高数下册复习要点

高数下册复习要点（共8篇）

篇1：高数下册复习要点

高等数学（下）复习要点

（对经管及文科类学生不要求带“*”的内容）

第七章

1、空间曲线在坐标面的投影，P8，例5，P9,92、向量的模、方向角、方向余弦、单位化，P19，例7，P20,10.。

3、数量积、向量积。P27,84、平面方程、平面夹角，点到平面的距离。P35,3..5、空间直线及方程。P41,10

*

6、旋转曲面P43，例2.第八章

*

1、二元函数极限不存在的证明P54，例7.2、求二元函数的极限P58, 5（2），（4），P56，例93、偏导计算。P80，例9，P82,14（2），P88,2（4），P89,7,8*（4）

4、全微分。P74,2。4（2）。

*5熟悉可微，可导，连续和极限存在之间的关系。P74（B）16、几何应用。P94例3.7、方向导数与梯度P100例4.8、条件极值P111,7.第九章

1、二重积分计算。P124例3，P133 4（4），8（2），P134,13（1）

2、曲面面积。P141,3.*

3、三重积分。P151,4（2）。

4、曲线积分。P166，1（6），3（2）。

5、格林公式,，与路径无关的条件。P176,3（4），5（2）。*

6、曲面积分。P188,1（1），5（1）。

*

7、高斯公式。P194，1（4）。

第十章

1、收敛级数性质。

2、正项级数敛散性的判别。P211,2（8），3（6）。

3、交错级数敛散性的判别。P211,5（4）

4、幂级数的收敛半径和收敛域。P221,1（5），2（3）

*

5、求和函数。P222,3（1），（3）。

*

6、展开为幂级数。P236，2（6）

*

7、傅里叶级数。P250,4

篇2：高数下册复习要点

第七章

1.会求两向量夹角，向量的投影；掌握向径的概念

2.9种二次曲面的方程及名称

3.会求空间曲线在坐标面上的投影曲线的方程

4.判断直线与平面的位置关系

5.根据已知条件求空间直线和平面的方程（重点掌握利用平面束求）

第八章

1.求二元函数的极限

2.求多元函数的偏导数、全微分（重点掌握隐函数和抽象函数的）

3.求空间曲线的切线方程，空间曲面的法线方程（会区分内外法线）

4.求函数在一点处沿着某个方向的方向导数和梯度

5.掌握多元函数的条件极值

第九章

1.二重积分在直角坐标下两种积分次序的转化；极坐标与直角坐标的相互转化；会利用极坐标计算二重积分

2.计算三重积分（重点掌握利用柱面坐标和球面坐标）

3.重积分的物理应用——会计算空间物体的转动惯量

第十章

1.第一类曲线积分、曲面积分的计算

2.利用格林公式、曲线积分与路径无关的条件计算第二类曲线积分

3.利用高斯公式计算第二类曲面积分的计算

4.会求某向量场的散度、旋度

第十一章

1.会用定义求常数项级数的和；会判断正项级数和交错级数的敛散性；掌握绝对收敛和条件收敛的概念

2．掌握Abel定理、3.会求幂级数的收敛半径及收敛域

篇3：七年级下册要点精讲

enjoy

◎观察思考

Turn left on Five Avenue and enjoy the city's quiet streets and small parks.在第五街左转并享受安静的城市街道和小公园。

I enjoy listening to light music.我喜欢听轻音乐。

◎归纳拓展

enjoy动词, 意为"喜欢;享受"。

enjoy后接名词或代词, 动词的ing形式, 相当于like (喜欢) , 但enjoy后不能加to do;enjoy oneself, 意为“过得愉快、玩得高兴”, 相当于have a good time。

注:enjoy后只能接表示褒义的词组。

二、重点句型

1.There is a post office in the neighborhood.。

◎典例体验

There is a bottle of coke and some apples on the table.桌上有一瓶可乐和一些苹果。

There are some apples and a bottle of coke on the table.桌上有一些苹果和一瓶可乐。

I have many stamps from different countries.我有很多来自不同国家的邮票。

◎归纳拓展

there be“有”, 表示“某处/某时有某人/某物”。结构:There be+某人或某物+表示地点或时间的状语。there be结构中的be动词的形式要遵循就近一致原则, be动词后面的名词是单数或不可数名词时用is;复数时用are。

have也意为“有”, 但其表示“拥有, 占有, 具有”, 即:某人有某物 (sb.have/has sth.) 。主语一般是名词或代词, 与宾语是所属关系。

2.动词不定式结构:to+动词原形。

◎典例体验

Bridge Street is a good place to have fun。

I'm hungry.Please give me something to eat.我饿了, 请给我一些吃的东西。

He asked for a room to live in.他要一个房间住。

The teacher asked him to come on time.老师要他按时来。

She came back to get her English book.她回来拿她的英语书。

To go abroad is his dream.

=It is his dream to go abroad.出国是他的梦想。

Her job is to look after the patients.他的工作是照顾病人。

He can tell you where to get the book.他可以告诉你哪儿能买到这本书。

I want to know when to meet.我想知道什么时候集合。

I don't know how to use commas.我不知道怎么用逗号。

◎归纳拓展

动词不定式的结构:to+动词原形。

动词不定式可用作宾语、定语 (不定式与被修饰词有动宾关系, 若是不及物动词, 介词不能省略) 、宾语补足语 (作宾语补足语不带to的动词有let, make, have, see, watch, hear等) 、状语、主语 (这时可将其用形式主语it来替换) 、表语。

疑问词who, what, which, where, when, how加to do可构成不定式短语, 在句中可用作know、ask、find out、tell、wonder、learn等动词的宾语, 但有时也作主语。

试比较下列三句子:

I don't know what to do.我不知道该做什么。

I don't know how to do it.我不知道该怎么做。

I don't know what to do about it.关于这件事, 我不知道该做些什么。

三、易混辨异

1.during, in.

◎观察思考

He sleeps during the day.他白天睡觉。

He will go to Hawaii for vacation in summer.夏天他将到夏威夷度假。

◎归纳拓展

两者均可表示一段时间, 有时可互换;相比较而言, during更强调时间的延续, in只是指一般性的某一时间。因此若表示状态或习惯性动作, 多用during。在stay, visit, meal等表示行为要持续一定时间的名词之前, 只能用during。

与季节名词连用, in表泛指, during表特指。

2.in front of, in the front of.

◎观察思考

I feel nervous when I talk in front of many people.在很多人面前讲话时, 我感到紧张。

The teacher is standing in the front of the classroom.老师站在教室的前面。

◎归纳拓展

in front of表示“在......的前面”, 指的是在某物体外面的前面, 即两者是分开的, 其反义词是behind。

in the front of表示“在......的前部”, 指的是在某物体内部的前面, 即两者是包容的, 其反义词是at the back of。

3.house, home, family.

◎观察思考

He lives in the yellow house.他住在这座黄色的房子里。

He is not at home.他不在家。

My family all get up early.我们全家都起得很早。

◎归纳拓展

house意为“房子”, 指居住的建筑物;home意为“家”, 指一个人同家人共同经常居住的地方;family意为“家庭, 家庭成员”。

4.through, past, cross, across, over.

◎观察思考

He got into the room through the back door.他通过后门进入了房间。

She walked past a bank.她路过了一个银行。

Be careful when you cross the street.当你过马路的时候要小心。

The Great Wall is across the north of China.长城穿过中国的北部。

There will be a new bridge over the river.河上将会有一座新桥。

◎归纳拓展

through介词, 意为“从……通过, 穿过”, 主要指从物体内部穿过。

past介词或副词, 意为“经过, 路过”, 指从物体的旁边经过。

across介词, 意为“穿过”, 指从物体的表面上穿过。go/walk/run across=cross, across from在……的对面。

over介词, 意为“越过”, 指越过一段距离。

5.sleeping, asleep, sleepy

◎观察思考

Mr.Li is sleeping, please call him later.李先生正在睡觉, 请稍后再打电话给他。

The children are asleep now.现在孩子们睡着了。

On Friday afternoons, many students are sleepy after a long week of classes.经过长长一周的课程后, 很多学生在星期五下午都是困倦的。

◎归纳拓展

be sleeping表示动作, 意为“正在睡觉”, 表动作, 不确定是否睡着。

be asleep表示状态, 意为“睡着了”。fall asleep入睡。

篇4：平面向量复习要点

经典例题分析

例1 (1) O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λAB+AC|AB|+|AC|，λ∈［0,+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的_____. (外心/内心/重心/垂心)

(2) P是△ABC所在平面上一点,若PA·PB=PB·PC=PC·PA,则P是△ABC的_____. (外心/内心/重心/垂心)

(3) 点O是△ABC所在平面内的一点，满足AB2+OC2=AC2+OB2=BC2+OA2,则点O是△ABC的_____. (外心/内心/重心/垂心)

(4) O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足OP=OA+λAB|AB|sinB+AC|AC|sinC，λ∈［0,+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的_____. (外心/内心/重心/垂心)

(5) O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足

OP=OA+

λAB|AB|cosB+

AC|AC|cosC，λ∈［0,+∞)，则P的轨迹一定通过△ABC的_____. (外心/内心/重心/垂心)

分析:对于问题(1), 先将OA移过来, 再利用向量加法的平行四边形法则和向量共线的充要条件就可以了. 对于问题(2), 先移项, 并利用减法的意义, 可以得到两个向量垂直的结论,对于问题(3)可以向问题(2)实现转化.

解: (1) AB|AB|是AB上的单位向量, AC|AC|是AC上的单位向量, 则AB|AB|+AC|AC|的方向与∠BAC的角平分线的方向相同, 而OP－OA=AP,所以P的轨迹一定通过△ABC的内心.

(2) 由PA·PB=PB·PC得PB·(PC－PA)=0,即PB·AC=0,所以,PB⊥AC,同理,PA⊥BC,PC⊥AB, 所以, P是△ABC的垂心.

(3) 由AB2+OC2=AC2+OB2得AC2－AB2=OC2－OB2,即(AC+AB)·(AC－AB)=(OC+OB)·(OC－OB),所以BC·(AC－OC)+BC·(OB－AB)=0,即BC·OA=0,所以OA⊥BC,同理,OB⊥AC,OC⊥AB, 所以, O是△ABC的垂心.

(4) 由正弦定理|AB|sinC=|AC|sinB,所以|AB|sinB＝|AC|sinC, 于是AP＝μ(AB+AC), 所以P在以AB,AC为邻边的平行四边形的对角线(过点A)上, 所以P的轨迹一定通过△ABC的重心.

(5) 因为AP＝λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC，所以AP·BC＝λAB·BC|AB|cosB+AC·|BC||AC|cosC＝

λ|AB|·|BC|cos(π-B)|AB|cosB+

|AC|·|BC|cosC|AC|cosC＝λ

(-|BC|+|BC|)=0

，所以AP⊥BC，于是P的轨迹一定通过△ABC的垂心.

延伸:△ABC的三条边长BC＝a, CA＝b, AB＝c,若三顶点A、B、C, 对于某定点O的位置向量为OA,OB,OC, 且aOA+bOB+cOC＝0,则点O是△ABC的_____. (外心/内心/重心/垂心)

解:记∠BAC的平分线与BC交于点P, 则BP＝cb+cBC＝cb+c(OC－OB),所以,AP＝AB+BP＝OB－OA+BP＝OB－OA+cb+c(OC－OB)＝

bb+cOB+cb+cOC－OA＝1b+c(bOB+cOC)－OA＝1b+c(－aOA)－OA＝－a+b+cb+cOA,所以AP与OA共线,即O在∠BAC的平分线上,同理, O在∠ABC和的∠BCA平分线上,即O是△ABC的内心.

注:本例（1）是2003年全国高考数学试题，（2）同2005年全国高考数学试题.

例2 （1） 在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足PA＝2PM，则PA·(PB＋PC)等于_____.（2009年高考数学试题）

（2） 在△ABC中,O为中线AM上一个动点,若AM＝2,则OA·(OB＋OC)的最小值是_____.（2005年江苏省高考数学试题）

解:(1) 由PA＝2PM知,P为△ABC的重心,根据向量的加法,PB＋PC＝2PM,则PA·(PB＋PC)＝2PA·PM＝2|PA||PM|cos0＝2×23×13×1＝49.

(2) 因为OB+OC＝2OM，所以OA·(OB+OC)＝2OA·OM＝2|OA|·|OM|cosπ

＝－2|OA|·|OM|，而|OA|＋|OM|＝2，所以，|OA|·|OM|＝|OA|·(2－|OA|)＝－(|OA|－1)2+1≤1，于是OA·(OB＋OC)的最小值是－2.

变形：如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上

不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，

则(PA＋PB)·PC的最小值为_____.

例3 设两个向量a＝(λ＋2,λ2－cos2α)和b＝(m,m2＋sinα),

其中λ,m,α为实数.若a＝2b,求λm的取值范围.（2007年天津市高考数学试题）

解:由于a＝2b,所以

λ+2=2m, ①

λ2-cos2α=2m2+sinα. ②

设y＝λm, 则λ＝ym, 代入①得ym+2＝2m, 显然, y≠2, 所以m＝22-y,λ＝2y2-y.

把它们代入②得2y2-y2－cos2α＝22-y＋2sinα,

所以2y2-y2－22-y＝cos2α＋2sinα.

而f(α)＝cos2α＋2sinα＝1－sin2α＋2sinα＝－(sinα－1)2＋2,

因为－1≤sinα≤1, 所以－2≤f(α)≤2,于是

－2≤2y2-y2－22-y≤2. ③

解得－6≤y≤1.

例4 已知圆O的半径为1，PA，PB为圆O的切线，A，B为切点，则PA·PB的最小值是_____.（2010年全国高考数学试题）

解法一:设PA＝PB＝x，∠APO＝∠BPO＝α0＜α＜π2，则PO2＝x2＋1，从而PA·PB＝|PA||PB|cos2α＝x2(2cos2α－1)＝x22x2x2+1－1＝

x2(x2-1)x2+1＝

(x2+1-1)(x2+1-2)x2+1＝(x2＋1)＋2x2+1－3≥2(x2+1)·2x2+1－3＝－3＋22.当且仅当x2＋1＝2x2+1,即x2＝2－1时等号成立，即当x＝2-1时，PA·PB取最小值－3＋22.

解法二：由平面几何知识得|PA|＝|PB|，设∠APO＝∠BPO＝α0＜α＜π2，则

PA·PB＝|PA||PB|cos2α＝

|PA|2(1－2sin2α)＝(|OP|2－1)(1－2·1|OP|2＝|OP|2＋

2|OP|2-3

≥2|OP|2·2|OP|2-3=-3+22.

当且仅当|OP|2＝2|OP|2

，即|OP|＝42时等号成立，即当|OP|＝42时，PA·PB取最小值－3＋22.

解法三:由平面几何知识得|PA|＝|PB|，如图，建立直角坐标系，设∠AOP＝θ0＜θ＜π2，则点A（cosθ，sinθ），B(cosθ，－sinθ），过点A作x轴的垂线，垂足为C，则由射影定理得OA2＝OC·OP，知点P的坐标为1cosθ，0

PA＝cosθ－1cosθ,sinθ，PB＝cosθ－1cosθ, －sinθ)，于是

PA·PB＝

cosθ－1cosθ2－sin2θ＝

cosθ－1cosθ2－(1－cos2θ)＝2cos2θ＋1cos2θ－3

≥22cos2θ·1cos2θ－3＝

－3＋22.当且仅当2cos2θ＝1cos2θ，即cosθ＝142时等号成立，

即PA·PB取最小值－3＋22.

例5 设点O是△ABC的外心，AB＝17，AC＝15，则BC·AO＝_____.

解法一：BC·AO＝－(OC－OB)·OA＝OA·OB－OA·OC

＝OA2+OB2-AB22-

OA2+OC2-AC22=

AC2-AB22=-32.

解法二：取BC的中点D, 则BC·AO＝BC·(AD＋DO)＝BC·AD＋BC·DO＝BC·AD＝(AC－AB)·12(AC＋AB)＝12(AC2－AB2)＝－32.

例6 给定两个长度为1的平面向量OA和OB,它们的夹角为定值120°. 如图所示, 点C在以O为圆心的圆弧AB上变动. 若OC＝xOA＋yOB, 其中x, y∈R, 则x＋y的最大值是_____.（2009年安徽省高考数学试题）

解法一:设∠AOC＝α(0≤α≤2π3)，则

OA·OC=xOA2+yOA·OB,

OB·OC=xOA·OB+yOB2.

即cosα=x-12y,

cos(120°-α)=-12x+y.

∴x＋y＝2［cosα＋cos(120°－α)］＝cosα＋3sinα＝2sinα＋π6≤2，

所以当α＝π3时, x＋y取最大值2.

解法二:建立图示直角坐标系，设∠AOC＝α0≤α≤2π3，则OA＝(1，0)，OB＝－12，32，由OC＝xOA＋yOB得(cosα，sinα)＝x－12y，32y，

即cosα=x-12y,

sinα=32y.

∴x＋y＝cosα＋3sinα＝2sinα＋π6≤2，所以当α＝π3时, x＋y取最大值2.

解法三:由OC＝xOA＋yOB－12≤x, y≤1,两边平方得x2＋y2＋2xyOA·OB＝1，因为OA·OB＝－12，所以x2＋y2－xy＝1，即(x+y)2+(x-y)22－(x+y)2-(x-y)24＝1，也就是(x+y)2+3(x-y)24＝1，所以(x＋y)2≤4，解得－2≤x＋y≤2，所以当x＝y＝1时，x＋y取最大值2.

例7 已知a,b是两个给定的向量,它们的夹角为θ, 向量c＝a＋tb(t∈R), 求|c|的最小值, 并求此时向量b与c的夹角.

分析:求|c|的最小值, 就是求|c|2的最小值, 于是将问题化为关于t的二次函数, 通过配方可以求出|c|的最小值.

解:因为c＝a＋tb,所以

|c|2＝|a＋tb|2＝|a|2+2ta·b＋t2|b|2＝|b|2t2＋2|a|·|b|·cosθ+|a|2

＝|b|2t+|a|·cosθ|b|2＋|a|2－|a|2cos2θ≥|a|2－|a|2 cos2θ＝|a|2sin2θ.

于是,当t+|a|·cosθ|b|＝0,即t＝－|a|·cosθ|b|时,|c|2取最小值|a|2sin2θ.即|c|取最小值|a|sinθ.

此时b·c＝b·a－|a|·cosθ|b|b＝a·b－|a|·cosθ|b|b·b＝|a|·|b|·cosθ－|a|·cosθ|b||b|2＝|a|·|b|·cosθ－|a|·|b|·cosθ＝0, 所以b⊥c,此时向量b与c的夹角为90°.

说明:本例有很深的几何背景，请读者考虑. 以下三道试题都是根据本例改编的.

(1) 若向量a与b不共线,a·b≠0,且c＝a－a·aa·bb, 则向量a与c的夹角为π2.

解:因为a·b≠0,c＝a－a·aa·bb, 所以, a·c＝a·a－a·aa·bb＝a·a－a·aa·b·(a·b)＝0, 所以向量a与c的夹角为π2.

(2) 已知向量a≠e,|e|＝1,对任意t∈R, 恒有|a－te|≥|a－e|, 向量e与a－e的夹角为_____.

解:设向量a与e的夹角为θ, 则|a－te|2＝t2－2|a||e|cosθ+a2＝t2－2|a|cosθ+a2＝(t－|a|cosθ)2

+|a2|sin2θ, 所以|a－e|＝|a|sinθ, 即e⊥(a－e).所以向量e与a－e的夹角为π2.

(3) 已知△ABC, 若对于任意t∈R,|BA－tBC|≥|AC|,则∠ABC＝_____.

解:令∠ABC＝α，过点A作AD⊥BC于点D. 由|BA－tBC|≥|AC|得

|BA|2－2tBA·BC+ t2|BC|2≥|AC|2.

令t＝BA·|BC||BC|2，代入上式得|BA|2－2|BA|2cos2α|BA|2cos2α≥|AC|2，即|BA|2sin2α≥|AC|2，

也即|BA|sinα≥|AC|,从而有|AD|≥|AC|,由此得∠ACB＝π2.

例8 设向量a＝(4cosα,sinα),b＝(sinβ,4cosβ),c＝(cosβ,－4sinβ).

(1) 若a与b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；

(2) 求|b＋c|的最大值;

(3) 若tanαtanβ＝16, 求证：a∥b.（2009年江苏省高考试题）

解:(1) 由a与b－2c垂直，得

a·(b－2c)＝a·b－2a·c＝4(cosαsinβ＋sinαcosβ)－8(cosαcosβ－sinαsinβ)＝0,

即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0, tan(α＋β)＝2.

(2) 因为b＋c＝(sinβ＋cosβ, 4cosβ－4sinβ),所以

|b＋c|2＝(sinβ＋cosβ)2＋16(cosβ－sinβ)2＝1＋sin2β＋16(1－sin2β)＝17－2sin2β,从而当sin2β＝－1,即2β＝2kπ－π2,β＝kπ－π4(k∈Z)时, 17－2sin2β取最大值是32,因此当β＝kπ－π4(k∈Z)时|b＋c|的最大值是42.

(3) 由tanαtanβ＝16得4cosαsinβ＝sinα4cosβ, 所以a∥b.

说明:问题(1)将a·(b－2c)拆成a·b－2a·c运算量减少,问题(2)将b＋c的坐标算出后,再计算|b＋c|2也使运算量减少,读者可以细细体会.

例9 如图，在Rt△ABC中，已知BC＝a，若长为2a的线段PQ以点A为中点，问PQ与BC的夹角θ取何值时BP·CQ的值最大?并求这个最大值.

分析：一种思路是通过向量运算将BP·CQ朝着PQ与BC的运算上靠拢; 另一种思路通过建立直角坐标系,将问题化为坐标运算实现转化.

解法一：因为AB⊥AC，所以AB·AC＝0，因为AP＝－AQ，BP＝AP－AB，CQ＝AQ－AC，所以BP·CQ＝(AP－AB)·(AQ－AC)＝AP·AQ―AP·AC―AB·AQ＋AB·AC＝－a2―AP·AC＋AB·AP＝－a2＋AP·(AB－AC)＝－a2＋12PQ·BC(→)＝－a2＋a2cosθ.

故当cosθ＝1，即θ=0(PQ与BC方向相同)时，BP·CQ的值最大，其最大值为0.

解法二：以直角顶点A为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图所示的直角坐标系. 设|AB|=c，|AC|=b，则A(0,0)，B(c,0)，C(0,b). 且|PQ|=2a，|BC|=a.

BP＝(x－c, y)，CQ＝(－x, －y－b)，BC＝(－c, b)，PQ＝(－2x, －2y).

所以BP·CQ＝(x－c)(－x)＋y(－y－b)＝－(x2＋y2)＋cx－by.

因为cosθ＝PQ·BC|PQ|·|BC|＝cx-bya2，所以cx－by＝a2cosθ.

BP·CQ＝－a2＋a2cosθ.

故当cosθ=1，即θ=0(PQ与BC方向相同)时，BP·CQ的值最大，其最大值为0.

说明：向量的几何运算可以通过坐标运算向代数问题实现转化, 这是解决向量问题的常用方法, 应该掌握.

例10 在△ABC中，已知AB＝463，cosB＝66，AC边上的中线BD＝5，求sinA的值.

解法1：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且DE=12AB=263,设BE=x，

在△BDE中利用余弦定理可得：BD2=BE2+ED2－2BE·EDcos∠BED，

5=x2+83+2×263×66x.解得x=1或x=-73(舍去).

故BC=2,从而AC2=AB2+BC2－2AB· BCcosB=283, 即AC=2213.

又sinB=306,故由正弦定理得2sinA=2213306,sinA=7014.

解法2:以B为坐标原点，BC为x轴正向建立直角坐标系，且不妨设点A位于第一象限.由sinB=306,则BA=463cosB,463cosB=43,453,

设BC=(x,0),则BD=4+3x6,253.

由条件得|BD|=4+3x62+

2532=5,从而, x＝2, x＝-143(舍去). 故CA=-23,453.

于是, cosA＝AB·AC|AB|·|AC|

=BA·CA|BA|·|CA|

篇5：高数下册复习要点

第五章 定积分及其应用

1． 理解定积分的性质、几何意义。

2． 掌握积分上限函数的求导、能用洛必达法则计算积分上限函数的极限。

3． 掌握微积分基本公式，能计算分段函数的积分，能用换元积分法和分部积分法计算定积分。能够用换元法证明有关定积分的等式。

4． 在直角坐标系下，能用定积分计算平面图形的面积，能计算平面图形绕坐标轴旋转形成的旋转体的体积。

第六章 常微分方程和差分方程简介

1． 理解微分方程的基本概念，方程的阶、方程的通解、方程的特解。

2． 能辩别齐次方程、可分离变量方程、线性方程的不同特点。

3． 能求可分离变量方程、一解 线性微分方程的通解、特解。

第九章多元函数微分学

1． 理解多元函数极限、连续的概念，会求函数的定义域。

2． 能求简单多元函数的极限，掌握证明多元函数极限不存在的方法。

3． 掌握偏导数的计算（一阶、二阶、混合偏导数）。掌握复合函数的链式求导法则（包括抽象函数的一阶偏导数）。

4． 会计算隐函数的一阶偏导数。

5． 会求函数的全微分，理解函数连续、偏导数存在、全微分存在之间的关系。

6． 理解多元函数极值的概念，会求多元函数的驻点，能运用定理9。10对极值点进行判断。

第十章多元函数的积分学

1． 掌握在直角坐标系下二重积分的计算。

2． 在直角坐标系下能交换积分秩序。

参考习题

第五章 P1825（1），（3）；P，（4）； 6（1），（3），（6），（11），（14）； 7815（3）

8；P1931（3），（8），（11），（12），（15）；6；8；10（2），（5），（6），（10）；P2111(2),(4)； 2； 8； 9

第六章 P，（4），（9），（10），（12）；2（2），（3），（4）； 101（3）

第九章 P1294（4），（7）；5（1），（3），（6）；6（1），（2）；P，（3）； 731 7（2）（3），（4）；17（2），（5）；P 341 1，2，5，9；P152 1，2，4；5；P169 3，4；

第十章 P1892，4（1），（2）；

试卷结构

篇6：微积分下册复习要点

第七章 多元函数微分学

1．了解分段函数在分界点连续的判别；

2．掌握偏导数的计算（特别是抽象函数的二阶偏导数）必考 3．掌握隐函数求导（曲面的切平面和法线），及方程组求导（曲线的切线和法平面方程）必考。

4．方向导数的计算，特别是梯度，散度，旋度的计算公式；必考。

5．可微的定义，分段函数的连续性及可微性，偏导数及偏导数的连续性。6．多元函数的极值和最值：无条件极值和条件极值（拉格朗日乘数法），实际问题的最值。必考。

第八章 重积分

1．二重积分交换积分次序；必考。

2．利用合适的坐标系计算（特别是极坐标）3．三重积分中三种坐标系的合理使用（直角坐标系，柱坐标系，球坐标系）

在使用时特别注意“先二后一法”的运用。必考。

4．重积分的应用中曲面面积、重心、转动惯量、引力的公式，曲面面积为重点。

第九章 曲线曲面积分

1．第一、二类曲线积分的计算公式（特别是参数方程）；

2．第一、二类曲面积分的计算公式（常考第一类曲面积分，第二类曲面积分一般用高斯公式）

3．三个公式的正确使用（格林公式、高斯公式、斯托克斯公式）必考。

可以参考期中考试卷中最后三个题。

4．格林公式中有“奇点”的使用条件及积分与路径无关的条件（可能和全微分方程结合）必考。

第10章 级数

1．数项级数的敛散性的判别：定义，收敛的必要条件，比较判别法及极限形式，比值判别法，根值判别法，莱布尼兹判别法，条件收敛和绝对收敛的概念。

2．幂级数的收敛域及和函数的计算。（利用逐项求导和逐项积分）必考。

3．将函数展成幂级数。（一般利用间接法）必考。

4．将函数展成傅里叶级数，系数的计算公式；狄利克雷收敛定理；几个词的理解（周期延拓、奇延拓、偶延拓、变量替换）

第11章 常微分方程

1．各种一阶微分方程的计算：可分离变量、齐次方程、可化为齐次方程的方程、一阶线性微分方程、伯努利方程、全微分方程。

2．可降阶的微分方程三种形式，特别注意不显含x 这种情形。

3．二阶非齐次线性微分方程的阶的结构：齐次通解+非齐次的一个特解。

4．二阶常系数非齐次线性微分方程的计算：特征方程+待定系数法（特解的形式）必考。

篇7：四年级下册语文复习要点

每一个单元“语文园地”中，“读读写写”的词语要掌握；“读读记记”要积累；“日积月累”会背诵、默写。“语文园地”中“我的发现”是知识点所在。课后的“资料袋”和“语文园地”中的“宽带网”中的内容要有所了解，特别是有关文学常识的或常识性的。如：五岳、作者介绍、名著介绍等。（平时教学时就应加以注意）

字：课后要求掌握的生字

1、生字：题型:看拼音写词

2、同音字：题型:根据句子的意思填写或者给几组字做选择

3、音近字：题型:在句子中选择或者给几组字做选择(包括会认的字)

4、多音字：题型：在句子中选择

5、形近字：题型：给几组字选择(包括会认的字)

6、易错字：题型：给几组字选择(包括会认的字)

词：语文园地中的词语。

1、同义词

2、近义词

3、反义词。题型：在句子中选择(单元卷中出现过，这种题思考量很大)例如：狠心的宙斯又派了一只凶恶的鹫鹰，每天啄食普罗米修斯的肝脏。（1）

1、凶狠

2、凶猛

3、凶险

4、凶手

4、“读读写写”中的词语题型：看拼音写词语

5、四字词语：题型：按要求写词语

6、成语故事、“日积月累”中的成语

7、体会带点词的好处、用词的准确性、带点词语主要意思等。题型：以判断对错为主或者选词填空。句：本册出现过的一些修辞手法。

1、修改病句：题型：用修改符号改。

2、比喻句、拟人句：题型：按要求改写句子或者判断句子的修辞手法。

3、排比句：题型：在文章中找。

4、理解含义深刻的句子：题型：以判断对错为主。如：《中彩那天》、《夜莺的歌声》、《一个中国孩子的呼声》、《生命、生命》等

5、学习园地中“日积月累”（1）古诗名句（2）关于诚信的名句名句（3）谚语（4）关于生命感悟的名人名言（5）歇后语题型：连线、按要求默写、填空、创设情景运用等

段：

1、乱句组段

2、概括段落的主要内容

3、课文段落题型：（1）按原文填空：《桂林山水》、《记金华的双龙洞》第五自然段、《乡下人家》《生命 生命》（2）按要求回答：字词的读音、抓重点词、关键句理解、朗读的语气、结合生活实际谈体会、想象画面等。

古诗词：（1）古诗词的默写：《独坐敬山》、《望洞庭》、《乡村四月》、《四时田园杂兴》（2）古诗词填空：《忆江南》、《渔歌子》（3）连线题：诗人、诗句、题目（3）按要求回答：字词读音、朗读的语气、描写的景物、色彩、想象画面、诗人表达的思想感情等。

篇：阅读短文并按要求作答。

题型：

1、读音、字词的选择

2、近义词、反义词、词语搭配

3、结合具体的语言环境，理解词语的意思，选择解释条。

4、填写标点符号

5、按要求找句子：描写人物外貌、动作、语言的、描写人物心情的、描写人物想法的、描写生动、形象的句子并仿写等。

6、结合生活实际谈体会，想象人物心理活动，想象画面等。作文：

1、写校园景、物、事

2、写自己心里话

3、写大自然中的发现和观察

4、看图想象

5、写热爱生命的人和事

6、写乡村生活的感受

7、写敬佩的一个人

篇8：期末复习要点回顾

一、平面直角坐标系

知识链接

1.平面直角坐标系:在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系,如图1所示.

2.象限:如图1,坐标平面被两条坐标轴分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ4个部分,即4个象限.(注:坐标轴不属于任何象限.)

3.点的坐标:对于平面内任意一点P,如图2所示,过点P分别向x轴、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标,有序实数对(a,b)叫做点P的坐标.

4.由坐标变化导致图形的平移:在平面直角坐标系内,如果一个图形各个点的横坐标都加(或减)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或左)平移a个单位长度;如果把各个点的纵坐标都加(或减)一个正数b,相应的新图形就是把原图形向上(或下)平移b个单位长度.

中考导航

例1 (2009年乌鲁木齐考题)在平面直角坐标系中,点A(x-1,2-x)在第四象限,则实数x的取值范围是________.

解析:由点A(x-1,2-x)在第四象限可知,x-1>0,2-x<0,解不等式组得x>2.所以答案为x>2.

点拨:要掌握各象限内点的符号特征.

例2 (2008年贵阳考题)对任意实数x,点P(x,x2-2x)一定不在().

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

解析:对任意实数x,当x=0时,点P不属于任何象限,故x=0不合题意.因此对实数x可作如下分类.

由x2-2x=x(x-2) 可知,当x<0时,一定有x(x-2)>0,点P在第二象限;当02时,x(x-2)>0,点P在第一象限.综合上述,对任意实数x,点P(x,x2-2x)一定不在第三象限.故选C.

点拨:本题主要考查平面直角坐标系内点的坐标的特征.通过对x进行分类讨论,判断出点P可能所在的象限,体现分类思想在坐标中的应用.

例3(2009年梧州考题)将点A(1,-3)向右平移2个单位,再向下平移2个单位后得到点B(a,b),则ab=.

解析:根据点的坐标的平移特征可知,将点A向右平移2个单位,其纵坐标不变,横坐标变为3,再将其下平移2个单位,其坐标为(3,-5),即a=3,b=-5,所以ab=-15.

点评:(1)将点(x,y)向右平移a个单位长度,得到的对应点的坐标是(x+a,y);将点(x,y)向左平移a个单位长度,得到的对应点的坐标是(x-a,y);

(2)将点(x,y)向上平移b个单位长度,得到的对应点的坐标是(x,y+b);将点(x,y)向下平移b个单位长度,得到的对应点的坐标是(x,y-b).

点评:对某个图形进行平移,这个图形上对应点的坐标都要发生相应的变化,但对应点平移的方向和距离相同。

二、三角形的边角关系

知识链接

1.三角形:不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.

2.三角形的三边关系:三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边.

3.三角形内角和:三角形的内角和等于180.

4.多邊形的内角和:n边形的内角和等于(n-2)•180°.

5. 多边形的外角和:任何多边形的外角和都等于360.

中考导航

例4 (2009年广西考题)一个等腰三角形的两边长分别为2和5,则它的周长为().

A.7B.9C.12D.9或12

解析:根据三角形的三边关系确定腰长和底边的长.当腰长为2时,2+2<5,不能构成三角形;当腰长为5时,即三角形的三边为5,5,2时,满足三角形的三边关系.故此等腰三角形的周长为12,选C.

点拨:构成三角形的条件是任意两边之和大于第三边.

例5 (2009年铁岭考题)如图3,已知直线AB∥CD,∠C=125,∠A=45,则∠E的度数为().

A.70B.80 C.90D.100

解析:∵AB∥CD,∴∠BFE=∠C=125,

又∵∠BFE=∠A+∠E,

∴∠E=125-45=80.

故选B.

点拨:本题主要考查平行线的性质及三角形内角和定理的推论.

例6 (2009年济宁考题)如图4,在△ABC中,∠A=70 ,∠B=60,点D在BC的延长线上,则∠ACD等于().

A.100B.120 C.130D.150

解析:由三角形的外角特点知,

∠ACD=∠A+∠B=70+60=130.

故选C.

点波:本题考查的知识点是三角形内角和定理的推论,即三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和.

三、二元一次方程组及其解法

知识链接

1.二元一次方程:含有两个未知数,并且未知数的指数是1的方程叫做二元一次方程.二元一次方程必须同时满足3个条件即等号两边的代数式是整式;含有两个未知数;所含未知数的项的次数是1.

2.二元一次方程组:把两个二元一次方程合在一起就组成了一个二元一次方程组.在组成方程组的各个方程中,相同的字母必须代表同一数量.

3.二元一次方程组的解法:常用的方法是代入法和加减消元法.

中考导航

例7 (2009年青海考题)已知代数式-3xm-1y3与xnym+n是同类项,那么m、n的值分别是().

A.m=2,n=-1 B.m=-2,n=-1 C.m=2,n=1 D. m=-2,n=1

解析:由题意可知,代数式-3xm-1y3与xnym+n是同类项,则m-1=n,m+n=3.解方程组得m=2,n=1.故选C.

点拨:利用同类项的概念构造二元一次方程组,从而解决问题,这类题是中考的一个重点题型.

例8 (2009年茂名考题)解方程组:

x+2y=4,① x+y=1. ②

解析:由①-②得y=3,

把y=3代人②得,x=-2,

所以原方程组的解是x=-2,y=3.

点拨:解二元一次方程组的关键是消元,即将二元一次方程组转化为一元一次方程来求解.消元的方法有两种,即代入消元法和加减消元法.在解题时要认真观察题目的特点,灵活选择解法.

例9 (2009年广州考题)为了拉动内需,广东启动“家电下乡”活动.某家电公司销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱在活动启动前一个月共售出960台,活动启动后的第一个月销售给农户的Ⅰ型和Ⅱ型冰箱的销量分别比活动启动前一个月增长30%、25%,这两种型号的冰箱共售出1 228台.

(1)在启动活动前的一个月,销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为多少台?

(2)若Ⅰ型冰箱每台价格是2 298元,Ⅱ型冰箱每台价格是1 999元,根据“家电下乡”的有关政策,政府按每台冰箱价格的13%给购买冰箱的农户补贴.问:活动启动后的第一个月销售给农户的1 228台Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱,政府共补贴了多少元(结果保留2个有效数字)?

解析:(1)设在活动启动前的一个月,销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为x、y台,则

x+y=960,(1+30%)x+(1+25%)y=1 228.

解得x=560,y=400.

经检验,符合題意.

所以在活动启动前的一个月,销售给农户的Ⅰ型冰箱和Ⅱ型冰箱分别为560台、400台.

(2)Ⅰ型冰箱政府补贴的金额为:2 298×560×(1+30%)×13%=217 482.72元,Ⅱ型冰箱政府补贴的金额为:1 999×400×(1+25%)×13%=129 935元.

所以活动启动后第一个月,政府一共补贴给农民的金额为:217 482.72+129 935=347 417.72≈3.5×105元.

点拨:本题取材于社会关注的热点“三农”问题,时代气息浓郁,体现了数学在生活中的广泛应用.

四、一元一次不等式(组)及其解法

知识链接

1.不等式:用不等号表示不等关系的式子,叫做不等式.对于一个含有未知数的不等式,它的所有解的集合叫做不等式的解的集合,简称这个不等式的解集;求不等式的解集的过程,叫做解不等式.

2.不等式的性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.

不等式的性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.

不等式的性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

3.解一元一次不等式的一般步骤:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤化系数为1.

注意:解不等式时,上面的5个步骤不一定都能用到,并且不一定按照顺序解,要根据不等式的形式灵活安排求解步骤.

4.一元一次不等式组的解法:(1)分别求出不等式组中各个不等式的解集;(2)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分.

求不等式组公共解的一般规律:同大取大,同小取小,一大一小中间找.

中考导航

例10 (2008年永州考题)如图5,a、b、c分别表示苹果、梨、桃子的质量.同类水果质量相等,则下列关系正确的是().

图5

A.a>c>bB.b>a>c

C.a>b>cD.c>a>b

解析:根据题意得2c=b,3b<2a,所以a>b>c.故选C.

点拨:灵活运用不等式的基本性质是解题的关键.

例11(2009年荆门考题)若不等式组

x+a≥0,1-2x>x-2有解,则a的取值范围是().

A.a>-1B.a≥-1

C.a≤1 D.a<1.

解析:解不等式组x+a≥0,1-2x>x-2得x<1,x≥-a,所以a>-1.

点拨:本题根据不等式组解集的概念,分类讨论,从而确定a的取值.

例12 (2009年淄博考题)解不等式:5x-12≤

2(4x-3).

解:5x-12≤8x-6,

-3x≤6,

x≥-2.

点拨:解一元一次不等式的步骤可类比解一元一次方程的5个步骤,注意当两边同除以负数时要改变不等号的方向.

例13(2009年株洲考题)初中毕业了,孔明同学准备利用暑假卖报纸赚取140～200元钱,买一份礼物送给父母.已知:在暑假期间,如果卖出的报纸不超过1 000份,则每卖出一份报纸可得0.1元;如果卖出的报纸超过1 000份,则超过部分每份可得0.2元.

(1)请说明:孔明同学要达到目的,卖出报纸的份数必须超过1 000份.

(2)孔明同学要通过卖报纸赚取140～200元,请计算他卖出报纸的份数在哪个范围内.

解析:(1)如果孔明同学卖出1 000份报纸,则可获得1 000×0.1=100元,没有超过140元,从而不能达到目的.(其他说理正确、合理即可.)

(2)设孔明同学暑假期间卖出报纸x份,由(1)可知,x>1 000,依题意得,

1 000×0.1+0.2(x-1 000)≥140,1 000×0.1+0.2(x-1 000)≤200,

解得1 200≤x≤1 500 .

所以孔明同学暑假期间卖出报纸的份数在1 200至1 500份之间.