直线与曲线相交

直线与曲线相交（精选七篇）

直线与曲线相交 篇1

代点法就是将直线与圆锥曲线交点的坐标代入圆锥曲线的方程,解出有关量或有关量的关系,这是解决与定比分点相关的直线与圆锥曲线相交问题的特殊方法,其中一个定比关系中涉及并且只涉及圆锥曲线上的一个点.

例1已知抛物线C:y2=16x,焦点为F,点A在直线l:x=-1上,线段AF与抛物线C的一个交点为B,若求

思路1:F(4,0),设B(x,y),A(-1,y1),由得(-5,y1)=5(x-4,y),则x=3.将点B的坐标(3,y)代入抛物线C的方程,得y2=48,则

思路2:F(4,0),设直线FA的方程为y=k(x-4),则A(-1,-5k).设B(x,y),则(-5,-5k)=5(x-4,y),得B(3,-k),代入抛物线C的方程,得k2=48,则

例2(2007年福建高考题)已知点F(1,0),直线l:x=-1,P为平面上的动点,过P作直线l的垂线,垂足为点Q,且(1)求动点P的轨迹C的方程;(2)过点F的直线交轨迹C于A、B两点,交直线l于点M,已知求λ1+λ2的值.

思路:(1)易求得C:y2=4 x;

二、代入法

代入法,又称方程联立转化法,就是联立直线与圆锥曲线的方程,消去一个变元后,按另一变元的一元二次方程解决问题,这是解决直线与圆锥曲线相交问题的通用方法.应用代入法解题时,通常可结合韦达定理简化运算[2].

例3已知椭圆C:的离心率为,定点M(2,0),椭圆短轴的端点是B1,B2,且MB1⊥MB2.设过点M且斜率不为0的任意直线交椭圆C于A,B两点,是否存在x轴上的定点P,使PM平分∠APB?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

由题设,易知△MB1B2为等腰直角三角形,则b=|OB1|=|OM|=2,a=3,椭圆C的方程是

设A(x1,y1),B(x2,y2),由直线AB的斜率存在且不为0,可设直线AB的方程为x=my+2(m≠0),代入椭圆C的方程,消去x,得

例4设直线l:x+y=1与双曲线C:相交于两个不同的点A,B,与y轴交于点P,且求a的值.

思路:易知P(0,1),设A(x1,y1),B(x2,y2).

三、点差法

当直线与圆锥曲线相交的问题涉及到相交弦的中点时,宜应用点差法求解,即将直线被圆锥曲线所截得的弦的两端点坐标分别代入圆锥曲线方程,得到两个等式,再将这两等式作差,转化得到弦的中点坐标与直线斜率的关系,进而解决问题.此法程序性强,尤为简捷.

例5(2014年江西高考题)过点M(1,1)作斜率为的直线与椭圆C:相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.

例6在双曲线的一支上有不同三点A(x1,y1),B(x2,6),C(x3,y3),它们与焦点F(0,5)的距离成等差数列.求证:线段AC的垂直平分线经过一定点,并求出定点坐标.

若x1+x3=0,则kAC=0,y1=y3=6,从而A,B,C三点共线,这不可能.故x1+x3≠0,则线段AC的垂直平分线方程为,即这就证得了线段AC的垂直平分线经过定点(0,25/2).

四、三种方法及其变通应用举例

例7(2015年陕西高考题)已知椭圆E:的半焦距为c,原点O到经过两点(c,0),(0,b)的直线的距离为(1)求椭圆E的离心率;(2)如图,AB是圆M:的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.

思路:(1)过点(c,0),(0,b)的直线l的方程为bx+cy-bc=0,则原点O到l的距离所以,解得离心率

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题设,知圆心M(-2,1)是线段AB的中点,则x1+x2=-4,y1+y2=2.由(1)知,椭圆E的方程为x2+4y2=4b2.(1)

解法1:(代入法)易知AB不与x轴垂直,则可设直线AB的方程为y=k(x+2)+1,(2)

将(2)代入(1),消去y,得(4k2+1)x2+8k(2k+1)x+4(2k+1)2-4b2=0,

所以,|AB|=

解法2:(点差法)由A,B在椭圆E上,得x21+4y21=4b2,x22+4y22=4b2.两式相减,得(x1-x2)(x1+x2)+4(y1-y2)(y1+y2)=0,即-4(x1-x2)+8(y1-y2)=0,

例8已知过点P(0,4)的直线l与双曲线C:交于A、B两点,与x轴交于Q点(Q与双曲线C的顶点不重合),求Q点的坐标.

同理有3(16-k2)μ2+96μ+48-16k2=0.

若16-k2=0,则直线l过双曲线的顶点,不合题意.故16-k2≠0,λ,μ为二次方程3(16-k2)t2+96t+48-16k2=0的两根,此时Δ>0,故Q(±2,0).

解法2:(代入法)设A(x1,y1),B(x2,y2),同方法1设出l的方程,代入C的方程,消去x,得(3-k2)y2-24y+48-3k2=0.显然,3-k2≠0(否则直线l与双曲线C的渐近线平行),则当Δ=12k2(19-k2)>0,即0<k2<19时,

例9已知A、B两点在抛物线C:y2=ax(a>0)上,OA⊥OB,求动弦AB的中点P的轨迹方程.

思路:(类似于点差法的“点和法”)设A(x1,y1),B(x2,y2),又设P(x,y),则

练习题:

1.已知椭圆C:的离心率为1/2,直线l:与椭圆C相切.设A,B是椭圆C上的两个动点,点P(-1,3/2)满足求直线AB的斜率.

2.已知椭圆的离心率为过椭圆右焦点且倾斜角为45°的直线l与椭圆相交于A,B两点,对于椭圆上任意一点M,总存在实数u,v,使等式成立,求u2+v2的值.

设M(x,y),A(x1,y1),B(x2,y2),则x21+3y21=3b2,x22+3y22=3b2.

由,得x=ux1+vx2,y=uy1+vy2,代入椭圆方程,整理,得u2(x21+3y21)+v2(x22+3y22)+2uv(x1x2+3y1y2)=3b2,即3b2u2+3b2v2+2uv(x1x2+3y1y2)=3b2.

摘要：有关直线与圆锥曲线相交的问题,通常可联立直线与圆锥曲线的方程转化求解;当问题涉及到定比分点,且定比关系中涉及并且只涉及圆锥曲线上的一个点时,可用代点法[1]简化运算,即首先由定比关系写出交点坐标,再代入圆锥曲线方程求解;当问题涉及到曲线的弦的中点时,则可应用点差法求解,即将直线被圆锥曲线所截得的弦的两端点坐标分别代入圆锥曲线方程,得到两个等式,再将这两等式作差,转化得到弦的中点坐标与直线斜率的关系,进而解决问题.

关键词：直线与圆锥曲线相交,方程联立转化法,代点法,点差法

参考文献

[1]李新卫,高中数学实用解题方法[M].北京:中国原子能出版社,2014(5):64—68.

两条直线无法相交的理由 篇2

我是第一次来到这个北方小城,到处灰扑扑的街道和空气,让人不想停留｡惟有旧城区的一点点风物,还能说明这里曾是古代的州府｡不过随着人们的开发,那些青砖绿瓦的老房子,也多做了他用｡

我以惯有的高效率在这里办完公事,离出发的时间还早,买了本书,沿着一条叫做常山路的小道随意走着｡这小城的安静是我最喜欢的,所有的门口都静悄悄的｡我转过一座描金的牌坊,前面是一排崭新的绿树,后面掩映着一座旧式的二层楼,偌大的一面墙完全被爬山虎覆盖了,绿意盎然,我忍不住停下来｡一边的黑色铁艺门里,也都被爬山虎占据了｡这大概是某个单位的办公地吧｡我一边想着自己永远都无缘这样可爱的办公室,一边看到一架葡萄下坐着个男人,雪白的衬衣,干净的头发,正低头看膝盖上的一本书｡雪亮的阳光透过枝叶的缝隙洒在他身上,是一种久违的清静和惬意｡

我的驻足让他有所察觉,抬起头恰好与我的目光对视｡我忍不住红了脸,想走,却挪不开脚步｡他放下书,走到铁艺门前说道:“你好啊｡”

他的声音很柔和,舒缓而恬静｡我低头答应了一声,他继续说道:“你是外地来的吧?”我嗯了一声,他说:“难怪看起来这样匆忙｡”我忍不住说道:“我哪里匆忙了?我只是在这里站了一下下｡”

他挥了挥双臂:“一看你的神色就是,满面风尘的｡”他顿了顿,指了指身后的葡萄架:“要不要进来歇会儿?我们单位现在就我一个人｡”说完悠闲地转身走去,那姿态分明是告诉我他并非心怀叵测｡

我犹豫了一下,看清楚爬山虎下掩盖的一块白色木牌,上面写着小城一个文化单位的名字,他带着儿化音的语调又那么轻松｡于是我装成参观的样子走进大门,一边说这房子好旧哦｡

他随便笑了笑,把书放在一边请我坐下｡我随手拿过来,居然是本《儒林外史》,扉页上写着三个漂亮的钢笔字:顾卷青｡“很有诗意的名字嘛｡”我说｡他居然有些不好意思地笑了:“我爷爷原来教过私塾,非给我起这样一个咬嘴的名字｡”

我和顾卷青就是这样认识的,飘忽得好像某个爱情小说的情节｡可我很清楚自己骨子里有多么喜欢,包括顾卷青的样子､他的声音,当然,还有那座旧房子｡那天的邂逅,是我几年来第一次在工作之外认识别人｡我那天鬼使神差地没有回上海,因为顾卷青要带我去看有八百年历史的莲花池｡

那个初夏的周末,我跟着顾卷青走遍了这座小城｡原来小城的胡同也这样有意思,虽然街景远不如大城市来得深远,可因为顾卷青本人的缘故,我却更觉得真实和亲近｡他本就是学历史的,一家人都算此地的原住民｡说起这些来他很自豪,说我这样的“大都市白领”,其实都太缺少归属感了｡

顾卷青的话我很赞同,我从父母离异后,就和妈妈相依为命,中学开始就学会了洗衣做饭,还要帮助妈妈照顾外婆,然后一边打工一边上大学｡十几年来,我似乎从没有想过自己属于谁,属于哪里｡或许我的性格太要强太倔犟,不让自己有一点依赖的心思｡眼前的路太长,我不能停下来休息｡可这究竟为了什么呢?认识顾卷青后我终于明白,清静恬淡真的如此美好,一如他开始给我的印象｡

离开小城后,我一直觉得心神不宁,看着写字楼外面的车水马龙,思绪总忍不住飘到顾卷青身上｡国庆节终于来了,我向下属安排好工作,还没向小城出发,顾卷青的电话就来了:“我想去上海看你,好吗?”

当然好!我用一天的时间为顾卷青安排好了所有,甚至计划好了游玩的路线和值得一去的餐馆,然后像个不谙情事的小姑娘一样傻傻地等着｡当那一天,顾卷青出现在车厢门口,微笑着张开胳膊时,所有的矜持倏然消失无踪,我投进他的怀里｡顾卷青的气息果然和我想念的一样,他在我耳边低低说道:“原来你也这样想着｡”我满脸通红地离开他:“想着什么?”顾卷青说道:“像我想你一样想我啊｡”

顾卷青的思念让我彻底沦陷了｡在上海潮湿繁华的空气里,他的自如格外吸引人｡不知道从什么时候,我开始喜欢两个人的肩头有意无意地碰在一起,喜欢他宽宽的手掌握着我的手,带我跨过一条窄窄的水沟｡至此,生活了二十多年的上海第一次变得具体而丰富起来｡我从来没想过,身边的这个城市可以如此悠闲｡就好像从不知道自己也可以舒缓下来,学着广告的样子,长衣缓袖地坐在江边,花整整一个下午喝茶聊天,听顾卷青讲那些悠远的故事｡

七天很快过去了,假期的最后一天,我忽然想起车票的事,顾卷青夸张地说道:“要不是你提醒,我差不多连老家都忘了｡”我得意地笑了:“那你什么时候再来上海啊?”顾卷青一点点拉我贴近他:“我不来了｡”我一愣,满眼的失望让他完全心软了:“我是说不走了｡”我忍不住用力点头,他狡黠地笑了,把我拥进怀抱｡他的唇颤抖得和我一样厉害,我知道那是爱情来临了,让十月的空气再次火热起来｡

第二天早上,我在顾卷青怀里醒来,问他怎么向单位交代｡他说打一个电话续几天假期就行,事实上在这个单位一个月不去上班也没问题｡我从来没想过还有这样舒服的工作,用顾卷青的话说“这里是绝对养老的好地方｡”我大笑,还不到三十岁的小伙子就想到养老,太怪异了｡顾卷青认真地说:“小地方有小地方的好处,那里的人肯定比这里的人性格随和,所以也更容易快乐｡”

这番话深深地打动了我｡这些年的奔波,我已经感觉很累了｡可身边的所有都无法放下,虽然外婆去世了,可妈妈身体一直都不好,需要人照顾｡我试图说服顾卷青留下来,他告诉我也曾想过｡我兴奋地告诉他,可以帮他找到喜欢的工作,那样我们就能在一起了｡

顾卷青把我搂在怀里说:“本来我不想这样,可有你在,哪里都好｡不过,我也会慢慢改变你｡知道吗,你脸上的疲惫一直都让我心疼｡”

顾卷青回到老家,因为他父亲的关系,单位很痛快地同意了他停薪留职,而且还可以随时回去｡我托朋友在一家文化公司为他找了份工作,待遇非常不错,而且离我的公司很近｡那样我们每天都可以一起吃午饭,这已经是我能够想到的最写意自在的生活了｡

那一个月,是我最快乐的时光,同事们都说我整个人都不一样了,即使工作再多再累,也总是一脸的幸福｡当然了,假如曾经的打拼只是为了生活,现在却有了明确的目标｡顾卷青让我有无比的眷恋,我的生活因他而变得充满幸福和快乐｡我想,等顾卷青习惯了上海,一定要让他继续上学,以他的聪慧,很快就会有自己的一方天地｡

然而顾卷青却不似我想的那样轻松｡虽然那是家文化公司,可没头没脑的事情更多｡他无法习惯,每天都会说很烦很乱｡虽然有周末,却根本无心去玩什么｡他开始怀念在小城的那种状态:每天早早地下班;不管是不是假日,随便就可以出去游玩;甚至,整个单位的人可以全部出去旅游,只留下一个看门的老头｡我只好说我们不可能这样,就算工作允许,我们一样要为将来的家庭考虑｡房子､车子､孩子都是必须面对的｡顾卷青叹口气说是啊,可在他们那里,十万元就可以轻松地买一套房子｡

那是我第一次觉察了和顾卷青之间的差异｡是的,我已经习惯了上海的生活,很多事情想都不敢去想,只能努力地去拼｡他却更喜欢小城的节奏,在那里,他甚至可以算文化圈子里的名人｡假如愿意,还能回到大学做做报告或者演讲｡于是我问自己,假如他要我去那里生活怎么办?我很清楚答案,就算不考虑妈妈,我同样无法接受小城的生活｡我习惯了边吃早餐边赶地铁,习惯了靠喝咖啡支撑着工作到深夜,习惯了不让自己的脑子闲下来胡思乱想,当然,我也习惯了用优厚的薪水来填补自己的空虚｡

那一次的交谈,让我们两人都冷静了下来｡看着顾卷青熟睡中紧皱的眉头,我的心也乱了｡他在小城生活了三十年,那里已经给了他无法抹去的烙印｡而我,爱的是从容自如的他,到了上海这样的地方,他还能保持原来的自我吗,我会继续爱被城市改变了的他吗?就如我去过的那些穷乡僻壤,只是喜欢它们的纯朴和纯净而已,却无法在那里多住几天｡

可我离不开顾卷青,我决定慢慢改变他｡可我很快发现自己的努力毫无用处,顾卷青不喜欢我的朋友,不喜欢他们的谈吐,更不喜欢他们看自己的眼神｡这些我都无能为力,上海这座城市再大再繁华,顾卷青却根本不能为之改变什么｡

这一年的元旦前,我找到文化公司的那位朋友｡此时他已经做了副总,我请他给顾卷青换一个轻松的部门,假如可以,顾卷青也有能力做主管｡朋友答应帮忙,又开玩笑地说他要举行一个家庭聚会,请我做一晚上的女主人｡我也答应了,多年的交往,我很信任他｡谁知顾卷青听后勃然大怒,警告我别去｡我解释半天,顾卷青沉默好久,说要送我去｡我很高兴,顾卷青却直接对我的朋友说:“我是来告诉你,我不会同意自己的女友给你做什么女主人的｡顺便告诉你,我今天辞职了｡”

我被顾卷青拖回家,他一边收拾自己的东西一边说道:“对不起,我今天只是为了自己的尊严,并非故意让你难堪｡我明天就走,你做什么我都不再管了｡”

我吓坏了,问他为什么要离开我｡顾卷青说:“我不是离开你,我只是要回到自己的世界去｡我知道你不能跟我走,所以……”

我连声说我可以跟他走,我爱他,什么都可以不要｡顾卷青放下行李,把我紧紧搂在怀里说:“其实,一开始我就知道这事有多难,我也一直在尝试为你去习惯新的生活｡可我做不到,不只是为了今天的事情｡我也并非不求上进,我只是更喜欢原来的生活｡假如每个人的生活都有自己的意义,我的也是一样｡你明白吗?”

我点点头,他继续说道:“我先回去,假如你想好了,可以跟我过那样的生活,我会来接你｡好吗?”

我哭着答应了,那个晚上我们一直紧紧地拥抱着｡天亮时,深秋的晨阳一缕缕射进窗子,我却觉得越来越冷｡整个晚上我都在问自己,我可以跟着顾卷青,在那个陌生的小城,无欲无求地平淡生活吗?我找不到答案,我宁愿顾卷青强硬地带走我｡可他不是那种人,就像他不会勉强自己一样,同样不会勉强我｡

顾卷青走了｡列车渐行渐远,阳光下,铁轨闪着雪亮的光芒,在看不到的尽头汇合交织｡我心里一片茫然,想哭却哭不出｡曾经的那个夏日午后给了我多少幸福和快乐,可顾卷青和我就像两条平行的直线,永远都无法汇合,即使我依然爱他,他一样爱着我｡

(责编/洪来兵)

解决直线与圆相交问题的思想和方法 篇3

一、代数法

此种方法是通过直线与圆的方程联立, 将几何问题转化为纯代数问题, 主要的工具为韦达定理, 由于新课标中对线段定比分点公式要求降低, 通常对线段长度成比例问题通常用共线向量作为工具, 垂直问题通常用两向量数量积为零转化为代数问题, 代数法不止是处理直线与圆相交问题最重要的方法, 甚至在后续的学习中, 处理直线和圆锥曲线问题的时候同样重要, 学生一定要熟练掌握.

二、轨迹相交法

此种方法是通过图形中点满足的几何或代数条件写出该点所满足的两个轨迹方程, 由两轨迹方程联立求得该点, 此种方法的关键在于能够通过题目条件挖掘出特殊点所满足的轨迹方程, 则需要学生能够仔细审题, 挖掘题目隐含的条件, 此种方法在求点的坐标时会大大减少计算量.

三、几何法

此种方法往往是通过直线和圆相交以后产生的线段所构成的图形所满足的几何性质入手, 通常为直角三角形, 几何法往往能够避开复杂繁琐的计算, 大大缩短解题所需时间, 但通常此种方法多适用于填空题. 下面笔者用一道典型例题对以上所述方法进行说明.

例1如图1, 已知直线l过点P ( -4, 0) 且与圆x2+ y2= 9相交于A, B两点, 若PA =1/2PB, 则直线l的方程为 .

解法一利用典型的根与系数关系这种代数方法, 而且绝大部分学生在使用这种方法的时候喜欢消去y而得到x的方程, 这种习惯对有些题目可能毫无影响, 但就此题而言很明显的与两个向量它们的纵坐标之间的关系更加简单, 所以提供对第一种解法的优化方法.

此种解法中设直线的方法除了斜率为零的直线均可以表示, 特别是斜率不存在的直线, 在解题时往往能够起到简化计算的效果, 学生要能够习惯这种设法.

解法3: ( 轨迹相交法)

分析: 取弦AB中点C, 由OC⊥PC知C点轨迹在以OP为直径的圆上, 又点A在圆x2+ y2= 9上, 且A为PC中点, 则A的坐标又可以用C点表示, 这样又得到C的另一轨迹方程, 两轨迹的交点即为点C.

反思此种解法, 我们可以用相同的思路求出A或B, 用B的坐标来表示A的坐标, 两点均在圆x2+ y2= 9上, 则得到B的另一轨迹方程, 这样较第三种解法只需引入一个轨迹即可.

解法4: ( 解法三的优化)

解法5: ( 几何法) 取弦AB中点C, 连结OC, OA, 则OP =4, AC =1/2PC.

反思此种解法, 通过构造的直角三角形中边的关系来求出弦长的一半, 进而求出直线斜率, 其实求弦长还有一个更加简单的方法, 在高中直线和圆的学习中我们往往会忘记这个定理———切割线定理. 此解答略.

直线与圆锥曲线的综合问题 篇4

两千多年前，古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究曲线，发现用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线，当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线都是平面与圆锥相交的产物。通常我们把圆、椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线，直线与圆锥曲线的综合问题，通常涉及直线与圆锥曲线的位置关系，体现为直线与圆锥曲线相切与相交问题，可以采用几何方法或代数方法来求解。

一、直线与圆的综合问题

圆是到定点距离等于定长的动点的轨迹，圆有两个基本量：圆心、半径。直线与圆的综合问题可以用代数法和几何法求解，一般情况下，利用几何法求解直线与圆的综合问题比较简便明了。

例1：已知圆O：x2+y2=4。（1）求过点A（-1，）的圆的切线方程；（2）求过点（1，2）的圆的切线方程。

这时直线与圆的切线问题，切线问题通常涉及两种题型：已知切点；未知切点。已知圆心O（0，0），半径为2。第一小题点A（-1，）是切点，求得直线OA的斜率为-，因为直线OA与切线垂直，则切线的斜率为，可得切线方程为x-y+4=0。第二小题点（1，2）不是切点，这时就要利用圆心到切线的距离等于半径这一特征，可设切线的斜率为k，利用点到直线的距离公式，易得k=0或k=-，即切线方程为y=2或4x+3y-10=0。要注意假设直线的斜率时，要考虑直线的斜率是否存在的情况。

例2：已知圆O：x2+y2=8内一点P（-1，2），过点P的直线l的斜率为-1，直线l与圆交于A、B两点，求线段AB的长。

直线与圆的弦长问题须借助垂径定理，运用弦心距（即圆心到弦的距离）、弦长的一半及半径构成的直角三角形计算。已知圆心O（0，0），半径为2，圆心到直线AB：x+y=1的距离为，从而根据勾股定理，可得|AB|=。直线与圆的弦长问题中，上述直角三角形是关键，本质上是直角三角形中的三个量的相互转化，是数形结合思想的应用，体现转化与化归的数学思想。

二、直线与椭圆、双曲线及抛物线的综合问题

例3：已知直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A。（1）求实数b的值；（2）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程。

直线与椭圆、双曲线及抛物线的位置关系问题，主要涉及方程的思想和韦达定理。第一小题是直线与抛物线的切线问题，由y=x+b、x2=4y联立方程组，得x2-4x-4b=0，则△=16+16b=0，解得b=-1。直线与椭圆、双曲线及抛物线的位置关系，通常转化为一元二次方程的解的个数问题，利用判别式△与0的大小关系来判断解的个数，进而判断直线与椭圆、双曲线及抛物线的位置关系。第二小题是直线与圆的切线问题，求得圆心A（2，1），半径为2，则圆的方程为（x-2）2+（y-1）2=4。两题均为切线问题，却体现了两种截然不同的解题思路，一个是代数方法，另一个是几何方法，都是数形结合思想的应用，一个是几何问题代数化，另一个是代数问题几何化。

例4：已知直线l：y=kx+m与双曲线C：x2-3y2=3交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过点A（0，-1），求实数的取值范围。

此题是直线与双曲线的相交问题，涉及弦的中点问题，又是取值范围问题，综合性较强。圆锥曲线中最值与取值范围问题是解析几何的核心问题，是常考点之一。取值范围问题常常与不等式有关，求特定字母的取值范围时，可首先考虑利用题目给出的几何元素的位置关系以及几何量的代数关系，建立特定字母的不等式，从而求得其取值范围。

根据题意，由y=kx+m、x2-3y2=3，可得（1-3k2）x2-6kmx-3m2-3=0，所以1-3k2≠0且 >0，这里因为是求实数m的取值范围，所以将参数m与k分离，则可得m2>3k2-1且1-3k2≠0①。为了求实数m的取值范围，须将参数k转化为参数m，所以须寻找关于参数m与k的方程。易得线段MN的中点B（），由线段MN垂直于线段AB，所以两直线的斜率的乘积等于-1，可得3k2=4m+1。代入①式，得m2-4m>0且4m+1>0，所以实数m的取值范围是（-0.25，0）U（4，+∞）。

最值与取值范围问题的求解需注意两个方面：一是利用判别式的符号可限制参数的取值范围；二是求解目标函数的最值时，要根据解析式的特征灵活选择相应的方法：配方法、均值不等式、导数法等，通常利用前两种方法，因为导数在函数中已经考查，一般不会重复考查。

例5：已知抛物线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A、B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）。（1）证明：动点D在定直线上；（2）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线x=2相交于点N1，与（1）中的定直线相交于点N2，证明：|MN2|2-|MN1|2为定值，并求此定值。

定值、定点等问题是一个热点，其解法充分体现了解析几何的基本思想：运用坐标法逐步将题目条件转化为数学关系式，然后综合运用代数、几何知识化简求值。

第一小题设直线AB的方程为y=kx+2，代入C：x2=4y，得x2-4kx-8=0。设点A（x1，y1）、B（x2，y2），则有x1x2=-8，直线AO的方程为y=x，直线BD的方程为x=x2，解得交点D的坐标为（x2，），注意得到x1x2=-8及x12=4y1，则有y=-2，所以动点D在定直线y=-2上。第二小题依题意，切线l的斜率存在且不等于0，则切线l的方程为y=ax+b（a≠0），代入C：x2=4y，得x2-4ax-4b=0，由于 =0，得到b=-a2。故切线l的方程为y=ax-a2，分别令y=2，y=-2，得N1、N2的坐标分别为（+a，2），（-+a，-2），利用两点间的距离公式可得|MN2|2-|MN1|2=8，所以|MN2|2-|MN1|2为定值8。

直线与圆锥曲线的综合问题本质上是以直线与圆锥的位置关系（相切或相交）为载体，考查切线、相交线、弦长、最值及取值范围等问题，直线与圆的问题要注意利用直线与圆的图像来辅助解题，而直线与椭圆、双曲线、抛物线的综合问题基本上是用代数方法来解题，要注意判别式的取值范围，在有多个参数的情况下，要注意建立参数间的相互联系，从而将多个参数的表达式转化为单个参数的表达式，进而求最值及取值范围。

直线与圆锥曲线问题的套路解法 篇5

一、直线与圆锥曲线问题中的套路

套路一位置套路——消元、分类、判别式

由消y得x的方程ax2+bx+c=0 (或消x得:

1、若a≠0, 记△=b2-4ac则

(1) Δ>0直线和曲线相交 (有两个公共点) ;

(2) Δ=0直线和曲线相切 (有一个公共点) ;

(3) Δ<0直线和曲线相离 (无公共点) 。

2、若a=0, 则在双曲线中, 直线和双曲线的渐近线平行, 与双曲线相交一点;在抛物线中, 直线和抛物线的对称轴平行, 与抛物线相交一点。

套路二交点套路——消元、恒正、横纵转化

1、消元, 记△=b2-4ac, 则△>0

2、设交点为A (x1, y1) , B (x2, y2) 则

横坐标:

横坐标表示纵坐标:y1=kx1+m, y2=kx2+m

(类似可用纵坐标表示横坐标)

套路三弦中点套路——消元、代方程

1、弦AB的中点坐标。设中点为 (x0, y0) , 由求到横坐标x0, 然后代x0入直线 (或曲线) 方程求y0 (, 类似消x可先求y0后求x0)

2、差分法。代A (x1, y1) , B (x2, y2) 的坐标入圆锥曲线方程——两式相减——纵横坐标分别结合——平方差公式分解——结合中点公式解决问题

套路四弦长套路——消元、判别式、代公式

弦长公式:

(k为直线斜率) ,

说明:类似地可转化为用纵坐标计算得:。

二、运用直线与圆锥曲线问题中的套路解题举例

例1: (2009四川理20) 已知椭圆的左右焦点分别为F1, F2, 离心率, 右准线方程为x=2。 (I) 求椭圆的标准方程; (II) 过点F1的直线与该椭圆交于M, N两点, 且, 求直线的方程。

解析: (Ⅰ) 由已知条件易得椭圆的方程为。

(Ⅱ) 由 (Ⅰ) 知F1 (-1, 0) 、F2 (1, 0) 。易知直线的斜率存在。设为y=k (x+1) 。 (解略)

例2: (2010天津文21, 理20) 已知椭圆 (a>b>0) 的离心率, 连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4. (Ⅰ) 求椭圆的方程; (Ⅱ) 设直线与椭圆相交于不同的两点A、B, 已知点A的坐标为 (-a, 0) . (i) 若, 求直线的倾角; (ii) 若点Q (0, y0) 在线段AB的垂直平分线上, 且.求y0的值.

解: (Ⅰ) 由已知条件易得椭圆为:.

直线与曲线相交 篇6

在现实生活当中最短路程问题随处可见, 例如, 一个学生上课、吃饭再到寝室, 需要每天来回重复走到这几个地点, 这个学生可以有很多路可选, 那么, 怎么走那条路路程最近呢?由于这个学生每天都会走, 所以他必然懂得走那条路是最近的, 然而如果将这三点换成3个国家呢?那恐怕就需要大数据的支持, 采用平面内可相交直线序列的算法进行科学的计算, 并找出相似的路程方可找到最短距离。

1 国内外研究现状

针对平面图的算法而言, 国际上Dijkstra和Floyd是应用最普遍的两种算法。但是这两种方法也有其自身局限性, 就是只能解决点与点之间的最短路线问题。而本文所介绍的ESP问题的算法不局限于点, 好包括直线和线段。传统的算法已经不能满足现阶段的计算。

针对简单多边形算法问题, 1984年提出Funnel算法, 其基本思路是:首先对给定的简单多边形三角剖析, 经过计算分析, 招到远点P到达Q的对角线, 以此找到最短路径。

论文的组织结构

本文根据想要研究的内容, 将其分成了6章进行讨论。

第一章:研究现状。

这一章主要是对平面内直线能够相交的最近路径进行了讨论, 并对其意义和背景进行了阐述, 还分析了国内和国外在这个问题上的研究, 从而将本文的组织结构以及研究内容引导出来。

第二章:相关基本算法以及基础知识。

这一章主要是在研究中需要通过什么样的基础知识进行了阐述, 并讨论了相关的概念, 还分析了一些比较经典的算法, 给予了可相交直线序列的问题一些理论基础。

第三章:可相交直线序列的遍历以及算法。

这一章主要是对可相交直线序列的最近路线的思路做出了阐述, 并对其提出凸多边形的构造, 证明了其包含凸多边形的构造, 这使得可相交直线的问题有了解决方法。通过这些基础, 将几种算法进行对比分析, 找出其最短路径的算法。

第四章:算法的设计以及实现。

这一章主要按照实际的操作, 给出一些比较详细的算法, 通过伪代码描述这些算法, 最终将其实现。

第五章:验证算法并分析其结果。

这一章重点对实际运行的结果进行了分析, 通过随机的一种序列当做测试数据, 利用分析法去验证其求解算法, 并给出一定的曲线方程。

第六章:结论。

这一章主要是总结, 将文章的结论表明, 并描述一些应该加以改进的问题。

2 相关基本算法以及基础知识

2.1 计算几何学的概念

在20世纪70年代, 就出现了计算几何学, 这在计算机科学当中, 是非常重要的一个分支, 它的起源是根据对算法的分析和设计, 在慢慢深入的研究中, 其研究成果也慢慢的从最开始的外形发展到了模式识别、统计分析以及地理数据等很多地方。在现如今的大规模集成电路、机器人技术、数学领域以及工程当中, 都已经开始广泛使用。

2.2 计算几何学的算法简介

针对本文研究的平面可相交序列的遍历算法, 在计算几何学中, rubber-band算法与贪婪算法较能针对性的提供计算依据。其他算法如在某些程度上也能为本文研究做出一些贡献。

首先, 围绕平面上两条直线的位置关系判定, 采用直线斜率的求取, 得出两条直线平行或者相交状态。

其次, 对于平面点集的凸包的求解, 主要有20世纪70年代出现的卷包裹法与graham算法。前者是出现较早的解决凸包问题的基础算法, 后者是在平面点集凸包问题上的最优解决算法。在卷包裹的实际演算过程中, 在一个点集中取坐标最小的点, 即凸包的某个顶点。之后做一条过该点的直线并让直线绕顶点逆时针旋转。

rubber-band算法是俗称的橡皮筋算法, 他可以被形象的描述为在起点, 和终点相互连接的皮筋。皮筋在绷直状态下就是最短路径。euclidiean最短路径问题的求解的过程中该种算法的应用非常形象直观。Rubber-band算法的具体算法流程以程序判断图示意为:开始→初始路径的长度计算→专门针对路径点集合进行处理→得出处理结果后, 计算两次路径长度之差并与精度标准对比→如果求差结果大于精度则重新开始路径点集合的处理步骤。反之基于整个路径点得出最短路径。

贪婪算法被称为登山法, 其进行原理一般如同登山一样的步步为营。逐步的将全局的问题转化为小部分的问题, 并保证局部实现最优化解决方案, 当一部分出现无解或者不能进行时, 全部算法过程就会停止。其特点就是简单。便捷。并能同时进行。贪婪算法在求解某些问题上具有自身的优越性, 诸如拓扑排序问题, 背包问题以及本文中多次涉及到的路径最短问题。

3 可相交直线序列的遍历以及算法

平面内可相交直线序列的遍历算法研究三、平面内可相交直线序列的遍历及求解算法平面内可相交直线序列的遍历已经受到国内外几何领域学者的广泛关注。目前, 学者对于平面内可相交直线序列的遍历的算法的研究非常的少。笔者就在目前几何领域的研究成果上, 分析平面内可相交直线序列的遍历的几何特征, 将其转换成可相交线段的问题并通过其算法, 来研究平面内可相交直线序列的遍历的求解算法。 (1) 总体思路对于平面内可相交直线序列的遍历问题, 首先, 笔者根据直线的起点和终点的相交来获得一个凸多边形, 其次, 遍历途径必定包含在直线构造的凸多边形中, 因此, 笔者将平面内可相交直线序列的遍历的问题转换成多边形内可相交线段的遍历的问题。最后, 笔者通过对Rubberband算法的研究来解决平面内可相交直线序列的遍历的问题。 (2) 凸多边形F的构造。如图1所示, 如果图中的虚线部分是一条遍历途径, 虚线在凸包边缘的内部并且凸包的边缘和所有的遍历直线相交, 那么这条虚线所代表的遍历途径将不是最短的直线。因此, 如果直线的起点和终点相同, 那么计算出的便是一个凸多边形。反之, 则不是。 (3) 多边形内相交线段的遍历问题在多边形内相交线段的遍历的算法中, Rubber-band算法是其中最经典的算法之一。Rubber-band算法是从局部最优达到全局最优。在Rubber-band算法的算法中, 主要是通过最短路径差来考虑下一步的进行。当线段存在相交时, Rubber-band算法则会出现退化的现象。如图2所示。在Rubber-band算法的过程中, 当两条线段相同时, 下一步的进行就会停止不动, 导致Rubber-band算法提前结束, 这将使算法得不到正确的答案。

因此, 交换线段顺序的算法能够更好的求解平面内可相交直线序列的遍历问题。

4 算法设计与实现

4.1 算法流程

在分析平面内可相交直线序列的遍历算法流程时, 可以将其分为求凸包和求多边形, 以及用改进Rubber-band算法求最短遍历路径这几个步骤。其中在求凸包的步骤中, 主要采用的是Graham算法来进行相应点集的计算。而在求多边形的过程中, 则需要现根据已经计算出的凸包切线, 通过对顶点处的切线进行构建, 建立包含这些凸包的多边形。构建处的多边形如图3所示。

最后是用改进Rubber-band算法求最短遍历路径, 就是依靠算法的基本思想和理念, 设计出更加高效科学的便利算法, 以提高对平面内可相交直线的算法。

4.2 基本数据结构

在进行平面内相交直线的算法中, 基本的数据结构其实就是点线面这三种类型。其中点是最常见的基本类型, 也是最基础的数据结构组成部分。而直线则是关系算法研究的重要部分, 既可以用ax+by+c=o的方式进行表现, 也可以通过y=k* (x-pt.x) +py.t的结构来表示, 除此之外在遍历算法中还有依靠判断直线是否属于相等函数的算法。

4.3 算法实现

算法实现指的就是对平面内可相交直线序列算法的实现过程, 最主要的就是主流算法的计算过程, 如图4所示。

5 算法验证及结果分析

算法验证和结果分析, 主要针对的就是对分析验算的结果继续测试和分析, 通过使用事后分析法, 对算法的有效性进行科学的验证, 其中可以分为测试数据生成和运行结果分析两部分。

测试数据生成就是为了验证算法的正确性, 可以借助随机生成的大量数据进行验证, 并对计算的结果进行分析, 通过对数据的VC++实现处理, 对遍历算法的各个步骤进行详细的结构分析, 通过将其同理论数据相比较, 进而验证算法的正确性和时间复杂度, 进一步加强对平面内可相交直线序列的便利算法研究。

6 对未来遍历算法的预测

上文已经细致研究了平面内相交直线序列存在的遍历算法, 同时也探索出了另一种改进Rubber-band算法的思路, 实现平面内相交直线序列的遍历算法, 以及求解出其遍历问题, 这也是该文研究成果精髓所在。可是, 由于本文实际的内容还不够完善, 致使在研究方面所涉及的相关内容还存在一些小的缺陷, 这些曲线对遍历算法未来的发展还存在一定的影响, 因此, 对对未来遍历算法的预测, 可以从以下几个方面问题难点着手。

(1) 本文虽提出的算法因其条件的限制, 还只适用于对两条直线相交于一点的情况进行分析、求解及处理, 而涉及3条或3条以上的直线相交同一点的情况, 因为还没有对其做针对性的研究, 该算法是否适用将无从得知, 这也使得该问题成为遍历算法未来要攻克的一个方面。

(2) 本位只涉及了构造多边形算法中的部分方式进行了运用, 而对更复杂、更优化的时间算法还没有涉及到, 因此在未来遍历算法的研究中, 可以运用此算法, 从而减少算法的整体执行时间, 实现高效的遍历算法。

7 结语

本文对平面内可相交直线序列中存在的遍历问题进行了较为深切的分析和研究, 讨论了最短路径的求解方式在几何学计算中的有关基础理论知识, 研究了直线之间存在的位置关系, 并例举出以构造多边形的方式, 对直线的初始访问顺序进行确认与肯定。同时将构造多边形的内部添加进最短遍历路径, 实现了构造多边形内部相交线段的遍历算法, 也对其进行了相当深入的对比与研究。而从遍历算法的几种不同性质的线段中, 对其思路的改进也使得Rubber-band的运用适应了可相交直线序列, 其共同作用使可相交直线序列的遍历算法最终得以实现及证明。此外构造测试数据, 证明了在实际运行中其设计的算法所得出运行结果的准确性。

参考文献

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[3]孙立晓.访问平面内不相交线段的ESP问题求解算法研究[D].大连:大连海事大学, 2012.

[4]兰明.平面内经过若干不相交线段的L1问题求解研究[D].大连:大连海事大学, 2011.

[5]徐丽丽.基于flip的Delaunay三角剖分算法研究[D].大连:大连海事大学, 2010.

[6]任保营.基于Delaunay三角剖分的TSP问题求解研究[D].大连:大连海事大学, 2010.

[7]侯斌.简单多边形内Euclidean最短路径问题算法研究[D].大连:大连海事大学, 2010.

直线与圆锥曲线综合题的解题策略 篇7

1. 弦长问题

一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB， A，B两点分别为(x1，y1)，(x2,y2)，

则弦长

|AB|=1+k2•|x2-x1|

=（1+k2）［（x1+x2)2-4x1x2］

=1+1k2•|y2-y1|

=1+1k2［（y1+y2)2-4y1y2］.

例1已知抛物线y2=2px(p＞0),

过动点M(a,0)且斜率为1的直线l与该抛物

图1

线交于不同的两点A，B，且|AB|≤2p.

(1) 求a的取值范围；

(2) 若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB的面积的最大值.

解(1) 设直线l的方程为y=x-a,代入抛物线

方程，得(x-a)2=2px,

即x2-2(a+p)x+a2=0.

因为直线l与抛物线交于不同的两点A，B，所以Δ=4(a+p)2-4a2＞0,得2ap+p2＞0.又p＞0,所以a＞-p2.

由|AB|=2•4（a+p)2-4a2≤2p,得4ap+2p2≤p2,即4ap≤-p2.

又p＞0,所以a≤-p4.

故a的取值范围是-p2,-p4.

(2) 设A(x1,y1)，B(x2,y2)，AB的中点 C(x,y),

由(1)知，y1=x1-a,y2=x2-a,

则有x=x1+x22=a+p,y=y1+y22=x1+x2-2a2=p.

所以线段AB的垂直平分线的方程为y-p=-(x-a-p),从而点N的坐标为(a+2p,0),

则点N到AB的距离为|a+2p-a|2=2p. 

从而S△NAB=12•2•4（a+p)2-4a2•2p=2p2ap+p2，

从而当a取最大值-p4时，S△NAB取最大值2p2.

2. 弦的中点问题

处理椭圆、双曲线、抛物线的弦的中点问题常用代点

相减法.设A(x1，y1)，B(x2,y2)为椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上不同的两点，M(x0,y0)是AB的中点，则有kABkOM=-b2a2；对于双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0），类似可得kAB•kOM=b2a2；对于抛物线y2=2px(p≠0)，有kAB=2py1+y2=py0.

例2已知双曲线C：2x2-y2=2与点P(1，2)

(1) 求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.

(2) 若Q(1，1)，试判断以Q为中点的弦是否存在.

分析涉及弦长的中点问题，常用“差分法”设而不求，将弦所在直线的斜率，弦的中点坐标联系起来，相互转化.

解(1) 当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=1,与曲线C有一个交点.当l的斜率存在时，设直线l的方程为y-2=k(x-1),代入C的方程，并整理得

(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0(A)

(ⅰ) 当2-k2=0,即k=±2时，方程(A)有一个根，l与C有一个交点.

(ⅱ) 当2-k2≠0,即k≠±2时，

Δ=［2(k2-2k)］2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=16(3-2k).

① 当Δ=0,即3-2k=0,k=32时，方程(A)有一个实根，l与C有一个交点.

② 当Δ＞0,即k＜32,又k≠±2,故当k＜-2或-2＜k＜2或2＜k＜32时，方程(A)有两不等实根，l与C有两个交点.

③ 当Δ＜0，即k＞32时，方程(A)无解，l与C无交点.

综上知：当k=±2,或k=32，或k不存在时，l与C只有一个交点；

当2＜k＜32,或-2＜k＜2,或k＜-2时，l与C有两个交点；

当k＞32时，l与C没有交点.

(2) 假设以Q为中点的弦存在，设为AB，且A(x1,y1),B(x2,y2)，则2x21-y21=2,2x22-y22=2两式相减得：2(x1-x2)(x1+x2)=(y1-y2)(y1+y2).

又因为x1+x2=2,y1+y2=2，

所以2(x1-x2)=y1-y2，即kAB=y1-y2x1-x2=2.

但渐近线斜率为±2,结合图形知直线AB与C无交点，所以假设不正确，即以Q为中点的弦不存在.

图2

例2如图2，已知某椭圆的焦点是F1(-4，0),F2(4，0)，过点F2且垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|+|F2B|=10，椭圆上不同的两点A(x1,y1),C(x2,y2)满足条件：|F2A|，|F2B|，|F2C|成等差数列.

(1) 求该椭圆的方程；

(2) 求弦AC中点的横坐标；

(3) 设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.

分析第（1）问利用椭圆的第一定义写方程；第（2）问利用椭圆的第二定义(即用焦半径公式)求解，第（3）问利用m表示出弦AC的中点P的纵坐标y0,利用y0的范围求m的范围.

解(1) 由椭圆定义及已知条件知，2a=|F1B|+|F2B|=10,得a=5,又c=4,所以b=a2-c2=3.

故椭圆的方程为x225+y29=1.

(2) 由点B(4,yB)在椭圆上，得|F2B|=|yB|=95.

因为椭圆右准线的方程为x=254,离心率为45，根据椭圆定义，有|F2A|=45(254-x1),|F2C|=45(254-x2).

由|F2A|，|F2B|，|F2C|成等差数列，得45(254-x1)+45(254-x2)=2×95,由此得出x1+x2=8.

设弦AC的中点为P(x0,y0),则x0=x1+x22=4.

(3) 由A(x1,y1),C(x2,y2)在椭圆上，

得9x21+25y21=9×25， ①9x22+25y22=9×25， ②

①-②，得9(x21-x22)+25(y21-y22)=0,

即9x1+x22+25y1+y22•y1-y2x1-x2=0(x1≠x2),

将x1+x22=x0=4,y1+y22=y0,y1-y2x1-x2=-1k (k≠0)代入上式，得

9×4+25y0(-1k)=0(k≠0),

即k=2536y0(当k=0时也成立).

由点P(4，y0)在弦AC的垂直平分线上，得y0=4k+m,所以m=y0-4k=y0-259y0=-169y0.

由点P(4，y0)一定在线段BB′(B′与B关于x轴对称)上，得-95＜y0＜95,所以-165＜m＜165.

3. 过定点问题

例3已知椭圆x2a2+y2b2=1(a＞b＞0)与直线x+y-1=0相交于A，B两点，且OA⊥OB(O为坐标原点).

(1) 试问该椭圆是否过定点；

(2) 若该椭圆长轴长的取值范围是［5,6］，求该椭圆离心率e的取值范围.

解(1) 将x+y-1=0代入椭圆方程，整理得(a2+b2)x2-2a2x+a2(1-b2)=0.

设A(x1,y1)，B(x2,y2),则x1+x2=2a2a2+b2,x1x2=a2(1-b2)a2+b2,所以y1y2=(1-x1)(1-x2)

=b2(1-a2)a2+b2.

又因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=0,

所以a2(1-b2)a2+b2+b2(1-a2）a2+b2=0. 

化简得12a2+12b2=1，①

所以该椭圆过定点(±22,±22).

(2) 将b2=a2-c2代入①，得2-e2=2a2(1-e2).

所以2a2=2-e21-e2.

而2a∈［5,6］,

所以52≤2-e21-e2≤3.即 13≤e2≤12.

又0<e<1,所以33≤e≤22.

4. 位置关系的判定

例4已知曲线C：x2-y2=1及直线l：y=kx-1.

(1) 若l与C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；

(2) 若l与C交于A，B两点，O是坐标原点，且△OAB的面积为2，求实数k的值.

解(1) 曲线C与直线l有两个不同的交点，则方程组x2-y2=1，y=kx-1有两个不同的解.

代入整理，得(1-k2)x2+2kx-2=0.此方程必有两个不等的实根x1，x2，

所以1-k2≠0,Δ=4k2+8(1-k2）＞0.

解得-2＜k＜2且k≠±1时，曲线C与直线l有两个不同的交点.

(2) 设交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，

所以x1+x2=-2k1-k2,x1x2=-21-k2.

又直线l与y轴交于点D(0，-1)，

当-1＜k＜1时，x1x2＜0，S△OAB=S△OAD+S△OBD=12 |x1|+12|x2|= 12(|x1|+|x2|)=12|x1-x2|=2，

当-2＜x＜-1或1＜x＜2时，x1x2＞0,S△OAB=|S△OAD-S△OBD|=|12|x1|-12|x2||=12|x1-x2|=2.

所以(x1-x2)2=(22)2，即-2k1-k22+81-k2=8.解得k=0或k=±62.

所以k=0或k=±62时，△OAB面积为2.

5. 对称问题

例5已知抛物线y2=2px(p＞0)上有两点A，B关于点M(2，2)对称.

(1) 求p的取值范围；

(2) 当p=2时，AB的垂直平分线交该抛物线于C，D两点，问：平面内是否存在一点N到A，B，C，D四点的距离相等？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

解(1) 设A(x1，y1)，B(x2，y2)是关于点M(2，2)

对称的抛物线上的两点.则x1+x2=4,y1+y2=4,y21=2px1,y22=2px2.

得y21+y22=2p(x1+x2)=8p，即(y1+y2)2-2y1y2=8p，得y1y2=8-4p，从而y1，y2是方程y2-4y+8-4p=0的两个不等实根.

所以Δ=16-4(8-4p)=16p-16＞0，所以p＞1.

(2) 抛物线方程为y2=4x，且A，B两点在抛物线上，则

y21=4x1,y22=4x2.

所以y21-y22=(y1+y2)(y1-y2)=4(y1-y2).

又y21-y22=4(x1-x2)，所以y1-y2x1-x2=1.

得AB所在直线的斜率kAB=1，从而CD所在直线的斜率kCD=-1，

则直线AB的方程为y=x，直线CD的方程为y=4-x.

由y2=4x,y=x,解得A(0，0)，B(4，4).

由y2=4x,y=4-x消去x，得y2+4y-16=0.

设C(x3，y3)，D(x4，y4)，

则y3+y4=-4，y3y4=-16，

从而x3+x4=12，

所以CD的中点P的坐标为(6，-2)，且|PA|2=40，

又(y3-y4)2=(y3+y4)2-4y3y4=80，

则|CD|2=2(y3-y4)2=160，

所以|PC2|=|CD|22=40.

所以|PA|2=|PC|2=|PD|2=|PB|2.

故存在这样的点N，其坐标为(6，-2).