数学作业中的一题多解

数学作业中的一题多解（精选十篇）

数学作业中的一题多解 篇1

学习中对同一个问题从不同角度、不同方向依据题目所提供的条件, 借助一些思想方法的指导, 从而挖掘出尽可能多的有用信息, 设想出多种解决问题的方案, 并利用已有知识分别解决问题的过程, 我们称之为一题多解。在一题多解的问题情境下, 学生的思维活动逐渐在问题信息的激发下活跃起来, 各种新颖的见解逐一产生, 解决问题的思路逐步在学生的主动思考或同学间的相互交流、合作下形成并不断得到完善。学生通过一题多解, 使知识本身被掌握和应用, 加强了各知识点之间的有效整合, 形成了对知识体系的重新建构, 同时开拓了思维, 锻炼了解决问题的灵活性, 提炼了解决问题的思想方法, 获得了一定的知识和经验。

因此, 作为一线教师, 我们对一题多解应给以足够的重视, 要看到它在数学课堂教学中的有益之处, 以便更好地利用其提高课堂实效, 促进教学质量的提高, 使学生在获得知识的同时, 思维和技能得到提升。以下我将结合具体实例从四个方面谈谈对数学课堂教学中的一题多解的浅显认识。

一、一题多解能调动学生的学习兴趣和热情, 活跃课堂氛围, 有利于培养学生的发散性思维

培养发散思维就是要使学生灵活应用所学知识从不同角度去观察问题、解决问题。学生要能够通过自己的观察、分析、推理、综合得出结论, 从不同途径, 用不同形式去解决问题, 这是发展创造性思维的基础。有了发散性思维, 学生就能发现新知识、新规律, 形成新的知识体系和知识结构。

现代数学教育理论认为, 数学教学是数学活动的教学, 解题活动是数学活动的主导部分, 而解题活动的实质是思维活动 (也就是分析、解决问题的过程) 。因此, 在数学教学中以解决问题为中心设置一些能培养学生发散性思维的题目, 既有利于学生理解数学知识、掌握数学思维方法, 也能锻炼学生的数学思维能力, 促进数学知识与技能的全面和谐发展。

例1:如图 (1) , 在△ABC中, AD是BC边上的中线。AB=8, AC=6.求AD的取值范围。

分析:

解法一:如图, 延长A D至F, 使DF=AD, 连接BF、CF,

则四边形ABFC是平行四边形,

所以, BF=AC=6。

在△ABF中, 由三角形任意一边大于其他两边之差, 而小于两边之和, 得AB-BF<AF<AB+BF

解法二:作AB的中点E, 连接DE, 则DE是△ABC的中位线,

在△AED中, 由三角形任意一边大于其他两边之差, 而小于两边之和, 得AE-BD<AD<AE+BD, 所以, 1<AD<7。

一题多解的问题是调动学生积极参与思维活动的一种有效途径, 它给学生足够的机会、更多的思考方向, 有利于发散性思维和创造性思维的培养和发展。

二、一题多解发挥了学生的主体作用, 使得每个学生都参与到数学学习中去, 有利于因材施教

在教学中, 我们面对的学生基础不同, 性格各异, 兴趣爱好有别, 无论是学习较好的学生, 还是基础较差的学生, 存在多方面的差异。教师要看到差异存在的必然性和客观性, 在教学中采取必要措施去照顾学生的个体差异, 因材施教, 使每个学生都能参与到学习中, 主动思维, 最终获得不同程度的发展。一题多解的题目具有思路广、方法多的特点, 适合不同层次的学生共同学习、探究。在这个学习过程中, 每个学生都能参与其中, 积极思考, 发表意见, 使原有的知识和方法在不同程度和范围得到了应用和更新, 使经验得到积累, 智力水平得到不断提升。

一题多解的教学过程正可谓是仁者见仁、智者见智的学习过程, 但要强调的是, 在这个过程中, 无论学生的见解常规老套, 还是新颖独到、别具一格, 都应得到教师及时有效的鼓励, 以激发学生的学习热情和创造灵感, 打开思维空间, 使不同层次的学生各有所思、各有所想、各有所为、各有所得。

三、一题多解能加深学生对已有知识和方法的理解和掌握, 使学生体会各知识点间的相互联系, 使学生的知识体系再次重构, 形成新的认知体系

联系是指一切事物、现象、过程之间及其内部诸因素之间的相互影响、相互作用和相互制约的关系。数学知识、数学思想方法、技能是一个相互联系的有机体。知识和思想方法之间是内容和形式的关系, 数学知识是基础。没有知识, 思想方法就是无源之水、无本之木;而没有思想方法, 知识就是一盘散沙。正如有人所说的, 数学知识是一堆零件, 思想方法则是一张图纸, 而把零件组装成机器的是技能。

新课程标准指出, 学生掌握数学知识, 不能依靠死记硬背, 而应以理解为基础, 并在应用中不断巩固和强化。这也就是说, 知识应该在理解—应用—理解的不断循环中掌握。在一题多解的学习中, 学生为了达到解决问题的目的, 使原有的知识和方法在不同思维的支配下被有效应用, 既加深了对知识、方法的深层次理解和认识, 也使原有知识得到了更新, 思想方法得到了拓展。

四、一题多解能够形成有效的评价

一题多解后, 学生要对各种不同的方法进行评价, 比较它们在解题中的繁简、优劣, 总结、归纳出各种思维方法的适用条件和范围, 形成自己的经验技能。同时, 通过一题多解学生还能达到对试题本身的深层次认识和评价。同时, 一题多解还可以为教师在教学设计时的实体选择和设计提供参考和帮助。

例2:直角三角形草坪的周长是50m, 斜边长为20m, 这块草坪的面积为 () m2。

分析:

方法一:如图 (2) , 在Rt△ABC中, 设AB=x, BC=y。

因为c∆ABC=AB+BC+AC=x+y+20=50所以, x+y=30。

在R t△A B C中, 由勾股定理得:AC2+B2C=AC2, 即有x2+y2=202

又由完全平方公式得:

方法二:设Rt△ABC的一条直角边为x, 则另一条直角边为30-x。在Rt△ABC中, 由勾股定理得:x2+ (30-x) 2=202, 即x2-30x+250=0, 由一元二次方程根的判别式△=b2-4ac=302-4×250=-100<0得此方程无解, 也就是说这样的直角三角形不存在。

上述问题若只为得到结果, 学生只需掌握方法一足以, 但若能从方法二的角度再次认识问题, 我们却发现, 这样的三角形根本就画不出来, 自然, 它的面积还可能是125m2吗?这样的题目虽能练习完全平方公式的应用, 但它反映的事实与现实不符, 所以, 要对题目加以修改, 使其符合事实。

教学中, 教师要积极主动地预设一些有利于教学的一题多解型题目, 让问题的解决方式以开放的形式出现, 要充分尊重学生的能力, 给学生一定的时间, 调动他们的积极性, 鼓励他们根据自己的知识、经验、理解进行思维, 畅所欲言, 发表自己独特的见解。同时, 作为教师, 也应细心发现每位学生的“亮点”, 营造出一种互动、和谐、有效的数学课堂教学氛围, 使学生在共同探索、相互学习中发展思维, 学习数学。

摘要：一题多解, 即充分运用学过的知识, 从不同的角度、不同的方向、不同层面思考数学问题, 采用多种方法解决问题, 这有利于培养学生的发散思维能力和解题技巧, 有利于学生提高解决综合问题的能力, 有利于学生启迪思维、开阔视野, 全方位思考问题、分析问题, 有利于培养学生的探索创新精神, 有利于学生加深理解各部分知识间的纵横方向的内在联系, 掌握各部分知识之间的相互转化, 所以教师在教学过程中要多挖掘一些行之有效的一题多解例题和习题, 使学生的思维应变能力得到充分的锻炼和培养。

关键词：一题多解,数学,教学

参考文献

[1]张俭福.数学教学中一题多解的调控机制[J].数学通报, 2007 (11) .

数学作业中的一题多解 篇2

一题多解，多题一解，一题多变等。在中学物理教学中经常用到的教学方法，也就是日常教学方法。所谓常规的方法主要是通过对课本概念和习题的讲解来提高学生对物理知识的理解能力和解题能力。其中，习题教学是物理教学的重要组成部分，是概念、原理和规律教学的延续和深化，是达到教学目的，使学生掌握基础知识和基本技能，培养和提高能力的重要环节。

对于常规的方法——一题多解的教学主要是提高学生的求异思维。我们在教学中应该有计划、有目的地去引导学生打破常规思维、寻求变异、广开思路、充分想象，逐步培养学生从不同角度、不同思路上思考问题，看问题有独创见解，培养学生解题的能力。

对于常规的方法——多题一解。其教学目的就是要教会学生有着高度归纳分析及迁移能力，物理教学中，由于力的概念和规律贯穿物理学的各个部分，除了纯力问题，物理学的其它部分，尤其是电磁学的许多综合问题都跟力学有关，因此，老师应引导学生从不同的问题中，分析出共同的特征和过程，与典型的物理模型相比较，这样减少学生对不同物理过程不同方法的机械记忆，克服题海战术，有助于提高思维能力和综合能力。

对于常规的方法——一题多变的教学，就是抓住习题的中心思想，由点到线，由线到面，很多相近知识或相近题，抓到一个点，就解决一类问题的实效。这种教学有利于培养学生的逆向思维能力、观察力、应变力和创造力。

以上为大家介绍的三种常规的中学物理教学方法，在教学过程中要把他们相互结合运用，而不是只是教学生单独一种。如此，才能更好的提高学生学习物理的兴趣和爱好；才能进一步的提高学生解题能力；才能使自己的教学水平有着很好的提高。

玛纳斯电厂学校中理组

中考数学压轴题的一题多解思路 篇3

关键词：中考数学 压轴题 一题多解

在每年的初中升学数学复习时，教师总编较多的数学压轴题让学生练习，其目的是让学生从练习中巩固知识，寻求规律，同时摸索解题思路和方法，积累解答数学的技能。我认为教师编的习题不在于多而在于精，并在精题上通过教师的有效点拨，使学生融会贯通，举一反三。其中一题多解会起到重要的作用：加强一题多解的训练，可以帮助学生从不同的角度来思考问题，活跃学生的解题思路，开阔视野，煅炼学生思维的敏捷性，提高学生的思维能力和灵活运用各种知识解决问题的能力，同时还可以加深对数学过程的理解，激发学生的学习兴趣，从而在复习过程中达到事半功倍之效。下面我就2011年遵义初中第27题用不同的方法简单分析。

27．（14分）如图，已知抛物线 的顶点坐标为Q ，且与 轴交于点C ，与 轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PD∥ 轴，交AC于点D．

(1)求该抛物线的函数关系式；

(2)当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；

(3)在问题(2)的结论下，若点E在 轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）（3分）

∵抛物线的顶点为Q（2，-1）

∴设

将C（0，3）代入上式，得

∴ ， 即

（2）（7分）分两种情况：

①(3分)当点P1为直角顶点时,点P1与点B重合(如图)令 =0, 得

解之得 ,

∵点A在点B的右边,

∴B(1,0), A(3,0) ∴P1(1,0)

②(4分)解:当点A为△APD2的直角顶点是(如图)

∵OA=OC, ∠AOC= , ∴∠OAD2=

当∠D2AP2= 时, ∠OAP2= ,∴AO平分∠D2AP2

又∵P2D2∥ 轴, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2关于 轴对称.

设直线AC的函数关系式为

将A(3,0), C(0,3)代入上式得

, ∴

∴

∵D2在 上, P2在 上,

∴设D2( , ), P2( , )

∴( )+( )=0

, ∴ , (舍)

∴当 =2时,= =-1

∴P2的坐标为P2(2,-1)(即为抛物线顶点)

∴P点坐标为P1(1,0), P2(2,-1)

(3)(4分)解: 由题(2)知,当点P的坐标为P1(1,0)时,不能构成平行四边形；当点P的坐标为P2(2,-1)(即顶点Q)时,平移直线AP(如图)交 轴于点E,交抛物线于点F.当AP=FE时,四边形PAFE是平行四边形∵P(2,-1), ∴可令F( ,1)∴

解之得:,

∴F点有两点,即F1( ,1), F2( ,1)。

点评：

1、本题以平面直角坐标系为背景，考查了学生对二次函数的理解，主要考查用待定系数法求二次函数的解析式等基础知识、基本技能。此题第一问入口容易，易上手得分。

2、第二问以动带静，考查数型结合思想、分类讨论等。

3、第三问要在第二问的基础上再分类讨论。

4、本题解法多，思路宽，入手易。

下面我们再研究第二问的不同解法。

解法二：①显然，当P与点B重合时

P的坐标为P1（2，-1）；

②又AB=2，∠OAD2= ,Q(2，-1)，

作QH⊥AB于H，∴QH=1，

QH=1/2AB=AH=1, ∴∠QAD= ,

∴当点P与点Q重合时

△PAD是直角三角形，

∴P的坐标为P2（2，-1）

解法三：①显然，当P与点B重合时

P的坐标为P1（2，-1）；

②连接CQ、AQ，可得

,

∵

∴∠CAQ= ,(勾股定理逆定理)，

即当点P移动到点Q（顶点）时，

有∠CAP(Q)=,

∴△PAD是直角三角形，

∴P的坐标为P2（2，-1）

解法四：①显然，当P与点B重合时

P的坐标为P1（2，-1）；

②若∠DAP= ，设DP与OA交于点H，

∵∠OAD= ，∴∠OAP= ,

设AH=HP=x，

∴OH=3-x，则P（3-x,-x）,

点P在抛物线 上，

∴有 ，

解之得

当 时，P（3，0），

与点A重合（舍）；

当 时，P2（2，-1），与Q重合…

解法五：①显然，当P与点B重合时

P的坐标为P1（2，-1）；

②过点A作AP⊥CA，交抛物线

于点P，作PD∥ 轴,交OA于H，

设HB= ,AH= ,

显然，DH=AH=PH= ，

OH= ，

∴P（ ， ），

将点P坐标代入 ，

得 ，

解之得，

当 时，P2（2，-1）与Q重合；

当 时，P（3，0）与A重合（舍）

解法六：（利用相似求解）

直线AC:, D(x,-x+3),

DP=-x+3-(x2-4x+3)=-x2+3x,

延长DP交OA于点E，

∵A（3,0），E（x,0）

∴AE=DE=OA-OE=3-x,AD=

①当∠DPA=∠COA= 时，

∵PD∥ 轴,

∴△PAD∽△COA, ,

即 ，解之得，

∴P（1，0）与B重合，P（3，0）与A重合（舍）

②当∠DAP=∠COA= 时,

△PAD∽△COA, ,

即 ，解之得，

∴P（2，-1）与Q点(顶点)重合，

∴P1（1，0），P2（2，-1）

数学作业中的一题多解 篇4

一题多解萌芽创新意识。“一题多解”就是启发和引导学生从不同角度、不同思路用不同的方法去分析解答同一道数学题的练习活动。求异思维是创造思维的出发点, 具有创造力的人才能用超出寻常的办法去创造性的解决问题。因此, 在小学数学课堂教学中, 根据不同的知识角度, 不同的侧面要求解同一试题, 可以开阔学生视野, 拓宽解题思路, 深化思维活动, 有利于创新意识的培养, 一题目多解, 是从典型的习题入手, 适当变换条件和结论, 对原理逐步加以引伸, 发散和发展, 循思设疑, 让学生由“疑”到“思”, 由“思”到“知”, 从而启发思维, 培养创新意识。一题多解的训练不仅是开拓学生思路提高能力的有效途径还可以培养学生思维的灵活性和发散性激发学生数学兴趣发展智力。教给学生一题多解的基本解题方法可以让学生更好地掌握解题规律提高综合运用知识解答数学问题的技能。通过一题多解的训练, 既能夯实基础知识, 又能锻炼学生的思维, 培养学生思维的灵活性和深刻性, 而且更能萌发学生的创新灵感。一种独特的思路与解法固然算不上发明创造, 但它确实是创新的萌芽。那么在数学教学中如何通过一题多解来培养学生的创新思维呢?

一、创设良好氛围, 让学生敢创新

美国心理学家罗杰认为:“成功的教学依赖于一种真诚的尊重和信任的师生关系, 依赖于一种和谐安全的课堂气氛。”在教学中, 教师要努力为学生创设一种宽松和谐的课堂气氛, 使学生在学习、讨论、交流中体验到平等、民主、理解、信任, 从而激发“人人求新”的欲望, 培养学生积极参与课堂讨论的合作精神。

二、鼓励质疑问难, 让学生想创新

古人云:学起于思, 思源于疑。疑是学习的开始, 有疑问才会去探索。学生的思维往往是从疑问开始的。爱因斯坦说过:提出一个问题往往比解决一个问题更为重要。学会发现问题和提出问题是学会创新的关键, 因此, 我们要鼓励学生质疑, 培养质疑问难的品质, 开启创新思维之门, 使学生在探究中善于发现问题, 敢于提出问题, 精于分析问题, 巧于解决问题。

例如在教学应用题:一辆汽车3次可运粮食105袋, 照这样计算, 7辆汽车运980袋粮食, 需几次运光?

应列式为:105÷3=35 (袋) 980÷7=140 (袋) 140÷35=4 (次) 。有位同学提出能否列为:105÷3=35 (袋) 980÷35=28 (次) 28÷7=4 (次) 或列为105÷3=35 (袋) 35×7=245袋) 980÷245=4 (次) 的列法, 这一问题的提出引起了学生们的纷纷议论。教师及时表扬了这位同学敢于发现问题、提出问题的作法, 然后引导学生分析、验证, 结果是正确的。

可见, 在教学中鼓励学生质疑问难, 有利于发展学生的创新思维, 使学生牢固地掌握所学知识。

三、精心设计教学, 使学生能创新

教学心理学认为, “学习的目的是为了迁移和应用。”学生的认知活动总是以已有知识和经验为前提, 利用已有的知识和技能参与新的认知活动, 并运用知识迁移规律主动地获取新知。提出问题时教师应提出探究性和开放性的问题, 学生自主探索, 鼓励学生运用所学知识, 尝试用多种方式, 合理、灵活地进行解题, 通过这样的教学形式, 使学生创新意识的培养落到实处。

例如:在教学“乘法的一些简便算法”中一题, 25×16, 题出示后, 放手让每个学生大胆尝试运用所学过的运算定律简算, 结果学生在黑板上列出了很多的方法。

这样既强化了所学知识, 活跃了课堂气氛, 把整节课推向高潮, 又充分体现了教学的民主性, 留给学生选择的余地和探究的空间, 把创新意识的培养落到了实处。

四、挖掘教材中的创造因素, 培养创新能力

教师优化教学方法, 创造性地使用教材, 深入地挖掘教材中的创造性因素。积极引导, 启发学生主动地探求新知, 唤起学生的创新意识, 激发学生的创新热情, 培养学生的创造能力。

例如, 学完平均数应用题以后, 设计这样一道题:李明家今年上半年每月用分别是:20吨、22吨、19吨、21吨、23吨, 上半年平均每月用水多少吨?此题的一种解法是: (20+22+19+21+23+23) ÷6≈21 (吨) 。这种解法较繁, 如果对这6个数据进行分析, 不难看出6个月中有5个月的用水量不低于20吨, 先用21吨中的1吨给19吨补足, 然后把另外3个月超出20吨的吨数相加, 用他们的和除以6的商再加上20吨, 于是得到下面的巧妙解法:20+ (2+3+3) ÷6=20+8÷6≈21 (吨) 。在应用题教学中, 经常进行一题多解, 一题多变, 一式编多题, 一图编多题、一题多验算的训练。这种创造性的使用教材, 有益于培养学生的创造能力。

五、精心设计练习, 培养学生创新能力

练习是学生掌握知识, 形成技能, 发展智力的重要手段, 也是培养学生创新意识和创新能力的基本途径。因此, 练习的设计要有层次性、梯度感, 应注意设计具有拓展性, 开放性, 操作性的练习, 使学生在掌握知识, 形成技能的基础上, 有利于学生灵活运用所学知识多角度思考, 不仅发散了思维, 还更好地培养了学生独特思考问题的方法, 培养了创新能力。例如在“小数的性质”教学之后, 我便设计了这样一组开放性的练习题:请你举出所有“0”都能去掉的小数;请你举出所有“0”都不能去掉的小数;请你举出与“2.05”大小相同的小数。看到题目, 同学们的思维一下子被激活了, 经过思考, 每个同学都举出了好多符合条件的小数。通过开放性练习, 使学生既巩固了知识, 发展了思维, 而且激发了创新意识和创新能力。

一题多解让学生体会到了数学的奥妙 篇5

问题背景:数学相对于其他学科来说具有抽象、逻辑性强的特点，而小学生又以形象思维为主，所以有很多学生觉得数学枯燥，对数学不感兴趣。因而在学习了比例尺这一单元后，我想借助比例尺与分数应用题、比之间的联系，编一道一题多解的应用题，以此为契机使学生体会到数学的博大精深与奥妙无穷，进而激发学生学习数学的兴趣。

解决问题过程:甲、乙两地的图上距离是4厘米，比例尺是1:3000000，求实际距离是多少千米？

请同学们先自己做，然后小组合作交流，看哪个小组用的解题方法多？学生先是自己冥思苦想，继而小组成员热烈讨论，最后小组代表积极发的言，最终经过全班同学通过的有以下5种方法: 第一种:根据比例尺的定义用方程解。解:设甲、乙两地的实际距离是X厘米。4:x=1:3000000 x=4X3000000 x=12000000 12000000厘米=120千米

这种方法是根据比例尺的意义列出的方程，同学们都能列出。第二种方法:把1:3000000写作:1/3000000，这样单位“1"就是实际距离，根据分数应用题的意义列式为: 4÷1/3000000=4x3000000=12000000厘米=120千米

这种方法是把比例尺这个比转化为分数，进行及计算。成绩较好的学生能想出来，在小组合作探究环节，中下游的学生能够理解这种算法。第三种:根据比例的分配，列式为: 4÷1X3000000=12000000厘米=120千米

这是六年级上册学习的内容，有部分学生想不到，只要小组交流时有学生提出这一方法，大部分学生立刻能理解的。

第四种:因为图上距离:实际距离=比例尺，也就是图上距离÷实际距离=比例尺，（因为两个数相除又叫两个数的比，比与除法是有联系的），根据除数（实际距离）=被除数（图上距离）÷商（比例尺），列式为: 4÷1/30000000=4x3000000=12000000厘米=120千米 这种方法与第二种方法列式一样，但式子意义讲解不同。这一方法想出来的学生比较少，衔接有点复杂，但不难理解。第五种:把数值比例尺转化为线段比例尺。

3000000厘米=30千米(表示图上1厘米代表实际距离30千米)30X4=120千米。

这一方法是发散思维能力较强的学生想出来的方法。

这节课不论是小组交流还是全班交流都十分热烈，不时迸发出来的方法，让学生感到惊奇，同学的讲解又让他们产生了恍然大悟的感觉。于是学生在一次次的惊奇与恍然大悟中体悟到了数学的无穷奥妙。下课铃响了，学生们还意犹未尽，我听到他们又开始讨论那种方法容易理解，那种方法计算简洁。

课下反思：我真没想到“一题多解”学生们分析的这么深刻，我觉得这道题的设计有以下意义:

1、复习了旧的知识（分数应用题、比、比例分配、除法），巩固了新知识（比例尺）。

2、学生们搭建起了新、旧知识联系的桥梁。（比例尺就是比，比可以转化成分数，也可以转化成除法）

3、锻炼了学生运用旧知识解决新问题的能力，培养了学生发散思维能力。

4、激发学生求知的欲望。

5、使学生认识到合作探究的意义，因为任何一个人不可能想出这么多解题方法，合作探究，使每个小组的同学群策群力，达到了事办功倍的效果。

6、最大的意义是学生体会到了数学的奥妙，激发了孩子们学习数学的兴趣。

数学作业中的一题多解 篇6

评注以上解法是利用了共线向量的通性，但过程不是很简单，其实我们仔细观察条件等式，还可以通过简化形式，得到一个相对简单的方法. 评注解法2先是对题设中的等式进行了变形，即通过优化条件，然后再数形结合找到了一种解决问题简单办法，其实，解决数学问题的思想大都一样，先简化题设中的条件与结论，然后再去寻求解题的最佳途径.

评注解法3将一般情形特殊化，这样有助于复杂问题简单化，如果结论是一个填空题，还可以再进一步特殊化：在物理学中我们知道三个大小一样互相成120°的三个力作用于同一点合力为0.利用这个模型求解此例会更简明，也更易让人理解与接受.

解法4由平面向量的基本定理，我们知道，平面上的任一个向量都可以用一组基向量表示出来，且表示的形式唯一，这样不妨让我们用基向量思想方法来进行求解.

数学作业中的一题多解 篇7

例已知椭圆的两个焦点分别为F1, F2, 点P在椭圆上, 且PF1⊥PF2, 求点P至x轴的距离.

下面先与学生共同探讨得出几种常见的解题方法, 以作示例

解法一由得, c2=25-16=9, c = 3, F1 (-3, 0) , F2 (3, 0) , 设点P (x1, y1) 在椭圆上 , 则因为PF1⊥PF2, 所以, 所以, 则解得, 所以P至x轴的距离为16/3.

解法二由得 , c2 = 25 - 16 = 9, c = 3, F1 (-3, 0) , F2 (3, 0) .设点P (x1, y1) 在椭圆上, 则. 因为PF1⊥PF2, 所以, 所以, 又, 则解得|y1|=16/3, 所以P至x轴的距离为16/3.

解法三由得 , c2 = 25 - 16 = 9, c = 3, F1 (-3, 0) , F2 (3, 0) . 设点P (x1, y1) 在椭圆上, 以F1F2为直径做一个圆x2+ y2= 9, 因为PF1⊥PF2, 所以由圆的性质知, 点P (x1, y1) 也在圆上, 所以解得|y1| =16/3, 所以P至x轴的距离为16/3.

解法四由得 , a2 = 25, b2 = 16, c2 = 2516 = 9, a = 5, c = 3, 由椭圆的定义知……①, 因为PF1⊥PF2, 所以……②, ①2- ②得, , 所以所以, 解得d =16/3, 所以P至x轴的距离为16/3.

解法五由得, c2=25-16 = 9, c = 3, F1 (-3, 0) , F2 (3, 0) . 由椭圆的参数方程x = acosθ, y = b sinθ, 设点P (5cos θ, 4 sin θ) , 则因为PF1⊥PF2, 所以, 所以, 所以P至x轴的距离为|4sinθ| =16/3.

一题多解重在通过老师的引导, 让学生自己思考, 自觉的动脑、动手, 充分发挥学生自己的聪明才智, 得到解题方法.而不是多种方法一骨脑的由老师讲解, 让学生整理. 一题多解的有效性学习思路是老师引导, 学生想, 讨论, 最后老师将方法汇总, 学生通过一题多解让学生培养善于思考的学习习惯, 找到问题的最优解法.

数学课堂上, 适时地通过一题多解去激发出学生的智慧, 让学生从不同的方法、角度、思维方式去观察、联想、分析, 根据问题的特定条件探索出一系列的解题思路, 激发学生去发现和去创造的强烈欲望, 加深学生对所学知识的深刻理解, 有利于学生沟通知识间的联系, 训练学生对数学思想和数学方法的娴熟运用, 锻炼学生思维的广阔性和深刻性, 灵活性和独创性, 从而培养学生的思维品质, 发展学生的创造性思维, 培养学生的发散思维能力, 这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响.

在对本题几种常见方法探讨之后, 下面展示本题的变式与推广.

变式1:已知椭圆的两个焦点分别为F1, F2, 点P在椭圆上, 且PF1⊥PF2, 求点P至x轴的距离.

变式2:已知椭圆的两个焦点分别为F1, F2, 点P在椭圆上, 且PF1⊥PF2, 求△PF1F2的面积.

变式3:设F1, F2为椭圆的两个焦点, 点P在椭圆上, 已知PF1⊥PF2且|PF1| > |PF2|, 求|PF1|/|PF2|的值.

变式4:点A, B分别是椭圆的长轴的左右端点, 点F是椭圆的右焦点, 点P在椭圆上, 且位于x轴的上方, PA⊥PF, 求点P的坐标.

在中学数学习题变式教学中, 首先, 对习题的变式要从特殊到一般, 从简单到复杂, 从点到面, 循序渐进, 层层深入, 这符合学生认知规律的发展, 能有效培养学生的思维能力.其次, 对习题的变式要注意纵向联系, 要紧密联系以前所学知识, 让学生在学习新知识的同时对旧知识也得到复习、巩固和提高, 从而提高学习效率.

数学作业中的一题多解 篇8

在高等数学的教学过程中, 经常会遇到一题多解的现象, 如果在习题课上, 对这类例题进行分析、总结, 可以使学生对所学过的知识、方法进行复习, 加以巩固, 增强学生解题的灵活性, 也能提高学生的发散思维能力。本文基于高等数学中比较重要的知识点展开讨论。

1 积分方程的一题多解

积分方程起源于物理问题, 是含有对未知函数的积分运算的方程, 与微分方程相对应。积分方程作为近代数学的一个重要分支, 是研究数学和各种物理问题的一个重要的数学工具。许多数学物理问题需通过积分方程求解。对于积分方程, 常用的求解方法就是求导, 通过求一阶导数或多阶导数将其转化为微分方程, 然后按照相应的微分方程来寻求对应的解答方法。值得注意的是这类方程的定解条件往往隐含在给定的积分方程中, 因此需要我们把它挖掘出来, 从而使积分方程转化为一个初始问题。通过下面的例题进行详细的分析与讨论。

例:已知函数y=f (x) 可导, 且满足, 求f (x) 。

解法一:设F (x) 是f (x) 的一个原函数, 即F′ (x) =f (x) , 则上述方程可化为:

xF′ (x) =-2x3+2F (x) |1x即xF′ (x) =-2x3+2F (x) -2F (1) 且有F′ (1) =-2即f (1) =-2

对方程两边求导, F′ (x) +xF″ (x) =-6x2+2F′ (x) , 因此有f (x) +xf′ (x) =-6x2+2f (x) , 即为一阶线性齐次微分方程。

又f (1) =-2, 可以求得C=4, 所以f (x) =-6x2+4x

解法二:根据题目易知f (1) =-2, 对方程两边同时求导, 由变上限函数的求导法则可得:

f (x) +xf′ (x) =-6x2+2f (x) 且f′ (1) =-8, 再次对方程两边求导,

两边积分可得f′ (x) =-12x+C1, 再次积分f (x) =-6x2+C1x+C2。

解法三:根据题目易知f (1) =-2, 现对方程两边同时求导, 由变上限函数的求导法则可得

f (x) +xf′ (x) =-6x2+2f (x) 且f′ (1) =-8, 即xy′=-6x2+y, 也就是。

设, 则y=xu, y′=u+xu′带入上述方程即得:

u+xu′=-6x+u, 也就是u′=-6,

在解法一中, 我们是把积分方程化成了一阶线性非齐次微分方程。解法二中, 直接把积分方程化成了二阶常系数线性微分方程, 通过逐步积分来求解。解法三, 则是把积分方程化成了一阶微分方程, 按照齐次方程的求解方法解答。同一个积分方程按照不同的求解方法来求解, 既复习了求解微分方程常用的求解方法, 又为培养学生发散思维的能力奠定了一定的基础。

2 不定积分的一题多解

三角函数的不定积分是一类比较复杂的不定积分, 灵活性比较大, 因此是不定积分中较难掌握的一类积分。由于有理函数的积分总有一定的方法可循, 所以求三角函数有理式的积分时, 常常先设法将其化为有理函数的积分。常用的方法就是万能代换。但是, 万能代换也并不是万能的, 对于积分问题不作具体的分析, 盲目的使用万能代换, 最后得到的有理函数往往会比较繁琐。因此在计算三角函数有理式的不定积分时, 应先观察被积函数的特点, 再选择合适的方法进行求解。

解法三:变形凑微分

在解法一中, 直接利用万能代换求解不定积分, 将三角有理函数的积分化成了有理函数积分。解法二, 对万能代换做了改进, 当被积三角函数的幂次比较高的时候, 再利用半角代换, 得到的有理函数会比较复杂。改用公式u=tanx做代换, 得到的有理函数相对比较简单。如果被积三角函数含有sin2x, cos2x, tan2x也可利用u=tanx做代换。解法三最为简单, 利用凑微分法。因此在计算三角函数有理积分时, 先分析函数的特点, 再选用相应的方法, 才可事半功倍。另外, 采用不同的方法所得到的结果也不尽相同, 尤其是三角有理函数, 这充分展现了数学的魅力, 也能使学生的思维得到充分的发展, 提高学生的空间想象能力。

采用一题多解的授课模式, 可引导学生从不同的角度来观察和思考问题, 以寻求不同的解题途径, 同时引导学生对多种求解方法进行比较, 优化解题方法, 挖掘其内在联系, 从而培养学生的发散思维能力。

参考文献

[1]马少军, 赵翠萍.高等数学[M].北京:中国农业出版社, 2007.

[2]秦桂香, 谢永钦.高等数学学习方法指导的改革与实践[J].数学理论与应用, 2005, 25 (4) :148-149.

[3]苏洪雨, 江雪萍.高等数学案例教学的实践与探究[J].高等理科教育, 2009 (3) :30-33.

数学作业中的一题多解 篇9

大学数学课程主要包括高等数学 (微积分) 、线性代数、概率论与数理统计三门基础课程, 三门学科各有自己的知识体系, 又相互联系, 有知识的交叉点。文章采取“一题多解”的方式来给出了解答, 以此说明大学数学的知识间的密切相关性。

1应用举例

其中, 在极坐标系下,

下面在极坐标系下计算,

法三利用概率论与数理统计的知识给以证明。

若连续性随机变量X~N (0, 1) (标准正态分布) , 其概率密度函数

法二利用行列式中的克拉默法则。

所以线性方程组 (2) 有唯一解。

其中

法三利用矩阵的初等行变换求解非齐次方程Ax=b。

解方程组 (2) 求解可转化为非齐次方程Ax=b求解, 其中

下面对增广矩阵B= (A, b) 进行初等行变换, 即

不难得出x=1, y=-1, z=3。

解法一利用线性相关 (线性无关) 的定义判定。

则称向量组A是线性相关的, 否则称它线性无关的。

因此向量组线性相关。

法二利用矩阵的秩判断向量组的线性相关 (线性无关) 。

法三利用几何意义证明。

2小结

摘要：本文给出了3个大学数学方面的例题, 采取“一题多解”的方式作出了解答和证明, 进一步说明大学数学知识的相关性和紧密性, 开阔了教师的教学思路, 提高了学生分析问题和解决问题的能力。

关键词：大学数学,一题多解,方程组,矩阵,线性相关

参考文献

[1]同济大学数学系编.高等数学.下册[M].北京:高等教育出版社, 2007.

[2]同济大学数学系编.工程数学线性代数[M].北京:高等教育出版社, 2007.

[3]茹诗松, 程依明, 浪晓龙.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社, 2007.

[4]赵树嫄主编.经济应用数学基础 (1) 微积分[M].北京:中国人民大学出版社, 2007.

数学作业中的一题多解 篇10

一、“一题多变”在习题课教学中的应用

在高中数学教学中,所谓“一题多变”就是教师在一道数学题中,从多角度、多方位向学生提出不同的数学问题,以加深学生对数学知识的理解.一题多变能够培养学生融会贯通、举一反三、触类旁通的能力,进而培养学生的创新思维.下面以一道习题为例进行说明.

【例1】已知sinα=4/5,且α是第二 象限的角,求tanα.

变式2:已知sinα=m(m>0),求tanα.

解:由条件0<m≤1,所以当0<m<1时,α是第一或第二象限的角.

当m=1时,tanα不存在.

不难看出,本道习题从一道数学题 出发,从多角度考查了有关三角函数的诸多知识.这道题能有效地培养学生综合运用数学知识的能力,进而发展学生的数学思维.毫不夸张,在习题课 教学中,若学生能 将此题弄 清楚,则可大大提升课堂教学效率.因为通过这道题的学习,学生能摆脱题海战术,在解题的技巧与能力上有所进步.可见,高中数学习题课教学中,“一题多变”的效益是显著的.

二、“一题多解”在习题课教学中的应用

在高中数学教学中,所谓“一题多解”就是指教师要求学生从不同角度采用不同的方法或策略解决同一道数学题.“一题多解”的教学策略不仅有利于锻炼学生思维的灵活性,而且能够 培养和提 高学生的 数学发散 思维.下面以一道习题为例进行说明.

【例2】已知函 数x∈ [1,+∞).

(1)当a=1/2时,求函数f(x)的最小值;

(2)若对于任意x∈[1,+ ∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围.