耦合冲击载荷下弹性圆柱壳的动态屈曲

在石油化工企业中, 大多数设备都是受耦合载荷作用的。而圆柱壳又是工程中常用的结构原件, 它在冲击载荷作用下的屈曲行为一直受到人们的关注[1,2,3,4,5,6]。本文将哈密顿体系引入圆柱壳的动态屈曲问题中, 建立轴扭耦合冲击载荷下圆柱壳动态屈曲的哈密顿体系, 将耦合冲击载荷下圆柱壳的动态屈曲研究从传统的欧几里得几何空间进入到辛几何空间之中, 解决高阶偏微分方程难于求解和数值方法难于实现的问题。

一、扰动方程的建立和求解

考虑一个承受轴向和扭转耦合冲击载荷作用的弹性圆柱壳, 半径为r, 厚度为h, 长度为l, 密度为ρ, 弹性模量为E, 泊松比为υ。选取柱坐标系 (x, θ, r) , 对应位移 (u, v, w) , x轴取在对称轴上, x=0端为冲击端。内力与应变、弯矩与曲率的关系分别为⑴式和⑵式, (其中抗弯刚度D=Eh3/[12 (1-υ2) ], 抗拉刚度K=Eh/ (1-υ2) ) 。按小变形理论, 壳体中面应变、曲率与位移的关系分别为⑶式和⑷式。

考虑壳体厚径比很小, 横截面受载均匀, 所以壳体的面内变形势能、弯曲变形势能、动能和外力功组成的拉格朗日函数⑸式, 式中:Nx为轴向冲击载荷, Nxθ为扭转载荷。考虑理想壳体在屈曲发生前仅在面内变形, 而轴向和扭转冲击载荷引起的变形是主要的。对w变分可以得到拉格朗日体系下的扰动方程为⑹式。

二、耦合应力波传播和反射过程中内力的表达式

考虑在冲击端 (x=0) 轴扭耦合冲击载荷作用下, 因为轴向压缩应力波 (纵波) c1=[E/ρ (1-υ2) ]1/2和扭转应力波 (横波) c2=[E/2 (1+υ) ρ]1/2的波速不同 (c2

只有轴向压缩应力波在有限长圆柱壳内发生反射, 若反射端固支, 圆柱壳从冲击端开始被分成三个区域:区域Ⅰ—耦合作用区, 区域Ⅱ—耦合应力波和反射后的轴向压缩应力波共同作用区, 区域Ⅲ—轴向压缩应力波反射区, 应力分别为: (1) 应力纵波和横波耦合作用区⑽式; (2) 耦合应力波和反射后的轴向压缩应力波作用区⑾式; (3) 轴向压缩应力波反射区⑿式。

三、边界条件和连续性条件

考虑冲击端简支情况的边界条件为⒀式;当应力波发生反射时, 反射端 (x=l) 固支, 那么还应满足反射端的边界条件⒁式:

对于半无限长圆柱壳, 应力波不发生反射时: (1) 扭转应力波的波阵面 (xe2=c2t) 为区域Ⅰ与区域Ⅱ的交界, 在此处的连续性条件为⒂式; (2) 轴向压缩应力波的波阵面 (xe1=c1t) 是区域Ⅱ和非扰动区域Ⅲ的交界, 满足连续性条件⒃式。而对于只有轴向压缩应力波反射时的有限长圆柱壳: (1) 扭转应力波的波阵面 (xe2=c2t) 为区域Ⅱ与区域Ⅲ的交界, 在此处应满足连续性条件⒄式; (2) 轴向压缩应力波的波阵面 (xe1=c1t) 是区域Ⅰ和区域Ⅱ的交界, 应满足连续性条件⒅式。

四、轴扭耦合问题的哈密顿体系

令 , 考虑弯曲变形的拉格朗日函数, 用θ坐标模拟时间坐标, 定义θ方向的转角ϕθ=-∂θw/r=-ẇ, 根据哈密顿变分原理, 并进行分部积分和利用边界条件得⒆式:

定义原变量q={w, ϕ}θ, 它们的对偶变量可通过变分得到, 记 为θ方向的等效剪力, p2= (Mx+Mθ) / (1+υ) =-D (w″-φ̇θ) 为θ方向的等效弯矩。拉格朗日函数用原变量和对偶变量表示, 则哈密顿函数为 (20) 式, 哈密顿正则方程为 (21) 式。同样, 方程 (21) 可简写为: , 其中全状态向量ψ={qTpT}={w, φθ, p1, p2}。利用广义分离变量法Ψ (x, θ) =φ (x) eμθ, 本征方程Hφ=μφ, 其中μ和φ (x) 分别是本征值和本征解, 注意到θ方向的相容条件Ψ (x, 0) =Ψ (x, 2π) =φ (x) e2μπ, 所以μ=in (n=0, ±1, …) , 将n>0归为A类, n<0归为B类, 这样他们对应的本证解满足辛共轭正交关系[6], 可以证明由本征解组成的本征向量空间是完备的[7];任意状态向量Ψ可由本征函数向量组合表示为 (22) 式。

五、分叉条件

由以上分析可知:轴扭耦合冲击载荷下圆柱壳不发生轴对称屈曲, 只发生非轴对称屈曲。由不同情况下的边界条件和连续性条件得到代数方程组 (23) 式:

半无限长圆柱壳, 应力波不发生反射时, 圆柱壳分为耦合应力波作用区、轴向压缩应力波单独作用区和未扰动区, 即 (24) 和 (25) 式;而当只有轴向压缩应力波发生反射时, 求解时除了满足边界条件外, 还应满足区域I和区域II交界面 (x=xe1) 和区域II和区域III交界面 (x=xe2) 的连续性条件, 即 (26) 和 (27) 式。求解式 (23) , 如果C=0, 则w≡0, 说明壳体只有均匀压缩和扭转变形, 不发生屈曲。因此壳体发生屈曲的条件就是式 (23) 存在非零解, 此时系数行列式|A|为零, 所以分叉条件为:|A|=0 (28)

从式 (28) 可求出临界载荷, 而屈曲模态则根据方程 (22) 得到。

六、临界屈曲载荷和屈曲模态的数值结果

图1是圆柱壳在轴扭耦合冲击载荷下, 阶数n=1, 2, 3的临界屈曲载荷曲面的组合图, 图中是轴向临界屈曲载荷Ncr和扭转临界屈曲载荷Tcr与应力波阵面的关系曲线。从图中可以看出: (1) 临界屈曲载荷曲面关于轴向冲击载荷单调, 关于扭转冲击载荷Tcr=0对称; (2) 扭转载荷逐渐增大使得轴向临界屈曲载荷逐渐减小, 圆柱壳的动态屈曲就更容易发生;

图2表示冲击端为简支的耦合冲击载荷中, 当轴向冲击载荷所占比例较大时, 阶数n=1, 2, 3, 4, 5, 6;m=1, 对应同一波阵面T=0.6的临界屈曲模态, 六个屈曲模态对应的轴向临界屈曲载荷分别为:165, 165, 175, 180, 195, 215, 所对应的扭转载荷分别为:16.5, 16.5, 17.5, 18, 19.5, 21.5。从表中可以看出: (1) 在同一波阵面位置时, 环向波纹数n越多, 所需要的临界屈曲载荷越大, 越不易发生屈曲; (2) 并且可以明显的看出:由于轴向压缩应力波的波速大于扭转应力波的波速, 所以圆柱壳的屈曲分为三个区:耦合载荷作用区、轴向载荷作用区和未扰动区;

图3是冲击端简支, 有限长圆柱壳在耦合应力波并且扭转载荷逐渐增大时的传播和反射, 阶数n=1的耦合冲击载荷作用的临界屈曲载荷曲面。从图中可以看出: (1) 应力纵波发生发射前, 圆柱壳的临界屈曲载荷相似于无限长圆柱壳, 应力纵波发生反射后, 临界屈曲载荷迅速下降, 随着应力反射波向冲击端传播, 临界屈曲载荷最终下降到无反射时临界屈曲载荷值的0.5倍; (2) 扭转载荷逐渐增大使得轴向临界屈曲载荷逐渐减小, 从而圆柱壳的动态屈曲就更容易发生;

结论

通过计算和分析, 可以得到以下几点结论:

1.轴扭耦合冲击载荷下圆柱壳的动态屈曲是非轴对称的;当应力波不发生反射时, 耦合冲击载荷下圆柱壳的动态屈曲主要发生在冲击端;

2.扭转载荷和轴向冲击载荷之间相互影响, 共同决定圆柱壳的动态屈曲。由于同一环向波纹数n保持不变时, 扭转载荷所占比例越大, 所需要的轴向临界屈曲载荷越小, 越容易发生屈曲。因此, 在工程实际中, 不能简单用单项载荷代替耦合冲击载荷的作用;

3.应力波发生发射前, 圆柱壳的临界屈曲载荷相似于无限长圆柱壳, 应力波发生反射后, 临界屈曲载荷迅速下降, 随着应力反射波向冲击端传播, 临界屈曲载荷最终下降到无反射时临界屈曲载荷值的0.5倍;并且临界屈曲载荷曲面关于轴向冲击载荷单调, 关于扭转冲击载荷等于零的曲线对称。

摘要：将哈密顿体系引入圆柱壳的动态屈曲问题中, 建立轴扭耦合冲击载荷下弹性圆柱壳动态屈曲的哈密顿体系。求解临界动态屈曲载荷和屈曲模态, 分析耦合应力波的传播和反射对临界参数的影响, 讨论冲击端为简支的临界屈曲载荷和屈曲模态。

关键词：动态屈曲,耦合载荷,哈密顿体系,弹性圆柱壳,应力波

参考文献

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