概率的教案（共8篇）
篇1：概率的教案
随机事件的概率
一、教学目标
1了解随机事件`必然事件`不可能事件的概念； 了解随机事件在大量重复试验时，它的发生所呈现出的规律性； 3 了解概率的统计定义及概率的定义； 利用概率知识正确理解现实生活中的实际问题。
二、[重点与难点]（1）教学重点：1 事件的分类；2 概率的定义；3 概率的性质（2）教学难点：随机事件的发生所呈现的规律性。
三、[教学过程]
（一）（问题的引入）
概率论产生于十七世纪，但数学家思考概率论问题的源泉，却来自赌博。传说早在1654年，有一个赌徒向当时的数学家提出一个使他苦恼了很久的问题：“两个赌徒相约赌若干局，谁先赢3局就算赢，全部赌本就归谁。但是当其中一个人赢了2局，另一个人赢了1局的时候，由于某种原因，赌博终止了。问：‘赌本应该怎样分才合理。’” 这们数学家是当时著名的数学家，但这个问题却让他苦苦思索了三年，三年后，荷兰著名的数学家企图自己解决这一问题，结果写成了《论赌博中的计算》一书，这就是概率论最早的一部著作。我们知道赌博中有赢有输，可能赢也可能输。现实生活中也一样，有些事情一定会发生，有些事情不一定发生，有些事情可能发生也可能不发生。那么在数学中如何定义这些事情呢？
（二）讲授新课
阅读课本回答下列问题：事件分成哪三类及这三类事件的主要区别？
练习：判断下列事件是什么事件（1）没有水分，种子发芽；
（2）在标准大气压下，水的温度达到50摄氏度时，沸腾；（3）同性电荷，相互排斥；
（4）姚明投篮一次，进球；（5）温家宝总理来我校参观；
（6）掷骰子出现4点。2 让学生观察课本上给出的3组实验数据，通过观察发现概率的存在规律：在一次试验中，随机事件的发生与否不是确定的，但是随试验次数的不断增加，它的发生就会呈现一种规律性，即：它发生的频率越来越接近于某个常数，并在这个数附近摆动。
概率的定义：一般地，在大量重复进行同一个试验时，事件A发生的频率总接近于某个常数，在它附近摆动，这个常数叫做事件A的概率，记做P（A）。概率与频率的关系：
（1）频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率。
（2）频率本身是随机的，在试验前不能确定。
（3）概率是一个确定的数，是客观存在的，与每次试验无关。（4）必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0.作业：课时作业十五，十六。
概率的基本性质
教学目标：
1、了解事件间各种关系的概念，会判断事件间的关系；
2、了解两个互斥事件的概率加法公式，知道对立事件的公式，会用公式进行简单的概率计算；
3、通过学习，进一步体会概率思想方法应用于实际问题的重要性。
教学的重点：事件间的关系，概率的加法公式。教学的难点：互斥事件与对立事件的区别与联系。
（一）、事件的关系与运算
1.老师做掷骰子的实验，学生思考，回答该试验包含了哪些事件（即可能出现的结果）
学生可能回答：﹛出现的点数＝1﹜记为C1，﹛出现的点数＝2﹜记为C2，﹛出现的点数＝3﹜记为C3，﹛出现的点数＝4﹜记为C4，﹛出现的点数＝5﹜记为C5，﹛出现的点数＝6﹜记为C6.老师：是不是只有这6个事件呢？请大家思考，﹛出现的点数不大于1﹜（记为D1）是不是该试验的事件？类似的，﹛出现的点数大于3﹜记为D2，﹛出现的点数小于5﹜记为D3，﹛出现的点数小于7﹜记为E，﹛出现的点数大于6﹜记为F，﹛出现的点数为偶数﹜记为G，﹛出现的点数为奇数﹜记为H，等等都是该试验的事件。那么大家思考一下这些事件之间有什么样的关系呢？
1、若事件C1发生（即出现点数为1），那么事件H是否一定也发生？
一般地，对于事件A和事件B，如果事件A发生，则事件B一定
发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B），记作 特殊地，不可能事件记为
，任何事件都包含不可能事件。
2、再来看C1和D1间的关系：先考虑一下它们之间有没有包含关系？
两个事件A，B中，若A发生，那么B一定发生，反过来也对，那么称事件A与事件B相等，记作A＝B。所以C1 和D1相等。
3、若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生，则称此事件为事件A或者事件B的并事件（或和事件），记作A∪B（或A+B）。
4、若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A和事件B的交事件（或积事件）记为A∩B（或AB）。
5、当A∩B＝（不可能事件）时，称事件A与事件B互斥。（即两事件不能同时发生）
6、当A∩B＝不可能事件，A∪B=必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件。（即事件A和事件B有且只有一个发生）
思考：能不能把事件与集合做对比，用已有的集合间关系来分析事件间的关系。
练习：判断下列事件是不是互斥事件？是不是对立事件？ ①某射手射击一次，命中的环数大于8与命中的环数小于8； ②统计一个班级数学期末考试成绩，平均分不低于75分与平均分不高于75分；
③从装有3个红球和3个白球的口袋内任取2个球，至少有一个白球和都是红球。
（二）概率的基本性质
提问：频率＝？
1、任何事件的概率P(A)，0≦P(A)≦1
2、记必然事件为E，则P(E)＝1。
3、记不可能事件为F，则P(F)＝0
4、当A与B互斥时，A∪B发生的频数等于A发生的频数加上B发生的频数，概率加法公式：当A与B互斥时，P（A∪B）＝P(A)＋P(B)。
5、特别地，若A与B互为对立事件，则A∪B为必然事件，所以有P(A∪B)＝1＝P(A)＋P(B)
→
P(A)＝1－P(B)。思考一下：概率的加法公式中，若把互斥条件去掉，即任意事件A、B，则P（A∪B）＝P(A)＋P(B)－P（AB）
例1：如果从不包括大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，那么取到红心（事件A）的概率是14，取到方片（事件B）的概率是1 4。问：⑴取到红色牌（事件C）的概率是多少？
⑵取到黑色牌（事件D）的概率是多少？
例2 袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，已知得到红球的概率是多少？
得到黑球或黄球的概率是多少？ 得到黄球或绿球的概率是多少？
试求得到黑球、黄球、绿球的概率分别是多少？
篇2：概率的教案
一、教学目标
知识与技能目标：了解生活中的随机现象；了解必然事件，不可能事件，随机事件的概念；理解随机事件的频率与概率的含义。
过程与方法目标：通过做实验的过程，理解在大量重复试验的情况下，随机事件的发生呈现规律性，进而理解频率和概率的关系；通过一系列问题的设置，培养学生独立思考、发现问题、分析问题和解决问题的能力。
情感、态度、价值观目标：渗透偶然寓于必然，事件之间既对立又统一的辩证唯物主义思想；增强学生的科学素养。
二、教学重点、难点
教学重点：根据随机事件、必然事伯、不可能事件的概念判断给定事件的类型，并能用概率来刻画生活中的随机现象，理解频率和概率的区别与联系。
教学难点：理解随机事件的频率定义与概率的统计定义及计算方法，理解频率和概率的区别与联系。
三、教学准备
多媒体
四、教学过程
情境设置，引入课题
相传古代有个国王，由于崇尚迷信，世代沿袭着一条奇特的法规：凡是死囚，在临刑时要抽一次“生死签”，即在两张小纸片上分别写着“生”和“死”的字样，由执法官监督，让犯人当众抽签，如果抽到“死”字的签，则立即处死；如果抽到“生”字的签，则当场赦免。
有一次国王决定处死一个敢于“犯上”的大臣，为了不让这个囚臣得到半点获赦机会，他与几个心腹密谋暗议，暗中叮嘱执法官，把两张纸上都写成“死”。
但最后“犯上”的大臣还是获得赦免，你知道他是怎么做的吗？
相信聪明的同学们应该知道“犯上”的大臣的聪明之举：将所抽到的签吞毁掉，为证明自己抽到“生”字的签，只需验证所剩的签为“死”签。
我们如果学习了随机事件的概率，便不难用数学的角度来解释“犯上”的大臣的聪明之举。下面中公资深讲师跟大家来认识一下事件的概念。探索研究，理解事件
问题1：下面有一些事件，请同学们从这些事件发生与否的角度，分析一下它们各有什么特点？
①“导体通电后，发热”；
②“抛出一块石块，自由下落”；
③“某人射击一次，中靶”；
④“在标准大气压下且温度高于0℃时，冰自然融化”；
⑦“某地12月12日下雨”；
⑧“从标号分别为1，2，3，4，5的5张标签中，得到1号签”。
给出定义：
事件：是指在一定条件下所出现的某种结果。它分为必然事件、不可能事件和随机事件。
问题2：列举生活中的必然事件，随机事件，不可能事件。
问题3：随机事件在一次试验中可能发生，也可能不发生，在大量重复试验下，它是否有一定规律？
实验1：学生分组进行抛硬币，并比较各组的实验结果，引发猜想。
给出频数与频率的定义
问题4：猜想频率的取值范围是什么？
实验2：计算机模拟抛硬币，并展示历史上大量重复抛硬币的结果。
问题5：结合计算机模拟抛硬币与历史上大量重复抛硬币的结果，判断猜想正确与否。
频率的性质：
1.频率具有波动性：试验次数n不同时，所得的频率f不一定相同。
2.试验次数n较小时，f的波动性较大，随着试验次数n的不断增大，频率f呈现出稳定性。
概率的定义
事件A的概率：在大量重复进行同一试验时，事件A发生的频率m/n总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P。
概率的性质
由定义可知0≤P≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0。
频率与概率的关系
①一个随机事件发生于否具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一。
②不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况。③随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率。
④概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果。
⑤概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值。
例某射手在同一条件下进行射击，结果如下表所示：
填写表中击中靶心的频率；
这个射手射击一次，击中靶心的概率约是什么？
问题6：如果某种彩票中奖的概率为1/1000，那么买1000张彩票一定能中奖吗？请用概率的意义解释。
课堂练习，巩固提高
1.将一枚硬币向上抛掷10次，其中正面向上恰有5次是
A.必然事件B.随机事件
c.不可能事件D.无法确定
2.下列说法正确的是
A.任一事件的概率总在内
B.不可能事件的概率不一定为0
c.必然事件的概率一定为1
D.以上均不对
3.下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请完成表格并回答题。
完成上面表格：
该油菜子发芽的概率约是多少？4.生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了。”学了概率后，你能给出解释吗？
课堂小节
概率是一门研究现实世界中广泛存在的随机现象的科学，正确理解概率的意义是认识、理解现实生活中有关概率的实例的关键，学习过程中应有意识形成概率意识，并用这种意识来理解现实世界，主动参与对事件发生的概率的感受和探索。
五、板书设计
六、教学反思
篇3：基于概率论的小学概率教学的思考
当然, 在小学阶段的概率与中学的概率相比, 无论从内容体系、学习方式、和教学目标等均有着质的区别。概率研究的对象是客观世界中的不确定现象, 而在小学进行的概率教学重点在于学生建立概率的观念, 与概率论体系有一定的联系, 但又有着本质的区别, 因此, 在概率教学时要找准小学概率知识的生长点, 促进学生的可持续发展;同时, 学生的日常概率观念中有许多错误的直观, 如认为要投五次硬币, 如果前四次都投了正面向上的结果, 那么第五次反面向上的可能性就大。因此在教学时要澄清概率知识与概率误解的关系, 探索小学概率教学的课堂教学结构;还有, 概率在现实生活中是动态地存在的, 课本中的文本或图片展示具有太多的静态感, 教师要能分清对学生正确地进行概率评价的具有干扰的内容, 对这些内容, 教师在教学时要向学生说明, 如果出现了错误, 教师要从书面的表达、图像的特征等几个方面展开讨论, 更好地促进学生的主动学习。
(一) 理清概率论与小学数学中的概率关系
概率论是数学体系中研究随机事件数量关系的一个分支, 在其发展的过程中, 形成了三个基本的概率涵义, 产生了三种研究问题的思维方法。 (表一)
以上三种概率各有优缺点, 但不论哪一种概率, 一般经历以下流程 (图1) :
与概率论的基本内容及思维流程相比较, 小学的概率可从“概率论”的基本思想中找到其数学化的概率涵义与形成轨迹, 两者的关系可从下表得到反映 (表二) 。
从表二与图1中可以发现, 中小学的概率体系是根据概率的古典定义与概率的统计定义 (频率) 的学习历程来构建的, 第一学段是对图1虚框中内容的学习, 重点是感受生活中的随机现象并进行分析;第二学段对等可能事件的定量分析;第三学段结合具体情境了解古典概率的意义和频率的计算及意义。通过以上三个学段, 用具体情境和更适合于中小学生理解的词汇, 建立起初步的概率观念与思维方法, 在解决实际问题的过程中体会到概率知识的内在魅力与实际价值。综上分析, 中小学的“概率”是“概率论”基本思想的“生活化”体现。从上述分析比较中, 可发现概率教学有以下几点启示:
1. 小学的概率教学要以学生的生活经验为基础, 但又不能只停留于表层的活动与感受, 而要通过课堂教学活动使学生体验到概率的实质:从复杂的变化中预测结果。
2. 小学的概率教学重在观念的形成, 而不是对概率下具体的定义与计算, 为后续的学校数学概率学习打下坚实的感性基础。
3. 在 (中) 小学的概率教学进程中, 要化零为整, 构筑起为小学生能理解的概率概念体系与思维方法, 能解释和解决生活中的随机现象。
同时, 小学阶段缺少对概率的统计定义的体验, 不利于学生对概率的全面感受, 建议在第二学段学习概率时与统计知识的学习相结合, 对第二学段学习概率时与统计知识的学习相结合, 对古典概率的实验验证, 体会到概率的双重涵义。
(二) 分清概率概念与错误直觉的区别
对错误的概率直觉问题要尽早“干预”, 这是完全正确并有必要的。对照《数学课程标准》, 小学生在学习相关内容时, 会有哪些错误直觉呢?通过查阅文献与调查, 发现一些小学生在学习中或在生活经验中业已存在的错误直觉, 现列举其中几则 (表三) 。
以上错误直觉, 不可能随着概率概念的形成而消除, 必须用实验和数据分析来纠正 (将在第二部分中用实例分析, 并发展成为概率教学的基本结构) 。
(三) 澄清概率教材和学生回答的差异
在具体的情境中学习概率, 这符合学生的认知特点。因此, 关于概率知识的教材, 配了许多插图。但由于插图只是对现实情境某一个镜头的摄写, 学生在回答时有时并不能理解编者的意图。下面是2003年12月对学生进行“自然状态下学生”对概率的了解情况的调查, 调查的题目共有8题, 其中6题均是用了书本中的图文。调查的对象是本校各年级一班的全体学生。
调查题3 (北师大版三年级概率教材中的情境图) :
对学生的回答进行整理统计: (表四)
从表格中能发现学生随着年龄的增长, 对可能性的表述日趋合理。同时发现六 (1) 班填白球的学生远远超过填黄球。为什么会这样?笔者访谈了其中的10位, 其中有6位学生的回答:我是从图中看出来的, 白球在下面, 他的手伸下去拿到的也应该是下面的球。从这则事例中给我们以启示, 从学生的视角看问题, 有时错的不在学生。对于学生的回答, 要多问问为什么?书本中的情境图不能完全代表生活情境, 实际教学时, 教师要对图意进行必要的说明。
有时教材中的文字表述也可能使学生产生异义。如右图 (调查题5) :
一般均成如图所示, 但也有部分学生填成:“摸到的球可能是白球、白球, 摸到白球的可能性大”。访谈后发现, 读题后, 他 (她) 们误以为是连续摸两次, 因为白球多, 两次摸出的球可能是白球。因此, 对可能性的叙述要语义明确, 上题加一个“或”字为:“摸到的球可能是球或______球, 摸到______球的可能性大。”更有利于学生的理解。
篇4：概率中的故事 故事中的概率
1. 掷骰子引起的争论
有一天，小聪在用两个骰子做抛掷游戏.小聪是个喜欢动手、动脑的孩子，他想摸索出掷出的点数的规律.
大家都知道，两个骰子掷出的点数之和最多可以是“12点”.小聪不断地试验着，抛了一次又一次，并把结果记了下来.他发现，要抛到点数和为“12点”实在是太难了，有将近有一半的时候抛到的点数和都是“6点”、“7点”或“8点”.
这时小明从外面急匆匆地走了进来，他看到小聪在不停地掷两个骰子，便不加思索地说：“好啦！明天我做一个大骰子让你慢慢扔，怎么样？还不比你一次用两个小骰子强啊？！”
“一个大骰子？”小聪一时没弄清小明的意思.
“用正十二面体，各面标上数字1到12不就得啦！”小明得意洋洋地解释说，“用这样的大骰子替这两个小骰子嘛！”
小聪陷入了沉思.他总感到小明的主意有点不对劲，但一时又找不出什么理由.
“怎么不行？！”小明急忙分辩说，“正十二面体，各面机会均等，每个数字扔到的可能性都是十二分之一.”
小明的话使小聪感到眼前一亮，他想到了一个很重要的论据.于是他反问道：“数字1！你的大骰子可以扔出‘1点’，我的两个小骰子能扔出‘1点’吗？！”
小明语塞，但他很快又有了新的点子：“我们不会改做一个正十一面体啊？！各面标上数字2 到12！”
“可根本不可能有正十一面体！” 小聪说.
小聪的话是对的，看来他的知识面比小明更广一些.这场关于掷骰子的有趣争论，自然以小明的认输而告终.但小明输的主要原因不在于正十一面体的不存在，而在于两个小骰子掷出各种“点数和”的机会并不均等.小聪已经从自己的试验中隐隐约约地察觉到了这一点，只是还没来得及深入地探讨下去.这正是我们下面需要进行的工作.
大家都知道，掷一个骰子，出现的点数有6 种可能；而掷两个骰子时，由于对第一个骰子的每种点数，都可以搭配第二个骰子的6 种点数，因此共有6×6＝36（种）可能的搭配.很明显，这36种“搭配”出现的机会是均等的，也就是每种“搭配”出现的概率都是136.但一种“点数和”的出现，往往有不止一种的搭配方式，因此这种“点数和”出现的概率就应当等于136的若干倍.通过统计各种“点数和”的搭配方式.可以得出，出现点数和为“6 点”、“7点”或“8 点”的概率为P(6)+ P(7)+ P(8)=536+636+536=49，几乎占了一半.而出现“2点”、“12点” 的概率，各都只有136，都极不容易出现.这跟小聪在试验中观察到的情况是一致的.
上面的结论意味着：即使存在正十一面体，这场争论中小明也是注定要失败的.
2．有趣的求π的方法
大约在公元1904 年，R·查理斯做了下面的实验：他让50名学生，每人随机地写出5 对正整数，然后他检查了一下，在得到的250对正整数中，互素的有154对，得互素的整数对出现的频率为154250.而理论上两个随机正整数互素的概率为 ，用频率估计概率，代入计算，得π≈6×250154≈3.12.
这实在太出人意料了！随机写下的正整数竟会与圆周率π发生联系.这50 位学生被震惊了！为什么π竟会在这样的场合出现呢？当你看下面的一个类似的结论之后，就会明白.
这个有趣的结论是：随机地写出两个小于1的正数x和y，它们与1在一起，正好可作为一个锐角三角形的三边长的概率为1-π4.
这个结论和前面的R·查理斯的实验中用到的结论极其类似.然而，它的证明却无需动用很多的知识，也不必花费很大的气力.
事实上，由于x和y都是在0与1之间随机选取的，所以点（x，y）随机地落在在单位正方形I的内部(如图1).假设符合条件的点（x,y）落在阴影区域G内（显然有GI），那么根据机会均等的原则，所求的概率应为P =G的面积I的面积.
现在假设以x，y，1 为三边长的三角形是△ABC，且其中∠C为最大的内角，则∠C的对边长为1.为使x，y，1能作为三角形的三边长，注意到x，y均为小于1的正数，则x+y＞1；又要使∠C为锐角，故x2+y2>1.满足前面两式，且在单位正方形I内的阴影区域G如图2所示.
由于G的面积为1-π4，而I的面积为1，这就证明了前面的结论.
有了这个结论，同学们便可以仿效R·查里斯去设计你的实验了.
设想，你请来许多同学和朋友（人越多越好）后或在某次集会时，宣布由你主持表演“科学魔术”.办法是：让大家各自随意写下两个小于1 的正数，顺便请大家各自检查一下所写的两个数，看它们与1一起是否能构成一个锐角三角形.作为主角的你，可以比较轻松的预言，他们中间大约有多少人所写的数与1能构成锐角三角形.表演的出色和成功是可以预料的.
3. 高明的“摸彩”骗局
免费摸彩——诱人的广告，规则如下：6个白、6个黑的围棋子放在一个口袋里.凡愿摸彩者，每人一次从袋中摸出6个棋子，按下面的规则给“彩”：①若摸出的6个棋子恰好全白或全黑，则奖励摸彩者100元；②若摸出的6个棋子恰好5个白色、1个黑色或5个黑色、1个白色，则奖励摸彩者2元；③若摸出的6个棋子恰好4个白色、2个黑色或4个黑色、2个白色，则奖励摸彩者1元；④若摸出的6个棋子恰好3个白色、3个黑色，则摸彩者给摊主5元.
值得注意的是，这种摸彩游戏有两个诱人之处：一是免费，二是“很多”情况下可以得到奖金.
事实是这样吗？不是.稍加计算，我们就可以得出下面的结论（同学们如果一时弄不清计算的方法，可以只看结果）：
实际上，按照规则，平均每摸924（就是C612）次，得到100元的结果有2次，得到2元的结果有72次，得到1元的结果有450次，而要付出5元的结果有400次.这样，平均每摸924次，摊主大约能得到5×400-100×2-2×72-1×450=1206（元）.那么，平均每摸一次，摊主能得多少钱呢？
我想，看了以上的分析，同学们一定不会再怀着好奇和侥幸的心理，用自己的钱，去填塞“摸彩”摊主那永填不满的腰包了吧！
二、 故事中的概率
上述故事都涉及到不确定性或可能性.在掷骰子的游戏中，每次掷出的两个骰子的点数之和是不确定的.假设掷了5次，如果你“运气好”的话，有可能每次掷出的点数之和都为12，但也有可能没有一次掷出的点数之和为12.在求π的方法的实验中，随机取出的x，y与1是否能作为锐角三角形的三边是不确定的.当然，有可能每次取出的x，y与1都能或都不能作为锐角三角形的三边.同样，在“摸彩”游戏中，你一样也不能确定会摸出什么颜色的棋子.
对概率论而言，两个最主要的概念就是独立和随机.概率论是从研究古典概型开始的，它所研究的对象是大量的独立随机过程.通过对这些过程中出现的问题的研究，概率理论体系逐渐地建立了起来.
事实上，对独立随机过程的研究和利用早在原始社会就已经存在.那时的占卜师们使用动物的趾骨作为占卜工具，将一个或多个趾骨投掷出去，趾骨落地后的不同形状指示着“神”对人或事的不同意见.投掷趾骨这个过程所产生的结果具有不可预测性，而每次投掷的结果也互不影响，这与我们今天投掷骰子的游戏的基本原理是一样的.
上述故事不仅涉及到不确定性或可能性，还涉及到每种可能的结果的可能性的大小.每次掷出的两个骰子的点数之和为6的可能性要大于点数之和为2的可能性；随机地写出两个小于1的正数x和y，它们与数1一起，构成一个锐角三角形三边的可能性为1-π4；从6个白、6个黑的个棋子中摸出6个同色棋子的可能性为1462.
而得到这些结论又是基于等可能性的一些原则.实际上，掷一个骰子时，各个数字向上的可能性是相等的；随机地写出两个小于1的正数x和y，相当于在单位正方形内取点，每一个点被取到的可能性也是相等的.这一点在很久以前，甚至在概率论产生以前就被人们认识到了.例如，在对骰子的研究中，发现了一些有趣的现象：在考古出土的骰子当中，有一些被证明是用于赌博的工具，它们的形状规则而质地却不均匀，也就是说，骰子的重心并不在其几何中心.可以想像，如果骰子的某一面较重，则其对面朝上的机会就会增大.这种骰子明显是在赌博时用来作弊的.而从另一个角度看，如果古代人知道质地不均匀的骰子掷出各个点数的可能性不同，那么他们必定清楚质地均匀的骰子掷出各个点数的机会是相等的.
可能性及其大小，即随机事件及其概率，是概率理论研究的中心问题.
篇5：等可能条件下的概率-教案
14-15学 立德 践行 ◆ 慎教 善导
三、变式拓展
篇6：概率初步教案
教学目标：
1、理解随机事件的定义，概率的定义；
2、会用列举法求随机事件的概率；利用频率估计概率（试验概率）；
3、体会随机观念和概率思想，逐步学习利用列举法分析问题和解决问题，提高解决实际问题的能力。 重难点：
1．计算简单事件概率的方法，主要是列举法（包括列表法和画树形图法）。2．利用频率估计概率（试验概率）。
一 知识梳理
1.基本概念
（1）必然事件:指一定能发生的事件，或者说发生的可能性是100%；（2）不可能事件:指一定不能发生的事件,或者说发生的可能性是0%；（3）随机事件:指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件；（4）随机事件的可能性
一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．（5）概率
一般地，在大量重复试验中，如果事件A发生的频率么这个常数P就叫做事件A的概率，记为P（A）=P．（6）可能性与概率的关系
事件发生的可能性越大，它的概率越接近于1，反之事件发生的可能性越小，则它的概率越接近0．如下图：
m会稳定在某个常数P附近，那n
（7）古典概率
一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等，•事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=（8）几何图形的概率
1、概率的大小与面积的大小有关，事件发生的概率等于此事件所有可能结果所组成图形的面积除以所有可能结果组成图形的面积． 2.概率的理论计算方法有：①树状图法；②列表法． 3.通过大量重复实验得到的频率估计事件发生概率的值
4.利用概率的知识解决一些实际问题，如利用概率判断游戏的公平性等
m． n
二、典型例题
例
1、下列事件中，是必然事件的是（）A.购买一张彩票中奖一百万
B.打开电视机，任选一个频道，正在播新闻 C.在地球上，上抛出去的篮球会下落
D.掷两枚质地均匀的骰子，点数之和一定大于6
例2.在一场足球比赛前，甲教练预言说：“根据我掌握的情况，这场比赛我们队有 60％的机会获胜”意思最接近的是（）A.这场比赛他这个队应该会赢
B.若两个队打100场比赛，他这个队会赢60场
C.若这两个队打10场比赛，这个队一定会赢6场比赛.D.若这两个队打100场比赛，他这个队可能会赢60场左右.例3一个袋中装有6个黑球3个白球，这些球除颜色外，大小、形状、质地完全相同，在看不到球的情况下，随机的从这个袋子中摸出一个球，摸到白球的概率是（）
1112A.B.C.D.9323
例4.用树状图法求下列事件的概率：
（1）连续掷两次硬币，两次朝上的面都相同的概率是多少？（2）连续掷三次，至少出现两次正面朝上的概率是多少
例5.在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号l、2、3、4．小明先随机地摸出一个小球，小强再随机地摸出一个小球.记小明摸出球的标号为x，小强摸出的球标号为y.小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当x>y 时小明获胜，否则小强获胜.①若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率．
②若小明摸出的球放回后小强再随机摸球，问他们制定的游戏规则公平吗?请说明理由．
例6.小江玩投掷飞镖的游戏，他设计了一个如图所示的靶子，点E、F分别是矩形ABCD的两边AD．BD上的点，EF∥AB，点M、N是EF上任意两点，则投掷一次，飞镖落在阴影部分的概率是（）
A． B．
C．D．
例7.为了估计池塘里有多少条鱼，从池塘里捕捞了1000条鱼做上标记，然后放回池塘里，经过一段时间，等有标记的鱼完全混合于鱼群中以后，再捕捞200条，若其中有标记的鱼有10条，则估计池塘里有鱼______________条．
例8.一个密封不透明的盒子里有若干个白球, 在不允许将球倒出来的情况下, 为估计白球的个数, 小刚向其中放入8个黑球, 摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色, 再把它放回盒中, 不断重复, 共摸球400次, 其中88次摸到黑球.估计盒中大约有白球()
A、28个
B、30个
C、36个
D、42个
例9． 一个不透明的袋子中装有三个完全相同的小球，分别标有数字3，4，5．从袋子中随机取出一个小球，用小球上的数字作为十位上的数字，然后放回；再取出一个小球，用小球上的数字作为个位上的数字，这样组成一个两位数．试问：按这种方法能组成哪些两位数？十位上的数字与个位上的数字之和为9的两位数的概率是多少？用列表法或画树状图法加以说明．
例10.小明和小亮是一对双胞胎，他们的爸爸买了两套不同品牌的运动服送给他们，小明和小亮都想先挑选．于是小明设计了如下游戏来决定谁先挑选．游戏规则是：在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球，上面分别标有数字1、2、3、4．一人先从袋中随机摸出一个小球，另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球．若摸出的两个小球上的数字和为奇数，则小明先挑选；否则小亮先挑选．（1）用树状图或列表法求出小明先挑选的概率；（2）你认为这个游戏公平吗？请说明理由．
三、课堂练习
1.下列事件中必然发生的是（）
A．随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数 B．地球上，抛出的铁球最后总往下落 C．购买一张彩票，中奖 D．篮球队员在罚球线上投篮一次，投中
2.给甲乙丙三人打电话，若打电话的顺序是任意的，则第一个打电话给甲的概率为（）A.1112 B.C.D.6323
3.用扇形统计图反应地球上陆地面积与海洋面积所占比例时，陆地面积所对应的圆心角是108°，当宇宙中一块陨石落在地球上，则落在陆地上的概率是（）A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.5
4.四张质地、大小、背面完全相同的卡片上,正面分别画有圆、矩形、等边三角形、等腰梯形四个图案.现把它们的正面向下随机摆放在桌面上,从中任意抽出一张,则抽出的卡片正面 图案是中心对称图形的概率为（）A． 1 4B．2C． D． 1 4
5.一个口袋中有4个相同的小球，分别与写有字母A，B，C，D，随机地抽出一个小球后放回，再随机地抽出一个小球．
（1）使用列表法或树形法中的一种，列举出两次抽出的球上字母的所有可能结果；（2）求两次抽出的球上字母相同的概率．
6.一个盒中装着大小、外形一模一样的x颗白色弹珠和y颗黑色弹珠，从盒中随机取出一颗弹珠，取得白色弹珠的概率是．如果再往盒中放进12颗同样的白色弹珠，取得白色弹珠的概率是，则原来盒中有白色弹珠 颗．
7.有三张正面分别写有数字﹣2，﹣1，1的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片北背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为x的值，放回卡片洗匀，再从三张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为y的值，两次结果记为（x，y）．（1）用树状图或列表法表示（x，y）所有可能出现的结果；（2）求使分式
+
有意义的（x，y）出现的概率；
（3）化简分式+，并求使分式的值为整数的（x，y）出现的概率．
篇7：统计与概率教案
【教学内容】 统计表。
【教学目标】
使学生进一步认识统计的意义，进一步认识统计表，掌握整理数据、编制统计表的方法，学会进行简单统计。【重点难点】
让学生系统掌握统计的基础知识和基本技能。【教学准备】 多媒体课件。
【情景导入】 1.揭示课题
提问：在小学阶段，我们学过哪些统计知识？为什么要做统计工作？ 2.引入课题
在日常生活和生产实践中，经常需要对一些数据进行分析、比较，这样就需要进行统计。在进行统计时，又经常要用统
计表、统计图，并且常常进行平均数的计算。今天我们开始复习简单的统计，这节课先复习如何设计调查表，并进行调
查统计。
【整理归纳】
收集数据，制作统计表。
教师：我们班要和希望小学六（2）班建立“手拉手”班级，你想向“手拉手”的同学介绍哪些情况？ 学生可能回答：（1）身高、体重（2）姓名、性别（3）兴趣爱好
为了清楚记录你的情况，同学们设计了一个个人情况调查表。课件展示：
为了帮助和分析全班的数据，同学们又设计了一种统计表。六（2）班学生最喜欢的学科统计表
组织学生完善调查表，怎样调查？怎样记录数据?调查中要注意什么问题？ 组织学生议一议，相互交流。指名学生汇报，再集体评议。
组织学生在全班范围内以小组形式展开调查，先由每个小组整理数据，再由每个小组向全班汇报。填好统计表。【课堂作业】
教材第96页例3。【课堂小结】
通过本节课的学习，你有什么收获？ 【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。
第1课时 统计与概率（1）（1）统计表
（2）统计图：折线统计图 条形统计图 扇形统计图
第2课时 统计与概率（2）
【教学内容】
统计与概率（2）。【教学目标】
1.使学生初步掌握把原始数据分类整理的统计方法 2.渗透统计意识。【重点难点】
能根据统计图提供的信息，做出正确的判断或简单预测。【教学准备】 多媒体课件。
【情景导入】
上节课我们复习了如何设计调查表，今天我们来一起整理一下制作统计图的相关知识。
【归纳整理】 统计图
1.你学过几种统计图？分别叫什么统计图？各有什么特征？ 条形统计图（清楚表示各种数量多少）折线统计图（清楚表示数量的变化情况）扇形统计图（清楚表示各种数量的占有率）教师：结合刚才的数据例子，议一议什么类型的数据用什么样的统计图表示更合适？
组织学生议一议，相互交流。2.教学例4 课件出示教材第97页例4。
（1）从统计图中你能得到哪些信息？ 小组交流。重点汇报。
如：从扇形统计图可以看出，男、女生占全班人数的百分率； 从条形统计图可以看出，男、女生分别喜欢的运动项目的人数；
从折线统计图可以看出，同学们对自己的综合表现满意人数的情况变化趋势。（2）还可以通过什么手段收集数据？ 组织学生议一议，并相互交流。
如：问卷调查，查阅资料，实验活动等。
（3）做一项调查统计工作的主要步骤是什么？ 组织学生议一议，并相互交流。
指名学生汇报，并集体订正，使学生明确并板书： a.确定调查的主题及需要调查的数据； b.设计调查表或统计表； c.确定调查的方法； d.进行调查，予以记录； e.整理和描述数据；
f.根据统计图表分析数据，作出判断和决策。【课堂作业】
教材第98页练习二十一第2、3题。【课堂小结】
通过本节课的学习，你有什么收获？ 【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。
第2课时 统计与概率（2）
做一项调查统计工作的主要步骤： ①确定调查的主题及需要调查的数据； ②设计调查表或统计表； ③确定调查的方法； ④进行调查，予以记录； ⑤整理和描述数据；
⑥根据统计图表分析数据，作出判断和决策。
第3课时 统计与概率（3）
【教学内容】
平均数、中位数和众数的整理和复习。【教学目标】
1.使学生加深对平均数、中位数和众数的认识。体会三个统计量的不同特征和使用范围。
2.使学生经历解决问题的过程，发展初步的推理能力和综合应用意识。3.灵活运用数学知识解决实际问题，激发学生的学习兴趣。【重点难点】
进一步认识平均数、中位数和众数，体会三个统计量的不同特征和使用范围。【教学准备】 多媒体课件。
【情境导入】
教师：CCTV-3举行青年歌手大奖赛，一歌手演唱完毕，评委亮出的分数是： 9.87,9.65,9.84,9.78,9.75,9.72,9.90,9.83，要求去掉一个最高分，一个最低分，那么该选手的最后得分是多少？
学生独立思考，然后组织学生议一议，然后互相交流。指名学生汇报解题思路。由此引出课题：
平均数、中位数、众数 【复习回顾】 1.复习近平均数
教师：什么是平均数？它有什么用处？ 组织学生议一议，并相互交流。
指名学生汇报，并组织学生集体评议。使学生明确：平均数能直观、简明地反映一组数据的一般情况，用它可以进行不
同数据的比较，看出组与组之间的差别。课件展示教材第97页例5两个统计表。
①提问：从上面的统计表中你能获取哪些信息？ 学生思考后回答
②小组合作学习。（课件出示思考的问题）a.在上面两组数据中，平均数是多少？
b.不用计算，你能发现上面两组数据的平均数大小吗？ c.用什么统计量表示上面两组数据的一般水平比较合适？ ③小组汇报。
第一组数据：平均数是（1.40＋1.43×3＋1.46×5＋1.49×10＋1.52×12＋1.55×6＋1.58×3）÷（1+3+5+10+12+6+3）≈1.50（m）
第二组数据：平均数是（30×2+33×4+36×5+39×12+42×10+45×4+48×3）÷40=39.6（kg）
④用什么统计量表示上面两组数据的一般水平比较合适？为什么？ 组织学生议一议，相互交流。
学生汇报：上面数据的一般水平用平均数比较合适。因为它与这组数据中的每个数据都有关系。2.复习中位数、众数
（1）教师：什么是中位数？什么是众数？它们各有什么特征？ 组织学生议一议，并相互交流。指名学生汇报。
使学生明白:在一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数。将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置上 的一个数（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。
（2）课件展示教材第97页例5的两个统计表，提问：你能说说这两组数据的中位数和众数吗？
学生认真观察统计表，思考并回答。指名学生汇报，并进行集体评议。【归纳小结】
1.教师：不用计算，你能发现上面每组数据的平均数、中位数、众数之间的大小关系吗？
组织学生议一议，并相互交流。指名学生汇报并进行集体评议。
2.教师：用什么统计量表示两组数据的一般水平比较合适？ 组织学生议一议，并相互交流。指名学生汇报。师生共同评议。师根据学生的回答进行板书。【课堂作业】
教材第98页练习二十一第4、5题，学生独立完成，集体订正。答案：
第4题：（1）不合理，因为从进货量和销售量的差来看，尺码是35、39、40三种型号的鞋剩货有些多。
（2）建议下次进货时适当降低35、39、40三种型号鞋的进货量，根据销货量的排名来看，每种型号的鞋的进货量的比
例总体上不会有大的变化。第5题：（1）平均数：（9.8+9.7×2＋9.6×4＋9.5＋9.4×2+9.1）÷11≈9.55（分）（2）有道理，因为平均数与一组
数据中的每个数据都有关系，但它易受极端数据的影响，所以为了减小这种影响，在评分时就采取“去掉一个最高分和
一个最低分”，再计算平均数的方法，这样做是合理的。平均分：（9.7×2+9.6×4+9.5+9.4×2）÷9≈9.57（分）【课堂小结】
通过这节课的学习活动，你有什么收获？学生谈谈学到的知识及掌握的方法。
【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。
第3课时 统计与概率（3）
平均数：能较充分的反映一组数据的“平均水平”，但它容易受极端值的影响。
中位数：部分数据的变动对中位数没有影响
众数：一组数据的众数可能不止一个，也可能没有。
第4课时 统计与概率（4）
【教学内容】
可能性的整理与复习。【教学目标】 1.使学生加深认识事件发生的可能性和游戏规则的公平性，会求简单事件发生的可能性，并会对事件发生的可能性作出
预测。
2.培养学生依据数据和事件分析并解决问题，作出判断、预测和决策的能力。3.使学生体验到用数学知识可以解决生活中的实际问题，激发学生的学习兴趣。【重点难点】
认识事件发生的可能性和游戏规则的公平性，会求简单事件发生的可能性，并会对事件发生的可能性作出预测，掌握用
分数表示可能性大小的方法。【教学准备】 多媒体课件。
【情景导入】
1.教师出示情境图。表哥：我想看足球比赛。表弟：我想看动画片。表妹：我想看电视剧。
教师：3个人只有一台电视，他们都想看自己喜欢的节目，那么如何决定看什么节目呢？必须想出一个每个人都能接受 的公平的办法来决定看什么节目。
提问：你能想出什么公平的办法确定谁有权决定看什么节目吗？ 学生：抽签、掷骰子。2.揭示课题。
教师：同学们想出的方法都不错。这节课我们来复习可能性的有关知识。（板书课题）
【复习讲授】
1.教师：说一说学过哪些有关可能性的知识。（板书：一定、可能、不可能）
2.教师：在我们的生活中，同样有些事情是一定会发生的，有些事情是可能发生的，还有些事情是不可能发生的。下面
举出了几个生活中的例子，请用“一定”“可能”或“不可能”来判断这些事例的可能性。课件展示：
（1）我从出生到现在没吃一点东西。（2）吃饭时，有人用左手拿筷子。（3）世界上每天都有人出生。组织学生独立思考，并相互交流。指名学生汇报，并进行集体评议。3.解决问题，延伸拓展
（1）教师：用“一定”“不可能”“可能”各说一句话，在小组内讨论交流。指名学生汇报并进行集体评议。（2）课件展示买彩票的片段。
组织学生看完这些片段，提问：你有什么想法吗？
你想对买彩票的爸爸、妈妈、叔叔、阿姨说点什么呢？ 【课堂作业】 1.填空。（1）袋子里放了10个白球、5个黄球和2个红球，这些球除颜色外其它均一样，若从袋子里摸出一个球来，则摸到（）色球的可能性最大，摸到（）色球的可能性最小。
（2）一个盒子里装有数量相同的红、白两种颜色的球，每个球除了颜色外都相同，摸到红球甲胜，摸到白球乙胜，若
摸球前先将盒子里的球摇匀，则甲、乙获胜的机会（）。2.选择。
（1）用1、2、3三个数字组成一个三位数，组成偶数的可能性为（）。A.B.C.D.（2）一名运动员连续射靶10次，其中两次命中十环，两次命中九环，六次命中八环，针对某次射击，下列说法正确的
是（）。
A.命中十环的可能性最大 B.命中九环的可能性最大 C.命中八环的可能性最大 D.以上可能性均等
3.有一个均匀的正十二面体的骰子，其中1个面标有“1”，2个面标有“2”，3个面标有“3”，2个面标有“4”，1个
面标有“5”，其余面标有“6”，将这个骰子掷出。（1）“6”朝上的可能性占百分之几？（2）哪些数字朝上的可能性一样？ 答案：
1.（1）白 红（2）相等 2.（1）A（2）D 3.（1）25％（2）标有“1”和“5”，标有“2”与“4”，标有“3”和“6”的可能性一样。【课堂小结】
通过这节课的学习，你有哪些收获？学生畅谈学到的知识和掌握的方法。【课后作业】
完成练习册中本课时的练习。
第4课时统计与概率（4）
篇8：概率的教案
随机事件与概率是概率论中最重要和最基本的概念, 只有正确地理解和真正的掌握, 才能学好概率论.概率论是研究现实世界随机现象数量规律的一门科学, 其思维方法独特, 教学中应注意讲清讲透概念, 积极引导学生思考、探索, 培养学生的思维方法, 提高学生的思维能力.本文就概率论中随机事件与概率等几个重要概念, 谈谈教学体会.
1 事件的互不相容与互逆事件
事件的互不相容与互逆事件, 是两个既有联系又有区别的重要概念.事件的互不相容 (图1) , 表明两事件无公共部分, 互逆事件 (图2) 表明两事件既无公共部分, 但又恰好充满了表示必然事件Ω的矩形.
事件的互不相容只能说明“2个事件中最多只能发生1个”, 而并非“必然发生1个”.互逆事件一定是互不相容的, 但互不相容的事件不一定是互逆的.例如, 将1枚硬币连续抛2次, 则“其中恰有1次是反面向上”与“2次都是反面向上”这2个事件是互不相容的, 但不是互逆的, 因为除了以上情况, 还可能“2次都是正面向上”.
教学中可设置如下问题:将1枚硬币连续抛3次, 事件A={至少2次反面向上}, 问以下事件中哪些是A的互逆事件, 哪些与A互不相容, 事件为:
B={至多1次正面向上},
C={恰有1次反面向上},
D={至少2次正面向上},
E={全是反面或恰有1次反面向上}.
教学中应使学生准确把握“至少”、“至多”、“多于”、“少于”、“不多于”、“不少于”、“恰有”等关键词的含义.
2 频率与概率
在大量重复试验中, 事件A发生的频率总是稳定在一个确定的常数附近.这个常数反映了事件A发生可能性的大小, 就是概率.教学中应注意频率与概率之间的联系与区别.
1) 频率与概率都是反映和刻画随机事件A发生的可能性大小的数量指标.
2) 频率与重复试验的次数及每回试验的不同结果有关, 具有波动性, 带有偶然性.频率总是稳定在一个确定的常数附近, 概率的定义是建立在频率的这种稳定性的基础上, 是频率稳定性的必然结果, 是事件A发生可能性的客观规律.
3) 概率是频率稳定性的必然结果, 而不是频率的近似值.频率不一定随重复试验次数n的不断增加, 而一定趋向于概率.例如, 我们知道掷一枚硬币出现“正面向上”的概率是0.5, 但我们不能说出现“正面向上”的频率趋向于0.5, 因为频率具有偶然性, 而不管试验的次数n多大, 都有可能出现每次试验全都是“正面向上”或“反面向上”, 也就是频率为1或0.虽然出现这种情况的可能性很小, 但毕竟还是有可能的.所以, 试验次数增加, 频率接近于概率, 不是绝对必然的, 而是极大可能的;当次数越来越大时, 稳定于概率附近的必然性就越来越明显.
3 事件的独立性与互不相容
2个事件互相独立与2个事件互不相容是2个不同的概念, 学生常常错误地把互相独立的2个事件与不可能同时发生混为一谈, 教学中应注意从下面几个方面, 引导学生分清它们之间的区别.
1) 意义上的不同.A, B互不相容反映的是事件之间的从属关系, 即A, B不可能同时发生.而事件的独立性反映的是事件之间的因果关系, 即A的发生与否, 对事件B的发生没有影响, 反之亦然.互不相容的事件不可能同时发生, 而且相互独立的事件, 则可能同时发生.例如, 甲、乙两人同时分别各自抛掷一枚硬币, 甲出现正面向上的事件A, 与乙出现的正面向上的事件B是互不影响的, 即A与B是互相独立的, 但A, B可能同时发生, 即A, B并不是互不相容.可见, 两个概念不是一回事, 它们之间没有必然的联系.
2) 作用上的不同.
概率的加法公式:
P (A∪B) =P (A) +P (B) -P (A·B) .
有了互不相容的概念, 保证了概率运算的可加性, 即
P (A∪B) =P (A) +P (B) (其中A·B=∅) .
概率的乘法公式:
P (A·B) =P (B) ·P (A|B) =P (A) ·P (B|A) .
如果A与B互相独立, 则概率的乘法公式变得简捷:
P (A·B) =P (A) ·P (B) .
多个事件互相独立与多个事件互不相容同样也是不同的概念, 它们之间也没有必然的联系.
4 条件概率P (B|A) 与积概率P (A·B)
例1 在一个盒子中装有10只晶体管, 4只是次品, 6只是正品, 从中接连地取2次, 每次任取1只, 取后不再放回, 设A={第1次取到的是正品管子}, B={第2次取到的是正品管子}, 求P (B|A) 和P (A·B) .
解 显然, A·B={2次都取正品管子}.
综上比较可知:
1) 概念上的区别.A, B为随机试验的2个事件, P (A·B) 为事件A与事件B同时发生的概率.而P (B|A) 表示在“事件A已发生”的条件下, 事件B发生的概率.由于A已发生, 所以试验结果总数发生了变化, 构成了新的随机试验, B|A为新的随机实验的一个新的事件, 因此, 事件“B|A”与积事件A·B是2个完全不同的事件.
2) 结果上的区别.由于P (A·B) 是在原基本事件组中计算A与B同时发生的可能性, 而P (B|A) 是在新的随机试验, 即“A已发生”的条件下, 计算事件B发生概率, 所以P (B|A) >P (A·B) .另一方面, 由乘法公式P (A·B) =P (A) ·P (B|A) , 可得P (A·B) <P (B|A) (因0<P (A) <1) .
5 古典概型与贝努力概型
在古典概型中, 基本事件组具有3条性质:等可能性、互不相容性、完备性 (所有事件概率的和为1) .在贝努力概型中, 每次试验只有2个结果, 即事件A出现或不出现, 并且事件A出现的概率p和A不出现的概率q=1-p都是不变的, 这种由n次独立重复试验所构成的复合随机试验的可能结果共有2n个, 但这2n个基本事件并不一定是等可能的.
在贝努力概型中, 当
例2 袋中有18个白球、2个红球, 每次取出1个, 接连取出3次, 取出不放回, 求恰有1个是红球的概率.
解 每次取出1个, 接连取出3次, 取出不放回, 相当于1次取出3个, 是古典型的问题, 所以
P= (C
如果把题目改为连取3次, 每次取1个, 取出后放回, 这时就变为可由贝努力概型解决的问题, 这时恰有1个红球的概率为
6 加法公式与全概率公式
若事件A1, A2, A3, …, An是n个两两互不相容的事件, 则有推广的加法公式P (∪Ai) =∑P (Ai) .
若H1, H2, H3, …, Hn是n个两两互不相容的事件, 而且它们的并是必然事件, 即Ω=∪Hi, 则对任何事件A, 都有P (A) =∑P (Hi) ×P (A|Hi) ——全概率公式.
全概率公式是概率的加法与乘法的综合, 它把一个复杂事件的概率问题, 分解成若干个互不相容的简单事件的概率来求, 这种简化的方法是概率论中常用的方法.
全概率公式是概率论里的一个基本公式, 也是教学中的一个难点, 教学的关键在于引导学生分解成互不相容的事件H1, H2, H3, …, Hn.
例3 某工厂有Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ3个车间, 生产同一种产品, 每个车间的产量分别占全厂的25%, 35%, 40%, 各车间产品的次品率分别为5%, 4%, 2%, 求该工厂该种产品的次品率.
解设H1, H2, H3分别为Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ3个车间的产品, 它们两两互不相容, 并且H1∪H2∪H3=Ψ.于是, A=A (H1∪H2∪H3) =AH1∪AH2∪AH3.其中AH1, AH2, AH3也是两两互不相容的, 也就是说“抽取的1件产品是次品”, 它必定是:“Ⅰ车间的1件次品”或“Ⅱ车间的1件次品”或“Ⅲ车间的1件次品”.由概率的可加性, 得
参考文献
[1]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准 (实验) [M].北京:人民教育出版社, 2003.
[2]数学课程标准研制组.普通高中数学课程标准 (实验) 解读[M].南京:江苏教育出版社, 2004.
[3]李俊.中小学概率的教与学[M].上海:华东师范大学出版社, 2003.