直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系（精选十篇）

直线与圆的位置关系 篇1

关键词：直线,圆,位置关系,合作,主动,能力

一、教学设计思路

《直线与圆的位置关系》是九年级下册《圆》这一章的重点内容，是学生在认识了圆、圆的对称性、圆周角等知识的基础上学习的，它在这一章中也是一个难点，同时为后面学习切线、利用直线与圆的位置关系进行证明、计算等打下基础．根据教学内容和学生的实际情况，创造一种现实而富有吸引力的学习环境，以激发学生学习的兴趣与动机，让学生在轻松、自然、融洽而又具有挑战性的情境中，通过动手、动脑或与他人合作去学习数学．用观察、猜测和归纳的方法获取知识，使数学课堂变为学生主动探索、自主参与的一个舞台，从而培养学生获取新知识及与同学交流合作的能力．

二、教学目标

1．探索和理解直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离．

2．会运用圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系判断直线与圆的位置关系．

三、教学过程

现以苏教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册《5.5直线与圆的位置关系》（第一课时）为例，进行如下设计．

教学片断（一）：板书课题

出示这节课的学习目标，指导学生自学：看课本P127到P129，练习前面的内容并思考：（1）直线与圆的位置关系有哪几种？（2）如何判断直线与圆的三种位置关系？（6分钟后请学生完成相关的练习）

点评：《直线与圆的位置关系》第一课时，学生在已有知识的基础上，有能力自学．为使学生学得紧张，最大化地提高课堂效率，可让学生带着思考题自学，逐步培养学生的自学能力．

教学片断（二）：完成自学检测一

自学检测一的设计构想：主要检测学生自学指导中的问题一．

检测方式：口答竞赛，有困难的可以让其他学生补充．

教学片断（三）：自学检测二

自学检测二的设计构想：围绕本节课的第二个目标：“会运用圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系判断直线与圆的位置关系”而设计的．

检测方式：口答竞赛，让学生说出答案的同时，说出依据或方法，若说不完整，由其他学生补充，教师适时点拨．

点评：这是一个从自学实践到感知内化的过程，在自学的基础上，学生参与课堂的欲望得以激发．部分学生的回答出错，其他学生帮纠错，及时反馈了学生的自学情况，培养了学生团结合作的精神，使他们真正成为课堂的主角，在课堂这一舞台上充分展示自己．

教学片断（四）：小试牛刀

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm，则以C为圆心、r为半径的圆与AB有怎样的位置关系？(1)r=2cm;(2)r=2.4cm;(3)r=3cm.

设计构想：这节课的重点是用圆心到直线的距离与圆的半径之间的数量关系判断直线与圆的位置关系，这道题主要培养学生严谨的解题习惯．

检测方式：三位学生到黑板板演，其余学生在作业本上完成．大家都做完后，开展“大家来找茬”的活动，鼓励学生找出板演过程中的问题，积极到黑板上纠错．

教师点拨：横向分布点评．先评第一步：要判断直线与圆的位置关系，应比较圆心到直线的距离与圆的半径的数量关系．本题已知圆的半径，由此要求圆心到直线的距离，应过点C作AB的垂线．再评第二步：运用相似法或面积法求出圆心到直线的距离．最后评第三步：位置关系判断正确与否．

四、教学反思

1．本节课的教学过程，采用“先学后教，当堂训练”的教学模式，根据学生的实际情况设计教学过程．

为学生提供展示、交流的学习平台，使学生经历知识的形成过程，提高动手、动脑的能力，让学生通过自己的努力获得成功的喜悦，增强自信心．

2．本节课实现了教师角色的转变．

这节课教师成为学生学习的组织者、引导者和研究者．组织学生自学，完成自学检测，引导学生归纳、小结，教师成为学生的导师和伙伴．在课堂上教师除了引导学生活动外，更多的关注学生在学习过程中遇到的疑难，适时点拨，帮助学生归纳数学思想方法，形成自己构建知识体系的方法．学生会在教师的指导下自主学习，并能主动参与到教学活动中，使个性得到了张扬．把时间和空间还给了学生，真正使学生走上了课堂的舞台，使他们意识到自己才是学习的主人，变“要我学”为“我要学”．

3．课堂检测的完成及纠错、小结都由学生完成，其余学生作出判断和补充，以竞赛的方式组织完成自学检测题．

直线与圆的位置关系教案 篇2

2．掌握直线与圆的位置关系的性质与判定并能够灵活运用来解决实际问题。

3．培养学生把实际问题转化为数学问题的能力及分类和化归的能力。

重点难点：

1．重点：直线与圆的三种位置关系的概念。

2．难点：运用直线与圆的位置关系的性质及判定解决相关的问题。

教学过程：

一．复习引入

1．提问：复习点和圆的三种位置关系。

（目的：让学生将点和圆的位置关系与直线和圆的位置关系进行类比，以便更好的掌握直线和圆的位置关系）

2．由日出升起过程中的三个特殊位置引入直线与圆的位置关系问题。

（目的：让学生感知直线和圆的位置关系，并培养学生把实际问题抽象成数学模型的能力）

二．定义、性质和判定

1．结合关于日出的三幅图形，通过学生讨论，给出直线与圆的三种位置关系的定义。

（1）线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交。这时直线叫做圆的割线。

（2）直线和圆有唯一的公点时，叫做直线和圆相切。这时直线叫做圆的切线。唯一的公共点叫做切点。

（3）直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离。

2．直线和圆三种位置关系的性质和判定：

如果⊙O半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：

（1）线l与⊙O相交 d＜r

（2）直线l与⊙O相切d=r

（3）直线l与⊙O相离d＞r

三．例题分析：

例（1）在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，以C为圆心，r为半径。

①当r= 时，圆与AB相切。

②当r=2cm时，圆与AB有怎样的位置关系，为什么？

③当r=3cm时，圆与AB又是怎样的位置关系，为什么？

④思考：当r满足什么条件时圆与斜边AB有一个交点？

四．小结（学生完成）

五、随堂练习：

（1）直线和圆有种位置关系，是用直线和圆的个数来定义的；这也是判断直线和圆的位置关系的重要方法。

（2）已知⊙O的直径为13cm，直线L与圆心O的距离为d。

①当d=5cm时，直线L与圆的位置关系是；

②当d=13cm时，直线L与圆的位置关系是；

③当d=6。5cm时，直线L与圆的位置关系是；

（目的：直线和圆的位置关系的判定的应用）

（3）⊙O的半径r=3cm，点O到直线L的距离为d，若直线L 与⊙O至少有一个公共点，则d应满足的条件是（）

（A）d=3（B）d≤3（C）d<3 d="">

3（目的：直线和圆的位置关系的性质的应用）

（4）⊙O半径=3cm。点P在直线L上，若OP=5 cm，则直线L与⊙O的位置关系是（）

（A）相离（B）相切（C）相交（D）相切或相交

（目的：点和圆，直线和圆的位置关系的结合，提高学生的综合、开放性思维）

想一想：

在平面直角坐标系中有一点A（—3，—4），以点A为圆心，r长为半径时，思考：随着r的变化，⊙A与坐标轴交点的变化情况。（有五种情况）

六、作业：P100—

“直线与圆的位置关系”说课案 篇3

一、教材分析

直线与圆的位置关系是对圆的方程应用的延续与拓展，又是后续研究圆与圆的位置关系及直线与圆锥曲线的位置关系等内容的基础。在直线与圆的位置关系的判断方法的建立过程中蕴含着诸多的数学思想方法，这对进一步探索研究后续内容有很大的启发与示范作用。因此本节课具有承上启下的作用。

二、学情分析

初中学生已经直观讨论过直线与圆的位置关系，前阶段又学习了直线与圆的方程及圆的有关性质，虽然对这部分内容比较熟悉，但对如何利用坐标法判断直线和圆的位置关系和数形结合思想的应用还有待探究和提高。

三、目标分析

1.教学目标

知识与技能：掌握根据直线和圆的方程判断它们位置关系的方法；熟练运用直线和圆的位置关系解决有关问题。

过程与方法：通过观察实际中的问题情境，将之化归为判断直线和圆的位置关系问题，逐步形成用代数方法解决几何问题的坐标法思想；领悟数形结合的魅力，提高发现问题，分析问题，解决问题的能力。

情感、态度与价值观：关注知识的生成过程，使学生养成问问题的习惯及勇于发现、主动探索的精神，让学生感受学习的成功与快乐。

2.教学重点、难点

重点：利用方程判断直线和圆的位置关系的方法。

难点：直线和圆的位置关系的灵活运用。

四、教法、学法分析

1.教法分析：运用启发式教学方法，创设问题情境，调动学生求知欲，激发学生的探究心理。

2.学法分析：贯彻以学生为主体的探究式学习。通过自学、观察、尝试演算获取知识，在探究过程中，学生的分析、归纳和推理能力得到提高。

五、教学过程分析

环节一：创设情境，引入新课

我国对钓鱼岛周围30 km的圆形区域实行警戒防御，现发现在钓鱼岛正西70 km处有艘日本船，前往钓鱼岛正北40 km处，若日本船只沿直线行驶，请问同学们我国是否采取军事行动予以驱赶？

【设计意图】通过对引例的改编，利用钓鱼岛创设情境，引入新课，提高学习兴趣，体验数学与生活的密切联系。

环节二：探索研究，构建新知

问题1：你能用初中的平面几何知识解决这个问题吗？

问题2：能否用直线与圆的方程来解决这个问题？

【设计意图】通过问题引领方式，引导学生主动回顾初中所学直线与圆的三种位置关系及判断方法，进而引发新知识增长点，为接下来例1的学习做好铺垫。

问题3：例1：已知直线l：3x+y-6=0和圆x2+y2-2y-4=0，判断直线和圆的位置关系；若相交，求交点坐标。

【设计意图】方法一：代数法，方法二：几何法，让学生体会两种方法的优缺点，培养学生思维的全面性。

环节三：反思过程，提炼方法

方法一：①联立；②消元，判断方程解的个数；③定位置关系。

方法二：①求圆心、半径，计算圆心到直线的距离；②比较距离与半径的大小；③定位置关系。

【设计意图】学生在教师的点拨下，根据例1的探究与板演展示，自己总结归纳解题方法。由特殊到一般，符合学生的认知规律。

环节四：课堂演练，强化方法

1.解决引入中的问题。

2.判断直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0的位置关系。

3.已知直线y=x+2，圆C：x2+y2-2y-4=0，判断直线与圆有无公共点，若有，求其坐标。

【设计意图】让学生独立完成，巩固和检测学生对直线和圆位置关系的掌握情况，巡视解决可能存在的疑难点，并让其思考：（1）这道题还有别法吗？（2）这道题是否可以引申？

环节五：变式演练，深入探究

变式1：求例1中直线与圆所形成的弦长AB。

变式2：由点A（-2，2）引圆C：x2+y2=9切线，求切线方程。

变式3：求圆C：x2+y2+4y-21=0上的点到直线x+y-10=0的最大距离和最小距离。

【设计意图】通过变式演练，提高学生从不同方面掌握直线与圆的位置关系，进一步体会数形结合思想的优越性。

变式4：例2：过点M（-3，3）的直线被圆C：x2+y2+4y-21=0截得弦长为4，求直线方程。

【设计意图】通过例2的学习，培养学生举一反三的能力，进而提高学生分析、解决问题的能力和思维的严密性。

环节六：课堂小结，分享收获

1.直线和圆的位置关系的判断方法？

2.研究直线与圆的位置关系的主要方法？

3.本节课留给你印象最深的是什么？数形结合思想是我们高中数学学习的重要思想，作为课堂的延伸你能否总结一下我们所学的哪些内容还渗透数形结合思想？

【设计意图】新课程强调尊重学生的差异，鼓励学生的个性发展，所以课堂小结我设置总结性内容及开放性问题，期望这些问题使学生体验学习数学的快乐。

环节七：分层作业，自主探究

必做题：课本P132 习题4.2 A组1，2，3。

选做题：已知C：（x-2）2+（y-2）2=5的一条弦AB过点（3，1），且长为4，求直线AB的方程。

自主探究题：判断圆C1：x2+y2+2x+8y-8=0与圆C2：x2+y2-4x-4y-2=0的位置关系。

【设计意图】让学生巩固所学内容并自我检测与评价，让不同层次的学生都可以获得成功的喜悦，看到自己的潜能，并为下一课时学习圆与圆的位置关系埋下伏笔。

当然，在实际教学中，可能会受到若干因素干扰，这就要求老师沉着冷静，适时适度调整教学设计，以保证教学任务的顺利完成。最后以华罗庚的一首诗结束本次说课。

数缺形时少直观，形少数时难入微。

数形结合百般好，割裂分家万事休。

参考文献：

周建伟.巧用直线与圆的位置关系解题[J].数学教学研究，1999（5）.

直线与圆的位置关系 篇4

( 1) 研究目的

通过对教师具体的课堂教学行为进行观察比较,了解数学教师在课堂教学方式、知识的讲授、课堂提问、技能训练以及如何与学生进行认知和情感交流等方面的差异,寻找和比较教师教学行为的相同和不同之处.

( 2) 研究对象

我们研究的对象是普通高中课程标准实验教科书( 必修) 第二册中直线与圆的位置关系的两节录像课. 这两节课,一个是我校一位青年教师汇报课( 教师A) ,另一节采自在衢州高级中学举行的全国核心概念、思想方法教学黄显忠老师的研究课( 教师B) .

( 3) 研究方法

本研究主要采用直接和间接的课堂观察法( 录像课) ,来获得课堂行为差异研究的第一手资料. 对课堂教学现象进行观察,记录被观察对象行为出现的频率,描述被观察对象的行为. 并预先设计了“有效课堂教学课堂提问登记表”、“有效课堂教学时间登记表”.

二、分析与结果

1. 教学的整体结构分析

相似之处:

从两堂课的概况来看,它们的基本要素和教学策略很类似: 课题一样,具体教学内容相同,有些例题,练习题也都是一样的: 他们也采用了类同的活动形式: 师生互动: 这两节课都非常重视培养学生浓厚的学习兴趣,旺盛的求知欲,积极的探索精神. 体现了学生主动参与,乐于探究,勤于动手的精神理念; 而且在教学中教师们都控制着课堂的整个进程( 如表1 - 1所示) .

不同之处:

在看到类似方面的同时,我们也从教学细节方面找到了差别( 如表1 - 1所示) ,甚至可以认为这些差别是十分重要的,体现了教师所持有的不同本质的指导思想:

( 1) 情境设计比较. 教师A: 通过实际问题台风引入、让学生稍作讨论,然后提出问题: “前面问题可以转化为直线圆的位置关系问题. 请问,直线与圆的位置关系有几种? 在平面几何中,我们怎样判断直线与圆的位置关系呢?”教师B: 在概念引入前任意画一个圆和一条直线,请判断它们之间的位置关系. 学生已有的初中知识回答,老师引导并整理出了直线与圆的位置关系的几种情形. 到此两人的差别还不是很大,接下来差别就很大.

( 2) 研究直线与圆的位置关系判断比较. 教师A: 问题3: 方法一是用平面几何知识判断直线与圆的位置关系,你能根据直线与圆的方程判断它们之间的位置关系吗? 老师直接提出了“形”向“数”转化的问题. 教师B: 用几何画板给出图像,判断直线CD与圆O的位置关系? 学生: 相切. 教师放大图像,直线与圆并不相切,是相离,此时如何说明直线与圆相离? 学生: 利用圆心到直线的距离与半径之间的关系. 教师B: 除此方法,还有其他方法吗? 学生: 把直线与圆用方程来表示,利用方程组的解的个数来判断. 教师B利用几何画板不同的单位长度造成的错觉,置疑设惑,实现直线与圆的位置关系的“形”向“数”转化的问题. 这种教学从人认识事物的规律出发,揭示数学的本质,是有效的教学.

( 3) 直线与圆的位置关系判断比较

教师A: 问题4: 这是利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判别直线与圆的位置关系( 称此法为“dr法”) .请问用“dr法”的一般步骤如何? 教师对判断直线与圆的位置关系步骤进行小结,对知识进行梳理,试图使学生以后看到直线与圆的位置关系问题就联系到dr法及其步骤,显然这里有灌输和应试之嫌. 我们知道数学是理解的数学,任何死记硬背,生搬硬套都是不行的. 教师B: 请你写出一条直线和一个已知点为圆心的圆的方程,判断它们之间的位置关系并说明理由. 教师B让学生自己命题,画图并说明是怎样来命题的. 他们必然考虑图形之间的关系与相应方程的关系,促使他们加强数与形的结合. 这样教符合解析几何的本质,也激发了学生的兴趣.

2. 课堂教学时间分布比较

从表2-1中,我们可以看出两位教师的操作的一些不同之处,例如在引入新课、研究直线与圆的位置关系的关系、直线与圆的位置关系的判断以及课堂小结四个方面时间差别较大. 从前三项的差异我们可以看出两位教师处理教材内容的主导思想,教师A只是用实际问题台风引入研究直线与圆的位置关系,教师B由错觉悬疑引入,层次预设,注重研究直线与圆的位置关系的合理生成,把大部分时间用在直线与圆的位置关系判断方法的探讨上; 巩固与运用用时的差别是教师A尤其注重了学生的技能训练,出现了两道例题,第一题教师讲解,第二道题学生独立完成,课堂还做了三道练习. 教师B只给出两道例题,两道题都是由学生自己完成,教师只是把学生做好的题目拿来投影,先听听学生怎么说明,再老师分析讲解. 第一题让学生自己出题,并判断直线与圆的位置关系. 而后老师再拿出题目,师生共同完成. 第二题是课本例题,在得到了结论后,老师并不满足,不断挖掘. 师生共同得出求弦长的公式,此公式在以后直线与圆锥曲线关系中会用到. 求出斜率k后,老师问了个问题: 为什么会有两个k,是不是过圆内定点截得弦长为定值的直线都有两条? 这样做提高了学生一题多解的能力,发展了学生的变式思维,也关注了几何关系的代数表示,代数结果的几何意义.

3. 师生活动时间分布

整个课堂教学中,两节课在师生活动的时间上有较大差别( 如表2 - 2) : 教师A和教师B的讲授时间所占比例分别为41% 和27. 3% ,二者之比约为14∶9; 教师A和教师B在师生交流互动( 提问、指导、学生管理) 上所占比例分别为4% 和14. 2% ,两者之比约为2∶7; 师A和教师B在留给学生思考、讨论的时间所占比例分别为17. 8% 和25. 6% ,二者之比约为9∶13.

4. 课堂有效提问的比较

尽管有无数的教师与研究人员对于课堂提问作过无数次的观察与研究,但是,课堂提问有效性的研究依然是课堂研究的永久性课题,对每节课的提问进行观察研究永远是有价值的. 我们对直线与圆的位置关系这一节课的课堂提问观察的主题是“关于教师课堂提问的有效性”,我们根据观察主题对两位教师的课堂提问进行了深入的分析,以期获得更多的启迪.

我们对两教师的提问进行了定量的汇总与定性的思考,获得了“教师A与教师B有效课堂教学提问的观察分析汇总表”( 见表2 - 3) 和教师A与教师B的课堂提问有效性分析表( 见表2 - 4)

综合两表,我们得出的基本结论是:

( 1) 从总体来说,在这两节课教学中,教师提问较富效度,具体表现在:

“有效的提问”所占的比例较高,“低效的提问”所占的比例较低,而“无效的提问”所占比例最低,同时,我们也发现,有效提问中占主要地位的是知识性提问、分析性提问和推理性提问. 但就这两节课比较而言,教师B的分析性提问和推理性提问所占比例总共为64. 6% ,而教师A只为25% ,远远低于教师B. 教师B有元认知提问,教师A没有元认知提问. 在这两节课的观察中,我们没有发现一例“过难”的低效提问,过易的提问也只有两个,这说明教师对学生学习情况的基本把握是正确的. 但在具体的提问及回答中,我们也发现教师A把握还不够深刻,心里装着自己的“备课答案”,对学生的倾听不够,出现了代学生回答的情况. 因此,教师B的课堂提问的有效度要高于教师A.

( 2) 从量上来看,教师A总的提问数量明显比教师B多,在整节课45分钟内教师A提问了40次,而提问数增多的原因,最主要的就是无效提问和低效提问的增多,在整堂课的低效提问中,“无意义重复”的提问占了大头,占低效提问总数的66. 796.

( 3) 从质上来看,教师A表现出提问的浅层化,在本节课上反映出来的对问题的设计及追问能力有待加强. 比如研究直线和圆的位置关系判断时的提问,教师与学生共同复习直线和圆的位置关系后,教师A: 现在我们有了直线和圆的方程,那么把它们放在坐标系中该如何去研究它们的位置关系呢? 这样的问题太直接,缺乏深度,牵制学生的思维; 教师B: 教师放大图像,直线与圆并不相切,是相离,此时如何说明直线与圆相离? 学生: 利用圆心到直线的距离与半径之间的关系. 教师B: 除此方法,还有其他方法吗? 学生: 把直线与圆用方程来表示,利用方程组的解的个数来判断. 教师B: 如何建立直角坐标系来研究直线与圆的位置关系呢? 学生: 已圆心为原点,水平直线为x轴,……这样可供学生发挥想象力的空间比较大,问题里面所包含的方法性的选择很多. 这两个提问是不在一个水平上的两种问题,教师B: 提的问题具有开放性和思考性. 教师A: 例2学生先独立解决,然后看课本,规范解题. 师: 设直线方程为y + 3 =k( x + 3) ,它的前提是斜率存在. 对于斜率不存在的情形几何画板演示. 教师B: 学生先独立解决,然后. 你是如何求解例2的? 讲一下你的解题思路? 学生要回答这个问题,他首先就会想圆心及半径,根据弦长,再求弦心距,求k,……我要找它们有什么关系,那我怎么去寻找呢? 接着,要寻找它们的关系,该从哪几个方面去寻找呢? 这就属于“教学生怎么学”了. 这个是涉及方法论的问题,而不是像教师A直接问上面所说的那种问题,那是直白的问题. 更可贵的是,教师B,在巡视的过程中发现有的同学是设直线方程,代人圆的方程消去变量y得到关于x的方程,并设A( x1,y1) ,B( x2,y2) ,老师及时总结学生的思路,追问此时如何求AB的长呢? 提出了求弦长的另外的一种方法. 而不像教师A自己去讲第二种方法.

( 4) 从回答情况来看,在教师A的教学中,对于提问的处理,其中有两处布置了“同桌互说”,但两处的同桌互说基本上都流于形式,属于“表面繁华”,因而是一种“虚假学习”; 二是一些问题留给学生思考时间不够充分,教师往往把问题抛出后就让学生回答,这样就导致学生的回答不能如意.

直击点与圆的位置关系 篇5

毕达哥拉斯曾经说过：“一切立体图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆.”同学们，当你开始“圆”这一章的学习时就进入了一个神奇美丽的世界，让我们从学习点与圆的位置关系开始吧！

一、 概念释疑

认真的你一定会注意到，在我们的书本上对“圆”给出了两种不同的定义：

1. 把线段OP绕着端点O在平面内旋转一周，端点P运动所形成的图形叫做圆.

2. 圆是到定点的距离等于定长的点的集合.

对于第一种解释大家应该很容易理解，对于第二种定义同学们可能就不太好理解了.通俗地讲集合就是由具有同一属性的对象汇总成的集体，第二种定义的意思就是：圆，只有一个圆心，圆心到圆上各点的长都相等，并且到圆心的距离等于定长的点都在这个圆上.

二、 概念拓展

如果我们在平面上画一个圆，我们可以知道平面内的点与这个圆存在三种位置关系：（1） 点在圆上；（2） 点在圆内；（3） 点在圆外.

由此我们还可以得出两个结论：

1. 圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合.

2. 圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合.

三、 例题的拓展

苏科版《数学》教科书第39页尝试与交流：

如图1，线段PQ=2 cm.

（1） 画出下列图形：

到点P的距离等于1 cm的点的集合；到点Q的距离等于1.5 cm的点的集合.

（2） 在所画图中，到点P的距离等于1 cm，且到点Q的距离等于1.5 cm的点有几个？请在图中将它们表示出来.

（3） 在所画图中，到点P的距离小于或等于1 cm，且到点Q的距离大于或等于1.5 cm的点的集合是怎样的图形？把它画出来.

【解析】（1） 到点P的距离等于1 cm的点的集合是以P为圆心、1 cm长为半径的圆，到点Q的距离等于1.5 cm的点的集合是以Q为圆心、1.5 cm长为半径的圆，如图2-a；

（2） 满足条件的点有两个，为（1）中两圆的交点M、N，如图2-b；

（3） 由前面的概念可知这样的点既在☉P内或☉P上又得在☉Q外或☉Q上，即为如图2-c的阴影部分（包括边界）.

变式1 圆心位置、半径大小都确定

如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，∠A=30°，E、F分别为AB、AC的中点，以B为圆心，BC为半径画圆，试判断点A、C、E、F与☉B的位置关系.

【解析】在Rt△ABC中，∠A=30°，BC=4，所以AB=8>4，则点A在☉B外；很明显，点C在☉B上；BE=AB=4，所以点E在☉B上；连接BF，在Rt△BCF中，BF >BC，所以点F在☉B外.

【点评】现在要判定平面内一点与圆的位置关系，除了通过画图，还可以通过比较该点到圆心的距离与半径的大小来判定，而后者以后会用得更多些.

变式2 圆心位置不变，半径改变

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4.以B为圆心、r为半径画圆，当r在什么范围时，点C在☉B内，点A在☉B外.

【解析】要使点C在☉B内，r>BC=4；要使点A在☉B外，r

变式3 圆心位置改变，半径不变

如图5，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，∠A=30°，点F为AC中点，点P为AB上一动点，以P为圆心、2为半径作☉P，当点P由B→A以1个单位每秒的速度运动（点P到A时运动停止）过程中，点F在☉P内有多少时间？

【解析】由勾股定理易知AC=4，则AF=2.过F作FH⊥AB，可得FH=<2，因此点F一定有一段时间在☉P内.此时只要弄清何时圆心P与点F的距离为2，如图6中的P1、P2的位置.利用勾股定理可得P1H=1，同理P2H=1，则P1 P2=2，而点P以1个单位每秒的速度运动，因此点F在☉P内共2秒.

变式4 圆心位置、半径大小都改变

如图7，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=4，∠A=30°，点F为AC中点，点P为AB上一动点，当点P由B→A以1个单位每秒的速度运动时（点P到A时运动停止），以P为圆心的圆的半径也由0开始以1个单位每秒的速度变大. 在这个过程中，点F在☉P内有多少时间？

【解析】如图8，根据变式3的运算结果，在Rt△AFH中，FH=，AH=3，则HB=5.假设点P运动t秒时点F正好在☉P上，则PB=PF=t，PH=5-t.在Rt△PFH中利用勾股定理可以算得t=2.8.接下来点F一直在☉P内，因此点F在☉P内共8-2.8=5.2（秒）.

同学们有没有发现上面的例子都是万变不离其宗——紧紧围绕着点与圆的位置关系，所以平时大家多积累一定能有更多收获！

（作者单位：江苏省常州市新北区龙虎塘中学）

直线与圆的位置关系 篇6

本节课所用教材为《普通高中课程标准实验教科书·数学 (必修2) 》 (苏教版) 第二章“平面解析几何初步”第2节中的“直线与圆的位置关系”第一课时.课程标准对本节及后续内容的要求是:能根据给定的直线、圆的方程, 判断直线与圆的位置关系, 能用直线和圆的方程解决一些简单的问题, 在平面解析几何初步的学习过程中, 体会用代数方法处理几何问题的思想.

二、设计思想

本节课是在学习了直线和圆的方程的基础上, 用代数方法来解决直线与圆位置关系这个几何问题.这堂课很容易上成两种判断方法的技能训练课.如何在用代数方法处理几何问题的过程中, 让学生体会数形结合的思想, 是本节课教学中希望探索的问题.

三、教学目标

本节课的教学目标从知识、方法、能力这三个层面确定为:

1.理解直线与圆的位置关系;能根据直线和圆的方程, 判断直线与圆的位置关系.

2.从特殊的例子中归纳得出判断直线与圆位置关系的方法.

3.在用代数方法解决几何问题的过程中, 体会“数形结合”的思想.

四、教学重难点

重点:能根据给定的直线与圆的方程判断直线与圆的位置关系.

难点:直线与圆位置关系的判定方法的选择与应用.

五、教学过程

1.温故知新———为新知做准备

问题1平面几何中, 直线和圆有哪些位置关系?怎样判断直线和圆的位置关系?

教学意图:复习回顾初中所学的直线和圆位置关系的概念及判断方法, 一方面让学生认知水平统一到同一思维起跑线, 另一方面为解决下面的问题做理论上的准备.

2.探究问题———理论联系实际

师:在平面直角坐标系中, 怎样依据直线方程和圆的方程来判断它们之间的位置关系呢?先看下面的问题, 你能不能用已有的知识来解决问题, 从问题中总结方法?

问题2已知直线l:x-2y+5=0和圆C:x2+y2=4, 判断它们的位置关系?

教学意图:通过解决具体的问题, 考查学生理论联系实际的能力.

3.构建新知———从特殊到一般

问题3如何根据直线与圆的方程来判断它们的位置关系?

生: (1) (“Δ法”) 根据直线和圆的方程联立的方程组的解的个数判断.

若方程组有两组不同的实数解, 即Δ>0, 则直线与圆相交;

若方程组有且仅有一组实数解, 即Δ=0, 则直线与圆相切;

若方程组无实数解, 即Δ<0, 则直线与圆相离.

(2) (“dr法”) 根据圆心到直线的距离d和圆的半径r之间的大小关系判断.

若d

若d=r, 则直线与圆相切;

若d>r, 则直线与圆相离.

教学意图:从特殊的问题中归纳出一般的方法, 培养学生解决问题、归纳总结的能力;由学生给两种方法起名, 让其体会两种方法的本质.

4.学以致用———灵活运用知识

例1 (1) 判断直线3x+4y+2=0和圆x2+y2-2x=0的位置关系.

(2) 判断直线x+2y+1=0和圆x2+y2-2x-7=0的位置关系, 如有交点, 求出交点坐标.

解略.

问题4你能检验你的结果吗?

教学意图:波利亚在《怎样解题》中提出解题的最后一个步骤:检查已经得到的解答.这样不仅能够加强我们对解答的信任, 而且有助于巩固我们的知识.

例2已知直线y=x+m和圆x2+y2=9, 当m为何值时, 直线与圆相交、相切、相离?

方法1Δ法:略.

方法2 dr法:略.

问题5有没有其他方法?

生:图像法.直线的斜率是1, 直线的纵截距是m, 这是一条斜率确定而纵截距变化的直线;在纵截距m由大变小的过程中, 直线和圆的位置关系从相离、相切、相交, 再相切、相离.这里抓住两个特殊的位置———相切, 通过解三角形求出此时的m值, 进而从图像中得出相交和相离时的m的取值范围.

教学意图:本题除了两种常规方法以外, 还有第三种方法———图像法.在理解题目的基础上, 抓住图像中的关键, 是本题的突破口.

变题1若直线mx-y+2=0和圆x2+y2=1相切, 求实数m的值.

变题2已知直线l:ax-y+4-a=0和圆C: (x-2) 2+ (y-4) 2=9, 求证:无论a为何值, 直线l与圆C始终相交.

教学意图:抓住含参数问题中的不变量, 从图像中解决问题.变题1:直线的纵截距不变, 斜率变;变题2:直线恒过一定点 (1, 4) .

5.练习巩固———检测学习效果

略.

6.回顾总结

判断直线与圆位置关系的几种方法.

六、教学反思

直线与圆的位置关系 篇7

一、生活情景链接原认知

从唐朝诗人王维的名作《使至塞上》入手, 选取了其中的两句名句:“大漠孤烟直, 长河落日圆”, 让学生把这两句诗所描写的景物直观地画出来, 让学生从数学概念的角度出发去理解这两幅图, 让学生参照落日和地平线的位置把直线与圆的位置关系画出来, 从生活场景中引出直线与圆的3种位置关系.

点评:对于学生来说, 学习数学的一个重要目的是要学会数学的思考, 用数学的眼光去看世界, 去了解世界, 所以我设计了生活中的“日落”这个情景自然引入这个课题, 让学生从生活的场景抽象出直线与圆的3种位置关系.

二、比较抽象概括成定义

通过刚才的引例给出直线与圆的3种位置关系;

请你模拟日落过程中太阳和地平线的位置关系, 并完成学案.

教师:这3幅图你的分类标准是什么?

学生1:直线与圆的交点个数.第一幅图直线与圆没有交点, 第二幅有一个交点, 第三幅有2个交点.

教师:通过直线与圆交点的个数, 我们可以把直线与圆的位置关系分为三类:有交点时, 叫做相离;有一个交点时, 叫做相切, 这条直线叫做切线;有两个交点时, 叫做相交, 这条直线叫做割线.

出示练习:

看图判断直线l与⊙O的位置关系

相交

教师:第五幅图直线l和圆是什么位置关系呢?

学生反应不一, 有些回答相离, 有些回答相切, 有些回答相交.

教师:所以直观地从直线和圆的交点的个数来辨别还不够准确, 那我们有没有更科学和准确的方法来描述直线和圆的位置关系呢?

点评:这组题的设计既为了让学生巩固前面学习的三个定义, 又让学生感觉到仅仅只有定义并不能全面和科学地判断直线与圆的位置关系, 我们需要一种新的关系来刻画这三种关系, 引出数量关系来刻画位置关系的必要性.

三、类比探索经历方法与过程

探讨直线与圆的位置关系和数量关系; (类比:点与圆的位置关系和数量关系.)

学生操作:已知点O和直线a, 求作以点O为圆心, 且与直线a相切的圆.

(让学生通过作图, 进一步理解直线与圆相切的概念, 又启发学生思考相切时要满足的数量关系, 为下面位置关系和数量关系的转化作了铺垫.)

学生2:过点O作直线a的垂线段OA, 以点O为圆心, 垂线段的长度为半径作圆, 这样作的圆与直线a相切.

教师:那你能解释一下为什么这样做的圆一定与直线相切吗?

学生2:不知道.

教师:那有没有哪名同学能够解释一下?

学生3:因为除了点A, 直线上的其他点都在圆外, 根据相切的定义, 直线与圆只有一个交点, 则可知直线与圆相切.

教师:那你能说说为什么除了点A, 直线上其他点都在圆外吗?

学生3:直线a上除点A外的其他点到圆心的距离d>r, 点A到圆心的距离d=r, 根据点与圆的位置关系可知, 点A在圆上, 直线a上的其他点在圆外, 所以圆与直线只有一个交点, 根据相切的定义可知, 直线a与圆相切.

教师:这名同学解释得非常到位和全面, 要证明相切, 现在我们有哪些方法?

学生4:只有相切的定义, 直线与圆只有一个交点.

教师:那如何证明直线与圆只有一个交点?

学生4:根据垂线段最短.

教师:那你们能不能得到另外两种位置关系的数量关系?

几何画板上操作拖动圆, 得到相交和相离时点到直线的距离的关系, 然后总结三种位置关系分别对应的数量关系.

点评:直线与圆的数量关系对学生来说还是比较抽象的, 为了解决这个问题, 教师设计了两个问题:一是如何画圆与直线相切;二是为什么这么画的圆就与直线相切;这两个问题的提出既让学生又一次经历了直线与圆相切的产生过程, 又让学生更加深入地理解了相切的定义.

四、分层变式, 以达活用

1. 已知圆的直径为13 cm, 设直线和圆心的距离为d:

(1) 若d=4.5 cm, 则直线与圆, 直线与圆有个公共点.

(2) 若d=6.5 cm, 则直线与圆, 直线与圆有个公共点.

(3) 若d=8 cm, 则直线与圆, 直线与圆有个公共点.

这组题已知数量关系, 要学生转化为位置关系, 是两种关系相互转化的简单应用.B

2. 如图, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, AB=5 cm, AC=3 cm. (1) 以C为C圆心的圆与AB所在的直线相切, 则这个圆的半径是__cm.

(2) 当r满足时, 线段AB与⊙C只有一个公共点.

这组题第一小题学生解答问题不大, 但在解决第二小题时碰到了较大困难, 于是老师提出了一个过渡性的问题.

教师:第二小题和第一小题有什么联系和区别?

学生5观察题目后:第一小题是与直线AB相切, 而第二小题是线段与圆只有一个公共点.

点评:学生能很快地画出简单的示意图, 如何将实际背景与今天所学的知识背景相联系成为解决这个问题的一个难点.

教后反思

直线与圆的位置关系 篇8

新课程理念下的中职数学教学, 应着重培养学生的探究能力。因此, 教师的课堂教学设计必须要为学生搭建起自我创造和展示的舞台, 通过创设情境、提出问题、设计处理问题的途径、分析评价、实验研究获取知识这一过程, 放手让学生自主探究。

以《直线与圆的位置关系》教学为例:

第一, 观察认识地平线与太阳的位置关系是怎样的。

设计意图在于通过引入与生活密切相关的情境, 激发学生兴趣, 使学生从生活中发现数学, 懂得数学来源于实践。

第二, 做一做:请同学们画圆, 把直尺的边缘看成一条直线, 将直尺平放在纸面上, 然后移动直尺, 你能发现直线和圆有几个公共点?并完成下列填空。

(1) 直线和圆有两个公共点时, 叫做直线和圆。

(2) 直线和圆只有一个公共点时, 叫做直线和圆。

(3) 直线和圆没有公共点时, 叫做直线和圆。

设计意图是让学生通过动手操作、合作交流、探索发现、思维碰撞能获得对数学最深切的感受, 体验创造的快乐, 并通过问题情境类比得到直线与圆的三种位置关系。

第三, 想一想:动手作圆心C到直线l的距离d与圆的半径r的大小有什么关系, 见图1。

直线l和圆相交dr;

直线l和圆相切dr;

直线l和圆相离dr;

学生在画圆心到直线的距离d的过程中, 自然地产生了内在的、反思性的、富于理性的思维探究过程, 得出d与r的大小关系。在“做”中直观理解数学知识, 学生学得轻松, 又提高了多种能力。

第四, 自主探究, 形成规律。

问题:直线与圆的位置关系有几种?有几个公共点?如何判断?通过归纳可以成几种关系, 见表1。

其中d是圆心c (a, b) 到直线Ax+By+C=0的距离, 则d=__。

设计意图:引导学生自主探究, 形成规律, 获取新知。表格化的归类比较能够帮助学生理清思路, “如何判断”这样抛出问题, 让学生思考有多少种方法判断直线与圆的位置关系, 构建知识的网络, 除了有助于教学目标的实现, 也能使学生在创造性思维的碰撞中进一步激发探索和创新的欲望。

第五, 及时反馈, 学以致用。

(1) 已知圆的半径为5。

如果一条直线和圆心的距离为3, 则直线和圆___, 则____公共点。

如果一条直线和圆心的距离为5, 则直线和圆___, 则____公共点。

如果一条直线和圆心的距离为8, 则直线和圆___, 则______公共点。

(2) 已知圆的方程, 则圆心坐标为;半径为;那么圆心到直线3x+4y+1=0的距离d=______;此圆与直线的位置关系是______。

(3) 判断直线4x+7y-280=0与圆x2+y2=900的位置关系。

以上 (1) ~ (3) 设计意图为巩固学生对直线与圆的位置的判定方法及判定步骤的掌握。学生在动手做的过程中, 发现解题规律与步骤, 以便生活中遇到相似的问题, 能很快找到解决方法。

二、创设问题情境, 引导学生主动做数学

就数学学习而言, “学数学就是做数学”, 我们应当让学生通过“问题解决”来学习数学。这不仅使学生真正处于主动的地位, 并可通过积极主动的探索去创造性地理解和解决数学问题。因此除去具体数学知识的学习外, 这也十分有利于数学观念 (传统数学) 的养成。问题情境来自于学生身边所喜欢的事物, 它能激发学生的学习兴趣和求知欲望, 引导学生“主动”做数学。因此, 重要的是要为学生创造支点, 创设更加适宜学生“主动”去做的情境, 在良好的情境中学生的潜能才会得到不断的释放, 才有可能产生创新的思维和灵感的火花。

问题情境:直线与圆的位置关系的生活应用。

问题:我们知道台风对人类的危害是巨大的, 那么轮船在海上航行的时候能否避开它呢?看一个例子:一艘轮船在沿直线返回港口的途中, 接到气象台的台风预报, 轮船位于台风中心正东70km处, 受影响的范围是半径为30km的圆形区域, 已知港口位于台风中心正北40km处, 如果这艘轮船不改变航线, 它是否会受到影响?

(1) 根据已知条件在平面直角坐标系上作图, 尝试写出圆的方程和直线方程。 (提示:先建立平面直角坐标系, 以台风中心为圆点, A点为轮船的位置, B点港口位置。)

(2) 运用你所学的知识判断轮船不改变航行路线, 它是否会受到影响?

设计意图:让学生感受台风这个实际问题所蕴含的直线与圆的位置关系, 学生利用数学知识解决现实问题中的意义和价值, 可以培养学习兴趣, 激发学习动机。

三、还给学生空间, 引导学生“自主”做数学

学生经过内在的、反思性的、富于理性的思维探究过程, 已经能掌握判断直线与圆的位置关系, 并达到了一定的熟悉程度, 可以放手让学生自主探索, 让学生的学习主动性得到充分发挥。因此, 我们教师应该灵活地、创造性地使用教材, 把静态的教材转化成动态, 组织师生互动和生生互动的活动, 在“做”中培养学生的数学能力和素质。通过以下表2学习测评表来体现:

直线与圆的位置关系 篇9

关键词：直线与圆,圆的轨迹,轨迹方程

直线方程是解析几何的基础知识之一, 是高考重点考查的内容, 主要考查直线的倾斜角、斜率、直线方程、两条直线的位置关系、点到直线的距离以及对称问题;圆是高考的热点, 也是重点考查的内容, 主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的几何性质。直线与圆一般在试题中的难度为中等或偏易, 主要以选择题、填空题形式出现, 偶尔也会出现在解答题, 多与圆锥、曲线综合在一起考查。从近几年的高考来看, 主要以以下几种形式考查直线与圆的方程:

【问题1】:关于直线对称的问题

【例1】 (高考, 浙江理3) 直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是 ()

A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0

【答案】:D

【解析】:解法一 (利用相关点法) 设所求直线上任一点 (x, y) , 则它关于x=1对称点为 (2-x, y) , 它在直线x-2y+1=0上, ∴2-x-2y+1=0化简得x+2y-3=0, 故选D.

解法二:根据直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D, 再根据两直线交点在直线x=1, 选答案D.

【例2】 (高考, 上海文13) 圆x2+y2-2x-1=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是 ()

A. (x+3) 2+ (y-2) 2=1/2B. (x-3) 2+ (y+2) 2=1/2

C. (x+3) 2+ (y-2) 2=2 D. (x-3) 2+ (y+2) 2=2

【答案】C

【解析】圆x2+y2-2x-1=0⇒ (x-1) 2+y2=2, 圆心 (1, 0) , 半径2︿ (1/2) , 关于直线2x-y+3=0对称的圆半径不变, 排除A、B, 两圆圆心连线段的中点在直线2x-y+3=0上, C中圆 (x+3) 2+ (y-2) 2=2的圆心为 (-3, 2) , 验证适合, 故选C.

【评述】直线关于点的对称直线, 直线关于直线的对称直线等, 其实质是点关于直线的对称问题, 转化为垂直与平分来处理.在例1中解法1是运用一般的点, 然后用代入法求解, 也可以运用特殊点法来求解, 即在已知直线上找一个或两个特殊点, 求出这两个特殊点的对称点, 利用两点式写出直线方程;解法2侧重数形结合, 这是解选择、填空天常用的方法.

例2中圆的对称问题, 实质上转化为圆心关于直线的对称问题来处理, 这体现了转化的思想.

【问题2】判断两直线的位置关系

【例3】 (高考, 上海理2) 已知l1:2x+my+1=0与l2:y=3x-1, 若两直线平行, 则m的值为_____.

【答案】-2/3.

【解析】2/3=m/-1≠1/-1⇒m=-2/3.

【评述】:当两条直线l1、l2的方程分别为y=k1x+b1和y=k2x+b2 (即它们的斜率都存在时) , 可由k1, k2之间的具体值来判断它们的位置关系;当l1、l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0时, 可由l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0来判断它们是否垂直.

【问题3】圆的方程的求法

根据已知条件先确定采用标准方程还是一般方程, 然后求出相应的参数, 即采用待定系数法.

【例4】 (高考, 湖南文理11) 圆心为 (1, 1) 且与直线x+y=4相切的圆的方程是____.

【答案】 (x-1) 2+ (y-1) 2=2.

【解析】半径R=|1+1-4|/2︿ (1/2) =2︿ (1/2) , 所以圆的方程为 (x-1) 2+ (y-1) 2=2.姨2

【评述】:求圆的方程时, 如果涉及圆心、半径或切线时, 一般设圆的方程的标准式;如果涉及圆过几个点, 一般设圆的方程的一般式.

【问题4】直线与圆、圆与圆的位置关系

利用它们的方程联立的方程组的解的情况 (称为代数法) 或利用圆心到直线的距离、圆心与圆心的距离与半径的大小关系 (称之为几何法) 来求解.

【例5】 (江西理16) 设有一组圆Ck: (x-k+1) 2+ (y-3k) 2=2k4 (k∈N*) .下列四个命题:

A.存在一条定直线与所有的圆均相切B.存在一条定直线与所有的圆均相交

C.存在一条定直线与所有的圆均不相交D.所有的圆均不经过原··点

其中真命题的代号是_____. (写出所有真命题的代号)

【答案】B、D

【解析】:圆心为 (k-1, 3k) 半径为2︿ (1/2) k2, 圆心在直线y=3 (x+1) 上, 所以直线y=3 (x+1) 必与所有的圆相交, B正确;由C1、C2、C3的图像可知A、C不正确;若存在圆过原点 (0, 0) , 则有 (-k+1) 2+9k2=2k4圯10k2-2k+1=2k4 (k∈N*) 因为左边为奇数, 右边为偶数, 故不存在k使上式成立, 即所有圆不过原点.

【例6】 (高考, 山东理15) 与直线x+y-2=0和曲线x2+y2-12x-12y+54=0都相切的半径最小的圆的标准方程是____.

【答案】: (x-2) 2+ (y-2) 2=2

【解析】:曲线化为 (x-6) 2+ (y-6) 2=18,

其圆心到直线x+y-2=0的距离为

所求的最小圆的圆心在直线y=x上, 其到直线的距离为2︿ (1/2) , 圆心坐标为 (2, 2) .标准方程为 (x-2) 2+ (y-2) 2=2.

【评述】涉及直线与圆的位置关系, 一般用几何法求解;涉及圆与圆的位置关系时, 一般用代数法求解.

【问题5】与圆有关的轨迹方程问题

【例7】 (高考, 四川文理15) 已知圆O的方程是x2+y2-2=0, 圆O′的方程是x2+y2-8x+10=0, 由动点P向圆O和圆O′所引的切线长相等, 则动点P的轨迹方程是_____.

【答案】:x=3.2

【解析】圆心O (0, 0) , 半径r=2︿ (1/2) ;圆心O′ (4, 0) , 半径r′=6︿ (1/2) .设P (x, y) , 由切线长相等得x2+y2-2=x2+y2-8x+10, x=3/2.

【评述】圆的切线是高考的热点, 把圆的切线与轨迹结合在一起一般用数形结合的思想与方法来解决, 这样既直观又便捷.

【问题6】与圆有关的新题赏析

【例8】 (高考, 浙江理4文5) 要在边长为16米的正方形草坪上安装喷水龙头, 使整个草坪都能喷洒到水.假设每个喷水龙头的喷洒范围都是半径为6米的圆面, 则需安装这种喷水龙头的个数最少是 ()

A.3 B.4 C.5

【答案】B

【解析】:因为龙头的喷洒面积为36π≈113, 正方形面积为256, 故至少三个龙头.由于2R<16, 故三个龙头肯定不能保证整个草坪能喷洒到水.当用四个龙头时, 可将正方形均分四个小正方形, 同时将四个龙头分别放在它们的中心, 由于2R=12>8*2︿ (1/2) , 故可以保证整个草坪能喷洒到水.

【例9】 (高考, 上海文11) 如图, A, B是直线l上的两点, 且AB=2两个半径相等的动圆分别与l相切于A, B点, C是这两个圆的公共点, 则圆弧AC, CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是____.

【答案】 (0, 2-π/2]

【解析】如图, 当圆O1与圆O2外切于点C时, S最大, 此时, 两圆半径为1, S等于矩形ABO2O1的面积减去两扇形面积, ∴Smax=2×1-2× (1/4×π×12) =2-π/2, 随着圆半径的变化, C可以向直线l靠近, 当C到直线l的距离d→0时, S→0, ∴S∈ (0, 2-π/2].

直线与圆的位置关系 篇10

关键词：高效课堂；两圆位置关系；研究方法

这学期我在学校数学教研活动中开设的一堂组内公开示范课。我想谈谈个人的想法以及不足之处。首先本节课完成了预定的目标，并且学生的掌握程度比较高，但是与此同时还有一些不足的地方，需要进一步改进！以下是我对本节课的反思：

对于艺术班的学生而言，为了让他们能够在最后的一年里提高对数学的兴趣，树立学习的自信，我放慢进度，给学生创造条件，让他们亲身经历探索的过程，了解数学的真谛，对基本概念、定理等有深入的研究，知道它们从哪里来，怎么来的，又要用到哪里去。有时候为了让学生能够自己去观察、猜想、验证、归纳和总结，我不得不放慢节奏，细一点，慢一点，再慢一点。

下面我再来谈谈能力技能部分，由于本节课计算量大，学生基础又相对薄弱，所以例题3我打算放在下一节课研究，本节课重点研究两圆位置关系的判定及应用和与两圆相切的有关问题。例题1，我设计的意图是让学生在考虑两圆相切、相离的时候，会忘记分类，一味地认为相切就是外切，相离就是外离，而事实的确如此，有80%的学生漏解，所以对于这类问题以后纠错训练里面还会进一步强化。计划不如变化，课堂的处理稍有不当，就会带来当堂训练没有办法完成。所以这也是我这节课结构不够完美的地方，只给学生4分钟完成了1、2两小题，答案的分析只能留在下节课。所以我觉得既然是一节公开课，在前面例题1的评讲时，只需说出漏解原因，展示学生导学案即可，可以给后面留有充足的时间。

而要想真正地提高本节课的效率，必不可少的教学工具就是投影仪和电子白板，自从使用这些工具，学生的积极性提高了，上课的效率有了质的提高。投影仪可以用来展示学生的导学案，分析错误原因，可以减少学生板书的时间。电子白板的优势就更加的明显了，对于我们数学学科，利用多媒体电子白板信息技术图文并茂、声像并举、能动会变、形象直观的特点，为学生创设各种情境，能调动学生强烈的学习欲望，激发学习兴趣。课堂教学成功与否，其主要标志是教学效率的高低，而这又取决于学生参与教学活动的态度是否积极、主动。学生有了饱满的学习兴趣，便会对学习产生强烈的需求，积极地投入学习，坚持不懈地与学习中的困难作斗争，不再感到學习是一种负担。运用多媒体电子白板技术进行教学，能够创设良好的教学情境，加深学生的感观刺激，牢牢地抓住学生的注意力，激发他们的学习兴趣，在教育教学活动中起到事半功倍的效果。这节课中，我利用电子白板的TRACEEdu事先画好要用的图形，上课用的时候只需拖拽就可以，大大节省了时间，而且图形的准确率明显更高。所以在多媒体教学中，教师只是处于引导、点拨的主导地位，而真正体现了以学生为主体的学习模式，它强调学生的自主学习，通过伙伴或教师的帮助自主建构知识。因此，多媒体电子白板教学中学生之间的协作性、创造性、创新性得到了充分的体现。

通过这节课，学生深切感受到预习在学习中的重要作用，也通过自己的预习对所学知识有理更深入的理解，提高了课堂效率；同时，通过对这节课的反复推敲设计与反思，我也深切感受到对教材研究的重要性。最大的收获是得到了来自于备课组的帮助、团结与合作，这让我体会到一个人的力量是有限度的，眼光也是狭隘的，而集体的力量却是无穷的。我想在以后的教学中，加强团队的合作意识，并且我将会根据授课内容的需要，大胆地去利用教材，活用教材，充分利用教学工具去为学生服务，让他们在轻松愉快的氛围中去学习数学，掌握数学，应用数学。

（作者单位 江苏省扬州市高邮市临泽高级中学）