浅谈初中数学思想方法

2024-04-25

浅谈初中数学思想方法（精选6篇）

篇1：浅谈初中数学思想方法

浅谈初中数学思想方法的教学

王家河中学

唐强国

数学思想是指人们在研究数学过程中对其内容、方法、结构、思维方式及其意义的基本看法和本质的认识，是人们对数学的观念系统的认识。数学教学中必须重视思想方法的教学，其理由是显而易见的。

首先，重视思想方法的教学是数学教育教学本身的需要。数学思想方法是以数学为工具进行科学研究的方法。纵观数学的发展史我们看到数学总是伴随着数学思想方法的发展而发展的。如坐标法思想的具体应用产生了解析几何；无限细分求和思想方法导致了微积分学的诞生……，数学思想方法产生数学知识，而数学知识又蕴载着数学思想，二者相辅相成，密不可分。正是数学知识与数学思想方法的这种辩证统一性，决定了我们在传授数学知识的同时必须重视数学思想方法的教学。

其次，重视思想方法的教学是以人为本的教育理念下培养学生素养为目标的需要。著名日本数学家和数学教育家米山国藏在从事多年数学教育研究之后，说过这样一段耐人寻味的话：“学生们在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没有什么机会应用，因而这种作为知识的教学，通常在出校门后不到一两年就忘掉了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想方法，却长期地在他们的生活和工作中发挥着作用。” 倘若我们留意各行各业的某些专家或一般工作者，当感到他们思维敏锐，逻辑严谨，说理透彻的时候，往往可以追溯到他们在中小学所受的数学教育，尤其是数学思想方法的熏陶。理论研究和人才成长的轨迹也都表明，数学思想方法在人的能力培养和素质提高方面起着重要作用。那么，数学教学中如何进行数学思想方法的教学？笔者以为可着重从以下几个方面入手：

1、在概念教学中渗透数学思想方法

数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映，人们先通过感觉、知觉对客观事物形成感性认识，再经过分析比较，抽象概括等一系列思维活动而抽取事物的本质属性才形成概念。因此，概念教学不应只是简单的给出定义，而要引导学生感受及领悟隐含于概念形成之中的数学思想。比如绝对值概念的教学，初一代数是直接给出绝对值的描述性定义（正数的绝对值取它的本身，负数的绝对值取它的相反数，零的绝对值还是零）学生往往无法透彻理解这一概念只能生搬硬套，如何用我们刚刚所学过的数轴这一直观形象来揭示“绝对值”这个概念的内涵，从而能使学生更透彻、更全面地理解这一概念，我们在教学中可按如下方式提出问题引导学生思考：（1）请同学们将下列各数0、3、-

3、5、-5 在数轴上表示出来；（2）3与-3；5 与-5 有什么关系？（3）3到原点的距离与-3到原点的距离有什么关系？5 到原点的距离与-5 到原点的距离有什么关系？这样引出绝对值的概念后，再让学生自己归纳出绝对值的描述性定义。（4）绝对值等于7的数有几个？你能从数轴上说明吗？通过上述教学方法，学生既学习了绝对值的概念，又渗透了数形结合的数学思想方法，这对后续课程中进一步解决有关绝对值的方程和不等式问题，无疑是有益的。

2、在定理和公式的探求中挖掘数学思想方法

著名数学家华罗庚说过：“学习数学最好到数学家的纸篓里找材料，不要只看书上的结论。”这就是说，对探索结论过程的数学思想方法学习，其重要性决不亚于结论本身。数学定理、公式、法则等结论，都是具体的判断，其形成大致分成两种情况：一是经过观察，分析用不完全归纳法或类比等方法得出猜想，尔后再寻求逻辑证明；二是从理论推导出发得出结论。总之这些结论的取得都是数学思想方法运用的成功范例。因此，在定理公式的教学中不要过早给出结论，而应引导学生参与结论的探索、发现、推导过程。搞清其中的因果关系，领悟它与其它知识的关系，让学生亲身体验创造性思维活动中所经历和应用到的数学思想和方法。例如，在圆周角定理从度数关系的发现到证明体现了特殊到一般、分类讨论、化归以及枚举归纳的数学思想方法。在教学中我们可依次提出如下富有挑战性的问题让学生思考：（1）我们已经知道圆心角的度数定理，我们不禁要问：圆周角的度数是否与圆心角的度数存在某种关系？圆心角的顶点就是圆心！就圆心而言它与圆周角的边的位臵关系有几种可能？（2）让我们先考察特殊的情况下二者之间有何度量关系？（3）其它两种情况有必要另起炉灶另外重新证明吗？如何转化为前述的特殊情况给与证明？（4）上述的证明是否完整？为什么？

易见，由于以上引导展示了探索问题的整个思维过程所应用的数学思想方法，因而较好地发挥了定理探讨课型在数学思想方法应用上的教育和示范功能。

3、在问题解决过程中强化数学思想方法

许多教师往产生这样的困惑：题目讲得不少，但学生总是停留在模仿型解题的水平上，只要条件稍稍一变则不知所措，学生一直不能形成较强解决问题的能力。更谈不上创新能力的形成。究其原因就在于教师在教学中仅仅是就题论题，殊不知授之以“渔”比授之以“鱼”更为重要。因此，在数学问题的探索的教学中重要的是让学生真正领悟隐含于数学问题探索中的数学思想方法。使学生从中掌握关于数学思想方法方面的知识，并使这种“知识”消化吸收成具有“个性”的数学思想。逐步形成用数学思想方法指导思维活动，这样在遇到同类问题时才能胸有成竹，从容对待。如：直线y=2x―1与y=m―x的交点在第三象限，求m的取值范围。方法1：用m表示交点坐标，然后用不等式求解；方法2：利用数形结合的思想在坐标系中画出图象，根据图象作答。

显然上述的问题解决过程中，学生通过比较不同的方法，体会到了数学思想在解题中的重要作用，激发学生的求知兴趣，从而加强了对数学思想的认识。

4、及时总结以逐步内化数学思想方法

数学思想方法贯穿在整个中学数学教材的知识点中，以内隐的方式溶于数学知识体系。要使学生把这种思想内化成自己的观点，应用它去解决问题，就要把各种知识所表现出来的数学思想适时作出归纳概括。概括数学思想方法要纳入教学计划，要有目的、有步骤地引导参与数学思想的提炼概括过程，特别是章节复习时在对知识复习的同时，将统领知识的数学思想方法概括出来，增强学生对数学思想的应用意识，从而有利于学生更透彻地理解所学的知识，提高独立分析、解决问题的能力。

初中数学中蕴含的数学思想方法许多，但最基本的数学思想方法是数形结合的思想，分类讨论思想、转化思想、函数的思想，突出这些基本思想方法，就相当于抓住了中学数学知识的精髓。

1、数形结合的思想

“数”和“形”是数学教学中既有区别又有联系的两个对象。在数学教学中，突出数形结合思想，有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。

2、分类讨论的思想

“分类”是生活中普遍存在着的，分类思想是自然科学乃至社会科学研究中的基本逻辑方法，也是研究数学问题的重要思想方法，它始终贯穿于整个数学教学中。从整体上看，中学数学分代数、几何两大类，然后采用不同方法进行研究，就是分类思想的体现，从具体内容上看，初中数学中实数的分类、三角形的分类、方程的分类等等，在教学中就需要启发学生按不同的情况去对同一对象进行分类，帮助他们掌握好分类的方法原则，形成分类的思想，从具体的教法上看，如对初一“有理数的加法”教学中，引导学生观察、思考、探究，将有理数的加法分为三类进行研究，正确归纳出有理数加法法则，这样学生不仅掌握了具体的“法则”，而且对“分类”有了深刻的认识，那么在较为复杂的情况下，利用掌握好的分类的思想方法，正确地确定标准，不重不漏地进行分类，从而使看问题更加全面。如在判断“-a一定小于零吗”利用分类讨论就不会错。

3、转化思想

数学问题的解决过程就是一系列转化的过程，中学数学处处都体现出转化的思想，如化繁为简、化难为易，化未知为已知，化高次为低次等，是解决问题的一种最基本的思想。

在具体内容上，有加减法的转化，乘除法的转化，乘方与开方的转化，添辅助线，设辅助元等等都是实现转化的具体手段。因此，在教学中首先要让学生认识到常用的很多数学方法实质就是转化的方法，从而确信转化是可能的，而且是必须的，其次结合具体教学内容进行有意识的训练，使学生掌握这一具有重大价值的思想方法。在具体教学过程中设出问题让学生去观察，探索.4、函数的思想方法

辩证唯物主义认为，世界上一切事物都是处在运动、变化和发展的过程中，这就要求我们教学中重视函数的思想方法的教学。虽然函数知识安排在初中后阶段学习，但函数思想已经渗透到初一、二教材的各个内容之中。因此，教学上要有意识、有计划、有目的地培养函思想方法。

例如进行新代数一册求代数式的值的教学时，通过强调解题的第一步“当……时”的依据，渗透函数的思想方法——字母每取一个值，代数式就有唯一确定的值。

通过引导学生对以上问题的讨论，将静态的知识模式演变为动态的讨论，这样实际上就赋予了函数的形式，在学生的头脑中就形成了以运动的观点去领会，这就是发展函数思想的重要途径。

诚然，要使学生真正具备了有个性化的数学思想方法，并不是通过几堂课就能达到，但是只要我们在教学中大胆实践，持之以恒，寓数学思想方法于平时的教学中，学生对数学思想方法的认识就一定会日趋成熟。

篇2：浅谈初中数学思想方法

——大悟县城关中学万建勇

一、初中数学思想方法教学的重要性

一直以来，我们在不知不觉中，受到传统的数学教学的影响，只注重知识的传授，而忽视了知识形成过程中的数学思想方法。这样严重地影响了学生的思维发展和能力培养。在从教十二年的教学实践活动中，通过不断地探索，学习充分认识到：中学数学教学，一方面要传授数学知识，使学生掌握必备数学基础知识；另一方面，更要通过数学知识这个载体，挖掘其中蕴含的数学思想方法，更好地理解数学，掌握数学，形成正确的数学观和一定的数学意识。事实上，单纯的知识教学，只显见于学生知识的积累，是今遗忘甚至于消失的，而方法的掌握，思想的形式，才能使学生受益终生，正所谓“授之以鱼，不如授之于渔”，不管他们将来从事什么职业和工作，数学学思想方法，作为一种解决问题的思维策略，都将随时随地有意无意地发挥作用。

二、初中数学思想方法和主要内容

初中数学中蕴含的数学思想方法很多，最基本最重要的有，转化与化归的思想方法，数形结合的思想方法，分类讨论的思想方法，函数与方程的思想方法等。

（一）数化与化归的思想方法转化的思想方法就是人们将需要解决的问题，通过某种转化手段，归结为另一种相对容易解决的方式已经有解决方法的问题，从而使原来的问题得到解决，初中数学处处都体现出转化的思想方法。如化繁为简、化难为易。具体来说，就是将分式方程化为整式方程，将高次方程化为低次方程，将多元方程组化为二元方程组，将四边形问题转化为三角形问题，将非对称图形化为对称图形等。解题过程就是把所要解决的问题转化为已经熟悉的问题的过程。实现这种转化的方式有：换元法、待定系数法、配方法、整体代入的方法以及化动为静，由具体到抽象等。

（二）数形结合的思想方法

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，因而研究总是围绕着数与形进行的。“数”就是代数式，函数、不等式等表达式，“形”就是图形、图象、曲线等。数形结合就是抓住数与形之间的本质上的联系，以形直观地表达数，以数精确地研究形。“数无形时不直观，形无数时难入微”。数形结合是研究数学问题的重要思想方法。初中数学中，通过数轴，将数与点对应，通过直角坐标系，将函数与图象对应，用数形结合的思想方法学习了相反数的概念，绝对值的概念，有理数大小比较的法则，研究了函数的性质等，通过形象思维过渡到抽象思维，大大减轻了学习的难度。

（三）分类讨论的思想方法分类讨论是根据数学对象的本质属性，将问题区分为不同种类，然后对每一类进行分析研究，它是一种极其重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略，分类讨论的思考方法广泛存在于初中数学的各知识点当中，数学的许多问题由于题设交代笼统，要进行讨论，由于题型复杂，包含的内容太多，也要进行讨论。因此，我们在研究问题的解法时，需要认真审题，全面考虑，根据其数量差异与位臵差异进行分类，分类要做到不重不漏，从而获得完整的解答。

（四）函数与方程的思想方法

函数思想是客观世界中事物运动变化，相互联系，相互制约的普通规律在数学中的反映，它的本质是变量之间的对应，用变化的观点，把所研究的数量关系，用函数的形式表示出来，然后用函数的性质进行研究，使问题获解。如果函数的形式是用解折式的方式表示出来的，那么就可以把函数解析式看作方程，通过解方程和对方程的研究，使问题得到解决，这就是方程的思想，在初中数学教材中，其它的思想方法都是隐藏在数学知识里，没有单独提出来，而函数与方程的思想方法，其内容和名称形式一致，单独作为章节系统学习。

三、初中数学思想方法的教学规律

数学思想方法蕴含于数学知识之中，又相对超脱于某一个具体的数学知识之外，数学思想方法的教学比单纯的数学知识教学困难得多，因为数学思想方法是具体数学知识的本质和内在联系的反映，具有一定的抽象性和概括性，它强调的是一种意识和观念。对于初中学生来说，这个年龄段正是由形象思维向抽象的逻辑思维过渡的阶段，虽然初步具有了简单的逻辑思维能力，但是还缺乏主动性和能动性。因此，在数学教学活动中，必须注意数学思想方法的教学规律。

（一）深入钻研教材，将数学思想方法化隐为显首先，教师在备课时，要从数学思想方法的高度深入钻研教材，数学思想方法既是数学教学设计的核心，同时又是数学教材组织的基础和起点。通过对概念、公式、定理的研究，对例题、练习的探讨，挖掘有关的数学思想方法，了然于胸，将它们由深层次的潜形态转变为显形态，由对它们的朦胧感觉转变为明晰、理解和掌握，一方面要明确在每一个具体的数学知识的教学中可以进行哪些思想方法的教学。另一方面，又要明确每一个数学思想方法，可以在哪些知识点中进行渗透。只有在这种前提下，才能加强针对性，有意识地引导学生领悟数学思想方法。

（二）学生主动参与教学，循序渐进形成数学思想方法教学活动中，倡导学生主动参与，重视知识形成的过程，在过程中渗透数学思想方法，概念教学中，不简单地给出定义，而要尽可能地完整再现形成定义之前的分析、综合，比较和概念等思维过程，揭示隐藏其中的思想方法，在掌握重点、突破难点的教学活动中，要反复向学生渗透数学思想方法，数学教学中的重点，往往就是需要有意识地揭示或运用数学思想方法之处，数学教材中的难点，往往与数学思想方法的更新交替，综合运用，或跳跃性大等有关。因此，在教学活动中，要适度点拨或明确归纳出所涉及到的数学思想方法。

（三）不断巩固积累，使数学思想方法在应用中内化为自觉意识

学生对数学思想方法的领域和掌握具有一个“从个别到一般，从具体到抽象，从感性到理性，从低级到高级”的认识过程，首先是有感性的接触，经多次反复，不断积累，形成丰富的感性认识，然后逐渐上升为理性认识，最后在应用中，对形成的数学思想方法进行验证和发展，进一步加深理性认识，内化为解决问题时自然而然出现的思维策略。

篇3：浅谈初中数学思想方法

数学思想方法是数学的精髓, 是人们分析和解决有关数学学科问题的重要法宝, 它蕴含于数学知识的发生、发展和应用的全过程.教师在授课的过程中, 必须不断地向学生渗透、揭示数学知识所蕴含的数学思想方法, 并且在学生的后继学习过程中, 特别是在总复习阶段, 通过重新揭示知识发生过程, 要对学生所学过的数学思想方法进行再现和暴露, 使学生对所学过的数学思想方法得到及时的反馈、巩固, 从而使学生更好地理解、掌握、巩固所学过的数学思想方法.下面谈谈初中阶段常用的几种数学思想方法.

一、方程思想

通过列方程求值的数学问题并不是数学应用题的“专利”, 在解决有关求值的数学问题中, 存在很多不能通过直接列式求值的情况, 也一样要通过列方程求解, 因此必须强调学生在平时学习过程中, 要养成利用方程解决有关求值数学问题的习惯, 在脑海中形成一种强烈的方程思想.如求解函数图像交点的问题、几何图形线段求值问题等.

例1已知, 求 (xy) 2010的值

分析因为|x+y|和都是非负数且和为0, 故有|x+y|和同时为0, 即有然后通过解方程组求出x, y的值, 再求出 (xy) 2010的值.

解略

例2 如图, 矩形ABCD中, 把∠C往左折叠, 使点C落在对角线BD上的F点处, 折痕为DE, 交BC于E, 已知CD=3, BC=4, 求BE的长.

分析由题意可知, △DEF≌△DEC,

故有DF=DC=3, EF=EC, ∠DFE=∠C=90°, ∠BFE=180°-∠DFE=90°.

若设BE=x, 则EF=EC=4-x.

于是在Rt△BEF中, 根据勾股定理EF2+BF2=BE2可构造列出如下的方程:

(4-x) 2+22=x2,

然后再求出x即BE的值.

解略.

二、整体思想

整体思想方法是初中阶段的一种重要的数学思想方法, 它要求我们在解决数学问题时不能只考虑问题的局部特征, 还要着眼于问题的整体结构, 通过对问题全面、深刻的观察和分析, 从整体观念上把握、认识问题的实质, 把一些看似是相互独立, 但实质上是彼此联系的量作为整体来处理, 从而使数学问题得到简捷、巧妙、漂亮的解法.如在代数式的化简与求值、多项式的因式分解、方程或方程组的求解、几何图形的求面积等方面都有着广泛的应用.

分析先把整体变形得,

两边平方就有x2+2x+1=2,

然后经过整体求解可求得x2+2x=1,

最后把x2+2x=1进行整体代入就可求出代数式的值了.

解略.

例4分解因式: (x2-3x-5) (x2-3x+3) +7.

分析首先把x2-3x看成一个整体进行整体处理和变形得 (x2-3x) 2-2 (x2-3x) -15+7= (x2-3x) 2-2 (x2-3x) -8, 接着还是把x2-3x看成一个整体, 那么 (x2-3x) 2-2 (x2-3x) -8就可以看成是关于x2-3x的一个二次三项式了, 也就可以用十字相乘法继续分解成为 (x2-3x-4) (x2-3x+2) , 最后只需把关于x的二次三项式x2-3x-4和x2-3x+2再次用十字相乘法分解下去就成了.

解略.

三、分类讨论思想

在解决有些数学问题时, 面临的情况可能有多种, 但又没有具体说明是哪种情况, 这时就要根据问题的特点和要求进行认真审题、仔细分析、全面考虑, 把所要研究和解决的问题按照一定的标准分成几种不同的情况逐一讨论、研究、解决.在分类讨论、分情况证明数学命题时, 必须进行全面考虑, 使每一种情况要做到互相独立、不重不漏, 这样才能利用分类讨论思想完美解决数学问题.如在几何求值问题、绝对值问题等方面都有广泛的应用.

例5已知⊙O中, 半径r=5, AB, CD是两条平行弦, 且AB=8, CD=6, 求AC的长.

分析明显题目条件没有说明两条平行弦的具体位置情况, 显然从弦的位置这个角度来考虑的话, 可分为两种情况:第一种情况是两条平行弦在圆心的同侧;第二种情况是两条平行弦在圆心的两侧, 再从线段的端点A, C的位置这个角度来考虑的话, 又可分为两种情况:第一种情况是端点A, C的位置在垂直于弦AB的直径的同侧;第二种情况是端点A, C的位置在垂直于弦AB的直径的两侧.综上所述可知, 所求AC的值要具体分成如下图所示的四种情况来求.

解略.

例6求方程 (x-1) 2-2|x-1|-3=0的解.

分析如果我们先把它去掉绝对值再来求解的话, 就必须根据绝对值的性质注意x-1的符号情况:正数、零、负数.显而易见, 可以把它分成如下两种情况:

(1) 第一种情况:当x-1≥0时, 即x≥1, 原方程可化为 (x-1) 2-2 (x-1) -3=0, 先利用一元二次方程的求解方法求出方程 (x-1) 2-2 (x-1) -3=0的解, 然后找出满足条件x≥1的解也就是原方程的解.

(2) 第二种情况:当x-1<0时, 即x<1, 原方程可化为 (x-1) 2+2 (x-1) -3=0, 先利用一元二次方程的求解方法求出方程 (x-1) 2+2 (x-1) -3=0的解, 然后找出满足条件x<1的解也就是原方程的解.

综合第 (1) 、 (2) 种情况就可以得到原方程的所有解.

解略.

四、数形结合思想

在解决数学问题时, 有时要根据问题的内在联系及问题的代数意义和几何意义, 把数量和图形结合起来进行分析、研究, 从中找出解决问题的所在, 这种“数”与“形”的相互渗透、相互结合、相互转化的解题思想在数学解题中占有重要位置, 它能将数量关系和几何图形巧妙地结合起来寻找解题思路, 如几何求值问题、解不等式问题、函数问题等比较常用到数形结合思想.

例7 已知实数a, b, c在数轴上的位置如数轴所示, 问:直线y= (a+b) x+b-c不经过哪一个象限?

分析要判断直线不经过哪一个象限, 只需先判断直线经过哪三个象限, 那么就要根据数轴确定 (a+b) , (b-c) 的符号, 结合数轴可知 (a+b) <0, (b-c) <0, 再根据一次函数图像位置的性质, 当k= (a+b) <0时, 直线经过二、四象限, 又常数项 (b-c) <0, 所以直线在经过二、四象限的同时截y轴的负半轴, 最后按直线的位置“直线在经过二、四象限的同时截y轴的负半轴”画出如右图, 结合图形来看就可以知道直线不经过第一象限了.

解略.

例8如图, 一次函数的图像与反比例函数的图像相交于A, B两点.

(1) 求出A, B两点的坐标;

(2) 根据图像回答:当x取何值时, 一次函数的函数值大于反比例函数的函数值.

分析 (1) 解出方程组的解即可得到A, B两点的坐标A, B两点的坐标分别是A (-6, -2) , B (4, 3) .

(2) 要判断一次函数的函数值大于反比例函数的函数值的x的区域范围, 只需结合图像找出一次函数图像在反比例函数图像上方的x的区域范围即可, 由此可过点A作x轴的垂线, 得到直线x=-6, 过点B作x轴的垂线, 得到直线x=4, 显而易见, 由图像可知, 直线x=-6把左支双曲线分成两个区域:直线x=-6的左边区域即x<-6和直线x=-6与y轴之间的区域即-6<x<0;直线x=4把右支双曲线分成两个区域:直线x=4的右边区域即x>4和直线x=4与y轴之间的区域即0<x<4.在这四个区域中, 结合图形明显可看出一次函数图像在反比例函数图像上方的x的区域范围就是直线x=-6与y轴之间的区域即-6<x<0和直线x=4的右边区域即x>4, 所以当-6<x<0或x>4时, 一次函数的函数值大于反比例函数的函数值.

解略.

五、观察归纳思想

对一些归纳探究规律型的数学问题, 为了根据给出的几个具体的结论来探求与它相关的一般性结论, 必须对具体、特殊的一系列数式或图形进行全面细致地观察、分析、比较, 抓住前后相邻的两个数式或图形的数量关系的变化情况, 从中探究、挖掘、发现事实存在的变化规律, 并由此归纳总结出一般性结论.如数字形式的规律探索、代数式形式的规律探索、图形形式的规律探索等.

例9观察下列球的排列规律 (其中●是实心球, ○是空心球) :●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……从第1个球起到第2004个球止, 共有实心球多少个?

分析这些球, 从左到右, 按照固定的顺序排列, 每隔10个球循环一次, 循环节是●○○●●○○○○○, 每个循环节里有3个实心球.我们只要知道2004包含有多少个循环节, 就容易计算出实心球的个数.因为2004÷10=200 (余4) 所以, 2004个球里有200个循环节, 还余4个球.200个循环节里有200×3=600 (个) 实心球, 剩下的4个球里有2个实心球.所以, 一共有602个实心球.

解略.

例10 (1) 观察下列运算并填空:

(2) 根据 (1) 猜想 (n+1) (n+2) (n+3) (n+4) +1= () 2.

分析通过对前面三个等式全面细致地观察、分析, 可以发现完全平方数的底数正好是连乘的四个连续自然数中最大自然数与最小自然数的乘积再加上1, 因此第 (1) 题可以是具体数据的计算, 也可以根据以上规律利用公式逆用进行解决;而第 (2) 题可直接利用以上规律进行计算得出更一般性的结论表达式: (n+1) (n+2) (n+3) (n+4) +1=[ (n+1) (n+4) +1]2= (n2+5n+5) 2.

解略.

篇4：浅谈初中数学思想方法

关键词：初中数学；思想方法；渗透；培养；能力

数学思想是数学思维的导向，在初中阶段主要有从特殊到一般的思想、化归的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想、函数思想等。《全日制义务教育数学课程标准》已经把“双基”扩展为“四基”，即增加“基本数学活动经验”与“基本数学思想方法”，突出数学思想方法的教学，是当代数学教育的必然要求。数学思想方法是数学的灵魂，是联系各类知识的纽带。这就要求我们教师要在实际的教学过程中不断地发现、总结、渗透、活用数学思想方法，培养学生学习数学的能力。

一、渗透从特殊到一般的思想方法，培养学生的抽象创新能力

特殊与一般是矛盾的两个方面，又可以统一在同一事物之中，对一些抽象问题，可以在特殊情况下找出规律，这就是从特殊到一般的方法。《全日制义务教育数学课程标准》指出要发展学生的符号感，其中符号感的一个主要表现是要求学生能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表示，而列代数式是实现这一目标的具体途径。

二、渗透化归的思想方法，培养学生的归纳推理能力

所谓“化归”就是将要解决的问题转化、归结为另一个较容易的问题或已经解决的问题。这种方法的关键在于寻找待求问题与已知知识结构的逻辑关系。化归思想贯穿于整个数学系统的始终，学生一旦形成了自觉的化归意识，就可熟练地掌握各种转化，化生疏为熟悉，化抽象为具体，化复杂为简单，化一般为特殊，化隐含为明显，化未知为已知等等。

三、渗透数形结合的思想方法，培养学生的思维迁移及综合分析能力

著名的数学家华罗庚曾经说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微。”这充分说明了数与形的辩证关系，数形结合就是抓住数与形之间本质上的联系，以“形”直观地表达“数”，以“数”精确地研究“形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化。

对“形”相互关系的比较、度量，促进了“数”的概念的发展，丰富了计算方法。如無理数的发现：正方形的对角线与其一边的长度之间不存在公共线段，即不存在一条线段，用它去量一个正方形的边长及其对角线的长不能都得到整数倍，由此导致无理数的发现。一些代数恒等式也可由几何方法给出证明，例如，利用下图，可以导出代数恒等式。

四、渗透分类讨论的思想，培养学生思维的缜密性，克服片面性

在义务教育初中数学教材中，有许多教学内容蕴涵着丰富的分类讨论的思想方法。在代数中，从数、式到方程都能看到分类思想方法。分类是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点，然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方法。分类讨论既是一个重要的数学思想，又是一个重要的数学方法。其作用在于克服思维的片面性，防止漏解。

通过分类讨论，既能使问题得到解决，又能使学生学会多角度、多方面地去分析、解决问题，从而培养学生思维的严密性、全面性、灵活性，克服片面性。

五、渗透函数思想，发展数学观念,在运动变化中发现规律，提高分析问题的能力

函数的思想博大精深，它包括了许多的知识点，是现行初中数学的一条主线，而这一知识的精髓在于函数思想，它包含了变元思想、集合对应思想、数形结合思想、运动变化思想、研究函数取值的方程思想等，是解决一系列新型实际问题的思想方法之一。故此，学生是否能理解、运用函数思想直接影响到整个初中阶段数学学习的质量。对此，教师要注意挖掘教材隐含的函数思想的具体表现，并在教学中加以渗透，潜移默化，才能更好地解决实际问题。

参考文献：

［１］顾泠沅.数学思想方法.1版.中央广播电视大学出版社，2004.

［２］钱玲,邵光华.数学思想方法与中学数学.2版.北京:北京师范大学出版社.

篇5：用数学模型思想方法解决初中数学

三星初中

丁慧

随着新课改的进步落实，素质教育全方位、深层次推进，数学学科要求学生具有较高的数学素质、数学意识和较强的数学应用能力。而数学实际应用问题具有这种考查功能。它不仅具有题材贴近生活，题型功能丰富，涉及知识面广等特点，而且其应用性、创造性及开放性的特征明显。新课标把探索培养学生应用数学知识和数学思想方法解决实际问题的能力已落实到各种版本的数学实验教材中去了。今天社会对数学教学提出更高要求，不仅要求培养出一批数学家，更要求培养出一大批善于应用数学知识和数学思想方法解决实际问题的各类人才。初中阶段是探索和培养各类数学人才的黄金时段，而把实际问题转化为数学问题又是绝大多数初中学生的难题，如果在教学中我们有意识地运用数学模型思想帮助学生克服和解决这一难题，那么学生就会摆脱实际应用问题的思想束缚，释放出学习和解决实际应用问题的强大动力，激活创造新思维的火花。

把实际问题转化为一个数学问题，通常称为数学模型。数学模型不同于一般的模型，它是用数学语言模拟现实的一种模型，也就是把一个实际问题中某些事物的主要特征，主要关系抽象成数学语言，近似地反映客观事物的内在联系与变化过程。建立数学模型的过程称为数学建模。它主要有以下三个步骤：①实际问题→数学模型；②数学模型→数学的解；③数学的解→实际问题的解。对初中学生来说，最关键最困惑的是第一步。

一、初中学生解决实际应用问题的难点

1.1、缺乏解决实际问题的信心

与纯数学问题相比，数学实际问题的文字叙述更加语言化，更加贴近现实生活，题目也比较长，数量也比较多，数量关系显得分散隐蔽。因此，面对一大堆非形式化的材料，许多学生常感到很茫然，不知如何下手，产生惧怕数学应用题的心理。具体表现在：在信息的吸收过程中，受应用题中提供信息的次序，过多的干扰语句的影响，许多学生读不懂题意只好放弃；在信息加工过程中，受学生自身阅读分析能力以及数学基础知识掌握程度的影响，许多学生缺乏把握应用题的整体数学结构，并对全立体结构的信息作分层面的线性剖析的能力。即使能读懂题意，也无法解题；在信息提炼过程中，受学生数学语言转换能力的影响，许多学生无法把实际问题与对应的数学模型联系起来，缺乏把实际问题转换成数学问题的转译能力。

数学建模问题是用数学知识和数学分法解决实际生活中各种各样的问题，是一种创造性的劳动，涉及到各种心理活动，心理学研究表明，良好的心理品质是创造性劳动的动力因素和基本条件，它主要包括以下要素：自觉的创新意识；强烈的好奇心和求知欲；积极稳定的情感；顽强的毅力和独立的个性；强烈而明确的价值观；有效的组织知识。许多学生由于不具备以上良好的心理品质因而对解决实际问题缺乏应有的信心。

1.2、对实际问题中一些名词术语感到生疏

由于数学应用题中往往有许多其他知识领域的名词术语，而学生从小到大一直生长在学校，与外界接触较少，对这些名词术语感到很陌生，不知其意，从而就无法读懂题，更无法正确理解题意，比如实际生活中的利率、利润、打折、保险金、保险费、纳税率、折旧率、移动电话的收费标准等概念，这些概念的基本意思都没搞懂。如果涉及到这些概念的实际问题就谈不上如何去理解了，更谈不上解决问题。例如“五•一”假期，某火车客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候检票．经调查发现，在车站开始检票时，有640人排队检票．检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站．设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的．检票时，每分钟候车室新增排队检票进站16人，每分钟每个检票口检票14人．已知检票的前a分钟只开放了两个检票口．某一天候车室排队等候检票的人数y（人）与检票时间x（分钟）的关系如图所示．（1）求a的值．

（2）求检票到第20分钟时，候车室排队等候检票的旅客人数．（3）若要在开始检票后15分钟内让所有排队的旅客都能检票进站，以便后来到站的旅客随到随检，问检票一开始至少需要同时开放几个检票口？

本问题就涉及到学生不太熟悉的名词术语：等，若让学生自己到车站体验一下了解这些名词的意思完全弄明白后，教师再分析讲解，学生就易搞懂了。

1.3对数据处理缺乏适当的方法

许多实际问题中涉及到的数据多且杂乱，学生面对如此多而杂乱的数据感到无从下手，不知应把哪个数据作为思维起点，从而找不到解决问题的突破口。例如：某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元。

⑴求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天支付的总费用最少？⑵若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠（即原价的90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由。本问题涉及到的量有：每天需用面粉6吨，每吨面粉价格1800，购买面粉运费每次900元，保管每吨面粉每天3元，所求的问题⑴多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？⑵是否考虑9折优惠，条件是每次购进面粉不少于210吨？在这诸多量中，到底从哪个量入手建立怎样的数学模型来解决问题？许多学生是一片茫然。

1.4缺乏将实际问题数学化的经验

数学模式的呈现形式是多种多样的，有的以函数显示、有的以方程显示、有的以图形显示、有的以不等式显示、有的以概率显示，当然，还有其他各种形式的模型，具体到一个实际问题来讲，判断这个实际问题与哪类数学知识相关，用什么样的数学方法解决问题，是学生深感困难的一个环节。

例如：某乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，1997年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元，以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的2/3，根据测算，该乡从两个企业获得的利润达到2000万元可以解决温饱问题，达到8000万元可以达到小康水平。

⑴若以1997年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是哪一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？⑵试估算2005年底该乡能否达到小康水平？为什么？

根据调查结果，学生阅读了以上题目，问其想到了什么数学知识，许多学生答不出来。我认为答不出的主要原因就是学生存在把主要语言换成数学语言的转换障碍。数学语言主要指数学文字语言，图形语言和符号语言，是数学区别于其他学科的显著特征，数学语言简练、抽象、严谨。甚至有些晦涩。如“函数，形式简练但十分抽象，许多学生由于过不了数学语言关，符号化意识弱，无法把普通语言转化成数学语言，从而无法将实际问题建立起数学模型。

二、用数学建模解决实际问题的要点及方法

2.1根据经验，解决一个实际问题重点要过好三关：事理关，读懂题意，知道讲的是什么问题；文理关：需要将“问题情景“的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达关系；数理关：在构建数学模型的过程中，要求学生对数学知识的检索能力，认定或构建相应的数学模型，完成由实际问题向数学问题转化。总之，实际应用问题的难点是：“问题情景的数学化”。因此必须强化训练学生的“阅读理解语言的能力”“分析问题的能力”和“数学抽象化能力”这样才能剥去“实际应用问题”的神秘面纱，还学生数学之真面目。

2.2数学建模遵循如下程式（或流程）

①审题：审题是建模的起步，审题分为读懂和加深理解两个层次，把“问题情景译为数学语言，找出问题的主要关系。②建模：把实际问题主要关系近似化，形式化，抽象成数学问题；③解模：把数学问题化为常规问题，选择合适的数学方法求解。④检验：对求解的结果进行验证或评估，对错误加以调节，或将结果应用于现实，作出解释或预测。其程式如下：

三、克服数学建模困难的对策

针对学生解决实际应用问题的困难以及解实际应用问题的思路和方法，我认为在平时的应用题教学中应重视对学生进行数学应用意识的培养。如数学语言，数学阅读理解等要有计划，有针对性地训练和培养，具体地讲，应抓好以下几个方面的教学。

3.1着力培养学生的自信心

一个人的自信心是他能有效地进行学习的基础，更是他将来能适应经济时代必备的心理素质。基于这样一个事实，许多国家都把对学生自信心的培养作为数学教育的一个基本目标。因此，在平时教学中，应加强实际问题的教学，使学生从自身的生活背景中发现数学，创造数学，运用数学，并在此过程中获得足够的自信。例如：我曾经安排学生个人或小组到银行去调查储蓄存款利息计算方法：让学生学会选择储蓄存款的最佳期限：假设向银行存款1000元，试计算5年后可得的利息金额，存款方式为⑴5年定期，整存整取；⑵1年定期，每年到期后本息转存；⑶先存2年定期，到期后本息转存3年定期；⑷半年定期，每次到期后本息转存，以上存款方式哪种所得利息最多？试用数学原理说明所得结论，这次活动学生兴趣很高，在没有任何强制要求下，学生们个个都去银行调查并根据调查数据计算出了存款得息最多的方案。用数学原理解释说明也十分中肯。从这个例子看出，教师在教学中如果注意联系身边的事物，让学生体验数学，并尝到成功的乐趣，对激发学生的数学兴趣，培养学生的数学应用意识以及解决实际问题的自信心是非常重要的。

3.2培养学生阅读理解能力，使学生逐步学会数学地阅读材料了解材料

通过数学阅读，能促进学生语言水平的发展以及认知水平的发展，有助于学生探究能力和自学能力的培养；通过数学阅读，有助于学生更好地掌握数学。前苏联著名数学教育家斯托利亚尔指出“数学教学也就是数学语言的教学“，因此，从语言学习的角度讲，数学教学也必须重视数学阅读，作为数学教师，不仅要重视培养学生的阅读能力，还要注重教给学生科学有效的阅读方法，让学生认识到数学阅读的重要性使学生体验到数学阅读的乐趣及对学习的益处。从而在兴趣和利益的驱动下自觉主动地进行数学阅读。具体地讲，强化阅读能力的培养，教学时要注意以下几个方面：（1）让学生学会说题。所谓说题，就是让学生通过阅读题目后，进行分析思考，说出题目提供的信息条件，现象过程，解题思路及应采用的规律方法等等。教学中可让学生通览全题说题目的要素，也可让学生剖析字句，说题目的条件；还可让学生形成解题思路后说解题步骤；（2）组织适当的课堂探究交流，课堂探究交流常常需要教师给出一个中心议题或所要解决的问题，学生在独立思考的基础上，以小组或班级的形式围绕议题发表见解、互相讨论；实践证明，课堂探究交流为师生之间，同学之间的多向交流提供了一个很好的平台；探究交流对学生独立活动的自由度增大，可以运用数学语言进行提问、反驳、论证、收集材料，统计数据等多种活动并与别人的思想进行比较，以达到更深层次的理解和掌握。因此，课堂探究交流不仅适合培养学生的交流能力，还有助于激发学生的学习兴趣，增进对知识的理解；（3）创设写数学的机会，让学生“写数学”，就是要学生把他们学习的数学心得体会，反思和研究结果，用文字的形式表达出来，并进行交流。例如：可让学生写知识小结、解题反思、调查报告和小论文等，这样做不仅可以提高学生的数学写作，阅读能力和理解能力，而且可以进一步提高学生的数学的学习水平与探索研究能力。

3.3构建知识网络，强化从整体的角度选择思维起点的能力，数学实际问题最突出的特点就是数据多，变量符号（字母）多，数量关系隐蔽而且数据具有“生活实际”的本来面目，并非“纯数学化”的数据。学生对数据的感悟能力较差，对已知所求之间的数量关系比较模糊，如果从局部入手，则头绪纷繁，不易突破，但若能从客观上进行整体分析，抓住问题的框架结构与本质关系，常能出奇制胜，找到解决问题的方法。具体的讲可以运用结构数据表格的整合信息，理顺数量间的关系，从而建立相应的数学结构，凸显数学“建模”。

3.4加强数学语言能力的培养对学生数学语言能力的培养包括两个方面的内容：一是掌握数学语言，包括：①接受——看（听）得懂，能识别、理解解释弄清数学问题的语言表达，并能转化为具体的数学思想，能用自己的语言复述、表达；②表达——写（讲）得出，能将自己解决数学问题的观点、思想、方法、过程用恰当的语言标准流畅地表达出来，并且在表达中名词述语规范、准确、合乎逻辑。二是帮助学生掌握好非数学语言与数学语言之间，各种数字语言的互译、转化工作。加强对学生数学语言能力的培养，主要做好一下两方面的工作，首先，要加强语义、句法的教学。斯托利亚尔指出：“这两方面都很重要，如果只限于语义一中，那么数学将不会使用形式的数学工具，进而不会用它们解决问题。如果只限于句法一种，那么学生将不理解数学语言表达的意义，不能把非数学的问题转化为数学问题，他们的知识将是形式主义的、无益的。”在教学中可以利用以下方法加强学生对语义、句法的理解：（1）借助于语文知识中句子的扩写或缩写来帮助理解。如“对顶三角相等”扩写成：“如果两角是对顶角，那么这两个角相等”，再如：“连接两点的线段的长度叫这两点间的距离”，可先诱导学生找出句子的主、谓、宾语，再读缩句，即句子的主干，这样学生就加深了对“距离”的理解，“距离”是“长度”，是“正的数量”而不是“形”——线段（2）借助于“打比方”帮助理解。如数学中的“直线”可比喻为孙悟空的“金箍棒”，既不失科学性，又能使学生印象深刻，理解透彻。（3）运用比较法帮助理解，如学习“二次根式”的加减运算时，与已学过的“整式”的加减运算作比较，得知相同点就是“合并”不同点就是“同类二次根式”与“同类项”（4）多角度理解，如相反数时，从定义角度理解：分别求-

3、-

5、0的相反数，相反数是10的数是什么？从数轴的角度理解：数轴上什么样的两数互为相反数？从绝对值角度理解：符号、绝对值怎样的两数互为相反数？从运算角度理解：相加得0的两数互为相反数吗？通过这样的多角度直观，强化理解。其次，要加强数学语言的互译的训练。数学概念、定理、公式、法则等往往是通过一种语言表述的。而学生要真正理解和运用它们，则必须要能灵活运用三种语言（文字语言、图形语言、符号语言）进行表述。例如，平面几何中的定理都是用文字语言表述的，但是证明时的论证需借助符号语言来表达，其间图形语言作为文字语言和符号语言的必要补充，为数学思维提供直观模型。因此，在平面几何的教学中必须注重对三种语言的转化训练，对书上的每一定理都要求能够作出对应图形，并能用符号语言写出对应的几何译式。

3.5优化教学设计，教学策略。

传统教学中，教学过程基本上由教师控制，教学设计只关注对传授——接受过程的优化，而很少关注改变学生学习方式，学生接受的只是一些数学结论，对数学问题是怎样提出的，概念是如何在具体情景中形成的，结论怎样探索和猜测到的，证明的思路和计算的想法是怎样得到的，结论的作用和意义是什么？很少关注。因而无法实现学生的数学学习由被动接受“结果”向主动积极构建“过程”的转化。一碰上实际问题，就茫然不知所措。为改变这一高耗低效的课堂，教学设计应注重创造问题情景，开发教学媒体，提供学习资源，优化学习环境。在指导学生学习策略上：一是变学生“仓库式”学习为“蜂蜜式”学习，二是变学生由知识学习为体验学习、发现学习。因此教学设计不仅要关注“基础知识”传授，更要关注如何向学生提供真实情境，模拟情境向学生展现“春天的原野”，让学生体验尝试，发现探究。让学生博采广撷，自我“酿蜜”；优化教学设计离不开研究学生的数学学习心理，摸清学生的学情，否则，教师无法有针对性地提供给学生解决数学实际问题的思想和方法。

3.6开发教材潜能，创造性地用好教材

教材是教与学的依据，也是教学问题的题源。教材中的例题、习题是经过反复筛选精编而成，看似寻常，实则内涵丰富。有不寻常的价值和应用功能，教师要充分发挥、挖掘教材中例、习题的作用，在教与学中创造性地设置教学情景，并适时地“深挖洞”或“广积粮”形成以问题为中心展开教学，使学生真正理解掌握知识的产生、形成和发展过程。对例题，习题的教学中采取一题多解（多角度、多方位、多层次）的形式，容易的题精讲，旧题新讲，小题大讲（深入挖掘、一题多变、一题多解、一题多用）如果老师教学时在处理上述问题原形时，不引导学生进行横向扩展纵向延伸，学生在面对实际问题时是很难解决的。因此，教师要创造性地使用好教材中的例题、习题，在布置练习时要减少一些“死”的书面作业，增加一些“活”的实践性、开放性、探究性作业。对教材中的概念、公式、法则、定理不仅要求熟记，而且要弄清背景和来源，以及与其他知识的联系，注重教材中概念、公式、法则、定理的提出、知识的形成。发展过程、解题思路的探索过程，解题规律和方法的概括过程，为学生创建了解决实际问题的基石和搭建了登高望远的平台。

篇6：浅谈初中数学思想方法

德国著名数学家克莱因曾在他的《西方文化中的数学》中写道：数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。

不仅数学家体悟到了数学的魔力，就连希腊著哲学家柏拉图都在号召：哲学家也要学数学，因为他必须跳出浩如烟海的万变现象而抓住真正的实质。又因为这是使灵魂过渡到真理和永存的捷径。

那么，作为初中生，如何才能学好数学呢？有人曾调侃：数学学霸和学渣最大的区别就在于是否会运用数学思想方法!数学思想方法是数学的灵魂和精髓。数学思想方法无论在数学专业领域、数学教育范围内，还是在其它科学中，都被广为使用。

所谓数学思想，就是对数学知识的本质的认识。是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提练上升数学观点，它在认识活动中被反复运用，带有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想，如建模思想、统计思想、最优化思想、化归思想、分类思想、整体思想、数形结合思想、转化思想、方程思想、函数思想。所谓数学方法指在数学中提出问题、解决问题（包括数学内部问题和实际问题）过程中，所采用的各种方式、手段、途径等。初中学生应掌握的数学方法有配方法、换元法、待定系数法、参数法、构造法、特殊值法等。数学思想和数学方法是紧密联系的，强调指导思想时，称数学思想，强调操作过程时，称数学方法。

典例赏析

一、整体思想

从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造，发现问题的整体结构特征，善于用“集成”的眼光，把某些式子或图形看成一个整体，把握它们之间的关联，进行有目的的、有意识的整体处理。

例1：已知a-b=4,求2a-2b-1=_________

解析：把“a-b”看成一个整体代入2a-2b-1=2(a-b)-1=7

二、方程思想

方程思想，是从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式、或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解。

例2：一个凸多边形的内角和是外角和2倍，它是_________边形.解析：由于任意多边形的外角和都是360°，而n边形的内角和(n-2).180

设这个多边形是n边形，根据题意，得：(n-2).180

=2*360，解得n=6

三、函数思想

函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。