高等数学微积分

高等数学微积分（精选十篇）

高等数学微积分 篇1

一、微积分的发展

微积分主要包括极限、微分学、积分学.早在古希腊时期, 学者阿基米德在研究有关球的问题时就已经涉及了积分学.至于极限学, 作为微积分研究的基础, 早在我国古代就已经开始应用, 只不过那时人们没有将它单独规范为一门学科.

微积分的发展历史就是一部人类对自然认知的过程史.17世纪, 人类的知识体系还不是很完善, 对于一些计算问题束手无策, 这就要求人类找到一种科学方法来解决这些疑问, 于是科学家们开始研究微积分.困扰当时人类的难题主要为四类, 第一类问题出现在物体运动中, 即速度问题.第二类问题出现在曲线中, 即曲线的切线问题.第三类问题出现在函数中, 即函数的极值问题.第四类问题出现在力学中, 即两个物体之间的作用力问题.人类的求知欲引导着科学家进行漫长的探索.

17世纪, 各个领域的科学家在微积分领域开始了研究, 他们的国度不同, 语言不通, 信仰不同, 但对于研究的目标是一致的, 那就是解决问题, 虽然没有最终总结出完整的理论, 但他们的探索为后世的研究奠定了道路, 也为微积分学说的提出作出了不小的贡献.

17世纪中叶, 英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨经过总结前人成果和自己的不断探索终于提出了微积分学说, 但还只是初步.直到1671年牛顿写了《流数法和无穷级数》, 提出了微积分的主要思想.1684年莱布尼茨发表了《一种求极大极小和切线的新方法, 它也适用于分式和无理量, 以及这种新方法的奇妙类型的计算》, 这本书提出了精确的数学符号, 也规范了微积分学说.

19世纪初, 以柯西为首的法国科学家, 开始整理前人的微积分理论, 并建立了极限理论.后来维尔斯特拉斯又经过深入研究, 最后终于完善了微积分理论.

从微积分漫长的发展史可以看出, 微积分的发展过程就是人类对自然认知的过程, 人类解决任何问题都是从直观的认识开始的, 运用抽象思维, 最终将问题由感性认识成功转化为理性结论.其实, 高等数学的教学也是这样, 下面从微积分发展的角度, 针对高等数学的微积分教学提出几点教学建议.

二、从微积分发展的角度, 针对高等数学的微积分教学提出几点建议

(一) 教导学生认识微积分的重要性

微积分是高等数学教育的基础, 是每个大学都会开设的一门基础学科.然而, 学生们学习微积分, 往往是为了应付考试, 根本就无法将其应用到实际生活中.针对这一点, 微积分教学时, 教师首先应该帮助学生端正自己的学习态度, 只有持有一个端正明确的学习态度, 学生们才能真正用心地去学习微积分.微积分课程一般被安排在大学一年级, 而一年级正是学生们刚刚步入大学的时期, 对于微积分这类复杂的数学知识学生们还没有太合理的数学思维去适应并掌握它, 且微积分理论不仅难于理解还很枯燥乏味, 对于学生们和老师来说都感觉“食之无味, 弃之可惜”, 最后的结果就是为了应对考试而只能硬着头皮死记硬背.教师应该让学生明白微积分并不仅仅是一个数学知识, 它还是解决很多实际问题的金钥匙, 学生们要想做一个对社会有用的人, 就要端正学习态度, 绝对不能知难而退, 要打好高等数学的基础, 就要认真学习微积分.

(二) 理论联系实际, 具体地教授学生微积分知识

抽象的理论很难被学生接受, 尤其是微积分这种生涩的知识, 更是不易掌握.针对这一点, 应该多借鉴微积分的发展史, 科学家开始也只是借鉴了生活中的实例, 高等教学也可以这样做, 可以引进一些恰当的教学模型, 如讲解极限时, 可以借助球体.这样不仅让学生听到讲解, 也要学生看到讲解的过程, 便于学生全面的掌握知识.如在高等数学微积分的教学中曾出现这样一个问题:已知圆柱体的侧面和底面的厚度相同, 而顶部厚度为侧面厚度的2倍, 容积为V=3π, 求这个圆柱体的高和底面的直径的比?传统的教学中, 教师直接运用公式解答, 最后学生们听得一头雾水;而按照本文所说的教学模式, 教师可以先找一个易拉罐来当模型, 然后让学生们实际接触并加以研究, 理论结合实际, 一定会有助于学生建立良好的数学模型.

结束语

人们总是善于从生活中发现并提取知识, 并从感性认知成功地过渡到总结并提出理性观念, 微积分学说的成功提出正是验证了这一点, 我们在做任何事时都是重复着这一过程.高等数学微积分教学是一个艰巨的任务, 不仅考验学生的认知能力, 也考验教师的传授方式, 只有提高学生对微积分的认识, 再将理论与实际有机地结合起来, 才能帮助学生掌握微积分理论.

参考文献

[1]曹桃云.微积分中蕴含的数学美[J].成都大学学报, 2007 (87) .

大学如何学好高等数学微积分 篇2

学习高等数学，首先要理解知识间的必然联系，在头脑中形成一个知识网络。《高等数学》(一)微积分教材共有八章，涉及极限、微分、积分、级数、微分方程等方方面面的知识，需要理解、记忆、掌握、熟练运用大量的定理与公式。这就要求学习者在学习的过程中，理清思路，弄清整本教材的脉络。

该课程的核心是微积分，围绕这一核心，需要了解作为微积分研究对象的一元函数和多元函数的概念。极限理论和方法是微积分建立，无穷级数学习的基础，因而极限论成为重要的基础内容。而微分方程则是微积分的一个应用，它与微积分有着密切的联系。从这些方面来看，虽然函数、极限、微分、积分、无穷级数、微分方程各自有各自的特点，但它们又是一个密不可分的整体。为此，在学习的过程中，应该掌握好每一块内容的重点和要点，由点带动面的学习，由局部带动整体的理解。

浅谈高等数学中微积分的经济应用 篇3

[关键词]微积分；经济应用；高中生审视角度

近年来，国民生产总值不断提高，现代经济的发展也较为快速，这就要求有相应的理论基础来支持不断与时俱进的经济的发展。高等数学是现代经济管理的基础知识，其中的微积分对现代经济彰显得尤为重要，微积分与现代经济两者互相作用、互相促进。结合教学现状，高中数学起着承上启下的过渡性作用，这要求高中生不仅提高对高等数学的微积分在现代经济管理中的应用的意识，还要不断提高学习能力，彻底掌握基础知识，不断将所学运用于实际经济生活当中。

一、高等数学中的微积分与经济学的联系

1.微积分思想在经济学中具有重要作用

微积分是高等数学中研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支，包含了极限、微分学、积分学及其应用，是数学的一个基础学科。而经济学是研究价值的生产、流通、分配、消费的规律的理论，通过数学知识及微积分思想实现稀缺资源的有效分配和最大分配，满足人类的经济活动和生产需求。

（1）拓宽了经济学的研究领域。经济学的研究领域非常广泛，研究了个人、企业、政府及相关组织如何在社会生活中进行选择，以及这些选择将会对稀缺资源产生怎样的决定的一门科学。这种特性就决定了经济学在学科分支上与其它学科有着必然的联系和交叉点。微积分思想在经济学中的运用恰好可以发挥着桥梁的作用，将经济学与其它学科紧密联系起来，很大程度上拓展了经济学领域在生活中的应用。

（2）提供了科学的指导方法。微积分中的微分学和积分学将经济问题通过数学函数及方法表示出来，可以帮助国家或政府制定符合社会经济背景的经济政策，在解决经济问题、达到一定的经济目的层面上有一定的指导作用。同时，微积分思想的严谨性、科学性及准确性也对多样化和复杂化的经济学问题起着规范作用，实现经济学问题中如效益最大化、收支平衡、供求匹配等等问题评判的相对准确性。

2.经济的发展反作用于高等数学中的微积分的拓展

快速发展的经济需要与时俱进的理论指导的支持，不仅需要经济学理论的不断发展，同时作为经济学的基础，即高等数学也要不断延伸和拓展，如此才能跟上不断进步的社会。现实生活中越来越多的经济问题具有高难度、涉及知识面广的特性，所以在高等数学领域也不断发现和探索，特别是微积分的探索与延伸。因此，现代经济的发展反作用于高等数学以及微积分知识的延伸与拓展、发现与创新。

3.两者相互作用、互相促进

高等数学中微积分思想在经济学中的运用促进了经济学问题的有效解决和逻辑思维的严谨性，而不断发展的经济又反作用于微积分知识的探索与延伸，促进了知识的全面性和综合性。因此，现代经济与微积分知识相互作用、互相促进。

二、高等数学中的微积分在经济领域的应用

1.微分学的应用

（1） 极限理论在经济学中的应用。极限理论普遍运用于经济学中，利用其极限值或最优值，对经济问题进行分析、预测，以达到资源的最优配置或利润的最大化。例如，利用微积分中的极限值可以预估需求价格弹性中在一定时期内一种商品的需求量的相对变动对于该商品的价格的相对变动的反应程度，预测后进行分析，对商品与价格的关系做出相应的平衡。在边际收益递减规律中，利用极限理论知识，通过转换为数学方法求解，求出在生产中不断增加某一种可变要素的投入量的极限值，使得每增加一单位可变投入所带来的总产量的增加量达到最优。还可以利用极限值理论处理国际收支平衡中一国在一定时期内全部对外交易所引起的收入总额与支出总额的对比平衡关系。

（2）导数和微分在经济学中的应用。在将经济学中复杂的问题转换为对数学建模的处理时，必然会反复并且大量地用到导数和微分知识。因此，导数和微分在经济学中发挥着必不可少的作用。

2.积分学的应用

积分学主要包括定积分和不定积分两个层面，积分是微分的逆运算，在经济学中的应用主要是通过已知的数学函数来积分求得原函数，简化函数的建立与求解，快速而又高效的解决问题。例如经济学中的金融利率、贷存款问题以及医疗保险问题等等都会用到积分学的知识，可谓是必不可少的基础应用。

三、站在高中生的角度审视微积分在经济领域的应用

随着学生年龄的增加，知识的不断积累和丰富，其接受能力、理解能力、思考能力以及逻辑思维能力也随着提高。然而，高中数学难度自然也增加，知识的抽象性越来越大，知识的密度越来越大，知识综合性也越来越大。同时，微积分是高等数学中的一个重点知识，要求学生具有高强度的思考能力、演算能力和推导能力。常常出现学生基础较差，学习习惯较差，对知识的不理解和不会运用。学生对高中数学知识在现代经济管理中的作用认识度不够高，对知识的运用较为局限，因此需要老师及家长耐心的循循诱导，增强学生对高等数学中微积分的知识在现代经济管理中的应用的认识，促进其高效学习能力的培养，增强其数学知识学习的透彻性和运用的广泛性意识。学以致用，理论结合现实，将学习中的微积分与现实问题更多的联系起来运用。

四、结语

当今，高等数学知识在现代经济中的应用具有普遍性和广泛性，而微积分在经济中的作用也彰显得越来越重要。高中生是学好微积分的关键期，在此阶段须得在老师耐心的辅导下好好学习，学会将所学所得运用的发展快速的经济当中。

参考文献：

[1]陆振刚.高等数学中的微积分经济应用探究[J].高等教育与专家论坛，2015-05-11.

[2]赵军健.微积分在经济分析中的应用[J].科技风，2014-08-12.

[3]于何.浅谈微积分在经济分析中的应用[J].辽宁对外贸易学院，2014-09-10.

高等数学中微积分证明不等式的探讨 篇4

例1 设函数f (x) =a1sinx+a2sin2x+…+ansinx, 其中a1, a2…an都为实数, n为正整数, 已知对于一切实数x, 有|f (x) |≤|sinx| , 试证:|a1+2a2+…+nan|≤1。

分析:问题中的条件与结论不属于同一类型的函数, 需要仔细分析它们之间的关系, 可以看出:a1+2a2+…+nan=f′ (0) 。于是问题可以转化为证明|f′ (0) |≤1。

证明:由f′ (x) =a1cosx+2a2cos2x+…+nancosnx。

得 f′ (0) =a1+2a2+…+nan。

undefined

undefined。

即|a1+2a2+…+nan|≤1。

说明:用导数定义来证明不等式的方法适用不广, 需要仔细观察问题的条件和结论之间的关系。

2 利用可导函数单调性证明不等式

可导函数类不等式的证明方法之一可利用其导数符号与函数单调性关系来证明, 此类函数的特征及其证明方法可概括如下:

若f (x) , g (x) 可导, 证明f (x) >g (x) 。

证明: (1) 用减法, 设x>a, 可转换为证明f (x) -g (x) >0。

从而构造辅助函数F (x) =f (x) -g (x) , 若F′ (x) >0, F (a) =0 则F (x) 单调递增, 因此, F (x) >F (a) =0, 所以F (x) =f (x) -g (x) >0。从而f (x) >g (x) , 若F′ (x) 不能判断是否大于0, 而F′ (a) =0 , 则求F′′ (x) , 若F′′ (x) >0 , 则F′ (x) 单调递增, 即F′ (x) >F′ (a) =0, 从而F (x) 单调递增, 则F (x) >F (a) =0, 所以f (x) >g (x) 。

(2) 用除法, 设a

undefined

因为g2 (x) >0, 所以考查分子, 不妨设:

φ (x) =f′ (x) g (x) -g′ (x) f (x)

φ′ (x) =f′′ (x) g (x) +f′ (x) g′ (x) -f (x) g′′ (x) -f′ (x) g′ (x)

φ′ (x) =f′′ (x) g (x) -f (x) g′′ (x)

①若φ′ (x) >0, F (a) =1, φ (a) =0, 则φ (x) 单调递增, F′ (x) >0, 即F (x) 单调递增。此时F (x) >F (a) =1, 即f (x) >g (x) ;

②若φ′ (x) <0, F (b) =1, φ (a) =0, 则φ (x) 单调递减, F′ (x) <0即F (x) 单调递减, 此时F (x) >F (b) =1, 即f (x) >g (x) 。

例2 求证undefined。

undefined

F′′ (x) >F′′ (0) =0, 得F′ (x) 单调递增,

F′ (x) >F′ (0) =0, 得F (x) 单调递增,

则F (x) >F (0) =0

即undefined

(本题F′ (x) 不能判断是否大于0, 但端点值为0, 所以求F′′ (x) , F′′ (x) 仍不能判断是否大于0, 但F′′ (0) =0, 继续求F′′′ (x) , F′′′ (x) 大于0, 且利用端点值为零, 一步步推出F′′ (x) , F′ (x) , F (x) 单调递增, 最后得出所要证的结论, 此题还可以用定积分的方法 (后面将给出) 。

例3 当undefined, 求证undefined。

分析:若令undefined, 由于导数符号不断变化, 故辅助函数F (x) 无单调性, 需重设辅助函数F (x) , 可用除法试之。

undefined

, 令g (x) =xconx-sinx, g (0) =0

g′ (x) =cosx-xsinx-cosx≤0,

∴g (x) 单调递减, 因此g (x) ≤g (0) =0

∴F′ (x) ≤0, ∴F (x) 单调递减,

undefined

说明:用函数的单调性证明时, 不等式两边的函数必须可导;对所构造的辅助函数F (x) 应在某闭区间上连续, 开区间内可导, 且在闭区间的某端点f (x) 的值为0, 然后通过在开区间内F′ (x) 的符号来判断F (x) 在闭区间上的单调性。一般先用减法, 若减法不能成立时, 而且它满足除法条件时, 可用除法试之。

3 利用函数的极值与最大、最小值证明不等式

3.1 极值与最大、最小值的求法

(1) 极值求法:

①求出可疑点, 即稳定点与不可导的连续点;

②按极值充分条件判定可疑点是否为极值点。

(2) 最大、最小值的求法:

①闭区间[a, b]上连续函数的最大、最小值的求法:

先求出可疑点, 再将可疑点处的函数值与端点a, b处的函数值比较, 最大者为最大值, 最小者为最小值。

②开区间 (a, b) 内可导函数的最大值、最小值的求法:

若f (x) 在 (a, b) 内可导, 且有唯一的极值点, 则此极值点即为最大值点或最小值点。

3.2 证明方法

当不等式两边含有相同的“形式”时, 可利用此形式构造辅助函数。

例4 证明:若p>1, 则对于[0, 1]中的任意x有:

undefined

分析:设辅助函数f (x) =xp+ (1-x) p (0≤x≤1) , 若设undefined, 故很难用函数单调性的定义去证明。不难看到不等式两端都是常数形式, 因而可想到用最值方法试之。

证明:设函数f (x) =xp+ (1-x) p, (0≤x≤1) 。

有f ′ (x) =pxp-1-p (1-x) p-1=p[xp-1- (1-x) p-1],

令f ′ (x) =0, 得唯一驻点undefined

从而, undefined.所以, undefined是极小值点也是最小值点, 最小值为undefined, 两边界为f (0) =f (1) =1。

所以undefined。

说明:当题设满足以下条件时宜用该方法:

(1) 所设函数f (x) 在某闭区间上连续, 开区间内可导, 但在所讨论的区间上不是单调函数时;

(2) 只能证不严格的不等式而不能证明严格的不等式。

4 利用拉格朗日中值定理证明不等式

4.1 拉格朗日中值定理

设函数f (x) 在[a, b]内连续, 在 (a, b) 内可导, 则有:

undefined, 其中ξ∈ (a, b) , b>a。

4.2 拉格朗日中值定理证明思想

拉格朗日中值定理是以等式形式存在的, 那么, 如何利用该定理去证明不等式呢?在拉格朗日中值公式中ξ∈ (a, b) , 我们根据ξ在 (a, b) 之间的取值可以估计f′ (ξ) 取值范围, 从而得到不等式。

4.3 用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤

(1) 验证函数在区间内满足拉格朗日中值定理的条件, 自变量所在的区间[a, b]。

(2) 对f (x) 求导, 从而得到f′ (ξ) , 由此建立一个等式

undefined。

(3) 由ξ的范围确定f′ (ξ) 的范围, 从而验证不等式。

例5 设0

证明:设f (x) =lnx, 则undefined, 对于f (x) =lnx在x∈[a, b]应用拉格朗日中值定理有undefined

ξ∈ (a, b)

即undefined

undefined

说明:拉格朗日中值定理将函数值与导数值连接在一起。这里没有给出ξ的确切位置, 而对于不等式而言, 也不需, 不必精确。因此可利用中值定理证明, 关键是选择f (x) 及区间[a, b]。

5 利用柯西中值定理证明不等式

柯西中值定理:设f (x) , g (x) 满足:

(1) 在区间[a, b]上连续;

(2) 在区间 (a, b) 内可导;

(3) f′ (x) 和g′ (x) 不同时为零;

(4) g (a) ≠g (b) 。

则至少存在一点ξ∈ (a, b) , 使得undefined。

例6 设e

证明:设f (x) =ln2x, g (x) =x则undefined。

对于f (x) , g (x) 在[a, b]上应用柯西中值定理有undefined。

设undefined, 考察φ (t) ,

undefined。显然当t>e时, 即1-lnt<0, φ′ (t) <0∴φ (t) 在t>e时单调递减。从而φ (ξ) >φ (e2) 。

即undefined, 故undefined。

说明:柯西中值定理是研究两个函数变量关系的中值定理, 当一个函数取作自变量自身时, 它就是拉格朗日中值定理, 所以能用拉格朗日中值定理证明的不等式一定能用柯西中值定理来证, 反之则不然。

6 利用泰勒公式证明不等式

6.1 泰勒定理

①函数f (x) 在闭区间[a, b]上存在直到n阶连续导数;

②f (x) 在开区间 (a, b) 内存在f (x) 的n+1阶导数, 则对任何x∈ (a, b) , 至少存在一点ξ∈ (a, b) , 使得:

undefined

6.2 泰勒公式证明不等式方法

(1) 根据已知条件, 围绕证明目标, 选取恰当的点将函数在该点展成泰勒展式;

(2) 根据已知条件, 向着有利于证明目标不等式的方向对上面的展式作适当的处理, 直到可以结合已知条件证出不等式为止。

例7 设undefined, 且f′′ (x) >0, 求证f (x) ≥x。

证明:由undefined及undefined知undefined。

根据导数定义undefined,

由undefined及

f′′ (x) >0, 知f (x) ≥x。

说明:泰勒公式应用的关键在于根据题设的条件如何选择要展开的函数、在哪一点的邻域将函数展开、展开的阶次及余项形式。

7 利用定积分理论证明不等式

定积分的性质:

性质1:若f在[a, b]上可积, k为常数, 则kf在[a, b]上也可积, 且 ∫bakf (x) dx=k∫baf (x) dx;

性质2:若f, g都在[a, b]上可积, 则f+g在[a, b]上也可积, ∫undefined[f (x) ±g (x) ]dx=∫baf (x) dx±∫bag (x) dx;

性质3:若在区间[a, b]上, 有f (x) ≤g (x) , 那么∫baf (x) dx≤∫bag (x) dx;

性质4:f在[a, b]上可积的充要条件是:任给c∈ (a, b) , f在[a, c]与[c, b]上都可积。

此时, 又有等式∫baf (x) dx=∫caf (x) dx+∫bcf (x) dx;

性质5:设f为[a, b]上的可积函数, 若f (x) ≥0, x∈[a, b], 则∫baf (x) dx≥0。

例8 证明:undefined。

证明:∵x>0, ∴sinx

undefined得undefined, 两端再次积分得undefined, 即undefined。

例9 设f (x) 在[a, b]上连续, 且单调递增, 试证明undefined。

证明:设辅助函数undefined, 显然F (a) =0,

∀t∈[a, b], 有undefined

x∈ (a, t) , 且f (x) 单调递增, 则F′ (x) ≥0, 因此F (t) 单调递增, 所以F (b) ≥F (a) =0 (b≥a) ,

即得undefined。

说明:当不等式含有定积分, 且被积函数f (x) ≤g (x) 时, 可用定积分的性质来明。

8 利用幂级数展开证明不等式

根据几个重要初等函数的幂级数展开式来证明, 几个初等函数的幂级数展开式如下:

undefined

undefined;

undefined;

undefined。

例10 证明:当undefined。

证明:原不等式等价于undefined,

将undefined分别写成麦克劳林展开式,

undefined

则要证得不等式左边的一般项为2nxn, 右边的一般项为undefined。

undefined

说明:当要证得不等式中含有上面几个重要初等函数之一时, 可用幂级数展开式法进行证明。

9 结论

以上将微积分常用来证明不等式的方法作了介绍, 但我们遇到具体问题还应该具体分析, 有的不等式的证明用到不止一种方法, 证明方法的选择也是一种技巧。要想熟练掌握其中的技巧, 我们要多思考, 多总结, 灵活运用微积分的基本理论和方法, 这样才能迅速把握问题的本质, 知道怎样入手, 思维清晰, 简便快捷地解决有关不等式的证明问题。

参考文献

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[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社, 1993.

[3]同济大学数学教研室主编.高等数学 (上册) (第五版) [M].北京:北京高教出版社, 2005.

[4]复旦大学数学系主编.数学分析 (上册) (第二版) [M].北京:北京高教出版社, 1994.

[5]费定晖, 周学圣主编.数学分析习题集解集 (第一册) [M].济南:山东科学技术出版社, 2001.

[6]刘玉琏, 刘伟主编.数学分析讲义练习题选讲[M].北京:北京高等教育出版社, 2002.

[7]高等数学.苏州大学编写组[M].苏州:苏州大学出版社, 2003.

[8]M.菲赫金哥尔茨.微积分学教程[M].北京:人民教育出版社, 1978.

[9]江泽坚.数学分析[M].北京:人民教育出版社, 1978.

大学如何学好高等数学微积分 篇5

学习高等数学时，还要多加注意问题与问题之间的联系，做到自觉灵活地分析和解决问题。

对于1/x的不定积分，其一个原函数为lnx，这是一个大家都很熟悉的公式，再有我们还熟知f(x)导数的不定积分=f(x)+c。如果将这两个知识点联系起来，便可组成一个求解不定积分的问题。解决不定积分的根本出路是用公式积分，教材中列出了13个基本积分公式。但直接套用公式的积分问题是很少的。我们所遇到的大多数问题与积分表中所列公式存在差异，因此求解不定积分的基本方向是改变被积分的形式，从而达到能够运用基本积分公式的目的。于是教材中列出了三种常用的基本积分法。一是直接积分法;二是换元积分法，具体地又分为第一换元法(又称为凑微分法)和第二换元法;三是分部积分法。积分时选用哪一种方法，这就要根据题目的特点来定，当然学习者平时的经验积累与敏锐的观察力也是必不可少的。就此例来说，被积函数中含有1/x和lnx，联系它们之间的关系，我们可选用换元法中的凑微分法，将(1/x)dx写成d(lnx)，此类问题即可迎刃而解。

高职数学中微积分的教法讨论 篇6

摘 要： 在高职数学教学中教师应联系实际，注重理论，深入浅出，在有限的课时内搞好微积分的教与学.

关键词： 高职数学课 现状 微积分教学

微积分是高等数学的重要内容，是研究函数的微分、积分，以及有关概念和应用的数学分支.极限和微积分的概念可以追溯到十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨在许多先辈数学家的理论基础上，分别独立地建立了微积分学，但他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础并不是很牢固.直到十九世纪中期，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化.微积分的基本概念和内容主要包括微分学和积分学.微分学的主要内容包括：极限、导数、微分等；积分学的主要内容包括：不定积分、定积分等.促使微积分产生的因素，归结起来，大约有四种主要类型的问题：第一类是求变速运动的即时速度问题；第二类是求曲线的切线问题；第三类是求函数的最大值和最小值问题；第四类是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心等问题.

根据“以应用为目的，以必需够用为度”的大纲要求，对高职学生，只需要把微积分的基本概念、基本定理交代清楚，无需过多关注理论的推导和证明，重点在于如何利用这些理论和公式法则解决问题，切实教会学生如何求极限，如何求导数微分，如何求积分.对于目前高职院校中学生的特殊情况和师资及课程的特点，如何更好地开展数学教学，充分学好微积分呢？笔者有如下几方面的设想.

一、介绍理论，归纳解法

1.极限理论应当理清的问题和方法

介绍有关极限的理论之后，可以总结求极限的方法大致有几种：观察法，利用极限的四则运算法则，利用两个重要极限，利用无穷小的性质和等价无穷小的替换，利用罗比塔法则，换元法，等等.笔者仅举两例.

二、介绍微积分的初步应用，提高学生学习数学的兴趣

理论来源于实践，又服务于实践，详细介绍下微积分在数学上的一些应用，略谈谈其在物理、化学、生物学、天文学等应用，让学生感受到数学的实用性，提高对数学学习的兴趣.

1.导数的应用

（1）研究函数的性质，作函数的图像.函数的性质包括单调性、极值、最值、凹凸性、拐点、渐近线、最终作出函数比较精确的图形.这是一个重点内容；

（2）利用导数求函数的极限，即利用洛比达法则求极限，这也是学生必须掌握的；

（3）导数在经济问题中的简单应用，这一点在经济类专业中要重点介绍.

2.微分的应用

（1）利用Δy≈dy计算函数改变量的近似值；

（2）利用f（x+Δx）≈f（x）+f′（x）Δx或f（x）≈f（0）+f′（0）·x[x→0]计算函数的近似值.

3.积分的应用

（1）利用定积分计算平面图形的面积；

（2）利用定积分计算几何体的体积；

（3）利用定积分计算平面曲线的长；

（4）利用定积分计算某些物理量，比如液体的压力、变力做的功、物体的引力、几何体重心的测定和质量的计算等.

总之，高职学生是个特殊群体，数学基础比较差，接受能力相对较弱，这就要求教师因材施教，有针对性地制订授课计划，既要保证学生能够接受，又要保证在以后的工作和进一步学习中够用，这是高职教育中的新课题，有待进一步认真研究.

参考文献：

[1]华中师范大学.高等数学[M].高等教育出版社，1988.

[2]同济大学等.高等数学[M].高等教育出版社，2001.

高等数学中积分计算的代数思想 篇7

1正交变换在二重积分中的应用

1.1正交变换

性质1 n维欧氏空间中的正交变换是保持标准正交基不变的线性变换。

1.2正交变换法化二次型为标准型

正交变换矩阵的求法——对于n阶实对称矩阵A求正交矩阵T及对角标准形的具体步骤:

(1)求出A的全部特征值。

2应用举例

应当指出,化重积分为累次积分的变量替换,是计算重积分中最常用的方法,但是我们所遇到的重积分不一定都能用它们算出来,所以有时不得不使用其他数学工具和方法。在积分计算中引入正交变换可以简化这类积分的运算,从而卓有成效地解决积分的某些问题,它是解决二重积分的变量替换的一种有力工具,另外在三重积分、曲线积分、曲面积分等中也都有着广泛应用。

3结语

正交变换之所以能够在数学领域发挥重要的作用,是因为它符合数学发展的代数化潮流,集合了数学方法论中丰富的数学思想,因而得到了广泛应用。文中已经举例说明的积分结论,恰恰是在正交变换作用下获得的具有数学美的产物。所以高等数学和线性代数是密不可分的,相互影响相互推进。

摘要：重积分是高等数学的重点,也是难点,是研究空间解析几何经常用到的数学工具,因为重积分的计算技巧性较强而且存在很多困难;如果能够结合线性代数中的正交变换,利用“正交变换”的有关理论来解决某些重积分问题会显得比较简便且颇有成效,而且近年来数学的代数化思想日渐显示它的重要作用,从而推进了各学科之间的联系。

关键词：正交变换,重积分,高等教学

参考文献

[1]北京大学数学系.高等代数[M].2版.北京:高等教育出版社,1988.

[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].3版.高等教育出版社,2008:172-179.

[3]王庆东,谢勰.正交变换的应用及其数学方法论意义[J].高等数学研究,2008(1):82-84.

[4]高泽民.正交变换在积分中的某些应用[J].石河子大学学报,2005,23(4):422-424.

[5]裴礼文.数学分析中的典型例题与方法[M].2版.北京:高等教育出版社,1995.

[6]王良成,费锡撙.正交变换在积分中的应用[J].天津教育学院学报,1992(5):40-43.

高等数学微积分 篇8

一、概念及基本方法

1. 三重积分基本定义

三重积分定义简述:若V属于三维空间, 又可求体积且是有界闭区域, f (x, y, z) 是定义在V上面的有界函数, 对V的任何分割T, 只要有||T||<δ (δ为某一正数) , 所有属于T的积分和与一定数J的差的绝对值都任意小, 则数J是函数f (x, y, z) 在V上的三重积分.记作其中f (x, y, z) 称为被积函数;V为积分区域;f (x, y, z) dv称为被积表达式;x, y, z称为积分变量;

2. 三重积分为三次累次积分基本方法 ( 直角坐标系下)

(先二后一) 若函数f (x, y, z) 在长方体V=[a, b]*[c, d]*[e, h]上的三重积分存在, 且对任意存在, 则积分也存在, 且

(先一后二) 若函数f (x, y, z) 在长方体V=[a, b]*[c, d]*[e, h]上的三重积分存在, 且对任何x∈[a, b], 二重积分存在, 其中D=[c, d]*[e, h], 则积分也存在, 且

二、计算方法举例

三重积分具体计算方法得按照积分区域及被积函数f ( x, y, z) 的情况来确定. 可大致分为直角坐标系法、柱面坐标法以及球面坐标系法三种.

1. 直角坐标系法: 主要针对于一些非圆形的区域, 如正方体, 长方体等.

例1, V:由m+n+l=1, m=0, n=0, 及l=0所成.

解积分闭区域在mon面上的投影是一个三角形区域

所以三重积分

2. 柱面坐标法: 当被积区域V的投影为圆时, 适合用柱面坐标法.

例2计算, 其中V是由曲面2 (x2+y2) =z与z=4为界面的区域.③

解V在xy平面上的投影区域D为x2+y2≤2.按柱坐标变换, 区域V'可表为:

3. 球面坐标系法: 若被积的区域为球形或包含球的一部分, 则较适合用求面坐标系法.

例3求, 其中V为由与z≥0所构成的区域.

解先作广义的球坐标变换

于是J = mnlr2sinφ. 在以上所述的广义球坐标变换下, V的原像为

由公式:

三、典型例题分析

例4求积分, 其中V由下列曲面所围:z=ay2, z=by2, y>0 (0<a<b) , z=αx, z=βx (0<α<β) , z=h (h>0) ①

解由题意

且则有:

例5求积分, 其中V由下列曲面所围:z=0,

解由球面坐标变换法

结语

三重积分的各种计算方法又分为各种不同的形式, 其都各具特点.因此我们在具体计算三重积分的时候, 应当注意它的被积函数以及它的积分区域的特点, 根据这些来选择适当的积分方法, 这样才能快速且准确的计算出要求的三重积分.

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学下册[M].北京:高等教育出版社, 2014年7月.

[2]华东师范大学数学系.数学分析上下册[M].北京:高等教育出版社, 2013年7月.

高等数学微积分 篇9

关键词：发散思维,收敛思维,一题多解,不定积分

高等数学的学习是离不开逻辑思维 (又称抽象思维) 的.美国心理学家吉尔·福特根据人的思维方式的不同, 把思维分为求同思维和求异思维.所谓求同思维 (又称为集中思维、聚敛思维、收敛思维、聚合思维、辐合思维) , 就是多种信息输入、一种信息输出的思维;具体来说, 就是利用公理、定义、定理, 使思维规范化, 掌握知识一般规律.所谓求异思维 (又称扩散思维、辐射思维、发散思维、放射思维) , 就是一种信息输入、多种信息输出的思维;也就是利用定理、公式、已知条件等产生多种想法, 广开思路, 提出新的假设、新的构思, 发现和解决新问题.

前苏联著名教育学家、心理学家赞可夫 (Л·В·Ванков) 说过:“凡是没有发自内心求知欲和兴趣的东西, 是很容易从记忆中挥发掉的.”发散性思维的形成是以乐于求异的心理倾向作为一种重要的内驱力的.为此, 教师可选择具体例题, 创设问题情境, 使学生乐于进行求异思维.以下以不定积分的“一题多解”为例, 给出发散思维在不定积分中的应用实例.

分析:观察和积累是发散思维的基石.计算不定积分, 必须以扎实而丰富的基础知识为依据【如:常用的23个不定积分基本公式、求不定积分的常用方法 (第一类换元积分法、第二类换元积分法、分部积分法) 、代数式及三角函数式的恒等变形等】, 使思维向多方向扩展, 尽可能多地提出多种设想、寻求多种解答思路.

首先, 考虑利用第一类换元积分法, 于是有

由于被积函数是代数式, 故可以考虑将它进行代数式的恒等变形, 根据第一换元积分法, 又有

其次, 考虑利用第二类换元积分法.

由于被积函数含有式子姨1+x2, 在第二换元积分法中, 该式通常运用三角代换 (含双曲代换) , 于是有

由于人们已经熟悉了运用第一换元积分法与第二换元积分法来计算不定积分, 因此, 在利用分部积分法来计算不定积分时, 可以考虑与前两种积分方法结合使用.如本例将分部积分法与第一换元积分法结合使用, 又有

想象和联想是发散思维的双翼, 计算不定积分除了以上介绍的三种常用的第一换元积分法、第二换元积分法、分部积分法外, 还有一些特殊的方法, 要勤于思考, 充分地想象与联想.如:欧拉换法、利用微分与积分的关系等均可作为计算不定积分的思维方向, 这样就有

思路9:欧拉代换法, 令,

思路10:欧拉代换法, 令,

于是有x3= (2ax+b) (1+x2) + (ax2+bx+c) ·x+A

由待定系数法解得, A=0

以上用不定积分基本公式求不定积分的常用方法, 通过一题多解体现了求不定积分的发散思维, 从而得到求不定积分的不同解题思路.以下再通过三角函数式 (或代数式) 的恒等变形等, 使思维向多方向扩展, 可以得到求不定积分的不同解题思路.

分析:此题不能直接利用公式求出的原函数, 但是可通过对作不同的变形, 从而得出不同的解法.并且以下多种思路所得到的原函数不尽相同, 可以证明, 它们仅仅相差一个常数.

发散思维的特点是思路广阔, 寻求变异, 对已知信息通过转换或改造进行扩散派生以形成各种新信息, 是一种开放性的立体思维, 是创造性的核心。发散思维具有流畅性、灵活性、独创性的特点, 可以打破思维的僵化, 开拓思路, 冲破思维消极因素的束缚。高等数学教学中, 有意识地抓住这些特性对学生进行训练与培养, 既可提高学生的发散思维能力, 也有利于培养学生的解决问题的灵活性和提高学生的数学素养。

发散思维训练的方法是多种多样的, 如纵横发散、变更命题发散、逆向发散、构造发散、分解发散等, 还可采用“发散性提问、延迟评价、集体讨论”的策略来促进思维发散。一题多解则是培养发散思维最有效的途径之一。

数学教学中通常遵循概念、公式、例题, 然后通过做练习题掌握新知识的学习程序。从例题到习题常常是模仿例题解决问题的思想方法, 教师若仅仅满足于这种统一思路、统一方法、统一格式的统一行动, 结果是容易将学生统一于同一思维定式之中。若加强“一空多填、一式多变、一题多问、一题多解、多题类解, 一法多用、多法一用”等训练, 克服“思维定式”的影响, 则可以打破这种思维的僵化。教学中应努力寻求发散思维量的突破, 持之以恒, 必然会导致发散思维品质的飞跃。

著名科学家爱因斯坦说:“想象力比知识更重要。因为知识是有限的, 而想象力概括着世界上的一切, 推动着进步。”想象力是创新的基础, 想象力丰富的思维是通向成功的指路明灯, 没有想象, 就没有科技的进步。发散思维能充分发挥人的想象力, 让人思路活跃、思维敏捷, 能提出大量解决问题的方案, 有多种想法可供选择, 能够别出心裁, 永远保持思维的活力。

总之, 我们应该提倡发散思维, 因为发散思维是多方向性和开放性的思维方式, 它同单一、刻板和封闭的思维方式相对立。发散性思维承认事物的复杂性、多样性和生动性, 在联系和发展中把握事物。发散性思维仿佛具有众多条“触角”, 不拘泥于一个方向、一个框架而向四面八方延伸, 可使学生的思维纵横交错, 形成丰富多彩的、生动的“意识网”, 从而迅速、灵活地提出各种各样的解决问题的方案。

以下两个问题, 至少能用八 (或以上) 种不同的方法求解, 有兴趣的读者不妨一试。

参考文献

[1]方秋金.数学学习论选讲[M].北京师范大学出版社, 1992.

[2]何广荣.提倡发散思维%搞好数学教学[J].数学通报, 1986, (3) .

[3]郭思乐.努力提高学生的数学思维素质[J].数学通报, 1993, (1) .

[4] (美) 查尔斯, 麦科伊.我怎么没想到?[M].曹彦博, 译.北京:中信出版社, 2002.

高等数学微积分 篇10

2分部积分图示法简介

3举例

3小结

高等数学是少数民族预科阶段的一门重要课程,也是同学们进入目标学校的一门基础课程,对于理工类的学生而言,预科期间的基础好坏直接或间接会影响到他们后续课程的学习。而在实际教学过程中,这门课程的教学质量往往又会受到学生的语言、数学基础、文化背景及个人综合素质等诸多因素的影响。为此,教师除要积极引导学生自主学习之外,还要注重教学方法的变革,上课时尽量用简单又不失严谨的语言、学生们乐于接受的教学方法,把在学生眼里认为枯燥难懂的高等数学讲的通俗易懂,从而提高学生学习高等数学的兴趣,提高等数学的教学质量。在我的实践教学过程中,分部积分法的讲解采用的就是以上的图示法,这种方法不需要学生对公式死记硬背,而且直观便于理解和检查,从实践教学来看,绝大部分少数民族预科学生都能掌握,教学效果不错。

参考文献

[1]杜贻平.不定积分分部积分法的教学探讨[J].黔东南民族职业技术学院学报,2008(2):31-32.