高等数学上册试题库

高等数学上册试题库（精选9篇）

篇1：高等数学上册试题库

………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效…………… 《高等数学（上）考试试题》

一、填空题(每小题4分，5个小题，共计20分)学院 _____________班级名称_______________学号_____________姓名_____________教师________________1．limx(13x)(12x)(14x)2201030_________。2．设f(x)x(x1)(x2)(x3)(x4),则f(x)0有且仅有_______个实根。________3．设　ysin(1x2),则y4．设　y12xe2x。，则其反函数x(y)的导数x(y)________f(a)f(ax)2x5．设　f(x)为可导函数且满足lim x01，则曲线yf(x)在点(a，f(a))处的切线斜率为________。

二、选择题(每小题4分，5个小题，共计20分)121．当x0时，(1ax)31与cosx1是等价的无穷小，则常数a(32)A、32B、23C、D、23 2．已知axb，当x1f(x)2　处处可导，则有(x，当x1)A、a2，b1B、a2,b1C、a1,b2D、a1，b2 3．设　limx0f(x)f(0)ln(13x)x24,则f(0)等于()A、3B、4C、1D、43)4．设函数yf(x)在点x处可导,则它在点x处的微分dy是指(A、f(x)B、f(x)C、xD、f(x)x 5． 设常数k 0，函数f(x)lnxxek在(0,)内零点个数为()A、1B、2C、3D、01

三、解答题(每小题7分，6个小题，共计42分)

1．计算极限

lim(xe

x0

2x)sinx。

2．设y

y(x)由方程e

xy

sin(xy)y确定,求

dydx。

3．设

xtlntyt

t，(t

1e)确定了函数yy(x),试求

dydx。

4．设函数

f(x)具有连续二阶导数,且f(0)f(0)0,f(0)6,求

f(sin2

lim

x)。

x0

x

5．求数列的极限

limn1

11

n2

n22nn2n． 

6．讨论函数

f(x)lim

1x2nn

1x

2n

x的连续性，若有间断点，判断其类型。

四、证明题(每小题9分，2个小题，共计18分)

1．证明：当

0ab时,bab

ln

ba



baa

成立.2．设f(x)在[0,a]连续，在(0,a)内可导，且f(a)0，证明存在一点

使得3f()f()0。

(0,a)，…

………

… _效__…__…__…__…__…__无__…_师…教… … _…__题__…__…__…__…__…名答姓…__…__…__…__…__内__…_号…学…_…__…__以__…__…__…__…__…称线名…级…班…__…__…__封__…__…__…_ …院…学密………

答案：

一、填空题(每小题4分，5个小题，共计20分)

1．()

2.43．y2cos(1x)4xsin(1x)4．

222

(2xe)e4x

x

2x2

(x0)5． 2

二、选择题(每小题4分，5个小题，共计20分)

1．C2．A3．D4．D5．B

三、解答题(每小题7分，6个小题，共计42分)

x

xe1

2x

1

1．lim(xe

x0xy

2x)sinlim{[1(xe

x0

2x

1)]xe

2x

}

sinx

e。

xy

2．e(yxy)(yxy)cos(xy)y，y

dy

3． y

t

y(ecos(xy))

xy

1x(ecos(xy))。

dtdxdt



t(lnt1)lnt1

t

t。

4．因f(x)具有连续二阶导数

则lim

12

x0,则f(x)及f(x),f(x)在x0都连续 f(sinx)sin2x

4x

f(sinx)x

lim

x0



lim

f(sin

x

x)

x0

lim

f(sin

x)sin2x

limf(sin

x0

x)3 f(0)

x0

2x

11n15．2n222n2，由夹逼准则有nnnn2nn

n

111

limn2221。nn2nnn

6．f(x)lim

1x1x

2n2n

n

x,|x|1



x0,|x|1，x,|x|1

x1

x1

x1

x1

在分段点x

lim

x1



1处，因为limf(x)lim(x)1，limf(x)limx1，即



f(x)lim

x1

f(x),x1是f(x)的跳跃间断点（第一类）；

x1

x1

x1

在分段点x

1

处，因为lim

x1



f(x)limx1，limf(x)lim(x)1，即limf(x)limf(x),x1

x1



x1



是f(x)的跳跃间断点（第一类）。

四、证明题(每小题9分，2个小题，共计18分)

1．证明:令f(x)lnx,则f(x)在(0,)连续,可导

当0ab时,对f(x)在[a,b]上应用拉格朗日中值定则至少存在理

(a,b),使f(b)f(a)f()(ba)

ba1

即lnblnaln



(ba)，又ab且(ba)0，则

1b







1a，故：当0ab时,bab

ln

ba



baa

成立.。

2．证明：令F(x)x3f(x)，因为f(x)在[0,a]连续，在(0,a)内可导，所以F(x)在[0,a]连续，在(0,a)内可导，且F(0)F(a)a3f(a)0，满足罗尔中值定理条件，至少存在一点(0,a)，使得

F()3f()f()0，即3f()f()0。

篇2：高等数学上册试题库

第一部分 高等数学上册

自我检查试题一

一、填空（每小题3分，满分15分）

1． 设f(x)的定义域为[1，5)，则f(1x)的定义域为_________________。2． limarccos（x2x1x)_____________。

__。3． f(3)a,则limf(32t)f(3)

t__________

t0

c都是单位向量，b、__4．（不做）已知a、且abc0，则abbcac_

1。

5． 设f(0)0,f(1)a，则f(x)f(x)dx__________

0_。

二、单项选择（每小题3分，满分15分）

1．当x0时，变量1cosx是x的（）无穷小。

（A）等价（B）同阶但不等价（C）高阶（D）低阶

2．设f(x)二阶可导，且limf(x)

ln(1xsinx)3，则f(0)是f(x)的（）。2

x0

（A）极大值（B）极小值（C）驻点（D）拐点

13．设f(x)x3

a,0xsinttdt,x0x03，当a取（）时，函数f(x)是连续函数。

（A）2（B）1（C）-1（D）0

4．已知曲线yf(x)在x1处有水平切线，且f(1)2，则曲线yf(x)在(1,f(1))处的曲率k为（）。

（A）0（B）1（C）2（D）2

5．下列广义积分发散的是（）。

（A）dx1

sinx1（B）1dxx2（C）e

0x2dx（D）2dxxln2x

三、计算题（每小题7分，满分49分）

1． 求lim（x01x1

ex1)。

2y2． 设yy(x)是由xyesiny所确定的隐函数，求dy

dx。

3． 设F(x)xxf(t)dt，其中f(x)在[1,)内具有一阶连续导数，求F(x)。

4． 求不定积分

sinxcosx1sin

x

dx。

12x

45． 已知f(x)ln(1x)，且f(1)，计算f(x)dx。

6．（不做）求过点(1,2,3)垂直于直线

线方程。

7． 设f(x)



y5



z6

且平行于平面7x8y9z100的直



x

e

t

costdt，试求f(x)在[0,]上的最大值和最小值。

四、应用题（每小题8分，满分16分）1． 设平面图形D由曲线yx,yx所围成，（1）求D的面积；

（2）求D绕x轴旋转一周所生成的旋转体的体积Vx。

2． 将长为a的铁丝分成两段，一段围成正方形，一段围成圆形。问这两段铁丝各长为多少时，正方形与圆形的面积之和为最小。

五、证明题（5分）

设f(x)在[0，1]上连续，且f(x)1，证明：2x



x

f(t)dt1在[0，1]上有且仅有一根。

自我检查试题二

一、填空（每小题3分，满分15分）

1． 若f(x)的定义域为（0，1），则f(e)的定义域为____________________。2． 设f(a)1，则lim

x

f(a3h)f(a2h)

h

_____________。

h0

3． 曲线y(x1)1的拐点是______________。4． 曲线yx4x3在点(2,1)处的曲率k_________

y。

5．（不做）位于yOz平面上的曲线ze(y0)绕z轴旋转一周所生成的旋转曲面方程是____________________。

二、单项选择（每小题3分，满分15分）1．函数f(x)xx在x0处（）。

（A）连续且可导（B）连续但不可导（C）可导但不连续（D）不连续也不可导 2．设f(0)0，且lim

f(x)1cosx

3，则f(x)在x0处（）。

x0

（A）不可导（B）可导，且f(0)0（C）取极大（D）取极小

3．设f(x)f(x)对一切x恒成立，且当x(0,)时，有f(x)0,f(x)0，则f(x)在(,0)内一定有（）。

（A）f(x)0,f(x)0（B）f(x)0,f(x)0（C）f(x)0,f(x)0（D）f(x)0,f(x)0 4．双纽线(xy)xy所围成的区域面积可用定积分表示为（）。

40

0

（A）2cos2d（B）44cos2d



（C）2

cos2d（D）

x52

y32

z

4340

2

(cos2)d

5．（不做）设直线L为：，平面为：x2y5z110，则直线L

与平面的相互关系是（）。

（A）L∥π，但L不在π上（B）L在π上（C）L⊥π（D）L与π斜交

三、计算题（每小题7分，满分49分）1． 求极限lim

x0

xsinxxtanx。

2． 设f(x)x(x1)(x2)(x2004)，求f(0)f(2004)。

xln(1t2)dydy,3． 设，求。2dxdxytarctant

4． 求不定积分xlnxdx。

5． 求定积分

x1

x

dx。

x4

y33

z22

6． 求过点(1,2,3)的直线L，使L与z轴相交且与已知直线l1：

垂直。

7． 曲线yx与yx所围图形绕y轴旋转，求旋转体的体积。

四、应用题（每小题8分，满分16分）

1． 求曲线ylnx在区间（2，6）内的一条切线，使得该切线与直线x2,x6和曲线ylnx所围成的图形面积最小。

2． 一正圆锥的半径以5cm/s的速率增加，而它的高以24cm/s的速率减少，求该圆锥在半径

为30cm，高为70cm时的体积变化率。

五、证明题（5分）

设在[a,b]上，f(x)0且可导，证明存在(a,b)，设

f(b)f(a)

f()f()

ln(ba)。

自我检查试题三

一、填空（每小题3分，满分18分）1． 函数yln（x3

5x)的定义域为__________________。

2． 若limxn2，则lim

n

n

(xnxn1)__________

_____。

3． 如果连续函数在区间的内部只有一个极大值点，没有极小值点，那么函数的最______值与

极______值相同。4．

ddx(log

a

x)

_____________。______

5． 

1cosxxsinx

2-2

dx__________

x。

6． (xx)e

dx_______________。

二、单项选择（每小题2分，满分12分）1．（不做）下列陈述中错误的是（）。（A）xy2z1图形是椭球面

（B）(x1)(y1)4的图形是母线平行于z轴的圆柱面（C）(xy)(yz)0的图形是直线（D）在空间直角坐标系中，xy

0的图形是原点

2．下列各极限中极限值为e的是（）。（A）lim(1x)

x0

11x

（B）lim((1

x

1x)

x

（C）lim(1x)

x0

x

（D）lim(1x)

x0

x

1

sinx,3．设函数f(x)x

a,x0x0

在(,)处处连续，则a（）。

（A）0（B）1（C）1（D）

24．在区间[1,1]上满足拉格朗日中值定理条件的函数是（）。

（A）yln(x1)（B）y

sinxx

（C）yx

1（D）yx

5．设在区间I上g(x)G(x)，则在I上g(x)dx（）。

（A）G(x)（B）G(Cx)（C）G(x)C（D）CG(x)

sinx

6．设f(x)是连续函数，且



f(t)dtx,x(0,2)，则f（22)（）。

（A）1（B）

（C）2（D）22

三、计算题（每小题7分，满分49分）1． 求lim

e

x

e

x

x0

xsinxxx

1。

1lnx

2． 求lim（x1



)。

3． 设x1t,ytt，求

x

dydx。

4． 求曲线yxe在其拐点处的曲率。

xex,

5． 设函数f(x)1,1cosx

x01x0

z1，计算f(x2)dx。

6． 求过两平行直线7． 设f(x)

x33



y22

和

x33



y42



z11的平面方程。



x

11t

dt，求f(x)dx。

四、应用题（每小题8分，满分16分）

1． 一位飞机观察员观察到一架飞机正在1143m的高度向他飞来，仰角为30，并以3/s的速

度增加，问飞机的地面速度是多少？

2． 设图形由yx3x3与y1围成，求面积S，并求其绕y轴旋转一周所形成的封闭立体的体积。

五、证明题（5分）

设f(x)在[0，1]上连续，且f(0)0,使得f(x)dxf()。







篇3：浅谈《高等数学》试题库建设

一、《高等数学》传统测试的优缺点

《高等数学》的传统测试一般来说是由任课教师自行命题进行考核, 考试结束后由任课教师自行阅卷和给分。在这种测试中, 任课教师的主观因素成为了学生最终成绩好坏的关键。优点是:当多个班级的教学进度不同的时候, 任课教师可以选择不同的考试范围;当多个班级不是平行班, 各个班级学生的学习水平不同的时候, 任课教师可以选择不同的考试难度;当多个班级的教学内容有差别的时候, 任课教师可以选择不同的考试题型。但是这里面的机动性太大, 公平性难于把握。甚至有些教师为了体现出自己的教学效果良好, 在考试时对学生通过降低难度、复习暗示等方法放松要求。这种情况下成绩的可信度和考试的有效性就会降低, 反过来对今后的教学产生不好的影响。解决以上问题的有效办法就是建立试题库, 使试题标准化、规范化, 克服命题的主观性, 确保公正性。

二、试题库的建设过程

试题库的建设不仅是课程建设的重要组成部分, 也是教考分离的必然趋势, 对于提高学生的数学水平、教师的教学质量, 甚至学校的办学水平都有着巨大的推动作用。所以, 我们在教学中根据我院的教学特色设计了《高等数学》教考分离试题库。下面我就讲一讲我院《高等数学》的试题库是怎样建立起来的。

1、教学上的统一

对所有开设《高等数学》班级采用统一的教材、课程标准、教学内容、教学计划和授课讲稿, 全体教师定期集体备课。这样做的目的是让试题库能够内容确定、难度一致。

2、试题筛选

由所有讲授《高等数学》课程的教师根据统一的教材、课程标准、教学内容、学生情况, 查阅辅导教材、往年试题和其他大量的参考资料, 选择合适的知识点集体编写一定数量的题目候选。然后根据试题库的评价指标最各个题目进行分析, 通过对学生进行随堂练习的方式测试每道试题, 统计出满分比例、平均分、难度、区分度, 再根据一定的指标选择有效地试题。

3、试题入库

在确定了试题之后, 先确定题型、题量和分值, 然后考虑到知识点分布、难易度等从中整理出十套试题作为待选。接着进行集体讨论和审查, 并在此基础上进行修改, 确保试题库的质量。

4、试题完善

单凭一次试题库的建立就想永久使用是不现实的。在试题库建立以后, 每隔一段时间需要加入新题或对原有试题进行改动。通过多次考试反映出的问题, 并随着学生素质的提高, 不断地完善和更新。

三、建设试题库的注意点

我们在建立试题库的时候必须要筛选试题, 那么如何判断筛选出的试题是否符合要求呢?这需要注意以下几点:

1、满分比例

满分比例的计算公式是, n是参加测试的总人数, n0是获得满分的人数。显然, 如果满分比例达到100%, 那么这道题太容易了就不适合作为考题;如果满分比例很小接近零, 那么这道题太难了也不适合作为考题。一般来说, 我们可以选择满分比例为10%至90%之间的作为考题。

2、平均分

平均分的计算公式是, Xi是各个学生的得分。对于不同难度的题目, 平均分的要求不同。一般来说, 中等难度的试题平均分应当控制在七十分左右。

3、难度

客观题的难度计算公式是T=1-p, p是满分比例。主观题的难度计算公式是, X是平均分, M是最高分。一般来说, 入库试题的难度要控制在0.3至0.7之间, 平均难度在0.5左右, 超出这个区间范围的应谨慎使用, 数量不能多。

4、区分度

一般把全体考生的成绩按照从高到的顺序排列, 我们取前27%作为高分组, 得到高分组的得分之和Sh;后27%作为低分组, 得到低分组的得分之和Sl。区分度的计算公式是。一般来说, 区分度应当控制在0.25左右且不能低于0.15。

总之, 《高等数学》试题库的建设是为了更好的考核学生的数学学习效果, 从而以考助教, 用更公平、有效的考核方法推动教学的进步。

参考文献

[1]孟丽新、刘洪、李大卫:《浅谈工程数学试题库建设》, 《科技资讯》, 2008, (22) 。

篇4：应对高考试题 重视高等数学

关键词：高等数学；高考试题；函数；导数

函数思想与方法是我们认识客观世界的重要武器，而导数是研究函数的重要工具，导数又是与高等数学衔接的知识，所以高考数学很重视导数的考察。近年来，以高等数学知识为背景的导数综合题在高考中频繁出现，一般所占分值大约十几分。细细品味题目背后的故事，会别有一番趣味。

下面笔者就2014年高考新课标II卷理科数学的导数试题进行评析，与大家分享。

（2014全国新课标II理数21）已知。

讨论的单调性。

设，若有，求的最大值。

已知，估算的近似值（精确到0.001）。

该题可以说是近几年高考中难度最大的。2014年吉林省15万左右的考生，做上此题者屈指可数。当年全省最高分149分（估计大多错在该题的第三问）；而到了2015年高考时，全省数学满分150分竟然有三十多个，可见当年这道题的难度。

一般来说第一问都是送分的，故此问解答略去，但是导数题一般布置的非常微妙，对第二问肯定有作用，而第三问一般都要用到第二问的结论，一着不慎满盘皆输，所以导数压轴题的特点可以用四个字来概括----步步惊心。

接下来分析第二问，

法一 分类讨论

此处因式分解也是需要深厚的功力。分类讨论思想在导数中是经常用到的，有时同学们不知道什么时候开始讨论，其实不用刻意为之，让讨论来的自然一些。

（1）当时，，等号仅当时成立，所以在单调递增，而，所以对任意，；

（2）当时，若满足，即时，而，因此当时，。

综上，的最大值为2。 其实，这种求参数的取值范围题型，除了分类讨论之外，很容易让学生想到用分离参数的方法，研究发现利用分参法不能解决出现了“”型的式子，而这就是高等数学中的不定式问题，解决这类问题的有效方法就是洛必达法则。

法二：洛必达法则

由（1）得，当时，恒成立；

，实现分离参数的目的；构造一个新函数

设；只需求出即可；

再构造函数

因为，，即，在上单调递增；

即，在上单调递增；的最小值为，出现，由洛必达可得

即；所以。

当然，用洛必达法则来做此题，思路非常清晰，回避讨论。

最后分析第三问，最吸引人之处是第三问，我先给出国家考试中心给的参考答案：

由（Ⅱ）法一知，。

当时，，；

当时，，

，所以的近似值为0.639。

参考答案如此简洁，简洁的让人看不懂！那2个b 来的太突然了！！！稍安勿躁，我们慢慢破解：

法一 ：由（2）得 中，我们想要出现，还要出现ln2 ，这就要找到一个合适的x，因此 令，

得，即，

化简并移项得

，这便估算了的下确界。

其实对下确界的估计比较容易想到，而对上确界的估计较难理解。事实上，我们再次感受一下“步步惊心”：在第（2）问解法一中便已为第（3）问的上确界估计做了准备，并采用了相应的方法，如果考生在较为简单的第（2）问中采用采用解法二或其他方法，便很难估出上确界。可见游戏还没结束前，还不知谁能笑到最后。

让我们继续进行解题大业，由第（2）问解法一得

若，则时有，而，故此时若，则。

取，令，则，故

，化简并移项得，这便估算了的上确界。

此外，上确界估计中的不是凭空构造而出，而是由解出的。

至此，我们证明了，由四舍五入的原则，的近似值为0.693。

这个解法一较为复杂，导致本应较为简单的新课标II卷因此题而难度凸现，考场上鲜有考生能够做出本题。在这种情况下，我们试图再追寻其他解法。

法二：高等数学中定积分解法

注意到，故，这启示我们将转化为曲边梯形的面积计算。，由定积分的几何意义知此即下图所示曲边梯形面积。

由在上单增知下凸函数，故。

取直线，其中，将此曲边梯形分为20个小的曲边梯形，这20个小的曲边梯形面积之和等于大曲边梯形的面积，即的值。用表示第个小曲边梯形的面积，

则。至此，我们便求出了解法一中较为棘手的上确界（这里只计算了20项，看似不多但实际上由于变量在分母上也比较麻烦），接下来可以参考解法一的下界求法，

也可以用求得，但这里的放缩过宽，分割成20份达不到题目要求的精度，需分割为几百份，这个度很难把握，不适合在考场上使用。

这相比前一个方法简单不少，但是需要高等数学的知识。本题还有很多初等数学解法，还有这里就不一一列举了。

此处肯定有同学会问，不会高等数学怎么办？那就用解法一；用高等数学解法高考给分吗？吉林省数学阅卷组长吉林大学数学学院李院长曾说：在数学里，不错就是对。

篇5：高等数学上册

一、函数与极限

1.函数基本概念—了解

1． 集合及集合的运算

2． 数轴、无穷大和无穷小的几何表示、区间 3． 常量和变量

4． 函数的定义和函数的表达方式 5． 函数的定义域和函数的计算 6． 基本初等函数

7． 复合函数和初等函数 8． 分段函数

2.函数的极限及运算法则—理解极限的含义，会计算求极限的题目；涉及范围较广，高等数学上册下册均有求极限的题目，极限的方法是研究函数的工具。（不会涉及证明用极限定义证明极限的题目）

1． 数列及数列极限 2． 函数的极限

3． 无穷大和无穷小的极限表示

4． 无穷大和无穷小的关系及无穷小的性质（运算注意前提条件有限个和无限个的区别）5． 极限的有界性定理及应用

6． 复合函数求极限（变量代换的方法）

3.两个重要极限（两个极限的运算法则的条件、推广和应用）

1． 第一个重要极限

2． 第一个重要极限的应用 3． 第二个重要极限

4． 第二个重要极限的应用（注意：单调 且有界是证明题的关键部分）4.无穷小的比较

等价无穷小及其应用

重要部分！5.函数的连续性和间断点

1． 增量

2． 函数连续的两个定义 3． 左连续和右连续

4． 函数的间断点分类（重要，出小题）

5． 连续函数四则运算的连续性（运算法则的条件、推广和应用）6． 反函数和复合函数的连续性

7． 连续函数的性质（注意：闭区间上连续函数的性质，重要，但一般不单独出题）一致连续性不用看 练习题一

2.导数与微分（重要,小题必考章节！）1.导数的定义和导数四则运算法则

1． 导数的定义（重要），2． 导数的几何意义（理解；其中数一数二导数的物理意义；数三，经济意义、边际函数、弹性函数）

3． 函数可导性与连续性的关系（必需的！）4． 求导公式表（必需的，熟悉到1+1=2！）

5． 函数导数的四则运算（必需的，熟悉到1+1=2！）2.不同类型函数的求导法则及高阶导数

1． 复合函数的求导法则（必需的，熟悉到1+1=2！）2． 隐函数的求导法则（必需的，熟悉到1+1=2！）

3． 参数方程所确定的函数的求导法则（小题，理解！多元隐函数的求导）4． 高阶导数（重要）

3.函数的微分及应用（理解，重要同导数必考，小题）

1． 微分的定义

2． 微分的几何意义

3． 微分的基本公式和运算法则 4． 复合函数的微分公式

5． 利用微分进行近似计算（除去不用看）练习题二

3.导数的应用（考大题 难题，重要章节！）

1.中值定理和洛必达法则（中值定理包括费马定理的应用及相关的证明题，必须会做证明题！）

1． 罗尔定理及几何意义

2． 拉格郎日中值定理及几何意义

3． 利用拉格郎日中值定理证明不等式

4． 洛必达法则（必考;泰勒公式及其应用，参照张宇的老师的导学或视频）2.函数的极值和最值（考小题，单调性及极值点、最大值最小值）

1． 函数的单调性及判断 2． 函数的极值 3． 函数的最值

3.曲线的凸凹性，拐点及函数作图（考小题，单调性及极值点、凹凸性及拐点、渐近线的定义理解）

1． 曲线的凸凹性及判断 2． 曲线的拐点 3.曲线的渐近线

4.函数作图（会大致描绘图形帮助做题）5.曲率

（了解即可）练习题三

4.不定积分（重要！运算的基础知识。与数

一、数三相比，数二有可能大题。）

1.不定积分的概念和基本公式

1． 原函数与不定积分（理解原函数）

2． 不定积分的定义（必需的，熟悉到1+1=2！）3． 不定积分的性质（必需的，熟悉到1+1=2！）4． 基本积分表（必需的，熟悉到1+1=2！）5． 直接积分法（必需的，熟悉到1+1=2！）2.换元积分法

1． 换元积分法的引入

2． 第一类换元法（必需的，熟悉到1+1=2！）

3． 第一类换元法的应用（必需的，熟悉到1+1=2！）4． 第二类换元法（必需的，熟悉到1+1=2！）

5． 第二类换元法的应用（必需的，熟悉到1+1=2！）3.分部积分法和不定积分技巧的综合应用

1． 分部积分法（必需的，熟悉到1+1=2！）

2． 被积函数和积分变量的选取（必需的，熟悉到1+1=2！）

3.有理函数的积分（重要，常见的一些题型，基本的运算方法的综合利用）4.综合题举例（积分表不必看）

5.定积分（重要！非常重要，是多元函数的二重积分，三重积分，线面积分的基础）1.定积分的定义和基本运算

1． 定积分的定义（理解！）

2． 定积分的性质

3． 变上限的积分函数（理解！）

4． 牛顿—莱布尼兹公式 各种题型的必需的，熟悉到1+1=2！

2.定积分的换元法和分部积分法

若不定积分学好，这一部分涉及的计算应该1． 定积分的换元法 很简单！2． 定积分的分部积分法

3． 利用方程和数列求定积分

常见的各种类型的题目一定要熟悉，再熟悉，3.广义积分（理解！考小题）再再熟悉，怎么熟悉都不为过！

1． 积分区间为无穷区间的广义积分 一元函数的极限，导数，微分，不定积分，定2． 被积函数有无穷间断点的广义积分（Г积分这是高等数学的基础，根本所在；然后多函数不用看）元函数（二元函数）的类似运算，只要把定义4.定积分的运用（会应用）相关推理过程理解了，则 自然会有 水到渠成1． 定积分的元素法 效果，难点不再难点！2． 利用定积分求平面图形面积

3． 利用定积分求体积（数三只看旋转体 体积）

4.曲线的弧长（数

篇6：考研复习高等数学上册复习重点

第一章 函数、极限与连续

本章函数部分主要是从构建函数关系,或确定函数表达式等方面进行考查. 而极限作为高等数学的理论基础,不仅需要准确理解它的概念、性质和存在的条件,而且要会利用各种方法求出函数(或数列)的极限,还要会根据题目所给的极限得到相应结论. 连续是可导与可积的重要条件,因此要熟练掌握判断函数连续性及间断点类型的方法,特别是分段函数在分段点处的连续性. 与此同时，还要了解闭区间上连续函数的相关性质(如有界性、介值定理、零点定理、最值定理等),这些内容往往与其他知识点结合起来考查.

本章的知识点可以以多种形式 (如选择题、填空题、解答题均可)考查,平均来看,本章内容在历年考研试卷中数学一、数学三大约占10分,数学二大约占19分.

本章重要题型主要有：1、求极限;2、已知极限反求参数;3、无穷小阶的比较;4、间断点类型的.判断。

第二章 一元函数微分学

本章按内容可以分为两部分：第一部分是导数与微分,主要涉及微分学的基本概念、可导性与可微性的讨论，以及导数和微分的计算。此部分一定要注意导数的定义，对它有一个正确的理解，包括导数概念的一些充要条件要清楚;同时要能熟练求一元复合函数、反函数、隐函数、由参数方程所确定函数的二阶导数。第二部分是微分中值定理及导数的应用,主要是利用导数研究函数的性态，以及利用中值定理证明或解决一些问题.这是一个比较大的内容，函数的单调性、凹凸性以及方程根的应用都会在这块内容当中出题，这是一个难点，还有一个难点，就是关于微分中值定理，关于这一部分的证明题，需要大家掌握常见的解题思路。

有关可导性、可微性、导数和微分的计算以及导数的应用，可以结合其他知识点以任何形式出题. 而微分中值定理常用在解答题中,特别是用于证明有关中值的等式或不等式.平均来看,本章内容在历年考研试卷中数学一大约占12分,数学二大约占36分,数学三大约占10分.

本章重要题型有：1、导数定义和几何意义;2、复合函数、反函数、隐函数和参数方程所确定的函数的求导;3、含中值等式或不等式的证明;4、利用导数研究函数的形态(判断单调、求极值与最值、求凹凸区间与拐点);5、方程的根的个数的讨论;6、渐近线;7、求边际和弹性(数三)。

第三章 一元函数积分学

本章内容中，不定积分和定积分是积分学的基本概念，不定积分和定积分的计算是积分学的基本计算，利用定积分表示并计算一些几何、物理、经济量是积分学的基本应用。这一部分要特别注意变限积分，它的各种性质都是我们考查的重点。变上限积分函数跟微分方程结合的一个点也可以出题的。还有定积分的应用，求平面图形面积，求旋转体的体积，一定要熟悉，要掌握好微元法。

本章对概念部分的考查主要是出现在选择题中，对运算部分的考查通常出现在填空题和解答题中，而定积分的应用和有关定积分的证明题大多出现在解答题中.平均来看，本章内容在历年考研试卷中，数学一大约占15分，数学二大约占33分，数学三大约占20分。

本章重要题型有：1、不定积分、定积分和反常积分的基本运算;2、定积分等式或不等式的证明;3、变上限积分的相关问题;4、利用定积分求平面图形的面积和旋转体的体积。

第四章 向量代数与空间解析几何(数一)

本章内容不是考研重点，很少直接命题。直线与平面方程是多元函数微分学的几何应用的基础，常见二次曲面的图形被应用到三重积分、曲面积分的计算中，用于确定积分区域。

篇7：2011电大高等数学试题

中央广播电视大学2010—2011学第一学期“开放专科”期末考试

高等数学基础

试题

2010年7月

一、单项选择题(每小题4分，本题共20分)1．下列各函数对中，（）中的两个函数相等．

A．一1 B．

0 C．D．

A．先单调下降再单调上升

B．单调上升

C.先单调上升再单调下降

D.单调下降

5．下列无穷积分收敛的是（）．

二、填空题(每小题4分，共20分)

三、计算题(每小题11分，共44分)

四、应用题(本题16分)

某制罐厂要生产一种体积为y的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时用料

最省? 导数基本公式：

积分基本公式：

试卷代号：2332

中央广播电视大学2009—2010学第二学期“开放专科”期末考试

高等数学基础

试题答案及评分标准

(供参考)

一、单项选择题(每小题4分，本题共20分)

1．B

2．C

3．B

4．D

5．A

二、填空题(每小题4分，本题共20分)

三、计算题(每小题11分，共44分)

3．解：由换元积分法得

4．解：由分部积分法得

四、应用题(本题16分)

2010年7月

篇8：《高等数学》上册教学模式探讨

1从实际出发, 设疑导入基本概念, 激发学生学习兴趣

《高等数学 》上册的基本概念对初学者而言较为抽象, 不易理解。 简单、直接地提出基本概念会使学生感到枯燥乏味, 久而久之易产生抵触心理, 不利于学生对该门课程的学习。 基本概念的导入直接影响着学生参与学习活动的兴趣, 可根据该概念的具体情况, 结合学生所学专业, 选择能引发学生兴趣的实际问题进行导入。同时, 充分运用现代教育技术, 将一些较抽象的基本概念形象化、具体化。使学生深切体会到高等数学是源于实际, 服务学科的。

《高等数学 》上册中内容抽象, 学生较难理解的知识点及与实际联系紧密, 有较强应用背景的知识点有:数列极限与函数极限的定义与性质;连续的概念;导数与微分的定义;函数的极值与最值;定积分的概念与微积分基本公式;定积分的元素法及应用;常微分方程。

对于上述较为抽象的知识点, 如极限、连续等, 可运用动画演示向学生展示其变化过程, 使学生理解这一概念提出的原因及定义的依据, 从而在本质上掌握好这一概念。对于与实际联系紧密, 有较强应用背景的知识点, 如微分、极值等, 可运用多媒体手段, 图文并茂地提出问题, 再与学生一起解决问题, 加深学生对这些知识点的印象与理解, 从而掌握好其运用。

2转换教学模式, 突出学生的主体地位, 强化教师的主导作用

转换教学模式, 根据课程进度, 适度地从单纯传授知识转变为对学生指导学习, 从课堂专制式转变为平等、讨论式, 从填鸭注入式转变为启发诱导式, 从单向传播式转变为双向感应式。简而言之, 引导学生被动型的“学会式”学习向主动型的“会学式”学习转变[2]。具体地, 可尝试通过下列措施实现教学模式的转换:

强调课前预习。对于重要的基本概念、定理, 教师可提前布置预习任务, 要求学生自行查找相关资料并以作业的形式上交。

将《高等数学》上册的内容划分为函数极限、导数与微分、不定积分与定积分以及微分方程4个知识模块, 督促学生以班级为单位撰写读书报告, 并从中选出质量好的报告由学生在课堂上宣讲。

鼓励学生多提问, 从学生提出的问题中寻找他们在知识理解上的薄弱环节, 及时地补充讲解, 不堆积疑问。同时将学生所提问题进行汇总, 既便于学生复习巩固, 又有利于教师下一学年该门课程教学的开展。

时刻关注学生对课堂所授课程理解、接受的程度。 在保证完成教学大纲规定的教学任务基础上, 根据学生的实际情况调整授课的难度与进度, 不打击学生学习该门课程的积极性与热情。

3重视课堂之外的师生交流, 在班干部的帮助下加强对学生的监督与指导

《高等数学 》上册的授课对象是大学一年级的新生, 在其中小学阶段, 他们的学习过程基本上都是在学校老师指导和家长的监督下完成的。一方面, 在大学相对宽松自由的学习环境下, 一部分自律性较好的学生能自觉主动地完成好该科目的学习, 但大部分的学生会逐渐降低对自己的要求, 不能坚持不懈地认真学习, 从而导致课程成绩不合格。 另一方面, 《高等数学》上册的学习强度大时间紧节奏快, 授课老师对于一个知识点的讲授不可能采用“讲解-练习-复习-再讲解”的模式, 因此需要学生自觉地投入时间与精力, 而部分同学会因为跟不上老师的进度放弃对该门课程的学习。 因此, 大学一年级的第一学期是一个非常重要的阶段, 是学生从被人约束向自我约束转变的阶段, 从被动学习向主动学习过渡的阶段。 老师在完成授课的同时, 应在课堂之外积极引导学生顺利完成这一阶段的转变与过渡。

加强课堂之外的师生之间的交流互动[3]对解决上述问题有一定的帮助。 《高等数学》上册是大班教学, 授课老师对学生的监督与指导很难细化、具体到每一个人。 因此, 应充分发挥班干部的管理作用, 通过班干部实现课堂之外对学生的监督与指导。可在课程改革中尝试采用下列措施:

建立学习群, 要求各班的学习委员及班长加入该群。可将与教学、 学习相关的资料及要求等信息发布在该群内, 再由各班的学习委员将这些资料及要求传达给每一位学生。具体发布的信息主要包括以下四类:第一类, 推荐给学生课余阅读的书籍与资料的相关信息;第二类, 课堂上补充的知识点的详细教案;第三类, 批改作业过程中发现的典型错误及正确解法;第四类, 关于课本习题之外的作业要求, 保证每位同学都能清楚授课老师所布置的任务及要求。

布置集体性质的学习任务, 如撰写读书报告、章节练习及期末复习测试等可交由班长和学习委员负责, 在各自的班级内组织完成。

讲授完一个章节或知识模块后, 可请学习委员收集、汇总各自班级在学习中存在的困难与疑问, 教师再针对具有代表性的疑问进行讲解。

4根据学生具体情况, 在同一课堂内实行分层教学

班级的学风、学生的基础、资质及勤奋程度等方面的差异决定了同教学班的不同班级, 同一个班级的不同学生在学习中必然存在差异。授课老师应正视差异的存在, 在遵循教学大纲讲授课程的基础上, 实行分层教学。对基础相对薄弱的同学, 强调对基础知识、基本运算的掌握;对能紧跟课程进度的同学, 强调能系统地掌握各个知识模块;对基础扎实课堂上反应较快的同学, 强调能综合运用所学知识解决问题。 实行分层教学[4]的关键在于教案的设计、作业的布置实现分层。

综上所述, 《高等数学》上册教学模式的改进需要授课老师认真设计好各个教学环节, 重视师生之间的交流互动, 最重要的是让学生真正参与到教学中来。

摘要：本文主要探讨了《高等数学》上册的教学模式, 从教学导入设计、突出学生主体地位、重视师生交流以及分层教学等四个方面论述了如何改进《高等数学》上册的教学模式。

关键词：高等数学,教学模式,教学改革

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学[M].6版.北京:高等教育出版社, 2007:1-352.

[2]王庶.在制图教学中如何贯彻以学生为主体的教学理念[J].科技视界, 2014, 31:185-186.

[3]何诣寒, 甘灵.高校师生交流现状、问题及对策研究[J].西南交通大学学报, 2014, 15 (5) :111-115.

篇9：高等数学上册试题库

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 集合A={x | x-10<0}，B={x | x=3n+1， n∈N}，则A∩B=

（ ）

A. ？准 B. {4， 7} C. {4， 7， 10} D. {1， 4， 7}

2. 已知命题p：？埚∈R，sin=；命题q：？坌x∈R，x2+1>x，则下列命题为假命题的是（ ）

A. p∨q B. ？劭 p∨？劭 q C. ？劭 p∨q D. p∨？劭 q

3. 复数z =（i是虚数单位，x∈R），则复数z所对应的点（ ）

A. 位于x轴上方 B. 位于x轴下方

C. 位于y轴左方 D. 位于y轴右方

4. 若函数f（x）+g（| x |）是R上的偶函数，则下列结论成立的是（ ）

A. f（x）必为偶函数 B. f（x）必为奇函数

C. g（x）必为偶函数 D. g（x）必为奇函数

5. 已知双曲线C：-=1（a>0，b>0） 的渐近线方程为y=±，则双曲线C的离心率为（ ）

A. B. 2 C. D. 3

6. 已知x，y满足约束条件x+y-1≤0，x-y+1≥0，y≥0，记z = ax+y（a>0） 的最大值与最小值分别为M与N，若M+N=0，则实数a的取值范围为（ ）

A. {1} B.[1， 2]

C.[1， 3] D.[1， +∞）

7. 执行如图1所示的程序框图输出的结果是（ ）

A. 6 B. 5

C. 4 D. 3

8. 如图2，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1厘米），图中粗线画出的是某三棱锥的正视图（主视图）、侧视图（左视图）、俯视图，则该几何体的体积为（ ）

A. B.

C. D.

9. 函数f（x）=x（x+a）+b（a∈R， b∈R），若方程f（x） = 0有实数根，则函数f（x）存在非负零点的概率为（ ）

A. B. C. D.

10. 等差数列{ an } 中，已知a1=lg2，21a1+a100=11，则a5+a6=（ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11. 以BC为直径的半圆O与直角三角形ABC共面，如图3，已知BC=2，AB⊥AC， ∠ACB=30°，点P是半圆上的任一点，设∠BOP=（0≤≤？仔），f（）=（+）·，则函数f（）的图像为（ ）

12. 已知n∈N？鄢，直线Ln：y=k（x-n2）（k>0）与抛物线Cn：y2=4n2x相交于An、Bn两点，记AnBn两点间的距离为dn，d=，则当n与k均趋向于无穷大时，d的取值范围为（ ）

A. （，） B. （，） C. （，） D. （，1）

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22题～第24题为选考题，考生根据要求作答.

二、填空题：本大题共4小题.每小题5分.

13. 已知{ an } 是公比为的等比数列，Sn为{ an } 的前n项和. 若S3=57，则a4= .

14. 若函数f（x） = x3+mx在x = m处的切线与x轴相交于点（2m， 0），则实数m= .

15. 我国著名数学家杨辉在《详解九章算法》一书中有计算“三角垛”（图4）物体总数的题目：“三角垛，下广，一面一十二个，上尖，问：计几何？答曰：三百六十四个. 术曰：下广加一乘之，平积，下广加二乘之，立高方积，如六而一”，意思就是：“有一个三角垛，底层每条边上有12个物体，上面是尖的（只有1个物体），问：总共有多少个物体？答案是：364个. 计算方法是：用12加1的和乘12，作为底面的面积，再用12加2作为高来乘，得到一个长方体的体积，取它的6分之1，就是这道题目的解.” 推而广之，如果用表示“三角垛”的层数，也就是底层每条边上物体的个数，用Sn表示物体总数，就得到“杨辉三角垛公式”：Sn=，用这个公式，就能很方便地算出，“三角垛”中物体的总数.

现有“正方垛”（图5）自上而下，第1层12个，第2层22个，第3层32个，…，这里仍然用n表示“正方垛”的层数，用Tn表示物体总数，则“正方垛公式”Tn=Sn+ . 化简即为Tn=，即〔12+22+32+…+n2=〕.

16. 已知函数f（x）=x2+2x+1， x≤0-log2（x+），x>0 若a

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）在？驻ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c. 已知=.

（1）求的值；

（2）若cosB=，？驻ABC周长为（4+），求？驻ABC的面积.

18.（本小题满分12分）某城市为了解道路交通状况，工作人员在市内随机选取处路段，在某段测试的时间内记录到机动车的通行数量情况如下（单位：辆）：

147 161 170 180 163 172 178 167 191 182 181 173 174 165 158 164 159 189 168 169

（1）完成频数分布表，并作出频率分布直方图；

（2）如果机动车通行数量与道路交通状态的关系如图6，现用分层抽样的方法从“拥挤”以上的路段中抽取7处给以改造，从中选2处安装智能交通信号灯，那么阻塞路段被安装智能交通信号灯的概率是多少？

19.（本小题满分12分）如图7，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，BC=2，对角线的交点为O，面ABD绕BD向上旋转至EBD，使点E在底面的射影为AO的中点F. CG⊥面ABCD，CG=1.

（1）证明：平面EBD⊥平面GBD；

（2）求三棱锥E-BDG的体积.

20.（本小题满分12分）直线l：y=x+m（m>0），椭圆C：+=1（a>）的长轴长为4，椭圆的左右焦点分别为F1、F2 . 已知直线与椭圆相切，切点为N.

（1）求a、m的值；

（2）设M是直线l上的任意一点，当·取得最小值时，求线段 | MN | 的长.

21.（本小题满分12分）已知函数f（x）=e2x-2ax.

（1）若曲线f（x）在某点（x0， f（x0））处的切线恰为x轴，试求a的值；

（2）讨论f（x）的零点个数.

请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目. 如果多做，则按所做的第一个题目计分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图9，AB是⊙O的直径，AB=BC，CT、ED分别是⊙O的切线，切点分别为T、D.

（1）求证：DE⊥BC；

（2）若∠BAC=30°，BE=，试求切线CT的长.

23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. 已知曲线C1：x=-1-t，y=2+t（t为参数），C2：x=2cos？兹，y=2sin？兹（？兹为参数）.

（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C1上的点P对应的参数为t=-，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线L：2ρcos？兹+2ρsin？兹+3=0的距离的最大值.

24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

设函数f（x）= | x-a |-2 | x-3a |（a>0） .

（1）当a=1时，求不等式f（x）>1的解集；

（2）若f（x）的图像与x轴围成的三角形面积大于，求a的取值范围.

2016年普通高等学校招生

全国统一考试文科数学模拟试题

参考答案

一、选择题

1.【答案】选D. 由A={x | x<10}，故A∩B={1，4，7}，故选答案D.

2.【答案】选B. 由p真q真可知：？劭 p∨？劭 q为假命题. 故选答案B.

3.【答案】选D. z =====i，显然实部大于零，故复数z所对应的点位于y轴右方，故选答案D.

4.【答案】选A. 由函数f（x）+g（| x |）是R上的偶函数可知，f（x）必为偶函数. 而对于g（x），可为偶函数或奇函数或非奇非偶函数.故选答案A.

5.【答案】选C. e2==1+=3，所以e=. 故选答案C.

6.【答案】选D. zmin=-a，若要M+N=0，则需a∈[1， +∞）.故选答案D.

7.【答案】选B. 直到n=5，y=32-25=7>1跳出循环. 故选答案B.

8.【答案】选A. 还原该几何体，如图10.

该几何体的体积为VA-BCD=·SBCD·h=×××7×7=， 故选答案A.

9.【答案】选C. 方程f（x）=0即为x（x+a）+b=0，即x2+ax+b=0，若有实数解，则必有？驻=a2-4b≥0，即b≤a2. 若函数 f（x）存在非负零点，则需a≤0. 从图形看出满足题意的概率为. 故选答案C.

10.【答案】选A. 由条件可得：a100=11-21lg2. 故d==（1-2lg2），所以a5+a6=2a1+9d=2lg2+9×（1-2lg2）=1. 故选答案A.

11.【答案】选A. 以CB所在的直线为x轴，以O为坐标原点建立直角坐标系. 则P（cos， sin），A（， -），由+=2=（-1， ），=cos-， sin+，所以f（）=（-1， ）·cos-， sin+=sin-cos+2=2sin（-）+2（0≤≤？仔）.

故应答案在A、C中，因0≤≤？仔，所以sin（-）∈[-，1]，故f（）∈[1， 4]，故答案选A.

12.【答案】选C. 抛物线Cn：y2=4n2x的焦点坐标为Fn（n2， 0），直线Ln：y=k（x-n2）（k>0）过定点Fn（n2， 0）. 联立直线与抛物线组成方程组，y=k（x-n2），y2=4n2x， 消元得：

k2x2-2n2（k2+2）x+k2n4=0，设An（xn ′， yn ′）、Bn（xn ″， yn ″），则：

dn=| An Bn |=xn ′+xn ″+2n2=4n2·. 故d=·，当k趋向于无穷大时，

d=<[1+++…+]=（2-）→，故的范围为，选C.

d=>[++…+]=（1-）→，故d的范围为（，） ，选C.

二、填空题

13.【答案】8.由S3==57，得a1=27.故a4=a1·（）3=27×=8.

14.【答案】0或-. f′（x）=3x2+m，故f′（m）=3m2+m，

f（m）=m3+m2，切线方程为：y-（m3+m2）=（3x2+m）（x-m），由于过点（2m，0），故有0-（m3+m2）=（3m2+m）（2m-m），解得：m=0或m=-.

15.【答案】Sn-1（或）.正方垛可化为两个三角垛，层数相差一层，故填Sn-1.

16.【答案】（-2，-），由于a+b=-2为定值，且c∈（0，），故a+b+c∈（-2，-）.

三、解答题

17.解析：（1）由正弦定理，设===k

则==…………1分

所以=…………2分

即（cosA-cosC）sinB=（sinC-sinA）cosB，……3分

化简可得sin（A+B）=sin（B+C），…………………5分

又A+B+C=？仔，

所以sinC=sinA，因此=，即=………………6分

（2）由（1）得：c=a. 由余弦定理得：

b2=a2+c2-2accosB=a2+2a2-2×a2×=2a2………8分

所以b=a，因a+b+c=4+，故a=，因此b=2.………………10分

由S△BDG=acsinB=××2×=……………12分

18. 解析：（1）

……………………………………………2分

……………6分

（2）“拥挤”以上的路段共处，用分层抽样的方法抽取7处给以改造，则拥挤、很拥挤、阻塞三路段各被抽出4条、2条、1条.用事件A1、、A2、、A3、A4表示被选中的“拥挤”路段，用事件B1、B2表示被选中的“很拥挤”路段，用事件C表示被选中的“阻塞”路段，则从这7处中选2处安装智能交通信号灯的基本事件有

（A1，A2）、（A1，A3）、（A1，A4）、（A1，B1）、（A1，B2）、（A1，C）；（A2，A3）、（A2，A4）、（A2，B1）、（A2，B2）、（A2，C）；（A3，A4）、（A3，B1）、（A3，B2）、（A3，C）；（A4，B1）、（A4，B2）、（A4，C）；（B1，B2）、（B1，C）；（B2，C）共21种情况…………………………9分

其中符合要求的有（A1，C）、（A2，C）、（A3，C）、（A4，C）、（B1，C）、（B2，C）共6种………10分

所以阻塞路段被安装智能交通信号灯的概率是：P==…………12分

19. 解析：（1）连接OE、OG，由四边形ABCD为菱形，故AC⊥BD，BO=OD.由∠ABC=120°，BC=2，故AO=OC=，BO=OD=1…………2分

由点E在底面的射影为AO的中点F，即EF⊥面ABCD，因FO？奂面ABCD，故EF⊥FO，由EO=2FO，故cos∠FOE==，所以∠FOE=60°……………4分

因CG⊥面ABCD，CO？奂面ABCD，故CG⊥OC.在△COG中，tan∠COG===，所以∠COG=30°…………………………………6分

由EF⊥面ABCD，CG⊥面ABCD，故E，F，O，C，G共面，所以∠EOG=180°-60°-30°=90°.

由△CBG？艿△CDG得BG=DG，故OG⊥BD. 根据二面角的平面角定义可知，∠EOG即为二面角E-BD-G的平面角.

由∠EOG=90°，平面EBD⊥平面GBD………………8分

（2）由（1）可知：EO平面BDG，OG==2……………………9分

故三棱锥E-BDG的体积VE-BDG=S△BDG·OE=××2×2×=…………12分

20. 解析：（1）由2a=4得a=2………………………1分

联立直线与椭圆的方程得y=x+m，+=1，消去y得：3x2+4mx+2m2-4=0…………………………3分

由于直线l与椭圆相切，故△=16m2-12（2m2-4）=0，解得：m=±，因m>0，所以m=……………………6分

（2）椭圆的左右焦点为F1（-，0）、 F2（，0） …………7分

设M（x，x+），则=（--x，-x-），=（-x，-x-），由·=（--x，-x-）·（-x，-x-）=2x2+2x+4=2（x+）2+1.

故当x=-时，·有最小值.此时点M的坐标为M（-，）…………10分

又由方程3x2+4x+12=0可知，N（，）…………………11分

故|MN|==…………………12分

21. 解析：（1）由f ′（x）=2e2x-2a=2（e2x-a）， 故f ′（x0）=2（e2x0-a）.

故切线方程为 y- f（x0）=2（e2x0-a）·（x-x0）， 即y-（e2x0-2ax0）=2（e2x-a）·（x-x0）………………………2分

因为切线恰为x轴，故 e2x0-a=0，e2x0-2ax0=0 ………3分

消去x0，得a（1-lna）=0，解得：a=0或a=e ………4分

当a=0时，f（x）=e2x，函数 f（x）单调递增，不合，舍去，故a=e……………………5分

（2）①若a=0， 则f （x）=e2x=（e2）x， 函数f（x）无零点……6分

②若a<0，则f ′（x）>0， 函数f（x）单调递增，且f （）=

e-1<1-1=0，故f（0）=1>0仅存在唯一零点………7分

③若a>0， 则f ′（x）=2（ex-）（ex+）， 当x∈（0，lna）时，f ′（x）<0，f（x）单调递减；当x∈（lna，+∞）时，f ′（x）>0，f （x）单调递增；故函数f （x）的最小值为：

g（a）=f（lna）=e2×lna-2a×lna=a-alna（a>0）……8分

下面对f （x）的最小值g（a）作如下分析：

当a→0+时，显然g（a）=a-alna>0，

由g′（a）=-lna，当a∈（0，1）时，g′（a）>0，g（a）单调递增；当a∈（1，+∞）时，g′（a）<0，g（a）单调递减；又g（1）=1-1×ln1=1，g（e）=e-e×lne=0 ………………9分

故当a∈（0，e）时，g（a）>0，函数f（x）无零点 ……10分

当a=e时，g（a）=0，函数f（x）有唯一零点 ………11分

当a∈（e，+∞）时，g（a）<0，函数f（x）有两个零点.

综上所述，f（x）的零点个数为：①当a∈[0，e）时，f（x）无零点；②当a<0或a=e时，f（x）有一个零点；③当a∈（e，+∞）时，f（x）有两个零点 ……12分

22. 解析：（1）连接OD，则OD⊥DE …………1分

连接BD，则AD⊥BD ……………2分

因为AB=BC，所以AD=DC ………………3分

又AO=OB，所以OD∥BC ………………4分

所以DE⊥BC ………………………5分

（2）若∠BAC=30°，则∠BDE=30° ………6分

由BE=，故DB=1，AD=DC= ………8分

由切割线定理得：CT2=CD·CA=×2=6 ……9分

所以CT= ………………………………………10分

23. 解析：（1）C1：x+y-1=0，过（1，0）、（0，1）两点的一条直线 …………2分

C2：x2+y2=4，以原点为圆心，2为半径的圆 ………4分

（2）当t=-时，P（，）. Q（2cos？兹，2sin？兹） ………5分

故M（+cos？兹，+sin？兹）…………………………6分

L为直线2x+2y+3=0 ……………………7分

∴点M到直线L的距离d==|cos？兹+sin？兹+| = |sin（？兹+）+|≤1+ …………9分

即当？兹=2k？仔+，k∈Z时，d取得最大值1+ ……10分

（也可从圆心到直线的距离再加上圆的半径这一思路入手，同样可得）

24. 解析：（1）当a=1时，不等式 f（x）>1 化为│x-1│-2│x-3│>1，

当x≤1时，不等式化为x>6，无解；

当18，解得

当x>3时，不等式化为x<4，解得3

所以f（x）>1的解集{x│

（2）由题意可得：f（x）=x-5a，x≤03x-7a，a3a………7分

所以函数f（x）的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A（， 0）， B（0， 2a）， C（5a， 0），三角形的面积为 |5a-|·2a= ……9分

因为三角形的面积大于，故a的取值范围为a>1

…………………………10分