等间隔运行

2024-06-22

等间隔运行（精选三篇）

等间隔运行篇1

关键词：非等间隔,GM (1, 1) 模型,高耸建筑,沉降监测,预测

引言

建筑物沉降变形预测的方法较多, 常用的模型有:多元线性回归模型, 时间序列分析模型, 灰色系统预测模型等。多元线性回归具有“后验”性质, 需要积累一定量的变形资料后方能做出预报, 且由于其自变量间的相关性, 使回归系数的稳定性较差, 影响预报的准确性。而时间序列分析是一种建立在大样本基础之上的方法, 在实际工作中资料积累量有时难以满足要求。灰色系统理论是把时间序列看作是在一定时空区域变化的灰色过程, 通过数据生成方法, 将本没有规律的或规律性不强的1组原始数据变得具有明显的规律性。显然, 应用灰色系统理论进行沉降变形预测, 利用沉降量序列的潜在信息进行定量预测是变形分析和预报的有效方法。

1 非等间隔灰色系统GM (1, 1) 模型

对于沉降预测, 一般选用1个变量的灰色系统理论微分方程GM (1, 1) 模型。传统GM (1, 1) 模型要求建模数据是等间隔的序列, 而高耸建筑沉降监测由于受施工进度、气象条件等因素影响, 其观测数据往往是非等间隔的。文献[5]以相邻观测时间间隔为权, 作观测序列1-WAG-O生成, 直接应用原始观测量建立非等间隔GM (1, 1) 模型, 具有较好的实用性和预报精度。

灰色系统预测分析过程一般可分为灰色生成、求参计算和精度检验。

1.1 灰色生成

设 (ti) 时刻的原始观测数据为t (0) (ti) , 非等间隔观测序列为X (0) ={x (0) (t1) , x (0) (t2) , …x (0) (tn) }, 对X (0) 做1-WAGO生成得X (1) ={x (1) (t1) , x (1) (t2) , …x (1) (tn) }, 其中

X (1) 的GM (1, 1) 模型的白化微分方程形式为

式中a、u为待求参数。

1.2 求参计算

设B为灰色序列矩阵,

代入沉降监测数据, 采用最小二乘法, 求得:

式 (3) 中a为发展系数, 反映和的发展态势, u为灰色作用量, 它反映数据变化的关系, 其确切内涵是灰的。根据发展系数a的大小可按表1确定预测模型的合理应用范围[8]。

微分方程式 (2) 的解为:

由式 (1) 得, , 两式相减得差分还原公式:

将式 (4) 代入式 (5) 得非等间隔GM (1, 1) 模型预测方程式:

1.3 残差检验及模型评价

为了对建立的模型做出正确合理的评价, 必须对模型可靠性和精度做相应的检验。一般以实测值为基础计算其相对误差。当误差较大且不能满足实际需要时, 可利用其残差系列来建立修正模型, 消减误差。

记0阶残差为: , 则残差均值和残差方差为:

原始数据的均值和方差为:

计算后验差检验比值c和小概率p分别为:

模型精度由c和p共同刻划, 可以从表2中查出精度等级。

2 在高耸建筑沉降监测中的应用

西安市朱雀大厦基坑开挖距周围五栋主要建筑物距离偏小 (10m) 以内, 都处在影响范围内, 而基坑开挖深度又较大 (超过12m) , 因此, 朱雀大厦的施工势必对其周边造成较大影响, 所以必须对其周边主要建筑物及地表的沉降变形进行严格监控, 确保朱雀大厦周边建筑物及地表的稳定和安全。朱雀大厦周边建筑物及地表沉降观测点点位布置见图1。现以西安市朱雀大厦基坑南侧地表D15点的沉降值和周边四个代表性建筑物累积平均沉降值为时间序列进行建模, 经试算比较确定选取8个数据组成的时间序列来建立灰色GM (1, 1) 模型。以D15点的沉降监测资料为例, 说明GM (1, 1) 模型在沉降监测中的应用。该点沉降监测数据见表3、4。

2.1 沉降量统计数据的灰色生成

选用前8组数据建立非等间隔GM (1, 1) 模型 (称模型1) , 数据生成过程如下:

2.2 沉降量预测系统的建立

根据上述数据及公式 (1) ~ (6) ,

计算结果见表4。

2.3 沉降量预测模型检验

由式 (7) 可得残差均值和残差方差分别为: , 。由式 (8) 可得原始数据均值和方差分别为:

后验差检验比值, 小误差概率。。

2.4 灰色预测结果分析

由后验差检验结果, 对照表2可知, 此预测模型精度为1级。拟合精度为“好”。应用该模型对表3后4组沉降数据做预测 (见表4) , 可知灰色预测值与实际观测值基本一致预测精度高。另由发展系数a 0.0091 0.3, 从表1、4可知, 该预测模型适合中长期沉降预测。

3 结论

通过对非等间隔GM (1, 1) 模型的建立、参数求解及精度评价的研究, 并具体应用于高耸建筑的沉降监测预报中, 可得出如下结论:

3.1 灰色模型建立在严格的数学理论基础之上, 适用于已知信息少、不确定因素多的沉降预测问题, 是一种动态、非线性的分析和预测模型, 具有理论性强、实用价值高、预测精度高、计算较简便等优点。

3.2 针对非等时间间隔的沉降监测数据, 应用该模型进行预测, 拟合精度好, 预测结果正确可靠, 能够反映沉降量的变化趋势。

参考文献

[1]邓聚龙.灰色预测与决策[M].武汉:华中理工大学出版社, 1996.

[2]刘思峰.灰色系统理论及应用[M].北京:科学出版社, 2004.

[3]王作雷.非等间距序列建模过程中存在的问题及改正[J].大学数学, 2003, 19 (2) .

[4]陈伟清.灰色预测在建筑物沉降变形分析中的应用[J].测绘科学, 2005, 30 (5) , 43-45.

轻松创建运行命令等篇2

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等间隔运行篇3

随着工程建设的不断发展, 建筑物沉降问题已成为影响建筑物质量的关键问题之一。建筑物发生较大或不均匀沉降时, 将带来极大的安全隐患, 因此有效地监测和预测建筑物沉降显得尤为重要。目前建筑物沉降预测的方法主要有曲线拟合法[1]、回归分析法[2]、时序分析法[3]以及灰色预测法。根据建筑物沉降的多因素性, 一些学者认为其具有灰色特征, 并建立了沉降预测的灰色模型[4,5,6,7,8,9]。但是沉降数据大都是非等时距的, 因此需要在传统的等时距GM (1, 1) 模型的基础上进行适当转变, 建立非等间隔灰色预测模型。目前在沉降或位移预测方面常用的非等间隔灰色预测模型主要有三种, ①将非等时距的数据经过相应的变化转换为等时距数据, 从而利用等间隔GM (1, 1) 模型的建模方法建立模型[4,5,6,7];②将非等时距数据利用多项式插值或神经网络等方法补充成等时距数据, 从而利用等间隔GM (1, 1) 模型的建模方法建立模型[8,9];③以时间间隔为权值对非等间隔数据进行加权累加后利用等间隔GM (1, 1) 模型的建模方法建立模型, 再进行相应还原[10,11]。对于这三种模型, 首先, 其仍然是基于等间隔的GM (1, 1) 模型建立的, 并未从实质上改变GM (1, 1) 模型的等间隔性;其次, 对于前两种模型, 无论是对原始数据进行等间隔数据转变还是插值补充, 得到的数据都只是估计值, 这在一定程度上破坏了原始数据的发展规律, 而对于第三种模型, 在模型预测式经过相应的还原后, 原本规则的指数曲线却变成了一系列线段组成的不规则曲线, 这与常规的沉降拟合预测思想不符, 也不一定符合沉降的发展规律;再者, 原本的沉降数据通常也就是累积的沉降数据, 其本身就具有累加性和一定的规律性, 再对其进行累加处理往往会导致预测精度的降低[12,13]。因此, 本文为了保证数据的原始性, 模拟曲线的规则性, 并且在不对原始数据进行累加的情况下, 建立了直接利用原始数据建模的非等间隔的GM (1, 1) 模型, 同时从背景值构造和初始值确定两个方面分析了非等间隔GM (1, 1) 模型的缺点, 建立了加权背景值和带有修正项的初始值。其中背景值权值和初始值修正项采用具有全局寻优能力的非线性搜索法-模式搜索法在原始数据残差平方和最小目标下求解, 实例结果表明改进的建筑物沉降非等间隔GM (1, 1) 模型提高了预测精度。

1 建筑物沉降的非等间隔GM (1, 1) 模型

1.1 模型的建立

设X (1) 为原始累计沉降数据序列, T (1) 为原始时间发展序列,

$\begin{array}{l} S^{(1)} = (s^{(1)} (1), s^{(1)} (2) ‚ \dots ‚ s^{(1)} (n)), \\ Τ^{(1)} = (t^{(1)} (1), t^{(1)} (2) ‚ \dots ‚ t^{(1)} (n)) \end{array}$

其一次累减序列为

$\begin{array}{l} S^{(0)} = (s^{(0)} (1), s^{(0)} (2) ‚ \dots ‚ s^{(0)} (n)), \\ Τ^{(0)} = (t^{(0)} (1), t^{(0)} (2) ‚ \dots ‚ t^{(0)} (n)) \end{array}$

其中

$\begin{array}{l} s^{(0)} (1) = s^{(1)} (1), \\ s^{(0)} (i) = s^{(1)} (i) - s^{(1)} (i - 1), i = 2, 3, \dots, n; \\ t^{(0)} (1) = t^{(1)} (1), \\ t^{(0)} (i) = t^{(1)} (i) - t^{(1)} (i - 1), i = 2, 3, \dots, n . \end{array}$

按灰色系统建模思想可得到一个一阶线性微分方程, 记为非等间隔GM (1, 1) ,

$\frac{d s^{(1)}}{d t^{(1)}} + a s^{(1)} = b (1)$

式中:a为发展系数, b为灰作用量。

按照灰色系统理论有

$\begin{array}{l} \frac{d s^{(1)}}{d t^{(1)}} = \frac{s^{(1)} (k) - s^{(1)} (k - 1)}{t^{(1)} (k) - t^{(1)} (k - 1)} = \frac{s^{(0)} (k)}{t^{(0)} (k)} (2) \\ s^{(1)} = \frac{1}{2} (s^{(1)} (k) + s^{(1)} (k - 1)) = z^{(1)} (k) (3) \end{array}$

其中z (1) (k) 被称为背景值, 此时式 (1) 变为

$s^{(0)} (k) = - a z^{(1)} (k) t^{(0)} (k) + b t^{(0)} (k) (4)$

利用最小二乘法由式 (4) 有

$[\begin{array}{l} a \\ b \end{array}] = (B^{Τ} B)^{- 1} B^{Τ} Y$

其中

$\begin{array}{l} Y = [\begin{array}{l} s^{(0)} (2) \\ s^{(0)} (3) \\ ⋮ \\ s^{(0)} (n) \end{array}], \\ B = [\begin{matrix} t^{(0)} (2) [4] 0 \\ t^{(0)} (3) \\ [3] ⋱ \\ 0 [4] t^{(0)} (n) \end{matrix}] [\begin{matrix} - z^{(1)} (2) & 1 \\ - z^{(1)} (3) & 1 \\ ⋮ & ⋮ \\ - z^{(1)} (n) & 1 \end{matrix}] \end{array}$

模型默认经过初始值点 (t (1) (1) , s (1) (1) ) , 则微分方程 (1) 的解为

$\begin{array}{l} \hat{s}^{(1)} (k) = [s^{(1)} (1) - \frac{b}{a}] e^{- a [t^{(1)} (k) - t^{(1)} (1)]} + \frac{b}{a} \\ k = 1, 2, \dots, n (5) \end{array}$

对式 (5) 取极限可以得到最终沉降量的预测结果, 即

$s_{u} = \lim_{t^{(1)} (k) \to \infty} \hat{s}^{(1)} (k) = \frac{b}{a} (6)$

1.2 模型的缺陷分析及改进

1.2.1 背景值构造分析

非等间隔GM (1, 1) 模型在利用最小二乘法求解参数时, 将其一阶线性微分方程 (1) 变形为式 (4) , 而在变形时默认了式 (2) 、 (3) 的成立, 因此式 (2) 、 (3) 应该是一一对应, 也就是说存在点 $(t^{(1)} (ξ), \frac{1}{2} (s^{(1)} (k) + s^{(1)} (k - 1))) (k - 1 < ξ < k)$ , 其导数为 $\frac{s^{(0)} (k)}{t^{(0)} (k)}$ (前后两点的斜率) , 而根据拉格朗日定理有

$\begin{array}{l} \frac{d s^{(1)}}{d t^{(1)}} = \frac{s^{(1)} (k) - s^{(1)} (k - 1)}{t^{(1)} (k) - t^{(1)} (k - 1)} \\ = \frac{d s^{(1)}}{d t^{(1)}} |_{t^{(1)} = t^{(1)} (λ)}, λ \in (k - 1, k) \end{array}$

此时导数 $\frac{s^{(0)} (k)}{t^{(0)} (k)}$ 对应的点为 (t (1) (λ) , s (1) (λ) ) , 而 $s^{(1)} (λ) = s^{(1)} (ξ) = \frac{1}{2} (s^{(1)} (k) + s^{(1)} (k - 1))$ 并不一定成立, 也就是式 (1) 和式 (4) 并不一定是等同的, 因此利用式 (4) 作为最小二乘法计算式所得的参数估计值并不一定是最佳估计值, 为此本文建立了以下加权背景值形式,

$z^{(1)} (k) = p s^{(1)} (k) + (1 - p) s^{(1)} (k - 1) (7)$

显然存在p值使s (1) (ξ) =s (1) (λ) =ps (1) (k) + (1-p) s (1) (k-1) 成立, 只是由于原始数据并不可能是规则序列, 因此每两个数据之间的p值并不一定相同, 但是我们可以寻找一个使每个k值下的式 (7) 最接近于成立的p值, 或者说寻找一个使模型预测精度最高的p值, p值的具体求解方法将在下文给出。

1.2.2 初始值确定分析

观察最小二乘法的计算式

$s^{(0)} (k) = - a z^{(1)} (k) t^{(0)} (k) + b t^{(0)} (k)$

根据最小二乘法原理可知, 其达到的最小为

$\min \sum_{k = 2}^{n} [\hat{s}^{(0)} (k) - s^{(0)} (k)]^{2}$

而如果以原始数据残差平方和最小作为预测精度最高的标志, 那我们所要达到的目标是

$\min \sum_{k = 1}^{n} [\hat{s}^{(1)} (k) - s^{(1)} (k)]^{2} (8)$

GM (1, 1) 模型中为了得到式 (1) 的解, 模型默认经过初始值点, 这从式 (5) 也可以看出, 此时初始值残差为零, 但由最小二乘法原理可知, 使原始数据残差平方和最小的模拟曲线并不一定过其中一点, 也包括初始值点, 也就是说此时式 (7) 并不一定是最小的。因此, 本文对初始值添加修正项, 表示初始值与最佳初始值之间的差别, 此时式 (5) 变形为

$\hat{s}^{(1)} (k) = [s^{(1)} (1) + β - \frac{b}{a}] e^{- a [t^{(1)} (k) - t^{(1)} (1)]} + \frac{b}{a}$

2 改进的建筑物沉降的非等间隔GM (1, 1) 模型

前面本文已经分析得出了非等间隔GM (1, 1) 模型的缺陷以及改进的方法, 也就是将模型的背景值构造改为

$z^{(1)} (k) = p s^{(1)} (k) + (1 - p) s^{(1)} (k - 1)$

同时对初始值添加修正项

$\hat{s}^{(1)} (k) = [s^{(1)} (1) + β - \frac{b}{a}] e^{- a [t^{(1)} (k) - t^{(1)} (1)]} + \frac{b}{a}$

至于权值p和修正项β的求解, 本文采用具有全局寻优能力的非线性搜索算法—模式搜索法 (pattern search) , 模式搜索法是Hooke和Jeeves于1961年提出的, 这种方法的基本思想是先“探测性移动”寻找最佳点信息, 然后用“模式性移动”沿着找到的最佳点信息前进, 2种移动交替进行直到步长δ小于事先给定的某个小正数ε为止[14], 其基本原理及搜索过程可参考文献[15,16]。以模式搜索法在原始数据残差平方和最小的目标下搜索最佳权值和修正项, 具体操作可利用Matlab模式搜索工具箱, 以[0.5, 0]点为初始点以式 (9) 为目标函数进行搜索。

$\min_{p, β} \sum_{k = 1}^{n} [\hat{s}^{(0)} (k) - s^{(0)} (k)]^{2} (9)$

现以文献[3]中实例建立改进的非等间隔灰色预测模型, 以前8级数据建立模型, 利用最小二乘法及模式搜索法求得参数

$p = 1, β = - 0.0484943389892578$

原始数据和预测结果见表1。

文献[6]中GM (1, 1) 模型建模数据经过了等时距处理, 其预测精度明显低于直接以原始数据建模的非等间隔GM (1, 1) 模型, 以改进非等间隔GM (1, 1) 模型建模, 无论是拟合精度还是预测精度都得到了极大提高, 拟合平均误差从10.04%减小到2.40%, 预测平均相对误差从14.53%减小到4.18%, 因此本文所建立的非等间隔GM (1, 1) 模型预测建筑物沉降是非常有效的。

3 结束语

本文根据灰色系统建模思想建立了不对原始数据进行累加, 直接利用原始时距建模的建筑物沉降预测的非等间隔GM (1, 1) 模型, 该模型不对原始沉降数据做任何处理, 保证了数据的原始性, 并且模拟曲线为规则的指数曲线, 更加符合沉降的发展规律。同时分析其背景值构造和初始值确定的不足建立了优化后的非等间隔GM (1, 1) 模型, 实例验证结果证明该模型预测精度更高, 更能反映原始沉降序列的发展, 具有更高的工程应用价值。

摘要：根据灰色系统建模思想建立了建筑物沉降的非等间隔GM (1, 1) 模型, 并分析了该模型的缺陷, 即背景值构造和初始值确定的不足, 建立了加权背景值和具有修正项的初始值, 背景值权值和初始值修正项采用具有全局寻优能力的模式搜索法求解, 实例应用结果证明改进后的模型提高了预测精度。

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