多重共线性习题含答案

2024-06-29

多重共线性习题含答案（精选5篇）

篇1：多重共线性习题含答案

小学五年级下册语文课后练习题(含答案)

1、草原课课练

1.看拼音写词语。

ɡāo ɡē

lǜ

tǎn

rïu měi

cuì sâ yù liú

()

（）

()

qí

lì

huí wâi

jīn piāo dài wǔ

()

（）2.词语手拉手：

无边的小诗

各色的帽子

白色的带子

静寂的微笑

奇丽的大花

尖尖的衣裳

迂回的绿毯

会心的草原 3.形近字组词。

渲（）

吁（）

勒（）

羞（）

喧（）

迂（）

勤（）

差（）【句段集锦】

仔细读下面的句子，填一填：

1．“羊群一会儿上了小丘，一会儿又下来，走在哪里都像给无边的绿毯绣上了白色的大花。”在这个句子里，运用了两个比喻，一个是把

比作绿毯，另一个是把

比作。

2．“那些小丘的线条是那么柔美，就像只用绿色渲染，不用墨线勾勒的中国画那样，到处翠色欲流，轻轻流入云际。”

（1）渲染是指：

（2）勾勒的意思是：

（3）这句话说明了：

3.联系生活实际说说你对这句话的理解。

“蒙汉情深何忍别，天涯碧草话斜阳！”

你的理解是：【课文链接】

1.读了这篇课文，你觉得草原的特点是：，草原上的景美

更美。

2.你觉得本课在写法上有哪些特点？【课外延伸】

1.阅读：

（1）、这次，我看到了草原。那里的天比别处的更可爱，空气是那么

，天空是那么，使我总想高歌一曲，表示我满心的愉快。在天底下，而并不

。四面都有小丘，平地是绿的，小丘也是绿的。羊群一会儿上了小丘，一会儿又下来，走在哪里都像给无边的绣上了白色的。那些小丘的线条是那么，就像只用绿色，不用的中国画那样，到处

，轻轻流入云际。这种境界，既使人惊叹，又叫人，既愿，又想坐下

一首奇丽的小诗。在这境界里，连骏马和大牛都有时候，好像

着草原的无限乐趣。

（1）根据课文内容在横线上填上适当的词语。

（2）用短文中带点的词语造句。

（3）读完这段话，你有怎样的感受？（2）、马上的男女老少穿着的衣裳，群马

襟飘带舞，像一条

向我们飞奔过来。

2.写话：

课文中写到：“也不知怎的，就进了蒙古包。”请你展开想象，用恰当的语言把这幅情景描绘出来。参考指数：【字词荟萃】

1.高歌、绿毯、柔美、翠色欲流、奇丽、回味、襟飘带舞

2.无边的小诗

各色的帽子

白色的带子

静寂的微笑

奇丽的大花

尖尖的衣裳

迂回的绿毯

会心的草原

3.（略）【句段集锦】

1.草原；羊群；白色的大花

2.见课堂“品读感悟”之“句段赏析”。

3.见课堂“品读感悟”之“句段赏析”。【课文链接】

1.大、绿、美；人。

2.见课堂“品读感悟”之“写作特点”。【课外延伸】

1.阅读：

（1）清鲜；明朗；一碧千里；茫茫；绿毯；大花；柔美；渲染；墨线勾勒；翠色欲流；舒服；久立四望；低吟；静立不动；回味。

3、白杨课课练

1.看拼音，写词语。

qīnɡ xī xīn jiānɡ fǔ mō()()()jiâ shào lǚ kâ lǐ jiě()()()2.下面哪一组没有错别字，在后面打“√”，在错字下面画“ ”，改在括号里。

（1）混黄一体高大挺秀茫茫戈壁（）

（2）风砂雨雪界限清析飞快闪过（）（3）抚模孩子望着窗外一丝微笑（）（4）陷入沉思举着雨伞新疆戈壁（）3.选词填空。

分辩分辨

（1）到处浑黄一体，很难（）出哪里是天，哪里是地。（2）他宁愿自己受委屈，也从不（）。

顽强坚强（3）遇到困难要（），不要被困难吓倒。

（4）在激烈的比赛中，他（）拼搏，终于夺得了冠军。

【句段集锦】 1.改变句式。

（1）哪有这么大的伞！

把感叹句改为陈述句：

（2）爸爸只是向孩子们介绍白杨树吗？不是的，他也在表白着自己的心。

把设问句改为陈述句：

2.突然，他的嘴角又浮起一丝微笑，那是因为他看见火车前进方向的右面，在一棵高大的白杨树身边，几棵小树正迎着风沙成长起来。

（1）爸爸“微笑”是因为。

（2）课文再一次通过父亲神情的变化来。

3.读下面的句子，用带横线的词语写句子。

不管遇到风沙还是雨雪，不管遇到干旱还是洪水，它总是那么直，那么坚强，不软弱，也不动摇。

_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 4.联系生活实际说说你对这句话的理解

在一棵高大的白杨树身边，几棵小树正迎着风沙成长起来你的理解是：【课文链接】 1.按课文内容填空。

爸爸的微笑，脸色变得。他想了一会儿，对儿子和小女儿说：“白杨树从来就。哪儿，它就在哪儿很快地

，长出。遇到风沙还是雨雪，遇到干旱还是洪水，它总是那么，那么，不，也不。

2.你觉得本课在写法上有哪些特点？

_____________________________________________________________________ 【课外延伸】 1.阅读: 白杨树

白杨树是西北最普通的一种树，只要有草的地方，就有白杨树的影子。

白杨树是不太讲究生存条件的，大路边，田埂旁，哪里有黄土的地方，哪里就有她的生存。她不追逐雨水，不贪恋阳光，只要能够在哪怕板结的土地上，给一点水分，白杨树的一截枝条就会生根，抽芽。只要挪动一点杂草生存的空间，她就会把黄土地装点，撑起一片绿色。她不需要人去施肥，也不需要像娇嫩的草坪那样去浇灌。只要不挥刀斧去砍伐，给她一点宽松的环境，让她吸收自由的空气，她就会挺拔向上，她从来不对生长的土地说不。她不枝不蔓，扎根在贫瘠的土壤中，随遇而安，与世无争，因为她属于草根族。

白杨树虽然出身寒微，却是最讲究生存质量的。土壤里还透着冰碴，春风中还夹着寒意，她的枝头已经冒出翠绿的嫩芽，在沉重的压力下，她的每一个嫩芽，每一片叶子都是努力向上的，而绝不弯腰乞求，更没有媚俗的面孔。

秋风里，虽然脱尽了叶子，单薄的枝条依然透着精气，枝干向上，高昂着头。严冬里，她迎着刀霜雪剑，依然伫立在寒冷的黄土地。白杨树并没有想到移栽和迁徒，哪怕她的残落枝叶腐化归于泥土，也要为这黄土地增添一点养分和

活力。厚实的黄土地下，涌动着白杨树不朽的生命，黄土地酥酥地勃发了，一片片地延伸着绿。

（1）读了这篇短文，你觉得白杨树有怎样的特点？

_____________________________________________________________________（2）这篇短文与课文《白杨》在表达上有什么异同？

_____________________________________________________________________ 参考指数：【字词荟萃】

1.清晰；新疆；抚摸；介绍；旅客；理解 2.（1）混（浑）

（2）砂（沙）析（晰）

（3）模（摸）

（4）√

3.分辨；分辩；坚强；顽强【句段集锦】

1.（1）没有这么大的伞。

（2）爸爸不只是向孩子们介绍白杨树，他也在表白着自己的心。2.（1）想到孩子们也扎根边疆，为事业后继有人而感到欣慰。

（2）借物喻人，托物言志。3.造句（略）。【课文链接】

1.消失了；严肃起来；这么直；需要它；生根发芽；粗壮的枝干；不管；不

管；直；坚强；软弱；动摇。2.见课堂“品读感悟”之“写作特点”。【课外延伸】 1.阅读：

（1）白杨树不太讲究生存条件，却讲究生存质量，挺拔向上，即使在严冬里，也傲然挺立。

（2）相同的是：都描写了白杨的形态特点；不同的是：课文采用借物喻人的手法，赞扬边疆建设者，而本文则运用拟人手法直接赞美白杨树。

5、古诗词三首课课练

【字词荟萃】 1.看拼音，写词语。

mù tïnɡ suō yī máo cǎo chūn ɡuānɡ mínɡ mâi()()()()2.比一比，再组词。

衰（）牧（）醉（）媚（）蓑（）败（）粹（）媒（）3.多音字组词。

pū（）bāo（）lâ（）铺剥乐

pù（）bō（）yuâ（）【句段集锦】

1.先解释带点字的意思，再写写句子的意思。（1）草铺横野六七里，笛弄晚风三四声。铺：弄：诗句的意思

（2）怪生无雨都张伞，不是遮头是使风。

怪生：使：

诗句的意思是：。（3）大儿锄豆溪东，中儿正织鸡笼。最喜小儿亡赖，溪头卧剥莲蓬。

亡赖：卧：

诗句的意思是：。

2．按原文填空。

（1）草铺横野六七里。

（2），收篙停棹坐船中。

（3）茅檐低小。

（4）最喜小儿亡赖。

3．默写：《牧童》、《舟过安仁》

参考指数：【字词荟萃】

1.牧童蓑衣茅草春光明媚

2.衰（衰老）牧（牧童）醉（醉翁）媚（媚眼）

蓑（蓑衣）败（失败）粹（纯粹）媒（媒人）3.pū（铺路）bāo（剥皮）lâ（欢乐）

铺剥乐

pù（当铺）bō（剥夺）yuâ（音乐）【句段集锦】

1.（1）怪生：怪不得的意思；遮：挡；诗句的意思是：哦，怪不得没下雨他

们也张开了伞呢，原来不是为了遮雨，而是想利用伞使风让船前进啊！

（2）亡赖：指顽皮、淘气。诗句的意思是：特别喜欢小儿的调皮，他趴在

溪边剥莲蓬。2.见课文。

6、冬阳.童年骆驼队

【字词荟萃】 1.看拼音写词语。

xiâ mãi

yîu zhì

shā mî

jì

mî

（）（）()

（）

mián ǎo

tuï rïnɡ

páo zǐ

shǎ shì

（）（）（）

（）

2.比一比，再组词。

漠（）

袄（）

咀（）

袍（）

寞（）

沃（）

沮（）

炮（）

3.词语搭配。

干冷的驼铃声安静的步伐软软的空气寂寞的态度轻松的旅程悦耳的脚掌

【句段集锦】

1.在括号里填上恰当的词语。

我（）地想，（）地写，又看见（）的骆驼队走过来，又听见（）的驼铃声。

2．摘抄两个你喜欢的句子，并写出你喜欢的原因。

句子1：_____________________________________________。

喜欢的原因：_____________________________________________。

句子2：_____________________________________________。喜欢的原因：_____________________________________________。

【课文链接】 1.我的理解：

给骆驼带上铃铛，大人认为是_________________________________，“我“则认为是__________________________________________________________。

2.课内阅读：

骆驼咀嚼时是什么样子的？在文中找出相应的语句写下来。

_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ 【课外延伸】 1.阅读:

____________

一天中午，烈日炙烤着大地，知了不时鸣叫：“热死了，热死了„„” 吃午饭时，我向妈妈提了个问题：“妈，有这样一个成语：‘逆水行舟，不进则退’，是什么意思？”妈妈想了想说：“娜娜，现在不解释，下午带你去游泳吧。”我一听去游泳，特别高兴，一下子就把一碗饭吃得精光。

下午，妈妈带我去东门河，路上，我又提起了那个问题。妈妈说：“游泳时你会明白。”

到了河边，我换上游泳衣就钻进水里。一会儿仰泳，一会儿蛙泳，有时还来个鲤鱼跳龙门，妈妈不时地夸奖我，我快活极了。

突然，妈妈好像想起了什么，不再欣赏我的精彩表演，对我说：“向上游。”我听清了妈妈的话：“向上游？哼，有什么了不起，游就游。”

于是，我奋力向上游，一个大浪过来。我来不及躲避，被呛得鼻子发酸，耳朵里也灌了水，竟顺流而下，我只好游到浅滩。过了一会儿，我又迎着急浪向上游，但感到越来越吃力，双脚像灌满了铅。我使出吃奶的力气，只前进了几次，稍一松劲，就被急浪冲到岸边„„

妈妈见此情景对我说：“你体会到成语‘逆水行舟，不进则退’的意思了吗？”“什么？”我丈二和尚摸不着头脑。“你刚才向上游，稍不努力，不仅不能前进，反而后退。这个成语的意思是说：向水流相反方向行船，不努力前进就会后退。它也告诉人们，在人生道路上，不迎难而上，时代的潮流就会抛弃你。”

哦，听妈妈这么一说，我仿佛懂得了许多„„（1）在短文前的横线上加个合适的题目。（2）我会画（按要求在文中画线）。

a.用“____”标出文中的“逆水行舟，不进则退”的本义。

b.用“()”标出文中的一个拟人句。

（3）小法官，巧断案。（在正确中心思想后面的括号内画“√”）

a.本文告诉人们“逆水行舟，不进则退”的道理，举例说明了在人生的道

路上，要迎难而上。（）

b.妈妈让“我”在实践中明白“逆水行舟，不进则退”的道理，说明这种教育方法非常好。（）

2.写话：

请你在认真读课文的基础上，细读下面的句子，写一写自己的感受。

老师教给我，要学骆驼，沉得住气。看它从不着急，慢慢地走，总会到的；慢慢地嚼，总会吃饱的。

_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

参考指数：【字词荟萃】

1.卸煤幼稚沙漠寂寞棉袄驼绒袍子傻事

2.漠（沙漠）

袄（棉袄）

咀（咀嚼）

袍（袍子）

寞（寂寞）

沃（肥沃）

阻（阻碍）

炮（炮火）3.词语搭配。【句段集锦】

1.默默；慢慢；冬阳下；缓缓悦耳。2.略。【课文链接】

1.骆驼很怕狼，戴上了铃铛，狼听见铃铛的声音，就不敢侵犯骆驼了

拉骆驼的人耐不住长途寂寞的旅程，才给骆驼戴上了铃铛，增加一些行路的情趣。

2.见课文。【课外延伸】 1.阅读：（1）逆水行舟。

（2）a.向水流相反方向行船，不努力前进就会后退。

b.一天中午，烈日炙烤着大地，知了不时鸣叫：“热死了，热死了

„„”

（3）b.√

8、童年的发现课课练

1.看拼音写词语。

huá xiánɡ shuānɡ bì táo qì suí xīn suǒ yù()()()()xiū kuì xìnɡ kuī pî hài jiǎo jìn nǎo zhī（）（）（）（）2.在括号里真上适当的词语。

青青的（）（）的湖面

奇妙的（）（）的女教师 3.多音字组词。

chãnɡ（）zhuàn（）zhǎnɡ（）澄转涨

dânɡ（）zhuǎn（）zhànɡ（）

【句段集锦】

1.在括号里填上恰当的词语，再用它们造句。

（1）每天夜里做梦我都飞，我对飞行是那样迷恋，（）双脚一点，轻轻跃起，（）能离开地面飞向空中。

________________________________________________________________（2）我的脸（）困窘和羞愧一下子涨得通红。

_________________________________________________________________ 2.联系生活实际说说你对这句话的理解。

（1）我明白了——世界上重大的发明与发现，有时还面临着受到驱逐和迫害的风险。

你的理解是：

__________________________________________________________________（2）老师误解了我的笑声，以为我的笑不怀好意。联系上下文，说说老师为什么会误解“我”？

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________ 【课文链接】

1.读完课文，你知道“我”的发现是什么吗？

__________________________________________________________________

2.你觉得费奥多罗夫是个怎样的孩子？为什么？

__________________________________________________________________

__________________________________________________________________ 【课外延伸】

1.阅读：

奇妙的蜘蛛网

我回到农村过暑假。有一次在场院里乘凉，爷爷说：“要下雨了，咱们回家吧！”后来，果然下雨了。我好奇地问爷爷：“您怎么知道要下雨了呢？”爷爷笑着说：“你常常看看蜘蛛网，就知道了。”

于是，每天傍晚我都去观察蜘蛛网，一连几天，我看蜘蛛网都是平平地挂在那里，没有什么特殊的地方。有一天，我忽然发现蜘蛛离开了原来的网，从房檐下面的篱笆上竖着拉了一条条长丝，好像一根根细柱子。然后，蜘蛛就沿着这几根竖丝，侧着身子来回地爬着，绕上一圈一圈的细丝，不一会儿，蜘蛛就结了一个竖网挂在那里。

我高兴地把这个发现告诉了爷爷。他让我第二天再去看看蜘蛛网。

夜里“噼噼啪啪”地下起雨了。第二天清早，雨住了，我连忙跑去看那些奇妙的蜘蛛网，噢！我看出来了，平挂的蜘蛛网被雨水砸坏了，竖挂的却完整无缺。原来，下雨前，气压低，蜘蛛感觉出来了，便赶在雨前先结个竖网，以免雨后无家可归。

哈哈，今天我才揭开了蜘蛛网的奥秘！

（1）给下面加点的字选择正确的读音。

乘凉 ① cãnɡ ② chânɡ ③ chãnɡ

好奇 ① hào ② hǎo ③ háo 场院 ① chǎnɡ ② cánɡ ③ chánɡ

（2）根据文章内容把下面的句子补充完整。

①好天气时蜘蛛网_________________________________________。

②将要下雨前蜘蛛_________________________________________。

③爷爷看到_________________________就知道要下雨了。

（3）第三自然段在文中的作用是（）

A.画龙点睛，点明主题的作用。B.承上启下，起过渡作用。

C.解释说明，加深理解的作用。参考指数：【字词荟萃】

1.滑翔；双臂；淘气；随心所欲；羞愧；幸亏；迫害；绞尽脑汁。2.青青的（草地）（澄澈）的湖面

奇妙的（问题）（年轻）的女教师 3.多音字组词。

chãnɡ（澄清）zhuàn（转动）zhǎnɡ（涨水澄转涨

dânɡ（黄澄澄）zhuǎn（转身）zhànɡ（泡涨【句段集锦】

1.（1）只要„„就„„（2）由于 2.见课堂“句段赏析”。【课文链接】

1.怀胎九个月正是人类进化的缩影。2.略。【课外延伸】 1.阅读。（1）③①③

（2）①平平地挂在那里。））

②离开原来的网，从房檐向下面的篱笆上拉了一条条长丝，结了一个竖网。

③蜘蛛结竖网。（3）B

10、杨氏之子课课练

【字词荟萃】 1.把下列音节补充完整。

l____ n____ ____ì ____ân q____ 梁乃氏甚禽 2.比一比，再组词。

梁（）惠（）诣（）乃（）禽（）

粱（）慧（）指（）奶（）离（）3.解释下面句子中带点的字。

（1）孔君平诣其父，父不在，乃呼儿出。

诣：________ 乃：________（2）孔指以示儿曰。

示：________ 曰：________（3）未闻孔雀是夫子家禽。

未：________ 闻：________

【句段集锦】

仔细读下面的句子，回答问题。

孔指以示儿曰：“此是君家果。”儿应声答曰：“未闻孔雀是夫子家禽。”

（1）对话意思：_____________________________________________________（2）对话精妙极了，妙在何处？

___________________________________________________________________

【课文链接】

读了这篇课文，你觉得杨氏之子是个怎样的孩子？

_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ___________________________________________________________________。

【课外延伸】 1.阅读：

徐孺子年九岁，尝月下戏，人语之曰：“若令月中无物，当极明邪？”徐曰：“不然。譬如人眼中有瞳子，无此必不明。”

（1）读一读，你能用自己的话说说古文的意思吗？

_____________________________________________________________________ 参考指数：【字词荟萃】

1.iánɡ ǎi sh sh ín 2.梁（桥梁）惠（实惠）诣（造诣）乃（乃父）禽（家禽）

粱（高粱）慧（智慧）指（指甲）奶（奶奶）离（离开）

3.（1）诣：拜见乃：于是，就

（2）示：给„„看曰：说

（3）未：没有闻：听见【句段集锦】

（1）孔君平指着杨梅给杨家儿子看，说：“这是你家的果子。”杨家儿子答

道：“没有听说孔雀是您家的家禽。”

（2）都根据人物姓氏来借题发挥，杨家儿子反应极快。【课文链接】

略。【课外延伸】 1.阅读：

（1）徐家有个小孩，年方九岁，曾有一次在月亮地里玩耍，有人对他说： “若是让月亮中什么都没有，它是不是应该更加明亮呀?”这个姓徐的孩子说：“不对。比方说人眼中都有瞳仁，没有瞳仁就看不见光明了。”

（2）提示：说话、做事情要善于动脑。

11、晏子使楚课课练字词荟萃】

1.给加点的字选择正确的读音，用“ ”画出。

大夫（dà dài）侮辱（rú rǔ）为难（nán nàn）

敝国（bǐ bì）囚犯（qiú qíu）临淄（zī zhī）2.解释带点的词语。

（1）齐国人在齐国能安居乐业。

（2）楚国的大臣们听了，都得意扬扬地笑起来。

（3）敝国有个规矩：访问上等的国家，就派上等人去。【句段集锦】

1．啄木鸟医生治病句。

（1）楚王知道身材矮小晏子，就叫人在城门旁边开了一个五尺来高的洞。

（2）楚王说：“虽然有这么多人，为什么打发你来呢？” 2.根据下列句子的意思，填上与“叫”意思相近的词。

（1）我原来想取笑大夫，没想到反（）大夫取笑了。

（2）访问上等的国家，就（）上等人去。

（3）既然有这么多人，为什么（）你来呢？

（4）楚王只好（）大开城门，迎接晏子。【课文链接】

1.《晏子使楚》写的是去访问，楚王仗

着，想乘机晏子，显显楚国的威风。晏子凭着自己的和，对楚王的侮辱一一进行了反驳。从此以后，楚王晏子了。2.你觉得本课在写法上有哪些特点？【课外延伸】 1.阅读：

书法家王羲之

王羲之是我国晋代著名书法家。他的书法艺术已达到了极高的境界，被称为“书圣”。王羲之的书法是怎样造就的呢？

王羲之出身于晋代的名门贵族家庭里，自幼喜爱书法，对功名看得很淡薄。他曾经临摹过好些书法家的字帖，并对他们的书法特点进行仔细研究。他还专门学习过汉朝书法家张芝的草书，很有心得体会。

王羲之不但善于学习历代书法的长处，而且经过刻苦研究，还独创了自己的书法艺术风格。他苦心琢磨字体的间隔、结构、笔画和气势，一有空就在自己的衣服上写字。天长日久，把衣服都划破了。后来，他到永嘉去做官，总在池边苦心练字。每次练字后，就在池里洗砚刷笔，把一池水全染成了黑色，人们称之为“墨池”。就这样，他终于在书法艺术上取得了辉煌的成就。

（1）用“ ”画出文中的过渡句。从过渡句中，可以看出王羲之书法艺术获得成功的两点原因是：

。

（2）从王羲之成功的事例中，你想起了“ ”这句名言。

（3）下面哪种说法是正确的？

文中第一自然段与全文最后一句的关系是：（）

A.总起分述 B.先概括后具体 C.首尾照应 D.因果关系 2.写话：

走近历史名人，你最佩服的是哪一位？如果他穿越时空来到你面前，你最想和他说些什么呢？请写一写。参考指数：【字词荟萃】

1.dà rǔ nán bì qiú zī

2.（1）安定地生活，愉快地工作。（2）非常满意的样子。（3）谦词，我国。【句段集锦】

1.（1）改为：楚王知道晏子身材矮小，就叫人在城门旁边开了一个五尺来高的洞。

（2）楚王说：“既然有这么多人，为什么打发你来呢？” 2.（1）让（2）派（3）打发（4）吩咐【课文链接】

1.晏子；楚国；国势强盛；侮辱；机智；勇敢；不敢不尊重。2.见课堂“品读感悟”之“写作特点”。【课外延伸】 1.阅读：

（1）王羲之不但善于学习历代书法的长处，而且经过刻苦研究，还独创了自己的书法艺术风格。

善于学习勇于创新

（2）如“事上无难事，只怕有心人”等。

（3）C

14、再见了，亲人课课练

【字词荟萃】 1.读拼音写词语。

zhàn yì fēnɡ suǒ xiāo yān qínɡ yì（）（）（）（）

â hào ɡānɡ qiánɡ dà sǎo lán zi（）（）（）（）2.辨字组词。

硝（）谣（）挎（消（）摇（）垮（稍（）遥（）跨（3.多音字组词。

zhāo（）kōnɡ（）bēi（朝空背 cháo（）kînɡ（）bâi（【句段集锦】

1．火眼金睛，找别字。

（1）山路这样奇岖，您架着双拐，以经送了几十里。（（2）难到您担心我们会把您这位朝鲜阿妈妮亡怀？不，永远不会。（）2.把反问句改成陈述句。

（1）难道您担心我们会把您这位朝鲜阿妈妮忘怀？

（2）这比山还高比海还深的情谊我们怎么能忘怀？））））））

（3）您为我们付出了这样高的代价，难道还不足以表达您对中国人民的友谊？

【课文链接】

1.根据课文内容填空。

《再见了，亲人》一课，分别叙述了同朝鲜、、告别的情景，表达了志愿军战士和的情谊。

2.在你认为说法正确的括号里打“√”。

再见了，亲人！我们的心永远跟你们在一起。

（1）这是志愿军在即将离开朝鲜和朝鲜人民时志愿军说的话，表达了他们对朝

鲜人民难舍难分的感情。（）

（2）这是志愿军在即将离开朝鲜和朝鲜人民时朝鲜人民说的话，表达了他们那

种难以分舍的感情。（）

（3）这一句话既表达了志愿军对朝鲜人民的深情厚谊，同时也表达了朝鲜人民

对志愿军的深情厚谊。（）【课外延伸】 1.阅读：

手

妈妈的手是粗糙的手，皮肤上可以看到几根明显的青筋。你乍一看，一定会觉得这并没有什么稀奇，可这双手却使我羡慕。

这双手没歇过，不停地为全家人服务：买菜、煮饭、洗洗浆浆、缝缝补补、拖洗地板、整理房间，家里所有的活全它包了。妈妈的手不仅勤劳，还很灵巧。一块布，经它裁剪就成了式样新颖的裙子，一套旧衣服，经它拼凑就能改成我喜欢的新衣，一团团线团，经它编织，就成为漂亮的毛衣。秋天的一天，妈妈

正为我织一件新衣，我在一旁仔细地瞧，那双手一针过来一针过去，那样的欢快，每个动作都是那么娴熟、准确，我简直看呆了！

妈妈的手不仅勤劳、灵巧，还很力大，为我们全家撑起一片天空。她常常为我们打年糕、碾米、磨面，做许多好吃的家乡糕点。每当尝到妈妈做的糕点，我心里都甜滋滋的。

妈妈的手既平凡又不一般。我喜欢妈妈的那双手。（1）写出下列词语的近义词。

娴熟（）勤劳（）灵巧（）稀奇（）（2）用“ ”在文中划出一个过渡句。（3）当你看到妈妈粗糙的手，你会对妈妈说什么？

2.写话：

如果你是文中的小金花，看着疾驰的列车载着亲人志愿军即将离开这片土地，你想说些什么？

参考指数：

【字词荟萃】

1.战役封锁硝烟情谊噩耗刚强大嫂篮子 2.硝（硝烟）谣（童谣）挎（挎包）

消（消灭）摇（摇篮）垮（垮台）

稍（稍微）遥（遥远）跨（跨步）3.zhāo（朝阳）kōnɡ（空军）bēi（背带）

朝空背 cháo（宋朝）kînɡ（空闲）bâi（背书）

【句段集锦】

1.（1）奇→崎以→已

（2）到→道亡→忘

2.（1）您不用担心，我们不会把您这位朝鲜阿妈妮忘怀。

（2）这比山还高比海还深的情谊，我们不能忘怀。

（3）您为我们付出了这样高的代价，足以表达您对中国人民的友谊。【课文链接】

1.志愿军战士；大娘；大嫂；小金花；朝鲜人民比山高比海深 2.（3）√ 【课外延伸】 1.阅读：

（1）熟练勤奋灵活稀罕

（2）妈妈的手不仅勤劳、灵巧，还很力大，为我们全家撑起一片天空。（3）略。

16、桥课课练

【字词荟萃】 1.读拼音写词语。

páo xiào fēnɡ kuánɡ fànɡ sì xiōnɡ tánɡ（）（）（）（）jì diàn chān fú shēn yín mù dânɡ kǒu dāi（）（）（）（）2.按课文内容补充词语。

（）的野马（）地喊（）的脸（）的人们沙哑地（）痛苦地（）【句段集锦】

1．把下面的句子改成陈述句。你还算是个党员吗？

2.比较下面的句子，哪句写得好，并说明理由。

（1）黎明的时候，雨突然大了。像泼。像倒。（2）黎明的时候，雨突然大了。

【课文链接】按要求写句子。

1.课文中有多处关于大雨和洪水的描写，请选择两处写下来。

2.在课文中找出两句比喻句写下来。

3.在课文中找出两句拟人句写下来。

【课外延伸】 1.阅读：

人桥

一个初冬的夜晚，解放军某部奉命追击一股逃窜的敌人，他们经过50多公里的急行军，快要追上敌人了，却被一条河挡住了去路。这条河只有10米多宽，水流很急。河里没有桥，我军过不去，连长命令三班架桥，二班负责掩护。

三班战士接到命令，立即行动。他们找不到架桥的器材，就利用仅有的两架木梯架桥，班长和战士们跳下寒冷的急流，把木梯扛在肩膀上，人身当桥腿，木梯当桥面。一班班长看到“桥”还不稳，就说：“还缺桥腿，咱们一班来当！”战士们纷纷跳进急流。两个班的战士合在一起，有的用胳膊抬，有的用肩膀扛，一座平稳的“人桥”架成了。架桥的战士们向岸上的战士喊：“放心过吧！同志们，过吧！”

机枪连迅速踏上这座“人桥”。有的同志滑倒了，架桥的同志就用头把他顶住；有的战士踩着架桥同志的肩膀了，架桥的同志就咬紧牙顶着；有的同志滑到河里了，架桥的同志就赶紧把他扶上去。同志们浸在11月的寒流里，冻得

牙齿咯咯地响，桥面渐渐低下去了。一班班长大声喊：“同志们，咬紧牙，挺起胸，保证完成任务！”有的战士唱起来：“野战军什么也不怕，艰苦和困难吓不倒咱„„”大家也跟着唱起来。

进攻的部队踏着这座“人桥”，冲上对岸，消灭了敌人。（1）解释下列词语的意思。

奉命：

迅速：（2）从文章画横线的句子中摘出表示人物动作的词语。

（3）用“ ”画出文中的排比句。

（4）战士们为什么要“人身当桥腿，木梯当桥面”？

参考指数：【字词荟萃】

1.咆哮疯狂放肆胸膛祭奠搀扶呻吟目瞪口呆 2.（受惊）的野马（惊慌）地喊（清瘦）的脸

（乱哄哄）的人们沙哑地（喊话）痛苦地（呻吟）【句段集锦】 1.你不算是个党员。

2.第（1）句好，用“像泼”“像倒”来比喻雨大，能使人形象地感知到雨实在

是很大。【课文链接】略。【课外延伸】 1.阅读：

（1）奉命：接受使命，遵守命令。

迅速：很快。（2）跳扛

（3）有的同志滑倒了，架桥的同志就用头把他顶住；有的战士踩着架桥同志的肩膀了，架桥的同志就咬紧牙顶着；有的同志滑到河里了，架桥的同志就赶紧把他扶上去。

（4）因为要想消灭敌人，就必须渡过这条河，而河里没有桥，又找不到架桥的器材。

18、将相和课课练

【字词荟萃】

1、读拼音，写词语。

hào zhào

nuî yán

dǎn qiâ

wán bì ɡuī zhào

（）

()

（）

lì

jí

zhū wâi

fù jīnɡ qǐnɡ zuì

lǐ zhí qì zhuànɡ

（）（）（）()

2、形近字组词。

璧（）

臣（）

袍（）

荆（）

壁（）

巨（）

胞（）

刑（）

3、写出下列词语的反义词。

反义词：称赞——

拒绝——

热情——

【句段集锦】

填空。

腼腆

谦虚

1、她太（）了，一见陌生人就脸红。

2、他学习成绩名列前茅，还经常向别的同学请教，真是一位（）好学的学生。

爱戴

爱护

3、列宁十分（）书。

4、周总理是一位深受人民（）的好总理。【课文链接】

先读课文，再填空。

课文由、、三个小故事组成，每个小故事都有矛盾的发生、发展和结果，有相对的独立性，又紧密联系，其中

是

的发展，、的结果又是

的起因，合起来构成“将相和”这一完整曲折的故事。

【课外延伸】

阅读：

歧路亡羊

战国时期，有位著名的思想家，名叫杨朱。有一天，杨朱的邻居跑丢了一只羊，于是全家出动寻找，又来请杨朱的僮仆帮助追寻。杨朱问道：“仅仅是丢了一只羊，为什么需要这么多人去找？”

邻居说：“村外的岔路太多了，所以人去少了不行。”于是杨朱就让僮仆和邻居一起去找羊。

过了半天，找羊的人陆续都回来了。杨朱问邻居：“羊找到了吗？”

邻居垂头丧气地说：“跑丢了，没有找到。”

杨朱又问：“怎么会找不着呢？”

邻居回答：“岔道太多了，岔路之中又有岔路，谁知道跑到哪条路上去了呢？所以找不着了。”

“哦，是这样„„”杨朱深思好久，整天没有笑容。他的学生见他这样，感到很奇怪，不解地问：“丢了一只羊，并不是一件大事，况且羊又不是老师您的，您为什么这样闷闷不乐呢？”

杨朱回答说：“我并不是为一只羊而闷闷不乐，而是由这件事联想到我们学习和研究学问的事。如果我们在学习方面，东抓一把，西抓一把，不能专心一致，也会像在岔路上找羊一样，结果一无所获。”

（1）“歧路”指

。“亡羊”的意思是。

（2）杨朱闷闷不乐的原因是：

（3）写话：

读了这篇课文，你受到了什么启发？请把你的感想写下来。|

参考指数：

【字词荟萃】

1、号召诺言胆怯完璧归赵

立即诸位负荆请罪理直气壮

2、形近字组词。

璧（和氏璧）

臣（大臣）

袍（战袍）

荆（荆条）

壁（墙壁）

巨（巨大）

胞（同胞）

刑（刑法）

3、写出下列词语的反义词。

反义词：称赞——批评

拒绝——接受

热情——冷淡

【句段集锦】

1、腼腆

2、谦虚

3、爱护

4、爱戴

【课文链接】

完璧归赵

渑池之会

负荆请罪

渑池之会

完璧归赵

渑池之会

负荆请罪

【课外延伸】

阅读

（1）岔路羊丢了

（2）提示：由找羊联想到学习和研究学问的事。

（3）写话

19、草船借箭课课练

【字词荟萃】

1、读拼音，写词语。

dù jì wěi tuō qīnɡ yì tuī quâ()()()()sī zì lãi ɡǔ chãnɡ xiànɡ shãn jī miào suàn()()()()

2、给多音字注音并组词。

（）（）（）

干都相

（）（）（）

3、形近字组词。

幔（）援（）寨（）延（）

漫（）缓（）赛（）廷（）【句段集锦】按要求写句子。

1、十万支箭，三天怎么造得成呢？

改成陈述句：

2、诸葛亮对鲁肃说：“三天之内要造十万支箭，得请你帮帮我的忙。”

改成转述句：

【课文链接】

阅读，完成练习。

这时候大雾漫天，江上连面对面都看不清。天还没亮，船已经靠近曹军的水寨。诸葛亮下令把船头朝西，船尾朝东，一字摆开，又叫船上的军士一边擂鼓，一边大声呐喊。鲁肃吃惊地说：“如果曹兵出来，怎么办？”诸葛亮笑着说：“雾这样大，曹操一定不敢派兵出来。我们只管饮酒取乐，天亮了就回去。”

1、诸葛亮为什么要将“船头朝西，船尾朝东，一字摆开”呢？

2、诸葛亮为什么叫军士擂鼓、呐喊？

3、这段话说明诸葛亮是个怎样的人？

【课外延伸】

阅读：

马谡失街亭

魏国朝廷文武百官听到蜀汉大举进攻，都惊慌失措。刚刚即位的魏明帝曹叡（ruì）比较镇静，立即派张郃带领五万人马赶到祁山去抵抗，还亲自到长安去督战。

诸葛亮到了祁山，决定派出一支人马去占领街亭（今甘肃庄浪东南），作为据点。让谁来带领这支人马呢？当时他身边还有几个身经百战的老将。可是他都没有用，单单看中了参军马谡。马谡也极力自荐镇守街亭，并立下军令状：“若失街亭，愿斩全家！”

马谡这个人的确是读了不少兵书，平时很喜欢谈论军事。诸葛亮找他商量起打仗的事来，他就谈个没完。这一回，他派马谡当先锋，王平做副将。

马谡和王平带领人马到了街亭，张郃的魏军也正从东面开过来。马谡看了地形，对王平说：“这一带地形险要，街亭旁边有一座山，正好在山上扎营，布置埋伏。”王平提醒他说：“丞相临走的时候嘱咐过，要坚守城池，扎营垒。在山上扎营太冒险。”马谡没有打仗的经验，自以为熟读兵书，根本不听王平的劝告，坚持要在山上扎营。王平一再劝马谡也没有用，只好央求马谡拨给他一千人马，让他在山下临近的地方驻扎。

张郃率领魏军赶到街亭，看到马谡放弃现成的城池不守，却把人马驻扎在山上，暗暗高兴，马上吩咐手下将士，在山下筑好营垒，把马谡扎营的那座山围困起来。

马谡几次命令兵士冲下山去，但是由于张郃坚守住营垒，蜀军没法攻破，反而被魏军乱箭射死了不少人。

魏军切断了山上的水源。蜀军在山上断了水，连饭也做不成，时间一长，自己先乱了起来。张郃看准时机，发起总攻。蜀军兵士纷纷逃散，马谡要禁也禁不了，最后，只好自己杀出重围，往西逃跑。

王平带领一千人马，稳守营盘。他得知马谡失败，就叫兵士拼命打鼓，装出进攻的样子。张郃怀疑蜀军有埋伏，不敢逼近他们。王平整理好队伍，不慌不忙地向后撤退，不但一千人马一个也没损失，还收容了不少马谡手下的散兵。

街亭失守。蜀军失去了重要的据点，又丧失了不少人马。诸葛亮为了避免遭受更大损失，决定把人马全部撤退到汉中。

诸葛亮回到汉中，经过详细查问，知道街亭失守完全是由于马谡违反了他的作战部署。马谡也承认了他的过错。诸葛亮按照军法，把马谡定了死罪，而赦免了他的家人。

1、给加点的字注音。

老将（）避免（）

2、文中画线的句子所说的意思可以用哪一个成语来表示？（）

3、从文中找出一对近义词和一对反义词写下来。

（）——（）（）——（）

4、写话：

马谡失街亭，到底是谁的错？请发表你的见解写下来。

参考指数：【字词荟萃】

1、妒忌委托轻易推却

私自擂鼓丞相神机妙算

2、ɡān（干净）dōu（都是）xiānɡ（相信）

干都相

ɡàn（干活）dū（首都）xiànɡ（丞相）

3、幔（窗幔）援（支援）寨（村寨）延（延长）

漫（漫长）缓（缓慢）赛（比赛）廷（朝廷）【句段集锦】

1、十万支箭，三天造不成。

2、诸葛亮对鲁肃说，三天之内要造十万支箭，得请鲁肃帮帮他的忙。

【课文链接】

1、为了让船更大面积、更多地接受曹兵射来的箭。

2、为了引起曹军的注意，故意让曹操知道有人来犯，曹操便会以射箭的方式阻止敌人来攻。同时，擂鼓呐喊还有虚张声势的作用，让曹操摸不清虚实，不敢贸然出击。曹操为了防止敌方，便会大量地射箭，正好达到了诸葛亮来“借箭”的目的。

3、提示：他是一个善于分析人物的特点，对人物性格把握准确，神机妙算的人。

【课外延伸】阅读

1、jiànɡ bì

2、纸上谈兵

3、叮嘱——嘱咐惊慌失措——不慌不忙

4、写话

22、人物一组课课练

【字词荟萃】 1.看拼音，写词语。

chuān suō pî zhàn shǒu pà()()()shōu liǎn fēnɡ sāo zǔ zōnɡ()()()2.比一比，再组词。

搂（）倒（）皆（）怜（擞（）侄（）替（）伶（3.填字成词。

手（）眼快精神（）（）仰（）朝天三（）两（）

【句段集锦】

给下列加点的词语换一种说法，意思不变。

（1）小胖墩儿跳起来，立刻退后两步。

（2）天下真有这样标致的人物，我今儿才算见了。

（（））））

【课文链接】

按课文内容填空，并回答下面的问题。

（1）“是吗？”小胖墩儿（）起来，立刻（）两步，一闪身（）了单褂儿，（）着腰说，“来吧，是一叉一搂的，还是随便摔？”

在括号里填写的都是描写的词。从这段描写中，我们体会到了小胖墩儿。

（2）晚间挤了一屋的人，桌上点着一盏灯。严监生喉咙里痰响得一进一出，一声不倒一声的，总不得断气，还把手从被单里拿出来，伸着两个指头。

这里有两句话，第一句话是描写，第二句话是写

。从第二句话中我们体会到了。【课外延伸】 1.阅读: 涩涩的香布袋

一个普通小女孩的形象常常浮现在我的脑海里，虽然事隔多年，但抹也抹不去。

那是“十一”长假的第三天，我们旅游的景点是林州市石板岩村的王相岩。在下山的路上，导游阿姨告诉我们：“这儿的孩子正在放秋假，他们所谓的秋假其实就是回家帮助家长干活。”同时，她也向我们介绍了这里的三大特产——花椒、山楂、核桃。因此，我们特别留心石梯两旁的杂货。

突然，我的眼前一亮，一个卖香布袋的小女孩吸引了我。她穿着一件大红色外套，脑后随意地扎着一个辫儿，一双圆溜溜的大眼睛一眨不眨地盯着过往的行人。她见我们走了过去，就对我们说：“买一个香布袋吧，能驱邪气，保平安。”妈妈摸了摸香布袋，问她：“这是你妈妈缝好，让你来卖的？”“妈妈没让我做，这是我自己做的。”“那你这香布袋里面装的是什么？”她说：“是我上山采来的治腰酸背痛的中药。”“你看这孩子的手多巧啊！”妈妈一边点头一边称赞到。我问她：“你也在放秋假吧！”她摇摇头说：“我没有上学。”“没上学？”我追问道：“你今年多大了？”“9岁了。”我急着问：“那你怎么还没上学？”她怯怯地说：“我家里没钱。”原来，她是一个因家里穷而上不起学的失学儿童，与她同龄的孩子已经是小学三年级学生了。看着她亲手缝制的五颜

六色的香布袋，我和妈妈挑选了一个。她卖5角钱一个，妈妈掏了5元钱递给她，她说：“太多了，我找不开。”妈妈一边拉我离开，一边说：“不用找了，不用找了。”我回头向她招手说：“再见！”同时心里默默地祝福她，祝她早日跨入学校大门。

回到家，我仔细地端详着香布袋，才发现上面绣的“桃花洞纪念”5个字中，有两个字的笔画都少了一笔。我想：一定是哪个上过学的小伙伴帮她写的字，她在绣字时，因不识字而漏绣了。看着这香布袋，我的心情有些沉重，也有些苦涩。我把它挂在书桌前，让它来激励我努力学习，将来为国家创造更多的财富，建造更多的希望小学，让全国像她一样的孩子都能坐在宽敞的教室里读书。

（1）写出下列词语的反义词。

沉重——（）宽敞——（）

（2）为什么“看着这香布袋，我的心情有些沉重，也有些苦涩”？ _____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________（3）假如让你对小女孩说几句话，你想说些什么？

_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

参考指数：【字词荟萃】

1.穿梭、破绽、手帕、收敛、风骚、祖宗

2.搂（搂抱）倒（倒水）皆（皆大欢喜）怜（可怜）

擞（抖擞）侄（侄子）替（替代）伶（伶俐）3.手（疾）眼快精神（抖）（擞）

仰（面）朝天三（抓）两（挠）

【句段集锦】（1）立马（2）漂亮【课文链接】

（1）跳；退后；脱；叉；动作；虽胖但动作灵活、有经验（2）屋里的环境、严监生咽气前的表现、严监生非常吝啬【课外延伸】 1.阅读：（1）轻快、狭窄

（2）因为一个9岁的孩子不能像同龄孩子一样上学读书，“我”的心里很难过、很无奈。

（3）略

2.小练笔：（略）

25、自己的花是让别人看的每课一练

【字词荟萃】 1.看拼音，写词语。

tiān xìnɡ yǔ zhîu zhēn qiâ()()()chī jīnɡ dà ɡài jǐ liánɡ()()()2.比一比，再组词。

莞（）姹（）锦（）完（）诧（）绵（）3.给多音字组词。

qí()zhânɡ()奇正

jī()zhēnɡ()

【句段集锦】

给下列加点的词语换一种说法，意思不变。

（1）爱美大概也算是人的天性吧。（）

（2）多么奇丽的景色！（）

（3）我仿佛又回到了四五十年前，我做了一个花的梦，做了一个思乡的梦。（）

【课文链接】

读课文，并回答下面的问题。

正是这样，也确实不错。走过任何一条街，抬头向上看，家家户户的窗子前都是花团锦簇、姹紫嫣红。许多窗子连接在一起，汇成了一个花的海洋，让我们看的人如入山阴道上，应接不暇。每一家都是这样，在屋子里的时候，自己的花是让别人看的；走在街上的时候，自己又看别人的花。人人为我，我为人人。我觉得这一种境界是颇耐人寻味的。

（1）联系上下文，解释下列词语的意思。

花团锦簇：

姹紫嫣红：

（2）写出几个带有“花”字的成语。

例：花团锦簇

（3）“这一种境界”是指。“颇”的意思是。

（4）联系生活实际说说为什么 “人人为我，我为人人”这种境界是“耐人寻味”的？生活中你有没有感受过类似的境界？

你的理解是：

【课外延伸】 1.阅读:

荷兰的郁金香

在茫茫花海中，荷兰人最迷郁金香。

走遍荷兰，你会发现郁金香到处开放。那花有光滑碧绿的长叶，叶间伸出一梗壮实的花茎，向上托了朵柔美的花，活脱脱像只典雅的高脚酒杯。郁金香花色缤纷，而且每种颜色有个美妙动听的名字，像烈焰般炽热鲜红的叫“斯巴达克”；像黑夜般神秘幽深的叫“夜皇后”；白花，镶有浅红花边的，被誉为“中国女性”，真是亭亭玉立，秀姿天成。荷兰人的想象多妙！

荷兰人迷郁金香快痴了。有个老板竟然用他的酿酒厂换一棵罕见的郁金香。在荷兰首都阿姆斯特丹有幢非常美丽别致的小石屋，就像一座童话里的皇宫，门前墙上的一块石头上刻着：“此屋出售，价值三枝郁金香。”所以荷兰人把郁金香定为自己的国花。

其实，郁金香原生长在我国的青藏高原，现在那儿还有野生的郁金香。很久以前，这花被荷兰人发现，小心翼翼地捧回家，他们那双能变沧海为桑田的神奇的手，轻轻抚弄暗淡柔弱的小花朵，一年、两年„„好多年过去了，人们再也辨认不出郁金香那可怜的模样了，她出落得惊人的庄重、典雅，就像有个作家说的：艳丽得让人睁不开眼，完美得让人透不过气来。

（1）短文是围绕哪一句话来写的？用“ ”在文中画出来。（2）文章从哪几个方面写荷兰人最迷郁金香。

_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________（3）白花，镶有浅红花边的，被誉为“中国女生”，真是亭亭玉立，秀姿天成。

这个句子运用了的修辞手法。请你也用这种方法来进行描写（写某一种花草）。

_____________________________________________________________________ 参考指数：

【字词荟萃】

1.天性、宇宙、真切、吃惊、大概、脊梁

2.莞（莞尔一笑）姹（姹紫嫣红）锦（锦缎）

完（完成）诧（诧异）绵（绵延）3.qí(奇怪)zhânɡ(正好)奇正

jī(奇数)zhēnɡ(正月)【句段集锦】（1）也许（2）美丽（3）如同【课文链接】

（1）花团锦簇：形容五彩缤纷、十分华丽的景象。

姹紫嫣红：形容各种花朵娇艳美丽。（2）花容月貌、花言巧语、花枝招展、百花争艳（3）人人为我，我为人人；很、非常

（4）参考“句段赏析”。（“人人为我，我为人人”的实例很多，要联系自己的生活实际来回答）

【课外延伸】 1.阅读：

（1）在茫茫花海中，荷兰人最迷郁金香。

（2）短文从三个方面写荷兰人最迷郁金香：①到处种着各种郁金香；②舍得出高价购买郁金香；③从原产地——中国带回国后，细心栽培郁金香。

（3）拟人、（略）【字词荟萃】威尼斯的小艇每课一练

1.看拼音，写词语。

xiǎo tǐnɡ tínɡ bï chuán shāo()()()

chuānɡ lián bǎo mǔ qiáo liánɡ()()()2.比一比，再组词。

祷（）艇（）纵（）穷（）衬（）挺（）丛（）帘（）3.给多音字组词。

jiā()sǎn()夹散

jiá()sàn()

【句段集锦】

把下面的句子补充为比喻句。

（1）小艇的船头和船艄向上翘起，像。

（2）威尼斯的小艇行动轻快灵活，仿佛。

【课文链接】

读课文，并回答下面的问题。

威尼斯的小艇有二三十英尺长，又窄又深，有点儿像独木舟。船头和船艄向上翘起，像挂在天边的新月，行动轻快灵活，仿佛田沟里的水蛇。

课文片段中的三个比喻分别写出了小艇的什么特点？

_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

【课外延伸】 1.阅读:

我爱鄱阳湖

我的家乡在鄱阳湖边，我太爱鄱阳湖了。

鄱阳湖大得很，是我国最大的淡水湖。如果说万里长江是系在祖**亲腰间的金飘带，那鄱阳湖就是镶在金飘带上的一颗最大的绿宝石。登上那高高的山顶，一眼望去，湖水无边无垠，好像和万里蓝天连接在一起。

鄱阳湖更让人陶醉的是它的美丽多姿。风平浪静时，它像一面大镜子。要是一阵微风吹过，湖面上碧波荡漾，金光闪闪，叫人流连忘返。如果刮起大风，几百米水面白浪滔天，波涛澎湃，风声水声响成一片，令人惊心动魄。

鄱阳湖最叫人赞美的是它丰富的水产。这里水产名目繁多。有味道鲜美的青鱼、鲤鱼，有披盔戴甲的龙虾、螃蟹，还有闻名全国的红眼银鱼。

啊！鄱阳湖令人向往，令人赞美。我爱鄱阳湖，爱它的美丽多姿，爱它的物产丰富。我为我们的鄱阳湖感到无比的自豪。

（1）联系上下文，解释下列词语的意思。

流连忘返：

惊心动魄：（2）文中多处运用了比喻的修辞手法，仔细读一读，再填空。

①把万里长江比作。

②把鄱阳湖比喻为。

③用来比喻风平浪静时的鄱阳湖。（3）读了这篇短文，你认为鄱阳湖有哪些特点。

_____________________________________________________________________ 2.小练笔：

请你用一段话写写家乡的某处景物或某个物体，要求写出特点来。_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________

_____________________________________________________________________

参考答案：【字词荟萃】

1.小艇、停泊、船艄、窗帘、保姆、桥梁

2.祷（祈祷）

艇（小艇）

纵（纵队）

穷（穷苦）

衬（衬托）

挺（挺直）

丛（草丛）

帘（窗帘）3.jiā(夹杂)sǎn(散文)夹散

jiá(夹袄)sàn(散步)【句段集锦】（1）挂在天边的新月（2）田沟里的水蛇【课文链接】

把小艇比作独木舟，写出了小艇长、窄、深的特点；把小艇比作新月，写出了小艇两头翘起的特点；把小艇比作水蛇，写出了小艇行动轻快灵活的特点。

【课外延伸】 1.阅读：

（1）流连忘返：指沉迷于游乐而忘归。后常形容对美好景致或事物的留恋。

惊心动魄：形容使人感受极深，震动极大。后常形容使人十分惊骇紧张到极点。

（2）金飘带、绿宝石、镜子

（3）鄱阳湖美丽多姿、面积大、物产丰富。

篇2：多重共线性习题含答案

GMDH与PLS解决多重共线性问题的比较研究

本文通过理论分析、数据试验以及实证研究三种途径,对GMDH与PLS两种算法解决多重共线性问题的特点进行了比较分析,发现了使用GMDH对于解决多重共线性数据建模问题的贡献,为解决多重共线性问题提供了新的途径.

作者：贺昌政吕欣作者单位：贺昌政(四川大学,工商管理学院,成都,610064)

吕欣(国防科技大学,信息系统与管理学院,长沙,410073)

刊名：统计与决策 PKU CSSCI英文刊名：STATISTICS AND DECISION 年，卷(期)： “”(16) 分类号：O212.6 关键词：多重共线性 GMDH 偏最小二乘法

篇3：多重共线性下的线性回归方法综述

一、多重共线性的本质和后果

如果有个自变量满足下面的条件:Xi (i=1, 2, …k)

则它们存在共线性关系。其中!1!2, …!k为常数, 但不同时为零;!为噪声数据, 且|&|’[0, ∝]。当&=0时, 就是完全共线性;&→0时, 共线性越严重;&→∝时, 变量之间完全不相关。&的取值范围如此之大, 可知共线性是普遍存在的[13]。

如果出现完全共线性, (回归分析中的参数 (将无法确定。而对于高度共线性, 参数尽管可以估计, 但可能招致以下后果[11]:不改变参数估计的无偏性;使参数的最小二乘估计的方差很大, 从而使得对模型难以取舍;各个回归系数的值很难精确估计, 甚至可能出现符号错误的现象;回归系数对样本数据的微小变化可能变得非常敏感。

二、处理多重共线性问题的方法

目前国内文献中处理严重共线性的方法常用的有以下几种:岭回归 (RR) 、主成分回归 (PCR) 、逐步回归、偏最小二乘法 (PLS) 、数据分组处理算法 (GMDH) 等。

(一) 岭回归

岭回归由Arthur E.Hoerl和Robert W.Kennard (1970) [1]提出, 其基本思想为[4]:

设线性回归模型为:Y=X (+&

参数的最小二乘估计为: ($= (X1X) -1X1Y

(二) 主成分回归

William F.Massy (1965) [12]提出的主成分回归是根据多元统计分析中的主成分分析原理, 来处理多重共线性模型的一种参数估计方法。其基本思想[16]:利用主成分分析将解释变量转换成若干个主成分, 这些主成分从不同的侧面反映了解释变量的综合影响, 并且互不相关, 因此, 可以将被解释变量关于这些主成分进行回归, 再根据主成分与解释变量之间的对应关系, 求得原回归模型的估计方程。

(三) 逐步回归分析

逐步回归分析方法是综合了逐步剔除法和逐步引入法的特点产生的方法。其基本原理[4]为:从一个自变量出发, 视自变量对因变量的影响显著性大小, 从大到小引入回归方程, 同时, 在逐个自变量选人回归方程中, 如果发现先前被引入的自变量在其后由于某些自变量的引入而失去其重要性, 可以从回归方程中随时予以剔除。引入一个变量或剔除一个变量, 为逐步回归的一步, 每步都要进行显著性检验, 以便保证每次引入变量前回归方程中只包括显著性变量, 这个过程反复进行, 直到既无不显著变量从方程中剔除, 又无显著变量需要引入回归方程为止。

(四) 偏最小二乘回归

伍德 (S.Wold) 和阿巴诺 (C.Albano) 等人于1983年首次提出偏最小二乘回归。密西根大学 (Michigan University) 的弗耐尔 (Fornell) 教授称偏最小二乘回归为第二代回归分析方法[6]。偏最小二乘回归的方法是基于因子的提取, 使新的因子变量相互独立, 满足G-M条件, 先建立因变量对因子的回归, 再还原成与自变量的回归模型。它是建立在主成分分析和主成分回归基础上的一种多元数据分析方法, 是一种将降维空间的每个元素组成的预测矩阵与被预测矩阵间的协方差最大化的降维技术。

(五) 数据分组处理算法

数据分组处理算法是由乌克兰科学院A.G.Ivakhnenko院士在1967年提出的。GMDH是建立在人类生存历史中最古老的、最富有成效的试探法则-选择学说基础之上的, 它将黑箱思想、生物神经元方法、归纳法和Godel的数理逻辑方法有机地结合起来[16]。它采用多层迭代, 借助自组织原理, 利用数据和计算机相对客观地选择变量之间的关系, 通过启发式学习实现输入输出间的非线性映射, 用外准则选取最优模型, 实现对所研究系统内部结构的模拟[21]。

(六) 其他一些新的方法

1、聚类回归分析

蒋平等 (2005) 提出了聚类回归分析的方法[9], 其基本思想为通过聚类分析, 按照相似程度大小将变量组分成若干类, 从每一类中找出一个变量作为该类的代表变量组成自变量集则最后所选出的自变量的个数与分类数相同, 而且其相似程度也是最低的, 从而在一定程度上消除共线性。但是该方法首先要在动态聚类中给定一个参数k, 因而也就主观的确定了模型中的解释变量的个数。

2、不相关法

王玉梅 (2006) [19]提出了不相关法, 其基本思想:当各个解释变量 (如Xi与Xj, i≠j) 之间存在着多重共线性时, 其最直接的表现就是各个解释变量之间的决定系数 (r2i, j) 很大。r2i, j很大, 则意味着Xi的变化能够说明Xj的变化。如果我们能够在保留Xi全部信息的同时, 以Xi为基础, 对其他的解释变量进行一定的线形变换, 使之转换为一个新变量, 如将Xj转换为Xjj, 并且使得Xi与新变量Xjj之间的决定系数 (r2i, jj) 降低到最小程度———如 (1-r2i, j) , 则就可以消除多重共线性。

三、各种回归方法的比较

1、主成分回归、岭回归、逐步回归和GMDH的比较[14]

岭回归参数k的选取原则和方法存在主观性;没有明确的含义;它的参数估计量始终是有偏估计;由于岭回归要保留所有变量, 因此对变量的选择要特别谨慎, 但灵活运用岭回归方法, 可以对分析各变量之间的作用和关系带来独特而有效的帮助[22]。

主成分回归具有降维的作用, 在一定程度上消除了共线性的危害, 其偏差由保留主成分的个数决[3]。但王惠文 (1996) [18]、陈伟 (2002) [2]对主成分回归消除共线性的能力并不乐观, 文献[17]也指出完全共线性的情形不适用主成分回归;而且它比岭回归的值选择随意性更大。在SPSS中无法用菜单直接实现主成分分析, 文献[5]给出了基于SPSS的主成分回归的直接实现。

从处理有害共线性的角度看, 逐步回归优于岭回归和主成分回归。GMDH利用了有害共线性的几个病态特征来剔除它们, 使其在处理有害共线性问题上比其它方法有明显的优势。GMDH不需要对有害共线性是否存在进行检测, 而岭回归和主成分回归的前提条件是存在严重共线性, 否则就不宜使用。GMDH选择最优变量子集显得更严格、合理, 逐步回归面临着F检验的显著性水平!的选择困难, 它通常得不到最优变量子集。

2、GMDH和PLS的比较[6]

偏最小二乘回归模型只要选取的因子足够多, 完全可以包容自变量系统的全部信息, 因子的选择比较容易[8];在回归速率上, 偏最小二乘法比一般的多元回归方法更快一些, 对样本的要求更加宽松[20]。面对多重共线性, 偏最小二乘法的优势在于对自变量系统的综合提取利用及对因变量全面合理的解释能力上, 而GMDH的优势在于用精简的自变量完成对数据拟合和预测的高精度要求, 两者正好结合起来, 相辅相成。

3、主成分回归和PLS的比较[8]

主成分回归和PLS的主要区别在于主成分回归成分或因子的提取来自于相关系数阵"1", 它追求的是自身方差的最大化, 第一主成分反映的是自变量系统变异的最大方向, 但它没有考虑因变量的信息。而PLS因子的提取着力于因子和协方差的最大化, 因子不仅携带了较多的自变量系统的信息, 而且最大限度地反映了对因变量的解释能力, 一般在回归效果相同的情况下, 偏最小二乘回归用的因子数比主成分回归要少。

四、总结

1、对于多重共线性问题, 还有一些其他的解决办法, 如差分法[10]、利用先验信息改变参数的约束形式、变换模型的形式、综合使用时间序列数据与截面数据以及增加样本容量[16]等。

2、对于用聚类回归分析和不相关法来解决多重共线性问题, 这方面的文献不多, 并没有在实际经济问题中的应用.3、可以利用神经网络来解决多重共线性问题[7、24], 利用传统的统计方法和数据挖掘算法的结合, 来解决多重共线性问题, 这是一个新的思路和发展方向。

———————————

摘要：本文对多重共线性的处理方法进行了综述, 希望能使读者系统地了解这些方法。

篇4：线性代数附录答案习题1和习题2

1.计算下列排列的逆序数

1）9级排列 134782695；

2）n级排列

n(n1)2。1

解：（1）(134782695)04004200010 ；

（2）[n(n1)21](n1)(n2)102.选择i和k，使得：

1）1274i56k9成奇排列；

2）1i25k4897为偶排列。

解：（1）令i3,k8，则排列的逆序数为：(127435689)5，排列为奇排列。从而i3,k8。

（2）令i3,k6，则排列的逆序数为：(132564897)5，排列为奇排列。与题意不符，从而i6,k3。3.由定义计算行列式

n(n1)。2a11a21 a31a41a51 aaaaa1222324252000aa000a53a43000。a5a4444555解：行列式＝j1j2j3j4j5(1)(j1j2j3j4j5)a1j1a2j2a3j3a4j4a5j5，因为j1,j2,j3至少有一个大于3，所以a1j1a2j2a3j3中至少有一数为0，从而a1j1a2j2a3j3a4j4a5j50（任意j1,j2,j3,j4,j5），于是j1j2j3j4j5(1)(j1j2j3j4j5)a1j1a2j2a3j3a4j4a5j50。

4.计算行列式： 40211）131； 2）

12241141111； 3）

1111011***； 07a213279b24）；5）21284c1512525d2146416(a1)2(b1)2(c1)2(d1)2(a2)2(b2)2(c2)2(d2)2(a3)2(b3)2。2(c3)(d3)2解：（1）－40 ；（2）－16 ；（3）0 ；（4）－1008 ；（5）0。

5.计算n阶行列式：

xy0001230xy0011000x00022 1）； 2）000xy000y000x000n1n0000；

2n0n11n1a1111a2 3）11xy1222122221（ai0）； 4）2232。1an222n00y0000x00xy00解：（1）原式=x(1)n1y0x00（按第一列展00xy000x00xy开）

=xn(1)n1yn。n(n1)232010002（2）行列式=000000n1n0000（后n1列和加到第一列，2n001n再按第一列展开）

n(n1)(1)(2)(1n)

=2(n1)!

=(1)n1。

2111101a11111a21（第一行第一列为添加的部分，注意（3）行列式=00111an此时为n1级行列式）

11101c11c2100a11c1c3a

2r2r1r3r11a111011a1an0001a100101000a2rn1r11c1cn1ana20

0anan

=(111)a1a2an。a1an1222000r2r11r3r10（4）行列式101rnr1100n222210210=1(1)（按第二行展开）00n22(n2)!。提高题

1.已知n级排列j1j2jn1jn的逆序数为k，求排列jnjn1j2j1的逆序数。解：设原排列j1j2jn1jn中1前面比1大的数的个数为k1，则1后面比1大的数的个数为(n1)k1，于是新排列jnjn1j2j1中1前比1大的个数为(n1)k1个；依此类推，原排列j1j2jn1jn中数i前面比i大的数的个数为ki，则新排列jnjn1j2j1中n)1i前比in大的个数为

(ni)ki个记(j1j2njkj1k2k1，k故新排列的逆序数为

n(n1)k。2[(n1)k1][(n2)k2][(n(n1)kn1]12(n1)k2.由行列式定义计算

2xx121x114 f(x)中x与x3的系数，并说明理由。

32x1111x解：由于行列式定义中的每一项来自于不同行和不同列的n个元素的乘积。而该行列式中每个元素最高含x的一次项，因此x4的项只能由对角线上的元素乘积所得到x4，故x4的系数为(1)(1234)2＝2。

同样的考虑可得x3的系数为(1)(2134)＝－1。

1xx21a1a1223.设P(x)1a2a221an1an1xn1a1n1n1，其中ai互不相同。a2n1an

11）说明P(x)是一个n1次多项式；

2）求P(x)0的根。

解：1)把P(x)按第一行展开得：P(x)A111A12xA1nxn1。11而A1n1a1a2a1n2n2a20，所以P(x)是一个n1次多项式。

n2an1an1根据范德蒙行列式

P(x)(xa1)(xa2)(xan1)(a1a2)(a1an)(a2a3)(a2an1)(an2an1)

2)因为xai（i1,2,,n1）代入P(x)中有两行元素相同，所以行列式为零，从而P(x)0的根为a1,a2,,an1。

习题二解答

1.计算 1）x1x2a11x3a21a31a12a22a32a13x1a23x2 ；

a33x3010；求 A2、A3、A4。2）已知A1010222解：1）a11x1 ； (a12a21)x1x2(a13a31)x1x3a22x2(a23a32)x2x3a33x3000000000 ；A3 ；A4。

2）A2100000000100100000003111112.设 1）A212，B210，求 ABBA。

101123abc1ac

2）Acba，B1bb，求 AB。

1111caabca2b2c22222解：1）20 ；2）abc0b2ac4423abc3.设A是n阶实方阵，且AA0。证明A0。

b22ac222abc。abca11a12a21a22证明：设Aan1an2a1na11a21a2na12a22，则Aanna1na2nan1an2。从而。ann2a121a221an1222aaa1222n2AA0。

222a1na2nann222222222所以a11a21an1a12a22an2a1na2nann0。因为aij为实数，故aij0（i,j1,2,,n）。即A0。

a1a2，a,a,,a互不相同。证明与A可交换的矩阵只4.设An12an能为对角矩阵。

b11b12b21b22证明：设与A可交换的矩阵为Bbn1bn2a1b11a1b12a2b21a2b22 anbn1anbn2b1nb2n，由ABBA得： bnnanb1nanb2n。anbnna1b1na1b11a2b12a2b2na1b21a2b22anbnna1bn1a2bn2即 aibijajbij（i,j1,2,,n）。由于a1,a2,,an互不相同，所以ij时，b1100b22bij0。故B0bn200。即B为对角矩阵。05.证明任一方阵可表示成一对称矩阵和一反对矩阵之和。证明：设A为方阵，记B(AA)2，C(AA)2，则可知B为对称矩阵，C为反对称矩阵。且ABC。

6.设f()amma1a0，定义f(A)amAma1Aa0E，其中A211是n阶方阵。已知f()21，A312，计算f(A)。110513解：f(A)A2AE803。2127.已知方阵A满足A2A7E0。证明A及A2E可逆，并求它们的逆矩阵。

证明：由A2A7E0，可得：A(AE)7E。所以A可逆，且A1(AE)。7同理由A2A7E0，可得：(A3E)(A2E)E。所以A2E可逆，且(A2E)1A3E。

8.求下列矩阵的逆阵：

21122313 ；3）110 ； 1） ；2）12121121112111121111121 ；5）。4）1111211111215解：1）2533111435 ；2）1131 ；3）153 ； 41113164511118421842111111。4）；5）

844111116111184229.已知A120，且ABA2B，求B。12301011121，解：由ABA2B，可得B(A2E)A。又(A2E)2131120所以B(A2E)1A152。26110.设A是n阶方阵，如果对任意n1矩阵X均有AX0。证明A0。

a11a12a21a22证明：记Aan1an2a1n1a2n0，取X，由AX0，可得ai10

0ann0（i1,2,,n）。同理可得aij0（i,j1,2,,n）。从而A0。11.已知4阶方阵A的行列式A5，求A*。

解：因为 AAAE，两边取行列式有 AAA。所以 A*53125。

4A12.设A，B分别为m，n阶可逆方阵，证明分块矩阵C证明：因为 A，B可逆，所以 A0，B0。故

0 可逆，并求逆。

BA0AB0，从而CBAC0X11可逆。记BX21X12A是CX220A的逆，则BC0X11BX21X12E，X22AX11EX11A1AX120A0X120于是，解得。故矩阵的逆为11CBX21BCACX11BX2101CX12BX22EX22BA111BCA0。1BA111，其中A，C存在，求X。0013.设XC0解：因为 CA0C10XE，所以0A10CA0C1。的逆为100A14.求下列矩阵的秩：

2241143213113021 ；

1）213 ；2）112111370513122111aa2

3）1bb21cc2a3b3。c3解：1）2。2）4。3）当abc时，秩为1；当a,b,c有某两个相等时，秩为2；当a,b,c互不相等时，秩为3。

提高题

1.秩为r的矩阵可表示为r个秩为1的矩阵之和。

证明：设矩阵A的秩r，由推论1结果可知：存在可逆矩阵P和Q使得EPAQr001Er，即 AP00010Ir1I1 QP[000001其中 ]Q，0Ik（k1,2,,r）表示第k行k列元素为

1、其余元素为0的r阶方阵。记A1[Ik01kP00 ]Q（k1,2,,r），则Ak的秩为1，且AA1Ak。2.设mn矩阵A的秩为1，证明：

a11）A可表示成b1bn； am2）A2kA(k是一个数)。

证明：1）因为A的秩为1，所以存在某元素aij0。记A的第i行元素为b1,,bn，则A的任一行向量可由第i行线性表示（否则与i行向量线性无关，与A的秩为1矛盾）。记a1,,an依次为第1行、、第n行的表示系数，则有Aa1b1bn。

ama12）由1）Ab1bn，所以

amA2[a1ba1](ba11bn][b1bn1a1bnan)b1amamama1

kbb1n（其中kb1a1bnan）。

am1 设A是n阶方阵，X是n1矩阵13.，证明：

1

1）AX的第i个元素等于A的第i行元素之和；

2）如果A可逆，且A的每一行元素之和等于常数a，则A1的每一行元素之和也相等。

bna11a12a21a22证明：1）记Aan1an2a1na11a12a1na2naaa21222n，则AX。

annaaannn1n2aa

2）若A的每一行元素之和等于常数a，由1）AXaX，由于Aa可逆，所以a0。从而A1X11X，即A1的每一行元素之和等于常数。aa4.证明：

1）上（下）三角矩阵的乘积仍是上（下）三角矩阵；

2）可逆的上（下）三角矩阵的逆仍是上（下）三角矩阵。证明：1）记Aaijnn，Bbjknn为上三角矩阵，CAB。则ijk时，aij0，bjk0。对任意s，当is时，ais0，当kis时bsk0，即任意s，aisbsk0。从而ik时，cikai1b1jaisbskainbnk0。故上三角矩阵的乘积仍是上三角矩阵。同理可证明下三角矩阵的情形。

a11a120a22

2）对可逆的上三角矩阵A00a11a120a22对于AE00变换

a1na2n，aii0（i1,2,,n），anna1na2nann100010，先进行第二类初等行

0011，再作第三类初等行变换把左边变成单位矩阵时，右边ri（i1,2,,n）aii即为上三角矩阵。亦即可逆的上三角矩阵的逆仍是上三角矩阵。5.已知实三阶方阵A满足：1）aijAij；2）a331。求A。解：因为AAAE，所以AAA。由于aijAij，从而有AAA。于是A0或A1。

若A0，则AAAA0，由于A为实三阶方阵，由习题3可得A0。此与a331矛盾。从而A1。

6.设AE，其中是n1非零矩阵。证明：

1）A2A的充分必要条件是1； 2）当1时，A是不可逆矩阵。

证明：1）若A2A，即有E(2)E。又是n1非零矩阵，所以是nn非零矩阵，从而21，即1。以上每步可逆，故命题成立。

2）当1时，由1），A2A。若A可逆，则可得A0，矛盾。故A是不可逆矩阵。

7.设A，B分别是nm、mn矩阵，证明：3EmABEnABEmBA。EnBEnAB；EnEm0Em证明：因为AAEnEm又ABEmEn0BEm，所以EnABABEm0EmBABEm，所以AEnAE0EnnBEmBA。从而命En题成立。

8.A，B如上题，0。证明：EnABnmEmBA。

篇5：线性代数习题及答案复旦版

线性代数习题及答案习题一

1.求下列各排列的逆序数.(1)341782659；

(2)987654321；

(3)n(n?1)…321；

(4)13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2.【解】

(1)τ(341782659)=11;

(2)τ(987654321)=36;

(3)τ(n(n?1)…3²2²1)= 0+1+2 +…+(n?1)=;

(4)τ(13…(2n?1)(2n)(2n?2)…2)=0+1+…+(n?1)+(n?1)+(n?2)+…+1+0=n(n?1).2.略.见教材习题参考答案.3.略.见教材习题参考答案.4.本行列式的展开式中包含和的项.解：设，其中分别为不同列中对应元素的行下标，则展开式中含项有

展开式中含项有.5.用定义计算下列各行列式.(1)；

(2).【解】(1)D=(?1)τ(2314)4!=24;

(2)D=12.6.计算下列各行列式.(1)；

(2)；

(3)；

(4).【解】(1);

(2);

7.证明下列各式.(1)；

(2)；

(3)

(4)；

(5).【证明】(1)

(2)

(3)首先考虑4阶范德蒙行列式: 从上面的4阶范德蒙行列式知，多项式f(x)的x的系数为

但对（*）式右端行列式按第一行展开知x的系数为两者应相等，故

(4)对D2n按第一行展开，得

据此递推下去，可得

(5)对行列式的阶数n用数学归纳法.当n=2时，可直接验算结论成立，假定对这样的n?1阶行列式结论成立，进而证明阶数为n时结论也成立.按Dn的最后一列，把Dn拆成两个n阶行列式相加：

但由归纳假设

从而有

8.计算下列n阶行列式.(1)

(2)；

(3).(4)其中；

(5).【解】(1)各行都加到第一行，再从第一行提出x+(n?1),得

将第一行乘（?1）后分别加到其余各行，得

(2)按第二行展开

(3)行列式按第一列展开后，得

(4)由题意，知

.(5)

.即有

由

得.9.计算n阶行列式.【解】各列都加到第一列，再从第一列提出，得

将第一行乘（?1）后加到其余各行，得

10.计算阶行列式（其中）..【解】行列式的各列提取因子,然后应用范德蒙行列式.11.已知4阶行列式;试求与，其中为行列式的第4行第j个元素的代数余子式.【解】

同理

12.用克莱姆法则解方程组.(1)

(2)

【解】方程组的系数行列式为

故原方程组有惟一解，为

13.λ和μ为何值时，齐次方程组

有非零解?

【解】要使该齐次方程组有非零解只需其系数行列式

即

故或时，方程组有非零解.14.问：齐次线性方程组

有非零解时，a,b必须满足什么条件？【解】该齐次线性方程组有非零解

，a,b需满足

即(a+1)2=4b.15.求三次多项式，使得

【解】根据题意，得

这是关于四个未知数的一个线性方程组，由于

故得于是所求的多项式为

16.求出使一平面上三个点位于同一直线上的充分必要条件.【解】设平面上的直线方程为 ax+by+c=0(a,b不同时为0)按题设有

则以a,b,c为未知数的三元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件为

上式即为三点位于同一直线上的充分必要条件.习题二

1.计算下列矩阵的乘积.（1）；

（2）；

（3）；

（4）；

（5）；

（6）.【解】

(1)

(2);

(3)(10);(4)

(5);

(6).2.设，求(1);(2)；(3)吗? 【解】(1)

(2)

(3)由于AB≠BA,故(A+B)(A?B)≠A2?B2.3.举例说明下列命题是错误的.(1)若，则；

(2)若，则或；(3)若，则.【解】

(1)以三阶矩阵为例，取,但A≠0(2)令,则A2=A,但A≠0且A≠E(3)令

则AX=AY,但X≠Y.4.设, 求A2，A3，…，Ak.【解】

5.，求并证明：.【解】今归纳假设

那么

所以，对于一切自然数k,都有

6.已知，其中

求及.【解】因为|P|= ?1≠0,故由AP=PB,得

而

7.设，求||.解：由已知条件，的伴随矩阵为

又因为，所以有，且，即

于是有

.8.已知线性变换

利用矩阵乘法求从到的线性变换.【解】已知

从而由到的线性变换为

9.设，为阶方阵，且为对称阵，证明：也是对称阵.【证明】因为n阶方阵A为对称阵，即A′=A, 所以

(B′AB)′=B′A′B=B′AB, 故也为对称阵.10.设A，B为n阶对称方阵，证明：AB为对称阵的充分必要条件是AB=BA.【证明】已知A′=A,B′=B，若AB是对称阵，即(AB)′=AB.则

AB=(AB)′=B′A′=BA, 反之，因AB=BA,则(AB)′=B′A′=BA=AB, 所以，AB为对称阵.11.A为n阶对称矩阵，B为n阶反对称矩阵，证明：(1)B2是对称矩阵.(2)AB?BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.【证明】

因A′=A,B′= ?B,故

(B2)′=B′²B′= ?B²(?B)=B2;(AB?BA)′=(AB)′?(BA)′=B′A′?A′B′

= ?BA?A²(?B)=AB?BA;(AB+BA)′=(AB)′+(BA)′=B′A′+A′B′

= ?BA+A²(?B)= ?(AB+BA).所以B2是对称矩阵，AB?BA是对称矩阵，AB+BA是反对称矩阵.12.求与A=可交换的全体二阶矩阵.【解】设与A可交换的方阵为,则由 =, 得.由对应元素相等得c=0,d=a,即与A可交换的方阵为一切形如的方阵，其中a,b为任意数.13.求与A=可交换的全体三阶矩阵.【解】由于 A=E+, 而且由

可得

由此又可得

所

以

即与A可交换的一切方阵为其中为任意数.14.求下列矩阵的逆矩阵.(1)；

(2)；(3)；

(4)；(5)；

(6)，未写出的元素都是0（以下均同，不另注）.【解】

(1);

(2);(3);

(4);(5);

(6).15.利用逆矩阵，解线性方程组

【解】因,而故

16.证明下列命题：

(1)若A，B是同阶可逆矩阵，则（AB）*=B*A*.(2)若A可逆，则A*可逆且（A*）?1=（A?1）*.(3)若AA′=E,则（A*）′=(A*)?1.【证明】（1）因对任意方阵c，均有c*c=cc*=|c|E,而A,B均可逆且同阶，故可得

|A|²|B|²B*A*=|AB|E(B*A*)

=(AB)*AB(B*A*)=(AB)*A(BB*)A*

=(AB)*A|B|EA*=|A|²|B|(AB)*.∵

|A|≠0,|B|≠0, ∴

(AB)*=B*A*.(2)由于AA*=|A|E,故A*=|A|A?1,从而(A?1)*=|A?1|(A?1)?1=|A|?1A.于是

A*(A?1)*=|A|A?1²|A|?1A=E, 所以

(A?1)*=(A*)?1.(3)因AA′=E，故A可逆且A?1=A′.由(2)(A*)?1=(A?1)*,得(A*)?1=(A′)*=(A*)′.17.已知线性变换

求从变量到变量的线性变换.【解】已知

且|A|=1≠0,故A可逆，因而

所以从变量到变量的线性变换为

18.解下列矩阵方程.(1)；

(2)；

(3)；

(4).【解】(1)令A=;B=.由于故原方程的惟一解为

同理

(2)X=;

(3)X=;

(4)X= 19.若(k为正整数)，证明：

.【证明】作乘法

从而E?A可逆，且

20.设方阵A满足A2－A－2E＝O，证明A及A＋2E都可逆，并求A?1及(A+2E)?1.【证】因为A2?A?2E=0, 故

由此可知，A可逆，且

同样地

由此知，A+2E可逆，且

21.设，,求.【解】由AB=A+2B得(A?2E)B=A.而

即A?2E可逆，故

22.设.其中，求.【解】因可逆，且故由得

23.设次多项式，记,称为方阵的次多项式.(1)，证明

，；

(2)设，证明，.【证明】

(1)即k=2和k=3时，结论成立.今假设

那么

所以，对一切自然数k，都有

而

(2)由(1)与A=P ?1BP,得 B=PAP ?1.且

Bk=(PAP ?1)k= PAkP ?1, 又

24.，证明矩阵满足方程.【证明】将A代入式子得

故A满足方程.25.设阶方阵的伴随矩阵为，证明：(1)若｜｜＝０，则｜｜＝０；

(2).【证明】（1）若|A|=0，则必有|A*|=0，因若| A*|≠0，则有A*(A*)?1=E,由此又得 A=AE=AA*(A*)?1=|A|(A*)?1=0，这与| A*|≠0是矛盾的，故当|A| =0，则必有| A*|=0.(2)由A A*=|A|E，两边取行列式，得 |A|| A*|=|A|n, 若|A|≠0，则| A*|=|A|n?1 若|A|=0,由(1)知也有 | A*|=|A|n?1.26.设

.求(1);(2);(3)；(4)｜｜k(为正整数).【解】

(1);

(2);(3);

(4).27.用矩阵分块的方法，证明

下列矩阵可逆，并求其逆矩阵.（1）；

（2）;

（3）.【解】(1)对A做如下分块

其中的逆矩阵分别为

所以A可逆，且

同理(2)(3)

习题三

1.略.见教材习题参考答案.2.略.见教材习题参考答案.3.略.见教材习题参考答案.4.略.见教材习题参考答案.5.，证明向量组线性相关.【证明】因为

所以向量组线性相关.6.设向量组线性无关，证明向量组也线性无关，这里【证明】

设向量组线性相关，则存在不全为零的数使得

把代入上式，得.又已知线性无关，故

该方程组只有惟一零解，这与题设矛盾，故向量组线性无关.7.略.见教材习题参考答案.8..证明：如果，那么线性无关.【证明】已知,故R(A)=n,而A是由n个n维向量

组成的，所以线性无关.9.设是互不相同的数，r≤n.证明：是线性无关的.【证明】任取n?r个数tr+1,…,tn使t1,…,tr,tr+1,…,tn互不相同，于是n阶范德蒙行列式

从而其n个行向量线性无关，由此知其部分行向量也线性无关.10.设的秩为r且其中每个向量都可经线性表出.证明：为的一个极大线性无关组.【证明】若

(1)线性相关，且不妨设

(2)是(1)的一个极大无关组，则显然（2）是的一个极大无关组，这与的秩为r矛盾，故必线性无关且为的一个极大无关组.11.求向量组=(1,1,1,k),=(1,1,k,1),=(1,2,1,1)的秩和一个极大无关组.【解】把按列排成矩阵A，并对其施行初等变换.当k=1时，的秩为为其一极大无关组.当k≠1时，线性无关，秩为3，极大无关组为其本身.12.确定向量,使向量组与向量组=(0,1,1), =(1,2,1),=(1,0,?1)的秩相同，且可由线性表出.【解】由于

而R(A)=2,要使R(A)=R(B)=2,需a?2=0,即a=2,又

要使可由线性表出，需b?a+2=0,故a=2,b=0时满足题设要求，即=(2,2,0).13.设为一组n维向量.证明：线性无关的充要条件是任一n维向量都可经它们线性表出.【证明】充分性: 设任意n维向量都可由线性表示，则单位向量，当然可由它线性表示，从而这两组向量等价，且有相同的秩，所以向量组的秩为n，因此线性无关.必要性：设线性无关，任取一个n维向量,则线性相关，所以能由线性表示.14.若向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，也可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，则向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.证明：由已知条件，且向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组α１,α２,α３线性表出，即两向量组等价，且

，又，向量组（1，0，0），（1，1，0），（1，1，1）可由向量组β１,β２,β３,β４线性表出，即两向量组等价，且，所以向量组α１,α２,α３与向量组β１,β２,β３,β４等价.15.略.见教材习题参考答案.16.设向量组与秩相同且能经线性表出.证明与等价.【解】设向量组(1)与向量组(2)的极大线性无关组分别为(3)和(4)由于（1）可由（2）线性表出，那么（1）也可由（4）线性表出，从而（3）可以由（4）线性表出，即

因（4）线性无关，故（3）线性无关的充分必要条件是|aij|≠0，可由（*）解出,即（4）可由（3）线性表出，从而它们等价，再由它们分别同（1），（2）等价，所以（1）和（2）等价.17.设A为m³n矩阵，B为s³n矩阵.证明：.【证明】因A,B的列数相同，故A,B的行向量有相同的维数，矩阵可视为由矩阵A扩充行向量而成，故A中任一行向量均可由中的行向量线性表示，故

同理

故有

又设R(A)=r,是A的行向量组的极大线性无关组,R（B）=k, 是B的行向量组的极大线性无关组.设是中的任一行向量，则若属于A的行向量组，则可由表示，若属于B的行向量组，则它可由线性表示，故中任一行向量均可由,线性表示，故

所以有.18.设A为s³n矩阵且A的行向量组线性无关，K为r³s矩阵.证明：B＝KA行无关的充分必要条件是R(K)=r.【证明】设

A=(As,Ps³(n?s)), 因为A为行无关的s³n矩阵，故s阶方阵As可逆.()当B=KA行无关时，B为r³n矩阵.r=R(B)=R(KA)≤R(K)，又K为r³s矩阵R(K)≤r,∴ R(K)=r.()当r=R(K)时，即K行无关，由B=KA=K(As,Ps³(n?s))=(KAs,KPs³(n?s))知R(B)=r,即B行无关.19.略.见教材习题参考答案.20.求下列矩阵的行向量组的一个极大线性无关组.(1)；

(2).【解】(1)矩阵的行向量组的一个极大无关组为;(2)矩阵的行向量组的一个极大无关组为.21.略.见教材习题参考答案.22.集合V1＝{()｜∈R且＝0}是否构成向量空间?为什么? 【解】由（0,0,…,0）∈V1知V1非空，设)则

因为

所以,故是向量空间.23.试证：由,生成的向量空间恰为R3.【证明】把排成矩阵A=(),则 , 所以线性无关，故是R3的一个基，因而生成的向量空间恰为R3.24.求由向量所生的向量空间的一组基及其维数.【解】因为矩阵

∴是一组基，其维数是3维的.25.设,证明:.【解】因为矩阵

由此知向量组与向量组的秩都是2，并且向量组可由向量组线性表出.由习题15知这两向量组等价，从而也可由线性表出.所以.26.在R3中求一个向量，使它在下面两个基

下

有相同的坐标.【解】设在两组基下的坐标均为()，即

即

求该齐次线性方程组得通解(k为任意实数)故

27.验证为R3的一个基，并把用这个基线性表示.【解】设又设 , 即

记作

B=AX.则

因有,故为R3的一个基，且

即.习题四

1.用消元法解下列方程组.(1)

(2)【解】(1)

得

所以

(2)①

②

③

解②?①³2得

x2?2x3=0 ③?① 得

2x3=4 得同解方程组 ④

⑤

⑥

由⑥得

x3=2, 由⑤得

x2=2x3=4, 由④得

x1=2?2x3 ?2x2 = ?10, 得

(x1,x2,x3)T=(?10,4,2)T.2.求下列齐次线性方程组的基础解系.(1)

(2)

(3)

(4)【解】(1)

得同解方程组

得基础解系为.(2)系数矩阵为

∴ 其基础解系含有个解向量.基础解系为

(3)

得同解方程组

取得基础解系为

(?2，0，1，0，0)T,(?1，?1，0，1，0).(4)方程的系数矩阵为

∴ 基础解系所含解向量为n?R(A)=5?2=3个取为自由未知量

得基础解系

3.解下列非齐次线性方程组.(1)

(2)(3)

(4)【解】

（1）方程组的增广矩阵为

得同解方程组

(2)方程组的增广矩阵为

得同解方程组

即

令得非齐次线性方程组的特解 xT=(0，1，0，0)T.又分别取

得其导出组的基础解系为 ∴ 方程组的解为

(3)

∴ 方程组无解.(4)方程组的增广矩阵为

分别令

得其导出组的解为

令, 得非齐次线性方程组的特解为：xT=(?16,23,0,0,0)T, ∴ 方程组的解为

其中为任意常数.4.某工厂有三个车间，各车间相互提供产品（或劳务），今年各车间出厂产量及对其它车间的消耗如下表所示.车间

消耗系数车间 1 2 3 出厂产量（万元）总产量（万元）1 0.1 0.2 0.45 22 x1 2 0.2 0.2 0.3 0 x2 3 0.5 0 0.12 55.6 x3

表中第一列消耗系数0.1,0.2,0.5表示第一车间生产1万元的产品需分别消耗第一，二，三车间0.1万元，0.2万元，0.5万元的产品；第二列，第三列类同，求今年各车间的总产量.解：根据表中数据列方程组有

即

解之

5.取何值时，方程组

(1)有惟一解，(2)无解，(3)有无穷多解，并求解.【解】方程组的系数矩阵和增广矩阵为

|A|=.(1)当≠1且≠?2时，|A|≠0，R(A)=R(B)=3.∴ 方程组有惟一解

（2）当=?2时，R(A)≠R(B),∴ 方程组无解.(3)当=1时

R(A)=R(B)<3,方程组有无穷解.得同解方程组

∴ 得通解为

6.齐次方程组

当取何值时，才可能有非

零解?并求解.【解】方程组的系数矩阵为

|A|= 当|A|=0即=4或=?1时，方程组有非零解.(i)当=4时，得同解方程组

(ii)当=?1时, 得

∴()T=k²(?2,?3,1)T.k∈R 7.当a,b取何值时，下列线性方程组无解，有惟一解或无穷多解？在有解时，求出其解.（1）

(2)【解】方程组的增广矩阵为(1)

(i)当b≠?52时,方程组有惟一解

(ii)当b=?52,a≠?1时，方程组无解.(iii)当b=?52，a=?1时，方程组有无穷解.得同解方程组(*)其导出组的解为

非齐次线性方程组（*）的特解为

取x4=1，∴ 原方程组的解为

(2)

(i)当a?1≠0时，R(A)=R()=4,方程组有惟一解.(ii)当a?1=0时,b≠?1时，方程组R(A)=2

取

∴ 得方程组的解为

8.设，求一秩为2的3阶方阵B使AB=0.【解】设B=(b1 b2 b3),其中bi(i=1,2,3)为列向量, 由

为Ax=0的解.求=0的解.由

得同解方程组

∴ 其解为取

则

9.已知是三元非齐次线性方程组Ax=b的解，且R(A)=1及

求方程组Ax=b的通解.【解】Ax=b为三元非齐次线性方程组

R(A)=1Ax=0的基础解系中含有3?R(A)=3?1=2个解向量.由为Ax=b的解为Ax=0的解, 且线性无关为Ax=0的基础解系.又

∴ 方程组Ax=b的解为

10.求出一个齐次线性方程组，使它的基础解系由下列向量组成.(1)

(2)【解】

(1)设齐次线性方程组为Ax=0 由为Ax=0的基础解系，可知

令

k1=x2 ，k2=x3

Ax=0即为x1+2x2?3x3=0.(2)A()=0A的行向量为方程组为的解.即的解为

得基础解系为=(?5 ?1 1 1 0)T =(?1 ?1 1 0 1)T A= 方程为

11.设向量组=（1，0，2，3），=（1，1，3，5），=（1，?1，a+2，1），=（1，2，4，a+8），=（1，1，b+3，5）

问：（1）a，b为何值时，不能由，，线性表出？

（2）a，b为何值时，可由，，惟一地线性表出？并写出该表出式.（3）a，b为何值时，可由，，线性表出，且该表出不惟一？并写出该表出式.【解】(*)

(1)不能由，，线性表出方程组（*）无解,即a+1=0,且b≠0.即a=?1,且b≠0.(2)可由，，惟一地线性表出方程组(*)有惟一解，即a+1≠0，即a≠?1.(*)等价于方程组

(3)可由，，线性表出，且表出不惟一方程组（*）有无数解，即有 a+1=0,b=0a=?1,b=0.方程组（*）为常数.∴

12.证明：线性方程组有解的充要条件是.【解】

方程组有解的充要条件，即R(A)=4=R(A)得证.13.设是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，是对应的齐次线性方程组的一个基础解系.证明

（1）线

性无关；

（2）线性无关.【证明】(1)线性无关成立, 当且仅当ki=0(i=1,2,…,n?r),k=0

∵为Ax=0的基础解系

由于.由于为线性无关

∴线性无关.(2)证线性无关.成立

当且仅当ki=0(i=1,2,…,n?r),且k=0 即

由(1)可知，线性无关.即有ki=0(i=1,2,…,n?r),且

∴线性无关.14.设有下列线性方程组（Ⅰ）和(Ⅱ)

（Ⅰ）

(Ⅱ)

(1)求方程组（Ⅰ）的通解；

(2)当方程组（Ⅱ）中的参数m,n,t为何值时，（Ⅰ）与(Ⅱ)同解？解：（1）对方程组（Ⅰ）的增广矩阵进行行初等变换

由此可知系数矩阵和增广矩阵的秩都为3，故有解.由方程组（*）

得方程组（*）的基础解系

令，得方程组（Ⅰ）的特解

于是方程组（Ⅰ）的通解为，k为任意常数。

(2)方程组（Ⅱ）的增广矩阵为

系数矩阵与增广矩阵的秩均为3，令

(**)方程组（**）的基础解系为当时，当时，方程组（Ⅱ）与方程组（Ⅰ）同解，则，故有

把m，n代入方程组，同时有

，即t = 6.也就是说当m=2，n=4，t=6时，方程组（Ⅱ）与方程组（Ⅰ）同解.习题五

1.计算.【解】

2.把下列向量单位化.(1)＝（3，0，－1，4）；

(2)＝（5，1，－2，0）.【解】

3.利用施密特正交化方法把下列向量组正交化.(1)1 =(0，1，1)′, 2 =(1,1,0)′, 3 =(1,0,1)′;

(2)1 =(1,0,?1,1), 2 =(1,?1,0,1), 3 =(?1,1,1,0)【解】

4.试证，若n维向量与正交，则对于任意实数k，l，有k与l正交.【证】与正交.∴ 与正交.5.下列矩阵是否为正交矩阵.【解】

(1)A′A≠E, ∴A不是正交矩阵

(2)A′A=EA为正交矩阵 6.设x为n维列向量，x′x＝1，令H＝E－２xx′.求证H是对称的正交矩阵.【证】

∴ H为对称矩阵.∴ H是对称正交矩阵.7.设A与B都是n阶正交矩阵，证明AB也是正交矩阵.【证】A与B为n阶正交矩阵A′A=EB′B=E(AB)(AB)′=AB²(B′A′)=A(BB′)A′=AEA′=AA′=E ∴ AB也是正交矩阵.8.判断下列命题是否正确.(1)满足Ax＝x的x一定是A的特征向量；

(2)如果x1，…，xr是矩阵A对应于特征值的特征向量.则k1x1＋k2x2＋…＋krxr也是A对应于的特征向量；

(3)实矩阵的特征值一定是实数.【解】

(1)╳.Ax=x,其中当x=0时成立，但x=0不是A的特征向量.(2)╳.例如：E3³3x=x特征值=1, 的特征向量有则不是E3³3的特征向量.(3)╳.不一定.实对称矩阵的特征值一定是实数.9.求下列矩阵的特征值和特征向量.【解】(1)

当时，为得解

对应的特征向量为.当时，其基础解系为,对应的特征

向量为

∴ 特征值为

(i)当时，其基础解系为

∴ 对应于=2的特征向量为且使得特征向量不为0.(ii)当时, , 解得方程组的基础解系为

∴ 对应于的特征向量为

特征值为(i)当时，得基础解系为对应的特征向量为(ii)当时，其基础解系为(2,?2,1)′, 所以与对应的特征向量为(iii)当时，其基础解系为(2,1,?2)′ ∴ 与对应的特征向量为

∴ A的特征值为1,2.(i)当时，其基础解系为(4,?1,1,0)′.∴ 其对应的特征向量为k²(4,?1,1,0)T,k∈R且k≠0.(ii)当时，其基础解系为：（1,0,0,0）′.∴ 其对应的特征向量为

10.设3阶方阵A的特征值为λ1＝1，λ2＝0，λ3＝－1，对应的特征向量依次为

求矩阵A.【解】

由于为不同的特征值线性无关，则有可逆

11.设3阶实对称矩阵A的特征值为－1，1，1，与特征值－1对应的特征向量x＝（－1，1，1）′，求A.【解】对应的特征向量为x1=(?1,1,1)T,设对应的特征向量为x2=(x1,x2,x3)T,A为实对称矩阵，所以(x1,x2)=0,即有?x1+x2+x3=0.得方程组的基础解系为

可知为对应的特征向量.将正交化得

=(?1,1,1)T, 单位化：;=(1,1,0)T，;则有

12.若n阶方阵满足A2＝A，则称A为幂等矩阵，试证，幂等矩阵的特征值只可能是1或者是零.【证明】设幂等矩阵的特征值为，其对应的特征向量为x.由A2=A可知所以有或者=1.13.若A2＝E，则A的特征值只可能是±1.【证明】设是A的特征值，x是对应的特征向量.则Ax=x A2x=(Ax)=2x 由A2=E可知 x=Ex=A2x=2x(2?1)x=0, 由于x为的特征向量，∴ x≠02?1=0=±1.14.设λ1,λ2是n阶矩阵A的两个不同的特征根，1,2分别是A的属于λ1, λ2的特征向量，证明1+2不是A的特征向量.证明：假设1+2是A的属于特征根λ的特征向量，则

A（1+2）=λ（1+2）=λ1+λ2.又

A（1+2）= A1+ A 2=λ11+λ22 于是有

（λ?λ1）1+（λ?λ2）2 =0 由于，1与2线性无关，故λ?λ1=λ?λ2=0.从而与矛盾，故1+2不是A的特征向量.15.求正交矩阵T，使T－１AT为对角矩阵.【解】

(i)当时，方程组的基础解系为(?2,1,0)T,(2,0,1)T.(ii)当时，其基础解系为.取,单位化为, 取，取，使正交化.令单位化

得.(i)当时，其基础解系为

正交化得

单位化得

(ii)当时，其基础解系为

单位化得

(i)当时，其基础解系为

由于()=0,所以正交.将它们单位化得

(ii)当时，其基础解系为=(1,?1,?1,1)T, 单位化得

(iii)当时，其基础解系为=(?1,?1,1,1)T, 单位化为

(i)当=2时，其基础解系为=(2,1,?2)T, 单位化得 ,(ii)当=5时，=(2,1,2)T.其基础解系为=(2,?2,1)T

.单位化得.(iii)当=?1时, , 其基础解系为=(1,2,2)T, 单位化得 , 得正交阵

16.设矩阵与相似.(1)求x与y；

(2)求可逆矩阵P，使P－1AP=B.【解】(1)由A~B可知，A有特征值为?1,2,y.由于?1为A的特征值，可知.将x=0代入|A?E|中可得

可知y= ?2.(2)(i)当=?1时，其基础解系为

=(0,?2,1)T, = ?1对应的特征向量为 =(0,?2,1)T.(ii)当=2时，其基础解系为

=(0,1,1)T 所以=2对应的特征向量为

=(0,1,1)T(ⅲ)当=?2时, , 其基础解系为

=(?2,1,1)T, 取可逆矩阵

则

17.设，求A100.【解】

特征值为(i)当时，其基础解系为

(ii)当时，其基础解系为(?1,1,2)T.令,则

18.将下列二次型用矩阵形式表示.(1)；

(2)；

(3).【解】(1)(2)(3)

19.写出二次型的矩阵.【解】

20.当t为何值时，二次型的秩为2.【解】

21.已知二次型经过正交变换化为标准型，求参数a,b及所用的正交变换矩阵.【解】由题知二次型矩阵

当时，即有

2ab=0.当时，当时，(ⅰ)当时，得基础解系为=(1,0,?1)T, 单位化

(ⅱ)当时，其基础解系为=(0,1,0)T.(iii)当时，其基础解系为=(1,0,1)T.单位化得

得正交变换矩阵

22.用配方法把下列二次型化为标准型，并求所作变换.【解】

令

由于

∴ 上面交换为可逆变换.得

令为可逆线性变换

令为可逆线性交换所作线性交换为

23.用初等变换法化下列二次型为标准型，并求所作变换.【解】(1)

(2)二次型矩阵为

24.设二次型

(1)用正交变换化二次型为标准型；

(2)设A为上述二次型的矩阵，求A5.【解】(1)二次型的矩阵为

求得A的特征值.对于，求解齐次线性方程组(A?E)x=0，得基础解系为

将正交单位化得对于，求解方程组(A+2E)x=0, 得基础解系为将单位化得于是

即为所求的正交变换矩阵，且(2)因为所以故

25.求正交变换，把二次曲面方程化成标准方程.【解】的矩阵为

(1)当时，其基础解系为

正交化得

单位化得

(2)当时,.其基础解系为.单位化得

正交变换矩阵

为所求正交变换.得

二次曲面方程的标准方程为

26.判断下列二次型的正定性.【解】(1)矩阵为

∴ 二次型为负定二次型.(2)矩阵

∴ 二次型为正定二次型.(3)矩阵为

∴ 为正定二次型.27.t满足什么条件时，下列二次型是正定的.【解】(1)二次型的矩阵为

可知时，二次型为正定二次型.(2)二次型的矩阵为

当t满足时，二次型为正定二次型.28.假设把任意x1≠0，x2≠0，…，xn≠0代入二次型都使f＞0，问f是否必然正定? 【解】错，不一定.当为实二次型时,若≠0，都使得f>0,则f为正定二次型.29.试证：如果A,B都是n阶正定矩阵，则A+B也是正定的.【证】A,B是正定矩阵，则存在正定二次型 = xTAx

= xTBx 且A′=A，B′=B(A+B)′=(A′+B′)=A+B 有

= xT(A+B)x=xTAx+xTBx>0 ∴ A+B为正定.30.试证：如果A是n阶可逆矩阵，则A′A是正定矩阵.【证】A可逆(A′A)′= A′²(A′)′= A′A A′A = A′E A

可知A′A与E合同

A′A正定.31.试证：如果A正定，则A′,A－１，A*都是正定矩阵.【证】A正交，可知A′=A 

可逆阵C，使得A=C′EC.(i)A=C′ECA′=(C′EC)′A′=C′E′(C′)′=C′EC ∴ A′与E合同，可知A′为正定矩阵.(ii)(A?1)′=(A′)?1=A?1可知A?1为对称矩阵.由A正交可知，A为点对称矩阵

其特征值设为且有>0(i=1,2,…,n)Axi=xixi=A?1xiA?1xi=xi 可知A?1的特征值为，(i=1,2,…,n)∴ A?1正定.(iii)由A*=|A|²A?1可知

(A′)1=|A|²(A?1)′=|A|²A?1=A* 由(ii)可知A?1为正定矩阵即存在一个正定二次型 = xTA?1x 有>0 ∵ A正交|A|>0 = xTA*x=xT²|A|²A?1x=|A|²(xTA?1x)即有时，xTA?1x>0 ∵ |A|>0,即有 = xTA*x >0 ∴ A*为正定矩阵.习题

六

1.检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间.(1)2阶反对称(上三角)矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法；(2)平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： k²；

(3)2阶可逆矩阵的全体，对于通常矩阵的加法与数量乘法；

(4)与向量(1，1，0)不平行的全体3维数组向量，对于数组向量的加法与数量乘法.【解】（1）是.由于矩阵加法和数量乘法满足线性空间定义中的1?8条性质，因此只需考虑反对称（上三角）矩阵对于加法和数量乘法是否封闭即可.下面仅对反对称矩阵验证：设A，B均为2阶反对称矩阵，k为任一实数，则(A+B)′=A′+B′=?A?B=?(A+B),(kA)′=kA′=k(?A)=?(kA), 所以2阶反对称矩阵的全体对于矩阵加法和数量乘法构成一个线性空间.（2）否.因为(k+l)²,而,所以这种数量乘法不满足线性空间定义中的第7条性质.（3）否.因为零矩阵不可逆（又因为加法和数量乘法都不封闭）.（4）否.因为加法不封闭.例如，向量（1，0，0），（0，1，0）都不平行于（1，1，0），但是它们之和（1，0，0）+（0，1，0）=（1，1，0）不属于这个集合.2.设U是线性空间V的一个子空间，试证：若U与V的维数相等，则U＝Ｖ.【证明】设U的维数为m，且是U的一个基，因UV,且V的维数也是m，自然也是V的一个基，故U=V.3.设是n维线性空间Vn的线性无关向量组，证明Vn中存在向量使成为Vn的一个基(对n?r用数学归纳法).【证明】对差n?r作数学归纳法.当n?r=0时，结论显然成立.假定对n?r=k时，结论成立，现在考虑n?r=k+1的情形.因为向量组还不是V的一个基，它又是线性无关的，所以在V中必存在一个向量不能由线性表出，把添加进去所得向量组，必定还是线性无关的，此时n?(r+1)=(n?r)?1=(k+1)?1=k.由归纳法假设, ,可以扩充为整个空间的一个基.根据归纳法原理，结论普遍成立.4.在R４中求向量＝(0,0,0,1)在基＝(1,1,0,1),＝(2,1,3,1), ＝(1,1,0,0), ＝(0,1,－1,－1)下的坐标.【解】设向量在基下的坐标为(),则即为

解之得()=(1,0,?1,0).5.在R３中，取两个基

＝(1，2，1)，＝(2，3，3)，＝(3，7，1)；

＝(3，1，4)，＝(5，2，1)，＝(1，1，－6)，试求到的过渡矩阵与坐标变换公式.【解】取R３中一个基（通常称之为标准基）=(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1).于是有

所以由基到基的过渡矩阵为

坐标变换公式为

其中()与（）为同一向量分别在基与下的坐标.6.在R4中取两个基

(1)求由前一个基到后一个基的过渡矩阵；

(2)求向量()在后一个基下的坐标；

(3)求在两个基下有相同坐标的向量.【解】(1)

这里A就是由基到基的过渡矩阵.(2)设,由于()=()A?1,所以

因此向量在基下的坐标为

(3)设向量在这两个基下有相同的坐标,那么

即

也就是

解得,其中为任一非零实数.7.证明3阶对称矩阵的全体S构成线性空间，且S的维数为6.【证明】首先，S是非空的（∵0∈S）,并且A,B∈S,k∈R,有(A+B)′=A′+B′=A+B(kA)′=kA′=kA.这表明S对于矩阵的加法和数量乘法是封闭的.其次，这两种矩阵运算满足线性空间定义中的18条性质.故S是线性空间.不难验证，下列6个对称矩阵.构成S的一个基，故S的维数为6.8.说明平面上变换的几何意义，其中

(1)；

(2)；

(3)；

(4).【解】,T把平面上任一点变到它关于y轴对称的点.,T把平面上任一点变到它在y轴的投影点.,T把平面上任一点变到它关于直线x=y对称的点.,T把平面上任一点变到它绕原点按顺时针方向旋转90°后所对应的点.9.设V是n阶对称矩阵的全体构成的线性空间［维数为］，给定n阶方阵P，变换

T(A)＝P′AP，A∈Ｖ

称为合同变换，试证合同变换T是V中的线性变换.【证明】因为A,B∈V,k∈R,有

T(A+B)=P′(A+B)P=P′AP+P′BP=T(A)+T(B), T(kA)=P′(kA)P=k(P′AP)=kT(A).所以T是线性空间V的一个线性变换.10.函数集合

V3＝｛＝(a2x2+a1x+a0)ex｜a2，a

1,a0∈R｝

对于函数的加法与数乘构成3维线性空间，在其中取一个基

1＝x2ex, 2＝2xex, 3＝3ex，求微分运算D在这个基下的矩阵.【解】

即