北大版高数下册总结

总结是记录某个时期的学习或工作情况，通过系统性分析的方式，编写出详细的书面报告，通过这份报告的内容，可让我们更加了解工作情况。那如何写出科学合理的总结呢？以下是小编整理的《北大版高数下册总结》相关资料，欢迎阅读！

第一篇：北大版高数下册总结

高数下册各类积分方法总结

综述：高数下册，共有如下几类积分：二重积分，三重积分，第一类线积分，第二类线积分，第一类面积分，第二类面积分。其中，除线积分外，个人认为，拿到题后，首先应用对称性把运算简化，线积分的对称性，不太常用，可以参照面积分的对称性，将积分曲面换成积分曲线即可，恕不赘述。另外要注意线积分和面积分的方向性，线积分以逆时针为正方向，面积分以坐标轴正向为正方向。 二重积分 对称性：

积分区间D关于X轴对称：被积函数是关于Y的奇函数，则结果为0：

被积函数是关于Y的偶函数，则结果为在一半区间上积分的2倍 方法：分别对x、y积分，将其中一个变量写成另一个的表达形式||极坐标换元 三重积分 对称性：

积分区间Ω关于xy面对称：被积函数是关于z的奇函数，则结果为0;

被积函数是关于z的偶函数，则结果为在一半区间上积分的2倍 方法：先重后单||先单后重(极坐标)||柱坐标||球坐标

第一类线积分

x,y,z型：具有关于参数t的表达试，用基本公式，转化成关于t的积分

x,y型：排除上一种条件的话，通常将y表示为关于x的函数，转化成关于x的积分

第二类线积分 方法：

1、用曲线的切线的方向角余弦，转化成第一类线积分

2、有参数t，可以转化成关于t的积分

3、将y表示为关于x的函数，转化成关于x的积分

4、封闭曲线，通常自己构造，可采用格林公式转化为二重积分 另：注意与路径无关的积分

第一类面积分 对称性：

积分曲面关于XY面对称：被积函数是关于z的奇函数，则结果为0：

被积函数是关于z的偶函数，则结果为在一半曲面上积分的2倍

计算方法：常规的话，只有一种，转化为关于x或y或z的积分。详见书本上的公式。

第二类面积分 对称性:

积分曲面关于XY面对称：被积函数是关于z的偶函数，则结果为0：

被积函数是关于z的奇函数，则结果为在一半曲面上积分的2倍 (注意区别于第一类) 计算方法：

1、用曲面的切线的方向角余弦，转化成第一类面积分

2、转化为二重积分，直接在前面添正负号即可

3、封闭曲面，可以用高斯公式，转化为三重积分，一般封闭曲面都是人为构造的，所以注意减掉构造面，并注意方向

4、斯托克斯公式，转化为第二类线积分，不常用

PS：用函数表达式，可以化简线面积分的被积函数，另有积分相关考点，旋度，散度，质量，质心，转动惯量，求曲面侧面面积，顶面面积，曲顶柱体体积~~~多多复习，牢记公式，一定可以渡过积分这个难关~

第二篇：大学高数下册试题及答案

《高等数学》(下册)测试题一

一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）

1.设有直线

及平面，则直线(

A

)

A.平行于平面;

B.在平面上;

C.垂直于平面;

D.与平面斜交.

2.二元函数在点处(

C

)

A.连续、偏导数存在;

B.连续、偏导数不存在;

C.不连续、偏导数存在;

D.不连续、偏导数不存在.

3.设为连续函数，，则=(

B

)

A.;

B.;

C.

D..

4.设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分

=(

D

)

A.7;

B.;

C.;

D..

5.微分方程的一个特解应具有形式(

B

)

A.;

B.;

C.;

D..

二、填空题（每小题3分，本大题共15分）

1.设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为;

2.设，则=;

3.设为正向一周，则

0

;

4.设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数

;

5.设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有

1

.

三、（本题7分）设由方程组确定了，是，的函数，求及与.

解：方程两边取全微分，则

解出

从而

四、（本题7分）已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数.

解：

，

从而

五、（本题8分）计算累次积分

).

解：依据上下限知，即分区域为

作图可知，该区域也可以表示为

从而

六、（本题8分）计算，其中是由柱面及平面围成的区域.

解：先二后一比较方便，

七.(本题8分)计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分.

解：由对称性

从而

八、（本题8分）计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线.

解：在上半平面上

且连续，

从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取

九、（本题8分）计算，其中为半球面上侧.

解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧

十、（本题8分）设二阶连续可导函数，适合，求．

解：

由已知

即

十一、（本题4分）求方程的通解.

解：解：对应齐次方程特征方程为

非齐次项，与标准式

比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为

代入方程得

十二、（本题4分）在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小.

解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。

令，则由

推出，的坐标为

附加题：(供学习无穷级数的学生作为测试)

1.判别级数是否收敛?如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛?

解：由于，该级数不会绝对收敛，

显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛

2.求幂级数的收敛区间及和函数.

解：

从而收敛区间为，

3.将展成以为周期的傅立叶级数.

解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。

《高等数学》(下册)测试题二

一、选择题（每小题3分，本大题共15分）（在括号中填上所选字母）

1.设，且可导，则为(

D

)

A.;;

B.;

C.;

D..

2.从点到一个平面引垂线，垂足为点，则这个平面的方

程是(

B

)

A.;

B.;

C.;

D..

3.微分方程的通解是(

D

)

A.;

B.;

C.;

D..

4.设平面曲线为下半圆周，则曲线积分等于(

A

)

A.;

B.;

C.;

D..

5.累次积分=(

A

)

A.;

B.;

C.;

D..

二.填空题(每小题5分，本大题共15分)

1.曲面在点处的切平面方程是;.

2.微分方程的待定特解形式是;

3.设是球面的外测，则曲面积分

=.

三、一条直线在平面：上，且与另两条直线L1：及L2：（即L2：）都相交，求该直线方程．（本题7分）

解：先求两已知直线与平面的交点，由

由

由两点式方程得该直线：

四、求函数在点处的梯度及沿梯度方向上函数的方向导数．（本题7分）

解：

沿梯度方向上函数的方向导数

五、做一个容积为1立方米的有盖圆柱形桶，问尺寸应如何，才能使用料最省？（本题8分）

解：设底圆半径为，高为，则由题意，要求的是在条件下的最小值。

由实际问题知，底圆半径和高分别为才能使用料最省

六、设积分域D为所围成，试计算二重积分．（本题8分）

解：观察得知该用极坐标，

七、计算三重积分，式中为由所确定的固定的圆台体．（本题8分）

解：解：观察得知该用先二后一的方法

八、设在上有连续的一阶导数，求曲线积分，其中曲线L是从点到点的直线段．（本题8分）

解：在上半平面上

且连续，

从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，

取折线

九、计算曲面积分，其中，为上半球面：．（本题8分）

解：由于，故

为上半球面，则

原式

十、求微分方程

的解.(本题8分)

解：

由，得

十一、试证在点处不连续，但存在有一阶偏导数．（本题4分）

解：沿着直线，

依赖而变化，从而二重极限不存在，函数在点处不连续。

而

十二、设二阶常系数线性微分方程的一个特解为，试确定常数，并求该方程的通解．（本题4分）

解：由解的结构定理可知，该微分方程对应齐次方程的特征根应为，否则不能有这样的特解。从而特征方程为

因此

为非齐次方程的另一个特解，

故，，通解为

附加题：(供学习无穷级数的学生作为测试)

1.求无穷级数的收敛域及在收敛域上的和函数.

解：

由于在时发散，在时条件收敛，故收敛域为

看，

则

从而

2.求函数在处的幂级数展开式.

解：

3.将函数展开成傅立叶级数，并指明展开式成立的范围.

解：作周期延拓，

从而

《高等数学》(下册)测试题三

一、填空题

1.若函数在点处取得极值，则常数.

2.设，则.

3.设S是立方体的边界外侧，则曲面积分

3

.

4.设幂级数的收敛半径为，则幂级数的收敛区间为.

5.微分方程用待定系数法确定的特解(系数值不求)的形式为.

二、选择题

1.函数在点处(

D

).

(A)无定义;

(B)无极限;

(C)有极限但不连续;

(D)连续.

2.设，则(

B

).

(A);

(B);

(C);

(D).

3.两个圆柱体，公共部分的体积为(

B

).

(A);

(B);

(C);

(D).

4.若，，则数列有界是级数收敛的(

A

).

(A)充分必要条件;

(B)充分条件，但非必要条件;

(C)必要条件，但非充分条件;

(D)既非充分条件，又非必要条件.

5.函数(为任意常数)是微分方程的(

C

).

(A)通解;

(B)特解;

(C)是解，但既非通解也非特解;

(D)不是解.

三、求曲面上点处的切平面和法线方程．

解：

切平面为

法线为

四、求通过直线

的两个互相垂直的平面，其中一个平面平行于直线.

解：设过直线的平面束为

即

第一个平面平行于直线，

即有

从而第一个平面为

第二个平面要与第一个平面垂直，

也即

从而第二个平面为

五、求微分方程的解，使得该解所表示的曲线在点处与直线相切．

解：直线为，从而有定解条件，

特征方程为

方程通解为，由定解的初值条件

，由定解的初值条件

从而，特解为

六、设函数有二阶连续导数，而函数满足方程

试求出函数.

解：因为

特征方程为

七、计算曲面积分

，

其中是球体与锥体的公共部分的表面，，，是其外法线方向的方向余弦.

解：两表面的交线为

原式，投影域为，

用柱坐标

原式

另解：用球坐标

原式

八、试将函数展成的幂级数（要求写出该幂级数的一般项并指出其收敛区间）．

解：

九、判断级数的敛散性．

解：

当，级数收敛;当，级数发散;

当时级数收敛;当时级数发散

十、计算曲线积分，其中为在第一象限内逆时针方向的半圆弧．

解：再取，围成半圆的正向边界

则

原式

十一、求曲面：到平面：的最短距离．

解：问题即求在约束下的最小值

可先求在约束下的最小值点

取

时，

这也说明了是不可能的，因为平面与曲面最小距离为。

第三篇：大一高数总结

---姓名：孙功武 学号：1506011012 转眼间，大一已经过去一半了，高数学习也有了一个学期了，仔细一想高数也不是传说的那么可怕，当然也没有那么容易。

有人说，高数是一棵高数，很多人挂在了上面。但是，只要努力，就能爬上这棵高树，凭借它的高度，便能看到更远的风景。

首先，不能有畏难情绪。一进大学，就听到很多师兄师姐甚至老师说高数很难学，有很多人挂科了。这基本上是事实，但是或多或少夸张了点吧。事实上，当我们抛掉那些畏难情绪，心无旁骛的学习高数时，他并不是那么难，至少不是那种难到学不下去的。所以我们要有信心去学好它，有好大学的第一步。

其次，课前预习很重要。每个人学习习惯不同，有些人习惯预习，有些人觉得预习不适合自己。每次上课前，把课本上的内容仔细地预习一下，或者说先自学一下，把知识点先过一遍，能理解的自己先理解好，到课堂上时就会觉得有方向感，不会觉得茫然，并且自己预习时没有理解的地方在课堂上听老师讲后就能解决了，比较有针对性。

然后，要把握课堂。课堂上老师讲的每一句话都是有可能是很有用的，如果错过了就可能会使自己以后做某些习题时要走很多弯路，甚至是死路。我们主要应该在课堂上认真听讲，理解解题方法，我们现在需要的是方法，是思维，而不是仅仅是例题本身的答案。我们学习高数不是为了将来能计算算数，而是为了获得一种思想，为了提高我们的思维能力，为了能够用于解决现实问题。此外，要以教材为中心。虽说“尽信书，不如无书”，但是，就算教材不是完美的，但是教材上包含了我们所要掌握的知识点，而那些知识点，便是我们解题的基础。书上的一些基本公式、定理，是我们必须掌握的。

最后，坚持做好习题。做题是必要的，但像高中那样搞题海战术就不必要了。做好教材上的课后习题和习题册就足够了，当然，前提是认真地做好了。对于每一道题，有疑问的地方就要解决，不能不求甚解，尽量把每一个细节都理解好，这样的话，做好一题，就能解决很多类型的题了。

下面是我对这学期的学习重点的一些总结：

一、函数

1.判断两个函数是否相同

一个函数相同的确定取决于其定义域和对应关系的确定，因此判断两个函数是否相同必须判断其定义域是否相同，且要判断表达式是否同意即可。 2.判断函数奇偶性

判断函数的奇偶性，主要的方法就是利用定义，其次是利用奇偶的性质，即奇(偶)函数之和还是奇(偶)函数;两个奇函数积是偶函数;两个偶函数之积仍是偶函数;一积一偶之积是奇函数。

3.求极限的方法 利用极限的四则运算法则、性质以及已知的极限求极限。 ①

lim f(x)(1)limf(x)g(x)lim g(x)AB;(2)lim f(x)g(x)lim f(x)lim g(x)AB;(3)当B0时，limf(x)lim f(x)A;g(x)lim g(x)B(4)lim kf(x)klim f(x)kA;(k为常数)

lim f(x)An;(k为常数)(5)limf(x)nn(6)limnf(x)nlim f(x)nA;(f(x)0)(n为正整数)。②

sinx1;x0x 1n(2)lim(1)e。x0n(1)lim4.判断函数的连续性

函数股连续的定义：设函数y=f(x)在点x0的某个临域内有意义，如果当自变量的增量xx-x0趋于0时，对应的函数的

f(x0x)0。那么就称增量yf(x0x)f(x0)也趋向0，即limx0函数y=f(x)在点x0出连续。

二、导数 1.求显函数导数; 2.求隐函数导数; 3.“取对数求导法”;

4.求由参数方程所表达的函数的导数; 5.求函数微分;

三、基本初等函数求导公式 0 x1(1)(C) (2)(x)axlna ex(3)(ax) (4) (ex)11  (5)(logax) (6) (lnx) xlnaxcosx sinx(7)(sinx) (8)(cosx)sec2x csc2x(9)(tanx) (10)(cotx)tan xseccot xcsc(11)(secx) x (12)(cscx) x

(13)(arcsinx)1(1-x2) (15)(arctanx)11x2

四、基本积分公式

(1)0dxC;z x1(3)xdx1C; (5)11x2dxarctanxC; (7)cosxdxsinxC; (9)dxcos2xsec2xdxtanxC;((11)sec xtan xdxsecxC; (13)exdxexC; (15)shxdxchxC;

五、常用积分公式

(14)(arccosx)1(1-x2) ( 16)(arccotx)11x2 2)kdxkxC(k为常数);(4)dxxln|x|C;(6)11x2dxarcsinxC;(8)cosxdxsinxC;

10)dxsin2xcsc2xdxcotxC;12)cscxcotxdxcscxC;xdxax14)alnaC;(16)chxdxshxC。( (( (1)tanxdxln|cosx|C;(2)cotxdxln|sinx|C;(3)secxdxln|secxtanx|C;(4)cscxdxln|cscxcotx|C;11xdxarctanC;a2x2aa11xa(6)2dxln||C;xa22axa1x(7)dxarcsinC;aa2x2(5)(8)(9)1a2x21x2a2dxln(xx2a2)C;dxln|xx2a2|C.

五、常微分方程

第四篇：高数下公式总结

高等数学下册公式总结

1、N维空间中两点之间的距离公式：p(x1,x2,...,xn),Q(y1,y2,...,yn)的距离

PQ(x1y1)2(x2y2)2...(xnyn)2

2、多元函数zf(x,y)求偏导时，对谁求偏导，就意味着其它的变量都暂时

看作常量。比如，就可以了。 z表示对x求偏导，计算时把y 当作常量，只对x求导 x2z2z

3、二阶混合偏导数在偏导数连续的条件下与求导次序无关，即。 xyyx

4、多元函数zf(x,y)的全微分公式： dzzzdxdy。 xy

5、复合函数zf(u,v),u(t),v(t)，其导数公式：

dzzduzdv。 dtudtvdtFXdy,Fy分别表示对x,y

6、隐函数F(x,y)=0的求导公式： ，其中FxdXFy求偏导数。

方程组的情形：{F(x,y,u,v)0的各个偏导数是： G(x,y,u,v)0FFxvGGuvxv，xxFFuvGGuvFFuxGGuux，yFFuvGGuvFFyvGGyvFFuvGGuv，

v。 yFFuvGGuvFFyuGGuy

7、曲线的参数方程是：x(t),y(t),z(t)，则该曲线过点

M(x0,y0,z0)的法平面方程是：

(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0

切线方程是：(xx0)(yy0)(zz0)。 (t0)(t0)(t0)

8、曲面方程F(x,y,z)=0在点M(x0,y0,z0)处的 法线方程是： (xx0)(yy0)(zz0)， FxFyFz(xx0)Fy(yy0)Fz(zz0)0。 切平面方程是：Fx

9、求多元函数z=f(x , y)极值步骤：

第一步：求出函数对x , y 的偏导数，并求出各个偏导数为零时的对应的x,y的值 第二步：求出fxx(x0,y0)A,fxy(x0,y0)B,fyy(x0,y0)C

第三步：判断AC-B2的符号，若AC-B2大于零，则存在极值，且当A小于零是极大值，当A大于零是极小值;若AC-B2小于零则无极值;若AC-B2等于零则无法判断

10、二重积分的性质： (1)(2)(3) kf(x,y)dkf(x,y)d

DD[f(x,y)g(x,y)]df(x,y)dg(x,y)d

DDDDD1D2f(x,y)df(x,y)df(x,y)d

(4)若f(x,y)g(x,y)，则(5)

f(x,y)dg(x,y)d

DDds，其中s为积分区域D的面积

D(6)mf(x,y)M，则ms(7)积分中值定理：

f(x,y)dMs

Df(x,y)dsf(,)，其中(,)是区域D中的点

DdP2(y)

11、双重积分总可以化简为二次积分(先对y，后对x的积分或先对x，后对y的积分形式)bP2(x)f(x,y)ddxDaP1(x)f(x,y)dydycP1(y)f(x,y)dx，有的积分可以随意选择积分次序，但是做题的复杂性会出现不同，这时选择积分次序就比较重要，主要依据通过积分区域和被积函数来确定

12、双重积分转化为二次积分进行运算时，对谁积分，就把另外的变量都看成常量，可以按照求一元函数定积分的方法进行求解，包括凑微分、换元、分步等方法

13、曲线、曲面积分：

(1)对弧长的曲线积分的计算方法：设函数f(x,y)在曲线弧L上有定义且连续，L的参数方程为x(t)y(t)，(t)，则

Lf(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt

(2)格林公式：(DQP)dxdyPdxQdy xyLL

14、向量的加法与数乘运算：a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2)，则有ka(kx1,ky1,kz1)， xyzab(x1x2,y1y2,z1z2)，若ab，则111

x2y2z2

15、向量的模、数量积、向量积：若a(x1,y1,z1),b(x2,y2,z2)，则向量a的模长222ax1y1z1;数量积(向量之间可以交换顺序，其结果是一个数值)ab=

bax1x2y1y2z1z2=baabcosa,b，其中a,b表示向量b,a的夹角，且若ab，则有ab=0;向量积(向量之间不可以交换顺序，其结果仍是一个向量)ijkabx1y1z1(y1z2y2z1)i(x2z1x1z2)j(x1y2x2y1)k，其中i,j,k是x轴、x2y2z2y轴、z轴的方向向量

16、常数项无穷级数unu1u2u3...un...，令snu1u2u3...un称为无n1穷级数的部分和，若limsns，则称改级数收敛，否则称其为发散的。其中关于无穷级数x的一个必要非充分地定理是：若un收敛，则必有limun0

n1x

17、三种特殊的无穷级数： (1)调和级数1是发散的，无须证明就可以直接引用 n1nn(2)几何级数aq，当q1时收敛，当q1时发散

n1(3)p级数1，当p1时收敛，当p1时发散 pn1nn1

18、正项级数un的判敛方法：

(1)比较判敛法：若存在两个正项级数un，vn，且有vnun，若un收敛，则vn收

n1n1敛;若vn发散，则un发散

(2)比较判敛法的极限形式：若limunl,(l0)，则un和vn具有相同的敛散性

xvnun1l，若l1，则原级数收敛，若l1，则原级

xun(3)比值判敛法：对于un， limn1数发散

19、交错级数(1)n1n1un的判敛方法：同时满足unun1及limun0，则级数收敛，否

x则原级数发散

20、绝对收敛和条件收敛：对于un，若un收敛，则称其绝对收敛;若un发散，

n1n

1n1



但是un收敛，则称其条件收敛

n1

21、函数项无穷级数形如：un(x)u1(x)u2(x)u3(x)...un(x)...，通常讨论的是

n1幂级数形如：anxa0a1xa2xa3x...anx...，

n0n23n(1)收敛半径及收敛区间：liman11,则收敛半径R，收敛区间则为(R,R)，但

xan是要注意的是，收敛区间的端点是否收敛需要用常数项级数判敛方法验证

(2n1)xnn-1x(2)几种常见函数的幂级数展开式：e，sinx，(-1)n0n!n1(2n1)!x11x2nnx，(1)nxn ，cosx(1)n01xn0(2n)!1xn0n

22、常微分方程的类型及解题方法：

(1)可分离变量的微分方程：yf(x,y)，总是可以分离变量化简为式，然后等式两边同时积分，即可求出所需的解

(2)齐次方程：yf(x,y)，不同的是，等式右端的式子总是可以化简为f()的形式，令

dydx的形f(y)f(x)yxyu，则原方程化简为可分离变量方程形式uxuf(u)来求解 x(3)一阶线性微分方程：形如yp(x)yf(x)的方程，求解时首先求出该方程对应的齐次方程yp(x)y0的解ycQ(x)，然后使用常熟变易法，令cu(x)，把原方程的解yu(x)Q(x)带入原方程，求出u(x)，再带入yu(x)Q(x)中，即求出所需的解

(4)全微分方程：形如p(x,y)dxQ(x,y)dy0的方程，只要满足

xyp(x,y)Q(x,y)，yx则称其为全微分方程，其解为u0p(x,y)dxQ(x,y)dy

0(5)二阶微分方程的可降阶的三种微分方程：

第一种：yf(x)的形式，只需对方程连续两次积分就可以求出方程的解

第二种：yf(x,y)的形式，首先令yz，则原方程降阶为可分离变量的一阶微分方程zf(x,z)的形式，继续求解即可

第三种：yf(y,y)的形式，同样令yz，由于yzdzdzdydzy，所以dxdydxdy原方程转化为一阶微分方程

dzzf(y,z)的形式，继续求解即可 dy(6)二阶常系数齐次微分方程：ypyqy0，求解时首先求出该方程对应的特征方

r1x程r2prq0的解r1,r2，若实根rc2er2x;若实根r1r2，则解1r2，则解为yc1e为y(c1c2x)e1;若为虚根abi，则解为yeax(c1cosbxc2sinbx)

rx(8)二阶常系数非齐次微分方程：ypyqyPm(x)e，求解时先按(7)的方法求其rx对应的齐次微分方程的通解y1，然后设出原方程的特解y=xQm(x)erx，其中Qm(x)是和P含有相应的未知系数，而k根据特征方程的解r1,r2与r的关系取值，m(x)同次的多项式，若r与特征根不相等，则k取0;若r和一个特征根相等，则k取1;若r和特征根都相等，则k取2，将特解代入原方程求出相应的未知系数，最终原方程的解即通解加上特解，即

kyy1y

第五篇：考研.数学 高数总结3

定积分理论

一、实际应用背景

1、运动问题—设物体运动速度为vv(t)，求t[a,b]上物体走过的路程。

(1)取at0t1tnb，[a,b][t0,t1][t1,t2][tn1,tn]， 其中tititi1(1in);

(2)任取i[xi1,xi](1in)，S

nf()t; iii1

iin(3)取max{xi}，则Slim1in0f()x i1

2、曲边梯形的面积—设曲线L:yf(x)0(axb)，由L,xa,xb及x轴围成的区域称为曲边梯形，求其面积。

(1)取ax0x1xnb，[a,b][x0,x1][x1,x2][xn1,xn]， 其中xixixi1(1in);

(2)任取i[xi1,xi](1in)，A

nf()x; iii1

iin(3)取max{xi}，则Alim1in0f()x。 i1

二、定积分理论

(一)定积分的定义—设f(x)为[a,b]上的有界函数，

(1)取ax0x1xnb，[a,b][x0,x1][x1,x2][xn1,xn]， 其中xixixi1(1in);

(2)任取i[xi1,xi](1in)，作

nf()x; iii1

inax{xi}，(3)取m若lim1in0f()x存在，称f(x)在[a,b]上可积，极限称为f(x)i

i1

在[a,b]上的定积分，记b

af(x)dx，即f(x)dxlimf(i)xi。 abn0i1

【注解】

(1)极限与区间的划分及i的取法无关。

n

1,xQ

【例题】当x[a,b]时，令f(x)，对limf(i)xi，

0

i10,xRQ

n

n

情形一：取所有iQ(1in)，则lim

0

f()x

i

i1

n

i

limxiba;

0

i1

情形二：取所有iRQ(1in)，则lim

0

n

f()x

i

i1

i

0，

所以极限lim

0

f()x不存在，于是f(x)在[a,b]上不可积。

i

i

i1

(2)0n，反之不对。

112n1n1

,]，xi(1in);

nnnnnn

i1i

取法：取i或i(1in)，则

nn

分法：等分，即[0,1][0,][,][



1ni1ni1

f(x)dxlimf()limf()。

nnnnni1ni1

则



b

a

banif(x)dxlimf[a(ba)]。 nni1n

1n2i【例题1】求极限lim。

nnni1

11n2i

【解答】lim2xdx。

0nnni1

【例题2】求极限lim(

n

1n1





1n2





1nn

)。

22

)

【解答】lim(

n

1n1



1n

21nn1n

()2

n

22

1lim[nn

11()2

n

2()2

n



]

dxx

三、定积分的普通性质

1、

2、

3、

4、

[f(x)g(x)]dx

a

bb

a

f(x)dxg(x)dx。

a

b

kf(x)dxk

a

bb

a

f(x)dx。

bc



b

a

f(x)dxf(x)dxf(x)dx。

a

c



b

a

dxba。

5、设f(x)0(axb)，则【证明】



b

a

f(x)dx0。



b

a

f(x)dxlimf(i)xi，

0

i1

n

因为f(x)0，所以f(i)0， 又因为ab，所以xi0，于是

n

f()x

i

i1

n

i

0，由极限保号性得

limf(i)xi0，即f(x)dx0。

0

i1

b

a

(1)



b

a

f(x)dx|f(x)|dx(ab)。

a

b

(2)设f(x)g(x)(axb)，则



b

a

f(x)dxg(x)dx。

a

b

6(积分中值定理)设f(x)C[a,b]，则存在[a,b]，使得

四、定积分基本理论

定理1 设f(x)C[a,b]，令(x)



b

a

f(x)dxf()(ba)。



x

a

f(t)dt，则(x)为f(x)的一个原函数，即

(x)f(x)。

【注解】

(1)连续函数一定存在原函数。

dx

f(t)dtf(x)， (2)adx

d(x)

f(t)dtf[(x)](x)。 adx

d2(x)

(x)f[1(x)]1(x)。 f(t)dtf[2(x)]2(3)

dx1(x)

【例题1】设f(x)连续，且(x)【解答】(x)

x

(xt)f(t)dt，求(x)。

0x0

x

(xt)f(t)dtx

0f(t)dttf(t)dt，

x

(x)f(t)dtxf(x)xf(x)f(t)dt，(x)f(x)。

xx

【例题2】设f(x)为连续函数，且(x)【解答】(x)

x2t2u

tf(x

x

t2)dt，求(x)。



x

tf(x2t2)dt

1x2222

f(xt)d(xt) 20

101x2

2f(u)duf(u)du，

2x20

f(x2)2xxf(x2)。 2

(x)

定理2 (牛顿—莱布尼兹公式)设f(x)C[a,b]，且F(x)为f(x)的一个原函数，则



b

a

f(x)dxF(b)F(a)。

【证明】由F(x)f(x),(x)f(x)得[F(x)(x)]f(x)f(x)0， 从而F(x)(x)constant，

于是F(b)(b)F(a)(a)，注意到(a)0， 所以(b)F(b)F(a)，即

五、定积分的积分法

(一)换元积分法—设f(x)C[a,b]，令x(t)，其中(t)可导，且(t)0，其中



b

a

f(x)dxF(b)F(a)。

()a,()b，则f(x)dxf[(t)](t)dt。

a

b



(二)分部积分法—

udvuvvdu。

a

a

a

b

b

b

六、定积分的特殊性质

1、对称区间上函数的定积分性质 设f(x)C[a,a]，则 (1)则



a

a

f(x)dx[f(x)f(x)]dx。

a

(2)若f(x)f(x)，则



a

a

f(x)dx2f(x)dx。

a

(3)若f(x)f(x)，则



a

a

f(x)dx0。

【例题1】设f(x),g(x)C[a,a]，其中f(x)f(x)A,g(x)为偶函数，证明：



a

a

f(x)g(x)dxAg(x)dx。

a

【解答】

a



a

a

f(x)g(x)dx[f(x)g(x)f(x)g(x)]dx

a0

a

[f(x)f(x)]g(x)dxAg(x)dx。



(2)计算

arctane

22

x

|sinx|dx。





【解答】







arctane|sinx|dx2(arctanexarctanex)sinxdx，

x

x

x

exex

0， 因为(arctanearctane)2x2x

1e1e

所以arctanexarctanexC0，取x0得C0





，

于是

arctane|sinx|dx

22

x





20

2

sinxdx



。

2、周期函数定积分性质 设f(x)以T为周期，则 (1)



aT

a

。 f(x)dxf(x)dx，其中a为任意常数(周期函数的平移性质)

T

如



3











sinxdx2sinxdx22sin2xdx。

(2)



nT

f(x)dxnf(x)dx。

T

3、特殊区间上三角函数定积分性质





(1)设f(x)C[0,1]，则





20

f(sinx)dx2f(cosx)dx，特别地，



20

sinxdxcosxdxIn，且In

20

n



n

n1

In2,I0,I11。 n2

sinx

【例题1】计算2dx。

1ex2



sin4xsin4xsin4x2【解答】dx()dx x01ex1ex1e2



1131342sin4xdxI2()sinxdx。 4x01ex0422161e



【例题2】计算【解答】



100

cosxdx。



100

cosxdx

50



100

cosxd(x)

100



100

cosxdx



50







2

cosxdx









cosxdx







cosxdx









1cosx2xx222

。 dxsind()sinxdx00222