直线与平面平行的证明

直线与平面平行的证明（精选14篇）

篇1：直线与平面平行的证明

直线和平面平行与平面与平面平行证明题

专题训练

E是AA1的中点，求证：AC1、、如图，在正方体ABCDA1BC11D1中，1//

平面BDE。

A

1D1

B1

E

A

B2、如图:平行四边形 ABCD 和平行四边形 CDEF有一条公共边

CD ,M为FC的中点 , 证明: AF //平面MBD.C

M

D

A

B

F

PCA、C分别是PBC、3、如图6-9，A、B、面ABCPAB的重心.求证：

∥面ABC.4、在长方体ABCD—A1B1C1D1中.（1）作出过直线AC且与直线BD1平行的截面，并说明理由.（2）设E，F分别是A1B和B1C的中点，求证直线EF//平面ABCD.D1 C

1A1B1

C

A5、、已知E、F、G、H为空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上的点，且ＥＨ∥ＦＧ．

求证：EH∥BD.(12分)

6、P是平行四边形ABCD所在平面外一点，PC//平面BDQ．（自己作图）

Q是PA的中点，求证：AEHBDFC7、如图，a//，A是的另一侧的点，B,C,Da，线段AB，AC，AD交于E，F，G，若BD4，CF4，AF5，则EG=___________．

8、求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．

篇2：直线与平面平行的证明

---直线与平面平行的判定

高一朱丽珍

【教学目标】

1.理解并掌握直线与平面平行的判定定理

2.把线面平行关系（空间问题）转化为线线平行关系（平面问题）

3.了解空间与平面互相转换的思想，激发学生的学习兴趣

【教学重点】

直线与平面平行的判定定理；线面平行关系与线线平行关系的转换

【教学难点】

线面平行关系与线线平行关系的转换

【教学方法】

启发诱导与自主探究

【教学过程】

（一）复习引入

一条直线与一个平面有哪些位置关系？

①直线a在平面内②直线a与平面相交③直线a与平面平行 提问：如何判定一条直线与一个平面平行？

（二）新课讲解

实例探究：①门扇绕着门框转动观察另一边与门框所在平面位置关系②转书过程观察书沿与桌面的位置关系

归纳出线面平行的判定定理:若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行

符号表示：若a,b,a∥b，则a∥

简述为：线线平行线面平行

（三）例题选讲

例

1、空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，证明:直线EF与平面BCD平行

例

2、在长方体ABCD-A1B1C1D1各面中，(1)与直线AB平行的平面有：

(2)与直线AA1平行的平面有：

（四）反馈训练

正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，证明BD1∥平面AEC

（五）归纳总结

1、直线与平面平行的判定定理：线线平行线面平行

2、应用判定定理时,应当注意三个不可或缺的条件

篇3：直线与平面平行的几种证明方法

构造一个平行四边形,该平行四边形的一组对边中,有一条在平面内,另一条是平面外的直线.

【例1】如图1,正方体ABCD—A1B1C1D1中,侧面对角线AB1、BC1上分别有点E、F,且B1E=C1F,求证:EF∥平面AB-CD.

分析:解决问题的关键是在所证平面内画出与已知直线平行的直线.可通过构造平行四边形,利用平行四边形的对边平行来作平行线.

证明:如图2,过E、F分别作EM⊥AB,FN⊥BC,垂足分别为M、N,连结MN.因为B1E=C1F,所以AE=BF.所以四边形EM-NF为平行四边形,所以有EF∥MN,又EF平面ABCD,MN平面ABCD,所以EF∥平面ABCD.

二、相似三角形法

构造具有一个公共顶点,且过该顶点的两边分别共线的两个相似三角形,这两个相似三角形的一对平行线中,有一条是平面内的直线,另一条是平面外的直线.

【例2】如图3,已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内,P、Q分别是对角线AE、BD上的点,且AP=DQ,求证:PQ∥平面CBE.

分析:由图形可知,直线PQ在平面CBE外,因此要证明PQ∥平面CBE,只须在平面CBE内找一条直线,使得PQ平行于这条直线.选择点A作为两个相似三角形的公共顶点,且过该顶点的两边分别共线,构造两个相似的三角形,利用两相似三角形另一组对边平行来作平行线.

证明:如图4,连结AQ交BC于G,连结EG,因为AD∥BG,所以,则.又AP=DQ,AE=BD,则BQ=PE,所以,所以,所以PQ∥EG.又PQ平面CBE,EG平面CBE,所以PQ∥平面CBE.

三、面面平行法

过所证的直线作一个平面,使这个平面与所证平面平行.

【例3】如图5,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为AB的中点,AC⊥BC,AC=BC=BB1.求证:BC1∥平面A1CD.

分析:可考虑过BC1作一个平面,使这个平面与平面A1CD平行,再利用面面平行的性质定理来证明本题.

证明:取A1B1的中点G,连结DG、BG、C1G,如图6,由DB∥A1G,且DB=A1G,得四边形DA1GB是平行四边形,则DA1∥BG.又BG平面A1CD,DA1平面A1CD,所以BG∥平面A1CD.由DG∥CC1,DG=CC1,则四边形DGC1C为平行四边形,则DC∥GC1,又C1G平面A1CD,DC平面A1CD,所以C1G∥平面A1CD.又BG与C1G交于点G,所以平面BGC1∥平面A1CD.又BC1平面BC1G,所以BC1∥平面A1CD.

四、空间向量法

此法主要介绍给使用B版教材的同学,下面以例3为例说明.

分析:建立适当的坐标系(如图7),设法求出向量BC1和平面A1CD的法向量的坐标,若向量BC1与法向量垂直,则直线BC1与平面A1CD垂直.

篇4：直线与平面平行的证明

【关键词】高中数学 引导探究 抽象概括 培养能力

【中图分类号】G633.63 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2014）8 -0231-02

一、教学内容分析

本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认（合情推理，不要求证明）归纳出直线与平面平行的判定定理。本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大。

二、学生学习情况分析

任教的学生在年段属中上程度，学生学习兴趣较高，但学习立几所具备的语言表达及空间感与空间想象能力相对不足，学习方面有一定困难。

三、设计思想

遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出直线与平面平行的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示直线与平面平行的判定、理解数学的概念，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。

四、教学目标

通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中學习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

五、教学重点与难点

重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立几空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养。

六、教学过程设计

（一）知识准备、新课引入

提问1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面有哪几种位置关系？

提问2：根据直线与平面平行的定义（没有公共点）来判定直线与平面平行你认为方便吗？谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径。

（二）判定定理的探求过程

1、直观感知

提问：根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗？

生1：例举日光灯与天花板，树立的电线杆与墙面。

生2：门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行（由学生到教室门前作演示），然后教师用多媒体动画演示。

[学情预设：此处的预设与生成应当是很自然的，但老师要预见到可能出现的情况如电线杆与墙面可能共面的情形及门要离开门框的位置等情形。]

2、动手实践

教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示：当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置给人以平行的感觉，而当把直角腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面给人的印象就不平行。又如老师直立讲台，则大家会感觉到老师（视为线）与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师（视为线）与左、右墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师（视为线）与前、后墙面平行（老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上作上述情形的演示）。

[设计意图：设置这样动手实践的情境，是为了让学生更清楚地看到线面平行与否的关键因素是什么，使学生学在情境中，思在情理中，感悟在内心中，学自己身边的数学，领悟空间观念与空间图形性质。]

3、探究思考

（1）上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同？关键是什么因素起了作用呢？通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素：①平面外一条线 ②平面内一条直线 ③这两条直线平行。

（2）如果平面外的直线a与平面内的一条直线b平行，那么直线a与平面平行吗？

4、归纳确认：（多媒体幻灯片演示）

直线和平面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行。

简单概括：（内外）线线平行线面平行

作用：判定或证明线面平行。

关键：在平面内找（或作）出一条直线与面外的直线平行。

思想：空间问题转化为平面问题。

（三）定理运用，问题探究（多媒体幻灯片演示）

1、想一想：

（1）判断下列命题的真假？说明理由：

①如果一条直线不在平面内，则这条直线就与平面平行（ ）

②过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行（ ）

③一直线上有二个点到平面的距离相等，则这条直线与平面平行（ ）

2、作一作：

设a、b是二异面直线，则过a、b外一点p且与a、b都平行的平面存在吗？若存在请画出平面，不存在说明理由？

先由学生讨论交流，教师提问，然后教师总结，并用准备好的羊毛针、铁线、泡沫板等演示平面的形成过程，最后借多媒体展示作图的动画过程。

[设计意图：这是一道动手操作的问题，不仅是为了拓展加深对定理的认识，更重要的是培养学生空间感与思维的严谨性。]

3、证一证：

例1（见课本60页例1）：已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，求证：EF || 平面BCD。

变式一：空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA中点，连结EF、FG、GH、HE、AC、BD请分别找出图中满足线面平行位置关系的所有情况。

变式二：在变式一的图中如作PQ EF，使P点在线段AE上、Q点在线段FC上，连结PH、QG，并继续探究图中所具有的线面平行位置关系？（在变式一的基础上增加了4组线面平行），并判断四边形EFGH、PQGH分别是怎样的四边形，说明理由。

[设计意图：设计二个变式训练，目的是通过问题探究、讨论，思辨，及时巩固定理，运用定理，培养学生的识图能力与逻辑推理能力。]

（四）总结

先由学生口头总结，然后教师归纳总结（由多媒体幻灯片展示）：

1、线面平行的判定定理：平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与这个平面平行。

2、定理的符号表示：简述：（内外）线线平行则线面平行

3、定理运用的关键是找（作）面内的线与面外的线平行，途径有：取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等。

七、教学反思

本节课的设计遵循“直观感知——操作确认——思辩论证”的认识过程，注重引导学生通过观察、操作交流、讨论、有条理的思考和推理等活动，从多角度认识直线和平面平行的判定方法，让学生通过自主探索、合作交流，进一步认识和掌握空间图形的性质，积累数学活动的经验，发展合情推理、发展空间观念与推理能力。

篇5：直线与平面平行的性质导学

班级：姓名：

【学习目标】

1．理解直线与平面平行的性质定理的含义.2．会用图形、文字、符号语言准确地描述直线与平面平行的性质定理，并知道其

地位和作用，证明一些空间线面平行关系的简单问题.【重点、难点】

直线与平面平行的性质定理的应用.【课前自主学案】

一、（看书本P58—P59）

探究（1）如果一条直线与一个平面平行，那

么这条直线与这个平面内的直线有哪些位置

关系？

（2）如果一条直线与一个平面平行，那么这

条直线与这个平面内的所有直线平行吗？把“所有”改成“无数”呢？

（3）教室内日光灯管所在的直线与地面平行，如何在地面上作一条直线与灯管所

在的直线平行？

二、直线与平面平行的性质定理：。

符号表示为：

图形表示：

三、例题自学P59例3例4

【知能优化训练】

如图，空间四边形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四边形，求证：

（1）EF//平面BCD； A（2）DC//平面EFGH.F BD

篇6：直线与平面平行预习案

数学必修21.2.2直线与平面平行（预习案）

【学习目标】：1.通过预习，初步掌握空间直线与平面的位置关系，直线与

平面平行的判定定理。

2.记录自己在预习过程中遇到的疑难问题和困惑的知识点，学习正课时有的放矢。

【课前预习】

一、知识链接，温故知新：

1，在空间中，两条直线的位置关系有哪几种？

2，我们学习过的证明两直线平行的依据有哪些？

二、自主学习

1、在空间中，直线与平面的位置关系有哪几种？如何分类？

2、数学来源于生活，你能举出哪些在日常生活中给我们直线与平面平行

形象的例子？

【我的收获】：

篇7：直线与平面平行的证明

本节教材在高中立体几何中占有很重要的地位，因为它与前面所学习的平面几何中的两条直线的位置关系以及立体几何中的线线关系等知识都有密切的联系，而且其本身就是判定直线与平面平行的一个重要的方法;同时又是后面将要学习的平面与平面的位置关系的基础，因此学好本节内容知识，不仅可对以前所学的相关知识进行加深理解和巩固，而且也为判断直线与平面平行增添了一种新的方法，同时又为后面将要学习的知识作了很好的铺垫作用。

教学目标

知识与技能

理解并掌握直线与平面平行的判定定理，进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力。

过程与方法

学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行的判定定理。

情感态度与价值观

学生在发现中学习，增强学习的积极性，同时让学生了解空间与平面互相转换的数学思想。

教学重点

通过直观感知、操作确认，归纳出直线和平面平行的判定及其应用

教学难点

直线和平面平行的`判定定理的探索过程及其应用。

教学流程

问题引入—实例探究—抽象概括—定理讲解—例题讲解—反馈练习—归纳总结—布置作业

课 型 新授课

教学过程

1、复习引入：

问题1：根据公共点的情况，空间中直线a和平面 有哪几种位置关系?

①直线a在平面内，记作a

篇8：巧用“射影”证明直线和平面平行

一、点射影

例1如图1所示,直线a是平面α外的一条直线,点O是不在直线a上且不在平面α内的任意一点,在直线a上取不同两点A、B,若OA、OB与平面α分别相交于点A1、B1,则直线A1B1叫做直线a关于点O在平面α内的射影,简称为点射影 。

二、方向射影

例2如图2所示,直线a是平面α外的一条直线,直线m是与平面α相交的任意直线,在直线a上取不同两点A、B,过点A、B分别作AA2、BB2平行于直线m交平面α于点A2、B2,则直线A2B2叫做直线a关于直线m在平面α内的射影,简称为方向射影。

三、应用举例

例3 已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,E、F分别是棱B1C1、A1A上的点,且A1F∶A1A=B1E∶B1C1。求证:A1E//平面B1FC

分析一:如图3所示,取点B,连结BA1、BE分别交B1F、B1C于点P、Q,连结PQ,则PQ是A1E关于点B在平面B1FC上的射影(点射影),要证A1E//平面B1FC,只须根据平面内平行线分线段成比例定理的逆定理证:A1E//PQ。

证法一:连结BA1、BE分别交B1F、B1C于点P、Q,连结PQ。

∵B1C1//BC,B1C1=BC

∴B1E∶B1C1= B1E∶BC=EQ∶QB

∵AA1//BB1,AA1=BB1

∴A1F∶A1A= A1F∶BB1=A1P∶PB

∵A1F∶A1A=B1E∶B1C1

∴EQ∶QB= A1P∶PB

∴A1E//PQ

又∵A1E 平面B1FC ,PQ 平面B1FC

∴A1E//平面B1FC

分析二:如图4所示,取CC1为方向,过点E作EM//CC1交B1C于点M,连结FM,则FM是A1E关于直线CC1在平面B1FC上的射影(方向射影),要证A1E//平面B1FC,只须根据平行四边形的判定和性质证:A1E//FM。

证法二:过点E作EM//CC1交B1C于点M,连结FM。

∵CC1//AA1 ∴A1F//EM

∴B1E:B1C1=EM:C1C

∵A1F:A1A=B1E:B1C1

∴A1F:A1A = EM:C1C

∵A1A=C1C

∴A1F=EM

∴四边形A1FME是平行四边形

∴A1E//FM

又∵A1E 平面B1FC ,FM 平面B1FC

∴A1E//平面B1FC

篇9：直线与平面平行的证明

例1 正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是对角线AB1，BC1上两点，且

B1MMA=C1NNB，求证：MN∥平面A1B1C1D1.

分析 在图中，根据已知条件找不出现成的线线平行关系，怎么办？往往通过两条途径去探索证明思路：①用“面面平行线面平行”；②添加辅助线，创设使用线面平行判定定理的条件，具体方法如下：

图1

(1) 由“面面平行线面平行”去证.

在面A1B内，作MK∥A1B1，交BB1于K点，连结KN，由平行线截割定理知B1MMA=B1KKB，而已知B1MMA=C1NNB，所以B1KKB=C1NNB，则KN∥B1C1，

因为MK∩KN=N，

所以平面MKN∥平面A1B1C1D1，

而MN平面MKN，

所以MN∥平面A1B1C1D1.

(2) 添加辅助线，由“线线平行线面平行”去证.

图2

连结BM并延长，交A1B1于P点，连接PC1，则可证△B1MP∽△AMB，

所以B1MMA=PMMB，而B1MMA=C1NNB（已知），

所以PMMB=C1NNB，由平行截割定理得MN∥PC1，

而PC1平面A1B1C1D1，

所以

MN∥平面A1B1C1D1.

评析 较低一级的位置关系，决定着较高一级的位置关系，如线线平行线面平行面面平行，反之较高一级的位置关系具有较低一级的性质，如面面平行线面平行线线平行，这种低级到高级、高级到低级的转化构成位置关系证明题中的主要思维指向.辅助线、辅助面所具有的性质，一定要以某一性质定理为依据，决不能凭主观臆断.

图3

例2 如图3，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM=DN，求证：MN∥平面AA1B1B.

分析一 若能证明MN平行于平面AA1B1B中的一条直线，则依线面平行判定定理，MN∥平面AA1B1B.于是有以下两种添辅助线的方法.

证法一 如图4，作ME∥BC，交BB1于E；作NF∥AD，交AB于F.连结EF，则EF平面AA1B1B.

图4

因为BD=B1C，DN=CM，所以B1M=BN.

因为MEBC=B1MB1C，NFAD=BNBD，

所以MEBC=NFAD，所以ME=NF.

又ME∥BC∥AD∥NF，所以MEFN为平行四边形.

所以MN∥EF.从而MN∥平面AA1B1B.

证法二 如图5，连结并延长CN，交BA延长线于点P，连结B1P，则B1P平面AA1B1B.因为△NDC∽△NBP，所以DNNB=CNNP.

又CM=DN，B1C=BD，

所以CMMB1=DNNB=CNNP.

所以MN∥B1P.

因为B1P平面AA1B1B，所以MN∥平面AA1B1B.

图5

分析二 若过MN能作一个平面与平面AA1B1B平行，则由面面平行的性质定理，可得MN与平面AA1B1B.

证法三 如图6，作MP∥BB1，交BC于点P，连结NP.

图6

因为MP∥BB1，所以CMMB1=CPPB.

因为BD=B1C，DN=CM，所以B1M=BN.

因为CMMB1=DNNB，所以CPPB=DNNB.

所以NP∥CD∥AB，所以面MNP∥面AA1B1B.又MN面MNP，所以MN∥面AA1B1B.

评析 证明直线l与平面α平行，通常有以下两个途径：①

通过线线平行来证明，即证明该直线l平行于平面α内的一条直线；

②通过面面平行来证明，即证明过该直线l的一个平面平行于平面α.

例3 已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E,F,G分别是棱AB,BC,BB1上的点，且BE=BF=BG，求证：BD1⊥平面EFG.

分析 根据条件，在正方体中易得EF∥AC，而AC⊥BD1，

故BD1⊥EF，同理BD1⊥EG.

图7

证明 如图7，

因为ABCD为正方形，BE=BF，所以EF∥AC.

又因为AC⊥BD，所以EF⊥BD.

因为BD为BD1在面AC上的射影，所以BD1⊥EF.

同理BD1⊥EG.又EF∩EG=E，

所以BD1⊥平面EFG.

评析 证明线面垂直，常常先证线线垂直，而证线线垂直，通常又是借助线面垂直完成的.

图8

例4 如图8，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点.

(1) 求证：MN∥平面PAD；

(2) MN⊥CD；

(3) 若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD.

分析 (1) 要证明MN∥平面PAD，须证MN平行于平面PAD内某一条直线.注意到M，N分别为AB，PC的中点，可取PD的中点E，从而只须证明MN∥AE即可.

因为AE平面PAD，MN平面PAD，所以MN∥平面PAD.

(2) 要证MN⊥CD，可证MN⊥AB.由(1)知，只需证AE⊥AB.

因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥AB.又AD⊥AB，PA∩AD=A,

所以AB⊥平面PAD.又AE平面PAD，所以AB⊥AE，即AB⊥MN，又CD∥AB，所以MN⊥CD.

(3) 由(2)知，MN⊥CD，即AE⊥CD，再证AE⊥PD即可.

因为PA⊥平面ABCD，AD平面ABCD，所以PA⊥AD.

又∠PDA=45°，E为PD的中点，

所以AE⊥PD，即MN⊥PD.

又MN⊥CD，所以MN⊥平面PCD.

评析 本题是涉及线面平行、线线垂直、线面垂直诸知识点的一道综合题.(1)的关键是选取PD的中点E，所做的辅助线使问题处理明朗化.线线垂直←线面垂直←面面垂直是证垂直的转化规律.

图9

例５ 如图9，在空间四面体SABC中，已知∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，AN⊥SB，AM⊥SC，证明：SC⊥平面AMN.

分析 由结论联想判定定理，要证明SC⊥平面AMN，须证明SC垂直于平面AMN中的两条相交直线.已知AM⊥SC，尚缺条件SC⊥AN.于是考虑从其它条件所具备的性质中去寻找.

证明 由∠ABC=90°，知BC⊥AB.

又因为SA⊥平面ABC，而AB为SB在平面ABC中的射影，

由三垂线定理，BC⊥SB，所以BC⊥平面SAB.

因为AN平面SAB，所以BC⊥AN.

因为AN⊥SB，所以AN⊥平面SBC，所以SC⊥AN.

因为AM⊥SC，所以SC⊥平面AMN.

评析 本题在运用判定定理证明线面垂直（SC⊥平面AMN）时，将问题化为证明线线垂直（SC⊥AN）；而证明此线线垂直时，又转化为证明线面垂直（AN⊥平面SBC）.

巩 固 练 习

1. 正方体AC1中，E，F分别为CD，B1C1的中点，M、N分别为A1C1，AD1上的点，使A1M=AN.

(1) 求证：EF∥平面B1BDD1；

(2) 求证：MN∥平面C1CDD1.

图10

篇10：用向量法证明直线与直线平行

一、知识梳理



1、设直线l1和l2的方向向量分别是为v1和v2，由向量共线条件得l1∥l2或l1与l2重合v1∥v2。

2、直线与平面平行的条件 已知两个不共线向量v1、v2与平面a共面（图（2）），一条直线l的一个方向向量为v1，则由共面向量定理，可得l∥a或l在平面a内存在两个实数x、y，使

v1＝xv1＋yv2。

3、平面与平面平行的条件 已知两个不共线的向量v1、v2与平面a共面，则由两个平面平行的判定定理与性质得 a∥或a与重合v1∥且v2∥

4、点M在平面ABC内的充要条件

由共面向量定理，我们还可得到：如果A、B、C三点不共线，则点M在平面ABC内的充分

必要条件是，存在一对实数x、y，使向量表达式AMxAByAC成立。

对于空间任意一点O，由上式可得OM(1xy)OAxOByOC，这也是点M位于平

面ABC面内的充要条件。

知识点睛用向量法证明直线与直线平行、直线与平面平行、平面与平面平行时要注意：

（1）若l1、l2的方向向量平行，则包括l1与l2平行和l1与l2重合两种情况。

（2）证明直线与平面平行、平面与平面平行时要说明它们没有公共点。

例1：如图3－28，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，点M，N

分别是面对角线A′B与面对角线A′C′的中点。

求证：MN∥侧面AD′；MN∥AD′，并且MN＝12AD′。

已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，点M，N分别是棱BB′与对角线CA′的中点。求证：MN∥BD，MN＝

[例2] 在长方体OAEB－O1A1E1B1中，|OA|＝3，|OB|＝4，|OO1|＝2，点P在棱AA1上，且|AP|＝2|PA1|，点S在棱BB1上，且|SB1|＝2|BS|，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS 12BD。

在正方体AC1中，O，M分别为BD1，D1C1的中点．证明：OM∥BC1.例3] 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.变式应用

3如图所示，已知正方形ABCD和正方形ABEF相交于AB，点M，N分别在AE，BD上，且AM＝DN.求证：MN∥平面BCE.堂巩固训练

→＝AB→，则点B应为1．设M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，若OM

()

A．(－1,3，－3)B．(9,1,1)C．(1，－3,3)D．(－9，－1，－1)

→2→，则C的坐标是2．已知A(3，－2,4)，B(0,5，－1)，若OC3

1410A．(2，－，331410B．(－2，－)33

14101410C．(2，－，－)D．(－2，－)3333

3．已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3)B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，→⊥AC→，则λ等于()若AB

A．λ＝28B．λ＝－28

C．λ＝14D．λ＝－14

篇11：直线与平面平行的证明

2.2.1直线与平面平行的判定

【学习目标】

1.通过生活中的实际情况，建立几何模型，了解直线与平面平行的背景；

2.理解和掌握直线与平面平行的判定定理，并会用其证明线面平行.【重点难点】

重点：直线与平面平行的判定

难点：应用判定定理证明线面平行

【学法指导】

1． 结合问题自学教材54-55页，画出重点和疑惑点。

2． 独立完成探究题

一、问题导学

1． 直线与平面平行的判定定理的内容是什么？

2． 用数学符号语言如何来表述定理？

3． 定理体现了什么数学思想？

4． 如何证明这个定理？

二、探究、合作、展示

例1 有一块木料如图5-4所示，P为平面BCEF内一点，要求过点P在平面BCEF内作一条直线与平面ABCD平行，应该如何画线？

图5-

4例2 如图5-5，空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点，求证：EF∥平面BCD.图5-

5长春市实验中学高一◆数学◆导学案

练1.正方形ABCD与正方形ABEF交于AB，M和N分别为AC和BF上的点，且

MN∥平面BEC.,AB的中点，沿DE将ADE折起，使A到A的位置，设M是AB的中点，求证：ME∥平面ACD.三、学习小结

1.直线与平面平行判定定理及其应用,其核心是线线平行线面平行；

2.转化思想的运用：空间问题转化为平面问题.※ 知识拓展

判定直线与平面平行通常有三种方法：

⑴利用定义：证明直线与平面没有公共点。但直接证明是困难的，往往借助于反证法。⑵利用判定定理，其关键是证明线线平行。证明线线平行可利用平行公理、中位线、比例线段等等。

⑶利用平面与平面平行的性质。(后面将会学习到)

【课堂小测】（时量：5分钟 满分：10分）计分：

1.若直线与平面平行，则这条直线与这个平面内的（）.A.一条直线不相交B.两条直线不相交

C.任意一条直线都不相交D.无数条直线不相交

2.下列结论正确的是（）.A.平行于同一平面的两直线平行

B.直线l与平面不相交，则l∥平面

C.A,B是平面外两点，C,D是平面内两点，若ACBD，则AB∥平面

D.同时与两条异面直线平行的平面有无数个

3.如果AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，则经过它们中点的平面和直线AC的位置关系是（）.A.平行 B.相交 C.AC在此平面内 D.平行或相交

4.在正方体ABCDA1B1C1D1的六个面和六个对角面中，与棱AB平行的面有________个.5.若直线a,b相交，且a∥，则b与平面的位置关系是_____________.【课后作业】

篇12：直线与平面平行的证明

教材分析

直线与平面平行是在研究了空间直线与直线平行的基础上进行的，它是直线与直线平行的拓广，也是为今后学习习近平面与平面平行作准备．在直线与平面的三种位置关系中，平行关系占有重要地位，是今后学习的必备知识．所以直线与平面平行的判定定理和性质定理是这节的重点，难点是如何解决好直线与直线平行、直线与平面平行相互联系的问题．突破难点的关键是直线与直线平行和直线与平面平行的相互转化．

教学目标

1.了解空间直线和平面的位置关系，理解和掌握直线与平面平行的判定定理和性质定理，进一步熟悉反证法的实质及其证题步骤．

2.通过探究线面平行的定义、判定、性质及其应用，进一步培养学生观察、发现问题的能力和空间想象能力．

3.培养学生的逻辑思维和合情推理能力，进而使其养成实事求是的学习态度．

任务分析

这节的主要任务是直线与平面平行的判定定理、性质定理的发现与归纳，证明与应用．学习时，要引导学生观察实物模型，分析生活中的实例，进而发现、归纳出数学事实，并在此基础上分析和探索定理的论证过程，区分判定定理和性质定理的条件和结论，理解定理的实质和直线与平面平行的判定．在运用性质时，要引导学生完成对“过直线———作平面———得交线———直线与直线平行”这一过程的理解和掌握．

教学设计

一、问题情境

教室内吊在半空的日光灯管、斜靠在墙边的拖把把柄，都可以看作直线的一部分，这些直线与地平面有何位置关系？

二、建立模型 ［问题一］

1.空间中的直线与平面有几种位置关系？ 学生讨论，得出结论： 直线与平面平行、直线与平面相交（学生可能说出直线与平面垂直的情况，教师可作解释）及直线在平面内．

2.在上述三种位置中，直线与平面的公共点的个数各是多少？ 学生讨论，得出相关定义：

若直线a与平面α没有公共点，则称直线与平面α平行，记作a∥α．若直线a与平面α有且只有一个公共点，则称直线a与平面α相交．当直线a与平面α平行或相交时均称直线a不在平面α内（或称直线a在平面α外）．若直线a与平面α有两个公共点，依据公理1，知直线a上所有点都在平面α内，此时称直线a在平面α内．

3.如何对直线与平面的位置关系的进行分类？ 学生讨论，得出结论：

方法1：按直线与平面公共点的个数分：

［探 索］

直线与平面平行、相交的画法．

教师用直尺、纸板演示，引导学生说明画法．

1.画直线在平面内时，要把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形内部，如图16-1．

2.画直线与平面相交时要画出交点，如图16-2．

3.画直线与平面平行时，一般要把表示直线的线段画在表示平面的平行四边形外，并使它与平行四边形的一组对边或平面内的一条直平行，如图16-3．

［问题二］

1.如何判定直线与平面平行？教师演示：（1）教师先将直尺放在黑板内，然后慢慢平移到平面外．

（2）观察教室的门，然后教师转动的门的一条门边给人平行于墙面的感觉． 学生讨论，归纳和总结，形成判定定理．

定理 如果不在平面内的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．

已知：ａα，ｂα，ａ∥ｂ．

求证：ａ∥α． 分析：要证明直线与平面平行，根据定义，只要证明直线与平面没有公共点，这时可考虑使用反证法．

证明：假设ａ不平行于α，由ａ若A

α，得ａ∩α＝A．若A∈ｂ，则与已知ａ∥ｂ矛盾；b，则a与b是异面直线，与a∥b矛盾．所以假设不成立，故ａ∥α．

总结：此定理有三个条件，（1）ａα，（2）ｂα，（3）ａ∥ｂ．三个条件缺少一个就不能推出ａ∥α这一结论．此定理可归纳为“若线线平行，则线面平行”．

2.当直线与平面平行时，直线与平面内的直线有什么位置关系？是否平行？

教师演示：教师先让直尺平行于讲桌面，再将纸板经过直尺，慢慢绕直尺旋转使纸板与桌面相交．

学生讨论得出：直尺平行于纸板与桌面的交线． 师生共同归纳和总结，形成性质定理．

定理 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．

已知：l∥a，l求证：l∥m． β，α∩β＝ｍ．

证明：因为l∥α，所以l∩α＝内，且没有公共点，所以l∥m．

总结：此定理的条件有三个：（1）l∥α，即线面平行．（2）lβ，即过线作面．，又因为ｍα，所以l∩ｍ＝，由于l，ｍ都在β（3）β∩α＝ｍ，即面面相交．

三个条件缺一不可，此定理可简记为“若线面平行，则线与交线平行”．

三、解释应用 ［例 题］ 1.已知：如图16-5，空间四边形ABCD，E，F分别是AB，AD的中点．求证：EF∥平面BCD．

证明：连接BD，在△ABD中，因为E，F分别是AB，AD的中点，所以EF∥BD．

又因为BD是平面ABD与平面BCD的交线，EF∥平面BCD，所以EF∥平面BCD． 2.求证：如果过一个平面内一点的直线平行于与该平面平行的一条直线，则这条直线在这个平面内．

已知：l∥α，点P∈α，Ｐ∈ｍ，ｍ∥l（如图16-6）． 求证；mα．

证明：设l与P确定的平面为β，且α∩β＝ｍ′，则ｌ∥ｍ′．又知ｌ∥ｍ，ｍ∩ｍ′＝Ｐ，由平行公理可知，ｍ与ｍ′重合．所以m

α．

［练习］

1.已知：如图16-7，长方体AC′．求证：B′D′∥平面ABCD．

2.如图16-8，一个长方体木块ABCD－A1B1C1D1，如果要经过平面A1C1内一点P和棱BC将木块锯开，那么应该怎样画线？

四、拓展延伸

1.教室内吊在半空中的日光灯管平行于地面，也平行于教室的一墙面，试探讨它和这个墙面与地面的交线之间有什么样的位置关系？

2.已知：如图16-9，正方形ABCD和正方形ABEF不在同一平面内，点M，N分别是对角线AC，BF上的点．问：当M，N 满足什么条件时，MN∥平面BCE．

3.如果三个平面两两相交于三条直线，那么这三条直线有怎样的位置关系．

点 评

篇13：直线与平面平行的证明

本节课的设计遵循从具体到抽象的原则,适当运用多媒体辅助教学手段,借助实物模型,通过直观感知,操作确认,合情推理,归纳出直线与平面平行的判定定理,将合情推理与演绎推理有机结合,让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中,揭示直线与平面平行的判定,养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式,课堂上一定要注意各项环节,确保课堂的气氛进度,保证学生上课的激情,有一个良好的学习效果.

【教学过程】

一、知识准备,新课引入

提问1:根据公共点的情况,空间中直线a和平面α有哪几种位置关系?

我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外,用符号表示为aα.

提问2:根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便吗? 谈谈你的看法,并指出是否有别的判定途径.

二、判定定理的探究过程

1. 直 观感知. 提 问 :根据同学们日常生活的观察 ,你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗?

生1:列举日光灯与天花板、竖立的电线杆与墙面.

生2:门转动到离开门框的任何位置时,门的边缘线始终与门框所在的平面平行(由学生到教室门前做演示),然后教师用多媒体动画演示.

2. 动手实践. 教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示:当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动,观察另一边与桌面的位置给人以平行的感觉,而当把直角腰放在桌面上并转动, 观察另一边与桌面给人的印象就不平行. 又如老师直立讲台,则大家会感觉到老师(视为线)与四周墙 面平行,如老师向前或后倾斜则感觉老师(视为线)与左、右墙面平行,如老师向左、右倾斜,则感觉老师(视为线)与前、后墙面平行(老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上做上述情形的演示).

3. 探究思考:

(1)上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同 ?关键是什么因素起了作用呢? 通过观察感知发现直线与平面平行,关键是三个要素:1平面外一条直线;2平面内一条直线;3这两条直线平行.

(2) 如果平面外的直线a与平面α内 的一条直线b平行,那么直线a与平面α平行吗?

4. 归纳确认:(多媒体幻灯片演示)

直线和平面平行的判定定理:平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线和这个平面平行.

简单概括……

三、定理运用,问题探究

1. 想一想:

(1)判断下列命题的真假? 说明理由:

1 如果一条直线不在平面内, 则这条直线就与平面平行.( )

2 过 直 线 外 一 点 可 以 作 无 数 个 平 面 与 这 条 直 线 平行.()

3 一直线上有两个点到平面的距离相等, 则这条直线与平面平行.()

(2)若直线a与平面α内无数条直线平行 , 则a与α的位置关系是 ().

A. a∥αB. aαC. a∥α或aαD. aα

2. 作一作:设a、b是二异面直线,则过a,b外一点P且与a、b都平行的平面存在吗? 若存在,请画出平面;不存在,说明理由.

先由学生讨论交流,教师提问,然后教师总结,并用准备好的羊毛针、铁线、泡沫板等演示平面的形成过程,最后借多媒体展示作图的动画过程.

3. 证一证:

例题:已知空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点,求证:EF∥平面BCD.

变式一:空间四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA中点 ,连接EF,FG,GH,HE,AC,BD,请分别找出图中满足线面平行位置关系的所有情况. (共6组线面平行)

变式二:在变式一的图中如作PQ∥EF,使P点在线段AE上,Q点在线段FC上,连接PH,QG,并继续探究图中所具有的线面平行位置关系. (在变式一的基础上增加了4组线面平行)并判断四边形EFGH,PQGH分别是怎样的四边形,说明理由.

4. 练一练:

练习1:见课本6页练习1,2.

练习2:将两个全等的正方形ABCD和ABEF拼在一起,设M,N分别为AC,BF中点,求证:MN∥平面BCE.

变式:若将练习2中M,N改为AC,BF分点且AM = FN,试问结论仍成立吗? 试证之.

四、总结

先由学生口头总结,然后教师归纳总结(由多媒体幻灯片展示):

1. 线面平行的判 定定理 :平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,则该直线与这个平面平行.

2. 定理的符号表示:

简述:(内外)线线平行则线面平行.

3. 定理运用的关键是找 (作 )面内的线与面外的线平行 ,途径有:取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等.

【教学反思】

1. 本节课的设计注重训练学生准确表达数学符号语言、文字语言及图形语言, 加强各种语言进行互译. 比如上课开始时的复习引入,让学生用三种语言进行表达,动手实践、定理探求过程以及定理描述也注重三种语言的表达,对例题的讲解与分析也注意指导学生三种语言的表达.

2. 本节课对定理的运用设计了想一想、作一作、证一证 、练一练等环节,能从易到难、由浅入深地强化对定理的认识,特别是对“证一证”中采用一题多解、一题多变的变式教学,有利于培养学生思维的广阔性与深刻性.

篇14：直线与平面平行的证明

今天我出了小组内的公开课《平面与平面平行的判定》，课堂上的一些细节的东西真的很值得让我去思考，也让我明白了怎样才是真正的发挥学生的主体作用，上出以学生为主体，老师引导学生的探究课。

课应该说准备得很充分，但是我忽略了学生的想法。开始引入时，一切都很顺利。在我提出了两个探究问题后，并引导学生从直线和平面平行去考虑，然后给了学生几分钟的时间去探究这两个问题。也许是自己对这堂课太在乎了，也许是前两次出课在学生那里都出了点小状况，我就似乎不太敢把更多的表现机会留给学生，总想在学生讨论完简单说一下就将自己准备的模型给学生演示，可这又与新课改的设计相矛盾，当时心里真的有些不知怎么办才好，不过，我想还是应该给学生机会，让他们自己去充分研究，最后得到结论，真正的体会探究的过程，这样也能更加激发学生们的兴趣。于是，我就改变了自己最初的想法，在学生结束探究时，我提问：“谁想好了，你能说出结论吗？并上前面来为大家演示一下！”我观察着学生们，1秒，2秒……怎么没有人举手呢？就这么不给班主任面子啊？这时，我们班级的闫喜丽把手举了起来，说：“老师，我来吧！说错了是不是没有关系呀？”这个小丫头，这时候还有心思开玩笑！不过也许是我前两次出课对他们太严厉了，让他们不敢站出来答题。于是我说：“那你来吧，不过一定不能说错哟！”这样，用点轻松的语气，她似乎也放松了一些，拿了一本書，还有两只笔当作模型为同学们做演示。清晰的语言表述，熟练的演示模型，真的让我有些意外。真的不像平时的表现啊！她的回答及展示博得了听课老师及同学们的掌声，而且也很轻松的让学生有直观感知加上实际操作得到了――平面与平面平行的判定定理。余下的时间，课堂上的气氛也就更加活跃了，大家的积极性也都高涨了起来，最后很顺利的结束了这节课。

实际上，我们的教学就是为了把发现创造的机会还给学生，把成功的体验让给学生；为了立足于学生思维发展，着力于知识建构，就必须让学生有观察、动手、表达、交流、表现的机会。采用引导发现探究法，可激发学生学习的积极性和创造性，分享到探索知识的方法和乐趣，使数学教学成为再发现再创造的过程。我们作为年轻教师，作为新课改的第一参与人，更应该按照课标的要求，给学生表现的机会，真正的发挥学生的主体作用！