a32a33.65.